Luz, Matéria, Ação!A Electrodinâmica Quântica e o Nascimento

da Física de PartículasGustavo Burdman

Instituto de Fısica - USP

A Física Pos-Relatividade

1910’s:• A Relatividade Restrita firmemente estabelecida:

Velocidade limite −→ c

• Conceito do fóton como partícula (Einstein - 1905)E = hν

• Um problema importante: Modelo atómico de Rutherfordincompatível com electrodinâmica clásica.• Elétron perde energia por radiação• Núcleo positivo o atrae

⇒ Matéria é inestável !

Modelo do Atomo de Bohr1885 - Fórmula de Balmer para o átomo de hidrogenio:

ν = C(

1

4− 1

n2

)

, n = 3, 4, · · ·

Espectro de freqüencias da luz emitida é discreto. Outras series(Lyman, Pachen) apresentan regularidades similares.

Ritz: Se um gas emite / absorbe nas freqüencias ν1 e ν2, seobserva que também emite na freqüencia ν3 = ν1 + ν2

Modelo do Atomo de BohrNiels Bohr - 1913:

• Bohr postula que elétrons tem um espectro discreto de órbitaspermitidas.

• Quando o elétron decae de uma órbita n a uma n′ emite umquanto de luz (fóton).

hν = En − En′

C =k2 e4m

4π~3, Se L = mvr = n~

Náo muito bem fundamentado.Explicava muito os espectros.Não os dados de dispersão.

Partículas Também são Ondas1923: Louis de Broglie postula que partículas tem uma “ondamecânica associada a elas.

• Influencia da Relatividade Restrita: se a fase da onda e2π(~k · ~x− νt)

precisamos queν = E/h, ~k = ~p/h

• Explicação do modelo de Bohr: elétron comλ = 1/|~k|

só pode ficar em órbitas contendo um número inteiro decomprimentos de onda λ !

Partículas Também são Ondas• A teoria de de Broglie implica a existenca de padrões de

interferencia em experiencias com partículas.• 1927: Davisson e Germer confirmaram em experiencias de

espalhamento de elétrons em cristais.

• 1929: Louis de Broglie ganha o Premio Nobel.

A Mecânica Quântica de Matrices1925: Werner Heisenberg introduz um formalismo da mecânicaquântica intentando descrever a dispersão da luz.

• “Esse trabalho pretende estabelecer a base de uma teoria da mecânica quântica,exclusivamente fundamentada em relações entre grandezas em principioobserváveis.”

• Poucos meses depois, Born e Jordan reinterpretam oformalismo de Heisenberg como matrices.

• O trabalho é recebido com frialdade pela comunidade.“ ... eu senti repulsão (frente ao trabalho de Heisenberg), não só por causa dosmétodos da álgebra transcendental, muito difíceis para mim, mas também pelafalta de visualização.” (Schrödinger)

A Mecânica Quântica Ondulatoria1926: Erwin Schödinger publica varios trabalhos descrevendo aequação de onda não-relativista.

• Mas segundo Dirac Schödinger obtém primeiro uma equaçãodiferencial relativista ! Mas descarta-la por dar resutadoserrados para o espectro do hidrogenio.

• Meses mais tarde, Schrödinger se da conta que o limitenão-relativista é de utilidade e o publica.

• A recepção da comunidade foi excelente. O caráter continuoda teoria,e o a matemática familiar das equações diferencias,facilitou a aceitação entre os colegas, incluindo Einstein.

• “Quanto mais penso na ... teoria de Schrödinger, mas repulsiva acho ela. O queele escreve em relação à visualização... eu considero lixo. O único valor da teoriade Schrödinger é o cálculo de elementos de matrices.” (Heisenberg)

Relatividade e Mecânica QuânticaPara obter as relações de de Broglie Schrödinger identificou

~p = h~k → −i~∇, E = hν → i~ ∂∂t

A equação de Schrödinger relativista (Klein-Gordon)

(

i~∂

∂t+ eφ

)2

− c2

(

−i~∇ +e ~A

c

)2

−m2c4

ψ(~x, t) = 0

As soluções, expandidas em potencias de α = e2/(4π~c)

E = mc2[

1 − α2

2n2− α4

2n4

(

n`+ 1

2

− 3

4

)

+ · · ·]

Relatividade e Mecânica Quântica• Ordem α2 concordava com series de Balmer, Lyman.

