Post on 21-Jan-2016
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Lógica Matemática
História
Origens e caminhos da Lógica
Filosofia Matemática
Lógica
Origens e Caminhos da Lógica a partir da
Filosofia
Filosofia e Lógica
Origem da filosofia (e da lógica) Necessidade de entendimento sobre
o mundo e sobre nós mesmos Barão de Itararé
Conjecturas Discussões Paradoxos
Formalização da linguagem
Protágoras (~500 a.C.) Tipos de frases
Perguntas Respostas Orações (rezas) ...
Posterior influência sobre Aristóteles
Paradoxos “Aquiles e a
Tartaruga” Zeno de Elea (495?-
435?BC) Como o corredor
mais rápido de Atenas “pega” a tartaruga que saiu antes?...
O Combate aos Sofistas Escolas de pensamento
Época rica de idéias e liberdade Sofistas e a dialética
O argumento pelo argumento Platão tentou argumentos morais Sócrates X Górgias
Método intuitivo: busca da contradição Negação por absurdo
Porém, faltava alguém para ordenar (formalizar) este método A busca do argumento correto
Origem da Lógica
Na Grécia Antiga, 342 a.C, o filósofo Aristóteles procurou sistematizar o conhecimento e o pensamento lógico
Organum (“ferramenta para o correto pensar”), estabeleceu princípios
Categorias: Conhecimento (=classificação dos objetos) do mundo
Origem do argumento (formal)
Aristóteles se preocupava com as formas de raciocínio que, a partir de conhecimentos considerados verdadeiros, permitiam obter novos conhecimentos.
Formulação de leis gerais de encadeamentos de conceitos que levariam à descoberta de novas verdades Formalização de padrões de raciocínio Argumento
Silogismos
Pegar de Walicki
Criações de Aristóteles Lógica formal
Sentenças lógicas Regras de Inferência
formais Preservação da verdade
Manipulação de símbolos
Conceito de equivalência
Lógica de predicados Quantificadores
Categorias (ontologias)
Variáveis Conversões Orientação a objetos
Generalização Especialização
...
b. Stagira, 384BC, d. Chalcis, 322BCfilho de nichomacus, médico deamyntas, rei da macedônia... profes-sor da academia de platão e tutor de alexandre, o grande, filho de amyntas...
Reality Knowledge
What Substances, other material things
Substances, other material things
How Substances are combinations of form and matter
The senses provide all initial information; reason (1) infers what is not available to the senses, (2) grasps the universal element
o mundo segundo...aristóteles
http://hume.ucdavis.edu/phi022/matrix.htm
Na Índia, já existiam categorias…
Jain Philosophy asserts that the world of reality or universe consists of two classes of objects:
Living beings - conscious, soul, chetan, or jiva Non-living objects - unconscious, achetan, or ajiva
Non-living objects are further classified into five categories; Matter (Pudgal), Space (Akas), Medium of motion (Dharmastikay), Medium of rest (Adharmastikay), Time (Kal or Samay).
The five non-living entities together with the living being, totaling six are aspects of reality in Jainism. They are known as six universal entities, or substances or realities.
These six entities of the universe are eternal but continuously undergo countless changes. During the changes nothing is lost or destroyed. Everything is recycled into another form.
Estóicos (~250 a.C.) Composição de conectivos
Conjunção de Negação e afirmação Conjunção de negações
Melhores traduções de frases em sentenças
Caminhos da lógica na filosofia
Categorias -> Ontologias Lógica e Linguagem
Wittgenstein, Searle, ... Racionais x Empiricistas ...
A árvore doConhecimento(Lull, séc. XIII)
^
Idade Média (séc. XIV)
ReferentFormStands for
Relates to(extension
Activates(intention)
Concept
“Tank“
[Ogden, Richards, 1923]
?
Dígrafo de Ontologia,
Jacob Lorhard (Ogdoas
Scholastica,1613)
Ontologias Gerais (ou de topo) Trazem definições abstratas necessárias
para a compreensão de aspectos do mundo, como tempo, processos, papéis, espaço, seres, coisas, etc.
[Sowa 99]
Ontologias estão sendo bastante usadas em Informática!
Ontologia (em informática) = conhecimento declarativo, manipulável por sistemas sobre um domínio
Vantagem em relação ao tratamento de textos Ontologias provêem contexto!
