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CE2 – Estabilidade das Construções II Linhas de Influência – Vigas Contínuas
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Linhas de Influência para Vigas Contínuas
EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO Determinar para a viga contínua de seção transversal constante, esquematizada abaixo, a Linha de Influência de Momentos Fletores no Ponto B.
Resposta:
Linha de influência de Momentos Fletores em B
Integração Numérica – Regra dos Trapézios
Na REGRA DOS TRAPÉZIOS considera-se a função de interpolação linear entre os pontos predefinidos da linha de influência. Obtém-se uma área aproximada por um somatório de áreas trapezoidais. Quanto menor o incremento (ou passo h) mais precisos serão os resultados.
Esquema de integração numérica pela Regra dos Trapézios
Genericamente, a área é dada pela expressão:
)M2E(2
)(2)()(2
)( ÁREA 1
10 +⋅=
⋅++⋅≈= ∫ ∑
−
=
hxfxfxfhdxxfN
iiN
onde: (E) corresponde o somatório das ordenadas nos pontos (E)XTREMOS e (M) o somatório das ordenadas nos pontos INTER(M)EDIÁRIOS do intervalo considerado.
B A C D E
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As áreas relativas às linhas de influência podem ser positivas ou negativas. Como as estas áreas iniciam e terminam do valor nulo, pode-se simplificar a expressão anterior na forma:
( )121 ÁREA −+++⋅= nyyyh
EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO Determinar as áreas da Linha de Influência de Momentos Fletores no Ponto B dada a seguir.
Resolução:
Resposta:
−11,74 −15,23
−0,19
+1,03
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Envoltória de Esforços
EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO
Determinar para a viga contínua de seção transversal constante, esquematizada abaixo, os momentos fletores máximo e mínimo no Ponto B devidos à ação permanente de 10 kN/m e à carga acidental móvel de 20 kN/m. É dada a linha de influência de Momentos Fletores no Ponto B, obtida no programa FTOOL com incrementos de 1 metro, e suas respectivas áreas.
Linha de influência de Momentos Fletores em B
Resolução:
Posicionamento das cargas para as situações mais desfavoráveis para momentos fletores no Ponto B
Momento fletor máximo no APOIO B:
mkN30,26110)19,003,123,1574,11(Mg ⋅−=⋅−+−−=
mkN60,2020)03,1(Mmáxq ⋅+=⋅+=
−11,74 −15,23
−0,19
+1,03
q=20 kN/m
p=10 kN/m
q=20 kN/m
q=20 kN/m
p=10 kN/m
B A C D E
−11,74 −15,23
−0,19
+1,03
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mkN70,24060,2030,261MMM máxqg
máx ⋅−=+−=+=
Momento fletor mínimo no APOIO B:
mkN30,26110)19,003,123,1574,11(Mg ⋅−=⋅−+−−=
mkN20,54320)19,023,1574,11(Mmínq ⋅−=⋅−−−=
mkN50,80420,54330,261MMM mínqg
mín ⋅−=−−=+=
Envoltória de momentos fletores devida às cargas
acidentais móveis obtida no Programa FTOOL
Simulação Computacional
1 EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO
Obter a linha de influência de momentos fletores no Ponto B e a envoltória de momentos fletores B com o uso do Programa FTOOL, para a viga contínua esquematizada abaixo, devidos à carga acidental móvel de 20 kN/m.
B A C D E
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(3) Cargas móveis de multidão fora dos limites do trem-tipo
(DIGITAR E DAR ENTER)
(2) Trem-tipo 20 kN/m atuando em todo o comprimento da viga
(DIGITAR E DAR ENTER)
(4) Modo de exibição de linha de influência
(5) Linha de influência de momentos fletores
(6) Clicar no Ponto B
(1) Cargas móveis
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(1) Modo de exibição de envoltória de esforços
(2) Envoltória de momentos fletores (somente para cargas móveis)
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2 EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO
Obter o diagrama de momentos fletores da viga contínua esquematizada abaixo, com o uso do Programa FTOOL, e determinar o momento fletor no Ponto B. Considerar a carga permanente de 10 kN/m
B A C D E
(2) Diagrama de momentos fletores para cargas permanentes (combinar com acidentais)
(1) Diagramas de estado
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3 EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO
Obter a linha de influência e a envoltória de momentos fletores no Ponto B com o uso do Programa FTOOL, para a viga contínua esquematizada abaixo, devidos à carga permanente de 10 kN/m e à carga acidental móvel de 20 kN/m.
A E D C B
(2) Envoltória de momentos fletores para cargas permanentes e acidentais
(1) Envoltória de esforços
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4 EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO
Comparar os resultados manual e automático (FTOOL).
Resolução:
Momento fletor máximo no Apoio B obtido no Programa FTOOL:
mkN54,25506,2160,276MMM máxqg
máx ⋅−=+−=+=
Momento fletor mínimo no Apoio B obtido no Programa FTOOL:
mkN63,85003,57460,276MMM mínqg
mín ⋅−=−−=+=
Momento fletor máximo no Apoio B obtido manualmente:
mkN70,24060,2030,261MMM máxqg
máx ⋅−=+−=+=
Momento fletor mínimo no Apoio B obtido manualmente:
mkN50,80420,54330,261MMM mínqg
mín ⋅−=−−=+=
As diferenças entre os resultados manual e automático são em torno de 5% que é perfeitamente aceitável para aplicação em projetos de Engenharia. As diferenças encontradas devem-se, principalmente, ao método de cálculo das áreas. Os resultados automáticos são mais precisos.
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ANEXO A