Lógica Proposicional:Sintaxe e Provas por Indução sobre Conjuntos Indutivos

Luiz Carlos d´Oleronlcadb@cin.ufpe.brhttp://www.cin.ufpe.br/~lcadb

O que você já deve saber...

Conjuntos Indutivos Conjuntos Livremente Gerados Lógica simbólica de Frege

O que significa Sintaxe?

“Parte da gramática que estuda a disposição das palavras na frase e das frases no discurso” (Dicionário Aurélio, Aurélio Buarque de Holanda Ferreira)

Ou seja, a sintaxe está mais atenta a forma do que ao sentido.

Indo ao Ponto...

Mas como é que comparamos a forma de uma expressão com a de outra?

Baseado no fato que toda expressão é elemento de PROP e que PROP é um conjunto livremente gerado, usaremos funções para descrever as propriedades das expressões.

n-var: PROP →|N Número de ocorrências de variáveis

n-var(⊤) = n-var(⊥) = 0 n-var(xi) = 1 n-var(¬E) = n-var(E) n-var((E1□ E2)) =

n-var(E1) + n-var(E2)

Obs.: □ : {v,^, →}

n-op: PROP →|N Número de ocorrências de operadores

n-op(⊤) = n-op(⊥) = 0 n-op(xi) = 0 n-op(¬E) = 1 + n-op(E) n-op((E1□ E2)) =

1 + n-op(E1) + n-op(E2)

Obs.: □ : {v,^, →}

posto: PROP →|N Calcula o “posto*” de uma expressão

posto(⊤) = posto(⊥) = 0 posto(xi) = 0 posto(¬E) = 1 + posto(E) posto((E1□ E2)) =

1 + Max(posto(E1), posto(E2))

Obs.: □ : {v,^, →}Obs.*: Também conhecido como “altura”

subs: PROP →ζ(PROP)Produz o conjunto de sub-expressões

subs(⊤) = {⊤} subs(⊥) = {⊥} subs(xi) = {xi} subs(¬E) = subs(E) U {¬E} subs((E1□ E2)) =

subs(E1) U subs(E2) U {(E1□ E2)}

Obs.: □ : {v,^, →}

Prova por indução

Com estas funções, além de outras que podem ser definidas da mesma forma, somos capazes de tirar “conclusões” sobre as propriedades de PROP

Estas conclusões são alicerçadas por provas, sendo as provas por indução uma forma popular de realizar isso.

Exemplinho: nop(Φ) ≥ posto(Φ)

Vamos provar indutivamente que

nop(Φ)≥posto(Φ)

Se verifica para qualquer Φ pertencente a PROP.

ContinuaçãoExemplinho: nop(Φ) ≥ posto(Φ)

Caso Base: Φ é atômica

nop(Φ) = 0posto(Φ) = 0

nop(Φ)≥posto(Φ) (ok)

ContinuaçãoExemplinho: nop(Φ) ≥ posto(Φ)

Caso Indutivo I: Φ é da forma ¬DHipótese: nop(D) ≥ posto(D)Tese: nop(¬D) ≥ posto(¬D)

posto(¬D) = 1 + posto(D)nop(¬D) = 1 + nop(D)

Da H.I. nop(D) ≥ posto(D) nop(D) + 1 ≥ posto(D) + 1 nop (¬D) ≥ posto (¬D) c.q.d.

ContinuaçãoExemplinho: nop(Φ) ≥ posto(Φ)

Caso Indutivo II: Φ é da forma (A □ B)Hipótese: nop(A) ≥ posto(A)

nop(B) ≥ posto(B)

Tese: nop((A □ B)) ≥ posto((A □ B))

Da H.I. nop(A) ≥ posto(A)

+ nop(B) ≥ posto(B)=nop(A) + nop(B) ≥ posto(A) + posto(B)

ContinuaçãoExemplinho: nop(Φ) ≥ posto(Φ)

Como:x + y ≥ Max(x,y) e:

θ ≥ δδ ≥ ε → θ ≥ ε (transitividade de ≥)

nop(A) + nop (B) ≥ Max(posto(A), posto(B))

nop(A) + nop (B) + 1 ≥ Max(posto(A), posto(B)) + 1

nop((A □ B)) ≥ posto((A □ B))

É isso ai...

Ao Trabalho!