Vantagens em construção de sistemas de informação Diferente de um programa que diz como resolver um problema (abordagem
imperativa), Ontologias especificam o que são os objetos do domínio do problema (abordagem
declarativa) Solução muito mais genérica
Reality Knowledge
What God, other thinking things, extended things
God, my mind, mathematics, mathematical properties of extended things, sensible properties of extended things
How
God is an infinite thinking thing; I and other minds are finite thinking things; physical objects are extended and unthinking. All finite things are created by God.
The understanding has clear and distinct perceptions of essences. The senses are a fairly reliable guide to what to pursue and what to avoid.
o mundo segundo...rené descartes
http://hume.ucdavis.edu/phi022/matrix.htm
b. La Haye, 1596, d. Stockholm, 1650... grande viajante, autor de Discours de la méthod pour bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les sciences (1637), soldadoЖ de Maurício de Nassau!...
ЖGeneviève Rodis-Lewis, http://www.magazine-litteraire.com/archives/ar_394.htm
Reality Knowledge
What Substance, modes of the attributes of substance
Substance, what follows from substance, contingencies
How
Substance has infinitely many infinite attributes, including thought and extension. Individual minds and bodies are modes of thought and extension, respectively.
From common notions and adequate ideas of the properties of things, and by intuition.
o mundo segundo...baruch spinoza
http://hume.ucdavis.edu/phi022/matrix.htm
b. Amsterdam, 1632, d. 1677, filho de judeus portugueses, especialista em lentes, autor do Tractatus Theologico-Politicus (1670) e de Ethica Ordine Geometrico Demonstrata (1677), grande influência sobre Leibniz
Reality Knowledge
What
God, essences, created substances, bodies
That God exists and has created the best possible world. Eternal truths of logic and mathematics. Laws of physics. Existence and properties of created substances.
How
Essences or possibilities exist in the mind of God. The best combination of these is created by God. A substance's essence contains all its properties.
The principle of non-contradiction establishes possibilities. The principle of sufficient reason establishes which possibilities exist.
o mundo segundo... leibnitz
http://hume.ucdavis.edu/phi022/matrix.htm
gottfried wilhelm leibnitz
b. 1 July 1646, Leipzig d. 14 Nov 1716, Hannover
filho de Catharina Schmuck e Friedrich Leibniz, que morreu quando leibniz tinha seis anos.
valores morais e religiosos aprendidos com a mãe: impacto fundamental na vida e na filosofia
gênio: QI estimado em 205... contra a vontade dos professores, ganhou
acesso à biblioteca do pai... acesso irrestrito à informação quase sempre
gera “subversão”…
o jovem leibnitz aos 12, lia latim e grego
avançados
na universidade de
leipzig aos 14
graduado aos 17, filosofia
De Principio Individui
graduado em direito… dissertações e
teses em direito e filosofia…
leibniz era uma rede!
60 mil cartas, milhares de correspondentes,inclusive chineses e vietnamitas (no séc. XVII!)
Contribuições de Leibnitz
Cálculo proposicional Mecanização do Cálculo
proposicional ...
o calculus ratiocinator
“um” cr… uma álgebra da lógica
Empiricismo
Racionalismo A mente nasce
como um espaço em branco no qual todo conheci-mento pode ser inscrito na forma de experiência humana…
Certas verdades universais, auto-evidentes, podem ser descobertas unicamente com base na razão, sem recurso à experiência…
DescartesSpinozaLeibnitz
BaconLockeHume
a priori: independente de experiência sensorial; argumentos a priori são deduzidos a partir de premissas abstratas {genéricas};
a posteriori: pressupõe experiência sensorial; argumentos dependem de informação sensorial;
a verdade necessária de proposições a priori pode ser determinada pela RAZÃO PURA enquanto a verdade contigente de proposições a posteriori só pode ser descoberta por referência a fatos...
os racionais... Descartes, Spinoza e Leibniz ilustram os
possíveis resultados de tentar entender o mundo a partir de conhecimento a priori.
seus sistemas de pensamento parecem MUITO irreais, quando comparados com a experiência do mundo real... mas assim também é a ciência moderna: que tal a teoria das super-cordas?...
