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Teorema da bissetriz de um triangulo Semelhanca de triangulos Potencia de ponto Exercicios
MA093 – Matematica basica 2Semelhanca de triangulos - Potencia de ponto
Francisco A. M. Gomes
UNICAMP - IMECC
Agosto de 2018
Teorema da bissetriz de um triangulo Semelhanca de triangulos Potencia de ponto Exercicios
Topicos importantes
O objetivo dessa aula e investigar
1 Semelhanca de triangulos.
2 Criterios de semelhanca.
3 Potencia de ponto.
Teorema da bissetriz de um triangulo Semelhanca de triangulos Potencia de ponto Exercicios
Teorema da bissetriz de um triangulo
AM
AC=
BM
BC
Teorema
Uma bissetriz interna de um triangulo divide o lado oposto emsegmentos proporcionais aos lados adjacentes.
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Demonstracao
ACM ≡ MCB (bissetriz)
MC ‖ BN
ACM ≡ CNB (correspondentes)
MCB ≡ CBN (alternos internos)
Logo, CBN ≡ CNB
4BCN e isosceles ⇒ CN ≡ BC
Pelo Teor. de Tales, AMAC
= BMBC
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Exemplo 1
Problema
Dado o triangulo abaixo, determine x .
Como o segmento vermelho e abissetriz do angulo C , temos
16
32=
x
27
x =16 · 27
32= 13, 5
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Semelhanca de triangulos
A ≡ A′
B ≡ B ′
C ≡ C ′
AB
A′B ′ =AC
A′C ′ =BC
B ′C ′
Definicao
Dois triangulos sao semelhantes se e somente se tem os anguloscorrespondentes congruentes e os lados correspondentesproporcionais
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Exemplo 2
Problema
Sabendo que os triangulos ABC e DEF sao semelhantes, determinex e y.
8
5=
x
2, 5⇒ x = 4
8
5=
6
y⇒ y = 3, 75.
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Reta paralela ao lado de um triangulo
4ABC ∼ 4DEC
Teorema
Se uma reta e paralela a um lado de um triangulo e intercepta osoutros dois lados em pontos que nao sao vertices, entao otriangulo que ela determina e semelhante ao primeiro.
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Criterio de semelhanca AA
A ≡ A′
C ≡ C ′
⇓
4ABC ∼ 4A′B ′C ′
Definicao
Se dois angulos de um triangulo sao congruentes a dois angulos deoutro triangulo, entao esses triangulos sao semelhantes.
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Criterio de semelhanca LAL
AC
A′C ′ =BC
B ′C ′
C ≡ C ′
⇓
4ABC ∼ 4A′B ′C ′
Definicao
Se dois lados de um triangulo sao proporcionais aos ladoscorrespondentes de outro triangulo, e se os angulos compreendidosentre esses lados sao iguais, entao os triangulos sao semelhantes.
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Criterio de semelhanca LLL
AB
A′B ′ =BC
B ′C ′ =AC
A′C ′
⇓
4ABC ∼ 4A′B ′C ′
Definicao
Se os tres lados de um triangulo sao proporcionais aos ladoscorrespondentes de outro triangulo, entao os triangulos saosemelhantes.
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Exemplo 3
Altura de uma caixa d’agua
Joao quer calcular a altura deuma caixa d’agua.
Com a ajuda de Marcelo, eledescobriu que, em certa horado dia, sua sombra mede 0,75m, enquanto a sombra dacaixa d’agua mede 2,5 m.
Se Joao mede 1,8 m, qual e aaltura da caixa?
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Resolucao
Os raios de sol fazem angulo αtanto com Joao, como com acaixa d’agua.
Desse modo, os triangulos aolado sao semelhantes (criterioAA).
x
1, 80=
2, 5
0, 75⇒ x =
2, 5 · 1, 80, 75
=4, 5
0, 75= 6 m
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Segmentos secantes a uma circunferencia
Teorema
Se dois segmentos AB e CD secantes a circunferencia se cruzamem um ponto P, entao AP · PB = CP · PD.
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Demonstracao
CPA ≡ BPA
CAP ≡ BDP
⇓
∆APC ≡ ∆DPB
⇓
AP
DP=
CP
BP
⇓
AP · PB = CP · PD
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Exercıcio 1
Problema
Na figura abaixo, CM e a bissetriz relativa ao angulo C C .Determine o valor de x.
x = 15
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Exercıcio 2
Problema
Sabendo que os triangulos ABC e DEC sao semelhantes, mostreque suas alturas mantem a proporcionalidade dos lados, ou seja,
AB
DE=
CN
CM
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Exercıcio 3
Largura de um rinque
Um rinque de patinacao quadrado sera construıdo em um terrenotriangular, como mostra a figura. Determine o comprimentomaximo do lado do rinque.
x = 14, 4 m
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Exercıcio 4
triangulos semelhantes
Os lados do triangulo ABC medem 10 cm, 15 cm e 20 cm.Determine os lados de um triangulo semelhante a ABC, comperımetro igual a 36 cm.
8 cm, 12 cm e 16 cm
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Exercıcio 5
Problema
Dado o triangulo abaixo, determine os valores de x e y.
x = 7, y = 10
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Exercıcio 6
Problema
Determine o valor de x
x = 3√
3
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Exercıcio 7
Subindo a ladeira
Um homem, de 1,80 m de altura, sobe uma ladeira, conformemostra a figura. No ponto A esta um poste vertical de 5 metros dealtura, com uma lampada no ponto B. Calcule o comprimento dasombra do homem depois que ele subiu 4 m ladeira acima.
2,25 m