Post on 03-Jan-2016
Parte superior do formulário (UFMS 2010)
Dado o sistema a seguir, e considerando log o logaritmo na base 10, assinale a(s) afirmação(ões) correta(s).
1) log ( x – 9y ) = 0
2) log (x + 9y) = 1
4) ( x + y ) = 10
8) ( x × y ) = 10
16) ( x ÷ y ) = 10
CERTOS: 1, 8, 16.
Vamos lá. Pede-se os valores de "x" e de "y" no sistema abaixo: 3⁸ʸ⁻˟ = 0,11111..... . (I) e log(x) - log(y) = 1 . (II) Veja que 0,1111...... = 1/9. Assim, a nossa igualdade (I) acima, ficará sendo: 3⁸ʸ⁻˟ = 1/9 ----- mas 1/9 = 1/3² = 3⁻². Assim, substituindo 1/9 por 3⁻², temos: 3⁸ʸ⁻˟ = 3⁻² ------ como as bases são iguais, então igualamos os expoentes. Logo: 8y - x = - 2 . (III) Agora vamos trabalhar com a igualdade (II), que é esta: log(x) - log(y) = 1 ---- veja que loga - logb = log(ab). Assim: log(xy) = 1 ------ como a base é 10, então o que temos aí é a mesma coisa que: 10¹ = xy, ou: xy = 10 . x = 10/y . (IV) Mas, conforme (III), temos que: 8y - x = - 2 ---- vamos substituir "x" por "10/y", conforme encontramos em (IV) acima. Assim: 8y - 10/y = - 2 ----- mmc = y. Assim: 8y*y - 10 = -2y 8y² - 10 = - 2y --- passando (-2y) para o 1º membro e ordenando, ficamos com: 8y² + 2y - 10 = 0 ---- dividindo ambos os membros por "2", vamos ficar apenas com: 4y² + y - 5 = 0 ---- aplicando Bháskara, você vai encontrar as seguintes raízes: y' = -5/4 <-- descartada, pois não há logaritmo de números negativos. y'' = 1 Assim, concluímos que y = 1 <-- Esse é o valor de "y". Agora vamos lá para a igualdade (IV), que é esta: x = 10/y ----- substituindo "y" por "1", ficamos com; x = 10/1 x = 10 <--- Esse é o valor de "x". Assim, sintetizando, temos que: x = 10 e y = 1 Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução também assim: S = {10; 1} É isso aí. OK? Adjemir. Resposta 2 3^(8y - x) = 1/9 = 3⁻² 8y - x = -2 logx - logy = 1 log x/y = log 10 x/y = 10 Novo sistema é: 8y - x = -2 x/y = 10 Da primeira: x = 8y + 2 Substitui na segunda: (8y + 2) / y = 10 8y + 2 = 10y 10y - 8y = 2 2y = 2 y = 1 Da segunda: x/y = 10 x = 10 resposta: x = 10 ; y = 1
1) Calcule: Log5 625 + Log 100 - Log3 27?
Vamos calcular cada um dos logaritmos separadamente.
O Log5 625 é o expoente da potência de base 5 que resulta em 625:
Podemos resolver a equação exponencial decompondo 625 em fatores primos:
Ou seja, 625 = 54, o que nos leva ao valor de x:
Pudemos calcular o valor de x desta forma, pois a a base 5 é positiva e diferente de 1. Se você não se lembra disto,
convém consultar o tema equação exponencial para recordar esta matéria.
Então 4 é o Log5 625:
O Log 100 é o expoente da potência de base 10 que resulta em 100:
O valor de x agora é óbvio.
Como sabemos, uma potência de dez com expoente natural resulta em um número começando pelo algarismo 1
seguido de tantos zeros quanto indicado por este expoente.
Sabendo-se disto, se o número 100 possui 2 zeros após o 1, é porque o expoente da potência de base dez é igual a
dois (102 = 100), isto é, x = 2.
