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outubro de 2014
Maria Júlia Rodrigues Alves
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Universidade do MinhoInstituto de Educação
As interações dos alunos no trabalho de grupo na aprendizagem da Geometria: uma experiência com uma turma do 9.º ano de escolaridade.
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Relatório de Estágio Mestrado em Ensino da Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário
Trabalho realizado sob a orientação da
Professora Doutora Maria Helena Martinho
Universidade do MinhoInstituto de Educação
outubro de 2014
Maria Júlia Rodrigues Alves
As interações dos alunos no trabalho de grupo na aprendizagem da Geometria: uma experiência com uma turma do 9.º ano de escolaridade.
ii
DECLARAÇÃO
Nome: Maria Júlia Rodrigues Alves
Endereço eletrónico: mariara362@gmail.com
Telefone: 932699971
Número do Bilhete de Identidade: 12402132
Título do Relatório: As interações dos alunos no trabalho de grupo, na
aprendizagem da Geometria: uma experiência com uma turma do 9.º ano de
escolaridade.
Supervisora:
Professora Doutora Maria Helena Martinho
Ano de conclusão: 2014
Designação do Mestrado: Mestrado em Ensino de Matemática no 3.º ciclo do Ensino Básico
e no Ensino Secundário
É AUTORIZADA A REPRODUÇÃO PARCIAL DESTE RELATÓRIO APENAS PARA EFEITOS DE
INVESTIGAÇÃO, MEDIANTE DECLARAÇÃO ESCRITA DO INTERESSADO, QUE A TAL SE
COMPROMETE.
Universidade do Minho, 31 de Outubro de 2014
iii
AGRADECIMENTOS
Nenhum de nós é tão esperto como todos nós.
Provérbio japonês
Tal como se afirma no acima citado provérbio japonês, nenhum de nós é tão esperto
como todos nós. Assim, dedico este espaço àqueles que direta ou indiretamente, de uma forma
ou de outra, contribuíram para que este estudo se tornasse possível.
À minha supervisora Professora e Doutora Maria Helena Martinho, não só pela
disponibilidade e interesse em acompanhar este trabalho, como também pelas sugestões
pertinentes e estímulos constantes, indispensáveis à sua realização. Em particular, por aquele
dia de Julho de 2014 em que me deu aquele empurrão de que eu estava a precisar.
Ao meu orientador da escola, Mestre Paulo Correia, por me ter aberto as portas da sua
sala de aula, pela sua paciência, pela partilha de ideias e sugestões indispensáveis à
implementação do projeto.
À direção da escola e aos encarregados de educação dos participantes deste estudo, por
me terem concedido as autorizações indispensáveis à sua concretização.
A todos os professores que tive durante a realização do mestrado, por me terem
proporcionado aprendizagens indispensáveis à elaboração deste relatório de estágio.
À psicóloga Daniela Ribeiro, por me ter revisto o questionário e pelas suas sugestões de
melhoria do mesmo.
Aos meus colegas de mestrado e à Cristiana Vieira, pelo companheirismo demonstrado
ao longo destes dois anos.
Às minhas primas pelo apoio constante, em especial à Daniela, por o tempo que dedicou
a ouvir-me, com a sua máxima atenção e compreensão, nos meus momentos de maior
desânimo e frustração.
Às minhas sobrinhas, pelas brincadeiras perdidas.
Aos meus pais e irmãos, por tudo…
Obrigada por me terem estado presentes.
iv
A realização deste mestrado foi apoiada financeiramente por fundos nacionais através da FCT–
Fundação para a Ciência e Tecnologia no âmbito do Projeto LiDEs – a literacia das disciplinas
escolares: Características e desafios para mais engagement e aprendizagem (FCOMP-01-0124-
FEDER-041405 (Refª. FCT, EXPL/MHC-CED/0645/2013)).
v
AS INTERAÇÕES DOS ALUNOS NO TRABALHO DE GRUPO NA APRENDIZAGEM DA GEOMETRIA: UMA EXPERIÊNCIA COM ALUNOS DO 9.º ANO DE ESCOLARIDADE.
Maria Júlia Rodrigues Alves
MESTRADO EM ENSINO DA MATEMÁTICA NO 3.º CICLO DO ENSINO BÁSICO E NO ENSINO SECUNDÁRIO Universidade do Minho, 2014
RESUMO
O presente estudo reveste-se de uma natureza qualitativa, e tem por base dados recolhidos
relativos aos comportamentos naturais dos alunos. Assim, com este estudo, pretende-se
averiguar quais os padrões de interação dos alunos em grupo ao longo da realização de
diferentes tipologias de tarefas, sem a presença do professor, assim como algumas das suas
perceções sobre o trabalho de grupo. Nesse sentido formularam-se as seguintes questões: (1)
Quais os padrões de interação entre os alunos ao longo da realização do trabalho de grupo? (2)
De que forma é que a tipologia de tarefa influencia os padrões de interação no trabalho de
grupo? (3) Quais as perceções dos alunos sobre a importância do grupo para a aprendizagem da
Geometria? (4) Qual a relação entre as perceções dos alunos sobre o trabalho de grupo e a sua
aprendizagem na Geometria? Para o estudo das interações entre os alunos, selecionaram-se três
grupos heterogéneos quanto ao nível de desempenho na disciplina de matemática. Nos três
grupos selecionados colocou-se uma câmara de filmar, gravando-se cada uma das aulas de 90
minutos, posteriormente transcritas. Para este trabalho e para a análise das interações
selecionaram-se dois problemas: uma tarefa exploratória e um exercício. Para averiguar as
perceções dos alunos sobre o trabalho de grupo recorreu-se a um questionário, que também foi
utilizado nas entrevistas realizadas aos alunos. Em termos de resultados obtidos, ao nível do
processo de resolução, constatou-se que nos dois problemas apresentados, houve sempre um
aluno a “dizer como se faz” aos restantes. A tarefa de natureza exploratória favoreceu a
evidência do padrão de colaboração indireta nos três grupos. O padrão de colaboração direta
apenas se evidenciou na tarefa da tipologia exercício, quando os alunos efetuavam
procedimentos simples. Ao nível do resultado, no grupo onde existia um líder explícito, o padrão
evidenciado foi univocal, sendo que foram sempre as ideias do líder a dominar. Nos outros dois
grupos, uma das tarefas de grau de desafio reduzido favoreceu a evidência do padrão multivocal,
tendo a solução sido construída por dois alunos. Relativamente às perceções dos alunos,
verificou-se que tendencialmente os alunos de nível 2 afirmaram não se sentirem confortáveis
para partilhar os seus raciocínios, e que no trabalho de grupo, preferem partilhar as suas ideias
só depois de ouvirem os seus colegas de grupo a discutir e a resolver.
vii
THE INTERACTIONS AMONG STUDENTS IN GROUP WORK IN THE LEARNING OF GEOMETRY: ONE EXPERIMENT WITH 9TH GRADE STUDENTS
Maria Júlia Rodrigues Alves
Masters in Teaching Mathematics in the 3rd Cycle of Basic Education and Secondary Education
University of Minho, 2014
ABSTRACT
The present study has a qualitative nature and has its basis on the data gathered about the
natural behaviours of students. Therefore, this study has the intention of investigating the pattern
of interaction among the students in a group throughout the practice of different types of tasks,
without the presence of a teacher, as well as some of their perceptions about group work. In that
way the following questions were raised: (1) Which are the patterns of interaction among the
students through the practice of group work? (2) In what way does the type of task influence the
patterns of interaction in group work? (3) Which are the perceptions of students about the
importance of the group for the learning of Geometry? (4) What is the relation between the
perceptions of students about group work and their learning in Geometry? For the study of the
interactions among the students, three heterogenic groups regarding level of performance in the
subject of mathematics were chosen. For the three selected groups, a image and audio recording
camera was set so as to record each one of the 90 minute classes, which were then transcribed.
For this study, and for the analysis of interactions, two problems, one exploratory task and an
exercise were selected. To determine the perceptions of the students about group work there was
the resort to a questionnaire, which was also used in the interviews that were done to the
students. In terms of the results that were obtained, regarding the process of resolution, it was
observed that, in both problems presented, there was always a student telling the others “what to
do”. The exploratory task favoured the statement of the pattern of indirect collaboration in the
three groups. The pattern of direct collaboration was only evident in the task of exercise, when
the students carried simple procedures. As for the result, in the group where there was an
explicit leader, the pattern that was determined was univocal, having the ideas of the leader
always prevailed. In the other two groups, one the tasks of a reduce level of challenge favoured
the evidence of the multivocal pattern, having the solution been built by two students. As for the
perceptions of the students it was observed that low ability students stated that they weren’t at
ease to share their reasoning and also that these are the ones that in group work like to listen
more to their group colleagues debating and solving problems, and only then sharing their ideas.
ix
ÍNDICE
LISTA DE SIGLAS E CÓDIGOS..................................................................................... xvii
CAPÍTULO 1 ................................................................................................................. 1
INTRODUÇÃO .............................................................................................................. 1
1.1. Pertinência .................................................................................................... 1
1.2. Objetivo, questões de investigação e organização do trabalho ......................... 3
CAPÍTULO 2 ................................................................................................................. 5
ENQUADRAMENTO TEÓRICO ....................................................................................... 5
2.1. Estratégias de Ensino ........................................................................................ 5
2.2. As diferentes tarefas e o seu contexto ................................................................ 7
2.2.1. Diferentes tarefas ...................................................................................... 7
2.2.2. O Contexto das tarefas ............................................................................. 10
2.3. Trabalho de grupo ........................................................................................... 11
2.4. Interação social ............................................................................................... 13
2.4.1. Diferentes interações ............................................................................... 16
2.4.2. Padrões de interação ............................................................................... 18
CAPÍTULO 3 ............................................................................................................... 23
METODOLOGIA .......................................................................................................... 23
3.1. Observação de contextos ................................................................................. 24
3.1.1. A Escola .................................................................................................. 24
3.1.2. A Turma .................................................................................................. 25
3.1.3. Os grupos ................................................................................................ 26
3.1.4. Seleção dos grupos de participantes ........................................................ 28
3.2. Intervenção e tarefas implementadas .............................................................. 28
3.3. Estratégias de Investigação e Avaliação da Ação. ............................................. 31
x
3.3.1. Produções dos alunos .............................................................................. 31
3.3.2. Observação de aulas ................................................................................ 32
3.3.3. Questionário ............................................................................................ 32
3.3.4. Entrevistas ............................................................................................... 33
3.4. Interações ....................................................................................................... 35
3.4.1. Interações Individuais de alunos em grupo ............................................... 35
3.4.2. Padrões de Interação do alunos em grupo ................................................ 37
CAPÍTULO 4 ............................................................................................................... 43
RESULTADOS ............................................................................................................. 43
4.1. Grupo 1 – André, Celso, Lúcio e Zeca ............................................................. 43
4.1.1. Constituição do Grupo 1 .......................................................................... 43
4.1.2. Interações do grupo 1 na resolução das tarefas ........................................ 44
4.1.3. Interações do Grupo 1 ............................................................................. 63
4.1.4. Perceções dos alunos sobre o trabalho de grupo ...................................... 66
4.2 Grupo 2 – Carmo, Dino, Gui e Hugo ................................................................. 70
4.2.1. Constituição do Grupo 2 .......................................................................... 70
4.2.2. Interações do Grupo 2 na resolução das tarefas ....................................... 71
4.2.3. Interações do Grupo 2 ............................................................................. 81
4.2.4. Perceções dos alunos sobre o trabalho de grupo ...................................... 83
4.3. Grupo 3 – Carlos, Luca, Ricardo e Tadeu ........................................................ 86
4.3.1. Constituição do Grupo 3 .......................................................................... 86
4.3.2. Interações do Grupo 3 na resolução das tarefas ....................................... 87
4.3.3. Interações do grupo 3 .............................................................................. 98
4.3.4. Perceções dos alunos sobre o trabalho de grupo .................................... 101
4.4. Síntese ......................................................................................................... 106
4.4.1. Interações ............................................................................................. 106
xi
4.4.2. Perceções dos alunos sobre o trabalho de grupo .................................... 109
CAPÍTULO 5 ............................................................................................................. 113
CONCLUSÕES, LIMITAÇÕES E RECOMENDAÇOES FUTURAS ................................... 113
5.1. Conclusões ................................................................................................... 113
5.1.1. De que forma é que a tipologia de tarefa influencia os padrões de interação
no trabalho de grupo? Quais os padrões de interação entre os alunos ao longo da
realização do trabalho de grupo? .................................................................................. 113
5.1.2. Quais as perceções dos alunos sobre a importância do grupo para a
aprendizagem da Geometria? Qual a relação entre as perceções dos alunos sobre o
trabalho de grupo e a sua aprendizagem na Geometria? ............................................... 116
5.2. Limitações e Recomendações ....................................................................... 118
BIBLIOGRAFIA .......................................................................................................... 121
ANEXOS ................................................................................................................... 125
ANEXO 1 .................................................................................................................. 126
TAREFAS IMPLEMENTADAS NO ÂMBITO DA INTERVENÇÃO ..................................... 126
ANEXO 2 .................................................................................................................. 128
ENUNCIADO DO PROBLEMA DO TRIÂNGULO ........................................................... 128
ANEXO 3 .................................................................................................................. 130
ENUNCIADO DA TAREFA EXPLORATÓRIA DOS POLÍGONOS ..................................... 130
ANEXO 4 .................................................................................................................. 132
ENUNCIADO DO PROBLEMA DA JUSTIFICAÇÃO ESCRITA E DO EXERCÍCIO COM
RECURSO AO TRANSFERIDOR .............................................................................................. 132
ANEXO 5 .................................................................................................................. 134
PEDIDO DE AUTORIZAÇÃO AO DIRETOR DA ESCOLA PARA PROCEDER À GRAVAÇÃO
ÁUDIO-VISUAL DAS AULAS ................................................................................................... 134
Anexo 6.................................................................................................................... 136
PEDIDO DE AUTORIZAÇÃO AOS ENCARREGADOS DE EDUCAÇÃO DOS PARTICIPANTES
DESTE ESTUDO PARA PROCEDER À GRAVAÇÃO AUDIO-VISUAL DAS AULAS ......................... 136
xii
ANEXO 7 .................................................................................................................. 138
PEDIDO DE AUTORIZAÇÃO AO DIRETOR DA ESCOLA PARA ENTREVISTAR E ÁUDIO-
GRAVAR OS ALUNOS ............................................................................................................ 138
ANEXO 8 .................................................................................................................. 140
PEDIDO DE AUTORIZAÇÃO AOS ENCARREGADOS DE EDUCAÇÃO DOS PARTICIPANTES
DO ESTUDO PARA ENTREVISTAR E ÁUDIO-GRAVAR OS ALUNOS .......................................... 140
ANEXO 9 .................................................................................................................. 142
QUESTIONÁRIO ........................................................................................................ 142
xiii
ÍNDICE DE TABELAS
Tabela 2. 1. Duas perspetivas das tarefas ................................................................... 10
Tabela 2. 2. Diferentes tarefas segundo Smith e Stein (1998) ....................................... 9
Tabela 2. 3. Interações verbais, Webb (1982, 1991) ................................................... 16
Tabela 2. 4. Possível correspondência entre os padrões de interação descritivos e visuais
.............................................................................................................................................. 21
Tabela 3. 1. Projetos no âmbito da matemática desenvolvidos pelos professores de
matemática na escola ............................................................................................................. 24
Tabela 3. 2. Caracterização dos grupos ...................................................................... 27
Tabela 3. 3. Aspetos evidenciados pelos alunos acerca dos seus grupos na última aula
do primeiro período ................................................................................................................ 28
Tabela 3. 4. Sumários das aulas implementadas no âmbito do projeto ........................ 29
Tabela 3. 5. Caracterização das tarefa ........................................................................ 30
Tabela 3. 6. Síntese dos instrumentos de avaliação utilizados para cada questão de
investigação ........................................................................................................................... 35
Tabela 3. 7. Categorias de Interação verbais e não-verbais .......................................... 37
Tabela 3.8. Padrões de interação adotados................................................................. 38
Tabela 4. 1. Padrões de interação evidenciados pelos alunos do grupo 1 ao longo da
realização do problema do triângulo ........................................................................................ 46
Tabela 4. 2. Interações dos alunos do grupo 1 ao longo da realização do problema do
triângulo ................................................................................................................................. 46
Tabela 4. 3. Padrões de interação evidenciados pelos alunos do grupo 1 ao longo da
realização da tarefa exploratória .............................................................................................. 50
Tabela 4. 4. Interações estabelecidas entre os alunos ao nível do processo ................. 51
Tabela 4. 5. Interações estabelecidas entre os alunos ao nível do resultado ................ 52
Tabela 4. 6. Padrões de interação evidenciados pelos alunos do grupo 1 ao longo da
realização da tarefa da justificação escrita ............................................................................... 57
Tabela 4. 7. Interações estabelecidas entre os alunos do grupo 1 ao longo da resolução
do problema da justificação escrita ......................................................................................... 58
Tabela 4. 8. Padrões de interação evidenciados pelos alunos do grupo 1 ao longo da
realização da tarefa, de tipologia exercício ............................................................................... 60
xiv
Tabela 4. 9 Interações dos alunos ao longo da realização do exercício com recurso ao
transferidor ............................................................................................................................. 61
Tabela 4. 10 Interações dos alunos do grupo 1 ao longo da realização das diferentes
tarefas .................................................................................................................................... 64
Tabela 4. 11. Padrões de interação evidenciados pelos alunos do grupo 1 ao longo da
elaboração das diferentes tarefas ............................................................................................ 65
Tabela 4. 12. Padrões de interação evidenciados pelos alunos do grupo 1 ao longo da
elaboração das diferentes tipologias de tarefas ........................................................................ 66
Tabela 4. 13. Percentagem de alunos do grupo 1 segundo as opções de resposta das
escalas de Lickert ................................................................................................................... 68
Tabela 4. 14. Padrões de interação evidenciados pelos alunos do grupo 3 ao longo do
problema do triângulo ............................................................................................................. 72
Tabela 4. 15. Interações entre os alunos do grupo 2ao longo da elaboração do problema
do triângulo ............................................................................................................................ 73
Tabela 4. 16. Padrões de interação dos alunos do grupo 2 ao longo da realização da
tarefa exploratória ................................................................................................................... 75
Tabela 4. 17. Interações dos alnos do grupo 2 ao longo da realização da tarefa
exploratória ............................................................................................................................ 76
Tabela 4. 18. Interações dos alunos do grupo 2 ao longo da realização do problema da
justificação escrita .................................................................................................................. 77
Tabela 4. 19. Interações dos alunos do grupo 2 ao longo da elaboração do problema da
justificação escrita .................................................................................................................. 78
Tabela 4. 20. Interações dos alunos do grupo 2 ao longo da realização das diferentes
tarefas .................................................................................................................................... 81
Tabela 4. 21. Padrões de interação evidenciados pelos alunos do grupo 2 ao longo da
elaboração das diferentes tarefas ............................................................................................ 82
Tabela 4. 22. Padrões de interação evidenciados pelos alunos do grupo 2 ao longo da
elaboração das diferentes tipologias de tarefas ........................................................................ 83
Tabela 4. 23. Percentagem de alunos do grupo 2 segundo as opções de resposta das
escalas de Lickert ................................................................................................................... 85
Tabela 4. 24. Padrões evidenciados pelos alunos do grupo 3 ao longo da elaboração do
problema do triângulo ............................................................................................................. 88
xv
Tabela 4. 25. Interações dos alunos do grupo 3 ao longo da realização do problema do
triângulo ................................................................................................................................. 88
Tabela 4. 26. Padrões evidenciados pelos alunos do grupo 3 ao longo da elaboração da
tarefa exploratória ................................................................................................................... 91
Tabela 4. 27. Interações dos alunos do grupo 3 ao longo da elaboração da tarefa
exploratória ............................................................................................................................ 91
Tabela 4. 28. Padrões de interação evidenciados pelos alunos do grupo 3 ao longo da
elaboração do problema da justificação escrita. ...................................................................... 94
Tabela 4. 29 Padrões de interação evidenciados pelos alunos do grupo 3 ao longo do
exercício com recurso ao transferidor ...................................................................................... 96
Tabela 4. 30 Interações dos alunos ao longo da realização de diferentes tarefas ......... 98
Tabela 4. 31 Padrões evidenciados no grupo 3, na realização de diferentes tipologias de
tarefas .................................................................................................................................... 99
Tabela 4. 32 Padrões de interação evidenciados pelos alunos do grupo 3 ao longo da
elaboração das diferentes tipologias de tarefas ...................................................................... 100
Tabela 4. 33 Percentagem de alunos do grupo 3 segundo as opções de resposta da
escalasde Lickert relativas à importância do grupo para a aprendizagem da Geometria.......... 104
Tabela 4. 34 Padrões de interação evidenciados pelos grupos no Problema do triângulo
............................................................................................................................................ 106
Tabela 4. 35 Padrões de interação evidenciados pelos grupos no Problema da
justificação escrita ................................................................................................................ 106
Tabela 4. 36 Padrões de interação evidenciados pelos grupos na tarefa exploratória dos
poligonos .............................................................................................................................. 107
Tabela 4. 37 Padrões de interação evidenciados pelos grupos no exercício com recurso
ao transferidor ...................................................................................................................... 108
Tabela 4. 38 Padrões evidenciados ao nível do resultado pelos grupos ...................... 109
Tabela 5. 1 Tarefas implementadas no âmbito da intervenção .................................. 127
xvi
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 2. 1 Diferentes fases de uma aula de cunho exploratório. ................................... 6
Figura 2. 2 Zona de Desenvolvimento Proximal. .......................................................... 15
Figura 2. 3 Diferentes cenários que podem surgir no trabalho de grupo. ..................... 19
Figura 3. 1 Sequência de procedimentos seguidos pela professora estagiária. ............. 23
Figura 3. 2 Colaboração Indireta - Resultado Univocal. ................................................ 39
Figura 3. 3 Colaboração semi-direta - Resultado Univocal. ........................................... 40
Figura 3. 4 Colaboração direta e interação oculta - Resultado multivocal. .................... 41
Figura 4. 1 Resolução de Lúcio ao problema do triângulo. ........................................... 45
Figura 4. 2 Resolução de Zeca à tarefa exploratória. ................................................... 49
Figura 4. 3 Resolução de André da tarefa da justificação escrita. ................................. 57
Figura 4. 4 Resolução de Celso ao exercício com recurso ao transferidor .................... 60
Figura 4. 5 Resolução de Carmo ao problema do triângulo. ........................................ 72
Figura 4. 6. Resolução de Dino à tarefa exploratória. ................................................... 74
Figura 4. 7 Resolução de Carmo ao problema da justificação escrita. .......................... 77
Figura 4. 8 Resolução de Dino ao exercício com recurso ao transferidor. ..................... 80
Figura 4. 9 Interação oculta – Respostas aparentemente individuais ........................... 80
Figura 4. 10 Resolução de Carlos ao problema do triângulo. ....................................... 87
Figura 4. 11 Resolução de Luca à tarefa exploratória dos polígonos. ........................... 90
Figura 4. 12 Resposta de Ricardo, ao problema da justificação escrita. ....................... 93
Figura 4. 13 Resolução de Carlos ao exercício com recurso ao transferidor. ................ 96
Figura 4. 14. Respostas dos alunos da turma à questão de escolha múltipla, 1.2, do
questionário. ........................................................................................................................ 110
Figura 4. 15 .Respostas dos alunos ao grupo de questões sobre a importância do grupo
para a aprendizagem da Geometria. ..................................................................................... 111
xvii
LISTA DE SIGLAS E CÓDIGOS
APM Associação de Professores de Matemática.
PMEB Programa de Matemática do Ensino Básico.
NCTM National Council of Mathematics Teacher.
ME Ministério da Educação.
ZDP Zona de Desenvolvimento Proximal.
E8_AG1 Utiliza-se o código E8_AG1 quando se apresenta o episódio
número 8 (E8), ocorrido em sala de aula (A), do grupo 1 (G1).
E9_EG2 Utiliza-se o código E9_EG2 quando se apresenta o nono
episódio (E9), ocorrido em entrevista (E), do grupo 2 (G2).
Questão específica (2) Utiliza-se o código Questão específica (2) para representar
duas ocorrências da interação da categoria Questão
específica.
1
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
1.1. Pertinência
O presente estudo resultou da observação da prática pedagógica das aulas decorridas
com os alunos organizados em grupo, do professor titular da turma do 9º ano de escolaridade,
no ano letivo de 2012/2013.
O trabalho de grupo é uma das formas de organização em sala de aula, em que os
alunos se encontram próximos uns dos outros, e em número suficiente de modo a que cada um
deles tenha a oportunidade de participar na elaboração da tarefa (Cohen, 1994). A matemática
tem sido caraterizada como uma atividade individual isolada porém no mundo atual de trabalho
é quase um requisito saber trabalhar em equipa (NCTM, 2001, p. ix). Nesse sentido, a utilização
desta técnica na sala de aula permite que os alunos desenvolvam as suas competências de
trabalho em equipa de modo a poderem utilizá-las na vida adulta, quando ingressarem no
mercado de trabalho (Cohen, 1994).
Neste tipo de aulas, o professor deixa de ter um papel de mero fornecedor de
informação e passa a ser também um “organizador das atividades, um facilitador da
aprendizagem, um dinamizador do trabalho de grupo, um companheiro da descoberta” (APM,
2009b, p. 54). Este novo papel constitui um desafio para o professor em início de carreira, uma
vez que enquanto aluno, pode não ter vivenciado essa forma de trabalho na maioria das suas
aulas (APM, 2009b). Acerca deste tipo de aulas, Mandel (2003) refere que o professor pode
também ter de gerir conflitos entre alunos do mesmo grupo. De facto dar aos alunos a
oportunidade de trabalhar em grupo proporciona-lhes não só a oportunidade para desenvolver as
suas capacidades sociais como também as comunicação (NCTM, 2004 & Cohen, 1994).
Foi no decorrer da observação da prática pedagógica que se tornaram evidentes
diferentes interações presentes na sala de aula, como por exemplo, as interações entre professor
e aluno, professor e grupo, professor e turma, aluno e turma, grupo e turma, bem como os seus
simétricos (Martinho, 2007). Acerca do estudo das interações entre os alunos, César, Torres,
Caçador e Candeias (1998) afirmam:
Estudar as interações que se estabelecem na sala de aula e perceber os mecanismos em jogo afigura-se um aspeto cada vez mais essencial para
2
conseguirmos combater de forma mais eficaz a rejeição que alguns alunos apresentam em relação a esta disciplina e o insucesso escolar que a ela tem estado associado (p. 74).
Numa sala de aula, onde os alunos se encontram organizados em grupo, evidenciam-se
ainda as interações entre alunos do mesmo grupo e as interações entre alunos de grupos
diferentes. As interações entre alunos do mesmo grupo ocorridas sem a presença do professor
durante a realização de uma tarefa são as estudadas no presente trabalho. De facto, colocar
simplesmente os alunos em grupo permitindo que interajam ao longo da elaboração da(s)
tarefa(s) proposta(s) pode não significar maximizar as suas oportunidades de aprendizagem
(Johnson & Johnson, 1994). Do mesmo modo que os alunos podem facilitar a aprendizagem
uns dos outros, podem também dificultá-la ou até ignorarem-se (Johnson & Johnson, 1994).
Segundo Cohen (1994), diferentes comportamentos podem emergir por parte dos alunos na
realização do trabalho de grupo, como por exemplo: colocar questões, pedir a opinião uns dos
outros, mostrar “como se faz”. Contudo, há uma tendência para cada aluno se focar naquilo que
ele próprio diz, e não ouvir ou refletir sobre aquilo que o seu colega de grupo tenha dito (Cohen,
1994).
Este estudo incide num dos quatro grandes temas do Programa de Matemática do
Ensino Básico (PMEB) (Ponte, et al., 2007), a Geometria. A Geometria ganhou mais peso no
PMEB e de facto esta “proporciona um meio de descrição, análise e compreensão do mundo e
da beleza visual das suas estruturas”(NCTM, 2004, p.365). Não só constitui um tema
fundamental para a aprendizagem dos alunos como também um grande desafio para o
professor de ensinar (Sinclair, Pimm, & Skelin, 2012).
Tal como o PMEB (Ponte et al., 2007) refere:
A Geometria está presente nos três ciclos e tem como ideia central o desenvolvimento
do sentido espacial dos alunos. O estudo das figuras geométricas bi e tridimensionais continua a
ter um papel importante neste tema. Este estudo começa no 1ºciclo, no 2º ciclo os alunos já são
chamados a relacionar propriedades geométricas e no 3º ciclo surgem situações de raciocínio
hipotético-dedutivo proporcionando aos alunos um primeiro contacto com este modo de
pensamento (p. 7).
A Geometria tem sido um dos temas que mais aversão tem provocado. Os alunos
queixam-se de que não compreendem, não gostam e é demasiado abstrato (Serrazina & Matos,
1988). Algumas dificuldades dos alunos são apontadas por alguns autores. Por exemplo,
Laborde (1993), citado em Rodrigues (2000), considera que muitas “dificuldades dos alunos na
3
aprendizagem da Geometria residem no facto de os mesmos trabalharem com desenhos
materiais quando se espera que trabalhem com figuras ou com descrições de figuras, e de
fazerem interpretações (desses desenhos) diferentes das pretendidas pelo professor” (p. 8).
Nas orientações metodológicas para o ensino da Geometria no 3.º ciclo, no PMEB
(Ponte, et al., 2007), pode-se ler que os alunos devem ter a possibilidade de explorar conceitos e
propriedades geométricas numa lógica de resolução de problemas. Também é referido que
devem usar materiais tais como régua, esquadro, compasso e transferidor. O recurso à
tecnologia, mais especificamente aos programas de geometria dinâmica também é aconselhado,
em particular, “usando software de geometria dinâmica, os alunos podem, rapidamente, gerar e
explorar vários exemplos geométricos” (NCTM, 2004, p. 368)
1.2. Objetivo, questões de investigação e organização do trabalho
Uma das possíveis dificuldades do professor em aulas de trabalho em grupo para
resolução de tarefas, é o desconhecimento do que cada grupo faz na sua ausência (Martinho,
2007). Como interagem os alunos em grupo é uma questão importante, para se estar
consciente do que pode acontecer no trabalho em grupo, e para consequentemente poder atuar
de modo a serem maximizadas as aprendizagens dos alunos. Com este estudo, pretende-se
estudar as interações dos alunos em grupo nas ausências do professor e na aula de
matemática, de modo a tentar compreender como interagem na realização do trabalho de grupo
na aprendizagem da Geometria. Pretende também estudar-se a influência da tipologia das
tarefas nas interações entre os alunos, bem como averiguar algumas das perceções dos alunos
sobre o trabalho de grupo. Nesse sentido, dar-se-á resposta às seguintes questões:
(i) Quais os padrões de interação entre os alunos ao longo da realização do
trabalho de grupo?
(ii) De que forma é que a tipologia de tarefa influencia os padrões de interação no
trabalho de grupo?
(iii) Quais as perceções dos alunos sobre a importância do grupo para a
aprendizagem da Geometria?
(iv) Qual a relação entre as perceções dos alunos sobre o trabalho de grupo e a sua
aprendizagem na Geometria?
De modo a dar resposta a estas quatro questões de investigação, estruturou-se este
trabalho em 5 capítulos.
4
No primeiro capítulo - Introdução – apresenta-se a pertinência do estudo, os objetivos e
questões de investigação, e a estrutura do trabalho. O segundo capítulo – Enquadramento
teórico – apresentam-se quatro secções: estratégias de ensino, as diferentes tarefas e o seu
contexto, o trabalho de grupo e a interação social. No terceiro capítulo - Metodologia - encontra-
se dividido em três secções: Na primeira secção é apresentada a Observação de contextos,
descrevendo a escola onde foi realizada a intervenção, a turma, os grupos de alunos em que a
turma se encontrava dividida antes da intervenção, e justifica-se a seleção de três dos seis
grupos da turma para a realização deste estudo. Na segunda secção, apresenta-se a intervenção
e as tarefas implementadas que, durante a sua realização, foram estudadas as interações dos
alunos. Na terceira e última secção, apresentam-se as estratégias de investigação da ação. O
quarto capítulo – Resultados - encontra-se dividido em quatro secções: As primeiras três secções
correspondem a cada um dos três estudos de caso. Assim, na secção 1 apresenta-se o grupo 1,
e o resultado da análise das interações dos alunos ao longo da realização do trabalho de grupo e
de diferentes tipologias de tarefas, assim como as perceções dos alunos sobre o trabalho de
grupo recolhidas através do questionário. Nas secções 2 e 3 apresentam-se os mesmos dados
relativos aos grupos 2 e 3. No quinto – Conclusão- e último capítulo interpretam-se os principais
resultados, apresentando ainda as limitações deste estudo e as recomendações para
investigações futuras.
5
CAPÍTULO 2
ENQUADRAMENTO TEÓRICO
No presente capítulo faz-se um enquadramento teórico. Este enquadramento teórico
surge como uma necessidade prévia de definir não só as metodologias de ensino e
aprendizagem utilizadas ao longo da intervenção como também alguns conceitos que se
utilizarão nas linhas seguintes.
Este capítulo encontra-se dividido em 4 secções. Na primeira secção, Estratégias de
ensino dá-se especial atenção ao ensino-aprendizagem exploratório, estratégia utilizada durante
a intervenção. Na segunda secção, As diferentes tarefas e o seu contexto, são expostas
diferentes tipologias de tarefas, níveis de exigência e o seu contexto. Na terceira secção, é
abordada a questão do trabalho de grupo, e a última secção é dedicada às interações sociais.
2.1. Estratégias de Ensino
A planificação de uma unidade não se resume à seleção de tarefas pressupondo, entre
outras, a definição de uma estratégia de ensino onde não só se refere qual a atividade do
professor e do aluno como também se estabelece um período de tempo para a sua
concretização (Ponte, 2005).
Ponte (2005), distingue duas estratégias básicas de ensino: “ensino direto” e “ensino-
aprendizagem exploratório”. No “ensino direto”, o professor assume o papel principal como
elemento que fornece informação tentando que esta seja transmitida de um modo “claro,
sistematizado e atrativo” (Ponte, 2005, p. 12).
No “ensino-aprendizagem exploratório”, estratégia de ensino adotada nesta intervenção,
o professor procura não explicar tudo deixando uma parte importante do trabalho de descoberta
e de construção de conhecimento para os alunos realizarem a partir de tarefas (Ponte, 2005).
Este tipo de estratégia não pressupõe que os alunos descubram sozinhos as ideias matemáticas
que devem aprender, nem que inventem conceitos, mas sim que os alunos os possam ver surgir
com significado a partir da resolução de tarefas (Canavarro, 2011). Trata-se de tarefas “para as
quais os alunos não dispõem de métodos de resolução imediata e têm de inventar as suas
próprias estratégias, mobilizando conhecimentos e capacidades anteriormente desenvolvidas”
(Ponte, Nunes, & Quaresma, p. 8). Pretende-se que seja uma forma de trabalho dominante na
6
sala de aula, podendo os alunos ocasionalmente realizar outro tipo de tarefas para consolidação
das aprendizagens (Ponte, 2005).