SE assumirmos que a realidade dos fatos pode ser MUITO diferente do que nos aparece, a diferença será a coerência interna do esquema de pensamento que escolhermos...
os “cursos”da lógica parakant & hegel
kant: lógica num curso seguro e imutável desde
aristóteles (Kritik der reinen Vernunft, 1787)… a lógica parecia estar fechada e completa
hegel Wissenschaft der Logik, 1812/13:
exatamente porque a lógica está congelada desde aristóteles é que precisa de uma revisão completa... levando à...
lógica como abstração de raciocínio ou lógica como metafísica...
hegel, os números e os conjuntos, Wissenschaft der Logik, 1812/3
o conceito abstrato de SER (Sein) o SER, o NADA e o TORNAR-se (Dasein) o SER através do TORNAR-se conseqüentemente, o finito (Endlichkeit)
e o infinito (Unendlichkeit) a noção primitiva de conjunto infinito a noção primitiva de número natural o caráter quantitativo de um número …o que aparece depois em
boole, cantor…
Origens e Caminhos da Lógica
na Matemática
O Teorema veio antes da Lógica! Também iniciou-se na Grécia Euclides (séc. III), influenciado por Aristóteles Sistematizou a geometria Criação do método axiomático (ou dedutivo)
como guia para resolução de problemas Aceitar sem demonstrações certas proposições (os
axiomas) Derivar deles as proposições válidas (os teoremas) Axioma suspeito: retas paralelas
Como prová-lo??
Infinito quase encontrado Gauss, Lobatchevski e Riemann
provaram que isso não era possível Provou-se a “impossibilidade de
provar” algo num sistema Sistema – idéia de manipulação
formal Geometria de Riemann
Simples substituição deste axioma
Novos métodos na matemática... A geometria de Euclides descreve bem
o espaço físico Ninguém pensou em verificar
inconsistências A de Riemann só veio a ter utilidade
com Einstein! Criação da idéia de modelo Cada proposição de um sistema precisa ser
verdadeira em relação à estrutura modelada
A Geometria de Euclides modela o espaço físico A de Riemann modela espaços curvos
Dependências entre modelos Poincaré, Beltrami e Klein: Se a geometria euclidiana não tiver
contradições A de Lobatchevski também não
terá!
Hilbert formalizou (axiomatizou) as geometrias de Euclides e Riemann “Grundlagen der Geometrie” Ele iria mais longe...
george boole (1815-1864)
Tratamento sistemático da lógica, com notação matemática
Ainda não rigorosamente axiomático
Recusa a idéia de interpretação
georg cantor (1845-1918)phd 1867, zurich
gênio, estudante de Kronecker e Weierstrass
renegado, pelas suas descobertas, por Kronecker e Poincaré, entre outros…
morreu demente, num hospício, em 1918…
sem suas contribuições,boa parte da matemáticamoderna não existiria…
georg cantor: CONJUNTOS!
An Analysis of Two Views of the Foundations of Mathematics:
Set Theory and Category Theory, Marc Millstone @ upenn.edu in 1874… an extremely controversial set of
articles and proofs were published by George Cantor, marking the birth of set theory.
In these papers, Cantor defined notions of sets, subsets, functions, etc, in a beautifully elegant method, however many mathematicians were quite unhappy with the revolutionary new ideas contained in his works.
georg cantor: set theory provides “a conceptual unification of mathematics” {mm}
Jean-Pierre Marquis names five justifications of this claim as follows:
1. Ontological: mathematics is truly the science of the realm of sets
2. Logical: set theory is part of logic, the latter being the universal science upon which every other science is based; Set theory is just, in a sense, applied logic to mathematical concepts
3. Semantical: set theory captures the fundamental cognitive operations upon which the whole of mathematical knowledge is bases
4. Pragmatic: the axioms of set theory possess an epistemological property which gives them a privileged status
5. Epistemological: a set theory is indispensable for doing mathematics, if only to provide a uniform and good control on questions of size, but mostly for definitions, constructions, and techniques of proofs. Thus a set theory is heuristically and methodologically inescapable…
Gottlob Frege Introduziu o “rigor
matemático e metodológico” na lógica (1879)
Manipulação rigorosa de símbolos
Derivações detalhadas, embora ainda não-axiomáticas
http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Frege.html
Unificando o vocabulário! In 1879 Frege published his first major work, Begriffsschrift,
eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens (Conceptual notation, a formal language modelled on that of arithmetic, for pure thought): In 1879, with extreme clarity, rigour and technical brilliance, he first
presented his conception of rational justification. In effect, it constitutes perhaps the greatest single contribution to logic ever made and it was, in any event, the most important advance since Aristotle. For the first time, a deep analysis was possible of deductive inferences involving sentences containing multiply embedded expressions of generality. Furthermore, he presented a logical system within which such arguments could be perspicuously represented: this was the most significant development in our understanding of axiomatic systems since Euclid. {George & Heck}
David Hilbert e suas perguntas
David Hilbert (1862–1943) propôs 23 problemas, que em sua opinião ocupariam os matemáticos pelo século que se iniciara (e estava correto!)
