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Matemática Aplicada
IntroduçãoConjuntos Numéricos
Operações com FraçõesCálculo de Expressões NuméricasRegras de 3 Simples e Composta
PotenciaçãoPercentuais
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Números Naturais
• Formado pelos Números Inteiros Positivos, incluindo o Zero.
• Representado pela letra N.
• N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … }
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Números Inteiros
• Formado pelos Números Inteiros Negativos, os Números Inteiros Positivos e o Zero.
• Representado pela letra Z.
• Z = { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
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Matemática Aplicada
Números Racionais
• Formado por:
• Números Inteiros
• Frações
• Números Decimais Finitos
• Dízimas Periódicas
• Raízes Exatas.
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Números Irracionais
• Formados por números que NÃO podem ser representados por uma fração de números inteiros.
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Números Reais
• Formado por:
• Números Racionais
• Números Irracionais.
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Naturais
Inteiros
RacionaisReais
Irracionais
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Matemática Aplicada
Conjuntos - Diagrama de Venn• É utilizado para melhor visualizar as propriedades
dos conjuntos.
• Facilita o cálculo e a interpretação de situações problemas.
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Conjuntos - Exercício 1
• Uma Avaliação contendo 2 questões foi dada a 200 alunos. Sabendo que:
• 50 alunos acertaram as duas questões.
• 100 alunos acertaram a primeira questão.
• 99 alunos acertaram a segunda questão.
• Responda:
• Quantos alunos erraram as duas questões?
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Conjuntos - Exercício 1
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Conjuntos - Exercício 2• Um levantamento socioeconômico entre 200 famílias
de um bairro revelou que:
• 34 têm casa própria.
• 44 têm automóvel.
• 16 têm casa própria e automóvel.
• Responda:
• Qual o número dessas famílias que não têm casa própria nem automóvel?
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Conjuntos - Exercício 2
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Total 200
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Conjuntos - Exercício 3• Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente
as publicações A Hora da Estrela (HE), Memórias Póstumas de Brás Cubas (BC) e Grande Sertão: Veredas (GS).
• Para isto, efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que em cada 1000 pessoas consultadas:
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• 400 leram BC;
• 300 leram GS;
• 200 leram HE e BC;
• 150 leram HE e GS;
• 100 leram GS e BC;
• 20 leram as três obras.
• Calcule o número de pessoas que leu apenas uma das obras.
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Matemática Aplicada
Conjuntos - Exercício 3
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O número de pessoas que leu apenas uma das obras é:270 + 120 + 70 = 460.
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Conjuntos - Exercício 4• Uma pesquisa sobre preferência dos leitores de uma
cidade em relação aos jornais A, B e C foi realizada.
• Foram entrevistados 360 leitores entre homens e mulheres maiores de 18 anos de idade.
• Os dados coletados na pesquisa foram os seguintes:
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• 120 leem o jornal A;
• 170 leem o jornal B;
• 150 leem o jornal C;
• 40 leem os jornais A e B;
• 15 leem os jornais A e C;
• 30 leem os jornais B e C;
• 5 leem os jornais A, B e C.
• Quantos leitores preferem ler somente o jornal C?
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Matemática Aplicada
Conjuntos - Exercício 4
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• 110 preferem ler somente o jornal C;
• 70 preferem ler somente o jornal A;
• 105 preferem ler somente o jornal B.
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Operações com Frações
• Adição/Subtração
• Multiplicação/Divisão
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Adição/Subtração de Frações
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Denominadores Iguais
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MMC (Mínimo Múltiplo Comum) de 4 e 6:
> 4 = {4, 8, 12, 16, 20, 24,…}> 6 = {6, 12, 18, 24,…}
Denominadores Diferentes
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Multiplicação/Divisão de Frações
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Matemática Aplicada
Expressões Numéricas
• Para resolver expressões numéricas é preciso respeitar a ordem de prioridades dos elementos da expressão.
• Ordem a ser seguida:
• Parênteses (), Colchetes [] e Chaves {}.
• Potência e Raiz.
• Multiplicação e Divisão
• Soma e Subtração
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Matemática Aplicada
Exercícios Propostos
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Matemática Aplicada
Exercícios Propostos
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Matemática Aplicada
Regras de 3
• Regras de Três Simples
• Regras de Três Compostas
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Matemática Aplicada30
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Matemática Aplicada32
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Matemática Aplicada33
http://pt.slideshare.net/HoracimarCotrim/regra-3-simples-e-composta?related=1
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Matemática Aplicada34
http://pt.slideshare.net/HoracimarCotrim/regra-3-simples-e-composta?related=1
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Matemática Aplicada
MDC - Máximo Divisor Comum• O Máximo Divisor Comum (MDC) entre 2 ou mais
números naturais não nulos é o maior número que é divisor ao mesmo tempo de todos eles.
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40, 72, 80, 124 2
20, 36, 40, 62 2
10, 18, 20, 31
Decomposição Simultânea
http://www.tecnicodepetroleo.ufpr.br/apostilas/matematica/matematica_para_concursos.pdf
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Matemática Aplicada
MMC - Mínimo Múltiplo Comum• O Mínimo Múltiplo Comum (MMC) entre 2 ou mais
números naturais não nulos, é o menor número múltiplo de todos eles.
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30, 36, 48 215, 18, 24 215, 9, 12 215, 9, 6 215, 9, 3 3 5, 3, 1 3 5, 1, 1 5 1, 1, 1
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Potenciação
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Matemática Aplicada
Potenciação
• Base Positiva: Potência Positiva
• Base Negativa:
• Expoente PAR: Potência Positiva
• Expoente IMPAR: Potência Negativa
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Matemática Aplicada
Propriedades da Potenciação
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Matemática Aplicada
Radiciação• É a operação inversa da Potenciação.