Ponte, Nunes e Quaresma (s.d.) referem que este tipo de aulas incluem quatro fases, a
saber: (1) apresentação da tarefa, (2) trabalho autónomo dos alunos, (3) discussão coletiva com
toda a turma e (4) síntese. Na figura 2.1, adaptada de Ponte e Serrazina (s.d), evidenciam-se as
diferentes fases de uma aula de cunho exploratório.
Apresen- --tação Trabalho dos alunos Discussão Síntese
final
Figura 2. 1 Diferentes fases de uma aula de cunho exploratório.
De notar, na figura 2.1, que o momento da aula correspondente ao trabalho dos alunos
na resolução da tarefa representa uma parte significativa do tempo da aula, assim como o
momento de discussão com toda a turma das aprendizagens sistematizadas em sala de aula.
A primeira fase corresponde à apresentação da tarefa que se pretende que seja curta
(Ponte, Nunes & Quaresma, s.d.) e motivadora de tal modo que o aluno se sinta com vontade de
a realizar (Ponte, Quaresma, & Branco, 2012). Ponte, Nunes e Quaresma (s.d.) salientam ainda
que “é muito importante que os alunos compreendam a tarefa proposta e, por isso, se existirem
termos que eles não conheçam, estes devem ser desde logo analisados” (Ponte, Nunes, &
Quaresma, p. 9). Contudo, deve-se ter cuidado na apresentação da tarefa de modo a não
fornecer demasiada informação aos alunos baixando desse modo o grau de dificuldade (Stein &
Smith 1998). Não obstante, o modo como se descreve a tarefa influência não só o desempenho
dos alunos como também as estratégias a que estes recorrem para a sua resolução (César,
2003).
Numa segunda fase, os alunos trabalham na tarefa proposta. Algumas dessas situações
em que os alunos trabalham na resolução da tarefa serão analisadas neste trabalho. Nesta fase
da aula, o professor deve circular pela sala, monitorizando o trabalho dos alunos. Smith e Stein
(2012) referem que a monitorização é o processo de prestar atenção ao pensamento dos alunos
durante a aula, como eles trabalham ao longo da realização da tarefa assim como da
abordagem que fazem e sempre que haja dúvidas ter o cuidado de não resolver a tarefa mas
7
colocar questões que ajudem os alunos a progredir na sua resolução. Neste processo, de
monitorização, o professor pode identificar os alunos que ajudem a promover a discussão final.
Numa terceira fase realiza-se uma discussão geral em diálogo com toda a turma. Ponte,
Nunes e Quaresma (s.d.) consideram que a fase da aula correspondente à discussão coletiva é
muito importante pois “é refletindo sobre o trabalho feito – o seu e o dos colegas –,
confrontando as suas ideias com as dos outros, argumentando e analisando argumentos, que os
alunos aprofundam e consolidam a sua aprendizagem” (p. 9). Por sua vez, Smith e Stein (2011)
referem que uma discussão coletiva de qualidade fornece um apoio à aprendizagem dos alunos
ajudando-os a aprender a comunicar as suas ideias, a partilhar com toda a turma os seus
raciocínios e a encorajar os alunos a avaliar as suas próprias ideias e as ideias dos colegas. As
autoras referem que o professor pode convidar os alunos, previamente selecionados no processo
de monitorização, a partilhar as suas resoluções com toda a turma. Após a seleção dos alunos, o
professor deve, fazer escolhas, acerca da sequência de apresentação dessas resoluções. Por
exemplo, o professor pode querer começar por apresentar uma estratégia mais concreta e
mover a discussão para estratégias mais abstratas (Smith & Stein, 2011).
Por fim, segue-se a fase de síntese para sistematização das aprendizagens conduzidas
em sala de aula, onde o aluno deve ser chamado a ter um papel ativo (Ponte, Nunes, &
Quaresma, s.d.). O professor deve ajudar os alunos a conectarem as suas estratégias com as
estratégias dos seus colegas assim como focar os conceitos fundamentais da aula (Smith &
Stein, 2011).
2.2. As diferentes tarefas e o seu contexto
2.2.1. Diferentes tarefas
A seleção das tarefas a propor aos alunos constitui um dos momentos fundamentais do
trabalho do professor (Ponte & Sousa, 2010). Segundo Lappan, Smith e Jones (2011) nem
todas as tarefas possuem o mesmo potencial de aprendizagem. Para Stein e Smith (1998), uma
boa tarefa é uma tarefa que, tendo em conta a idade dos alunos, o nível de escolaridade, as
suas experiências prévias e os seus conhecimentos prévios, permite que os alunos se envolvam
num elevado nível de raciocínio. Assim, a seleção das tarefas é um fator importante a ter em
conta para o professor proporcionar experiências significativas aos alunos na sala de aula.
Ponte (2005) distingue os tipos de tarefas matemáticas consoante o seu grau de desafio
e o seu grau de estrutura. O grau de desafio “relaciona-se de forma estreita com a perceção da
8
dificuldade de uma questão” (Ponte, 2005, p. 7) podendo variar entre um grau de desafio
reduzido e um grau de desafio elevado. O grau de estrutura varia entre “aberto” e “fechado”
(Ponte, 2005). Numa tarefa de estrutura fechada, é dito claramente o que é dado e o que
pretende que se faça, enquanto uma tarefa aberta “comporta um grau de indeterminação
significativo no que é dado, no que é pedido, ou em ambas as coisas” (Ponte, 2005, p. 8).
Cruzando estas duas dimensões, grau de desafio e o grau de estrutura, obtemos 4 tipos de
tarefas: explorações (tarefas abertas e relativamente fáceis), investigações (tarefas abertas com
grau de desafio elevado), exercícios (tarefas fechadas e de desafio reduzido) e problemas (tarefas
fechadas e de desafio elevado). Os exercícios têm um lugar muito próprio no ensino da
matemática, servindo para o aluno consolidar os conhecimentos adquiridos anteriormente
(Ponte, 2005). No entanto a linha que separa os exercícios dos problemas nem sempre é nítida.
Segundo a APM (2009a) “um problema pode ser definido como uma questão para a qual o
aluno não dispõe de um processo ou algoritmo que ele sabe previamente que vai conduzir à
solução” (p. 34), ocupando estes um lugar privilegiado no ensino da matemática, enquanto num
exercício o aluno dispõe de um processo imediato para o resolver. A diferença entre explorações
e investigações está no grau de desafio, sendo que uma investigação apresenta um grau de
desafio mais elevado (Ponte, 2005) do que uma exploração. As explorações favorecem a
formulação de conjeturas que é uma etapa muito importante da experiência matemática (APM,
2009b).
Por sua vez, Stein e Smith (1998) classificam as tarefas por níveis de exigência: nível de
exigência reduzido (memorização e procedimentos sem conexões) e nível de exigência elevado
(procedimentos com conexões e fazendo matemática). Estas autoras apresentam uma lista de
características das tarefas, para cada nível de exigência cognitiva, que serve de modelo para a
classificação das diferentes tarefas matemáticas. Na tabela 2.1, apresentam-se algumas das
características, resumidas, apresentadas por Stein e Smith (1998), assim como um exemplo
selecionado por mim relativamente ao tópico de geometria. Os exemplos apresentados foram
adaptados do manual escolar “Pi-Matemática 9.º ano” (Cerqueira, Fidalgo, & Louçano, 2012)
adotado pela escola onde foi efetuada a intervenção pedagógica supervisionada.
.
9
Tabela 2. 1. Diferentes tarefas segundo Stein e Smith (1998) Nível de exigência reduzido Nível de exigência elevado
Memorização Procedimentos sem conexão Procedimentos com conexões Fazer matemática
Envolve a reprodução de
fórmulas, definições ou regras
previamente aprendidas;
Não se pode resolver
utilizando um procedimento porque
o que é pedido nem pressupõe a
utilização de um procedimento;
Sem ambiguidade. É
dito claramente aquilo que se
pretende que o aluno faça;
Sem conexão aos
conceitos ou significado subjacente
ao que está a ser pedido
(reproduzido).
Exemplo:
Como se calcula a
medida da amplitude de um ângulo
externo de um polígono regular
com 𝑛 lados?
Uso de procedimentos
padronizados como por exemplo algoritmos
ou regras de cálculo.
Não requer muitas habilidades
por parte do aluno para a sua resolução.
Ligeira ambiguidade acerca do
que tem de ser feito e como deve ser feito.
Não existe relação aos conceitos
ou significados subjacentes ao
procedimento em utilização.
Não é exigida qualquer
justificação.
Exemplo:
Calcula a medida da amplitude
dos ângulos externos de um pentágono
regular.
Foca a atenção do aluno na utilização de um procedimento
tendo por objetivo desenvolver níveis mais profundos de compreensão
de conceitos matemáticos e ideias;
Sugere implícita ou explicitamente que o aluno efetue um
determinado procedimento seguindo um conjunto de passos;
Geralmente recorrem ao uso de diagramas visuais,
materiais manipuláveis, símbolos ou situações-problema reais.
Requer por parte do aluno algum esforço cognitivo embora
haja um procedimento a ser seguido este não pode ser seguido de
qualquer maneira. Os alunos precisam de compreender as ideias e
conceitos matemáticos subjacentes à sua resolução da tarefa para a
completarem com sucesso desenvolvendo desse modo a sua
compreensão no tópico em estudo.
Exemplo:
Na figura apresenta-se parte de um polígono regular com 𝑛
lados, podendo verificar-se que a amplitude do seu ângulo interno é
(𝑥2 − 2360)° e a amplitude do seu ângulo externo é (𝑥 + 10)°.
Determina 𝑛.
Requer um raciocínio complexo e
não- algorítmico -- imprevisível a solução, não
memorizada sem passos explícitos.
Requer que os alunos explorem e
compreendam a natureza matemática dos
conceitos, processos e relações.
Exigência de auto-monotorização e
autorregulação do seu próprio raciocínio.
Requer que os alunos mobilizem os
seus conhecimentos e experiencias e os
conjuguem para a resolução da tarefa.
Requer que os alunos analisem a
tarefa de modo a identificar quer as estratégias
quer as soluções que podem limitar a
resolução do problema.
Exemplo:
Inventa uma situação da vida real
cuja resolução possa ser a seguinte.
10
Cruzando estas duas perspetivas de categorização das tarefas, a de Ponte (2005) e a de
Stein e Smith (1998), os exercícios parecem corresponder a tarefas de nível de exigência
reduzido e as demais tipologias de tarefas apresentadas por Ponte (2005), problemas,
investigações e explorações, parecem corresponder a tarefas com um nível de exigência elevado
(Stein & Smith 1998). Na tabela 2.2, apresenta-se uma possível correspondência entre as
diferentes tarefas apresentadas pelos diferentes autores acima referidos.
Tabela 2. 2. Duas perspetivas das tarefas
Ponte Stein e Smith
Exercícios
(estrutura fechada e desafio reduzido)
Nível de exigência reduzido
(memorização e procedimentos sem
conexões)
Problemas
(estrutura fechada, desafio elevado)
Explorações
(estrutura aberta, desafio reduzido)
Nível de exigência elevado
(procedimentos com conexões e
fazer matemática)
Investigações (estrutura aberta,
desafio elevado)
2.2.2. O Contexto das tarefas
Outra dimensão importante das tarefas é o seu contexto. Ponte e Quaresma (2012)
entendem por contexto da tarefa o universo experimental associado a cada tarefa podendo este
remeter para um campo da vida quotidiana, que pode ser mais ou menos familiar ao aluno ou
remeter para um universo matemático. Estes autores argumentam que os alunos devem
trabalhar em vários contextos. Assim, “os polos aqui são as tarefas enquadradas num contexto
da realidade e as tarefas formuladas em termos puramente matemáticos” (Ponte, 2005, p.10).
Nesse sentido, uma tarefa, independentemente de se tratar de um exercício, problema,
exploração ou investigação pode ser formulada em diferentes contextos Skovsmose (2000)
distingue três tipos de contextos em que as tarefas podem ser formuladas: (1) realidade, (2)
semirrealidade e (3) matemática pura. Para este autor as situações reais são extraídas
diretamente da realidade. Uma tarefa elaborada num contexto real pode conter, por exemplo,
um diagrama que represente a situação real do desemprego, como parte da tarefa, e a outra
11
parte da tarefa pode conter questões elaboradas a partir do diagrama. Numa tarefa elaborada
num contexto de semirrealidade é descrita uma situação, que não é retirada diretamente da
realidade é antes uma simulação da mesma, sendo que nenhuma outra informação é relevante
para a sua resolução.
Tal como referem Ponte e Quaresma (2012) as situações de semirrealidade são
artificiais e inventadas com o propósito de levar o aluno a praticar determinados conhecimentos
e não representam situações retiradas do dia-a-dia dos alunos. Contudo, a grande maioria das
tarefas apresentadas nos manuais escolares são elaboradas num contexto de semirrealidade
(Ponte & Quaresma, 2012).
O Programa de Matemática do Ensino Básico (PMEB) (ME, 2007), sublinha a
importância da diversificação das tarefas: “as tarefas propostas aos alunos devem incluir, de
forma equilibrada, a resolução de problemas e a exploração de investigação de situações
numéricas, bem como exercícios destinados a consolidar aspetos rotineiros da aprendizagem
dos números e operações (…)” (p. 48). Relativamente à natureza das tarefas em geometria,
Abrantes (1999) refere que a geometria parece ser uma área da matemática escolar propícia à
realização de tarefas de natureza exploratória e investigativa. Estas últimas considerações foram
tidas em conta na seleção das tarefas para a intervenção. Assim, para cada aula foi elaborada
uma sequência de tarefas que contemplava tarefas com nível de exigência elevado, que iam ao
encontro dos objetivos de aprendizagem da aula, e outras tarefas de nível de exigência baixo
(Smith & Stein 1998).
2.3. Trabalho de grupo
Na literatura existem diferentes definições do termo grupo sendo que cada uma delas
atende a diferentes especificidades (Artzt & Armour-Thomas, 1992) como por exemplo, número
de elementos do grupo, interdependência e motivação.
Johnson e Johnson (2009) apresentam algumas definições de grupo. Numa delas é
definido o número mínimo de elementos que um grupo pode ter, dois. No entender de Cohen
(1994), o número de elementos ideal de um grupo é de 4 ou 5. Ainda segundo a mesma,
grupos com mais de 5 elementos têm problemas de interação, enquanto nos grupos com 3
elementos há a tendência para 2 deles deixarem o terceiro isolado. Uma definição muito simples
que Johnson e Johnson (2009) apresentam, corresponde a definir um grupo como um conjunto
de indivíduos que se juntam para atingir um objetivo. Outros autores definem grupo numa
perspetiva de interdependência definindo um grupo como uma coleção de indivíduos que são de
12
algum modo interdependentes. Assim, de acordo com esta definição, um conjunto de indivíduos
só forma um grupo se o que afetar um dos elementos do grupo afetar todos. Interdependência
positiva é a perceção de que cada um de nós está ligado aos outros e que cada um de nós não
pode ter sucesso sem que os nossos colegas de grupo o tenham (Johnson & Johnson, 2009).
Nesta perspetiva o trabalho de cada um dos elementos do grupo beneficia de cada um dos
restantes membros. A interdependência positiva, pode ser entendida como consciência que cada
um de nós é um elemento fundamental no nosso processo de conhecimento e no processo de
conhecimento dos nossos colegas de grupo.
O trabalho de grupo é uma das formas de organização dos alunos em sala de aula para a
aprendizagem da matemática. Contudo, para tirar partido do trabalho de grupo é necessário que
esta prática não seja vista como um ato isolado, mas seja parte integrante da sala de aula, e os
resultados de investigação na área dever ser tidos em conta (Elsevier, 2003). Nesse sentido, as
aulas de matemática da turma deste estudo, e de todas as turmas do professor titular da
referida turma, decorreram sempre com os alunos organizados em grupo.
Johnson e Johnson (2009) referem que os alunos em grupo devem estar sentados de
maneira a que cada aluno consiga ver os demais elementos do grupo e de tal modo que se
oiçam mutuamente sem necessidade de falarem alto, incomodando dessa forma os restantes
grupos presentes na sala de aula. Referem ainda que, os diferentes grupos devem estar
devidamente distanciados uns dos outros na sala de aula.
Com este modo de organização dos alunos em sala de aula os alunos e o professor
assumem diferentes papéis. Tal como se afirma em APM (APM, 2009b)“dar aos alunos a
oportunidade de trabalhar em pequeno grupo é permitir-lhes expor as suas ideias, ouvir as dos
seus pares, pôr questões, discutir, estratégias e soluções, argumentar, criticar os argumentos
alheios” (p. 50). Assim, o papel do aluno no grupo consiste em: expor ideias, ouvir as ideias dos
outros, apresentar dúvidas e questões, discutir resultados, argumentar e criticar argumentações
(Abrantes, 1994). Com esta forma de organização dos alunos, o professor terá de lidar com
diferentes ritmos de aprendizagem dos diversos grupos uma vez que estes não fazem o mesmo
ao mesmo tempo. Decidir qual o momento mais oportuno para interromper o trabalho dos
alunos ou para fazer uma discussão ou síntese com toda a turma pode não ser uma decisão
fácil, requerendo alguma reflexão e experiência por parte do professor (Abrantes, 1994). Assim,
esta tomada de decisão de articular o trabalho de grupo com a discussão com toda a turma
13
implica também, por parte do professor, uma capacidade de gerir o tempo dedicado às várias
formas de trabalho na sala de aula (Abrantes, 1994) .
O trabalho de grupo na sala de aula “é ainda justificado com base na ideia de que as
capacidades de ordem superior têm origem e se desenvolvem na interação entre os indivíduos”
(Abrantes, 1994, p. 170) e o professor deve encorajar essa interação dos alunos em grupo. Nas
linhas que se seguem apresenta-se e desenvolve-se o tema das interações sociais.
2.4. Interação social
Numa primeira pesquisa num dicionário de ciências da educação (Santillana, 1983),
interação educativa é definida como uma ação recíproca que se mantém, no mínimo entre duas
pessoas com o propósito de estas se influenciarem positivamente. Assim, a interação educativa
é a relação dinâmica que se mantém ou entre o professor e um grupo de alunos ou entre
alunos. Ainda no mesmo dicionário é definida interação verbal como a relação que se mantém
ou entre o professor e os alunos ou entre alunos através da expressão oral. Martinho (2007)
define interação como “a dinâmica do processo comunicativo” (p. 21). Esta autora, ao longo do
seu estudo entende comunicação como “um processo social onde os participantes interagem de
modo a trocar informações influenciando-se mutuamente” (p. 15). A comunicação é muito
importante no trabalho de grupo uma vez que sem ela o trabalho de grupo não existe (Johnson
& Johnson, 2009). Nesse sentido, cada aluno deve ser capaz de enviar mensagens que
representem as suas ideias, raciocínios e opiniões. Da mesma forma, cada aluno deve ser capaz
de receber as mensagens de maneira a dar sentido às palavras do colega. É através deste
processo de enviar e receber mensagens que os alunos alcançam os seus objetivos, partilham
as suas ideias, dúvidas sobre como devem proceder para se acompanharem mutuamente e se
ajudarem uns aos outros. Tendo por base as definições referidas ao longo deste trabalho,
entende-se interação como uma ação que se mantém no mínimo entre duas pessoas em que há
transferência de informação, e em que esta transferência de informação influenciou ou influencia
pelo menos uma das pessoas. A referida transferência de informação pode ocorrer através da
comunicação verbal (interação verbal) ou não verbal (observar a resolução da tarefa de um
colega).
Ainda com base no conceito de interação Johnson e Johnson (2009), apresentam uma
possível definição de grupo que consiste em defini-lo como um número de indivíduos que
interagem uns com os outros. De acordo com os autores, esta definição de grupo implica que
este só exista se houver interação entre os indivíduos. Foi esta definição de grupo que foi
14
adotada ao longo deste trabalho. Assim, considera-se que um grupo é um conjunto formado por
3 ou 4 alunos que interagem uns com os outros.
Martinho (2007) refere que uma das possibilidades para caracterizar as diferentes
interações na sala de aula é “cruzar os diferentes intervenientes e considerar todos os pares
emergentes, isto é, interação entre professor-aluno, professor-grupo, professor-turma, aluno-
grupo, aluno-turma, grupo-turma, bem como os seus simétricos” (p. 21). Ao longo deste trabalho
apenas serão referidas as interações entre alunos, mais especificamente as interações entre
alunos do mesmo grupo, tendo por base que a interação aluno-aluno/grupo “tem lugar quando
dois ou mais alunos interagem sem a intervenção do professor” (Martinho, 2007, p. 30).
Segundo a APM (2001), “ambientes caracterizados pela interação dos alunos
contribuem para a assimilação de conceitos, uma vez que os obriga a defender os seus pontos
de vista face a desafios propostos pelos seus colegas” (p. ix). Uma outra vantagem das
interações sociais é que estas permitem utilizar os outros como fontes de pesquisa e partilhar os
nossos raciocínios, construindo em conjunto novas aprendizagens (Smith & Stein, 2012).
A teoria de Vygotsky é tida como um quadro de referência teórico em muitos estudos
sobre interações sociais na aprendizagem da matemática. A sua abordagem teórica “baseia-se
numa metodologia não muito rigorosa, mas extremamente inovadora, que lhe permite observar
os processos complexos de uma forma dinâmica levando-o a compreender como se
desenvolvem as nossas capacidades superiores, como o pensamento e a linguagem” (César,
1996, pp. 135,136).
Segundo César (2003), o indivíduo possui uma série de capacidades que já se
encontram plenamente desenvolvidas e que constituem o que se designa por “desenvolvimento
real” e que o indivíduo pode utilizar a qualquer momento quando trabalha individualmente. A
autora afirma:
O sujeito possui também um desenvolvimento potencial, constituído por aptidões em
fase de amadurecimento, que ele consegue utilizar com o auxílio de pares mais competentes, ou
seja, quando trabalha em interação. Deste modo, a ZDP (Zona de Desenvolvimento Proximal)
seria a distância que mediava entre o desenvolvimento real e o desenvolvimento potencial e era
precisamente nesta zona que seria aconselhável que os professores trabalhassem com os seus
alunos (César, 2003, pp. 9,10).
Nesta perspetiva, o professor poderia exercer o papel de par mais competente, ajudando
o aluno a aprender mais do que ele poderia aprender sozinho, e uma vez que para este autor o
15
desenvolvimento é função da aprendizagem, “os professores estariam deste modo a contribuir
para o desenvolvimento dos seus alunos” (César, 2003, p. 9).
Fontes e Freixo (2004) referem que a ZDP “é um espaço teórico que se origina pela
interação entre o professor (ou o par mais capaz) e o aluno, em função do conhecimento sobre a
tarefa a ser realizada e dos saberes e recursos utilizados pelo professor” (p. 18) . Uma
interpretação das palavras das autoras pode ser vista na figura 2.2.
Figura 2. 2 Zona de Desenvolvimento Proximal.
Assim, e na perspetiva das autoras, o trabalho que é realizado pelo aluno na presença
do professor ou de um colega mais capaz pode ser realizado no futuro pelo aluno, sem
necessitar de ajuda.
Contudo, César (1996) refere que estudos recentes elaborados por alguns
investigadores que se apoiam na teoria de Vygotsky, demonstram que o conceito de zona de
desenvolvimento proximal é mais amplo do que este autor tinha previsto. Os alunos progridem
não só quando interagem com um aluno cognitivamente mais capaz do que ele, como também
quando interagem com alguém menos capaz do que ele (César, 1996). Nesse sentido, “esta
dimensão social da construção do conhecimento é ainda mais nítida, uma vez que a interação
social gera processos cognitivos e uma melhor apreensão dos saberes e competências” (César,
1996, p. 136).
ZDPotencial
ZDPróximal
ZDReal
16
2.4.1. Diferentes interações
Webb (1982, 1991) categoriza as interações verbais, que considera em duas
subcategorias: dar ajuda e receber ajuda. Assim, se um aluno explica a outro, o primeiro está a
dar ajuda e por sua vez, o outro está a receber ajuda. Destacam-se algumas das interações
evidenciadas por esta autora na tabela 2.3.
Tabela 2. 3. Interações verbais, Webb (1982, 1991)
Categoria Descrição
Explicar
Este tipo de ajuda consiste numa descrição de como resolver uma tarefa.
Trata-se de uma descrição de como se deve resolver a tarefa ou uma parte
da tarefa, o que inclui alguma elaboração do processo de obtenção da
solução.
Sem explicar
Este tipo de ajuda consiste ou numa resposta curta sem qualquer
elaboração de como se obtém a solução, ou numa informação acerca dos
procedimentos a utilizar.
As duas interações verbais presentes na tabela distinguem-se assim pelo seu grau de
elaboração, sendo que a interação verbal sem explicar será tendencialmente uma interação com
uma duração de tempo inferior a uma explicação.
Um aluno que coloque uma questão ou que cometa um erro parece evidenciar que
necessita de ajuda, e os seus colegas de grupo estão em boa posição para dar as explicações
que o colega necessita por várias razões: estão todos a resolver o problema pela primeira vez,
podem utilizar uma linguagem idêntica, e podem dar a ajuda no momento que a necessidade
surge (Abrantes, 1994). De facto, parece intuitivo que receber explicações é benéfico para a
aprendizagem (Webb, 1991). Receber uma explicação deverá ajudar o aluno que a recebe, não
só a aprender novas estratégias de resolver os problemas, como também a esclarecer pequenos
aspetos da sua resolução (Webb, 1991). Não obstante, pode ajudar também o aluno a corrigir as
ideias erradas e reforçar as conexões entre a nova informação e a informação que o aluno já
possuía (Mayer citado em Webb, 2003). Contudo, é difícil saber até que ponto existe uma
aprendizagem efetiva por parte do aluno que recebe a explicação, uma vez que para que a
explicação seja considerada válida há vários fatores a ter em conta: se o aluno que recebe a
explicação precisa de ajuda, a relevância da explicação para a necessidade de ajuda, se a
explicação foi dada no momento oportuno, se o aluno que recebeu a explicação a utilizou na
17
resolução do problema (Vedder, citado em Webb,1991). Dar uma explicação pode promover a
aprendizagem encorajando o aluno que explica a reorganizar as suas ideias, reconhecer os
possíveis maus procedimentos utilizados, compreender ou interpretar melhor os conceitos,
interiorizar ou adquirir novas estratégias de resolução e desenvolver novas estratégias de
resolução (Bargh & Schul et al. citado em Webb & Mastergeorge, 2003). Se por um lado, há
vários fatores a ter em conta para que a explicação seja considerada relevante para o aluno que
a recebe, pelo outro, Webb (1991) evidencia que se um aluno pede uma explicação e apenas lhe
é dada a resposta correta, este tipo de interação, sem explicação, pode afetar negativamente a
aprendizagem do aluno que recebe a ajuda, a menos que este apenas pretenda uma
confirmação da solução para ganhar mais confiança e avançar. Dar e receber ajuda não
elaborada sem explicar, pode ajudar em parte o aluno que dá a ajuda, no entanto pode não ser
suficiente para o aluno que recebe ajuda, corrigir as suas conceções erradas ou compreender
melhor os conceitos (Webb, 2003).
Outro comportamento que pode afetar negativamente a aprendizagem do aluno no que
diz respeito à sua motivação, é quando este coloca uma questão e nenhum dos seus colegas lhe
responde (Webb,1991). Webb (1991) refere como outras categorias de interação, outros
comportamentos. Nesta categoria de interações outros comportamentos englobam, por exemplo,
os comportamentos ouvir as discussões dos colegas e confirmar as soluções e efetuar cálculos.
Esta autora refere que os estudos de Peterson e Swing (1985) evidenciam que o
comportamento, ouvir as discussões dos colegas de grupo, tem um efeito positivo na
aprendizagem. Contudo, é apenas um resultado que sugere que os alunos podem tirar benefício
das observações que fazem das interações dos demais elementos do grupo (Webb, 1991) na
realização de uma tarefa. Relativamente às interações confirmar as soluções e efetuar cálculos a
autora refere que estas interações não são relevantes para a aprendizagem.
Yackel, Cobb e Wood (1991) referem que as diferentes interações podem fazer surgir
diferentes oportunidades de aprendizagem. Evidenciam as situações em que surge um conflito
cognitivo (Yackel, Cobb & Wood (1991), Cobb (1995) em que os alunos para o resolverem,
tentarão chegar a um consenso no trabalho de grupo. Segundo os autores, nesta situação os
alunos tentam explicar ou justificar as suas soluções, ouvindo e tentando dar sentido às soluções
dos colegas. Assim, explicando as suas soluções estes clarificam-se a si próprios, e ouvindo os
colegas podem juntos encontrar uma solução em que ambos os pontos de vista façam sentido
(Barnes & Todd citado em Yackel, Cobb & Wodd, 1991). No trabalho de grupo, quando um aluno
18
comete um erro e outro aluno tenta ajudar, esse momento pode constituir uma oportunidade de
aprendizagem. O aluno que ajuda assume o papel de professor ao explicar ou instruir o aluno
que cometeu o erro clarificando-se a ele próprio (Yackel, Cobb, & Wood, 1991). Assim, se o
aluno que explica baseia a sua explicação no erro do colega, ele tentará encontrar uma forma do
colega entender o problema, ganhando ele próprio uma nova visão do problema (Yackel, Cobb,
& Wood, 1991).
2.4.2. Padrões de interação
Artzt e Armour-Thomas (1992), tendo em conta as interações verbais dos alunos em
grupo ao longo da realização de problemas, categorizam os comportamentos que cada aluno
pode emitir ao longo da sua resolução em: ler, perceber, analisar, explorar, planificar,
implementar e verificar. Contudo, as interações verbais pressupõem que os alunos se observem
e oiçam mutuamente. Assim, estas autoras consideram uma categoria de interação não-verbal
observar e ouvir (A. Artzt, comunicação pessoal, 2013, junho 27). Observar e ouvir desempenha
uma parte significativa do processo de comunicação (Patton, Giffin & Patton citado em Artzt &
Harmour-Thomas, 1992). Segundo as autoras, uma das vantagens do trabalho em grupo é que
os alunos podem beneficiar das ideias uns dos outros. Nesse sentido, ouvindo as ideias dos
colegas de grupo, um aluno pode ver surgir com significado um outro processo de resolução da
tarefa podendo-o partilhar com os colegas de grupo (Artzt & Armour-Thomas, 1992). Saber ouvir,
se necessário fazer perguntas de modo a tentar perceber o que está a ser dito e fazer sugestões,
representam uma das competências fundamentais em comunicação (Goleman, 2012). Para
cada uma destas categorias, Artzt e Armour-Thomas (1992) estabelecem um descritivo e um
indicador que permitem identificar quando o aluno emite cada um destes comportamentos.
Segundo as autoras, num grupo onde existe pouca interação verbal entre os alunos estes
dificilmente se ouvem e observam.
Assim, numa sala de aula, diferentes grupos interagem de maneira diferente, e
diferentes cenários podem surgir ao longo da realização do trabalho de grupo. Estas autoras
estabeleceram diferentes cenários possíveis. Passam a apresentar-se esses cenários na figura
2.3, ligeiramente adaptados de Artzt e Armour-Thomas (1992).
Tal como se pode verificar, estes diagramas contêm setas que podem ter duplo sentido,
ou não. Por exemplo, no diagrama (c) as setas têm apenas um sentido. Este diagrama
representa uma situação em que existe um aluno a fazer a maior parte do trabalho, estando os
restantes elementos do grupo com a sua atenção direcionada para ele, observando-o e ouvindo-o
19
(A. Artzt, comunicação pessoal, 2013, junho 27). Este aluno é assim o líder explícito do grupo
(Martinho, 2007). As setas estão assim direcionadas para o aluno cujas interações verbais
evidenciem que é este aluno que emite comportamentos. Estas interações são categorizadas em
ler, perceber, analisar, explorar, planificar, implementar e verificar, enquanto os restantes
elementos do grupo emitem comportamentos que sugerem que estão apenas a observar e a
ouvir. Assumindo como já foi referido o papel de líder, os seus colegas reconhecem-lhe o mérito
e são as suas ideias que dominam ao longo da realização da tarefa (Artzt & Armour-Thomas,
1992). Neste tipo de liderança, todos recorrem ao líder para encontrar a solução (Andreola,
2005), contudo também pode desencorajar e inibir os outros membros do grupo a partilharem
as suas opiniões (Yukl citado em Artzt & Armour-Thomas, 1992).
(a) Trabalho independente (b) Trabalho interdependente
(c) Um aluno mostra “como se faz” (d) Combinação entre trabalho
independente e interdependente
Figura 2. 3 Diferentes cenários que podem surgir no trabalho de grupo.
O diagrama (a) representa uma situação em que cada aluno trabalha
independentemente dos restantes membros do grupo, existindo pouca interação verbal, ou
mesmo nenhuma entre eles. Como a interação verbal é quase inexistente, neste tipo de cenário
os alunos dificilmente se ouvem e observam uns aos outros. No extremo, (diagrama (b)),
20
apresenta-se um padrão de interação em que todos os elementos do grupo interagem uns com
os outros para a resolução da tarefa, sendo o trabalho individual quase inexistente. De notar que
os diagramas (a) e (d) são os que representam situações nas quais existem alunos que têm
tendência a trabalhar individualmente. O diagrama (d) representa uma situação em que existem
alunos que interagem ao longo da elaboração da tarefa, e outros que trabalham
independentemente dos outros elementos do grupo.
A relação que parece existir entre as categorias de comportamentos que os alunos
podem emitir ao longo da realização dos problemas em grupo, e o padrão de interação do seu
grupo, parece estar relacionada com a frequência de comportamento observar e ouvir emitido
por cada elemento do grupo. Assim, num grupo em que há pouca interação verbal entre os seus
elementos (cenário (a)), estes dificilmente se observam e ouvem e no extremo, temos outro
cenário (cenário (b)), em que todos os elementos do grupo comunicam verbalmente, ouvindo-se
e observando-se uns aos outros frequentemente.
Cobb (1995)fala de diferentes padrões de interação entre pares. Para este autor há dois
níveis de análise de interação entre os alunos do mesmo grupo, a saber: (1) ao nível do processo
e (2) ao nível do resultado. Ao nível do processo, este autor distingue a colaboração direta e a
indireta. Na colaboração direta, os alunos constroem a solução em conjunto partilhando as suas
interpretações e as suas atividades matemáticas. Este tipo de colaboração contrasta com outro
tipo de colaboração: a colaboração indireta (Cobb, 1995). Nestas situações, os alunos
verbalizam seus pensamentos enquanto aparentemente resolvem a tarefa individualmente. Nas
referidas situações, os alunos não necessitam de se ouvir mutuamente. Aqui, as oportunidades
de aprendizagem podem surgir quando, ao verbalizar os seus raciocínios, esse raciocínio possa
ser útil para o que o colega está a fazer.
Quanto ao resultado, este pode ser univocal ou multivocal. O resultado é univocal
quando são apenas as ideias de um que dominam. Este aluno representa no grupo uma
autoridade que tanto pode ser social como científica (Martinho, 2007). Por outro lado, o
resultado é multivocal quando todos os alunos do grupo exprimem as suas opiniões, tentando
gerar um consenso entre as diferentes opiniões (Cobb, 1995).
