Post on 06-Feb-2018
SÉRIE DUPLA DE FOURIER E CONVERGÊNCIA DAS
SÉRIES DE FOURIER
Ana Paula Nogueira Luz*
Rodrigo Nunes Shinkado*
Vanessa Milhomem Schmitt*
Resumo
Trata do assunto Séries Duplas de Fourier, que são definidas por bases ortogonais dos espaços
cp [a , b ] → {f i ( x ) }ecp [c , d ] → {g j ( y ) }, e apresentam o conjunto de todos os produtos
{f i ( x ) . g j ( y )} por uma base de cp ( R ) , onde R é um retângulo R=[ a , b ] ,[c , d ]. Descreve a
convergência das Séries de Fourier, a partir do seguinte corolário: funções são ditas
convergentes em R quando f for uma função periódica de período 2 L e se f e f ' forem
seccionalmente contínuas em [−L, L]. Elas convergem para f (x0) se f for contínua em x0 e
convergem para a média aritmética dos limites laterais em x0 se f for descontínua em x0.
Demonstra a Identidade de Parseval, também conhecida como a Igualdade de Parseval, a qual é
o Teorema de Pitágoras aplicado aos espaços vetoriais completos. E para caso do referente
trabalho desenvolvida para as Séries de Fourier. Conclui com a importância e as aplicações das
séries para o universo tecnológico.
Palavras-chave: Séries Duplas de Fourier, Convergência, Identidade de Parseval.
1. Introdução
O presente trabalho trata do conceito séries de Fourier, o qual representa grande
importância para os estudantes de engenharia, aprofundando-se na formulação e
desenvolvimento dos seguintes temas: série dupla de Fourier, convergência de série de
Fourier e teorema de Parseval. Além de fazer uma abordagem das explicações e
demonstrações dos referentes temas com intuito de expandir o conhecimento e
proporcionar um estudo mais aprofundado aos alunos.
*Alunos de graduação do curso de Engenharia, Universidade Federal Fluminense, 24024-000 Niterói, Brasil
2Série Dupla de Fourier e Convergência das Séries de Fourier
a b
c
d
y
x
R
2. Série Dupla de Fourier
Diz-se que uma função é contínua por partes num retângulo R do plano se:
I) f é contínua no interior e no bordo de R, com a possível exceção de um número finito
de pontos, ou ao longo de um número finito de arcos diferenciáveis simples, ou em
ambos, e
II) Existe lim( x , y )→( x0 , y0)
f (x , y ) quando (x0 , y0 ¿ é um ponto de descontinuidade de f e (x , y ¿
tende a (x0 , y0) pelo interior de qualquer uma das regiões em que R é dividida pelos
arcos de descontinuidade.
Figura1
¿ f , g>¿∬R
f ( x , y ) g (x , y ) dR
¿ f , g>¿∫a
b
∫c
d
f (x , y ) g ( x , y ) dxdy
Extensão:
¿ f , g>¿∭… f (x , y , z ,…) g (x , y , z ,…)dxdy…
3Série Dupla de Fourier e Convergência das Séries de Fourier
R
-
-
x
y
TEOREMA: Sejam { f i(x)} e {g j( y )} bases ortogonais dos espaços euclidianos cp[ a , b ] e
cp [ c , d ], respectivamente. Então, o conjunto de todos os produtos
{ f i (x ) g j( y)} , i=1,2 , … j=1,2 ,… , é uma base de cp(R), onde R é o retângulo
a ≤ x≤ b , c≤ y ≤d .