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Matemática Aplicada
Expoente Inteiro Negativo
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R* = Números Reais não Nulos.
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Matemática Aplicada
Expoente Fracionário Racional
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N* = Números Naturais não Nulos.
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Propriedades da Radiciação
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Simplificação de Radicais
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• Simplificar um radical é reduzir o radicando à sua expressão mais simples.
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Matemática Aplicada
Racionalização de Denominadores
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• Consiste em multiplicar-se o numerador e o denominador por um mesmo fator chamado racionalizante (o que não altera a fração).
• Esse fator racionalizante é escolhido de forma a desaparecer a raiz do denominador.
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Matemática Aplicada
Percentuais
• O que é?
• A Centésima parte de uma grandeza, ou
• O cálculo baseado em 100 unidades.
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Taxa de Porcentagem• Valor obtido aplicando uma determinada taxa a um
certo valor.
• Numerador de uma fração que tem como denominador 100.
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Matemática Aplicada
Número Decimal, Fração Centesimal e Taxa Percentual
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Matemática Aplicada
Representação de Figuras na forma de Taxa Percentual
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Cálculo de Porcentagem
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Cálculo de Porcentagem - Exemplo
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Cálculo de Porcentagem - Exemplo
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20X1 20X2 20X3 20X4 20X5
PIB % -3,00% -2,00% -0,50% 5,73%
PIB 100,00 97,00 95,06 94,58 100,00
Inflação % 10,00% 5,00% 4,00% 20,12%
Preços 100,00 110,00 115,50 120,12
5,5%
19,0%
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Matemática Aplicada
Valor Numérico de Expressões Algébricas
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• Para calcular o valor numérico de uma expressão algébrica.
• Substituir o valor da variável pelo valor solicitado; e
• Efetuar as operações.
• Sugestão: Utilizar parênteses para evitar confundir-se
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Valor Numérico de Expressões Algébricas
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ƒ(-1)=2ƒ(1)=5ƒ(0)=0ƒ(-2)=3
ƒ(-2)=27/8ƒ(-1)=1/√2ƒ(4)=17/2
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Expressões Algébricas - Generalidades
• Conceito
• Expressão Algébrica é uma expressão matemática composto por números, letras, operações e sinais indicativos de prioridade.
• Exemplos:
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Expressões Algébricas - Generalidades• Monômio – É uma expressão algébrica que não contém
operações de adição e nem subtração.
•
• Binômio – É uma soma ou uma diferença de dois monômios.
•
• Trinômio – É a soma ou diferença de três monômios.
•
• Polinômio – É a soma ou diferença de mais que três monômios.
•
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Expressões Algébricas - Generalidades
• Monômios Semelhantes – São os que possuem exatamente a mesma parte literal.
• A soma (e a diferença), de 2 monômios semelhantes pode ser reduzida a um só monômio.
•
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Expressões Algébricas - Soma/Subtração
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Expressões Algébricas - Simplificação
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• Uma Expressão Algébrica é Simplificada se nela não aparecem dois ou mais termos semelhantes.
• A expressão “b" abaixo foi simplificada, os símbolos de agrupamento mais internos foram removidos primeiro;
• os parênteses ( ) foram removidos em primeiro lugar, os colchetes [ ], em segundo, e as chaves { }, em terceiro.
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Expressões Algébricas - Soma/Subtração
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Expressões Algébricas - Multiplicação/Divisão
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• Para multiplicar expressões algébricas, cada monômio da primeira expressão deve ser multiplicado por cada monômio da segunda expressão.
• A expressão Algébrica resultante é simplificada.
• Para dividir expressões algébricas, deve-se colocá-las na forma de fração e simplificar a expressão obtida.
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Expressões Algébricas - Multiplicação/Divisão
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Expressões Algébricas - Multiplicação/Divisão
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Expressões Algébricas - Produtos Notáveis
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Expressões Algébricas - Produtos Notáveis
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Expressões Algébricas - Fatoração
• Uma expressão matemática está fatorada quando está escrita na forma de uma multiplicação.
• Exemplos: 2x || x(2+y) || (3x+2)(2y+5)
• Casos de Fatoração
• Caso 1: Evidência – consistem em colocar em evidência os fatores comuns em todas as parcelas.
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Expressões Algébricas - Fatoração• Casos de Fatoração (cont.)
• Caso 2:
•
• Caso 3:
•
• Caso 4:
•
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Expressões Algébricas - Fatoração
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Expressões Algébricas - Simplificação• Para simplificar uma fração é preciso que o
numerador e o denominador estejam fatorados e apresentarem pelo menos um fator comum.
• Exemplo1:
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Expressões Algébricas - Simplificação• Exemplo2:
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Expressões Algébricas - Simplificação
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Bibliografia• Bibliografia Básica
• SILVA, Ermes Medeiros da; SILVA, Elio Medeiros da; SILVA, Sebastião Medeiros da. Matemática Básica para Cursos Superiores. São Paulo: Atlas, 2009.
• MUROLO, Afrânio Carlos; BONETTO, Giácomo. Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade. 2a Ed. rev. e ampl.. São Paulo: Cengage Learning, 2013.
• Bibliografia Complementar
• BONAFINI, Fernanda Cesar. Matemática. São Paulo: Pearson Hall, 2012.
• LEITE, Angela. Aplicações da Matemática - Administração, Economia e Ciências Contábeis. São Paulo: Cengage Learning, 2012.
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