Não é possível estabelecer uma correspondência direta entre Cobb (1995) e Artzt-
Armour-Thomas (1992) uma vez que Cobb (1995) fala de interações entre pares, grupos de 2
alunos, e Artzt e Armour-Thomas (1992) falam de padrões de interação entre alunos em grupo
com mais de 2 elementos. No entanto, tendo em conta a definição de grupo independentemente
21
do seu número de elementos, podemos evidenciar alguns aspetos entre padrões de interação
propostos pelos autores. Esses aspetos encontram-se evidenciados na tabela 2.4.
Tabela 2. 4. Possível correspondência entre os padrões de interação descritivos e visuais
Artzt e Armour-Thomas Paul Cobb
Um elemento mostra “como se faz”
Nível do processo: não existe colaboração pois
um aluno faz a maior parte do trabalho e os
outros copiam.
Nível do resultado: Univocal.
Trabalho interdependente
Nível do processo: colaboração direta entre todos
os elementos do grupo.
Nível do resultado: Multivocal.
No cenário em que um elemento mostra “como se faz”, existe um elemento que faz a
maior parte do trabalho sendo as ideias deste que dominam ao longo de todo o processo de
resolução. Assim, ao nível do resultado, este cenário sugere um resultado univocal. Ao nível do
processo, não parece existir colaboração direta ou indireta entre os elementos do grupo. O
cenário em que existe trabalho interdependente e em que todos os elementos do grupo
comunicam, sugere um resultado multivocal, refletindo as ideias de todos os elementos do
grupo, e sugerindo a existência de uma colaboração direta entre todos os membros do grupo.
23
CAPÍTULO 3
METODOLOGIA
Este capítulo é dividido em quatro secções: (3.1) Observação de contextos; (3.2)
Intervenção e tarefas implementadas; (3.3) Instrumentos de avaliação e investigação da ação;
(3.4) Análise das interações.
Na figura 3.1., apresenta-se um esquema representativo dos procedimentos seguidos no
decorrer do ano letivo:
Figura 3. 1 Sequência de procedimentos seguidos pela professora estagiária.
A observação dos contextos, escola e turma, iniciou-se na segunda semana de aulas do
ano letivo de 2012/2013, numa Escola Secundária/3 do distrito de Braga. Entre os meses de
Outubro e Dezembro foi elaborado o projeto de intervenção pedagógica supervisionada. A própria
intervenção que decorreu ao longo do mês de janeiro de 2013, na qual todas as aulas foram
gravadas com recurso a câmaras de filmar.
Setembro
Início da observação de contextos.
Dezembro
Entrega do projeto de intervenção pedagógica supervisionada; Seleção dos grupos de participantes.
Janeiro
Intervenção pedagógica supervisionada.
Junho
Questionários e Entrevistas.
24
3.1. Observação de contextos
Esta secção é dividida em quatro secções: Na primeira subsecção, caracteriza-se a
escola onde foi implementado o projeto de intervenção pedagógica supervisionada. Na segunda
e terceira subsecções, caracterizam-se os aspetos gerais da turma e são apresentados os grupos
de alunos em que a turma se encontrava dividida antes da intervenção. Na última subsecção,
justifica-se a escolha dos grupos de participantes para análise das interações neste estudo.
3.1.1. A Escola
Este estudo foi realizado numa escola pertencente ao distrito de Braga, situada num
local privilegiado do ponto de vista geográfico, que se encontra rodeada pelo Arboreto da Flora
Autóctone de Portugal continental. Este Arboreto encontra-se organizado segundo critérios
fitogeográficos da cobertura florística de Portugal continental, tendo por base a classificação base
feita por Pina Manique. Para além de se encontrar num local privilegiado conforme acima
referido, esta escola dispõe de muitos projetos para dar resposta às diferentes necessidades e
interesses dos alunos, nomeadamente: projetos de intercâmbio estudantil, línguas, português,
teatro e matemática, desenvolvidos num ambiente de colaboração entre vários professores das
diferentes áreas do saber.
No âmbito da matemática, destacam-se na tabela 3.1 os projetos em que os alunos
desta escola têm a oportunidade de participar.
Tabela 3. 1. Projetos no âmbito da matemática desenvolvidos pelos professores de matemática na escola
Projeto Destinatários Objetivo
Mat xyz e Mat xyz+ (ano letivo)
Alunos do terceiro ciclo do ensino básico, ou com nível negativo à disciplina de matemática (Mat xyz) ou com nível de desempenho positivo à disciplina de matemática (Mat xyz+).
Garantir algum apoio pedagógico diferenciado a alunos do 3º ciclo do ensino básico.
Projeto de nível 3 (Durante o 3ºPeríodo)
Alunos do 9.º ano de escolaridade, com pelo menos um nível negativo à disciplina de matemática, obtido ou no final do primeiro período, ou no final do segundo período ou no final dos dois períodos.
Reduzir o insucesso tanto a nível interno como nos exames nacionais dos alunos com pelo menos um nível negativo à disciplina de matemática.
mais&melhor (Fim do ano letivo)
Alunos do 9.º ano de escolaridade. Promover não só o sucesso dos alunos na realização dos exames nacionais do 9º ano (português e matemática) como também o reforço dos conhecimentos às disciplinas de português e matemática.
25
Os projetos apresentados na tabela 3.1, têm por base um apoio pedagógico
diferenciado, sendo os alunos distribuídos por grupos de desempenho com tarefas igualmente
diferenciadas. O Mat xyz é um projeto de apoio ao estudo que funcionou pelo segundo ano
consecutivo. O Mat xyz+ é um projeto mais recente, que representa um prolongamento do Mat
xyz, criado durante o corrente ano letivo. Assim, com base em critérios bem definidos, os alunos
são distribuídos por pequenos grupos (máximo de 12 alunos), a quem é atribuído um professor
com quem trabalham durante 45 minutos semanais. Os restantes projetos evidenciados na
tabela não decorreram ao longo do ano letivo, tendo um deles sido implementado no decorrer no
terceiro período e o outro, no fim das aulas do 9.º ano de escolaridade.
Para além destes projetos que vão ao encontro das necessidades dos alunos, a escola
promove também outras atividades extracurriculares em que os alunos são incentivados a
participar. No presente ano letivo, a escola promoveu juntamente com as demais escolas do
agrupamento um campeonato de jogos matemáticos de tabuleiro, semelhante ao campeonato
nacional de jogos matemáticos, e todos os anos, o campeonato de cálculo mental SupertMatik
consta no seu plano anual de atividades. As atividades Magusto de São Martinho e Escola Aberta
são também promovidas pela escola, e contam com a colaboração dos professores de diferentes
áreas, com vista a proporcionar as mais variadas atividades aos alunos desta escola.
No que diz respeito à avaliação global dos alunos do 3.º ciclo, esta realiza-se nos
domínios do saber, do saber fazer, e do saber ser. Os domínios do saber e do saber fazer
refletem os resultados obtidos pelos alunos a partir dos resultados em testes, fichas e relatórios,
por exemplo, e corresponde a uma percentagem de 75%. O domínio do saber ser reflete os
resultados obtidos pelos alunos a partir da observação de comportamentos e atitudes e
corresponde a 25%.
No projeto educativo (2012) desta escola, é apresentada como uma das estratégias:
“estimular o gosto pela aprendizagem da matemática em termos práticos, pondo em destaque o
seu carácter transversal assim como apoiar projetos de carácter cientifico-pedagógico”. Em
2009, na Avaliação Externa de Escolas, esta escola foi avaliada com Bom em todos os domínios.
3.1.2. A Turma
A turma onde foi desenvolvido este estudo é composta por 23 alunos: 16 rapazes e 7
raparigas com uma média de idades de 14 anos. Da caracterização da turma feita pela diretora
de turma no início do ano letivo, constava entre outros aspetos que: 3 dos alunos foram
candidatos a prémios de excelência e outros 3 alunos candidatos a prémios de mérito; apenas 8
26
alunos consideram não ter dificuldades a alguma disciplina; 8 consideram ter dificuldades a
matemática e 6 consideram ter dificuldades a português; apenas um aluno não pretende
ingressar no ensino superior. A média de horas de estudo é de 1 hora, contudo cerca de 70%
dos alunos desta turma aderiram ao projeto de apoio ao estudo de matemática, ou Mat xyz ou
Mat xyz+, já referidos.
Os alunos desta turma são muito ativos no que diz respeito à participação em atividades
extracurriculares promovidas pela escola. Pelo que se pôde constatar, desde o 7.º ano que estes
alunos participam no campeonato SupertMatik matemática (em que um deles ganhou o
campeonato), e participaram ainda no Magusto de São Martinho em grupos, no intercâmbio de
alunos promovidos não só em escolas do território nacional, como também internacional, e
ainda em atividades de índole musical como a Noite do fado e Festa de fim de ano letivo. De
referir que no presente ano letivo, um aluno desta turma representou a escola no parlamento
jovem.
Após a frequência das reuniões do conselho de turma do 1.º período, registou-se que as
maiores queixas relativas a esta turma foram a nível do seu comportamento, que os professores
consideraram como “Pouco Satisfatório”. No entanto, foram notadas algumas melhorias no
decorrer do primeiro período. Apesar deste comportamento pouco satisfatório, nas aulas de
matemática os alunos demonstravam-se recetivos e empenhados na resolução das tarefas
propostas, participando nos momentos de discussão com o grupo turma e elaborando os
trabalhos de casa solicitados. No que diz respeito ao aproveitamento da turma, este é
classificado com “Bom”.
3.1.3. Os grupos
No início do ano letivo, e considerando que estes alunos nunca tinham sido alunos do
professor titular, verificou-se que não tinham por hábito trabalhar em grupo nas aulas de
matemática ou em qualquer outra disciplina. Nesse sentido e sendo que era um ano terminal,
apenas lhes foi solicitado que se organizassem por afinidade em grupos de quatro elementos.
Na tabela 3.2, apresentam-se os grupos de trabalho e o nível de desempenho dos
alunos de cada grupo obtido à disciplina de matemática, não só no final do 1.º período do 9.º
ano de escolaridade, como também nos anos letivos anteriores. Na referida tabela, a informação
relativa aos rapazes encontra-se a azul e a informação relativa às raparigas encontra-se a rosa.
Para a implementação do projeto, os grupos de trabalho não sofreram qualquer alteração,
respeitando dessa forma a escolha dos alunos e do professor titular.
27
Tabela 3. 2. Caracterização dos grupos
Número de identificação do Grupo
Nome do (a) Aluno (a)
Desempenho, de cada aluno, obtido no fim dos 7.ºe 8.ºanos
Desempenho dos alunos, obtido no final do primeiro período do 9º ano
Por aluno Por grupo
7.º ano 8.º ano 9.º ano 1º Período
x s
1
André 5 5 5
4 0.81 Lucas 3 3 3
Zeca 5 5 4
Celso 4 4 4
2
Gui 5 5 4
3.5 1 Dino 5 5 4
Hugo 4 4 4
Carmo 3 2 2
3
Tadeu 3 2 3
3.5 0.58 Ricardo 5 4 4
Carlos 5 4 4
Luca 4 3 3
4
Carla
4 4 4
3.75 0.5 Mara
3 3 4
Cátia
2 2 3
Sara
4 4 4
5
Magda 4 4 3
3 0.82 Albino 2 2 2
Joana 3 3 3
Júlio 5 4 4
6
Mário 4 2 3
3 0 Denis 4 2 3
Jorge 3 2 3 Nota: x designa a média aritmética e s o desvio padrão.
De notar que quanto ao género, existem grupos homogéneos e grupos heterogéneos. Os
grupos identificados com os números 1 e 6 são constituídos unicamente por rapazes, o grupo
identificado com o número 4 é constituído unicamente por raparigas e os grupos identificados
com os números 2 e 5 são constituídos por rapazes e por raparigas.
Na última aula de matemática do primeiro período, momento de auto e heteroavaliação
os alunos inseridos num clima de partilha e aceitação, foram convidados a falar sobre os seus
grupos. Destacam-se os aspetos evidenciados pelos alunos de cada grupo na tabela 3.3.
28
Tabela 3. 3. Aspetos evidenciados pelos alunos acerca dos seus grupos na última aula do primeiro período Grupo Aspetos do grupo evidenciados no momento de auto e heteroavaliação no final do1.º período em
diálogo com a turma.
1 Lúcio não revela tirar partido do potencial do grupo. André evidencia ser o líder do grupo.
2 Carmo é uma aluna com nível de desempenho negativo à disciplina de matemática, que não revela tirar partido do potencial do seu grupo. Além disso, Carmo e Hugo são constantemente chamados à atenção por se encontrarem distraídos.
3 Os alunos deste grupo são muito conversadores.
4 As alunas deste grupo chamam pouco a intervenção do professor, o que pode revelar autonomia do grupo na resolução das tarefas.
5 Albino é o aluno do grupo que não revela interesse nem empenho na disciplina de matemática
6 Mário não se envolve no seu grupo. Denis e Jorge interagem na resolução das tarefas enquanto Mário se mantém à parte. De facto, Cohen (1994) refere que em grupos de 3 elementos há a tendência para que dois deles deixem o terceiro elemento isolado. Denis é o único aluno desta turma que obteve 100% no domínio do saber ser, por ter um papel ativo no processo de aprendizagem de Jorge.
3.1.4. Seleção dos grupos de participantes
Antes da implementação do projeto de intervenção pedagógica supervisionada, surgiu a
necessidade de serem selecionados três grupos para este estudo. Ressalva-se que cada grupo
tem particularidades muito específicas e a seleção dos três não foi fácil.
O grupo identificado com o número 1 foi um dos selecionados por ter um líder no grupo
(André). Este é o grupo com maior média em relação aos restantes grupos da turma, a confirmar
na tabela 3.2.
O grupo identificado com o número 2 foi selecionado por integrar alunos de níveis 4 ou
5, e uma aluna de nível 2.
O grupo identificado com o número 3 foi um dos selecionados por existirem dois alunos
com nível de desempenho 3 e dois alunos com nível de desempenho 4 e 5.
3.2. Intervenção e tarefas implementadas
Neste subcapítulo apresentam-se os sumários relativos às aulas dadas no âmbito do
projeto de intervenção pedagógica, e as tarefas que serão estudadas neste relatório.
Na tabela 3.4., encontram-se os sumários das 11 aulas implementadas no âmbito da
intervenção ao longo do mês de Janeiro do ano letivo de 2012/2013:
No início de cada aula foi distribuída uma sequência de tarefas. Esta sequência de
tarefas foi elaborada de modo a que as tarefas selecionadas para atingir os objetivos de
aprendizagem fossem realizadas durante a aula. Tipicamente, a referida sequência de tarefas
contemplou tarefas com nível de exigência elevado e tarefas de nível de exigência baixo (Stein &
29
Smith, 1998), que iam ao encontro dos objetivos de aprendizagem da aula, não tendo sido
imposto aos alunos tempo limite para a realização das tarefas. O trabalho deles foi monitorizado,
e quando estava claro que a maioria dos alunos havia terminado a resolução das tarefas
procedia-se à realização de uma discussão/síntese da tarefa em diálogo com os alunos.
Tabela 3. 4. Sumários das aulas implementadas no âmbito do projeto
Aulas Sumário
Aula 1 (90 minutos) Lugares geométricos: Mediatriz, Círculo e Circunferência. Resolução de tarefas em grupo.
Aula 2 (45 minutos) Lugares geométricos no espaço: superfície esférica, esfera e plano mediador. Resolução de tarefas em grupo.
Aula 3 (90 minutos) Bissetriz de um ângulo. Resolução de tarefas em grupo sobre lugares geométricos.
Aula 4 (90 minutos) Circunferência circunscrita a um triângulo e circunferência inscrita num triângulo. Resolução de tarefas em grupo.
Aula 5 (45 minutos) Resolução de tarefas em grupo sobre lugares geométricos.
Aula 6 (90 minutos) Resolução de tarefas em grupo sobre lugares geométricos.
Aula 7 (90 minutos) Resolução de tarefas em grupo sobre a unidade circunferência
Aula 8 (45 minutos) Ângulos externos e internos de um polígono convexo. Resolução de tarefas em grupo.
Aula 9 (90 minutos) Polígonos inscritos numa circunferência. Resolução de tarefas em grupo.
Aula 10 (90 minutos) Área de polígonos regulares. Resolução de tarefas em grupo.
Aula 11 (90 minutos) Resolução de tarefas em grupo sobre área de polígonos regulares.
Na tabela apresentada em anexo (ANEXO 1) apresentam-se todas as tarefas
implementadas no âmbito da intervenção pedagógica supervisionada assim como os objetivos
para cada aula. Destas tarefas, encontram-se na tabela 3.5 as que serão estudadas neste
relatório para análise das interações dos alunos ao longo da realização da mesma. Cada tarefa é
categorizada tendo em conta a sua tipologia, o seu nível de exigência e contexto de elaboração.
Juntamente com a tarefa exploratória dos polígonos foram distribuídos cinco polígonos
diferentes aos alunos de cada grupo.
30
Tabela 3. 5. Caracterização das tarefa Tarefa
Tipologia (Ponte, 2005)
Nível de exigência/categoria (Stein & Smith, 1998)
Características da tarefa, de acordo com Stein e Smith (1998) Objetivo da tarefa
Problema do triângulo
Problema (adapatado da tarefa The Meeting for Lunch Problem (Edwards, Harper, & Cox, 2012)
Nível de exigência elevado/Procedimento com conexões
Requer por parte do aluno algum esforço cognitivo embora haja um procedimento a ser seguido este não pode ser seguido de qualquer maneira. Os alunos precisam de compreender as ideias e conceitos matemáticos subjacentes (por exemplo o conceito de mediatriz e de circunferência) à sua resolução da tarefa para a completarem com sucesso desenvolvendo desse modo a sua compreensão no tópico em estudo.
Construir a circunferência circunscrita a um triângulo dado (Ponte, et al., 2007). Com esta tarefa pretendeu-se que os alunos explorando o mapa da cidade, onde residiam, numa primeira instância discutissem qual o melhor sítio para o encontro para o almoço tentando encontrar uma solução aproximada. “Fica algures no centro” poderia ser a primeira ideia deles (Edwards, Harper, & Cox, 2012). Seguidamente os alunos foram desafiados a utilizarem as réguas e compassos para localizarem um ponto equidistante de cada um dos vértices do triângulo. Por fim, os alunos foram incentivados a encontrar argumentos que lhes permitissem justificar que o ponto encontrado corresponde à solução da tarefa.
Tarefa exploratória dos polígonos
Exploratório Nível de exigência elevado/Procedimento com conexões
Foca a atenção do aluno na utilização de um procedimento tendo por objetivo desenvolver níveis mais profundos de compreensão de conceitos matemáticos e ideias. Sugere explicitamente que o aluno efetue um determinado procedimento, preenchendo a tabela. Recorre ao uso de materiais manipuláveis (recortes em papel); A utilização destas combinações ajuda o aluno a desenvolver a sua compreensão matemática; Requer por parte do aluno algum esforço cognitivo embora haja um procedimento a ser seguido este não pode ser seguido de qualquer maneira.
Decompor polígonos recorrendo a triângulos (Ponte, et al., 2007) Utilizando recortes em papel os alunos devem estabelecer uma relação entre o número de lados de um polígono convexo e a soma das medidas das amplitudes dos ângulos internos. Assim, pretendia-se que os alunos deduzissem a fórmula que permite encontrar a soma das amplitudes dos ângulos internos de um polígono convexo com n lados, (𝑛 − 2) × 180°.
Problema da justificação escrita
Problema Nível de exigência elevado/Procedimento com conexões
Utilizando a língua materna o aluno terá de sintetizar, as conclusões a que chegou com o preenchimento da tabela, desenvolvendo a sua compreensão matemática.
Estimular a comunicação escrita (Ponte, et al., 2007) Os alunos terão de descrever por palavras suas, as conclusões a que chegaram com o preenchimento da tabela.
Exercício com recurso ao transferidor
Exercício Nível de exigência reduzido/Procedimentos sem conexões
Não é exigida qualquer justificação. Ligeira ambiguidade acerca do que tem de ser feito e como deve ser feito.
Os alunos terão de utilizar os transferidores para medir os ângulos externos de um polígono convexo (triângulo dado) e calcular a sua soma (Ponte, et al., 2007).
31
3.3. Estratégias de Investigação e Avaliação da Ação.
O presente estudo tem uma abordagem qualitativa e interpretativa, assente no facto de
ser o tipo de investigação mais adequado para o estudo das interações. A investigação
qualitativa por vezes é designada por naturalista, porque o investigador frequenta os locais onde
naturalmente se verificam os fenómenos nos quais está interessado em estudar “incidindo os
dados recolhidos nos comportamentos naturais das pessoas (…) ” (Bogdan & Biklen, 1994, p.
17).
Numa investigação qualitativa, “os dados recolhidos são designados por qualitativos, o
que significa ricos em pormenores descritivos relativos a pessoas locais e conversas, e de
complexo tratamento estatístico” (Bogdan & Biklen, 1994, p. 15). Apesar de existirem questões
de investigação pré-definidas, a recolha de dados privilegia essencialmente a compreensão dos
comportamentos dos participantes do estudo, e as estratégias mais representativas da
investigação qualitativa são a observação participante e a entrevista (Bogdan & Biklen, 1994).
Segundo Bogdan e Biklen (1994), a investigação qualitativa possui cinco características, e como
exemplos: (1) na investigação qualitativa a fonte direta dos dados é o ambiente natural; (2) a
investigação qualitativa é descritiva, onde a informação recolhida é em forma de palavras ou
imagens e não números. “Na busca do conhecimento, os investigadores qualitativos não
reduzem as muitas páginas contendo narrativas e outros dados numéricos. Tentam analisar os
dados e toda a sua riqueza” (Bogdan & Biklen, 1994, p. 48); (3) os investigadores qualitativos
interessam-se mais pelo processo do que simplesmente pelos resultados ou produtos como por
exemplo, estudar quais os padrões de interação dos alunos ao longo da realização do trabalho
de grupo.
Na avaliação da intervenção, foram utilizados como instrumentos de recolha de
informação: a gravação das aulas de 90 minutos referentes à implementação do projeto; as
produções escritas dos alunos realizadas durante a aula; um questionário e entrevistas
realizadas aos grupos de trabalho dos participantes deste estudo. Estes instrumentos serão
apresentados nesta secção.
3.3.1. Produções dos alunos
No início de cada aula foi distribuída uma sequência de tarefas, tendo sido recolhidas
novamente no fim para proceder à respetiva digitalização, e para na aula seguinte serem
novamente devolvidas aos alunos.
32
A recolha das resoluções das tarefas dos alunos teve como objetivo ajudar a responder
às questões de investigação 1) e 2).
3.3.2. Observação de aulas
Com estas observações pretende-se responder às questões de investigação 1) e 2)
relativas ao estudo das interações dos alunos em grupo. Recorrendo ao auxilio de gravações, foi
possível observar e ouvir cada aluno do grupo e categorizar as interações de cada um, na
tentativa de identificar padrões de interação entre os elementos de cada grupo ao longo das
diferentes tarefas, e verificar se esse padrão se mantém ao longo das diferentes tarefas e aulas.
As gravações das aulas foram previamente autorizadas pelo diretor da escola (ANEXO 5)
e pelos encarregados de educação destes alunos (ANEXO 6). Em cada aula, à exceção de uma,
foram filmados sistematicamente 3 grupos, contudo, os restantes não foram filmados em todas
as aulas. As aulas foram integralmente transcritas para proceder à análise.
3.3.3. Questionário
O questionário (ANEXO 9) foi criado com o objetivo de averiguar algumas das perceções
dos alunos, não só sobre o trabalho de grupo, como também sobre a importância do trabalho de
grupo para a aprendizagem da geometria.
Procurou-se criar um questionário não muito extenso e com linguagem clara para não
pôr em causa a boa vontade de quem o responde, uma vez ninguém gosta de responder a um
questionário que não seja claro (Hill & Hill, 2002). Tendo em conta estes aspetos, este foi
construído dividindo as questões em dois itens de escolha múltipla nos quais os alunos deveriam
escolher uma das opões apresentadas, e em 23 afirmações. Com a primeira questão de escolha
múltipla, o objetivo foi saber se em anos letivos anteriores, os alunos trabalhavam habitualmente
em grupo nas aulas de matemática. A segunda questão de escolha múltipla tinha como objetivo
averiguar as perceções dos alunos, nomeadamente sobre o que é para cada um deles trabalhar
em grupo, na resolução de uma tarefa na aula de matemática. As 23 afirmações, encontram-se
distribuídas por quatro grupos: (1) Eu e o trabalho de grupo; (2) Como eram esclarecidas as
dúvidas; (3) A partilha, (4) O trabalho de grupo e a aprendizagem da geometria. Estas
afirmações incluem uma escala tipo Lickert com um número par de níveis de concordância, a
saber: Discordo Totalmente, Discordo, Concordo e Concordo Totalmente. A utilização de um
número par ou ímpar de níveis de concordância não é unânime nas várias obras metodológicas
devido à presença ou ausência da categoria intermédia “Indiferente” (Fortin, 2009). Um dos
33
argumentos é que esta categoria intermédia pode reduzir a possibilidade de diferençiação “entre
os dados e é sustentado que é preferivel oferecer uma escolha forçada de resposta em presença
de categorias opostas” (Fortin, 2009), podendo estas categorias variar de “Discordo Totalmente”
a “Concordo Totalmente”. A resposta “Concordo Totalmente” é extremamente positiva enquanto
a resposta “Discordo Totalmente” é extremamente negativa. As diferentes respostas que os
alunos poderiam escolher em cada afirmação foram elaboradas não só com base na observação
das aulas, como também na literatura (Artz e Armour-Thomas (1992), Cobb (1995)).
O questionário foi validado por três pessoas conhecedoras da realidade, nomeadamente,
uma psicóloga escolar e dois investigadores, de modo a verificar se a linguagem utilizada se
adequava à faixa etária e ao nível de escolaridade dos alunos e se cumpria os objetivos a que se
propunha. Os questionários foram previamente aplicados a um grupo de cinco alunos de uma
outra turma, escolhidos ao acaso, do mesmo ano de escolaridade com características
semelhantes, de modo a verificar se havia dificuldades de interpretação por parte dos alunos e
respostas contraditórias. O procedimento para entrega dos questionários foi o mesmo nos dois
grupos: foi distribuído aos alunos numa aula de matemática, para o preencherem em casa e
entregarem no dia seguinte, logo no início da aula, também de matemática.
3.3.4. Entrevistas
As entrevistas foram realizadas aos alunos da turma, com a autorização prévia do diretor
da escola (ANEXO 7) e dos encarregados de educação dos alunos (ANEXO 8). Após obter as
referidas autorizações para entrevistar e áudio-gravar os alunos, procedeu-se à marcação das
entrevistas de acordo com a disponibilidade dos participantes, e posteriormente à realização das
mesmas por grupo de trabalho (da intervenção).
As entrevistas foram realizadas no segundo semestre, mais especificamente no mês de
Junho, uma semana depois da recolha dos questionários. Para a realização das entrevistas
houve o cuidado de escolher uma sala que permitisse proporcionar a criação de um clima de
estímulo e aceitação mútua, para que as informações fluíssem de maneira clara e autêntica
(Ludke & André, 1988). Optou-se por entrevistas semi-estruturadas, de modo a permitir ao aluno
responder segundo a sua perspetiva pessoal. No início da entrevista, os alunos foram informados
de que todos os dados recolhidos seriam confidenciais e de que, quer no processo de recolha de
dados quer no relatório de estágio seria garantido o anonimato em relação a todos os alunos da
turma, utilizando-os apenas no âmbito deste estudo. No fim da entrevista, foi manifestada
34
gratidão aos alunos, não só pelo tempo despendido na entrevista, como também por toda a sua
colaboração no decorrer do ano letivo.
O objetivo de cada entrevista, foi o de esclarecer aspetos relativos à resolução das
tarefas que não eram percetíveis ao efetuar as transcrições das aulas, aspetos relativos às
tarefas elaboradas durante a intervenção e ainda aspetos relativos à perceção dos alunos sobre
o trabalho de grupo utilizando-se para o efeito os dados recolhidos através do questionário. As
entrevistas vieram permitir a clarificação de algumas situações ocorridas aquando da resolução
das tarefas, confirmando a interpretação prévia sentida acerca da resolução dos alunos.
Como já tinha passado algum tempo após a intervenção, os alunos foram confrontados
com uma cópia das tarefas que eles próprios tinham resolvido, e com a parte da gravação
audiovisual referente à situação que se pretendia ver esclarecida. No fim, foram ainda
convidados a refletir sobre se após terem trabalhado um ano letivo em grupo, mudariam o seu
comportamento no trabalho de grupo (questão de investigação 3).
Ao longo da entrevista houve o cuidado de não interferir nas respostas dos alunos,
deixando-os à-vontade para partilharem as suas opiniões, não forçando as suas respostas uma
vez que um dos objetivos para além de esclarecer as situações apresentadas, era também
perceber a dinâmica de interação do grupo. Para além disso, os alunos foram ainda
questionados sobre:
Como escolheram o grupo? (informação para englobar na secção “Constituição do
Grupo”, no capítulo 4)
O grupo 1 não foi entrevistado com todos os alunos presentes já que um deles faltou no
dia marcado para a entrevista. Procedeu-se tal como combinado à execução da entrevista a três
dos elementos do grupo, tendo-se realizado a entrevista ao aluno que faltou individualmente num
outro dia. A mesma situação aconteceu no grupo 4, pelo que se procedeu de igual modo.
Relativamente às outras entrevistas, foram realizadas com todos os elementos do grupo
presentes. No fim de todas as entrevistas, procedeu-se assim à sua transcrição e análise.
Na entrevista foram esclarecidas algumas respostas contraditórias no que diz respeito ao
comportamento observado dos alunos em sala de aula, bem como às suas respostas no
questionário.
Na tabela 3.6, apresenta-se uma síntese dos dados que irão ser utilizados para dar
resposta às quatro questões de investigação.
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Tabela 3. 6. Síntese dos instrumentos de avaliação utilizados para cada questão de investigação
Observação Produções dos alunos
Questionários
Questão1 Questão 2 Questão 3 Questão 4
3.4. Interações
A análise das interações é baseada na observação e transcrição das gravações
audiovisuais, recolhidas no decorrer da intervenção, entre os dias 8 e 31 de Janeiro do ano de
2013.
A transcrição das aulas foi um processo demoroso e cauteloso, que implicou a revisão
do mesmo episódio várias vezes para validar aquilo que se tinha ouvido e observado
primeiramente. Após essa transcrição das aulas, foram estabelecidas as categorias para analisar
as interações dos alunos em grupo. Essas categorias para além de inspiradas na literatura foram
construídas para responder às questões de investigação. Por cada aula e por cada tarefa, foram
categorizadas as interações individuais de cada aluno, para dar ao leitor a ideia do
comportamento de cada um deles ao longo da resolução da tarefa. De seguida, com base
nessas interações foi identificado o padrão de interação do grupo ao longo da realização da
tarefa. Esta estratégia de comparar os dados obtidos através da análise das gravações
audiovisuais e das entrevistas teve como objetivo uma melhor compreensão do modo de
funcionamento de cada grupo. Nesta secção, descrevem-se as categorias utilizadas para a
análise das interações dos alunos em sala de aula e os padrões de interação dos alunos em
grupo, terminando com a apresentação de três situações elucidativas dos padrões de interação
dos alunos, ao longo da realização do trabalho de grupo.
3.4.1. Interações Individuais de alunos em grupo
No início de cada aula, após a distribuição e leitura das tarefas, diferentes interações
ocorrem por parte dos alunos do mesmo grupo, ao longo da sua resolução. Durante a realização
do trabalho de grupo, os alunos têm conversas que não têm a ver com a tarefa. Contudo na
observação das gravações audiovisuais essas interações não foram categorizadas.
A categoria de interação observar com registo, foi uma das que resultou da observação
das gravações audiovisuais. Assim, sempre que é explícito na gravação audiovisual que um
aluno A observa a resolução do aluno B, e logo de seguida efetua o registo na sua tarefa, é
36
sinalizada essa interação na transcrição da aula. Apesar do aluno que observa com registo
evidenciar que necessita de ajuda (Webb, 1991) não existe um pedido de ajuda explícito. Por
esse motivo, esta categoria de interação não-verbal encontra-se apenas categorizada em Receber
ajuda.
De notar que as interações verbais nos pequenos grupos pressupõem que os alunos se
observem e ouçam mutuamente (Artzt & Armour-Thomas, 1992). Contudo, um aluno pode
aparentar estar a resolver individualmente a sua tarefa, quando na verdade, também está a ouvir
os colegas a interagir (Webb,1991) e essa observação pode ajudá-lo a obter a solução da tarefa.
Por estas duas razões e tendo em conta que todos podem observar e ouvir quando um aluno dá
ajuda a um outro, esta categoria observar e ouvir, não foi considerada. Na tabela 3.7
apresentam-se as categorias de interação dos alunos utilizadas neste estudo.
Foi considerada a categoria de interação sem conteúdo (adaptada de Webb (1991)) para
categorizar as interações em que um aluno faz um comentário que não é considerado relevante
para a resolução da tarefa. Não foram consideradas categorias de interação como por exemplo,
recebe explicação, recebe exposição, sendo apenas sinalizado o aluno que dá a ajuda e o aluno
que a recebe se a ajuda é explicitamente direcionada a esse aluno. Por exemplo, se um aluno A
está a ditar a resposta à tarefa, e é explícito que os seus colegas a estão a escrever, então o
aluno A está a emitir uma interação da categoria ou expor ou explicar ou resposta e os seus
colegas a emitirem uma interação da categoria receber instrução.
Após essa categorização, as interações foram registadas numa tabela. Na referida
tabela, encontram-se discriminadas as frequências absolutas das diferentes interações dos
alunos, segundo as categorias apresentadas na tabela 3.7.
No presente relatório para cada tarefa optou-se por mostrar os resultados resumidos
numa tabela discriminando as categorias de interação de acordo com o seu tipo (verbais e não-
verbais) e nível de ajuda (dar, pedir e receber ajuda). Após a análise individual das interações
dos elementos de cada grupo, foram estabelecidos os padrões de interação do grupo na
resolução de cada tarefa. Para cada tarefa, é mostrado o episódio de aula que foi mais
significativo para o estabelecimento do padrão.
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Tabela 3. 7. Categorias de Interação verbais e não-verbais Tipo de interação
Nível de ajuda
Categoria Descrição
Interação não-verbal
Recebe ajuda
Observar com registo O aluno observa a resolução ou atividade do colega e regista na sua o que observa na resolução da tarefa do colega.
Interação verbal
Pedir ajuda
Questão sem resposta (Webb, 1991)
O aluno coloca uma questão mas não recebe resposta(s) do(s) seu(s) colega(s) de grupo.
Questão específica (Webb,1991)
O aluno pretende um esclarecimento acerca de uma parte de todo o processo de resolução da tarefa. Também pode ser uma questão de modo a esclarecer algum aspeto específico da tarefa.
Questão São questões que estão relacionadas com a tarefa mas não diretamente com o processo de resolução ou solução da mesma. Por exemplo, após a professora distribuir diferentes polígonos pelos alunos do grupo da Joaquina, a Joaquina pode colocar uma questão à Maria: “Maria, qual é o teu nome do polígono que tens?”.
Pedir instruções
O aluno pretende receber uma instrução acerca do que é para fazer.
Verificar resposta O aluno pede ou para ver a resposta do colega ou pergunta-lhe qual resultado que obteve de modo a poder comparar com o seu ou pergunta-lhe se o resultado que obteve está correto.
