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EELIntrodução à Mecânica dos Sólidos
LOM 3081 - Introdução à Mecânica dos Sólidos
CAP. 2 – ANÁLISE DE TENSÃO E DEFORMAÇÃO
PARTE 1 – ANÁLISE DE TENSÃO
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VARIAÇÃO DA TENSÃO COM O PLANO DE CORTE
Seja por exemplo uma barra sujeita a um carregamento axial.
Ao aplicar o MÉTODO DAS SEÇÕES, o plano de corte não
precisa ser necessariamente transversal.
Lembre: “Se um corpo está em equilíbrio, então qualquer pedaço
deste corpo, definido por um plano de corte QUALQUER, também
estará equilíbrio”.
QUAIS ESFORÇOS INTERNOS APARECEM NO PLANO INCLINADO?
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Considere que, numa barra tracionada, o plano de corte efetuado
para a análise dos esforços internos seja tal que sua normal forme
um ângulo com o eixo longitudinal da barra.
cosPN
senPV
2cos
A
P cossen
A
P
CONCLUSÃO:
A TENSÃO
DEPENDE DO
PLANO DE CORTE
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EXEMPLO:
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A
FT
0A
lim
TENSÃO NUM PONTO:
Num caso geral de solicitação, não se pode considerar que a tensão é
uniforme em toda a área definida por um dado plano de corte.
É necessário então definir o valor da tensão para cada ponto contido no plano.
A tensão no ponto pode ser decomposta
em suas componentes normal e cisalhante
Além de variar de ponto a ponto, já se sabe que,
para um dado ponto, a tensão varia com o plano
Elemento de área contendo o ponto
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zzyzx
yzyyx
xzxyx
T
Assim, em um único ponto do corpo, a tensão pode assumir infinitos valores,
dependendo do plano de corte escolhido. Pode-se demonstrar que: “Se por
um ponto são passados 3 planos de corte mutuamente perpendiculares, então
os componentes de tensão neste ponto, correspondentes a qualquer outro plano
de corte, podem ser escritos em função dos componentes nesses 3 planos”.
SIMETRIA DO TENSOR-TENSÃO
(Teorema de Cauchy)
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• O estado mais geral de tensão em um
ponto pode ser representado por 6
componentes:
),,
,,
,,
xzzxzyyzyxxy
zxyzxy
zyx
:(Nota
tocisalhamen de tensões
normais tensões
• O mesmo estado de tensão é
representado por um conjunto diferente de
componentes se os eixos são
rotacionados.
ESTADO DE TENSÃO EM UM PONTO
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ESTADO PLANO DE TENSÃO
Quando as tensões em duas faces paralelas são nulas ou podem ser desprezadas, tem-se o estado plano de tensão.
Considera-se o estado de tensão definido no sistema de eixos (x, y, z).
Escolhe-se o plano (x, y), ou seja, as tensões (z, zx, zy) não são consideradas.
Corpo em equilíbrioEstado triplo de tensão Estado plano de tensão
Elemento de tensão
(Obs.: slide obtido de apresentação do prof. Komatsu – UFSCar)
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• Estado Plano: estado de tensão no qual duas
faces do elemento estão livres de tensão.
Para o exemplo ilustrado, o estado de tensão
é definido por: 0 e,, xy zyzxzyx
• O estado plano de tensões ocorre em uma
placa fina sujeita a forças atuando no plano da
placa.
• O estado plano de tensões ocorre também na
superfície de elementos estruturais ou
componentes de máquinas, ou seja, em
qualquer ponto da superfície que não está
sujeita a força externa.
OCORRÊNCIA DO ESTADO PLANO DE TENSÃO
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Tensão normal positiva: tração no elemento
Tensão normal na direção x Tensão normal na direção y
Tensão normal na direção x’
Eixo y’ - sempre paralelo ao plano.
CONVENÇÃO DE SINAIS
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Tensão de cisalhamento positiva
Segue a regra: “se na face em que atua , uma tensão > 0 concorda ou
discorda do eixo correspondente, então a tensão > 0 deve, respectivamente,
concordar ou discordar do seu correspondente eixo”.
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x
y
x
y
xy
x'y'
y'
x'
z
y'
x'
Seja um ponto na superfície de um elemento estrutural, submetido a
um estado plano de tensões:
Sendo conhecidas as tensões normais e de cisalhamento x, y e xy ,
desejamos determinar as tensões x’, y’ e x’y’ obtidas pela rotação dos
planos de um ângulo .
),,,(f,, xyyx'y'x'y'x
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO NO CASO PLANO
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TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO NO CASO PLANO
2sin2cos22
xyyxyx
2cos2sin2
xyxy
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o
yx
xy
p
2
xy
2
yxyx
minmax,
90 de separados ângulos dois define :Nota
22tan
22
TENSÕES PRINCIPAIS E O CÍRCULO DE MOHR
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Para o estado de tensão mostrado,
determine: (a) os planos principais,
(b) as tensões principais, (c) a
tensão máxima de cisalhamento e
as correspondentes tensões
normais.