• Ordem α4 não concordava com as medidas muito precisas dePaschen. Schrödinger se “resigna” a escrever uma versãonão-relativista (O velho modelo de Sommerfeld dava o corretovalor do termo α4 )

i~∂

∂tψ(~x, t) = Hψ(~x, t)

• Mas ele reconhece que o problema é a falta da inclusão dospin do elétron (postulado em 1925 por Uhlenbeck e Goudsmitpara explicar of efeito Zeeman anómalo).

Relatividade e Mecânica Quântica1927:

• Interações entre o spin do elétron e o momento angular orbital` explicariam as discrepancias entre a teoria relativista deSchrödinger e os dados.

• Dirac utiliza um conceito introduzido por Jordan para quantizaro campo electromagnético: os números quânticos de cadaoscilador → número de quantos de luz em cada energia.

• Jordan e Pauli obtêm os mesmos resultados em umaformulação invariante sob transformações de Lorentz.

• Mas ainda não existe uma formulação relativista do elétron quelogre incluir o spin desde o começo.

O Problema de Dirac1928: Dirac acha que o problema da equação de onda relativista(Schrödinger-Klein-Gordon) é que a probabilidade não é definidaposistiva:

• Para a equação de Schrödinger não-relativista

∂

∂t

(

|ψ|2)

−i~

2m∇ · (ψ∗∇ψ − ψ∇ψ∗)

A probabilidade conservada é ρ ' |ψ|2 definida positiva

• Na equação relativista temos ρ ' N Im [ψ∗] , o que não temsinal definido.

• “· · · estava em Copenhagen, e Bohr me perguntou em que eu estava trabalhando.Eu disse que estava tentando obter uma teoria relativística do elétron e o Bohrfalou ’Mas o Klein e o Gordon ja fizeram isso!’ · · · O ignorei e continuei tentandoobter uma teoria que tivesse só probabilidades positivas.” (Dirac)

A Equação de DiracDirac resolve que o problema da equação relativista é que ela temduas derivadas temporais e que para ter probabilidades positivasela dever conter só uma derivada temporal, como a de Schrödinger.Ele escreve

i∂

∂tψn = Hψn

Mas para ter chance de ser uma formulação relativista o H deveser só linear nas derivadas espaciais também.

O Resultado:(iγµ∂µ −m)ψn = 0

com µ = t, x, y, z, é explícitamente invariante relativista.

A “função de onda” ψn tem 4 componentes (n = 4).

A Equação de DiracConsequências:

• Descrição relativista do elétron

• Probabilidades positivas: ρ = |ψn|2 .

• Spin: As componentes do “spinor” ψn contem a informação dospin do elétron !!• 2 componentes descrevem o elétron com spin ±1/2 e com

energia E > 0! . Predição do momento magnético:

µe = e~/2mec

• As outras 2, descrevem estados com energia negativaE < 0!

Não existia uma interpretação física para esses estados.

A Equação de DiracReações:

• “... o capítulo mais triste da física moderna.” (Heisenberg).• Outubro 1928: Klein e Nishina usam a equação de Dirac e um

formalismo semiclásico, para calcular o efeto Compton (1922),incluindo “...os estados sem senso físico de energias negativas.”

• No entanto, Heisenberg e Pauli (1929) começam a trabalharnum formalismo que eventualmente seria a base da teoriaquântica de campos moderna. Eles aplicam o formalismo àteoria de Dirac também.

O Vácuo e o “Mar” de DiracTeoria de “Buracos” (1930): Dirac utiliza o principio de exclusão dePauli para propor que os estados de energia negativa dos elétronsestariam todos ocupados.

Elétron de energia negativa pode ser excitadopara E > 0, criando um par elétron-buraco,por exemplo por um fóton com Eγ > 2m.

Os buracos se comportam como partículas deenergia positiva e carga oposta !

Weyl (1929) e o mesmo Dirac (1930) propõemque o “buraco” aparcero do elétron é o próton.“...o clima daquela época era contra propor novas partículas.”(Dirac).