Dar ajuda
Explicar (Webb, 1991) É mais que expor um procedimento ou dizer como se faz, consiste numa descrição de como resolver a tarefa, a parte de uma tarefa o que inclui alguma elaboração do processo de solução (Webb, 1991).
Expor (Webb, 1982, 1991)
O aluno expõe ou um procedimento ou uma expressão algébrica.
Tentativa de resposta O aluno tenta elaborar uma resposta mas sem êxito.
Resposta Adaptado de categoria sem explicar (Webb, 1982, 1991)
Apenas é dada a resposta ou a uma parte da tarefa ou à tarefa.
Confirmar a reposta (adaptado de Webb (1991))
O aluno confirma a resposta dada pelo (s) seu (s) colega (s).
Receber ajuda
Receber instrução O aluno escreve algo que está a ser ditado explicitamente por outro aluno.
As interações entre dos alunos que envolvem comportamentos dos alunos que não têm
a ver com a tarefa (Webb, 1982), não foram categorizados.
3.4.2. Padrões de Interação do alunos em grupo
Padrões de interação descritivos
Como referido no Capítulo dois, Cobb (1995) estabelece os padrões de interação dos
alunos em grupo ao longo da realização de uma tarefa, tendo em conta não só o processo de
construção da resolução, como também o modo como foi obtida a solução. Na tabela 3.8,
apresentam-se os padrões de interação adaptados de Cobb (1995) e Artzt e Armour-Thomas
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(1992), apresentados no capítulo 2, e outros que resultaram a análise das gravações
audiovisuais.
Tabela 3.8. Padrões de interação adotados
Nível do processo ou do resultado
Padrão Descritivo
Nível do processo
Colaboração
Direta (Cobb, 1995) Este tipo de interações ocorrem quando os alunos ou interpretam a tarefa em conjunto, ou coordenam as suas atividades matemáticas para a resolução da tarefa.
Indireta (Cobb, 1995) Neste tipo de situações, os alunos verbalizam os seus pensamentos enquanto aparentemente resolvem a tarefa sozinhos.
Semi-direta (adaptado do padrão, proposto por Artzt e Armour-Thomas (1992), Um aluno “mostra como se faz”.
Este tipo de interações ocorrem quando um aluno diz como se faz e os outros limitam-se a receber ajuda de um modo explícito.
Interação oculta (forma de trabalho adaptada de Artz e Armour Thomas (1992)
Este tipo de situações ocorre quando um aluno resolve a tarefa de modo aparentemente individual não evidenciando interagir com os colegas que falam e resolvem a tarefa. Nestes casos, fala-se de interação oculta pois não se sabe até que ponto aquilo que os colegas disseram ou fizeram foi ou não significativo para ele em determinado momento do seu processo de resolução da tarefa.
Trabalho independente (termo adaptado de Artzt e Armour-Thomas (1992))
Este tipo de situações ocorre quando um aluno resolve a tarefa sozinho, enquanto os seus colegas de grupo não falam nem resolvem a tarefa.
Nível do resultado
Univocal (Cobb, 1995) São situações em que apenas a perspetiva de um dos alunos domina.
Multivocal (Cobb, 1995) O resultado é multivocal quando pelo menos dois alunos do grupo exprimem as suas opiniões, tentando gerar um consenso entre as diferentes opiniões (Cobb, 1995).
Respostas aparentemente individuais O resultado é uma resposta aparentemente individual quando não há evidencias de interação no momento de obtenção da solução. Contudo não se sabe até que ponto aquilo que foi dito ou feito no grupo influenciou a(s) resposta(s).
Padrões de interação visuais
Neste trabalho para evidenciar os padrões de interacção dos alunos utilizaram-se não só
os padrões de interação descritivos, adaptados de Cobb (1995), como também diagramas
visuais, adaptados de Artzt e Armour-Thomas (1992). Os diagramas visuais são compostos por
setas simples, a tracejado ou com duplo sentido, e por circunferências com uma linha que pode
estar a tracejado ou a cheio, e que representam os diferentes alunos do grupo. Tal como se
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referiu no capítulo 2, Artzt e Armour-Thomas (1992) utilizam circunferências com linha a cheio
para representar os alunos. Para além das circunferências as autoras utilizam também setas
simples ou com duplo sentido. A seta entre dois alunos é estabelecida na direção do aluno que
está a fazer o trabalho. Se os alunos se coordenam para fazer o trabalho então a seta terá duplo
sentido. Se um dos alunos faz o trabalho e outros estão apenas a observar e a ouvi-lo, são então
estabelecidas setas desde cada aluno em direção ao aluno que faz o trabalho. Neste relatório, a
informação apresenta-se codificada da seguinte forma:
As setas com duplo sentido evidenciam a existência de colaboração direta entre dois
alunos. A seta com duplo sentido implica assim, a troca de interações verbais entre dois
ou mais elementos do grupo;
As setas simples a tracejado evidenciam a existência de colaboração semi-direta. Assim,
uma seta que é estabelecida do aluno A para o aluno B, evidencia que o aluno A se
focou no que o aluno B dizia e/ou fazia enquanto este resolvia a tarefa;
As setas simples são utilizadas para evidenciar a existência de colaboração indireta entre
dois alunos;
A ausência de setas evidencia a forma de trabalho ou independente ou interação oculta;
As circunferências a tracejado evidenciam que um aluno recebeu ajuda de outro aluno
no processo de obtenção da solução.
Nas três figuras que se seguem, representam-se três situações fictícias que
exemplificam a utilização dos diferentes símbolos em diferentes situações, passíveis de
acontecerem ao longo da realização do trabalho de grupo.
Exemplos de aplicação dos Padrões de interação descritivos e visuais
Situação 1
Na situação representada na figura 3.2 existe colaboração indireta entre Carlos e João,
Paulo e João e entre Rui e João, e o resultado é univocal..
Figura 3. 2 Colaboração Indireta - Resultado Univocal.
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Na situação apresentada os alunos verbalizam os seus pensamentos enquanto
aparentemente resolviam sozinhos a tarefa. Quando obtiveram a solução, João apresentou a sua
solução e Paulo outra diferente. Assim, surgiu um conflito entre estes dois alunos. Contudo a
solução ficou decidida por João, uma vez que os seus colegas o consideram matematicamente
mais avançado (P. Cobb, comunicação pessoal, 2014, maio 27). O resultado univocal em que
foram as ideias de João que dominaram encontra-se representado no diagrama visual por uma
circunferência a cheio.
Situação 2
Na situação representada pela figura 3.3 existe colaboração semi-direta, entre os
diferentes elementos do grupo. A solução reflete um resultado univocal.
Figura 3. 3 Colaboração semi-direta - Resultado Univocal.
As setas simples a tracejado entre Carlos e João, Paulo e João, Rui e João evidenciam a
existência de colaboração semi-direta entre os pares. Assim, estão direcionadas no sentido do
aluno que “diz como se faz”.
Como a solução da tarefa foi apresentada por João através de interações que podem ser
da categoria expor, explicar ou resposta, e nenhum dos seus colegas apresentou uma outra
solução ou questionou a solução apresentada por João, esta situação reflete um resultado que é
univocal.
Situação 3
Nesta situação, existiu colaboração direta entre dois alunos do grupo, Carlos e João.
Paulo e Rui trabalharam de forma aparentemente individual, ou seja, em interação oculta
enquanto Carlos e João trabalharam em colaboração direta.
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Figura 3. 4 Colaboração direta e interação oculta - Resultado multivocal.
Neste diagrama, existe uma seta com duplo sentido entre João e Carlos, uma vez que
eles colaboraram diretamente no processo de resolução da tarefa. Enquanto João e Carlos
interagem verbalmente para resolver a tarefa, Paulo e Rui resolvem aparentemente sozinhos a
tarefa não se sabendo até que ponto o que os seus colegas diziam ou faziam foi ou não
significativo para eles em determinados momentos dos seus processos de resolução. No
momento de obtenção da solução, João expôs a sua resposta, motivo pelo qual João se encontra
também representado por uma circunferência a cheio. No entanto, Carlos questionou-o e propôs
uma solução alternativa, motivo pelo qual se encontra representado por uma circunferência a
cheio, o que veio gerar uma discussão entre eles, na tentativa de chegar a um consenso entre as
soluções apresentadas. Rui e Paulo encontram-se representados por uma circunferência a
tracejado, uma vez que neste momento ouviam a discussão dos colegas evidenciando não
interagirem entre si nem com os seus colegas. Esta situação traduz assim um resultado que é
multivocal.
No capítulo 4, para cada tarefa serão categorizadas as interações individuais dos alunos,
e utilizados os padrões de interação ao nível do processo de resolução e ao nível do processo de
obtenção da solução, assim como um diagrama visual representativo da organização dos alunos
em grupo e dos padrões de interação evidenciados.
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CAPÍTULO 4
RESULTADOS
Este capítulo tem por objetivo informar o leitor sobre as respostas que os dados
recolhidos forneceram, em relação às quatro questões de investigação. Neste capítulo,
apresentam-se os três casos de estudo referentes aos grupos identificados com os números 1, 2
e 3. Como o foco deste estudo são as interações entre alunos do mesmo grupo na realização de
diferentes tarefas, não são consideradas as interações entre o (s) aluno(s) e a professora. Após a
realização das tarefas, os alunos foram convidados a partilhar as suas interpretações e as suas
soluções tendo os seus trabalhos de grupo servido de base às discussões com toda a turma
(Cobb, 1995). Contudo, e tal como já foi referido, o foco deste estudo são as interações entre os
alunos nos seus grupos, as discussões com o grupo turma também não são objeto de estudo
neste relatório.
Este capítulo encontra-se dividido em quatro secções, sendo que nas primeiras três
secções, são apresentados os dados relativos a cada um dos três grupos. Para cada grupo de
alunos são consideradas duas aulas, aula 4 e aula 7, e analisadas as suas interações ao longo
da realização de diferentes tipologias de tarefas. No processo de análise das interações, sempre
que possível, os dados recolhidos através das gravações audiovisuais são cruzados com os
dados recolhidos através das entrevistas. São também apresentadas as perceções dos alunos
sobre o trabalho de grupo recolhidas através dos questionários. Para cada tarefa são
apresentados os padrões de interação verificados ao longo da sua realização assim como o
correspondente diagrama visual. Posteriormente, passam a apresentar-se as evidências que
permitiram estabelecer os padrões de interação, recorrendo às interações individuais de cada
aluno e a episódios da sala de aula. Na última secção, faz-se uma síntese do estudo das
interações nos três grupos.
4.1. Grupo 1 – André, Celso, Lúcio e Zeca
4.1.1. Constituição do Grupo 1
Este grupo é constituído unicamente por rapazes cujos nomes são: André, Celso, Lúcio e
Zeca. Estes alunos obtiveram níveis de desempenho à disciplina de matemática de 5, 4, 3 e 5
44
respetivamente, no final do terceiro período do ano letivo de 2012/2013. No início do ano letivo,
os alunos não estavam habituados a trabalhar em grupo, tal como referiram na resposta à
questão 1 do questionário aplicado, onde foram unanimes no “não”.
Na realização da entrevista, quando lhes foi perguntado “como se decidiram juntar em
grupo” com o objetivo de os compreender melhor, foi notória uma preocupação de André em
escolher o seu grupo, mostrando que liderou o processo de seleção do mesmo. A revelação de
como foi realizada a escolha do grupo pode-se ver no episódio E1_EG1.
Episódio E1_EG1: André: Eu no ano passado e até desde o 7.º [ano], ficava sempre
ao lado do Celso nas aulas de matemática (…). No início do ano, quando o professor disse que íamos trabalhar em grupos, eu que estava à beira do Celso, lá atrás, lembro- me de lhe ter perguntado para (…) ficarmos com o Zeca.
Zeca: Sim André: E depois perguntámos ao Lúcio, pelo menos são as
pessoas que eu admito que gosto mais de trabalhar em grupo (…).
No episódio E1_EG1, André para além de dizer que queria trabalhar com Celso,
escolheu os outros dois colegas com quem admite gostar de trabalhar. Ao escolher os colegas
com quem mais gostava de trabalhar, André evidencia que na sua opinião, no trabalho de grupo
é importante estar rodeado de pessoas com as quais gosta de trabalhar. Não obstante, os seus
colegas de grupo, primeiro Celso e depois Lúcio, deram-lhe essa liberdade de escolha do grupo.
Ter a possibilidade de escolher o seu grupo, é uma característica de um líder. Assim, desde o
início do ano letivo que André evidenciou ser a líder do seu grupo.
Na subsecção seguinte, apresentam-se as interações dos alunos deste grupo.
4.1.2. Interações do grupo 1 na resolução das tarefas
Nesta subsecção estudam-se as interações dos alunos do grupo 1 ao longo das tarefas
elaboradas nas aulas assinaladas com os números 4 e 7 (ver tabelas 3.4 e 3.5 e ANEXO 1).
Assim, apresentam-se as interações dos alunos ao longo da realização de tarefas de tipologias:
problema, exploratória, problema e exercício, por esta ordem. As ultimas três tarefas,
selecionadas da aula 7, permitiram verificar os padrões de interação entre os alunos ao longo da
realização do trabalho de grupo.
45
Problema do triângulo (Aula 4)
A discussão que se segue é sobre o problema do triângulo, proposto aos alunos na aula
4, cujo enunciado se encontra em anexo (ANEXO 2) e a sua caracterização na tabela 3.5. Na
figura 4.1 apresenta-se a resolução de Lúcio ao problema do triângulo.
Figura 4. 1 Resolução de Lúcio ao problema do triângulo.
Na tabela 4.1. apresentam-se os padrões das interações dos alunos ao longo da
realização da tarefa. Ao nível do processo, Celso e André colaboraram indiretamente pois
verbalizaram os seus pensamentos enquanto aparentemente trabalhavam sozinhos. Ao nível do
resultado, este é univocal pois André foi o primeiro a obter a solução.
No diagrama visual, as setas a tracejado evidenciam a existência de colaboração semi-
direta entre André e Zeca bem como entre André e Lúcio e entre Zeca e Celso. A seta a cheio
entre Celso e André evidencia a existência de colaboração indireta entre este par, tendo sido
André quem deu mais contributo para a elaboração da resposta, uma vez que apresenta um
número maior de interações do nível de dar ajuda, tal como se pode confirmar na tabela 4.2.
Por esse motivo, a seta foi estabelecida em direção a André.
46
Tabela 4. 1. Padrões de interação evidenciados pelos alunos do grupo 1 ao longo da realização do problema do triângulo
Padrões descritivos Diagrama visual
Nível do processo: Colaboração indireta e
semi-direta.
Nível do Resultado: Univocal.
A ideia geral das interações de cada aluno ao longo da realização da tarefa, é
apresentada na tabela 4.2, onde é possível verificar que André e Celso têm interações do nível
de dar ajuda enquanto Lúcio e Zeca têm interações do nível de receber ajuda ou pedir ajuda.
Tabela 4. 2. Interações dos alunos do grupo 1 ao longo da realização do problema do triângulo
Nível do Processo/Nível da
Solução
Nível de ajuda Alunos
André Lúcio Zeca Celso
Pedir ajuda Pedir instruções(1)
Questão sem resposta(1)
Verificar a resposta(1)
Questão de específica(1)
Dar ajuda Expor (3) Confirmar resposta( 2)
Confirmar resposta(1)
Expor (2)
Resposta (2) Total de interações 6 1 3 4
Na tabela 4.2, é possível verificar que as respostas a uma parte da tarefa ou à tarefa em
si foram dadas por André. Os alunos que colaboraram indiretamente são os alunos que
apresentam um maior número de interações, enquanto os outros (Lúcio e Zeca), apresentam um
menor número de interações.
No episódio E2_AG1, que teve lugar logo após a leitura conjunta da tarefa, evidencia-se
que ao nível do processo de resolução André e Celso colaboraram indiretamente, partilhando as
suas ideias à medida que aparentemente resolviam a tarefa sozinhos.
47
Episódio E2_AG1: Nº da Interação Aluno Interação Categoria 1 André: Fazer um triângulo e depois
tentar achar o centro. Expor
2 Celso: Acho que está certo (de seguida desenhou o triângulo).
Confirmar resposta
3 André: Fazer um triângulo e depois achar um ponto equidistante dos três. Ainda não pensei mais.
Expor
Sem conteúdo
4 Celso: Depois fazes a mediatriz do lado [do triângulo].
Expor
5 André: É capaz (pausa). O Celso por acaso deu aí uma [boa ideia].
Confirmar resposta
André foi o primeiro a evidenciar que teria de se fazer um triângulo, introduzindo no seu
grupo a ideia de relacionar as três distâncias através de um triângulo e achar o seu centro. De
seguida, André expôs novamente um procedimento mas desta vez, em vez de referir que se deve
“achar o centro” referiu antes que se deve “achar um ponto equidistante dos três” (interação 3),
o que pode revelar que o aluno tenha percebido que a resolução do problema passasse por
encontrar um ponto equidistante dos três vértices do triângulo. Contudo, não deixou claro que se
referia aos três vértices do triângulo. Apesar de saber que teria de encontrar o referido ponto,
evidenciou que não sabia como o fazer, uma vez que foi Celso quem deu a ideia de construir a
mediatriz de uns dos lados do triângulo (interação 4). A evidência de que foi Celso a introduzir no
grupo essa ideia surgiu pelo comentário que André fez (interação 5), uma vez que evidenciou
não ter pensado nisso. A partir deste momento, André e Celso é que responderam aos pedidos
explícitos de ajuda de Zeca e de Lúcio acerca da resolução da tarefa. No episódio E3_AG1,
mostram-se evidências do referido, e de que André foi o primeiro a obter a solução.
Episódio E3_AG1: Nº da Interação Aluno Interação Categoria 1 Lúcio: O que é para fazer?
(Pausa) Questão sem resposta
2 André: O ponto médio é em Arcozelo. Resposta
3 Zeca: (Questionando André).É para fazer um triângulo?
Pedir instruções
4 André: (Levantou a tarefa para expor o procedimento enquanto Zeca e o Lúcio observavam e ouviam atentamente) Fazes uma reta assim, outra assim e outra assim. As três retas [intersetam-se] em Arcozelo
Expor
5 Lúcio: (apagou algo na sua tarefa e pegou na sua régua).
48
A interação de André (interação 4) fez com que Lúcio terminasse a sua construção, mas
não fez com que Zeca completasse a sua construção com sucesso uma vez que nos momentos
seguintes, ele verificou a sua resposta observando a tarefa de Celso. Essa ajuda encontra-se
evidenciada no episódio E4_AG1.
Episódio E4_AG1: Nº da Interação Aluno Interação Categoria 1 Zeca: (Pegou na tarefa do Celso) Verificar a
resposta 2 Celso: Tens de fazer a mediatriz. Expor
3 Zeca: Deste lado? E deste lado? E deste [lado]?
Questão específica
4 Celso: Sim. (Zeca recorrendo à régua e ao compasso, traçou as mediatrizes dos lados do triângulo)
Confirmar resposta
Nos episódios E4_AG1 e E3_AG1, torna-se claro que quem disse como deveria efetuar a
construção a Zeca foi André, e de seguida, Celso.
O episódio E3_AG1 demonstra que foi André o primeiro a obter a solução (Arcozelo),
verbalizando-a. Nesta situação, em que nenhum dos seus colegas verbalizou uma outra solução,
os seus colegas mostraram ter-lhe atribuído sentido, uma vez que efetuando as suas
construções também obtiveram a resposta ao problema.
Tarefa exploratória dos polígonos (Aula 7)
A discussão que se segue é sobre uma parte da tarefa 1 proposta aos alunos na aula 7
(tarefa exploratória), cujo enunciado se encontra em anexo (ANEXO 3). Na figura 4.2, encontra-
se a resolução de Zeca à tarefa exploratória. Note-se que a solução apresentada por Zeca estava
errada. Nas linhas que se seguem, apresenta-se a razão pela qual Zeca e os alunos deste grupo
apresentaram uma solução errada.
49
Figura 4. 2 Resolução de Zeca à tarefa exploratória.
Devido ao elevado número de interações dos alunos ao longo da realização desta tarefa,
para analisar as suas diferentes interações ao longo da realização da mesma, optou-se por
apresentá-las separadamente em duas tabelas. Assim, primeiramente são apresentadas as
interações estabelecidas entre os alunos ao longo do processo de resolução da tarefa,
apresentando-se depois as interações estabelecidas entre os alunos no momento de obtenção da
solução. Nesse sentido, as interações que foram consideradas para estabelecer o padrão de
interação ao nível da solução, foram as interações estabelecidas entre os alunos no momento
em que interagiram de modo a obter a referida expressão algébrica, e quando já haviam
preenchido os outros espaços da tabela. As interações entre os alunos consideradas para
estabelecer o padrão de interação ao nível do processo, foram as interações estabelecidas desde
que iniciaram o preenchimento da tabela até ao momento em que preencheram todos os
espaços, à exceção do espaço correspondente à solução. Nas linhas que se seguem evidencia-se
que os padrões de interação dos alunos ao longo da realização desta tarefa são os apresentados
na tabela 4.3.
50
Tabela 4. 3. Padrões de interação evidenciados pelos alunos do grupo 1 ao longo da realização da tarefa exploratória
Padrão descritivo Diagrama visual
Nível do processo: Colaboração indireta,
colaboração semi-direta e interação oculta.
Nível do resultado: Univocal.
No diagrama visual, a inexistência de setas entre Zeca e os seus companheiros de grupo
demonstra que Zeca trabalhou de forma aparentemente individual, ou seja, em interação oculta.
A existência de setas simples a cheio entre André e Lúcio, e entre André e Celso evidencia a
existência de colaboração indireta entre os pares referidos. Contudo, entre os referidos pares
também se evidenciou o padrão de colaboração semi-direta. No entanto, no diagrama visual
optou-se por representar o padrão que mais se evidenciou, que foi o de colaboração indireta. A
presença de uma circunferência com linha a cheio evidencia que ao nível do resultado, as
interações entre estes alunos refletiram o padrão univocal.
Interações dos alunos ao nível do processo
Na tabela 4.4 encontram-se categorizadas as interações estabelecidas entre os alunos
ao nível do processo, onde se pode verificar que André foi o aluno do grupo que mais interagiu, e
Zeca o que menos interagiu.
Tal como se pode verificar no diagrama visual da tabela 4.3, Zeca trabalhou em
interação oculta. Contudo, tal como se pode verificar na tabela 4.4, durante o processo de
preenchimento da tabela, Zeca colocou uma questão. Com essa questão “Quem é que tem o
quadrilátero?” que tem a ver com a tarefa, Zeca evidenciou uma certa autonomia em relação ao
seu grupo na resolução da tarefa ao querer observar em quantos triângulos ficou decomposto o
quadrilátero. O facto de ter colocado uma questão e não terem sido registadas quaisquer outras
interações entre ele e os seus colegas ao longo do processo de resolução, evidencia que
trabalhou aparentemente de forma individual, pois não se sabe até que ponto as atitudes dos
seus colegas foram ou não significativas em determinados momentos do seu processo de
resolução. Nesse sentido, por não ter verbalizado os seus pensamentos enquanto resolvia a
tarefa tendo-a resolvido aparentemente sozinho, afirma-se que Zeca trabalhou em interação
oculta.
51
Tabela 4. 4. Interações estabelecidas entre os alunos ao nível do processo Nível do
Processo/Nível da Solução Nível de ajuda
Alunos
André Lúcio Zeca Celso
Nível do processo
Receber ajuda Observa com registo (1)
Observa com registo (1)
Pedir ajuda
Questão (1) Questão (1) Questão (1) Questão (1) Questão sem resposta (2)
Dar ajuda
Resposta (2)
Resposta (2) Expor (1)
Confirmar resposta (3)
Total de interações 8 4 1 3
Os outros elementos do grupo interagiram mais uns com os outros do que Zeca. André
foi quem mais interagiu. Lúcio e Celso tiveram momentos em que observaram e registaram o
que viam na tarefa de André (colaboração semi-direta). No entanto, apesar de Lúcio observar e
registar aquilo que via na tarefa de André, ele mostrou que dava sentido ao que o colega
escrevia. No episódio E5_AG1, enquanto André expunha uma sequência de números que
correspondia às somas das medidas das amplitudes dos ângulos internos de polígonos com 4, 5
e 6 lados respetivamente, e Lúcio observava a tarefa de André e registava na sua tarefa aquilo
que via na tarefa de André, quando este parou de verbalizar a sequência por não ter a certeza do
resultado da última soma, Lúcio ajudou-o (interação 2) evidenciando que estava a dar sentido ao
raciocínio seguido por André para calcular as referidas somas.
Episódio E5_AG1: Nº da Interação Aluno Interação Categoria 1 André: 360, 540, agora 720, e agora mil
duzentos e tal…não por acaso tenho a certeza.
Expor
2 Lúcio: 900. Resposta
3 André: Sim 900. Confirmar resposta
Não obstante, Lúcio e Celso tiveram momentos em que evidenciaram ter trabalhado
individualmente. No episódio E6_AG1, no momento em que Lúcio tinha de preencher o espaço
da tabela correspondente ao número de lados de um polígono com n lados, colocou uma
questão. Nesse momento, André partilhou a sua resposta (interação 2), tendo de seguida Celso
partilhado a sua (interação 3), e em sequência, André repetiu-a novamente parecendo estar a
questionar-se a si próprio se a mesma fazia sentido (interação 4).
52
Episódio E6_AG1: Nº da Interação Aluno Interação Categoria 1 Lúcio: E isto? Questão 2 André: É n. Resposta 3 Celso: Eu pus n vezes lado. Expor 4 André: n vezes lado? Questão sem
resposta
No episódio anterior, Celso apresentou uma resposta diferente da de André,
demonstrando que foi elaborada por si. No entanto, apesar de estar errada e depois de André a
ter verbalizado, parecendo colocar a questão a si mesmo e de ninguém ter respondido, todos
prosseguiram com a resolução das suas tarefas, não havendo negociação de significados.
Os episódios E5_AG1 e E6_AG1 e as interações individuais de Celso e Lúcio
apresentadas na tabela 4.4 demonstram que apesar de estes terem evidenciado que tiveram
momentos em que aparentemente trabalharam sozinhos (E6_AG1), a forma como Lúcio reagiu
ao que André verbalizava, (E5_AG1) e as interações de Celso mostraram que estes estavam
atentos ao que André estava a fazer e a dizer. Por Lúcio e Celso terem evidenciado estar atentos
ao que André dizia, enquanto resolviam aparentemente sozinhos a tarefa, ao nível do processo o
padrão verificado no grupo entre Celso e André e entre Lúcio e André é de colaboração indireta.
Interações dos alunos ao nível da solução.
Na tabela 4.5 encontram-se registadas as interações de cada aluno do grupo no
momento de obtenção da solução da tarefa exploratória.
Tabela 4. 5. Interações estabelecidas entre os alunos ao nível do resultado Nível do Processo/Nível da solução Nível de ajuda
Alunos
André Lúcio Zeca Celso
Nível da solução
Receber ajuda Receber Resposta (1)
Receber resposta (1)
Pedir ajuda Verificar resposta (1)
Dar ajuda Expor (2) Explicar (2) Confirmar Resposta (2)
Explicar (1)
Total de interações 3 1 3 3
53
Os dados que constam na tabela 4.5 evidenciam que Lúcio e Celso tiveram um papel
mais passivo do que André e Zeca no momento de obtenção da solução, pois estes
evidenciaram que receberam ajuda, mais especificamente, que escreveram a solução que foi
ditada por André. No entanto, Zeca apresentou uma solução diferente da apresentada por André.
Zeca explicou primeiro o seu raciocínio a Celso, e depois de este mostrar que estava de acordo
com aquilo que disse, pois Celso confirmou a resposta apresentada por Zeca, pediu para
verificar a resposta de André. Após ter verificado que André havia escrito n triângulos vezes 180,
e sendo esta solução diferente da sua, Zeca explicou-lhe a sua solução. O modo como ele
explicou a cada um deles, primeiro a Celso e depois a André, encontra-se no episódio E7_AG1.
Episódio E7_AG1 Nº da Interação Aluno Interação Categoria 1 Zeca: O n refere-se ao(s) [número de]
lados do polígono. Se 3 lados é um triângulo, 4 lados tens dois triângulos, 5 lados tens 3 triângulos, 5 lados tens 3 triângulos. Tens sempre mais dois lados [do] que [o número de] triângulos.
Explicar
2 Celso: Acho que sim Confirmar resposta
3 Zeca: André deixa ver a tua (Pausa)
Verificar resposta
André eu acho que é (n-2) vezes 180. (Pausa) Repara que dentro de um polígono há sempre mais dois lados que um triângulo. Precisas de três lados para ter um triângulo e precisas de 4 lados para ter dois triângulos (…)
Explicar
Zeca verbalizou o seu pensamento dirigindo-se especificamente a Celso explicando-o.
Após ter-lhe explicado por palavras suas que a variável n representava o número de lados de um
polígono, Zeca explicou-lhe ter verificado que o número de triângulos em que cada polígono da
tarefa foi decomposto era sempre menos dois do que o número de lados do polígono. Depois de
Celso ter concordado, explicou a sua solução a André expondo a solução encontrada por si e
explicando-a. No entanto, desta vez não explicou o que representava a variável n. A resposta de
André encontra-se no episódio E8_AG1.
54
Episódio E8_AG1 Aluno Interação Categoria André: Mas é o que nós fizemos. n triângulos
porque são os triângulos de dentro, vezes 180.
Explicar
Note-se que quando André apresentou a sua solução pela primeira vez não a explicou.
Na tabela 4.5 consta-se que André explicou uma vez e que Celso e Lúcio a aceitaram sem
questionar uma vez que não pediram ajuda, contudo quando confrontado com outra solução,
André já evidenciou sentir necessidade de a explicar.
No episódio E8_AG1, André evidencia ter dado sentido às palavras de Zeca quando
afirmou “Mas [foi] o que nós fizemos…” Com este "nós" presente na sua explicação, ele refere-
se a ele próprio e aos seus dois colegas, Celso e Lúcio, que aceitaram a sua solução sem a
questionar, assumindo-a como válida. Quando Zeca expos a sua solução passaram a existir duas
soluções diferentes, e com diferentes interpretações do que a incógnita n representa, não tendo
este facto sido esclarecido pelos alunos. Na solução apresentada por Zeca, a incógnita n
representa o número de lados de um polígono, e na solução apresentada por André, n
representa o número mínimo de triângulos em que um polígono convexo pode ser decomposto.
Estas duas interpretações diferentes da incógnita n não foram discutidas pelos alunos. Após
Zeca ter explicado a sua solução, André explicou por palavras suas que a solução pode ser
obtida multiplicando o número n de triângulos em que o polígono é decomposto por 180, e os
seus colegas de grupo não o confrontaram.
Nos episódios E7_AG1 e E8_AG1 poderiam ter emergido oportunidades de
aprendizagem caso tivessem sido colocadas questões específicas ou indicações daquilo que não
estava claro nas soluções apresentadas (Cobb, 1995) por Zeca e por André. No entanto, no
episódio E8_AG1 André, como não foi questionado, apenas explicou a solução apresentada por
si, sem explicar ou o modo como a obteve ou o raciocínio utilizado.
Perceções dos alunos acerca dos episódios em sala de aula E7_AG1 e
E8_AG1
A solução apresentada por Zeca era a que correspondia ao que era esperado que os
alunos obtivessem. Contudo, os alunos deste grupo aceitaram a resposta de André sem a
questionar. Celso, que tinha concordado com a explicação de Zeca, também não se manifestou
após a explicação de André. Com o intuito de compreender melhor os comportamentos destes
55
alunos, em entrevista, começou-se por lhes mostrar as suas resoluções das tarefas, e o extrato
da gravação audiovisual correspondente aos episódios E7_AG1 e E8_AG1. De seguida,
questionaram-se os alunos acerca de como pensaram para terem obtido a primeira solução
apresentada (n triângulos vezes 180), e por último, questionou-se acerca do motivo que os levou
a escrever a solução de André. O diálogo entre a professora estagiária e os alunos deste grupo
acerca do modo como estes pensaram encontra-se no episódio E9_EG1.
Episódio E9_EG1 Professora: Aqui como é que pensaram. Escreveram n triângulos vezes
180. André: Lembro-me que [eu] estava certo mas que tinha errado na
fórmula. Eu agora já sei como é que é (…). Professora: O Zeca depois disse a resposta correta ele disse “Estás a ver
aqui é sempre n menos dois vezes 180”. André: Pois é eu lembro-me que o Zeca estava certo e eu estava
errado. Professora: Mas tu não lhe deste a razão. André: Sou capaz de não ter dado porque eu em parte também estava
certo e ele também estava. Mas a [resposta] dele estava mais correta porque dava para qualquer um mas na minha tinha sempre de ir ver o [número de triângulos em que ficou decomposto o polígono] que estava atrás.
André respondeu prontamente, admitindo lembrar-se que Zeca estava certo mas ele
também estava, contudo tinha apresentado uma fórmula errada. Ao afirmar “Eu agora sei
que…” André evidencia que depois do momento de realização da tarefa pensou na solução, e
percebeu que a solução apresentada por Zeca era a que correspondia ao pedido. No entanto, no
momento em que foi confrontado, defendeu a sua solução pois referiu que “(…) em parte eu
também estava certo (…)”.
Na tentativa de perceber o motivo pelo qual nenhum elemento do grupo questionou
André, a professora estagiária questionou-os. Nesse momento, Zeca mostrou-se muito ansioso
por revelar o motivo. A revelação desse motivo encontra-se no episódio E10_EG1:
Episódio E10_EG1 Professora: Todos escreveram a resposta do André porquê? Porque é que todos
escreveram a resposta do André apesar da resposta do Zeca ser a correta?
Zeca: Porque o André tem um historial a matemática muito superior ao resto dos alunos do grupo e como é o André está sempre certo.
André: Não, não é sempre às vezes também te digo Zeca: (Interrompendo o André) Um bocado sim….é mais ou menos a nossa
mentalidade. André: Prontos. Mas estão as duas certas. A dele estava mais correta porque
aplicava-se a todos os casos e a minha tinha de vir sempre atrás.
56
Na perspetiva de Zeca, André devido ao seu historial a matemática, é reconhecido pelo
seu grupo como o melhor e utilizando as suas palavras, “como é o André está sempre certo”.
Contudo, André evidenciou não ter a perceção de que os colegas o vêm assim.
Também Celso, quando questionado em entrevista acerca dos episódios E7_AG1 e
E8_AG1, mostrou ter uma opinião que vai ao encontro da de Zeca. As suas revelações
encontram-se no episódio E11_EG1.
Episódio E11_EG1 Professora: Na resposta a esta tarefa vocês escreveram n triângulos vezes
180 que foi a resposta ditada pelo André. No entanto, o Zeca apresentou outra resposta. n menos dois vezes 180 foi a resposta apresentada por ele. Qual é que estava certa?
Celso: Acho que era a do Zeca. Professora: Na altura reconheceste isso?
Celso: Não. Nós achamos sempre que que o André é o melhor. Como a maior parte das vezes [ele] é o melhor, nós concordamos mais com ele [do que com os outros].