SOLUÇÃO:
• Orientação dos planos principais:
yx
xy
p
22tan
• Tensões principais:
2
xy
2
yxyx
minmax,22
• Tensão máxima de cisalhamento
2
xy
2
yx
max2
2
yx
EXEMPLO
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SOLUÇÃO:
• Orientação dos planos principais:
1.233,1.532
333.11050
40222tan
p
yx
xyp
6.116,6.26p
• Tensões principais:
22
2xy
2
yxyxminmax,
403020
22
MPa30
MPa70
min
max
MPa10
MPa40MPa50
x
xyx
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MPa10
MPa40MPa50
x
xyx
2
1050
2
yxmed
• A correspondente tensão normal
MPa20
• Tensão máxima de cisalhamento
22
2xy
2
yxmax
4030
2
MPa50max
45ps
6.71,4.18s
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PROBLEMAS RESOLVIDOS
1) Um ponto na superfície de um sólido em equilíbrio está sob o estado
de tensões indicado na figura. Determine as tensões principais e os
planos de corte principais, a máxima tensão de cisalhamento e o
correspondente valor da tensão normal. Represente graficamente o
estado de tensão em um círculo de Mohr. Responda ainda: qual o valor
da tensão cisalhante nos planos de corte em que a tensão normal é nula?
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PROBLEMAS RESOLVIDOS
2) Para o estado de tensão indicado na figura, sendo p = 50 MPa, calcule
as tensões principais e indique os cortes onde elas ocorrem.
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PROBLEMAS RESOLVIDOS
3) As tensões principais de um ponto sob tensão plana estão mostradas no
bloco B da figura.
Pede-se:
i) Calcule as componentes de tensão no plano a-a do bloco B.
ii) Calcule as tensões nos planos horizontal e vertical do bloco A.
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PROBLEMAS RESOLVIDOS
4) Em uma chapa cujo estado de tensão é dado pela figura, descobriu-se
uma trinca, conforme indicado, comprometendo a integridade da
estrutura. Considerando que não são admitidas solicitações de tração
nem de cisalhamento no plano da trinca, foram propostas duas soluções
para que a trinca não afete a estrutura:
i) o acréscimo de uma tensão de compressão na direção perpendicular à
da tensão dada;
ii) o acréscimo de uma tensão de cisalhamento na chapa.
Discuta a validade de cada proposta e calcule o valor da tensão que
deve ser acrescentada ao estado de tensão original .
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TENSÕES EM VASOS DE PRESSÃO DE PAREDE FINA
• Vasos de pressão são exemplos de aplicação do estado plano de tensões.
• Exemplos: Recipientes cilíndricos e esféricos
• Definição: Vasos de pressão de paredes finas: uniformestensões1,0r
t
• Empregados como: Tanques de armazenamento de gás, caldeiras, tanque de
ar comprimido, reservatórios de líquidos, oleodutos.
(onde: t = espessura da parede; r = raio interno)
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• Tensões num ponto qualquer:
1 = tensão circunferencial
2 = tensão longitudinal
t
pr
xr2pxt20F
1
1z
• Tensão circunferencial:
21
2
2
2x
2
t2
pr
rprt20F
• Tensão Longitudinal:
TUBO PRESSURIZADO DE PAREDE FINA
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t2
pr21
• O círculo de Mohr para transformações no plano das
tensões reduz-se a um ponto.
0
tetanonsc
max(plane)
21
VASO DE PRESSÃO ESFÉRICO
(Obs.: Posteriormente será vista a reconsideração desses casos como estado tridimensional de tensão)
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EMPREGO DO PROGRAMA “MDSolids” PARA ANÁLISE DE TENSÃO
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• Tela inicial do programa
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•Módulo círculo de Mohr
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• Exemplo 1:
- Considere o estado de tensão
Indicado na figura:
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• Resultados
2p2=180-150,75 = 29,25
p1= -75,375
p2= 14,625
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•Análise Avançada
Clique nestes
botões para
girar a partir
do ponto tx.
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•Análise Avançada
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• Exemplo 2:
Adotando o bloco B como
referência, ficamos com:
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O plano aa corresponde ao corte = -45
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O bloco A corresponde ao corte = 0,5 arc tg (3/4) = -18,43
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O bloco A corresponde ao corte = 0,5 arc tg (3/4) = -18,43
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CÍRCULO DE MOHR PARA 3 DIMENSÕES
Planos paralelos aos eixos principais:
O equilíbrio no plano XY não
se altera quando a tensão normal
em Z é diferente de zero.
Fazendo os eixos X, Y, Z
coincidirem com as
direções principais
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CÍRCULO DE MOHR PARA 3 DIMENSÕES
Plano de inclinação arbitrária:
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CASO PLANO RECONSIDERADO COMO TRIDIMENSIONAL
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• Os pontos A e B correspondem,
respectivamente, à tensão tangencial
1, e tensão longitudinal, 2
• Máxima tensão de cisalhamento no
plano das tensões:
t4
pr
2
12)planomax(
• Máxima tensão de cisalhamento ocorres
em um plano a 45o em torno do eixo
longitudinal
t2
pr2max
EXEMPLO: TUBO DE PAREDE FINA
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