E

0

m

−m

O Vácuo e o “Mar” de DiracOppenheimer-Tamm (1930): Calculam o processo

e−p+ → 2γ

e concluem que levaria à inestabilidade do átomo.

Dirac (1931): Finalmente, Dirac troca de ideia e propõe que o“buraco” que corresponde ao elétron é uma nova partícula, oanti-elétron, com a mesma massa do elétron e carga oposta. Osprótons, teriam um outro estado associado a eles, o anti-próton.

Carl D. Anderson (1932): Descobre o “positron”, partícula com amesma massa que o elétron, mas com carga positiva.

Mar de Dirac vs. CamposTormenta no mar de Dirac:

• Varias aplicações da teoria de buracos de Dirac, em partemixturadas com o formalismo de teoria de campos sendodesenvolvido e baseado nos trabalhos de Heisenberg e Pauli.

• Furry-Oppenheimer, Fock (1933-4): Desenvolvem o formalismode Heisenberg-Pauli para incluir anti-partículas.⇒ Teoria de Quântica de Campos para o elétron (spin = 1/2)

mas com Energias positivas.• Partículas de spin inteiro: O argumento de Dirac para explicar

a estabilidade do vácuo só é válido para spin semi-inteiro. Paraspin 0,1,... o principio de exclusão de Pauli não se aplica. Masem esses casos também temos energias negativas !

Mar de Dirac vs. Campos• Pauli-Weisskopf (1934): Provam que para uma partcula

sem spin também existem anti-partculas !!

Anti-materia não é exclusiva dos fermions!• Durante os anos 1930’s a teoria quântica de campos e a teoria

de buracos de Dirac conviveram. Varios processos físicosforam calculados usando um o outro, o alguma combinação deeles.

• No entanto, a TQC começa a ser preferida devida a suaaplicabilidade a todo tipo de partículas.

A Resposta é Infinito!Para mediados dos 1930’s era sabido que tanto a TQC como adescrição em termos de buracos de Dirac, continham infinitos.

A auto-energia do elétron:

• Na Eletrodinâmica Clássicadiverge linearmente com 1/r.

• Na QED inicialmente se achouque a divergencia eraquadrática.

• A percepção de muitos (e.g. Op-penheimer) era que a QED sópoderia ser válida até uma ener-gia de ≈ 100 MeV

−e −e

+ + ...γ

· · · mas nem tanto1934: Victor Weisskopf calcula a auto-energia do elétron na teoriade buracos de Dirac. A sugestão de Pauli, ele inclui partículas eanti-partículas.

• O resultado inicial ainda divergia quadráticamente com aenergia (ou com 1/a).

• Logo depois Wendell Furry descobre um erro de sinal nocálculo de Weisskopf.

• Após de corregir o cálculo, a divergencia da auto-energia virousó logarítmica

δme '3α

2πln

(

~

mca

)

onde 1/a e o corte no número de onda permitido.• Ainda diverge para a → ∞. Mas o fato de ser logarítmica foi

um grande sucesso da QED.

Radicais vs. ConservadoresAinda com os resultados de Weisskopf, a existencia de infinitos naQED gerou uma atitude pessimista.“A preocupação da maioria ... não era analizar e aplicar cuidadosamente a teoriarelativista do elétron acoplado a campos eletromagnéticos, senão era mudarla.”(Julian Schwinger).

• Heisenberg (1938): Propõe a existencia de uma longitudefundamental L. A teoria de campos só funcionaria paradistâncias r > L.

• Dirac: sugere a existencia de estados de probabilidadenegativa para cancelar os infinitos!

• Varias propostas apontam a possíveis falhas nos conceitos decampos quânticos, localidade, etc.

Radicais vs. Conservadores• Se bem Oppenheimer tinha proposto que comparando

grandezas observáveis os infinitos poderiam se anular, eleachava que a QED devia ser remplaçada por uma outra teoriamais fundamental a energias não muto além de 100 MeV.

• Em geral, as grandes mentes da Mecânica Quântica(Heisenberg, Pauli, Dirac) eram proponentes de modificaçõesdrásticas.