Os episódios E10_EG1 e E11_EG1 indicam que André é tido como o melhor aluno do
grupo. Nestes episódios e nos episódios E7_AG1 e E8_AG1, torna-se claro que André representa
uma autoridade matemática no grupo. Uma autoridade que lhe é reconhecida pelos seus
colegas de grupo e que pode ser explicada por ser considerado o melhor aluno da turma além
de ter tido, pelo menos desde o 7.º ano, nível de desempenho 5 à disciplina de matemática, a
confirmar na tabela 3.2. Tal como refere Cobb (1995), as situações que envolvem interações
univocais ilustram situações em que um aluno foi constituído a autoridade matemática do grupo.
Nessas situações, o aluno que constitui uma autoridade matemática no grupo julga que
o seu colega ou cometeu um erro, ou não percebeu (Cobb, 1995).
No entanto, nesta situação parece que André não assumiu que o colega cometeu um
erro, uma vez que referiu “mas foi o que nós fizemos”, defendeu sim a sua solução, uma vez
que achava que era igualmente válida. Os seus colegas aceitaram-na sem o questionar. É
importante referir que a noção de autoridade matemática se refere à relação que os alunos
constituíram através da interação, em vez das crenças de um aluno relativamente ao seu papel.
Por exemplo, um aluno pode acreditar que é matematicamente mais avançado do que outro e
rotineiramente tenta ajudar o seu colega a entender (Cobb, 1995). No entanto,
independentemente do que o aluno acredita, ele só é uma autoridade matemática do grupo se
os seus colegas aceitarem as suas soluções como válidas (Cobb, 1995), que é o que acontece
neste grupo em relação a André.
57
Tarefa da justificação escrita (Aula 7)
A discussão que se segue é sobre a segunda parte da tarefa 1, da aula 7 (ver tabelas
3.4 e 3.4 e ANEXO 1) cujo enunciado se encontra em anexo (ANEXO 4). Na figura 4.3
apresenta-se a resolução de André ao problema da justificação escrita.
Figura 4. 3 Resolução de André da tarefa da justificação escrita.
Nesta tarefa, os alunos tinham de elaborar uma justificação escrita. Após a leitura da
tarefa, André começou desde logo a ditar a referida justificação, não dando espaço para uma
elaboração conjunta da resposta. Na tabela 4.6 apresentam-se os padrões de interação
evidenciados pelos alunos ao longo da elaboração desta tarefa de tipologia problema.
Tabela 4. 6. Padrões de interação evidenciados pelos alunos do grupo 1 ao longo da realização da tarefa da justificação escrita
Padrão descritivo Diagrama visual
Nível do processo: Colaboração semi-direta.
Nível do resultado: Univocal.
Tal como se pode verificar na tabela 4.6, as interações entre os alunos ao nível do
processo evidenciaram o padrão de colaboração semi-direta. Ao nível do resultado o padrão
evidenciado foi o univocal. Na figura 4.6, o padrão de colaboração semi-direta encontra-se
evidenciado pelas setas a tracejado estabelecidas na direção do aluno que está a dizer como se
faz (André), tendo sido as suas ideias as dominantes no momento de obtenção da solução. Na
tabela 4.7 apresentam-se as interações dos alunos ao longo da elaboração do problema da
justificação escrita.
58
Tabela 4. 7. Interações estabelecidas entre os alunos do grupo 1 ao longo da resolução do problema da justificação escrita
Nível do Processo/Nível da
Solução
Nível de ajuda
Alunos
André Lúcio Zeca Celso
Receber ajuda Observar com registo (1)
Observar com registo (1)
Receber instrução (1)
Receber instrução (1)
Receber
instrução (1)
Pedir ajuda Questão (1) Pedir instruções (2)
Pedir instruções (1)
Dar ajuda Resposta (3) Resposta (2)
Expor (1) Total de interações 5 2 3 4
Tal como se pode observar na tabela 4.7, foi André o aluno que disse a resolução, tendo
sido o único aluno do grupo que não recebeu ajuda. De facto foi ele quem ditou a resposta e os
seus colegas quem receberam a resposta. Lúcio e Celso ora receberam a resposta, escrevendo-a
nas suas tarefas à medida que esta era ditada, ora observaram e registaram para conseguirem
escrever a resposta na totalidade. Zeca também mostrou que nem sempre acompanhou a
resposta que André ditou pois pediu duas vezes instruções. A resposta que André ditou aos seus
colegas e o modo como Zeca pediu instruções encontra-se evidenciado no episódio E12_AG1.
Este episódio, E12_AG1, evidencia que Zeca, no início assumiu um papel passivo,
recebendo a resposta ditada por André. No entanto, como não conseguiu escrever todas as
palavras que André ditou, pediu instruções, repetindo em voz alta aquilo que conseguiu escrever
do que ouviu da resposta de André. Evidenciou que estaria à espera que André a completasse.
Como André demorou a responder-lhe, Zeca acabou por completar a sua resposta que foi ao
encontro do que André havia ditado.
Episódio E12_AG1 Nº da Interação Aluno Interação Categoria 1 André: As conclusões a que
chegamos com o preenchimento da tabela é que a [soma das medidas das das] amplitude[s] dos ângulos internos [de um poligono] é igual ao número de triângulos [em que ficou decomposto] vezes 180º.
Resposta
59
2 Zeca: Concluímos que [a soma das medidas das] amplitude[s] dos ângulos internos. (Pausa)
Pedir instruções
Já sei, n vezes 180 é igual à soma das amplitudes dos ângulos internos
Resposta
Pode-se afirmar que Zeca, após ter ouvido a resposta ou parte da resposta de André, foi
capaz de a reformular por palavras suas. Repare-se que a resposta que elaborou vai ao encontro
da solução proposta por André na tarefa exploratória, o que evidencia que a explicação de André
acerca da solução da tarefa exploratória o convenceu. No entanto, apesar de Zeca ter
reformulado a resposta de André, foram as ideias de André que dominaram no momento de
obtenção da solução. Nesse sentido, ao nível do resultado diz-se que este é univocal.
Repare-se que, apesar de no momento da obtenção da solução terem sido as ideias de
André que dominaram, Zeca, após André ter verbalizado a sua resposta na totalidade e ter
ouvido parte da resposta, foi capaz de completar a sua resposta sem a ajuda de André. Assim
Zeca, após ter interagido com um colega do mesmo nível de desempenho do que ele, conseguiu
completar a sua resposta.
Exercício com recurso ao transferidor (Aula 7)
A discussão que se segue é sobre uma tarefa da aula 7, da tipologia exercício cujo
enunciado se encontra em anexo (ANEXO 4). Na figura 4.4, apresenta-se a resolução de Celso
ao exercício com recurso ao transferidor.
60
Figura 4. 4 Resolução de Celso ao exercício com recurso ao transferidor
Na tabela 4.8, apresentam-se os três padrões de interação evidenciados pelos alunos ao
nível do processo, assim como o padrão evidenciado ao nível do resultado, e o correspondente
diagrama visual.
Tabela 4. 8. Padrões de interação evidenciados pelos alunos do grupo 1 ao longo da realização da tarefa, de tipologia exercício
Padrão descritivo Diagrama visual
Nível do processo: Colaboração Semi-direta,
Direta, e Interação oculta;
Nível do resultado: Univocal
Entre André e Lúcio evidenciaram-se dois padrões de colaboração: direta e semi-direta.
No entanto, no diagrama visual apresentado na tabela 4.8, e de modo a não estabelecer outra
seta a evidenciar a colaboração semi-direta, optou-se por representar um dos padrões mostrados
por este par de alunos. A seta a tracejado entre Celso e André, estabelecida na direção de
André, evidencia a existência de colaboração semi-direta entre eles, tendo sido André a dizer
como se resolve.
61
No enunciado da tarefa era pedido aos alunos que medissem e adicionassem as
amplitudes dos ângulos externos do triângulo dado. Durante a observação das gravações
audiovisuais verificou-se que os alunos que recorreram à utilização do transferidor foram Lúcio e
Zeca. Nas linhas que se seguem, evidencia-se que Celso recebeu ajuda para resolver a tarefa e
que André se articulou com Lúcio, de modo a obter as medidas das amplitudes dos ângulos do
triângulo dado. Na tabela 4.9 apresentam-se as interações dos alunos ao longo da realização da
tarefa.
Tabela 4. 9 Interações dos alunos ao longo da realização do exercício com recurso ao transferidor
Nível do Processo/Nível da
Solução
Nível de ajuda
Alunos
André Lúcio Zeca Celso
Receber ajuda Observar com registo (2)
Observar com registo (1)
Receber resposta (1)
Pedir ajuda Questão de específica (2)
Pedir instruções (1)
Dar ajuda Expor (5) Resposta (4)
Resposta (1) 8 7 0 2
De notar que não foram registadas quaisquer interações entre Zeca e os seus colegas de
grupo, o que demonstra que este aluno, recorrendo ao transferidor, efetuou as devidas medições
e somou as medidas das amplitudes dos ângulos externos do triângulo dado, trabalhando
aparentemente individualmente, ou seja em interação oculta. Por esse motivo, não foram
estabelecidas quaisquer setas.
Celso recebeu ajuda através de interações não-verbais, observar com registo, e verbais,
recebe resposta. O mesmo observou a resolução da tarefa de André e registou na sua aquilo que
observou, durante o processo de resolução e recebeu a resposta no momento em que André
expos a solução da tarefa, episódio E15_AG1 (interação 3). Nesse sentido, foi André quem disse
como se faz a Celso, assim o padrão de interação entre eles ao nível do processo foi de
colaboração semi-direta.
Nas linhas que se seguem evidencia-se que ao nível do processo entre André e Lúcio
evidenciaram-se dois padrões de colaboração: direta e semi-direta. Lúcio, recorrendo ao
62
transferidor, mediu as amplitudes de dois dos ângulos externos do triângulo, uma de cada vez,
dizendo-as a André (2 respostas). Conhecidas estas duas medidas, de seguida, André e Lúcio
determinaram a terceira medida por processos diferentes: André efetuando cálculos e Lúcio
recorrendo à utilização transferidor. As suas interações nesses momentos encontram-se nas
linhas que se seguem.
Episódio E13_AG1: Aluno Interação Categoria André: O primeiro deve ser 60. Sem conteúdo Lúcio: (Efetuando medições com
recurso ao transferidor) 60. 70.
Resposta Resposta
André: Onde é que é 70? É aqui o 70? (Pausa) Agora é fácil, 60+70 é igual a
Questão específica 2) Expor
Lúcio: 50 Resposta
Neste episódio pode-se reparar que André tentou adivinhar qual a medida da amplitude
de um dos ângulos internos do triângulo e Lúcio recorrendo ao transferidor mediu a amplitude
dos três ângulos do triângulo dado. André esperou que ele efetuasse as medições e utilizou-as
para determinar a medida do terceiro. Para determinar a medida da amplitude do terceiro
ângulo, André efetuou os devidos cálculos. Nota-se uma articulação entre eles de modo a
determinarem as medidas das amplitudes dos ângulos internos do triângulo dado. Nesse
sentido, afirma-se que estes alunos neste momento de realização da tarefa, colaboraram
diretamente.
Apesar de terem colaborado diretamente nesta primeira fase da tarefa, uma vez
determinadas as medidas das amplitudes dos ângulos internos do triângulo, para determinar a
medida das amplitudes dos ângulos externos do triângulo, Lúcio pediu instruções a André e este
disse-lhe como se soluciona.
Episódio E14_AG1
Aluno Interação Categoria Lúcio: Como se faz? (aponta para a
tarefa) Pedir instruções
André: Olha 60+70. (pausa) este é 120 não isto é 130 este é 110….
Expor
Após André ter exposto o modo como determinou, Lúcio observou a tarefa de André e
registou na sua aquilo que observou e de seguida, André expôs o seu raciocínio.
63
Episódio E15_AG1 Aluno Interação Categoria André:
Mas deu 180, olha este é um angulo raso, 180 -70 dá 110.
Expor
Lúcio, após André ter exposto o seu raciocínio, continuou a observar a tarefa de André e
a registar na sua aquilo que via, o que evidencia que ele não usufruiu daquilo que André lhe
disse. Assim, no momento de determinar a medida das amplitudes dos ângulos externos do
triângulo foi André quem disse como se faz a Lúcio. Neste momento eles trabalharam em
colaboração semi-direta.
No momento de obtenção da solução foi André quem efetuou a soma e ditou a solução
tal como se pode constatar no episódio E16_AG1.
Episódio E16_AG1
Nº da Interação Aluno Interação Categoria 1 André: A soma das amplitudes dos
ângulos externos. 120+130 (Pausa)
Expor
2 Lúcio: 250 Resposta
3 André: Dá 250 (Celso e Lúcio observam-no atentamente) mais 110 dá 360 (Lúcio e Celso escrevem).
Resposta
Apesar de Lúcio ter efetuado um cálculo, foi André quem determinou a solução,
evidenciando que as interações entre André, Lúcio e Celso, ao nível do resultado, evidenciam um
padrão que é univocal.
Zeca trabalhou em interação oculta, não se sabendo até que ponto o que os seus
colegas diziam ou faziam foi significativo para ele em determinado momento do seu processo de
resolução. Nesse sentido, não se faz referência à sua resposta, dando-se por assumido que foi
André quem ditou a solução.
4.1.3. Interações do Grupo 1
Na tabela 4.10, apresentam-se as interações dos alunos ao longo da realização de
diferentes tipologias de tarefas.
64
Tabela 4. 10 Interações dos alunos do grupo 1 ao longo da realização das diferentes tarefas
Aluno
Tipo Nível de ajuda Categoria André Lúcio Zeca Celso
Não-verbal Receber ajuda Observa com registo 4 3
Verbal
Pedir ajuda
Questão sem resposta 2 1
Questão 2 1 Questão específica 2 1 Verificar resposta 2 Pedir instruções 1 3 1
Dar ajuda
Explicar 1 2 Expor 11 3
Confirmar resposta 4 4
Sem conteúdo
Resposta 8 6 2 Receber ajuda Recebe resposta 2 1 3
Total de interações dos alunos 30 20 6 14
De notar que neste grupo os únicos alunos que explicaram, foram André e Zeca. Esta
categoria de interação só se evidenciou na resolução da tarefa de tipologia exploratória (Ponte,
2005) de nível de exigência elevado (Smith & Stein, 2012). De notar que Lúcio e Celso são os
alunos do grupo que mais frequentemente observam com registo em relação aos restantes. O
aluno do grupo que mais interage a nível de dar ajuda e verbalmente é André. De facto, este foi
o aluno de grupo que trabalhou ou em colaboração indireta ou direta ou semi-direta (dizendo
como se soluciona aos seus colegas). Zeca foi o aluno do grupo que menos interagiu com os
seus colegas, mostrando trabalhar em interação oculta em duas das quatro tarefas analisadas,
nomeadamente nas de tipologia exploratório e exercício que são tarefas de desafio reduzido
(Ponte, 2005).
Na tabela 4.11, apresentam-se os padrões de interação evidenciados pelos alunos do
grupo 1 ao longo da realização das diferentes tarefas apresentadas. Na mesma pode-se verificar
que o padrão de interação mais frequente no grupo ao nível do processo foi o de colaboração
semi-direta e ao nível do resultado foi o padrão univocal.
65
Tabela 4. 11. Padrões de interação evidenciados pelos alunos do grupo 1 ao longo da elaboração das diferentes tarefas
Tarefa Nível do processo Nível do resultado
Problema do triângulo Colaboração indireta e
Colaboração semi-direta Univocal
Tarefa exploratória Colaboração indireta,
Colaboração semi-direta e Interação oculta
Univocal
Problema da justificação escrita
Colaboração semi-direta Univocal
Exercício com recurso ao transferidor
Colaboração semi-direta, Colaboração direta e
Interação oculta. Univocal
Note-se que ao nível do resultado, as interações entre os alunos evidenciaram o padrão
univocal, tendo sido nas quatro situações as ideias de André que dominaram.
O padrão de colaboração direta evidenciou-se uma vez, na resolução do exercício com
recurso ao transferidor, quando André e Lúcio se articularam para medir as amplitudes dos
ângulos externos do triângulo dado, ou seja, enquanto efetuavam um procedimento de rotina.
Ao longo da realização do trabalho de grupo, das tarefas exploratória, problema e
exercício, ao nível do processo, evidenciaram-se três padrões de colaboração, direta, indireta e
semi-direta e o padrão de interação oculta. O padrão de colaboração semi-direta foi o padrão
mais frequente, tendo-se evidenciado ao longo do trabalho de grupo, e tendo sido sempre o
mesmo aluno a dizer a resolução. Ao nível do resultado, evidenciou-se o padrão unívocal tendo
sido o mesmo aluno do grupo o primeiro a obter a solução da tarefa e a verbalizá-la.
Na tabela 4.12, apresentam-se os padrões de interação evidenciados pelos alunos do
grupo 1 nas diferentes tipologias de tarefas. Na referida tabela contata-se que ao longo da
realização de diferentes tipologias de tarefas, ao nível do processo, evidenciaram-se três formas
de colaboração, a saber: direta, semi-direta e indireta. Evidenciou-se também a forma de
trabalho individual interação oculta. Ao nível do resultado evidenciou-se o padrão univocal nas
diferentes tipologias de tarefas analisadas.
66
Tabela 4. 12. Padrões de interação evidenciados pelos alunos do grupo 1 ao longo da elaboração das diferentes tipologias de tarefas
Padrões Problemas
Exploratório
Exercício
Nível do processo Colaboração indireta
Colaboração direta
Colaboração semi-direta
Interação oculta
Trabalho independente
Nível do resultado Univocal
Multivocal
Problemas. Nos dois problemas analisados, ao nível do processo evidenciaram-se dois
padrões de colaboração: semi-direta e indireta. No entanto, tal como se pode constatar na tabela
4.12 o padrão que se evidenciou nos dois problemas foi o de colaboração semi-direta, tendo
sido sempre o mesmo aluno a dizer “como se faz”. Ao nível do resultado evidenciou-se o padrão
univocal, e nos dois casos, foi o mesmo aluno quem obteve a solução em primeiro lugar.
Exploratório. Na tarefa exploratória, ao nível do processo evidenciaram-se dois padrões
de colaboração: colaboração indireta e colaboração semi-direta, e o padrão de interação oculta.
Exercício. As interações dos alunos ao longo desta tarefa evidenciaram três padrões:
colaboração semi-direta, direta e interação oculta. Contudo, nos momentos em que as
interações entre dois dos alunos evidenciaram a existência de colaboração direta, esse padrão
não se manteve entre esses alunos durante todo o processo de resolução do exercício tendo-se
alterado para a forma de colaboração semi-direta.
4.1.4. Perceções dos alunos sobre o trabalho de grupo
Nesta subsecção apresentam-se as perceções dos alunos sobre o trabalho de grupo
recolhidas através do questionário (ANEXO 8). No fim, apresenta-se a perceção do grupo,
recolhida em entrevista e no fim do ano letivo, acerca do trabalho de grupo.
Trabalho de grupo.
Na questão de escolha múltipla 1.2 do questionário onde se afirmava “Para mim
trabalhar em grupo nas aulas de matemática é:”, Lúcio foi o único aluno do grupo a selecionar a
opção “Resolver a tarefa sozinho e esclarecer as dúvidas que vão surgindo com os meus colegas
67
de grupo, elaborando a minha resposta”, enquanto os seus colegas selecionaram a opção
“Discutir aspetos da tarefa com os meus colegas de grupo e elaborar uma resposta conjunta”.
Relativamente ao grupo de afirmações “Eu e o trabalho de grupo”, André foi o único
aluno do grupo que discordou da afirmação 2, não concordando que cada elemento do grupo
constituísse uma peça fundamental para a sua aprendizagem e para a dos seus colegas. No que
diz respeito à afirmação 3, Lúcio foi o aluno do grupo que não considerou que trabalhar em
grupo lhe pudesse ter permitido conhecer diferentes formas de pensar. Segundo Webb (1980)
alunos com nível de desempenho médio não beneficiam da experiência de grupo pois eles não
têm uma participação ativa nas explicações nem na sua solicitação. Este facto pode explicar a
perceção de Lúcio, o aluno do grupo com nível de desempenho médio à disciplina de
matemática, uma vez que não evidenciou ter uma participação ativa nas explicações nem a
solicitá-las o que consequentemente não lhe possibilitou conhecer diferentes formas de pensar.
Todavia, constatou-se através das respostas à afirmação 4 que os alunos consideraram que o
trabalho de grupo lhes tenha permitido conhecer diferentes processos de resolução. De facto, tal
como se pode constatar na tabela 4.10 as interações da categoria expor, onde se incluem
interações como expor procedimento, foi a categoria de interação mais explícita no grupo, tendo
sido quase sempre o mesmo aluno a expor. De facto, tal como se pode constatar na tabela 4.10,
neste grupo o número de interações da categoria expor é superior ao número de interações da
categoria explicar.
Relativamente ao grupo de afirmações “Como eram esclarecidas as dúvidas”, todos os
alunos do grupo consideram sentir-se à vontade para esclarecer as suas dúvidas no grupo,
colocando-as primeiro aos seus colegas que as tentavam explicar explicar. Relativamente à
afirmação 8, Zeca e Celso consideraram que quando tinham dúvidas chamavam logo o
professor para explicar, enquanto André e Lúcio não o faziam. Do que foi possível verificar
através da análise das gravações audiovisuais, Lúcio evidenciou que o modo mais no
esclarecimento das suas dúvidas foi através de interações da categoria observar com registo,
uma vez que esta é a categoria de interação através da qual recebeu ajuda mais
frequentemente.
Relativamente ao grupo de afirmações “A partilha”, todos os alunos do grupo
consideram sentir-se à vontade para partilhar os seus raciocínios, sendo André o único a
concordar totalmente com esta afirmação. De facto, ele foi o aluno com mais interações verbais
(tabela 4.10). André e Zeca foram os alunos do grupo que consideraram gostar menos de ouvir
68
os seus colegas do que partilhar os seus raciocínios e as suas dúvidas, no trabalho de grupo.
Também consideraram que não gostam mais de primeiro observar e ouvir os seus colegas de
grupo a discutir e a resolver, e só depois partilhar as suas ideias. Estes dois alunos demonstram,
na sua perceção no trabalho de grupo, que não desempenham um papel de ouvir as discussões
dos seus colegas, mas sim de tentarem trabalhar. De facto, André é o aluno que mais interage
verbalmente e Zeca, e não obstante ser o aluno do grupo com menos interações, evidenciou
trabalhar em interação oculta em duas das quatro tarefas analisadas. Zeca foi o único elemento
do grupo a não considerar que existe um líder. Essa sua perceção pode estar relacionada com o
facto de ter sido o único aluno do grupo que trabalhou em interação oculta, tendo os seus
colegas trabalhado de forma colaborativa em todas as tarefas. Nesse sentido, o próprio André
reconhece-se como o líder do grupo, Lúcio e Celso também o consideram como líder do grupo.
Lúcio demonstrou isso por estar a observá-lo constantemente durante a elaboração das tarefas.
Celso manifestou isso numa entrevista realizada. No episódio E17_EG1, encontra-se a revelação
de Celso:
Episódio E17_EG1: Professora: Há um líder? Celso: Sim (…). No meu grupo é o André sabe explicar melhor as suas ideias
e sabe interagir melhor com as pessoas (…).
Celso referiu que o líder do grupo é André, porque na sua opinião é o aluno que sabe
explicar melhor e interagir com os colegas.
Aprendizagem da Geometria
Na tabela 4.13 explicitam--se as respostas dos alunos do grupo 1 relativamente ao grupo
de afirmações sobre a importância do grupo para a aprendizagem da Geometria.
Tabela 4. 13. Percentagem de alunos do grupo 1 segundo as opções de resposta das escalas de Lickert Afirmações D/DT C/CT
19. O trabalho de grupo revelou-se importante para a aprendizagem da Geometria. 50% 50%
20. O trabalho de grupo permitiu-me compreender melhor a Geometria do que em anos letivos anteriores.
50% 50%
21. O trabalho de grupo permitiu-me ultrapassar dificuldades que tinha em Geometria. 25% 75%
22. O trabalho de grupo permitiu-me conhecer diferentes processos de resolução de tarefas de Geometria.
100%
23. No trabalho de grupo, a descoberta de determinados erros nos processos de resolução das tarefas permitiu construir novas aprendizagens em Geometria.
100%
24. Considero que o contributo individual de cada um dos elementos do grupo para a resolução da tarefa deve ser discutido por todos, e que isso é importante para a minha aprendizagem.
25% 75%
DT- Discordo Totalmente; D – Discordo; C – Concordo; CT – Concordo Totalmente
69
André e Lúcio discordaram das afirmações 19 e 20 do questionário, e Lúcio discordou
das afirmações 21 e 24. De facto, o André também foi o único aluno do grupo que discordou da
afirmação 2 do questionário onde se dizia “Considero que cada um de nós constitui uma peça
fundamental para a minha aprendizagem e para a aprendizagem dos meus colegas”. Apesar
deste aluno ter sido o que mais interagiu verbalmente (confirmar tabela 4.10), ele evidencia não
considerar o grupo importante para a sua aprendizagem. Para Lúcio, o trabalho de grupo não
permitiu que ele ultrapassasse as dificuldades que tinha em Geometria. Esta perceção do aluno,
mais uma vez, vai ao encontro do que Webb (1980) refere acerca dos alunos de nível 3, em que
estes não beneficiam da experiência de grupo por não terem uma participação ativa nas
explicações ou a solicitá-las.
Perceção final sobre o trabalho de grupo
André assumiu a sua perspetiva sobre o trabalho de grupo, que mudou. Contudo, este
aluno evidencia dar importância aos seus “companheiros de grupo” tal como ele referiu.
Recorde-se que este aluno, no episódio E1_EG1 evidenciou que escolheu os colegas com quem
mais gostava de trabalhar. No terceiro período, Mário, o aluno do grupo 6 que se mostrava
constantemente descontente com o seu grupo, mudou-se para o grupo 1. Esta mudança parece
não ter agradado André, que assume que a partir desse momento passou a falar menos com os
seus colegas de grupo, Zeca e Lúcio, do que antes. A revelação do referido encontra-se no
episódio E18_EG1.
Episódio E18_EG1 1 André: Sim, acho que sim mas isso depende muito dos nossos
companheiros de grupo. (…) Por exemplo agora que o Mário está no nosso grupo, falo muito menos com vocês (Zeca e Lúcio) dá para ver na dá? (…) é quase como se tivéssemos dois grupos vocês os três (Mário, Zeca e Lúcio) e eu e o Celso (…).
2 Professora: Então o Mário influenciou a separação do vosso grupo? É isso que queres dizer?
3 André: De certo modo é, nota-se não vou dizer que não.
4 Zeca: Se calhar ele até ficava melhor em outros grupos. Há grupos que apesar de serem grupos são mais individualistas.
5 Lúcio: Ele não trabalha muito. (…) Mas ele quando falava não era dos exercícios era de outras coisas.
André evidencia que o novo elemento alterou as interações entre os alunos do grupo,
provocando alterações no modo como o mesmo funcionava. As interações 4 e 5 do episódio
anterior evidenciam que Zeca e Lucas também não apreciam a situação. Na tentativa de
70
perceber melhor o ponto de vista de André, a professora estagiária questionou-o novamente. O
modo como foi questionado e a sua revelação encontram-se no episódio E19_EG1.
Episódio E19_EG1 Professora: Achas que tem a ver com o identificar com as pessoas que leva
a que nós trabalhemos melhor em grupo? André: Não é tanto o identificar mas às vezes só a própria coisa de
gostar de trabalhar com a pessoa já é mais fácil, já incentiva mais, pronto.
Nos episódios E18_EG1 e E19_EG1 André evidencia que é mais fácil, e que é mais
incentivador trabalhar em grupo quando se gosta de trabalhar com os colegas do mesmo, do
que quando isso não acontece.
4.2 Grupo 2 – Carmo, Dino, Gui e Hugo
4.2.1. Constituição do Grupo 2
Este grupo é constituído por uma rapariga, Carmo, e por três rapazes: Dino, Gui e Hugo.
Estes alunos obtiveram níveis de desempenho à disciplina de matemática de 2, 5, 5, e 3
respetivamente, no final do terceiro período do ano letivo de 2012/2013. No início do primeiro
período, este grupo era constituído pelos três rapazes. Carmo mudou-se do grupo 6 para o grupo
2, por se mostrar descontente com o seu grupo anterior. No início do ano letivo, os alunos não
estavam habituados a trabalhar em grupo, tal como referiram na resposta à questão 1 do
questionário aplicado, onde foram unanimes no “não”.
Na realização da entrevista, quando lhes foi perguntado como se decidiram juntar em
grupo, com o objetivo de os compreender melhor, foi Gui quem teve e iniciativa de responder.
Na sua perspetiva, os três rapazes juntaram-se não só por serem colegas fora da sala de aula,
mas também porque eram todos alunos de níveis de desempenho 4 ou 5, em anos letivos
anteriores à disciplina de matemática. A revelação do sucedido encontra-se no episódio
E20_EG2.
71
Episódio E20_EG2 Professora: Como se escolheram? Gui: Queríamos juntar um grupo em que nos entendêssemos bem. Hugo: Equilibrado. Professora: Costumavam andar juntos fora da sala de aula? Gui: Sim. E eramos os três de níveis 4 e 5.
Hugo: Eu baldei-me.
Professora: Escolheram-se por nível também? Gui: Sim.
De notar que Hugo admitiu que este ano não se esforçou. No fim do primeiro período e
até desde o 7.º ano, conforme se pode confirmar na tabela 2.6, Hugo era aluno de nível 4 e no
final do corrente ano letivo, obteve nível de desempenho 3 à disciplina de matemática. Talvez
não se tenha esforçado, como admite, ou talvez não faça um esforço por perceber os processos
de resolução das tarefas, uma vez que numa das gravações, enquanto Carmo pretendia uma
explicação acerca daquilo que estava a ser feito, Hugo referiu: “Não sabes decoras”. Talvez
tivesse referido isto, por ser o que eventualmente faz.
4.2.2. Interações do Grupo 2 na resolução das tarefas
Nesta subsecção estudam-se as interações dos alunos do grupo 2 ao longo de tarefas
elaboradas nas aulas, assinaladas com os números 4 e 7 (ver tabelas 3.4 e 3.5 e ANEXO 1).
Assim, apresentam-se as interações dos alunos ao longo da realização de tarefas de tipologias
problema, exploratório, problema e exercício, por esta ordem. As últimas três tarefas,
selecionadas da aula 7, permitiram verificar os padrões de interação entre os alunos ao longo da
realização do trabalho de grupo.
Problema do triângulo (Aula 3)
Na figura 4.5 apresenta-se a resolução de Carmo ao problema do triângulo.
72
Figura 4. 5 Resolução de Carmo ao problema do triângulo.
Apresentam-se evidências de que o padrão de interação dos alunos ao longo da
realização do trabalho de grupo ao nível do processo foi de colaboração semi-direta, e ao nível do
resultado foi univocal. Os padrões de interação evidenciados pelos alunos do grupo, assim como
o correspondente diagrama visual, apresentam-se na tabela 4.14. No diagrama apresentado na
tabela 4.14, as setas a tracejado evidenciam o padrão de colaboração semi-direta entre os
pares: Dino e Gui, Dino e Carmo, e Dino e Hugo.
Tabela 4. 14. Padrões de interação evidenciados pelos alunos do grupo 3 ao longo da resolução do problema do triângulo
Padrão descritivo Diagrama visual
Nível do processo: Colaboração semi-direta.
Nível do resultado: Univocal.
Após a leitura conjunta da tarefa, Gui pegou no compasso enquanto os restantes
elementos do grupo exploraram o mapa do concelho de Barcelos. Foi Gui quem disse “como se
faz” a Dino, por isso existe uma seta a tracejado na direção de Gui. Por sua vez, Dino disse
73
“como se faz” a Hugo e a Carmo, por isso existem duas setas a tracejado estabelecidas na
direção de Dino. Existe uma circunferência com linha a cheio à volta de Gui para evidenciar que
foram as suas ideias as que dominaram no momento de obtenção da solução, mostrando que
ao nível do resultado as interações refletem um resultado que é univocal.
Nas linhas que se seguem, mostram-se evidências de que o padrão das interações entre
pares de alunos do grupo ao nível do processo foi de colaboração semi-direta. Apesar de não ter
sido Gui a dizer “como se faz” a todos os elementos do grupo, foi ele quem disse “como se
faz”a Dino e foi este que transmitiu aos outros dois colegas. Nesse sentido, este foi o único
padrão de interação evidenciado no grupo. Na tabela 4.15, é possível verificar que as interações
estabelecidas por Gui foram do nível de dar ajuda, as interações estabelecidas por Carmo foram
do nível de receber ajuda, as interações estabelecidas por Hugo foram do nível de pedir e
receber ajuda e Dino estabeleceu interações no sentido de pedir ajuda e de dar ajuda.
Tabela 4. 15. Interações entre os alunos do grupo 2 ao longo da elaboração do problema do triângulo
Nível do Processo/Nível da Solução
Nível de ajuda Alunos
Gui Dino Hugo Carmo Receber ajuda Observar com
registo (1) Observar com registo (1)
Pedir ajuda Pedir instruções (1)
Pedir instruções (1)
Dar ajuda Expor (1) Expor (1) Resposta (1) Resposta (1) Confirmar resposta (1)
Total de interações 3 3 2 1
Dino pediu explicitamente ajuda a Gui. No episódio E21_AG2, evidencia-se que foi Gui
quem disse “como se faz” a Dino, e foi Dino que por sua vez disse “como se faz” a Hugo.
Evidencia-se ainda que foi Gui o primeiro a obter a solução da tarefa.
Episódio E21_AG2 Aluno Interação Categoria Dino: Como se faz? Pedir
instruções Gui: Não sei bem. Por acaso estou a fazer aqui a ver se
encontro uma mediação [para os] 3 (fazendo gestos de cruzamento com as mãos. Entretanto Dino pegou no lápis, na régua e num momento posterior no compasso).
Expor procedimento
Gui: Arcozelo Resposta Hugo: Como fazes? Pedir
instruções Dino: Uma reta aqui faço deste, deste e deste (Com o Expor
74
compasso exemplifica enquanto o Hugo e a Carmo o observam atentamente até ele acabar o processo de construção).
Dino: Arcozelo. Resposta Gui: Fui eu que disse, Arcozelo.
Confirmar resposta
Apesar de Gui não ter exposto o procedimento a seguir a Dino, e de não ter utlizado
vocabulário próprio, como por exemplo triângulo ou mediatrizes, esta ajuda parece ter sido
significativa para Dino pois, utilizando os instrumentos de medida adequados, encontrou a
solução da tarefa, Arcozelo. Nos momentos seguintes, Dino expôs o procedimento aos seus
colegas Hugo e Carolina, que também tiveram momentos em que observaram atentamente e de
seguida efetuaram construções nas suas tarefas. Gui quando terminou, avançou para a tarefa
seguinte não esperando pelos seus colegas. Como foi Gui quem obteve primeiro a solução da
tarefa, ao nível do resultado este é univocal.
Tarefa exploratória dos polígonos (Aula 7)
Na figura 4.6 apresenta-se a resolução de Dino à tarefa exploratória.
Figura 4. 6. Resolução de Dino à tarefa exploratória.
75
Na tabela 4.16 apresentam-se os padrões de interação dos alunos ao longo da
realização da tarefa. Ao nível do processo evidenciaram-se dois tipos de colaboração: indireta e
semi-direta. Ao nível do resultado, este foi univocal em que a solução à tarefa foi apresentada
por Gui.