Então 2 é o Log 100:
Por último, o Log3 27 é igual a 3, pois este é o expoente ao qual devemos elevar a base também 3 para obtermos 27:
Se você tem dúvidas quanto a isto, também pode decompor o número 27 em fatores primos como fizemos com o
Log5 625.
Realizando as substituições na expressão original temos:
Log5 625 + Log 100 - Log3 27 = 3.
2) Considerando-se Log7 10 = 1,1833. Qual é o Log7 70?
Para a solução deste problema vamos recorrer à propriedade do logaritmo de um produto.
Utilizaremos esta propriedade, pois através dela podemos montar uma outra expressão com dois logaritmos
conhecidos. Um é o Log7 10, obtido do enunciado e o outro é o Log7 7 que como sabemos é igual a 1.
É sabido que 70 é o produto de 7 por 10. Então temos que:
Através da propriedade do logaritmo de um produto podemos assim expressar o Log7 70:
O Log7 7 = 1 pois:
Conforme o enunciado, o Log7 10 = 1,1833, então substituindo tais valores na expressão, temos:
Log7 70 = 2,1833.
3) Calcule o Log3 5 sabendo que o Log3 45 = 3,464974?
Novamente, para solucionarmos este problema vamos recorrer a uma das propriedades dos logaritmos.
O Log3 45 é fornecido pelo enunciado. Precisamos de algum outro logaritmo fácil de calcular, que nos permita do
Log3 45 chegar ao Log3 5.
Uma forma de partindo de 45 chegarmos a 5, é dividirmos 45 por 9.
Como podemos facilmente calcular o Log3 9, vamos recorrer à propriedade do logaritmo de um quociente para
solucionarmos esta questão.
A partir do explicado acima podemos escrever que:
Então, recorrendo à propriedade do logaritmo de um quociente temos:
O , visto que 3 elevado ao quadrado é igual a 9:
Portanto, ao substituirmos os valores conhecidos chegamos ao resultado desejado:
Log3 5 = 1,464974.
4) -1,494850 é um logaritmo decimal na forma negativa. Qual é a sua forma preparada?
Obtemos a característica subtraindo 1 da parte inteira (-1), resultando em -2 e a escrevemos utilizando o traço sobre a
mesma, sem o sinal de negativo:
A mantissa obtemos subtraindo de 1 o número formado por "0," seguido da parte decimal 494850:
Logo a mantissa é igual a 505150.
Já que a característica é igual a 2 e a mantissa é igual a 505150, o logaritmo decimal na forma preparada é igual a
2,505150.
Na forma preparada o logaritmo decimal é 2,505150.
5) Qual é a forma negativa do logaritmo decimal 1,511883?
Vamos realizar a conversão separando o número em duas partes.
A primeira parte é obtida somando-se 1 à característica 1 (-1):
Para a segunda parte subtraímos o 0,511883, referente à mantissa precedida de "0,", de 1:
Concluindo subtraímos as partes obtidas:
A forma negativa deste logaritmo decimal é -0,488117.
6) O logaritmo decimal de 0,2 é igual a -0,698970 na sua forma negativa. Qual é o logaritmo decimal de 200?
Já que Log 0,2 está na sua forma negativa, devemos primeiramente obter a sua mantissa, visto que ela não é a parte
decimal do logaritmo informado.
Já vimos que isto sempre acontece quando o logaritmando é maior que 0 e menor que 1 e no caso deste exercício o
logaritmando é igual a 0,2.
Para a obtenção da mantissa do Log 0,2, simplesmente vamos subtrair 0,698970. Estamos considerando apenas os
algarismos da parte decimal (698970) do logaritmo informado no enunciado, acrescentando o "0," na frente:
Portanto a mantissa do Log 0,2 é igual a 301030.