Seja a série dupla de Fourier abaixo:
f ( x , y )=∑i , j
α ij hij ( x , y )
1) Base para cp [ – π , π ]
f ( x )∈cp [−π ,π ] , x∈ [−π , π ]
{cos nx , sin mx } n=0,1,2…m=1,2,3…
2) Base para cp [ – π ,π ]
f ( y )∈ cp [−π , π ] , y∈ [−π ,π ]
{cos py ,sin qy } p=0,1,2…q=1,2,3 …
Assim,
3) Base para cp (R)
Figura 2
4Série Dupla de Fourier e Convergência das Séries de Fourier
{cos nxcos py ,cos nx sin qy , sin mx cos py ,sin mx sin qy }
2.1 Cálculos dos Coeficientes de Fourier
f ( x , y )∈cp(R)
f ( x , y )=∑i , j
α ij hij(x , y)
α ij=¿ f , hij>¿
∥ hij∥2 ¿
α ij=1
∥ hij∥2 ∫
−π
π
∫−π
π
f ( x , y )h ij ( x , y ) dxdy⏟φ i ( x ) φ j( y)
Assim,
f ( x , y )=∑n=0
∑p=0
αnp cosnx cos py+∑n=0
∑q=1
α nqcos nxsin qy+∑m=1
∑p=0
αmp sin mx cos py+∑m=1
∑q=1
αmq sin mx sin qy
Onde,
∥cos ( ix )cos ( jy ) ∥2={ 4 π2
2 π2
π2 ,i ≠ 0e j ≠ 0
Ex.: F ( x , y )=xy
α np=1
∥cosnx cos py∥2 ∫−π
π
∫−π
π
xy cosnx cos pydxdy=0
α nq=1
∥cosnx sin qy∥2 ∫−π
π
∫− π
π
xy cosnx sin qy dxdy=0
α mp=1
∥sin mx cos py∥2 ∫−π
π
∫−π
π
xy sin mx cos py dxdy=0
α mq=1
∥sin mx sin qy ∥2 ∫−π
π
∫−π
π
xy sin mx sin qydxdy
5Série Dupla de Fourier e Convergência das Séries de Fourier
xy= f ( x , y )=4 [sin x sin y− sin x sin 2 y1 ×2
− sin 2 x sin y2 ×1
+ sin x sin 3 y1 ×3
+…]⇒ f (x , y )=xy=4∑
m=1
∞
∑q=1
∞
(−1)m+q sin mx sin qymq
α mq=∫− π
π
∫−π
π
x sin mx dx ysin qydy
∫−π
π
∫−π
π
sin2 mx sin2 qy dxdy
∫−π
π
∫− π
π
sin2mx sin2qy dxdy=π2
α mq=1π2 ∫
−π
π
∫−π
π
x sin mx dx ysinqy dy
α mq=1π2 ∫
−π
π
x sin mx dx∫−π
π
ysin qy dy
α mq=4π2∫
0
π
xsin mx dx∫0
π
y sin qy dy
x sin mx dx=(−1)m+1 πm
y sin qy dy=(−1)q+1 πq
α mq=4π2 [(−1)m+1 π
m ] [(−1)q+1 πq ]=(−1)m+q 4
mq
De um modo mais geral, o conjunto de funções
sin(mπa
x )sin (nπb
y ) ,sin(mπa
x )cos( qπb
y) , cos( pπa
x )sin ( nπb
y ), cos ( pπa
x)cos( qπb
y)é uma base do espaço euclidiano das funções contínuas por partes no retângulo
−a ≤ x≤ a ,−b ≤ y ≤ b.
6Série Dupla de Fourier e Convergência das Séries de Fourier
TEOREMA: Seja R o retângulo −π ≤ x ≤ π ,−π ≤ y ≤ π , e suponhamos que F seja
contínua em R e que ∂ F∂ x
, ∂ F∂ y
,e ∂2 F∂ x ∂ y
existam e sejam limitadas em R. Então, a série
dupla de Fourier de f converge pontualmente para F em R.
3. Convergência das Séries de Fourier
3.1 Convergência em Média
Em um espaço de funções com produto interno expresso por um integral a afirmação
segundo a qual
limk → ∞
‖f k−f‖=limk → ∞ (∫
a
b
[ f k ( x )− f (x ) ])1/ 2
=0
não é o mesmo que dizer que a seqüência { f k } converge para a função f em todo ponto
de [ a ,b ] (convergência pontual). Em Análise Matemática, essa convergência via
produto interno é conhecida como convergência de média, para enfatizar que ela é
calculada por integração, que em certo sentido é um processo de média generalizado.
Ex: A seqüência de funções {x , x2 , x3 , …} converge em média para zero em e [−1 ,1 ]
(espaço das funções contínuas no intervalo fechado [−1 ,1 ]).
De fato,
limk → ∞
‖xk−0‖=limk →∞ (∫
−1
1
x2k dx)1 /2
=limk →∞ ( 2
2 k+1 )1/2
=0
Entretanto, {x , x2 , …} não converge para zero em cada ponto.
O exemplo dado mostra que a convergência em média é diferente da pontual.
7Série Dupla de Fourier e Convergência das Séries de Fourier
DEFINIÇÃO: Diz-se que uma série infinita ∑k =1
∞
uk de vetores de um espaço euclidiano
converge para o vetor u a seqüência associada das somas parciais converge para u
no sentido que limkn→ ∞
‖uk−u‖=0.