Tabela 4. 16. Padrões de interação dos alunos do grupo 2 ao longo da realização da tarefa exploratória
Padrões descritivos Diagrama visual
Nível do resultado: Colaboração indireta e
semi-direta.
Nível do resultado: Univocal.
No diagrama visual apresentado na tabela 4.16, as setas simples indicam que existiu
colaboração indireta entre pares de alunos do grupo. As referidas setas foram estabelecidas na
direção de Gui, pois este foi o aluno do grupo que mais evidenciou interagir com os seus colegas
ao nível do processo de resolução, a confirmar na tabela 4.17. Existem duas setas a tracejado
estabelecidas na direção de Dino, pois Hugo e Carmo recorreram a Dino nos momentos em que
evidenciavam necessitar de ajuda. Assim, Carmo e Hugo, apesar de terem interagido quer com
Gui quer com Dino, no momento em que receberam ajuda dirigiram-se a Dino.
Na tabela 4.17, pode-se observar que todos contribuíram com respostas a parte da
tarefa. Hugo, apesar de ter apresentado uma resposta errada, também o fez. Hugo e Carmo,
apesar de terem contribuído para a resolução da tarefa, partilhando respostas à parte da tarefa,
também tiveram momentos em que observaram com registo a tarefa de Dino, de modo a
completarem as suas resoluções. Nesse sentido, o padrão evidenciado quer entre Carmo e Dino
quer entre Hugo e Dino foi de colaboração semi-direta. De notar que Gui foi o único aluno do
grupo que não recebeu ajuda, e foi o único que explicitamente a pediu (episódio E22_AG2).
76
Tabela 4. 17. Interações dos alunos do grupo 2 ao longo da realização da tarefa exploratória dos polígonos
Nível do Processo/Nível da Solução
Nível de ajuda Gui Dino Hugo Carmo
Receber ajuda Observar com registo (1)
Observar com registo(2)
Observar com registo(2)
Pedir ajuda Questão específica (5)
Dar ajuda Expor (1)
Resposta (3) Resposta (3) Resposta (2) (Uma errada)
Resposta (1)
Expor (2)
Total de interações 11 4 4 3
O facto de todos os alunos terem de algum modo contribuído com resposta (s) à parte
da tarefa, enquanto aparentemente a resolviam sozinhos, evidencia outro padrão de interação ao
nível do processo: colaboração indireta. No episódio E22_AG2, é notório que todos os alunos
partilharam resposta (s) à parte da tarefa tendo sido Gui o primeiro a obter e a verbalizar a
solução da tarefa.
Episódio E22_AG2
Aluno Interação Categoria Carmo: O meu é o pentágono Sem conteúdo Gui: Pentágono são 5.
Diz [o] número de triângulos em que ficou decomposto.
Resposta Questão específica
Carmo 3. Resposta Hugo: Triângulos 4. Resposta
(errada) Gui: Soma das amplitudes, 3 vezes180.
460 (utilizando a calculadora) 540. Expor
Dino: 720. Resposta Gui: (n-2) vezes 180 (Dino observou e registou.) Expor
Foi Gui quem ditou a solução (última interação). Dino observou e registou na sua tarefa,
e por sua vez, Hugo e Carmo observaram a tarefa de Dino, registando nas suas o que viram. De
notar que aceitaram a solução, e que não houve qualquer explicação acerca da expressão
apresentada por Gui. De notar ainda que nenhum dos alunos questionou a solução exposta por
Gui ou pediu um esclarecimento acerca do raciocínio seguido por ele.
Problema da justificação escrita (Aula 7)
Na figura 4.7, apresenta-se a resposta que Carmo escreveu, enquanto uma das duas
respostas elaboradas neste grupo.
77
Figura 4. 7 Resolução de Carmo ao problema da justificação escrita.
Na tabela 4.18, apresentam-se os padrões de interação dos alunos ao longo da
realização da tarefa e o correspondente diagrama visual. Ao nível do processo, as interações
entre os alunos evidenciaram o padrão de colaboração semi-direta. Ao nível do resultado, as
interações evidenciaram um padrão que é univocal. Apesar de existirem duas respostas
diferentes no grupo, em que uma delas, a de Dino, foi elaborada depois da do aluno Gui ter sido
totalmente verbalizada, foram as ideias de Gui que dominaram no momento de obtenção da
solução.
Tabela 4. 18. Interações dos alunos do grupo 2 ao longo da realização do problema da justificação escrita
Padrão descritivo Diagrama visual
Nível do processo: Colaboração semi-direta;
Nível do resultado: Univocal.
No diagrama visual, as setas simples a tracejado evidenciam a existência de colaboração
semi-direta entre os pares, Gui e Dino, Dino e Carmo, e Dino e Hugo. O sentido da seta foi
estabelecido no sentido do aluno que “diz como se faz”. Na tabela 4.19, apresentam-se as
interações dos alunos ao longo da realização da tarefa.
78
Tabela 4. 19. Interações dos alunos do grupo 2 ao longo da elaboração do problema da justificação escrita
Nível do Processo/Nível da Solução
Nível de ajuda Gui Dino Hugo Carmo
Receber ajuda Observar com registo (1)
Observar com registo (1)
Pedir ajuda Pedir instruções (1)
Dar ajuda Resposta (2) Resposta (1)
Expor (1) Confirmar resposta (1)
Total de interações 3 2 2 1
De notar que Hugo tem interações do nível de pedir ajuda e de receber ajuda enquanto
Carmo apenas recebeu ajuda. De facto, durante o processo de resolução o papel destes dois
alunos foi o de observar a resolução da tarefa de Dino, e de registarem nas suas o que
observavam. O pedido de instruções que Hugo fez a Dino foi no sentido de clarificar aquilo que
estava escrito na tarefa deste último. No episódio E23_AG2, mostram-se evidências de que Gui
verbalizou parte da sua resposta, e só depois é que Dino elaborou a sua, reformulando a
resposta de Gui.
Episódio E23_AG2
Nº da Interação
Aluno Interação Categoria
1 Gui: O número de lados está relacionado com (pausa). O número de lados esta relacionado com o número de triângulos em que ficou decomposto, visto que o número de triângulos em que ficou decomposto é sempre menos dois que o número de lados, e… (neste momento Hugo e Carmo estavam fora da tarefa e Dino escutava-o atentamente. Nos momentos seguintes, Dino trabalhava aparentemente de forma individual, ou observava a tarefa de Gui, evidenciando pensar antes de escrever) (Pausa)
Resposta
2 Hugo: O que diz aqui? (questionando Dino e apontando para a sua tarefa)
Pedir instruções
3 Dino: (Lendo o que tinha escrito) A soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo está relacionada com o número de lados através da fórmula (Carmo observava a tarefa de Dino)
Resposta
4 Gui: O número de lados está relacionado com o número de triângulos em que ficou decomposto e pode ser obtido através da seguinte expressão (n-2) vezes 180 sendo n é o número de lados.
Reposta
5 Dino: É quase a mesma coisa Confirmar resposta
79
O facto de Dino ter ouvido parte da resposta de Gui à tarefa antes de elaborar a sua,
evidencia que a resposta de Gui influenciou-o de algum modo na elaboração da sua resposta. As
duas respostas são muito parecidas, a verificar nas interações 3 e 4, e Dino, após Gui ter
verbalizado a sua resposta à tarefa (interação 4), assumiu que aquilo que estava escrito nas
suas tarefas era “quase a mesma coisa” (interação 5). Cada um deles leu a sua resposta, um ao
outro, não tendo havido qualquer discussão acerca do que escreveram. Neste episódio, torna-se
evidente de que Hugo passou a resolução de Dino, assim como Carmo, que estava
constantemente a observar a tarefa de Dino e a registar na sua. No entanto, Dino e Gui
limitaram-se a ler a resposta que cada um executou, e nenhum deles elaborou uma resposta
totalmente correta.
Tal como se pode constatar na tabela 4.19, Carmo não interagiu verbalmente com os
seus colegas. Na observação da gravação audiovisual foi possível constatar que observou a
tarefa de Dino e registou aquilo que viu na sua tarefa. Na sua resolução (figura 4.7), podemos
constatar que apresentou uma resposta igual à que Dino verbalizou (interação 3 do episódio
E23_AG2).
No sentido de tentar perceber se de facto Dino construiu a sua resposta com base na
resposta de Gui, e após lhes terem sido apresentadas as respetivas resoluções das suas tarefas
e o correspondente episódio da gravação audiovisual, os alunos foram questionados por
entrevista acerca do modo como a resolveram. No episódio E24_EG2, Gui revelou a sua
perceção de como resolveram a tarefa.
Episódio E24_EG2
Professora: Lembram-se como resolveram esta tarefa? Gui: Eu resolvi, eu disse a minha ideia. Ele (Dino) disse que ia fazer
de uma maneira diferente. Tínhamos a mesma coisa mas por outras palavras era a mesma teoria mas por outras [palavras].
De facto, a perceção de Gui vai ao encontro da conclusão a que se chegou, no sentido
em que a resposta de Dino foi elaborada depois de Gui ter elaborado a sua, e com base na
mesma.
Exercício com recurso ao transferidor (Aula 7)
Na figura 4.8 apresenta-se a resolução de Dino ao exercício com recurso ao transferidor.
80
Figura 4. 8 Resolução de Dino ao exercício com recurso ao transferidor.
Ao longo da realização desta tarefa, todos os alunos deste grupo utilizaram os seus
transferidores e mediram as amplitudes dos ângulos externos do triângulo dado, ao mesmo
tempo que foram tendo conversas que nada tinham a ver com o processo de resolução nem
com a solução da mesma. Contudo, todos os alunos resolveram a tarefa corretamente. Nesse
sentido, não se sabe até que ponto o que cada um fez, influenciou ou não o (s) outro (s). Assim,
o padrão de interação ao nível do processo, verifica-se que é de interação oculta entre os
elementos do grupo e ao nível do resultado as respostas são aparentemente individuais. O
correspondente diagrama visual é o apresentado na figura 4.9, onde a ausência de setas
evidencia a inexistência de colaboração entre os elementos do grupo.
Figura 4. 9 Interação oculta – Respostas aparentemente individuais
81
4.2.3. Interações do Grupo 2
Na tabela 4.20, apresentam-se as interações de cada aluno ao longo da realização das
tarefas analisadas das aulas assinaladas com os números 4 e 7. Na referida tabela, constata-se
que Gui foi o aluno do grupo que mais interagiu verbalmente.
Tabela 4. 20. Interações dos alunos do grupo 2 ao longo da realização das diferentes tarefas
Alunos Nível de ajuda
Tipo de ajuda Categoria Gui Dino Hugo Carmo
Não-verbal
Receber ajuda Observar com registo 1 4 4 Recebe instrução
Verbal
Pedir ajuda
Questão sem resposta Questão Questão específica 4 Verificar resposta Pedir instruções 1 1 1
Dar ajuda
Explicar Expor 5 1 Confirmar resposta 1 1 Sem conteúdo Tentativa de resposta Resposta 6 5 2 1
Receber ajuda Recebe instrução Total de interações dos alunos 17 9 7 5
De notar que os alunos do grupo com mais interações ao nível de receber ajuda são
Hugo e Carmo, destacando-se como sendo as suas interações mais frequentes. Estes alunos
evidenciaram necessitar de ajuda três vezes, contudo só Hugo pediu explicitamente ajuda uma
vez. Ao longo da realização das diferentes tarefas, Carmo e Hugo só contribuíram, ao nível do
processo de resolução, na tarefa de tipologia exploratório da aula 7. Gui é o aluno do grupo com
maior número de interações, sendo o único que colocou questões específicas nestas tarefas,
bem como o único a não registar interações não-verbais.
Na tabela 4.21, apresentam-se os padrões de interação dos alunos, ao longo da
realização das tarefas apresentadas nas duas aulas.
82
Tabela 4. 21. Padrões de interação evidenciados pelos alunos do grupo 2 ao longo da elaboração das diferentes tarefas
Tarefa Nível do processo Nível do resultado Problema do triângulo Colaboração semi-direta Univocal
Tarefa exploratória Colaboração indireta
Colaboração Semi-direta
Univocal
Problema da justificação escrita
Colaboração Semi-direta
Univocal
Exercício com recurso ao transferidor
Interação oculta Respostas aparentemente individuais
Neste grupo, ao nível do processo evidenciaram-se dois padrões de colaboração:
colaboração indireta e semi-direta. Numa das tarefas de tipologia exercício, todos os elementos
do grupo evidenciaram trabalhar em interação oculta. Ao nível do resultado o padrão mais
frequente foi o univocal, tendo-se verificado em três das quatro tarefas analisadas, em que foi
sempre o mesmo aluno o primeiro a explicitar que obteve o resultado.
Ao longo da realização do trabalho de grupo, nomeadamente ao longo da realização das
tarefas exploratória, problema da justificação escrita e exercício com recurso ao transferidor, ao
nível do processo, o padrão de colaboração indireta evidenciou-se em uma das três tarefas
apresentadas. O padrão de colaboração semi-direta evidenciou-se duas vezes, e o padrão de
interação oculta evidenciou-se uma vez.
Ao nível do resultado, em duas das três tarefas evidenciou-se o padrão univocal. Apenas
na tarefa de tipologia exercício é que os alunos evidenciaram cada um ter construído a sua
resposta.
Os padrões de interação evidenciados pelos alunos deste grupo, nas diferentes tipologias
de tarefas apresentadas evidenciam-se na tabela 4.22.
83
Tabela 4. 22. Padrões de interação evidenciados pelos alunos do grupo 2 ao longo da elaboração das diferentes tipologias de tarefas
Nível do
processo/
Nível do
resultado
Padrões Problemas
Tarefa Exploratória Exercício com recurso ao transferidor
Nível do processo
Colaboração indireta
Colaboração direta
Colaboração semi-
direta
Interação oculta
Trabalho
independente
Nível do resultado
Univocal
Multivocal
Respostas aparentemente individuais
Problemas. Nos dois problemas analisados ao nível do processo, o padrão de interação
evidenciado foi o mesmo: colaboração semi-direta. No entanto, no problema da justificação
escrita Dino, depois de ter ouvido a resposta de Gui, foi capaz de a reformular e escrever a sua
resposta, apesar de esta ter sido elaborada com base na resposta de Gui. Ao nível do resultado o
padrão foi univocal, onde as ideias de Gui dominaram.
Exploratório. A tarefa de natureza exploratória favoreceu a existência de colaboração
indireta entre os alunos do grupo, contudo ao nível do resultado este foi univocal, já que foi
ditado apenas por um aluno.
Exercício. A elaboração da tarefa de tipologia exercício propiciou ao nível do processo o
padrão de interação oculta entre os elementos do grupo, onde cada um evidenciou ter elaborado
a sua resposta.
4.2.4. Perceções dos alunos sobre o trabalho de grupo
Trabalho de grupo
Na afirmação 1.2 do questionário onde se afirmava “Para mim trabalhar em grupo na
resolução de uma tarefa, na aula de matemática é:” deu origem à seleção de três opções
84
diferentes por parte dos alunos. Dino e Gui selecionaram opções distintas e diferentes da
selecionada por Hugo e por Carmo, que selecionaram a mesma opção. Dino, Carmo e Hugo
concordam, na medida em que para eles, trabalhar em grupo é “Discutir aspetos da tarefa com
os meus colegas de grupo” contudo Dino é da opinião que depois deve elaborar a sua resposta
enquanto que para Hugo e para Carmo a resposta deve ser elaborada em conjunto. Para Gui,
trabalhar em grupo é trabalhar sozinho e esclarecer as dúvidas que vão surgindo com os seus
colegas de grupo, elaborando a sua resposta. De facto, nas tarefas analisadas o padrão
evidenciado ao nível do resultado foi o univocal em que Gui elaborou a sua resposta, tendo-a
apresentado a Dino, que por sua vez, elaborou a sua com base na de Gui. Dino interagiu mais
com os seus colegas Hugo e Carmo, do que Gui, tendo essa situação revelado por exemplo, nas
tarefas de tipologia problema em que Dino disse “como se faz” a Hugo e a Carmo. Este facto
evidencia-se na perceção de Gui e de Dino sobre o trabalho de grupo, uma vez que Gui prefere
“resolver a tarefa sozinho” enquanto Dino prefere “discutir”. Contudo não houve discussão mas
sim partilha de soluções ou de procedimentos. Tal como se pode constatar na tabela 4.20, neste
grupo não existiram interações da categoria explicar, sendo mais frequentes as interações das
categorias expor ou resposta, dadas frequentemente por Gui.
Carmo foi a única aluna do grupo a discordar da afirmação 5 do questionário,
evidenciando que no seu grupo, nem sempre se sentiu à vontade para esclarecer as suas
dúvidas. De facto, esta aluna foi a que menos interagiu com os seus colegas de grupo, tal como
se pode verificar na tabela 4.20. De igual modo, foi a aluna do grupo que concordou, enquanto
os seus colegas ou discordaram ou discordaram totalmente, com a afirmação 8 do questionário,
onde se afirmava que “Quando alguém tinha dúvidas chamavam logo o professor para explicar”.
Esta perceção pode estar relacionada com o facto de se sentir pouco à vontade para esclarecer
dúvidas com o seu grupo, chamando o professor para as esclarecer.
No que diz respeito à existência de um líder, Gui foi o aluno do grupo que concordou
com a afirmação 17 do questionário, onde se afirmava que “Um dos elementos do grupo
assumiu muitas vezes o papel de líder ou moderador”. Na entrevista, questionou-se os alunos
acerca da existência de um líder no grupo, tendo sido Gui quem manifestou vontade em falar. As
suas opiniões encontram-se no episódio E25_EG3:
Episódio E25_EG3 Professora: Existe um líder? Gui: São os que têm um nível [de desempenho] mais elevado.
85
Gui, ao evidenciar que o papel de líder pode ser assumido por um dos alunos do grupo
com nível de desempenho mais elevado, está a assumir que quem pode assumir esse papel
pode ser ele ou Dino, uma vez que foram eles que obtiveram esse nível à disciplina de
matemática (tabela 3.2). No entanto, Dino, no questionário, discordou da afirmação 17.
Aprendizagem da Geometria
Na tabela 4.23 apresentam-se as frequências relativas em percentagem das perceções
dos alunos sobre a importância do trabalho de grupo para a aprendizagem da Geometria,
recolhidas através do questionário, onde se pode constatar que a opinião dos alunos é ou
Concordo ou Concordo Totalmente.
Tabela 4. 23. Percentagem de alunos do grupo 2 segundo as opções de resposta das escalas de Lickert Afirmações D/DT C/CT
19. O trabalho de grupo revelou-se importante para a aprendizagem da Geometria. 100%
20. O trabalho de grupo permitiu-me compreender melhor a Geometria do que em anos letivos anteriores.
100%
21. O trabalho de grupo permitiu-me ultrapassar dificuldades que tinha em Geometria. 100%
22. O trabalho de grupo permitiu-me conhecer diferentes processos de resolução de tarefas de Geometria.
100%
23. No trabalho de grupo, a descoberta de determinados erros nos processos de resolução das tarefas permitiu construir novas aprendizagens em Geometria.
100%
24.Considero que o contributo individual de cada um dos elementos do grupo para a resolução da tarefa deve ser discutido por todos, e que isso é importante para a minha aprendizagem.
100%
DT- Discordo Totalmente; D – Discordo; C – Concordo; CT – Concordo Totalmente
Em geral, os alunos deste grupo consideraram que o trabalho de grupo revelou-se
importante para a aprendizagem da Geometria, permitindo compreendê-la melhor do que em
anos letivos anteriores, e permitindo construir novas aprendizagens.
Perceção final sobre o trabalho de grupo
No final do ano letivo, os alunos em entrevista foram convidados a refletir se as suas
perceções acerca do trabalho de grupo mudaram. Foi Gui quem teve a iniciativa de responder
afirmativamente, e quando questionados sobre o que mudariam no seu grupo, foi Gui quem
mais uma vez teve a iniciativa de responder. A sua resposta encontra-se no episódio E26_EG3.
Episódio E26_EG3
Professora: O que mudavam? Gui: Desde o início não púnhamos a Carmo à beira do Hugo porque
já ficaram muito tempo juntos. E é só isso.
86
Gui revelou não ter sido boa ideia Hugo e Carmo estarem ao lado um do outro. De facto,
Hugo baixou de nível de desempenho à disciplina de matemática. No entanto, esse aluno
evidenciou ter a perceção de que não se esfoçou o suficiente tal como evidenciou no episódio
E20_EG3. Do que se pode observar das aulas, Carmo e Hugo eram os alunos do grupo com
mais conversas fora da tarefa. No final do primeiro período, já tinha sido sugerido a Carmo que
tirasse maior partido do potencial do seu grupo, tal como se pode verificar na tabela 3.3. e tendo
sido questionada no intuito de perceber se ela terá ou não dado o seu melhor nesse sentido. O
diálogo encontra-se no episódio E27_EG3:
Episódio E27_EG3
Professora: Conseguiste tirar partido do grupo, ou achas que podias ter tirado mais?
Carmo: Podia ter tirado mais, mas tirei mais do que com o grupo anterior.
Carmo assumiu que poderia ter tirado mais partido do seu grupo do que efetivamente
tirou, mas deixou claro que conseguiu tirar mais partido neste do que do grupo 6, ao qual
pertencia antes da mudança.
4.3. Grupo 3 – Carlos, Luca, Ricardo e Tadeu
4.3.1. Constituição do Grupo 3
Este grupo é constituído unicamente por rapazes cujos nomes são: Carlos, Luca, Ricardo
e Tadeu. Estes alunos obtiveram níveis de desempenho à disciplina de matemática de 5, 3, 5 e
3 respetivamente, no final do terceiro período do ano letivo de 2012/2013. No início do ano
letivo, os alunos não estavam habituados a trabalhar em grupo, tal como referiram na resposta à
questão 1 do questionário aplicado, onde foram unânimes no “não”.
Na realização da entrevista, quando lhes foi perguntado “como se decidiram juntar em
grupo” com o objetivo de os compreender melhor, Luca, Tadeu e Ricardo partilharam da opinião
de que o principal motivo era por usualmente andarem juntos fora da sala de aula. A revelação
de como foi realizada a escolha do grupo encontra-se no episódio E28_G3:
Episódio E28_EG3 Professora: Como escolheram o grupo? Luca Eramos amigos do intervalo. Tadeu: Estávamos sempre juntos. Ricardo: No 8.º ano andávamos juntos. Foi logo a primeira decisão nós os 4.
87
Neste episódio, Ricardo para além de partilhar da opinião dos colegas, disse que “foi logo
a primeira decisão”, evidenciando não ter pensado na hipótese de trabalhar em outro grupo. Na
subsecção seguinte, apresentam-se as interações dos alunos deste grupo.
4.3.2. Interações do Grupo 3 na resolução das tarefas
Nas linhas que se seguem estudam-se as interações dos alunos do grupo 3 nas aulas
assinaladas com os números 4 e 7. Assim, apresentam-se as interações dos alunos ao longo da
realização de tarefas de tipologias problema, exploratório, problema e exercício, por esta ordem.
As últimas três tarefas, selecionadas da aula 7, permitiram verificar os padrões de
interação entre os alunos ao longo da realização do trabalho de grupo.
Problema do triângulo (Aula 4)
A discussão que se segue é sobre o problema do triângulo. Na figura 4.10 apresenta-se
a resolução de Carlos à tarefa cujo enunciado se encontra em anexo (ANEXO 2).
Figura 4. 10 Resolução de Carlos ao problema do triângulo.
Na tabela 4.24, apresentam-se os padrões de interação dos alunos ao longo da
realização do problema do triângulo, assim como o correspondente diagrama visual. Ao longo da
elaboração da tarefa, as interações dos alunos ao nível do processo refletiram os padrões de
88
colaboração semi-directa e interação oculta. Ao nível do resultado o padrão é univocal, em que
foi Carlos o primeiro aluno a explicitar ter obtido a solução.
Tabela 4. 24. Padrões evidenciados pelos alunos do grupo 3 ao longo da elaboração do problema do triângulo
Padrões descritivos Diagrama visual
Nível do processo: Interação oculta e
Colaboração semi-direta.
Nível do resultado: Univocal.
Durante o processo de resolução, Carlos e Ricardo trabalharam aparentemente sem
interagirem um com o outro, em interação oculta, uma vez que não se sabe até que ponto o que
um fazia influenciou o outro durante o processo de resolução da tarefa. Luca e Tadeu tiveram
um papel passivo pois observaram as resoluções dos seus colegas: Tadeu a de Carlos, e Luca a
de Ricardo, sendo que registaram aquilo que iam observando nas tarefas destes. De facto, na
tabela 4.25 podemos verificar que durante a resolução da tarefa, Luca interagiu através de
interações não-verbais. Tadeu também, apesar de ter colocado uma questão sem resposta a
Carlos (“Olha ponho daqui para aqui?”). Carlos pode não ter respondido por não ter ouvido ou
por estar concentrado na sua resolução. Como Carlos não lhe respondeu, passou algum tempo
a observá-lo e de seguido pegou no compasso.
Tabela 4. 25. Interações dos alunos do grupo 3 ao longo da realização do problema do triângulo
Nível do Processo/Nível da Solução
Nível de ajuda Carlos Ricardo Tadeu Luca
Receber ajuda Observar com registo (1)
Observar com registo (1)
Pedir ajuda Questão especifica (1) Verificar resposta (1)
Questão sem resposta (1)
Dar ajuda Resposta (1) Confirmar resposta (2)
Resposta (1)
Expor (2)
Total de interações 1 4 3 1
De notar que Carlos verbalizou uma resposta, dada a Ricardo. No episódio E29_AG3,
podemos ver a referida interação entre Ricardo e Carlos, e que esta só ocorreu no momento de
obtenção da solução. Carlos mostrou a sua resolução a Ricardo para o ajudar, não verbalizando
89
qualquer tipo de ajuda. No entanto, ao observar a resolução de Carlos, Ricardo conseguiu
perceber o que lhe faltava fazer de modo a completar a sua resolução. Nesse sentido, no
momento de obtenção da solução pode-se afirmar que foram as ideias de Carlos que
dominaram. No episódio E29_AG3, podemos ver como ocorreu o referido:
Episódio E29_AG3 Nº da Interação Aluno Interação Categoria 1 Ricardo: Intersectam-se em Barcelinhos
não é? Confirmar resposta
2 Carlos: Arcozelo. Resposta 3 Ricardo: Então como é que fizeste?
(Retirou-lhe a tarefa) Verificar resposta
4 Carlos: Podes é tentar perceber. Sem conteúdo 5 Ricardo: Tenho de fazer aqui uma
mediatriz (Após observar a resolução de Ricardo à tarefa, Luca iniciou o seu processo de construção). (pausa) É Arcozelo é (pausa). É onde as retas se intersetam.
Expor Confirmar resposta
O episódio E29_AG3 evidencia que o Carlos já tinha resolvido a sua tarefa quando o
Ricardo revelou necessitar de ajuda, no momento de obtenção da solução, como se verifica na
interação 1. Assim, estes dois alunos resolveram a tarefa aparentemente sozinhos em interação
oculta, uma vez que estando todos a resolver a tarefa, não se sabe até que ponto aquilo que uns
faziam influenciou os outros. Apesar de Carlos não ter verbalizado de modo a explicitar que
foram as suas ideias que dominaram ao nível da solução, o facto de ele ter mostrado a tarefa a
Ricardo, como se verifica na interação 3, foi suficiente para Ricardo compreender e obter a
solução correta, a constatar na interação 5. Assim, ao nível do resultado este é univocal pois foi
Carlos o primeiro a verbalizá-lo, a constatar na interação 2.
As interações de Tadeu e de Luca evidenciam que estes elaboraram as suas
construções de acordo com aquilo que iam observando, nas tarefas dos seus colegas de lado.
Luca observando o modo como Carlos efetuava a sua construção, e Tadeu observando o modo
como Ricardo efetuava a sua construção. A trabalhar desse modo, Tadeu efetuou a sua
construção com sucesso, tal como se pode constatar no episódio E30_AG3, quando este
perguntou à professora se podia passar à tarefa seguinte.
90
Episodio E30_AG3 Tadeu: Professora posso avançar? Professora: Deixa-me ver. Como fizeste? Tadeu: Segmentos de reta (apontando para os lados do triângulo) e depois fiz
a mediatriz dos segmentos de reta.
De notar que, apesar de Tadeu ter evidenciado que necessitava de ajuda, pois colocou
uma Questão sem resposta a Carlos e observava-o atentamente enquanto este resolvia a sua
tarefa, nenhum elemento do grupo disse “como se faz” a Tadeu, tendo sido observando Carlos
que ele elaborou a sua construção com sucesso.
Tarefa Exploratória dos Polígonos (Aula 7)
A discussão que se segue é sobre a primeira tarefa proposta aos alunos na aula 7, cujo
enunciado se encontra em anexo (ANEXO 3). Na figura 4.11 encontra-se a resolução de Luca à
tarefa exploratória dos polígonos.
Figura 4. 11 Resolução de Luca à tarefa exploratória dos polígonos.
Na tabela 4.26, apresentam-se os padrões de interação descritivos evidenciados pelos
alunos ao longo da realização da tarefa, assim como o respetivo diagrama visual. Ao nível do
91
processo, as interações dos alunos em grupo evidenciaram dois padrões de interação, a saber:
colaboração indireta e interação oculta. Ao nível do resultado, evidenciou-se o padrão multivocal
onde a solução foi construída por Ricardo e Carlos.
Tabela 4. 26. Padrões evidenciados pelos alunos do grupo 3 ao longo da elaboração da tarefa exploratória
Padrão descritivo Diagrama visual
Nível do processo: Colaboração Indireta e Interação oculta. Nível do resultado: Multivocal.
No diagrama visual, a inexistência de setas entre Carlos e os seus colegas demonstram
que este não evidenciou colaborar com os seus colegas ao nível do processo de resolução da
tarefa. Contudo, seus colegas interagiram verbalmente ao nível do processo, tal como se pode
verificar na tabela 4.27, mas não se sabendo até que ponto o que eles diziam ou faziam terá ou
não sido significativo para Carlos. Nesse sentido, diz-se que Carlos trabalhou em interação
oculta. Ricardo, Tadeu e Luca colaboraram indiretamente. Na tabela 4.27, onde as interações
dos alunos ao nível da solução encontram-se a cor azul, apresentando-se as interações de cada
aluno ao longo da realização da tarefa.
Tabela 4. 27. Interações dos alunos do grupo 3 ao longo da elaboração da tarefa exploratória
Nível do Processo/Nível da Solução
Nível de ajuda Carlos Ricardo Tadeu Luca
Receber ajuda
Observar com registo (1)
Observar com registo (1)
Observar com registo (1)
Observar com registo (1)
Pedir ajuda Verificar
resposta (1)
Questão (1)
Dar ajuda
Confirmar resposta (1)
Resposta (1)
Resposta (1)
Expor (2) Expor (2) Expor (2)
Expor errado (1)
Expor errado (1)
Total de interações 2 5 6 4
De notar que Carlos não interagiu com os seus colegas durante o processo de resolução,
interagindo apenas no momento de obtenção da solução. Contudo, ao nível do processo de
resolução Ricardo, Tadeu e Carlos interagiram verbalmente enquanto aparentemente resolviam a
92
tarefa sozinhos. Durante o processo de resolução, Tadeu e Luca tiveram momentos em que
evidenciaram necessidade de ajuda pois observaram e registaram o que viam na tarefa do seu
colega do lado, Ricardo. No episódio E31_AG3 evidenciam-se algumas das interações verbais
estabelecidas entre Luca, Ricardo e Tadeu, enquanto preenchiam a tabela colaborando
indiretamente.
Episódio E31_AG3
Nº da Interação Aluno Interação Categoria 1 Tadeu: O quadrilátero tem dois
[triângulos] porque olha tu divides assim aqui.
Expor
2 Ricardo: Tem dois [triângulos]. Confirmar resposta
O Pentágono é [decomposto em ] 3 [triângulos ], não [é]?
Verificar resposta
3 Luca: Observar com registo 4 Tadeu: Aqui é 3 vezes 180 igual a (o
Tadeu e o Ricardo recorrem à calculadora) 540. Cinco vezes 180 é igual a
Expor
5 Luca: 900. Resposta
De notar que Luca que inicialmente recebeu ajuda (interação 3), demonstrou dar sentido
ao raciocínio seguido pelos colegas no estabelecer das somas das medidas das amplitudes dos
ângulos internos dos polígonos, já que determinou uma delas, a constatar na interação 5.
O episódio E32_AG3 ocorreu quando os alunos do grupo preenchiam o espaço da tabela
correspondente à solução da tarefa. Nesse momento, após Tadeu ter apresentado uma resposta
errada e Luca ter exposto uma expressão algébrica, Ricardo dirigiu-se a Carlos expondo o modo
como estava a pensar. Este por sua vez, completou-lhe o raciocínio.
Episódio E32_AG3 Nº da Interação Aluno Interação Categoria 1 Tadeu: Aqui tem de ser n. Expor (erro) 2 Luca: Vai ficar 180 n. Expor (erro) 3 Ricardo: (Dirigindo-se a Carlos) Porque
se reparares é sempre o número de lados menos…
Expor
4 Carlos: Menos dois. Expor 5 Ricardo: n menos dois vezes cento e
oitenta . Expor
6 Luca e Tadeu:
Observar com registo
93
Tadeu e Luca deram palpites (interações 1 e 2), acerca daquilo que poderia ser a
solução. No entanto, não foi dada atenção ao que estes disseram, independentemente de
estarem corretos ou não, pois nem Carlos nem Ricardo comentaram o que eles verbalizaram,
talvez por estarem concentrados na resolução da tarefa. Ricardo, no momento de expor o seu
raciocínio, dirigiu-se especificamente a Carlos, que acabou por o completar. Neste sentido,
apesar do reduzido número de interações verbais, o episódio E32_AG3 evidencia que a resposta
foi construída pelos dois alunos sendo o padrão ao nível do resultado, multivocal. Nesta situação
em que as interações de Carlos e Ricardo evidenciaram ao nível do resultado um padrão
multivocal, os dois partilhavam da mesma interpretação da variável n, caso contrário, Carlos não
teria completado de uma forma tão natural o raciocínio de Ricardo.
Problema da justificação escrita (Aula 7)
A discussão que se segue é sobre uma tarefa proposta aos alunos na aula 7, cujo
enunciado se encontra em anexo (ANEXO 4). Na figura 4.12 encontra-se a resposta de Ricardo à
tarefa.
Figura 4. 12 Resposta de Ricardo, ao problema da justificação escrita.
As respostas escritas nas tarefas de Luca e de Tadeu eram iguais às de Ricardo. A de
Carlos era diferente (episódio E33_AG3). Na tabela 4.28, apresentam-se os padrões de
interação dos alunos ao longo da realização desta tarefa, assim como o respetivo diagrama
visual.
94
Tabela 4. 28. Padrões de interação evidenciados pelos alunos do grupo 3 ao longo da elaboração do problema da justificação escrita.
Padrão descritivo Diagrama visual
Nível do processo: Colaboração semi-direta; Nível do resultado: Univocal.