Visto que os logaritmos decimais de dois números que diferem entre si somente pela posição da vírgula, possuem a
mesma mantissa, então ambos os logaritmos decimais de 0,2 e 200 possuem a mantissa 301030. O que difere neles é
a característica.
Para obtermos a característica do Log 200, basta subtrairmos 1 do número de algarismos da parte inteira de 200:
Com característica igual a 2 e mantissa igual a 301030, o logaritmo decimal de 200 é igual a 2,301030.
Log 200 = 2,301030.
7) Utilizando a tábua de logaritmos calcule a raiz quadrada de 961.
Atribuindo à variável x a raiz quadrada de 961, podemos escrever a seguinte equação:
Recorrendo a logaritmos chegamos a esta equação equivalente:
Agora vamos recorrer à propriedade dos logaritmos que diz que para qualquer valor de M natural, diferente de zero, o
logaritmo da raiz na base b é igual ao produto do inverso do índice M pelo logaritmo de N, também na base b:
Aplicando a propriedade temos:
Chegamos então à seguinte equação:
Recorrendo à tábua de logaritmos vamos obter o log 961.
Para isto vamos começar procurando pela mantissa do log 9,61 que se encontra no cruzamento da linha 96 com a
coluna 1, que é 982723.
Na linha 96 se encontram as mantissas dos números de três algarismos de 9,61 a 9,69, ou de 961 a 969 se você
preferir.
A mantissa do log 961 é igual a 982723, já a sua característica é igual a 2, visto que este é o número de algarismos da
sua parte inteira reduzida em uma unidade:
Portanto, o log 961 = 2,982723.
Desconsiderando-se os erros de arredondamento, 2,982723 é o expoente ao qual 10 deve ser elevado para obtermos
961:
Voltando à equação temos:
Note que o resultado foi arredondado em seis casas decimais, pois esté o número de algarismos que estamos
utilizando nas mantissas da tábua de logaritmos.
Temos então à seguinte equação:
Já vimos que os logaritmos decimais com característica igual a 1 são de números maiores, ou iguais a 10 e menores
que 100.
Então a raiz quadrada de 961 encontra-se entre os números 10 e 100, mas que número será este?
Procuremos pela mantissa 491362 na tábua de logaritmos.
Ela é encontrada na linha 31, coluna 0.
Isto quer dizer que números como 0,31; 3,1; 31 e 310, dentre outros, que diferemm entre si apenas pela posição da
vírgula, possuem a mesma mantissa 491362.
Destes números relacionados, apenas o número 31 situa-se entre os números 10 e 100, portanto 31 é a raiz quadrada
de 961.
Apenas para que você tenha noção disto, este procedimento todo se resume a isto:
A raiz quadrada de 961 é 31.
8) A diferença entre dois números positivos é 4207,5 e a diferença entre os logaritmos decimais destes dois
números é igual a 2. Que números são estes?
Vamos chamar de M o número maior e de N o número menor.
O enunciado diz que:
Isto quer dizer que ambos os logaritmos possuem a mesma mantissa e sendo assim eles diferem entre si apenas pela
posição da vírgula, significando que se dividirmos o número maior pelo número menor o resultado será igual a 102:
Através do enunciado também sabemos que:
Podemos então montar o seguinte sistema de equações do primeiro grau com duas incógnitas:
Vamos isolar a variável M da segunda equação:
Agora vamos substituir a variável M da primeira equação:
Substituindo o valor da variável N da primeira equação:
Os números são 4250 e 42,5.
9) Calcule o Log24 6 sabendo que o Log27 6 = x que o Log27 4 = y.
Para a resolução deste problema vamos partir do princípio que:
Esta é a propriedade que nos permite realizar a mudança de base de um logaritmo.
Recorrendo a ela temos:
Como o Log27 6 = x, podemos realizar tal substituição na equação. Além disto iremos aproveitar para escrever o
logaritmando 24, no denominador da fração, como o produto de 6 por 4:
Agora vamos recorrer à propriedade do logaritmo de um produto:
Já que o Log27 6 = x e o Log27 4 = y, vamos realizar estas substituições na equação:
Portanto:
.