Se este é o caso, escrevemos
u=∑k=1
∞
uk
e dizemos queu foi desenvolvida em série infinita. Mais detalhadamente,
∑k =1
∞
uk
converge para u para cada número real ε>0 existe um inteiro K tal que
‖∑k =1
N
uk−u‖<ε
toda vez que N>K . O real ε pode ser entendido como o “erro”. Na verdade, ‖∑k =1
N
uk−u‖
é a “distância” da soma ao vetor u .
É sabido que todo espaço euclidiano de dimensão finita tem uma base ortonormal
u1 ,u2 , u3 , …,uNe que todo vetor deste espaço pode ser escrito de modo único sob a
forma
u=(u ∙u1 ) u1+…+( u∙ uN ) uN
É possível generalizar este resultado para espaços euclidianos de dimensão infinita.
Assim,
u=(u ∙u1 ) u1+…+( u∙ uN ) uN+…
ou
u=∑k=1
∞
(u ∙uk )uk
8Série Dupla de Fourier e Convergência das Séries de Fourier
Entretanto, sem informações mais detalhadas, não existe, evidentemente, nenhuma
garantia que esta série convirja para u. É claro que se converge (e isto ocorre em
inúmeras situações), justifica-se escrever ∑k =1
∞
( u∙ uk ) uk , e dizemos que a série converge
em média para u.
Os produtos internos (u ∙ uk ) se denominam de coordenadas ou coeficientes de Fourier
(generalizados) de u em relação a base (ou conjunto ortonormal) u1 ,u2, … .
É comum escrever u ∑k=1
∞
(u ∙uk ) uk, onde o símbolo é para ressaltar que a série em
questão pode não convergir para u.
Caso convirja justifica-se usar o símbolo de igualdade.
TEOREMA: Seja ∑k =1
∞
ak uk qualquer série infinita que converge em média para u, isto é,
u=∑k=1
∞
ak uk.
Então, ak=u ∙uk para cada inteiro k .
É claro que se a série converge em média para u vale escrever
limN → ∞‖u−∑
k=1
N
ak uk‖=0
Onde
∑k =1
N
ak uk
é soma parcial SN.
Se o espaço euclidiano em tela for cp [a ,b ] deve-se entender ucomo f ( x ), ak como AN,
BN e uk como sin ( N x ) e cos ( N x ) (a=−π , b=π ), se f periódica de período 2 π .
3.2 Desigualdade de Bessel e Igualdade de Parseval
9Série Dupla de Fourier e Convergência das Séries de Fourier
TEOREMA: Seja u1 ,u2 ,..., um conjunto ortonormal de vetores de um espaço euclidiano
de dimensão infinita, e seja u um vetor arbitrário deste espaço. Então,
∑k =1
∞
(u , uk )2≤ ∥u∥2 ,
(Desigualdade de Bessel)
esta expressão é chamada de desigualdade de Bessel. Além disso, u1 ,u2..., é uma base
do espaço em questão ↔
∑k =1
∞
(u1 ,u2)2=∥ u∥2 ,
(Igualdade de Parseval)
que é a igualdade de Parseval.
No caso das séries de Fourier a igualdade de Parseval é dada por:
∥ f ∥2= 1π ∫
−π
π
( f ( x ))2 dx=a0
2
2+∑
K =1
∞
(ak2¿+bk
2) , ¿
onde ak e bk são os coeficientes de Fourier.
De fato:
f =¿ f , 1>1∥1∥2 +∑
k=1
∞
¿¿
Multiplicando (no sentido do produto interno) a equação (1) por f obtém-se:
¿ f , f >¿∥ f ∥2=¿ f , 1>¿ f ,1> ¿∥1∥2 +
¿ f , cos (kx )>¿ f , cos (kx )∥cos(kx)∥2 +
¿ f , sin (kx )>¿ f ,sin (kx )∥sin(kx)∥2 ¿
Tendo em vista que:
∥1∥2=∫−π
π
dx=2 π ,
∥ f ∥2=∫−π
π
( f ( x ) )2dx ,
10Série Dupla de Fourier e Convergência das Séries de Fourier
∥cos ( kx )∥2=∫−π
π
cos2 (kx )dx=π ,
∥sin (kx ) ∥2=∫−π
π
sin2 (kx ) dx=π
Conclui-se que:
¿¿¿
∫−π
π
f ( x ) cos (kx ) dx¿¿=ak
¿¿¿
∫−π
π
f ( x ) sin(kx )dx¿¿=bk
Assim,
1π ∫
−π
π
(f ( x ))2 dx=a0
2
2+∑
k=1
∞
(ak2¿+bk
2).¿
C.Q.D.