Carlos iniciou a resolução da sua tarefa sozinho, enquanto os seus três colegas se
encontravam a ter conversas que não tinham a ver com a tarefa. Quando os seus colegas
iniciaram a resolução das suas tarefas, Carlos já tinha elaborado a sua resposta, demonstrando
ter trabalhado de forma independente. No entanto, ao nível do processo de resolução, ele
contribuiu para a resolução da tarefa de Ricardo, tendo-lhe dito “como se faz”. Por esse motivo,
no diagrama visual apresentado na tabela 4.28, encontra-se uma seta a tracejado entre estes
alunos estabelecida na direção de Carlos. No referido diagrama visual as setas simples a
tracejado estabelecidas entre Luca e Ricardo, e entre Tadeu e Ricardo e em direção a Ricardo,
evidenciam a existência de colaboração semi-direta entre estes pares, tendo sido Ricardo quem
lhes disse “como se faz”.
No episódio E33_AG3, evidenciam-se as únicas interações categorizadas entre os alunos
ao longo da resolução da tarefa, onde se constata que Carlos já tinha elaborado a sua resposta,
quando por outro lado Tadeu, após ter tentado elaborar uma resposta juntamente com Ricardo,
o questionou acerca da sua resolução (interação 3):
Episodio E33_AG3 Nº da Interação Aluno Interação Categoria 1 Tadeu: O número de lados (pausa). Tentativa de
resposta 2 Ricardo: O número de triângulos decompostos
(pausa). Tentativa de resposta
3 Tadeu: Carlos o que é que puseste? Pedir instruções 4 Carlos: (Lendo a sua resposta) A conclusão a
que cheguei é que para descobrirmos a soma dos ângulos internos de um polígono, temos de fazer o número de triângulos em que ficou decomposto (n-2) vezes 180.
Explicar
5 Tadeu: (Dirigindo-se a Ricardo) Ouviste? (Ricardo começou a escrever).
Sem conteúdo
6 Tadeu e Luca
Observar com registo
95
Tal como se pode verificar na interação 4, Carlos leu a sua resposta aos seus colegas
evidenciando que a elaborou sozinho, enquanto os colegas ainda não tinham iniciado a
resolução da tarefa. Nesse sentido, pode-se afirmar que Carlos elaborou a sua tarefa realizando
trabalho individual.
Apesar de ter existido uma tentativa de resposta por parte de Tadeu (interação 1) e outra
por parte de Ricardo (interação 2), estes não colaboraram de modo a construir a solução. Ao
aperceber-se de que Ricardo não conseguiu elaborar uma resposta, Tadeu perguntou a Carlos o
que é que ele escreveu (interação 3). No entanto, parece não ter dado sentido às suas palavras
porque questionou Ricardo sobre se este terá ouvido a reposta que Carlos verbalizou (interação
5). Carlos leu a sua resposta, e Ricardo ouviu-o atentamente. Note-se que só depois de Carlos
ter verbalizado toda a sua resposta é que Ricardo iniciou a elaboração da sua reformulando a
resposta do colega. Nesse sentido, pode-se afirmar que ao nível do processo, Carlos disse
“como se faz” a Ricardo. Apesar de Ricardo ter reformulado a resposta de Carlos, foram as
ideias de Carlos que dominaram no momento de obtenção da solução, uma vez que Ricardo só
o ouviu. Além disso as respostas destes dois alunos (figura 4.12, interação 4) são muito
parecidas. Nesse sentido, ao nível do resultado, as interações entre os alunos refletem um
resultado que é univocal.
À medida que Ricardo ia escrevendo a sua resposta, Luca e Carlos observavam a sua
tarefa e registavam o que viam, nas suas tarefas (interação 6). Nesse sentido, afirma-se que ao
nível do processo os pares Luca e Ricardo e, Tadeu e Ricardo trabalharam em colaboração semi-
direta tendo sido Ricardo quem escreveu a solução que estes copiaram.
Exercício com recurso ao transferidor (Aula 7)
A discussão que se segue é sobre uma subtarefa da tarefa 3, proposta aos alunos na
aula 7, cujo enunciado se encontra em anexo (ANEXO 4). Na figura 4.13 encontra-se a resposta
de Carlos à tarefa.
96
Figura 4. 13 Resolução de Carlos ao exercício com recurso ao transferidor.
Note-se que Carlos não efetuou a soma das medidas das amplitudes dos ângulos
externos do triângulo dado, que era pedida no enunciado da tarefa. Os seus colegas de grupo
também não o fizeram. Nesse sentido, para análise dos padrões de interação a título excecional,
consideram-se nesta tarefa as medidas das amplitudes dos ângulos externos do triângulo dado
como solução.
Na tabela 4.29 apresentam-se os padrões de interação descritivos entre os alunos ao
longo da realização da tarefa, assim como o respetivo diagrama visual.
Tabela 4. 29 Padrões de interação evidenciados pelos alunos do grupo 3 ao longo do exercício com recurso ao transferidor
Padrão descritivo Diagrama visual
Nível do processo: Colaboração indireta, direta e semi-direta. Nível do resultado: Multivocal.
Carlos iniciou a resolução da tarefa sozinho efetuando as medições dos ângulos internos
do triângulo. De seguida, subtraindo a 180 uma de cada vez, a medida da amplitude de cada
97
um dos ângulos internos, obteve cada uma das medidas das amplitudes dos ângulos externos
do triângulo dado. Quando Carlos já havia terminado de determinar as referidas medidas,
Ricardo questionou-o no sentido de confirmar se era só para efetuar medições com o
transferidor. O diálogo do sucedido encontra-se no episódio E34_AG3.
Episódio E34_AG3 Aluno Interação Categoria Ricardo: É só medir com o transferidor, não é? Pedir instruções Carlos: Não. É para fazer cálculos. Expor
No episódio E34_AG3, Ricardo demonstrou que o seu primeiro pensamento foi o de
utilizar o transferidor para efetuar as medições das amplitudes dos ângulos externos do triângulo
dado. No entanto Carlos, como efetuou cálculos, disse a Ricardo que este também teria de os
efetuar. À semelhança do que aconteceu nos episódios anteriores, Carlos não explicou ou não
expôs o modo como pensou para determinar as medidas pedidas, o que demonstra que no seu
entender o seu colega terá percebido o que ele disse. No entanto, Ricardo não compreendeu e
de modo a obter um esclarecimento acerca do procedimento a seguir, questionou a professora.
Depois de ter a confirmação de que havia pensado bem, disse ao colega que era para efetuarem
as medições dos ângulos externos. Carlos apagou os cálculos que tinha efetuado e recorreu ao
transferidor, bem como Ricardo. Luca e Tadeu observavam-no. De seguida também Luca pegou
no transferidor. Nos momentos referidos, Ricardo e Carlos verbalizaram como achavam que
deveriam fazer, de modo a resolver a tarefa. Assim, eles colaboraram indiretamente. O facto de
Tadeu e de Luca estarem constantemente a observar Ricardo, e logo de seguida terem pegado
nos seus transferidores sugere que foi Ricardo quem “mostrou como se faz” a Tadeu e a Luca,
evidenciando um padrão de colaboração semi-direta. Nos momentos seguintes, Luca, após
saber “como se faz”, recorreu ao transferidor articulando-se com Ricardo para efetuar as
medições dos ângulos externos do triângulo dado. O episódio E35_AG3 mostra que Ricardo e
Luca se articularam para efetuar as medições dos ângulos externos colaborando diretamente.
Episódio E35_AG3 Aluno Interação Categoria Ricardo: Estás a ver, é para medir (dirigindo-se a
Carlos). Expor
Ricardo: É 110. Resposta Luca: 130. Resposta Ricardo: 120. Resposta
98
Nenhum dos alunos calculou a soma. Nesse sentido, para os alunos deste grupo, a
solução da tarefa são as referidas medidas das amplitudes dos ângulos externos do triângulo
dado. Assim, assume-se como solução da tarefa as referidas medidas. Como estes dois alunos,
Carlos e Ricardo, construíram a resposta em conjunto verbalizando-a, diz-se que ao nível da
solução o resultado é multivocal. Na subsecção seguinte apresenta-se uma síntese das
interações do grupo 3..
4.3.3. Interações do grupo 3
Na tabela 4.30 apresentam-se as interações dos alunos ao longo de duas tarefas da
tipologia problema e de uma tarefa de cada uma das seguintes tipologias: exploratória e
exercício.
Tabela 4. 30 Interações dos alunos ao longo da realização de diferentes tarefas Alunos
Tipo de
ajuda
Nível de ajuda Categoria Carlos Ricardo Tadeu Luca
Não-verbal Receber ajuda Observar com registo 5 4
Receber instrução
Verbal Pedir ajuda Questão sem resposta 1
Questão
Questão específica
Verificar resposta 2
Pedir instruções 1 1
Dar ajuda Explicar 1
Expor 2 5 1
Confirmar resposta 2
Sem conteúdo 2
Tentativa de resposta
1 1
Resposta 1 3 4 3
Receber ajuda Receber instrução
Total de interações dos alunos 6 14 8 8
Neste grupo o aluno que menos evidenciou interagir com os seus colegas foi Carlos e
este e Ricardo são os que mais têm interações ao nível de dar ajuda.
99
As interações mais frequentes evidenciada por parte de Tadeu e de Luca são as
interações da categoria observar com registo.
De notar que neste grupo, à semelhança do grupo 1, existe pelo menos uma interação
da categoria explicar, tendo sido verbalizada (s) por alunos de elevado nível de desempenho à
disciplina de matemática (nível 5).
De notar que Luca e Carlos sendo os únicos alunos do grupo com interações da
categoria observar com registo evidenciam necessitar de ajuda em maior número de vezes do
que as vezes que a pedem explicitamente. De facto, nas 4 tarefas analisadas estes dois alunos
evidenciaram necessitar de ajuda independentemente da tipologia da tarefa. No entanto, numa
delas, nomeadamente no problema da justificação escrita, Tadeu pediu explicitamente ajuda a
Carlos, mas Luca nunca o fez.
Na tabela 4.31 apresentam-se os padrões descritivos evidenciados pelos alunos do
grupo 3 ao longo da realização das diferentes tarefas.
Tabela 4. 31 Padrões evidenciados no grupo 3, na realização de diferentes tarefas
Tarefa Nível do processo Nível do resultado
Problema do triângulo Colaboração Semi-direta e
Interação oculta
Univocal
Tarefa exploratória Colaboração indireta e Interação oculta
Multivocal
Problema da justificação escrita Colaboração semi-direta Univocal
Exercício com recurso ao transferidor
Colaboração direta, indireta e semi-direta
Multivocal
Neste grupo evidenciaram-se diferentes padrões ao nível do processo de colaboração
entre os alunos, direta, indireta, semi-directa, e interação oculta. Ao nível do processo, o padrão
mais frequente foi o de colaboração semi-directa em que, em três das tarefas apresentadas
foram sempre os mesmos alunos, Luca e Tadeu, que receberam ajuda.
A forma de trabalho interação oculta foi nas tarefas analisadas, evidenciada por um
único aluno, Carlos.
O padrão multivocal evidenciou-se quando os alunos partilhavam da mesma
interpretação da tarefa, à semelhança do que refere Cobb (1995), mesmo que não tenham
discutido qualquer aspeto acerca da sua resolução ou interpretado o seu enunciado.
100
Na tabela 4.32 evidenciam-se os diferentes padrões de interação evidenciados pelos
alunos do grupo 3 ao longo da realização das diferentes tipologias de tarefas.
Tabela 4. 32 Padrões de interação evidenciados pelos alunos do grupo 3 ao longo da elaboração das diferentes tipologias de tarefas
Padrões Problemas Exploratório Exercício
Nível do
processo
Colaboração Indireta
Colaboração direta
Colaboração semi-
direta
Interação oculta
Trabalho
independente
Nível do
resultado
Univocal
Multivocal
Respostas aparentemente individuais
Problemas. Nos dois problemas apresentados neste trabalho, ao nível do processo,
manteve-se o padrão de colaboração semi-direta e em um deles, evidenciou-se a forma de
trabalho interação oculta. Os alunos que receberam ajuda no processo de colaboração semi-
direta foram, em ambas as situações, Tadeu e Luca tendo a ajuda sido dada ou por Ricardo ou
por Carlos. Ao nível do resultado nos dois problemas manteve-se o padrão univocal em que
Ricardo elaborou a resposta depois de ter conhecimento da resposta de Carlos.
Exploratório. Ao longo da tarefa de tipologia exploração, ao nível do processo, Carlos
trabalhou em interação oculta e os restantes três elementos do grupo em colaboração indireta.
Neste tipo de tarefa, Ricardo não interagiu explicitamente com Carlos, no entanto ambos
possuíam a mesma interpretação da tarefa, proporcionando-se assim a elaboração de um
resultado que foi elaborado por estes dois alunos. Nesse sentido, o padrão evidenciado ao nível
do resultado foi multivocal.
Exercício. Ao longo da realização desta tarefa, emergiu um padrão de interação diferente
dos que se evidenciaram nas outras tarefas, entre Luca e Ricardo. Luca, ao realizar um
procedimento de rotina, colaborou diretamente com Ricardo. O padrão entre Tadeu e Ricardo
101
manteve-se ao longo da elaboração da tarefa, sendo de colaboração semi-direta. Entre Carlos e
Ricardo, foi de colaboração indireta.
Ao longo da realização das diferentes tipologias de tarefas ao nível do processo, foi
sempre o mesmo aluno (Carlos), que trabalha em interação oculta. O padrão de colaboração
semi-direta manifestou-se em todas as tipologias de tarefas, sendo sempre os mesmos alunos a
dizerem “como se faz” (Ricardo ou Carlos), e os mesmos alunos a receberem ajuda (Tadeu e
Luca).
Na subsecção seguinte mostram-se as perceções dos alunos sobre o trabalho de grupo,
recolhidas através do questionário e da entrevista.
4.3.4. Perceções dos alunos sobre o trabalho de grupo
O trabalho de grupo
Carlos foi o aluno do grupo que demonstrou trabalhar em interação oculta. No entanto,
quando no questionário se afirmava “Para mim trabalhar em grupo na resolução de uma tarefa,
na aula de matemática é:”, ele e os seus colegas, selecionaram a opção: “Discutir aspetos da
tarefa com os meus colegas de grupo e depois elaborar uma resposta conjunta”. Contudo, as
observações audiovisuais das interações na realização das tarefas analisadas neste relatório
revelaram que Carlos foi o aluno do grupo que menos interagiu com os seus colegas (tabela
4.30). Nesse sentido, optou-se por questionar Carlos em entrevista, no sentido de perceber se
na sua perspetiva, a sua perceção sobre o que é trabalhar em grupo, corresponde ao seu
comportamento durante a realização do trabalho de grupo. A sua revelação encontra-se no
episódio E36_EG3.
Episódio E36_EG3 Professora: No questionário selecionaste esta opção. Mas esta opção
corresponde ao teu comportamento no trabalho de grupo? Carlos: Sinceramente não. Eu trabalho sozinho e depois comparo com
os outros e vemos qual é que tem uma resposta e qual é que fez melhor.
Professora: Costumas olhar para a tarefa dos teus colegas?
Carlos: Costumo olhar para a do Ricardo para ver se o meu está bem ou não e quando ele tem mal digo-lhe. Ou pode[m] estar as duas mal.
Professora: Então não olhas para a dos outros dois colegas?
Carlos: Tem a ver com as notas. Eu sei que eles normalmente têm piores notas e normalmente não estão tão interessados como está o Ricardo e é mais fácil para mim olhar para o Ricardo, e não estão tão interessados como está o Ricardo.
102
No episódio E36_EG3, Carlos revelou que trabalha sozinho, comparando a sua resposta
com a do Ricardo no fim de resolver a sua. Como nas suas interações verbais não foi possível
ouví-lo a comparar a resposta, questionou-se acerca de se ele olhava para a tarefa de Ricardo.
De facto, Carlos assumiu que é para a tarefa de Ricardo que ele olha, e não para a dos outros
dois colegas, uma vez que eles têm piores notas e estão frequentemente distraídos.
Dado que este aluno evidenciou interagir com Ricardo, no momento em que teria de
estabelecer a solução, não revelando estabelecer por sua iniciativa interação com os seus outros
dois colegas, pediu-se a este aluno que esclarecesse a sua perspetiva sobre a sua resposta no
questionário à afirmação acerca da interdependência (afirmação 2). O modo como a questão foi
abordada pela professora e a resposta do aluno encontram-se no episódio E37_EG3.
Episódio E37_EG3 Professora: No questionário quando se afirmava “Considero que no meu
grupo cada um de nós constitui uma peça fundamental na minha aprendizagem e na aprendizagem dos meus colegas” tu concordaste
Carlos: Concordo, basicamente eu tentava-me apoiar nas ideias do Ricardo e se eu não estivesse a perceber ou ele tentava-me explicar a mim ou eu a ele, nesse aspeto concordo.
Professora: É com ele que tu discutes mais?
Carlos: Sinceramente é.
Professora: Porquê? Carlos: Porque os outros dois estão mais distraídos e nem sempre
percebem muito bem e se eu não perceber o Ricardo ajuda-me, ou eu a ele.
Apesar de Carlos ter concordado com afirmação do questionário, ele demonstra que
considera que Ricardo é uma peça fundamental no seu processo de aprendizagem, uma vez que
se apoia nas ideias dele. Contudo, não faz referência aos outros dois colegas, considerando que
estão mais frequentemente distraídos e não compreendem evidenciando dessa forma não os
considerar uma peça fundamental na sua aprendizagem. Contudo, evidenciou considerar que ele
e Ricardo, constituem uma peça fundamental na aprendizagem um do outro, uma vez que
tentam explicar as resoluções um ao outro. No entanto, Carlos evidenciou considerar que ele e
Ricardo constituem uma peça fundamental na aprendizagem dos seus colegas Tadeu e Luca. A
sua perceção encontra-se no episódio E38_EG3.
103
Episódio E38_EG3 Professora: Achas que é bom para o Tadeu e para o Luca estarem ao vosso
lado? Carlos: Acho que sim, porque também se pode aprender não só a
fazer… mas também a observar e se eles nos observarem a resolver o exercício. (Pausa) Eu às vezes tentava explicar ao Ricardo mas aos outros, a matemática não é uma coisa que se aprende e se saiba logo, se eles não tinham as bases era difícil explicar. (Pausa) O Tadeu e o Luca eram capazes de fazer os exercícios mais simples sem nós. Nos exercícios da parte vermelha não.
Neste episódio, Carlos evidenciou o facto de que os seus colegas estarem a seu lado e
de Ricardo é uma ajuda, uma vez que eles observam a suas resoluções, o que é positivo uma
vez que as tarefas assinaladas a cor vermelha dos seus manuais, relativas às tarefas de nível de
exigência de elevado, não as resolviam sem ajuda. Assim, na opinião de Carlos os seus colegas
Luca e Tadeu progridem na presença dele e de Ricardo. De notar que Luca e Tadeu têm nível de
desempenho médio e, Carlos e Ricardo, nível de desempenho elevado. No entanto, Carlos tem a
perceção que a ajuda que dá aos seus colegas é através de interações não-verbais, uma vez que
assume ter dificuldade em explicar aos seus colegas, justificando isso com o facto de considerar
que eles não têm bases. Talvez esse seja um dos motivos pelo qual não respondeu à questão
colocada por Tadeu. Tadeu foi o único elemento do grupo que, quando no questionário se
afirmava “No meu grupo, senti-me sempre à vontade para esclarecer as minhas dúvidas”,
discordou da afirmação. E de facto, este aluno foi o único elemento deste grupo com interações
da categoria “questão sem resposta”. O facto de se sentir pouco à vontade pode justificar o facto
de não se fazer ouvir, não colocando novamente a questão de modo a esclarecer a sua dúvida.
O facto de não se sentir à vontade também pode justificar o facto de apesar de evidenciar
necessidade de ajuda em todas as tarefas, não a ter pedido explicitamente a maior parte das
vezes. Tal como se constata na tabela 4.30, Tadeu evidenciou necessitar de ajuda 5 vezes, e
pediu-a explicitamente 1 vez. Para além disso, Carlos assumiu sentir dificuldade em explicar por
considerar que o colega não tem bases.
Aprendizagem da Geometria.
Na tabela 4.33 explicitam--se as respostas dos alunos do grupo 3 relativamente ao grupo
de afirmações sobre a importância do grupo para a aprendizagem da Geometria.
104
Tabela 4. 33 Percentagem de alunos do grupo 3 segundo as opções de resposta da escalasde Lickert relativas à importância do grupo para a aprendizagem da Geometria
Afirmações D/DT C/CT
19.O trabalho de grupo revelou-se importante para a aprendizagem da Geometria.
100%
20.O trabalho de grupo permitiu-me compreender melhor a Geometria do que em anos letivos anteriores.
25% 75%
21.O trabalho de grupo permitiu-me ultrapassar dificuldades que tinha em Geometria.
100%
22.O trabalho de grupo permitiu-me conhecer diferentes processos de resolução de tarefas de Geometria.
25% 75%
23.No trabalho de grupo, a descoberta de determinados erros nos processos de resolução das tarefas permitiu construir novas aprendizagens em Geometria.
100%
24.Considero que o contributo individual de cada um dos elementos do grupo para a resolução da tarefa deve ser discutido por todos, e que isso é importante para a minha aprendizagem.
25% 75%
DT- Discordo Totalmente; D – Discordo; C – Concordo; CT – Concordo Totalmente
Ricardo, Carlos e Luca concordam ou concordam totalmente com as afirmações acerca
da importância do trabalho de grupo para a aprendizagem da Geometria, considerando por
exemplo que este se revelou importante para a aprendizagem da geometria, permitindo-lhes
conhecer diferentes processos de resolução e de ultrapassar dificuldades que tinham em
Geometria. O único aluno do grupo a discordar das afirmações 20, 22 e 24 foi Tadeu.
Tadeu não considerou que o trabalho de grupo lhe tenha permitido compreender melhor
a Geometria do que em anos letivos anteriores, nem conhecer diferentes processos de resolução
das tarefas de Geometria. Este aluno, tal como já foi referido, evidenciou necessitar de ajuda em
mais situações do que aquelas em que a pediu explicitamente, o que pode explicar o facto de
não considerar que o trabalho de grupo lhe tenha permitido compreender melhor a Geometria do
que em anos letivos anteriores.
Tadeu foi o único elemento do grupo que discordou na afirmação do questionário em
que se declarava “No meu grupo, senti-me sempre à vontade para esclarecer as minhas
dúvidas”. E de facto, este aluno foi o único elemento deste grupo com interações da categoria
“questão sem resposta” dirigida especificamente a Carlos. Por se sentir pouco à vontade pode
justificar o facto de não se fazer ouvir, não colocando novamente a questão de modo a
esclarecer a sua dúvida. Da mesma forma, foi o único aluno do grupo a discordar da afirmação
“Quando trabalho com os meus colegas em grupo, não tenho receio de falar”.
No que diz respeito à existência de um líder no grupo, os alunos ou concordaram ou
concordaram totalmente com a afirmação. No sentido de esclarecer quem seria esse líder,
questionou-se Carlos em entrevista. A sua perceção encontra-se no episódio que se segue.
105
Episódio E39_EG3 Professora: Existe um líder no vosso grupo? Carlos: Num dia em que eu estivesse mal disposto era o Ricardo que assumia
o papel de líder e fazia os exercícios mais à frente e era ele que discutia as respostas e nos ajudava. Num dia em que ele tivesse mal era eu. Quando estamos os dois bem criamos uma espécie de rivalidade para conseguirmos ultrapassar os nossos objetivos e ver quem faz melhor e mais rápido.
Carlos considera que ou ele ou Ricardo assumem o papel de líder no grupo. Esse papel
depende da sua disposição nos diferentes dias, podendo existir um dia em que podem ser os
dois.
Perceção final sobre o trabalho de grupo
Em entrevista, todos os alunos do grupo mostraram que as suas perceções sobre o
trabalho de grupo mudou de forma positiva. Carlos foi o que mais mostrou confiança para falar e
evidenciou, à semelhança de André do grupo 1, valorizar os seus companheiros de grupo
afirmando que gostam de trabalhar uns com os outros. A revelação de Carlos acerca daquilo que
na sua perceção mudou no grupo encontra-se no episódio E40_EG3.
Episódio E40_EG3 Professora: O que mudou após um ano a trabalhar em grupo?
Carlos: Mudou, mudou muito. Mas isso também tem a ver com o nosso grupo. Por exemplo no grupo do Mário eu acho que eles não trabalhavam muito em grupo porque não gostavam uns dos outros. Enquanto nós apesar de sermos muito conversadores, e falarmos muito, quando vamos a desenvolver trabalho prático acho que trabalhamos bem e que gostamos até de trabalhar porque estamos todos juntos e, fazemos uma coisa em conjunto o que acho que é bom.
Carlos evidenciou que no seu grupo, ao contrário do grupo 6, todos trabalham porque
gostam uns dos outros. Na sua perspetiva o grupo 6, ao qual pertenceu Mário, não era muito
funcional porque eles não gostavam uns dos outros. Na realidade, Mário mostrava-se
descontente com o seu grupo, a confirmar na tabela 3.3, tendo acabado por mudar de grupo no
3.º período.
106
4.4. Síntese
4.4.1. Interações
Nas tabelas que se seguem apresentam-se os padrões de interação dos alunos na
realização das diferentes tarefas. Nas tabelas 4.34 e 4.35, apresentam-se os padrões de
interação evidenciados pelos alunos dos grupos, ao longo da realização dos dois problemas
apresentados neste relatório. Na tabela 4.34 apresentam-se os padrões de interação
evidenciados pelos alunos dos grupos ao longo da elaboração do problema do triângulo.
Tabela 4. 34 Padrões de interação evidenciados pelos grupos no Problema do triângulo
Tarefa Grupo Padrões descritivos
Nível do processo Nível do resultado
Problema do triângulo Grupo 1 Colaboração indireta
Colaboração semi-direta
Univocal
Grupo 2 Colaboração semi-direta Univocal
Grupo 3 Colaboração semi-direta
Interação oculta
Univocal
Na tabela 4.35 apresentam-se os padrões de interação evidenciados pelos alunos dos
três grupos ao longo da elaboração do problema da justificação escrita.
Tabela 4. 35 Padrões de interação evidenciados pelos grupos no Problema da justificação escrita
Tarefa Grupo Padrões descritivos
Problema da
justificação escrita.
Nível do processo Nível do resultado
Grupo 1 Colaboração semi-direta Univocal
Grupo 2 Colaboração semi-direta Univocal
Grupo 3 Colaboração semi-direta e Univocal
Nos problemas, ao nível do processo, o padrão de colaboração semi-direta evidenciou-se
em todos os grupos. Assim, nas duas tarefas analisadas de tipologia problema existiu, pelo
menos um aluno do grupo a dizer “como se faz” a outro (s). No problema da justificação escrita
existiu, nos três grupos, um aluno que reformulou a solução previamente apresentada por outro
colega de grupo sendo que estes dois alunos possuíam o mesmo nível de desempenho. Nos
107
problemas ao nível do processo, o padrão de colaboração semi-direta evidenciou-se em todos os
grupos. Assim, nas duas tarefas analisadas de tipologia problema, existiu pelo menos um aluno
do grupo a dizer “como se faz” a outro (s). No problema da justificação escrita existiu, nos três
grupos, um aluno que reformulou a solução previamente apresentada por outro colega de grupo,
sendo que estes dois alunos possuíam o mesmo nível de desempenho.
Na tabela 4.36 apresentam-se os padrões de interação verificados nos três grupos ao
longo da resolução da tarefa exploratória dos polígonos.
Tabela 4. 36 Padrões de interação evidenciados pelos grupos na tarefa exploratória dos polígonos
Tarefa Grupo Padrões descritivos
Nível do processo Nível do resultado
Exploratória dos
polígonos
Grupo 1 Colaboração indireta
Colaboração semi-direta
Interação oculta
Univocal
Grupo 2 Colaboração indireta
Colaboração semi-direta
Univocal
Grupo 3 Colaboração indireta
Interação oculta
Multivocal
De notar que na tarefa de tipologia exploratória, a forma de trabalho colaboração indireta
evidenciou-se em todos os grupos. Nesta tarefa, ao nível do resultado, em dois dos grupos
evidenciou-se o padrão univocal e em um dos grupos, o padrão multivocal. O padrão multivocal
evidenciou-se quando dois alunos partilhavam a mesma interpretação da tarefa, construindo a
solução em conjunto à semelhança do que verificou (Cobb, 1995).). Foi ao longo da elaboração
desta tipologia de tarefa, que se enquadra nas tarefas abertas e relativamente fáceis (Ponte,
2005), que no grupo 1, se evidenciaram as interações da categoria explicar.
Na tabela 4.37, apresentam-se os padrões de interação dos alunos por grupo ao longo
da resolução do exercício com recurso ao transferidor, onde se constata que um padrão de
interação que não se evidenciou nas tarefas de tipologia problema ou exploratório, a saber:
colaboração direta.
108
Tabela 4. 37 Padrões de interação evidenciados pelos grupos no exercício com recurso ao transferidor
Tarefa Grupo Padrões descritivos
Nível do processo Nível do resultado
Exercício Grupo 1 Colaboração semi-direta, direta, e Interação oculta
Univocal
Grupo 2 Interação oculta Respostas
aparentemente individuais
Grupo 3 Colaboração direta, indireta e semi-direta
Multivocal
Na tarefa de tipologia exercício nos grupos 1 e 3, evidenciaram-se mais padrões de
interação entre os alunos do grupo do que nas de outras tipologias de tarefa. Foi nesta tipologia
de tarefa que se evidenciou, por parte de dois alunos, um de nível 5 e outro de nível 3 dos
grupos 1 e 3, o padrão de colaboração direta. Este padrão evidenciou-se entre dois alunos,
quando estes efetuavam procedimentos simples como: medir ângulos de um triângulo dado.
No grupo 1, nas tarefas analisadas não há evidências de que algum dos alunos tenha
trabalhado de forma independente. De facto, esta forma de trabalho pode não se ter evidenciado
por os alunos deste grupo trabalharem de forma contínua, não mostrando ter conversas fora da
tarefa em muitos momentos. Esse facto também pode ser explicado por existir um elemento no
grupo (André), que evidenciou ser o líder. Numa das observações da gravação audiovisual, foi
possível observar que André, ao aperceber-se que os seus colegas estavam a ter conversas fora
da tarefa, pediu que eles parassem e se concentrassem na resolução da tarefa. Nesse
momento, os colegas cederam ao seu pedido. Dessa forma, André revelou que se preocupava
com a gestão do tempo e a com a realização do trabalho proposto.
Os alunos dos grupos 1 e 3 que trabalham em interação oculta são alunos de nível 5 à
disciplina de matemática.
Na tabela 4.38 apresentam-se a distribuição das diferentes tarefas pelo respetivo padrão
evidenciado, ao nível do resultado.
109
Tabela 4. 38 Padrões evidenciados ao nível do resultado pelos grupos
Padrão Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3
Univocal Problema do triângulo Problema do triângulo Problema do triângulo
Exploratória Exploratória
Problema da justificação escrita
Problema da justificação escrita
Problema da justificação escrita
Exercício
Multivocal Exploratória
Exercício
Respostas aparentemente individuais
Exercício
De notar que o padrão multivocal só se evidenciou no grupo 3, em tarefas com grau de
desafio reduzido. No grupo 1, grupo onde existe um líder, o padrão evidenciado ao nível do
resultado foi univocal. No grupo 2, apenas não se verificou o padrão univocal na tarefa de
tipologia exercício onde as respostas foram dadas de forma aparentemente individual. Nas
restantes tarefas, o padrão evidenciado foi univocal.
4.4.2. Perceções dos alunos sobre o trabalho de grupo
Relativamente ao que significa para cada um dos alunos trabalhar em grupo nas aulas
de matemática, 9 dos 12 alunos, selecionaram a mesma opção: “Discutir aspetos da tarefa com
os meus colegas de grupo e depois elaborar uma resposta conjunta”. Na figura 4.14, verifica-se
que a maioria da turma (19 alunos), também selecionou essa opção.
110
Figura 4. 14. Respostas dos alunos da turma à questão de escolha múltipla, 1.2, do questionário.
Um dos dois alunos da turma que selecionou a opção “Discutir aspetos da tarefa com os
meus colegas de grupo e depois elaborar a minha resposta” foi Gui, aluno do grupo 2. De facto,
este foi o primeiro aluno a explicitar obter a solução nas tarefas analisadas.
Carmo e Tadeu foram 2 dos 3 dos alunos da turma que afirmaram nem sempre se
terem sentido à vontade dentro do seu grupo, para esclarecer dúvidas. Na verdade, estes foram
os alunos dos seus grupos que menos interagiram tal como se pode verificar nas tabelas 4.20 e
4.30, onde consta que as suas interações são maioritariamente ao nível de receber ajuda, sendo
pouco frequentes ou mesmo inexistentes, como é o caso de Carmo, interações ao nível de pedir
ajuda.
Quanto à existência de um líder nos grupos analisados, 8 dos 12 alunos, consideram
que existiu sempre um dos elementos do grupo a assumir o papel de líder ou moderador. O
aluno do grupo 1 que não considerou essa possibilidade, Zeca, evidenciou trabalhar em
interação oculta em 2 das 4 tarefas analisadas, nomeadamente nas de grau de desafio reduzido.
Apesar de Zeca percecionar que nem sempre existiu um líder no seu grupo, ele reconheceu a
constatar no episódio E10_EG1, autoridade matemática ao líder explícito do grupo. Nas
entrevistas, Gui o único aluno do grupo 2 que percecionou que existe um líder no seu grupo,
evidenciou que esse papel é desempenhado pelos alunos que possuíam nível de desempenho de
5 à disciplina de matemática, a confirmar no episódio E17_EG2. Na perceção final sobre o
2
12
2
0
0
7
0
0
0 2 4 6 8 10 12 14
Discutir aspetos da tarefa com os meuscolegas de grupo e depois elaborar a
minha resposta
Discutir aspetos da tarefa com os meuscolegas de grupo e depois elaborar
uma resposta conjunta.
Resolver a tarefa sozinho(a) eesclarecer as dúvidas que vão surgindo
com os meus colegas de grupo,elaborando a minha resposta.
Ouvir e observar os meus colegas adiscutir aspetos da tarefa pois assim
tenho ideias para a resolver.
Masculino
Feminino
111
trabalho de grupo, os alunos dos grupos evidenciaram que as suas perspetivas sobre esta
prática mudaram, contudo, em dois dos três grupos ficou evidente que os alunos preferem
trabalhar com outros alunos de quem gostam.
Relativamente às perceções dos alunos sobre a importância do grupo para a
aprendizagem da Geometria, afirmações 19 a 24 do questionário (ANEXO 9), apresentam-se as
frequências absolutas das respostas dos alunos discriminadas por diferentes níveis de
concordância, figura 4.15.
Figura 4. 15 .Respostas dos alunos ao grupo de questões sobre a importância do grupo para a aprendizagem da Geometria.