• Ideia mais conservadora: Renomalização. Infinitos poderiamser absorbidos na redefinição dos parámetros da teoria. Porexemplo, na QED me, e .

RenormalizaçãoWeisskopf (1936): Sugere que os infinitos da auto-energia doelétron podem ser absorbidos pela redefinição da massa física.

me = m0e − δme

onde δme contem os infinitos.

Também introduz o conceito de polarização do vácuo:

e−

e−

e−

e−

e−

e+

+

⇒ a renormalização da carga elétrica.

Renormalização• Weisskopf mostrou, em varios exemplos, que usando esse

método os infinitos cancelam completamente.• Mas não coseguiu mostrar que esso ocorreria sempre. (e.g.

Dancoff).• A guerra interrompiu o programa de Weisskopf e da maioria

dos físicos trabalhando na QED. A necessidade de mudar depais ou de tema (física nuclear,radar,etc.) provocou umainterrupção de varios anos.

Shelter Island - 1947Voltando da guerra, o encontro da a oportunidade para retomartrabalho na QED. A velha geração encontra-se com outros físicosmais novos. E também com experimentalistas.

• O Efeito Lamb: William Lamb apresenta os resultados da suaexperiencia, midiendo uma separação dos níveis2s1/2 − 2p1/2 de ∆E/h ' 1000 MHz.

• Weisskopf ja tinha dado esse cálculo a um estudante (B.French).

• Schwinger e Weisskopf, ja sabendo do resultado de Lamb,discutem no trem indo para Shelter Island: as diferencias entreos níveis devem ser finitas.

Shelter Island - 1947Logo depois Bethe estima o efeito na teoria não-relativista.Desata-se uma grande atividade para fazer o cálculo na QED.I. Rabi apresenta medição do momento magnético do elétron.Desvio do valor de Dirac e~/2mc por 1.3/1000

O Silencio do LambPara começo de 1948, Weisskopf e French tinham concluido o

primeiro cálculo do efeito Lamb. Mas não o publicaram porqueWeisskopf sobe do resultados do Schwinger e Feynman -queconcordavam entre eles- e tinha uma pequenha diferencia comeles. Mas ele estaba certo!!

1949: Mais de um ano depois de Weisskopf ter o resultado certo esem publicar, aparece o mesmo cálculo de Kroll e Lamb.Schwinger (1948-9): Desenvolve um formalismo covariante da QEDe com ele calcula as correções radiativas ao momento magnéticodo elétron.

Feynman e DysonRichard P. Feynman: Formula a teoria como uma Integral deCamino. Diagramas de Feynman permitem um cálculo simples dascontruibuições aos processos, em qualquer ordem em teoria deperturbações. E explicitamente covariante.

Freeman Dyson (1949):

• Prova que os formalismos de Schwinger e Tomonaga e asregras obtidas por Feynman são idénticas.

• Prova que o programa de renormalização na QED poder serrealizado a toda ordem em teoria de perturbações.

QED !!

Evolução: da QED ao Modelo Padrão

• Interação nuclear fraca: Decaimento β descrito por Fermi(1932) no contexto da Teoria Quântica de Campos(não-renormalizavel).

• Glashow (Schwinger) - Weinberg - Salam: Unificação dasinterações fracas e a QED: SU(2)L × U(1)Y .

• Interções Fortes: A altas energias descritas por uma TQCsimilar a QED: QCD. A altas energias, liberdade asintótica.Explica comporamento de partons em experiencias deespalhamento. Confinamento de quarks e gluons.

• Modelo Padrão: Uma Teoria Quântica de Camposrenormalizavel.

SU(3)c × SU(2)L × U(1)Y → U(1)EM .

Um Problema do Modelo Padrão

Origem das Massas: Todas as massas (dos fermion e bosons) noMP, são geradas na escala de energia de ( O(100) GeV). Oresponsável e uma partícula de spin 0: O Higgs.

• Por que a escala electrofraca O(100) GeV¿ MP (MP ' 1019 GeV) .

• A massa do bóson de Higgs recebe correções radiativas

quadráticas! ' Λ2

Soluções Conservadoras ou Radicais ?