TEOREMA: Seja f uma função continuamente diferenciável por partes em cp[−π , π ] (f
tem uma derivada primeira contínua por partes em [−π , π ]). Então, o desenvolvimento
em série de Fourier de f converge pontualmente em [−π , π ] e tem o valor f ¿¿ em cada
ponto x0 do interior do intervalo, e f ¿¿ em ± π .
Note que ao escrevermos a série de Fourier de f como:
f ( x )=a0
2+∑
k=1
∞
(aK cos (kx )+bk sin(kx ))
significa que a série em questão converge em média para f .
limN → ∞
∥ f −∑k=0
N
¿¿¿
11Série Dupla de Fourier e Convergência das Séries de Fourier
ou seja,
f ( x )= f .1∥1∥2 +∑
K=1
∞
¿¿
(média)
Ressaltamos que convergência em média não significa que a série converge
pontualmente no sentido que
f ( x0 )=a0
2+∑
k=1
∞
¿¿
para todo x0em[−π , π ].
Contudo, o teorema apresentado explicita sob que condição a convergência pontual
ocorre, ou seja, o desenvolvimento em série de Fourier de uma função f ∈ [−π , π ] ,
continuamente diferenciável por partes converge, de fato, para f ¿) quando x0 é um
ponto de continuidade de f (ou seja, converge na reta inteira).
TEOREMA: Seja f uma função contínua em (−∞, ∞), com período 2 π , e considere que
f tenha derivada primeira contínua por partes.
Então, a série de Fourier de f converge uniforme e absolutamente para f em todo
intervalo fechado de x se f for contínua diferenciável por partes em (−∞, ∞) com
período 2π. Então, a série de Fourier definida converge uniformemente para f e
qualquer intervalo fechado do eixo x que não contenha ponto de descontinuidade de f.
3.3 Derivação e Integração das Séries de Fourier
TEOREMA: Seja f uma função contínua em (−∞, ∞), com período 2π, e considere que
f tenha derivada primeira f ' contínua por partes. Então, a série de Fourier de f 'pode ser
obtida derivando a série def termo a termo, e a série derivada converge pontualmente
para f ' ( x ) se f ' ' (x ) existe.
Ou seja,
12Série Dupla de Fourier e Convergência das Séries de Fourier
Se
f ( x )=a0
2+∑
k=1
∞
( aK cos (kx )+bk sin (kx ))
f ' ( x )= ddx
( f ( x ) )= ddx ( a0
2+∑
k =1
∞
( aK cos (kx )+bk sin ( kx )))
f ' ( x )= ddx ( a0
2 )+∑k=1
∞ ddx ( aK cos (kx )+bk sin (kx ) )
f ' ( x )=∑k=1
∞
k (bK cos ( kx )−ak sin (kx ) )
f ' ( x )=∑k=1
∞
(k bK cos ( kx )−kak sin (kx ) )
TEOREMA: Seja f uma função contínua por partes em (−∞, ∞) com período 2π, e seja
a série de Fourier de f
f ( x )=a0
2+∑
k=1
∞
( aK cos (kx )+bk sin (kx ))
Então,
∫a
b
f ( x )dx=∫a
b [ a0
2+∑
k=1
∞
(aK cos (kx )+bk sin ( kx ) )]dx
∫a
b
f ( x )dx=a0
2(b−a)⏟
A0 /2
+∑k=1
∞
aK ¿¿¿
Em outras palavras, a integral definida de f , de a até b, pode ser calculada integrando-se
a série de Fourier de f termo a termo.