Tal como se pode constatar na figura 4.15, a maioria dos alunos considerou que o
trabalho de grupo se revelou importante para a aprendizagem da Geometria, permitindo-lhes
compreende-la melhor do que em anos letivos anteriores, ultrapassar dificuldades, e conhecer
diferentes processos de resolução. .Contudo, um dos alunos que discordou ou discordou
totalmente das afirmações 20, 22 e 24 foi Tadeu, aluno do grupo 3. Este aluno de nível de
desempenho médio foi o único aluno do grupo que verbalizou uma questão sem resposta, a
constatar na tabela 4.30. Segundo Webb (1991) estas interações, questões sem resposta, têm
um efeito desmotivante para a aprendizagem do aluno, pois ele permanecem com as mesmas
dúvidas. Para além desse efeito negativo na sua aprendizagem, a ausência de resposta a uma
questão também tem efeitos negativos na motivação dos alunos (Webb, 1991) podendo fazer
com que o aluno se sinta pouco à-vontade para colocar questões no seu grupo. De facto, este
0 1 1 1 1 1
3 3
1
2
1
4
10
7
10 11
13
8
10
12
11
9 8
10
0
2
4
6
8
10
12
14
a19 a20 a21 a22 a23 a24
Discordo Totalmente
Discordo
Concordo
Concordo Totalmente
112
aluno interage mais com os seus colegas, através de interações não-verbais, a constatar na
tabela 4.30, do que através de interações verbais.
113
CAPÍTULO 5
CONCLUSÕES, LIMITAÇÕES E RECOMENDAÇOES FUTURAS
Neste capítulo, percorrerem-se as quatro questões de investigação a apresentam-se as
conclusões que resultaram da análise dos dados feita no capítulo 4. Relativamente às perceções
dos alunos sobre o trabalho de grupo, recolhidas através do questionário aplicado à turma, não
se pretende fazer uma descrição exaustiva das respostas mas sim, mostrar as respostas onde
existiram diferenças. Por fim, apresentam-se as limitações deste estudo e as recomendações
para estudos futuros.
5.1. Conclusões
5.1.1. De que forma é que a tipologia de tarefa influencia os padrões de
interação no trabalho de grupo? Quais os padrões de interação entre os alunos ao
longo da realização do trabalho de grupo?
Exploração
A tarefa de exploração, que segundo o referencial de Ponte (2005) enquadra-se nas
tarefas “relativamente abertas e fáceis”, proporcionou um maior envolvimento dos alunos dos
grupos e favoreceram a emergência do padrão de colaboração indireta em todos os grupos. Os
alunos resolviam a tarefa aparentemente sozinhos enquanto verbalizavam os seus pensamentos
e /ou prestavam atenção ao que os seus colegas diziam. De facto, Ponte (2005) refere que as
tarefas de exploração, por serem mais acessíveis “possibilitam a todos um elevado grau de
sucesso contribuindo para o desenvolvimento da sua autoconfiança” (Ponte, 2005, p. 17).
Apesar de em dois dos grupos se ter evidenciado o padrão de colaboração semi-direta,
tendencialmente não existiu um aluno a “dizer como se faz” e todos tentaram e preencheram a
tabela ou sem ajuda, ou prestando atenção ao que o (s) colega (s) dizia (m). No entanto, no
momento de estabelecer a solução, o padrão mais frequente foi o padrão univocal, no qual as
ideias de um dos alunos com nível de desempenho elevado é que dominavam. Existiram dois
casos distintos em a solução traduziu um resultado univocal, a saber: (1) um aluno apresentou a
114
solução e outros aceitaram-na sem pedir qualquer esclarecimento não propondo outra solução;
(2) no grupo em que existia um líder, um outro aluno apresentou uma solução diferente da
apresentada pelo líder, tendo no entanto a situação ficado resolvida pelo líder uma vez que os
alunos do grupo o consideravam o “melhor”. Nessa segunda situação, quando confrontado com
outra solução diferente da sua, o líder sentiu a necessidade de explicar a solução que
previamente tinha apresentado, apesar de errada, e os seus colegas aceitaram-na sem a
questionar. Isto indica que os alunos deste grupo têm as soluções do líder como as corretas.
Segundo Cobb (1995), situações que envolvem um padrão univocal, podem representar casos
em que existe um aluno do grupo que detém a autoridade matemática. Segundo o autor, nessas
situações quando um outro aluno B propõe uma solução diferente da do aluno que A, que detém
a autoridade matemática, o aluno A pensa que o seu colega ou cometeu um erro ou não
percebeu a sua solução e tenta explicar a sua solução e o aluno B, aceitando-a sem a
questionar. Neste grupo onde existe um líder explicito, pode-se assim afirmar que os alunos
tendencialmente escrevem a solução apresentada pelo aluno a quem é reconhecida a autoridade
matemática.
Em um dos grupos, evidenciou-se o padrão multivocal, em que os dois alunos do grupo
com elevado nível de desempenho, partilhando da mesma interpretação da tarefa, construíram a
solução em conjunto. Segundo Cobb (1995), este tipo de padrão emerge quando os alunos
partilham da mesma interpretação da tarefa. De facto, neste grupo os alunos com o mesmo
nível de desempenho elevado, ao partilharem a mesma interpretação da tarefa, tornou-se
possível a construção conjunta da solução.
Problemas
Nos problemas, que são tarefas de natureza mais desafiante (Ponte, 2005), propiciou-se
a emergência do padrão de colaboração semi-direta em todos os grupos, tendo existido pelo
menos um aluno de nível de desempenho elevado a dizer “como se faz” aos outros. Uma vez
que existia um aluno do grupo a dizer “como se faz” fazendo a maior parte do trabalho, os
outros simplesmente copiavam. Também, Cobb (1995) conclui que quando existe um aluno no
grupo que faz a maior parte do trabalho, os outros simplesmente copiam. De facto, foi o que
aconteceu nas tarefas da tipologia problema, que são de nível de exigência elevado, em que
foram alunos de nível 5 de cada grupo a fazer a maior parte do trabalho. Nesse sentido, se
existia um aluno a fazer a maior parte do trabalho, foram também as ideias dele as que
dominaram no momento de obtenção da solução. Assim, ao nível do resultado nas tarefas da
115
tipologia problema analisadas, o único padrão evidenciado foi o univocal. Apesar de não terem
ocorrido situações em que outro aluno do grupo tenha pedido para clarificar ou apresentar outra
solução no problema da justificação escrita em todos os grupos, existiu um segundo aluno,
também com nível de desempenho 5, que reformulou a resposta previamente apresentada pelo
primeiro. Os alunos de níveis 2, 3 ou 4 copiaram as respostas dos alunos de nível 5.
Exercício
Apenas na tarefa de tipologia exercício, se evidenciou o padrão de colaboração direta,
não se tendo verificado em tarefas de outra tipologia, esta forma de colaboração. Apesar de se
ter evidenciado combinada com a forma de colaboração semi-direta ou com as formas de
colaboração semi-direta e indireta, a forma de colaboração direta não se manifestou quando os
alunos resolviam tarefas de outras tipologias. Talvez por serem tarefas com grau de desafio
reduzido e de estrutura fechada, em que não existe ambiguidade entre o que é dado e o que é
pedido (Ponte, 2005) possa justificar o facto de esta forma de colaboração só se ter evidenciado
nesta tipologia de tarefa. No entanto só se evidenciou em dois dos três grupos entre alunos com
nível de desempenhos 3 e 5, nas situações em que os alunos tinham de efetuar procedimentos
rotineiros. Numa das situações, o aluno de nível 3, depois do aluno de nível 5 lhe ter mostrado
“como se faz”, foi capaz de colaborar diretamente com ele no processo de resolução, obtendo a
solução conjunta da tarefa. Esta situação vai ao encontro da teoria de Vygostsky, de que o aluno
progride na presença do par mais capaz, sendo capaz de realizar sozinho, aquilo que realizou na
presença do par mais competente. Cobb (1995) no seu estudo, verificou que o padrão de
colaboração direta evidenciou-se em situações em que os alunos tinham de efetuar
procedimentos simples e rotineiros. De facto, nesta tarefa pretendia-se que os alunos
efetuassem procedimentos simples tais como medir e somar as medidas das amplitudes dos
ângulos externos de um triângulo dado. Num dos grupos verificou-se a forma de trabalho
interação oculta, tendo este padrão proporcionado a elaboração de respostas aparentemente
individuais por parte dos elementos do grupo. Como já foi referido, em um dos grupos
evidenciou-se o padrão multivocal e no grupo onde existe um líder explícito evidenciou-se mais
uma vez, o padrão univocal.
Ao longo da realização do trabalho de grupo
Ao longo da realização do trabalho de grupo, tarefas das tipologias problema, exploração
e exercício, no grupo 1, onde existia um líder explícito ao nível do processo, o padrão de
116
colaboração semi-directa esteve sempre presente. No entanto também se evidenciaram em duas
das tarefas outras formas de colaboração como a colaboração indireta ou direta, e a forma de
trabalho interação oculta. Ao nível do resultado, este foi univocal, onde eram as suas ideias do
líder a dominar no momento de obtenção da solução.
No grupo dois, ao longo da realização do trabalho de grupo, a forma de colaboração-
semi-direta foi a mais frequente, tendo-se alterado para a forma de trabalho interação oculta na
tarefa da tipologia exercício. Nesse grupo, ao nível do resultado, o padrão dominante foi o
univocal, tendo-se alterado para respostas aparentemente individuais na tarefa da tipologia
exercício.
O grupo 3 foi o único onde a forma de colaboração semi-direta não foi a mais frequente.
Neste grupo, foram igualmente frequentes as formas de colaboração semi-direta e indireta,
tendo sido o único grupo onde se propiciou a elaboração de um resultado multivocal nas tarefas
com grau de desafio reduzido.
Ao nível do processo, os resultados sugerem que a tipologia de tarefa influencia os
padrões de interação do grupo. No entanto, em cada grupo existem formas de trabalho mais
frequentes do que em outros. Ao nível do resultado, apenas no grupo onde existe um líder
explícito, não se evidenciou o padrão multivocal.
5.1.2. Quais as perceções dos alunos sobre a importância do grupo para a
aprendizagem da Geometria? Qual a relação entre as perceções dos alunos sobre o
trabalho de grupo e a sua aprendizagem na Geometria?
Relativamente às perceções dos alunos sobre a importância do grupo para a
aprendizagem da Geometria, constatou-se que a maioria dos alunos da turma, e dos
participantes deste estudo, consideram que o grupo se revelou importante para a aprendizagem
da Geometria, permitindo ultrapassar dificuldades, compreende-la melhor, e conhecer diferentes
processos de resolução.
No que diz respeito à relação entre as perceções dos alunos e a sua aprendizagem na
Geometria, estas destacam-se nas linhas que se seguem. Do resultado da análise das respostas
dos alunos ao questionário constatou-se que pelo menos 50% dos alunos de nível 2 discordam
da afirmação 9 do questionário onde se afirmava “No meu grupo senti-me sempre à-vontade
para partilhar o meu raciocínio”, enquanto pelo menos 50% dos alunos de níveis 3, 4 ou 5, ou
concordaram ou concordaram totalmente com a referida a afirmação. Nesse sentido, segundo
117
as respostas dos alunos ao questionário, são alunos de nível 2 aqueles que se sentem menos à-
vontade para partilhar o seu raciocínio no seu grupo.
Do mesmo modo que na afirmação 11 do questionário, “Primeiro, gosto de observar e
ouvir os meus colegas de grupo a discutir e a resolver e só depois partilhar as minhas ideias”,
pelo menos 50% dos alunos de nível 2 concordam totalmente com a afirmação, enquanto que os
alunos com níveis de desempenho de 3, 4 ou 5 pelo menos 50% destes ou discordam ou
discordam totalmente desta afirmação. Assim evidenciam-se dois tipos de comportamentos por
parte dos alunos de diferentes níveis: alunos de nível 2 que primeiro gostam de observar e ouvir
os seus colegas de grupo a discutir e a resolver, e só depois partilham as suas ideias, e os
outros não preferem primeiro ouvir nem observar os seus colegas. Esta preferência pode-se
justificar com a perceção anterior porque uma vez que tendencialmente alunos de nível 2 não se
sentem à-vontade para partilhar os seus raciocínios e as suas dúvidas, talvez por medo de errar,
prefiram observar primeiro os seus colegas de modo a certificarem-se se estão a pensar da
forma correta ou não. A maioria dos alunos da turma (22 elementos) considera que o trabalho
de grupo lhes permitiu conhecer, não só diferentes processos de resolução, como também
diferentes formas de pensar. De facto, nos casos analisados foi possível constatar que a
interação verbal ou não-verbal entre os alunos do mesmo grupo lhes permitiu conhecer
diferentes processos de solução. Contudo, no que diz respeito a conhecer diferentes formas de
pensar, isso não se tornou evidente, destacando-se o facto terem ocorrido 4 interações da
categoria explicar. Estas explicações foram dadas por alunos de nível 5. Também Webb (1982)
refere que os alunos de nível de desempenho elevado dão mais explicações que os de nível de
desempenho baixo. Por outro lado, os alunos que evidenciam necessitar de ajuda, e que têm
interações da categoria observar com registo, raramente colocam questões de modo a obter
uma clarificação acerca das soluções apresentadas, e dessa forma não se sabe até que ponto
eles ficaram a conhecer ou não diferentes formas de pensar. Entre os alunos com nível de
desempenho 4 ou 5, também não se sabe até que ponto eles de facto ficaram a conhecer
diferentes formas de pensar uma vez que, sendo quase inexistentes as interações da categoria
explicar, parece ficar subentendido entre estes que cada um compreendeu aquilo que o outro
disse ou fez. Segundo Webb (1980), entre alunos com nível de desempenho elevado (nível 4 ou
5) a tendência é de darem poucas explicações uma vez que partem do princípio que o outro,
com poucas palavras, entende o que está a ser dito. Esta tendência também pode justificar a
baixa ocorrência de interações da categoria explicar. Também foram estes alunos, do nível 5,
118
que deram mais informação acerca do processo de resolução das tarefas, uma vez que foram os
que apresentaram um maior número de interações ao nível de dar ajuda. Webb (1982) refere
que são os alunos de nível de desempenho elevado que dão mais informação no grupo acerca
do processo de resolução. Mais uma vez, sendo estes a introduzir mais informação no grupo, e
como se constatou mais frequentemente através de interações da categoria expor, não se sabe
até que ponto os alunos de desempenho negativo ficaram a conhecer ou não diferentes formas
de pensar. Não obstante, os dados das aulas evidenciam que os alunos dos grupos ficaram a
conhecer diferentes processos de resolução.
No final do ano letivo, em entrevista, os alunos dos grupos manifestaram a sua
satisfação pelo trabalho de grupo. Foi ainda possível verificar que na perceção dos alunos desses
grupos, para que o grupo interaja é importante que os seus elementos gostem de trabalhar uns
com os outros. Segundo as revelações dos alunos de um desses grupos, a introdução de um
novo elemento no grupo, com o qual não gostavam de trabalhar, influenciou de forma negativa o
modo como estes interagiam.
5.2. Limitações e Recomendações
Com este estudo, pretendiam-se estudar os padrões de interação dos alunos ao longo
das diferentes tipologias de tarefas. Para tal, recorreu-se aos padrões descritivos utilizados na
literatura por Cobb (1995) e aos diagramas visuais propostos por Artzt e Armour-Thomas (1992).
No entanto, apesar de os diagramas visuais fornecerem uma boa representação da disposição
dos alunos em grupo, apresentaram algumas limitações quando se pretendiam representar os
padrões descritivos. Por exemplo, um aluno que ao nível do processo trabalhe em interação
oculta, é representado por uma circunferência com linha a tracejado. Por outro lado, se o
mesmo aluno tiver verbalizado a solução ao nível do resultado, então esse aluno passaria a ser
representado por uma circunferência com linha a cheio. Quer isto dizer que o diagrama visual
nem sempre fornece uma boa representação das interações ocorridas ao nível do processo e ao
nível da solução.
Apesar de no âmbito da intervenção, terem sido implementadas mais tarefas de
diferentes tipologias para além das apresentadas, para este estudo foram selecionadas aquelas
em que os alunos dos três grupos realizaram a maior parte do trabalho sem a presença do
professor. Seria interessante, antes da implementação do trabalho de grupo em sala de aula,
desenvolver nos alunos algumas competências nesse sentido, de modo a poder elaborar um
estudo mais alargado das suas interações em grupo, e sem a presença do professor, ao longo
119
de um maior número de cada uma das diferentes tipologias de tarefas. Assim, embora neste
estudo se tenham abordado diferentes tipologias de tarefas, esta abordagem foi superficial uma
vez que foram apenas consideradas duas tarefas da tipologia problema e uma de cada um dos
outros tipos. Seria por isso interessante elaborar um estudo nesse sentido que complementasse
o presente, depois de se terem desenvolvido tais competências do trabalho de grupo nos alunos.
Além disso, alguns dos alunos não têm consciência do tipo de ajuda que pode ser útil ou não
para os seus colegas de grupo, em determinado momento de resolução da tarefa. Seria
interessante desenvolver essa destreza nos alunos partindo de atividades orientadas para o
efeito, como por exemplo fazendo-os demonstrar o que poderia ser uma “boa” ajuda e o que
poderia ser uma “má ajuda” (Webb, Nemer & Ing, 2006, p.69). Estudar a utilidade da ajuda que
um aluno presta a outro, em determinado momento do processo de resolução de uma tarefa
também poderá ser importante, já que permitirá saber quais os tipos de ajuda que podem ser
mais úteis aos alunos: Quem beneficiará mais? Será quem dá a ajuda ou quem a recebe? Será
que o ato de dar ajuda é mais benéfico que o ato de a receber?
Por último, como recomendação, ainda no âmbito do trabalho de grupo, poder-se-ia
estudar a ajuda prestada pelo professor ao grupo. Quando o professor circula pelos pequenos
grupos, coloca questões aos alunos de modo a não lhes dar respostas pois nem à tarefa nem a
subtarefas, mas fazendo com que eles progridam na resolução da mesma. O professor deve
evitar dar respostas mas apenas ajudar a pensar. Estudar o efeito da ajuda prestada pelo
professor aos alunos em grupo também se poderia revelar um complemento a este estudo para
uma melhor compreensão do fenómeno Trabalho de Grupo.
As entrevistas aos alunos dos grupos identificados com os números 1 e 3 não foram
efetuadas com todos os elementos do grupo presentes, sendo que um elemento de cada um dos
grupos foi entrevistado individualmente. Compreender se a presença desses elementos no grupo
afetaria as revelações ou não, mantém-se no entanto uma incógnita.
A observação das gravações audiovisuais e a categorização das diferentes interações foi
realizada por uma única pessoa, não se sabendo por isso até que ponto a presença de um outro
observador poderia levar a categorizar as diferentes interações de maneira diferente.
Considera-se ainda o facto das entrevistas só terem sido realizadas no mês de Junho
quando a intervenção decorreu no mês de Janeiro ser outras das limitações deste estudo. As
entrevistas e a aplicação do questionário deveriam ter decorrido no mês seguinte à intervenção,
uma vez que os alunos poderiam não se lembrar dos episódios em sala de aula. No entanto
120
tentou-se contornar essa limitação, mostrando aos alunos o episódio da gravação audiovisual
correspondente à situação que se pretendia ver esclarecida.
Numa sala de aula em que os alunos estão organizados em grupo em que toda a turma
resolvia a mesma tarefa ao mesmo tempo, e devido à proximidade dos alunos de diferentes
grupos, não se sabe até que ponto o que era dito pelos alunos de um grupo A pode ou não ter
influenciado as interações entre os alunos de um grupo B.
Considera-se que deveria ter sido contabilizado o tempo que cada aluno passou a
observar e a registar na sua tarefa, o que via na tarefa do seu colega. Esse registo permitiria dar
ao leitor uma ideia mais concreta do tempo que o aluno passou a observar com registo.
O estudo das interações incidiu no tema da Geometria. Seria também
interessante verificar, uma vez que podem existir alunos que se sentem mais à vontade nuns
temas do que noutros, se os padrões de interação na realização dos trabalhos de grupo se
mantêm ou se evidenciam outros, consoante diferentes tipologias de tarefas apresentadas.
121
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127
Tabela 5. 1 Tarefas implementadas no âmbito da intervenção
Aula Objetivo da aula
Tarefa
Nome Tipologia Nível de exigência Contexto
Exercício Problema Exploratório Reduzido Elevado Matemático Semi-realidade
1 Introduzir o conceito de lugar geométrico; Identificar e construir a mediatriz de um segmento de reta; Identificar a circunferência e o círculo como lugares Geométricos.
Tarefa orientada
O centro de saúde
O sinal sonoro
3 Identificar a bissetriz de um ângulo, semiplano aberto, semiplano fechado e coroa circular como lugares geométricos; Construir a bissetriz de um ângulo.
Tarefa orientada (para a construção da bissetriz de um ângulo)
Bissetriz
Semiplanos
No referencial
4 Construir a circunferência inscrita num triângulo; Construir a circunferência circunscrita a um triângulo.
O melhor local para o encontro dos três amigos1
O centro do logótipo
Incentro e Circuncentro
7 Determinar o valor da soma das amplitudes dos ângulos internos de um polígono convexo; Determinar a amplitude de um ângulo interno de um polígono regular com 𝑛 lados;
Determinar o valor da soma das amplitudes dos ângulos externos de um polígono convexo; Determinar a amplitude de um ângulo externo de um polígono regular com n lados; Identificar e utilizar raciocínio indutivo e dedutivo.
Tarefa Exploratória dos polígonos
Problema da justificação escrita”
Amplitudes dos ângulos internos de um polígono convexo regular2
Ângulos externos do Triângulo
1 Neste relatório, esta tarefa, tendo em conta a sua tipologia, denominou-se por “Problema do Triângulo”. 2 Neste relatório, esta tarefa, tendo em conta a sua tipologia, denominou-se por “Exercício com recurso ao transferidor”.
129
1. Três amigos residentes em diferentes freguesias do concelho de Barcelos um de
Perelhal, um de Cossourado e outro de Sequeade estão a fazer planos para se
encontrarem para o almoço. Cada um deles quer conduzir a mesma distância. Desenha
a lápis, no mapa da figura abaixo apresentada, uma construção geométrica rigorosa que
te permita assinalar o ponto correspondente ao local onde os três amigos se devem
encontrar. Assinala no mapa esse ponto. Nota- Não apagues as linhas auxiliares.
131
Qualquer polígono convexo com mais de três lados pode ser decomposto em triângulos.
1.1 Considera os polígonos convexos da folha anexa. Decompõe cada polígono em
triângulos, traçando todas as suas diagonais a partir de um dos seus vértices. De
seguida, preenche os restantes espaços da tabela.
Nome do polígono Número de lados Número de triângulos
em que ficou
decomposto
Soma das amplitudes
dos ângulos internos
Quadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Polígono de n lados
132
ANEXO 4
ENUNCIADO DO PROBLEMA DA JUSTIFICAÇÃO ESCRITA E DO EXERCÍCIO
COM RECURSO AO TRANSFERIDOR
133
1.2. Num pequeno texto sintetiza as justificações e apresenta as conclusões a que
chegaste com o preenchimento da tabela.
3. Ângulos Externos
3.1. Os polígonos também têm ângulos externos. No triângulo [ABC], em baixo, um dos
ângulos externos é o ângulo DCB que se obtém construindo a semirreta �̇�𝐶(prolongando o lado
[AC])
São igualmente ângulos externos os ângulos EBA e FAC.
Mede e adiciona as amplitudes dos ângulos DCB, EBA e FAC.
134
ANEXO 5
PEDIDO DE AUTORIZAÇÃO AO DIRETOR DA ESCOLA PARA PROCEDER À
GRAVAÇÃO ÁUDIO-VISUAL DAS AULAS
135
Exmo Senhor Diretor
_________________________________
No âmbito do curso de Mestrado em Ensino de Matemática no 3º Ciclo do Ensino Básico e do
Ensino Secundário, da Universidade do Minho, nós, Andreia Abreu e Maria Júlia Alves, professoras
estagiárias de Matemática desta Escola, encontrámo-nos a elaborar um relatório de estágio, intitulado O
ensino e aprendizagem de Geometria com recurso a materiais manipuláveis: uma experiência com alunos
do 9º ano de escolaridade e As interações dos alunos em grupo na aprendizagem da Geometria: uma
experiência com alunos do 9º ano de escolaridade, respetivamente.
O relatório de estágio pressupõe um projeto de intervenção pedagógica supervisionada na
educação em Matemática. Este projeto orienta-se no sentido de definir temas, objetivos e estratégias de
ação, que decorram de observação e análise das práticas de ensino e aprendizagem na área de docência
e contribuam para a compreensão e melhoria dessas práticas. Nesse sentido, há necessidade de efetuar
uma recolha de dados que, nestes estudos impõe gravações audiovisuais de algumas aulas de
Matemática.
De forma a viabilizar este estudo, solicito a V. Exa. autorização para realizar as gravações nas
aulas de Matemática.
Quer no processo de recolha de dados, quer no relatório de estágio, comprometemo-nos a
garantir o anonimato em relação à identidade dos alunos da turma e ainda a solicitar a autorização aos
Encarregados de Educação.
Desde já agradecemos a sua atenção.
Com os melhores cumprimentos,
30 de Novembro de 2011 Autorização
As professoras estagiárias
___________________________ _____ de ______________ de 2012 (Andreia Cristina Freitas Abreu) O Diretor
__________________________ _____________________________ (Maria Júlia Rodrigues Alves) (_____)
136
Anexo 6
PEDIDO DE AUTORIZAÇÃO AOS ENCARREGADOS DE EDUCAÇÃO DOS
PARTICIPANTES DESTE ESTUDO PARA PROCEDER À GRAVAÇÃO AUDIO-VISUAL DAS
AULAS
137
Exmo(a) Senhor(a)
Encarregado(a) de Educação do(a) aluno(a)
___________________________________
Nº____ da turma A do 9º ano.
No âmbito do Curso de Mestrado em Ensino da Matemática no 3º ciclo do Ensino Básico e do Ensino
Secundário, da Universidade do Minho, eu, Maria Júlia Alves, professora Estagiária de Matemática da Escola
Secundária de Barcelos, encontro-me a elaborar um relatório de estágio, intitulado Interações dos alunos no
trabalho de grupo na aprendizagem da Geometria no 9º ano de escolaridade.
O relatório de estágio pressupõe um projeto de intervenção pedagógica supervisionada em Educação
Matemática. Este projeto orienta-se no sentido de definir temas, objetivos e estratégias de ação, que decorram da
observação e análise das práticas de ensino e aprendizagem na área de docência e contribuam para a
compreensão e melhoria dessas práticas. Neste sentido, há necessidade de efetuar uma recolha de dados que,
neste estudo, impõe gravações audiovisuais de algumas aulas da disciplina de Matemática e a aplicação de um
questionário.
Quer no processo de recolha de dados quer no relatório de estágio, comprometo-me a garantir o
anonimato em relação à identidade do seu educando, bem como dos restantes alunos da turma, e que todos os
dados recolhidos serão exclusivamente utilizados no âmbito dos estudos referidos.
Após a autorização concedida pela Direção da Escola, solicito de igual modo a autorização de V. Exa., de
forma a viabilizar este projeto de intervenção pedagógica supervisionada.
Desde já, agradeço a sua colaboração.
6 de Dezembro de 2012 Autorização A Professora Estagiária
___de Dezembro de 2012
_____________________________ (Maria Júlia Rodrigues Alves)
Assinatura do(a) Encarregado(a) de Educação ________________________________
139
Exmo Senhor Diretor
_________________________________
No âmbito do Curso de Mestrado em Ensino da Matemática no 3º ciclo do Ensino Básico e do Ensino
Secundário, da Universidade do Minho, eu, Maria Júlia Alves, professora Estagiária de Matemática da Escola
Secundária de Barcelos, encontro-me a elaborar um relatório de estágio, intitulado Interações dos alunos no
trabalho de grupo na aprendizagem da Geometria: uma experiência com alunos do 9.º ano de escolaridade.
O relatório de estágio pressupõe um projeto de intervenção pedagógica supervisionada em Educação
Matemática. Este projeto orienta-se no sentido de definir temas, objetivos e estratégias de ação, que decorram da
observação e análise das práticas de ensino e aprendizagem na área de docência e contribuam para a
compreensão e melhoria dessas práticas. Neste sentido, há necessidade de recorrer à realização de entrevistas
para conhecer a opinião dos alunos relativamente ao assunto em estudo. Para o efeito, solicito a sua autorização
para entrevistar e áudio-gravar o seu educando.
Quer no processo de recolha de dados quer no relatório de estágio, comprometo-me a garantir o
anonimato em relação à identidade dos alunos da turma, e que todos os dados recolhidos serão exclusivamente
utilizados no âmbito dos estudos referidos.
Desde já, agradeço a sua colaboração.
Autorização
28 de Maio de 2013
___de Maio de 2013
A Professora Estagiária _____________________________ (Maria Júlia Rodrigues Alves)
O Diretor ________________________________
140
ANEXO 8
PEDIDO DE AUTORIZAÇÃO AOS ENCARREGADOS DE EDUCAÇÃO DOS
PARTICIPANTES DO ESTUDO PARA ENTREVISTAR E ÁUDIO-GRAVAR OS ALUNOS
141
Exmo(a) Senhor(a)
Encarregado(a) de Educação do(a) aluno(a)
___________________________________
Nº____ da turma A do 9º ano.
No âmbito do Curso de Mestrado em Ensino da Matemática no 3º ciclo do Ensino Básico e do
Ensino Secundário, da Universidade do Minho, eu, Maria Júlia Alves, professora Estagiária de Matemática
da Escola Secundária de Barcelos, encontro-me a elaborar um relatório de estágio, intitulado Interações
dos alunos no trabalho de grupo na aprendizagem da Geometria: uma experiência com alunos do 9º ano
de escolaridade.
O relatório de estágio pressupõe um projeto de intervenção pedagógica supervisionada em
Educação Matemática. Este projeto orienta-se no sentido de definir temas, objetivos e estratégias de
ação, que decorram da observação e análise das práticas de ensino e aprendizagem na área de docência
e contribuam para a compreensão e melhoria dessas práticas. Neste sentido, há necessidade de recorrer
à realização de entrevistas para conhecer a opinião dos alunos relativamente ao assunto em estudo. Para
o efeito, solicito a sua autorização para entrevistar e áudio-gravar o seu educando.
Quer no processo de recolha de dados quer no relatório de estágio, comprometo-me a garantir o
anonimato em relação à identidade do seu educando, bem como dos restantes alunos da turma, e que
todos os dados recolhidos serão exclusivamente utilizados no âmbito dos estudos referidos.
Após a autorização concedida pela Direção da Escola, solicito de igual modo a autorização de V.
Exa., de forma a viabilizar este projeto de intervenção pedagógica supervisionada.
Desde já, agradeço a sua colaboração.
Autorização
28 de Maio de 2013
___de Maio de 2013
A Professora Estagiária _____________________________ (Maria Júlia Rodrigues Alves)
Assinatura do(a) Encarregado(a) de Educação ________________________________
143
QUESTIONÁRIO
“O trabalho de grupo e a aprendizagem da Geometria”.
Nome: _________________________________________N.º ___ Ano: 9.º Turma: A
Caro(a) aluno(a)
Este questionário, a que venho pedir-te que respondas, tem por finalidade conhecer a tua opinião
acerca do trabalho de grupo e a aprendizagem da Geometria.
Lê cuidadosamente todas as questões e responde com a tua máxima sinceridade e empenho a
todas elas. Não deixes nenhuma questão por responder. As tuas respostas ao questionário serão
mantidas confidenciais e eu, enquanto pessoa com acesso aos dados, comprometo-me a não
divulgar as respostas a não ser para fins do estudo e sem revelar a tua identidade.
Grata pela tua colaboração.
1. Algumas das minhas perceções sobre o trabalho de grupo:
1.1. Em anos letivos anteriores trabalhei em grupo em muitas das aulas de matemática:
1.2. Para mim, trabalhar em grupo na resolução de uma tarefa, na aula de matemática é:
Sim
Não
Discutir aspetos da tarefa com os meus colegas de grupo e depois elaborar a minha resposta. Discutir aspetos da tarefa com os meus colegas de grupo e depois elaborar uma resposta
conjunta.
Resolver a tarefa sozinho(a) e esclarecer as dúvidas que vão surgindo com os meus colegas
de grupo, elaborando a minha resposta.
Ouvir e observar os meus colegas a discutir aspetos da tarefa pois assim tenho ideias para a resolver.
Nas questões que se seguem assinala com uma cruz (X) a opção que melhor
se ajusta à tua opinião relativamente ao trabalho de grupo na aula de Matemática.
Nas afirmações de 2 a 24 assinala, com uma cruz (X) no espaço em branco que
correspondente ao teu grau de concordância, considerando a seguinte escala:
DT – Discordo Totalmente; D – Discordo;
C – Concordo; CT – Concordo Totalmente
144
Afirmações DT D C C
T
Eu e o trabalho de grupo
2.Considero que no meu grupo cada um de nós constitui uma peça
fundamental para a minha aprendizagem e para a aprendizagem dos
meus colegas.
3.Trabalhar em grupo permite-me conhecer diferentes formas de
pensar.
4.Trabalhar em grupo permite-me conhecer diferentes processos de
resolução.
Como eram esclarecidas as dúvidas…
5.No meu grupo, senti-me sempre à-vontade para esclarecer as
minhas dúvidas.
6.Quando tinha uma dúvida esclarecia-a primeiro com os meus
colegas de grupo e só depois, se necessário, com o professor.
7.Quando algum elemento do meu grupo tinha dúvidas, todos os
outros procuravam explicar ou dizer como se faz.
8.Quando alguém tinha dúvidas chamávamos logo o professor para
explicar.
A partilha…
9.No meu grupo, senti-me sempre à-vontade para partilhar o meu
raciocínio.
10.No trabalho de grupo, gosto mais de ouvir os meus colegas do
que partilhar os meus raciocínios e as minhas dúvidas.
11.Primeiro, gosto de observar e ouvir os meus colegas de grupo a
discutir e a resolver e só depois partilhar as minhas ideias.
12.Passo mais tempo a discutir aspetos da tarefa do que a observar
e/ou ouvir os meus colegas.
13.Tenho dificuldade em pensar em conjunto. Prefiro resolver a
tarefa sozinho(a) e depois partilhar a minha resolução com os meus
colegas de grupo.
14.Quando trabalho com os meus colegas em grupo não tenho
receio de falar.
15.No meu grupo, habitualmente ouvíamos o que cada um tinha
145
para dizer.
16.Quando nos entusiasmávamos com a tarefa falávamos todos ao
mesmo tempo sem nos ouvirmos mutuamente.
17.Um dos elementos do meu grupo assumiu muitas vezes o papel
de líder ou moderador.
18.Todos os elementos do meu grupo se preocupavam com a gestão
do tempo e a concretização do trabalho proposto.
O trabalho de grupo e a aprendizagem da Geometria
19.O trabalho de grupo revelou-se importante para a aprendizagem
da Geometria.
20.O trabalho de grupo permitiu-me compreender melhor a
Geometria do que em anos letivos anteriores.
21.O trabalho de grupo permitiu-me ultrapassar dificuldades que
tinha em Geometria.
22.O trabalho de grupo permitiu-me conhecer diferentes processos
de resolução de tarefas de Geometria.
23. No trabalho de grupo, a descoberta de determinados erros nos
processos de resolução das tarefas permitiu construir novas
aprendizagens em Geometria.
24.Considero que o contributo individual de cada um dos elementos
do grupo para a resolução da tarefa deve ser discutido por todos, e
que isso é importante para a minha aprendizagem.