10) Se o Log60 3 = x que o Log60 6 = y, qual é o Log18 2?
O objetivo desta questão é escrevermos o Log18 2 em função de x e y.
Para alcançarmos tal objetivo faremos algumas operações para que partindo do Log18 2, passemos pelos Log60 3 e de
Log60 6.
Para começar vamos passar o Log18 2 para a base 60.
Para isto vamos recorrer à propriedade da mudança de base de um logaritmo:
Então para a = 2, b = 18 e c = 60, temos:
O logaritmando 2, no numerador da fração pode ser escrito como a razão de 6 para 3, assim como o logaritmando 18,
no denominador da fração pode ser escrito como produto de 6 por 3. O motivo disto é nos direcionarmos aos
logaritmos no enunciado:
No numerador vamos aplicar a propriedade do logaritmo de um quociente e no denominador a propriedade do
logaritmo de um produto, quando aí sim, iremos obter os logaritmos no enunciado:
Pronto, agora chegamos a um ponto no qual só precisamos trocar o Log60 3 e o Log60 6 por x e y respectivamente:
.
(PUCRS) A solução real para a equação , com a>0, a≠1 e b>0, é dada por a^(x + 1) = b/a ----> a*a^(b + 1) = b ---> a^(x + 2) = b loga[a^(x + 2)] = logab (x + 2)*logaa = logab x + 2 = logab x = loga(b) – 2 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- "Se log 2 = a e log 3 = b, determine o valor de log 5 em função de a e b."
Para realisá-lo, você precisa conhecer as propriedades dos logaritmos. Você sabe que 2 + 3 = 5. Você não pode, no
entanto, afirmar que log 2 + log 3 = log 5.
Para deixar seu cálculo mais claro, reescreva o problema evidenciando a base do logaritmo - que, quando não está
escrita, vale 10. Fica assim:
Veja que foram apresentadas a base dos logaritmos. Reescrevendo a questão, portanto, ela ficaria:
log102 = a, log103 = b, log105 = ?, em função de a e b.
Tente, agora, encontrar alguma relação entre 5 e os outros números em questão (10, 5 e 2). Você pode ter, por
exemplo:
Como o logaritmo do quociente é igual a diferença dos logaritmos (uma das propriedades dos logaritmos), você pode
ter:
Como log1010 = 1:
log5 = 1 - a
Seu exercício está resolvido!
Exercício resolvido, utilizando mudança de base
Retome a fórmula de mudança de base:
Simplifique:
log25 . log72
A primeira vista parece uma grande confusão, mas nota-se que existe uma base 2 e um log de 2. Logo, deve-se mudar
para a base 2.
Nota: No caso de dúvida entre várias bases que sejam múltiplos (ex: 3, 9, 81, ...), em princípio, escolhe-se a menor.
Resolvendo com a mudança de base para 2:
Note que como os dois logaritmos possuem base 2, pode se usar a fórmula de mudança de base ao inverso, logo:
No geral, vale a recomendação de sempre pensar e analisar os problemas por alguns instantes e determinar a melhor
estratégia de resolução.
Exercício resolvido de logaritmo, com a propriedade de logaritmo da potência
À primeira vista, um problema complexo, com muitas bases diferentes, mas, ao ser analisado parte por parte:
pois, somente um número elevado a zero resulta em 1;
também um log que a base ajuda bastante;
é um pouco mais interessante, mas, nada de amedrontar, pois as bases se "aparentam" entre
si, logo:
Utilize a propriedade do logaritmo de potência:
Finalmente:
Fórmula de mudança de base:
Mudando para a base 2:
Retornando à equação original com os resultados:
Como se pode notar, ao se analisar um problema como um todo e, em seguida, parte por parte, pode-se chegar a
resoluções facilíssimas.