No caso de integral indefinida fica (teorema da integração):
Seja função arbitrária de cp[−π , π ] com série de Fourier:
13Série Dupla de Fourier e Convergência das Séries de Fourier
f ( x )=a0
2+∑
k=1
∞
( aK cos (kx )+bk sin (kx ))
Então, a função
∫a
x
f ( t ) dt ,−π<x<π
Tem uma série de Fourier que converge pontualmente com relação a todo x do intervalo
[-π ,π ¿, e
∫0
x
f (t ) dt=∑k=1
∞ bk
k+∑
k=1
∞ (a¿¿ K+(−1)k +1a0)k
sin ( kx )−∑k=1
∞ bk
kcos(kx)¿
Pode-se entender que
ddx ∑k
¿∑k
ddx
¿⇒∫∑
k¿∑
k∫
5. Conclusão
Os assuntos de Séries de Fourier abordados no trabalho permitem concluir a sua
importância para o estudo da engenharia no cálculo de produtividade, na análise de
sinais. Enfim, permitem o advento de tecnologias aplicadas em diversas áreas do
conhecimento ao proporcionar uma melhor compreensão do comportamento de séries
de dados, decompondo-as em diversas harmônicas independentes.
6. Agradecimentos
A Deus, ao professor Altair por compartilhar seu grande conhecimento na área
tecnológica com seus alunos e aos colegas que ajudaram na elaboração do trabalho.
7. Referências
14Série Dupla de Fourier e Convergência das Séries de Fourier
Notas de aula do professor Altair Souza de Assis, da disciplina de Métodos
Matemáticos I no segundo período de 2010.
Introdução à análise linear, R. KREIDER, D. R. OSTBERG, R. C. KULLER e F. W.
PERKINS. Editora UNB e ao livro técnico, RJ, 1972
Apêndice 1 – Fenômeno de Gibbs
As somas parciais das séries de Fourier tendem a ir além dos valores da função próximo
a um ponto de descontinuidade.
Figura3 Figura4
Assim, os valores de f (x) entre duas descontinuidades quaisquer estão no intervalo
(−π /2 , π /2), enquanto que os de SN(x ), a n-ésima soma parcial, percorrem um
intervalo um pouco maior, [−α N , α N ]. O valor de α N quando N →∞ determina aquele
que é conhecido como intervalo de Gibbs de f .
Apêndice 2 – Convergência Uniforme
TEOREMA: M de Weierstrass. Se,
x
15Série Dupla de Fourier e Convergência das Séries de Fourier
∑k =1
∞
M k
é uma série convergente de números reais positivos e, se
∑k =1
∞
f k (x )
é uma séria de funções tais que |f k ( x )|≤ M k para todo k e todo x no intervalo a ≤ x≤ b,
então
∑k =1
∞
f k (x )
é uniforme e absolutamente convergente em a≤ x≤ b.
OBSERVAÇÃO 1: Se ∑k
¿ f k ( x )∨¿¿ converge, diz-se que a série converge
absolutamente.
OBSERVAÇÃO 2: Diz-se que uma sequência { f k (x )} converge uniformemente para
função f (x) no intervalo a ≤ x≤ b, se qualquer que seja ε>0 existe um inteiro positivo K
, dependendo de ε , mas não de x, tal que |f k ( x )−f ( x )|<ε quando k ≥ K e x esta no
intervalo dado.
Note que se { f k (x )} for a sequência das somas parciais {Sk (x)} a série correspondente
converge uniformemente.
|Sk ( x )−f (x )|<ε quando k>K⇒
limk →∞
|Sk ( x )−f ( x )|→0 , ∀ x .
16Série Dupla de Fourier e Convergência das Séries de Fourier
Figura 5
Quando k → ∞,
S∞ ( x )=limk → ∞
Sk ( x )=∑k=0
∞
ûk (x)
“coincide” exatamente com f ( x ) ,∀ x∈[a ,b ]. A convergência uniforme é “global”.
OBSERVAÇÃO: A sequência {Sk ( x ) } é construída a partir da sequência {ûk ( x ) }. Para o
caso da série de Fourier
Sk ( x )=∑N =0
k
¿¿
Ou seja,
S0 ( x )=A0
S1 ( x)=A0+ A1 cos(x )+B1sin( x)
.
.
Sk ( x )=A0+ A1cos ( x )+B1sin ( x )+…+ Ak cos (kx )+¿B k sin (kx )¿
⇒S∞ ( x )=∑
N =0
k
¿¿
(Série de Fourier)
Apêndice 3 – Teorema
17Série Dupla de Fourier e Convergência das Séries de Fourier
Seja f contínua por partes em (−∞,∞), com período 2 π , e considere que
f ( x )=12¿
Então, a série de Fourier de f converge para f (x0) e cada ponto x0 em que f tem
derivada à direita e à esquerda. Em particular, se f é continuamente diferenciável por
partes, sua série de Fourier converge para f (x) em relação a todo x (Condição de
Direchlet).