2o Congresso Internacional de Matemática, Paris, 1900
Ficou mais famoso pelos problemas que criou do que pelos que resolveu
O Manifesto de Hilbert
Na verdade, ele tinha ideais bem mais ambiciosos...
Lançou um manifesto defendendo a formalização lógica das áreas de matemática (como ele próprio fizera com a geometria)
Se a lógica estivesse resolvida, toda a matemática (formalizada apropriadamente) também poderia ser analisada
o programa de Hilbert "...the conviction (which every mathematician shares,
but which no one has as yet supported by a proof) that every definite mathematical problem must necessarily be susceptible of an exact settlement, either in the form of an actual answer to the question asked, or by the proof of the impossibility of its solution and therewith the necessary failure of all attempts."
Axiomatização da aritmética
B. Bolzano R. Dedekind G. Peano E. Zermello D. Hilbert K. Gödel
Vamos às questões fundamentais
Hilbert (1928): is mathematics logically complete?(1) is mathematics logically consistent?(2) is mathematics logically decidable?(3)
SURPRESA! Gödel (1931): NÃO, NÃO…
mathematical logic is incomplete its consistency can’t be proved within itself
Turing (1936): …e NÃO! mathematical logic is undecidable there is no procedure for determining whether a proposition
is provable
A sintaxe levou à semântica! Teoria de modelos (Tarski)
Sistema: sintaxe, regras de dedução e semântica
Interpretações, ligadas a valores verdade 1944, "The Semantical
Concept of Truth and the Foundations of Semantics," Philosophy and Phenomenological Research 4: 341-75.
Teoria de provas (Gentzen) Estudo da estrutura de dedução da lógica
envolvida Dedução natural, seqüentes
Os pais da semântica
Decidibilidade e Computabilidade
alan turing
Entscheidungsproblem?... The Entscheidungsproblem (German:
decision problem) is the challenge in symbolic logic to find a general algorithm which decides for given first-order statements whether they are universally valid or not. Alonzo Church and independently Alan Turing showed in 1936 that this is impossible. As a consequence, it is in particular impossible to algorithmically decide whether statements in arithmetic are true or false.
http://www.wikipedia.org/wiki/Entscheidungsproblem
Entscheidungsproblem?... The question goes back to Gottfried Leibniz, who in the
seventeenth century, after having constructed a
successful mechanical calculating machine, dreamt of
building a machine that could manipulate
symbols in order to determine the truth values of
mathematical statements. He realized that the first
step would have to be a clean formal language, and
much of his subsequent work was directed towards
that goal. In 1928, David Hilbert and Ackermann
posed the question in the form outlined above. http://www.wikipedia.org/wiki/Entscheidungsproblem
decisão:-equiv = halting problem
The negative answer to the Entscheidungsproblem was then given by Alonzo Church in 1936 and independently shortly thereafter by Alan Turing, also in 1936. Church proved that there is no algorithm (defined via recursive functions) which decides for two given lambda calculus expressions whether they are equivalent or not. He relied heavily on earlier work by Kleene. Turing reduced the problem to the halting problem for Turing machines and his paper is generally considered to be much more influential than Church's. The work of both authors was heavily influenced by Kurt Gödel's earlier work on his incompleteness theorem, especially by the method of assigning numbers to logical formulas in order to reduce logic to arithmetic
Algoritmos de prova Herbrand Resolução
Robinson 1965 Prolog
Colmerauer 1972 D. H. Warren
BiBliografia
Livro de Guilherme Bittencourt Livro de Michal Walicki Livro de Carnielli-Epstein Wikipedia Slides de Sílvio Meira
Leibnitz até o fim da parte de Filosofia Cantor e Turing