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PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
1
UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA – UNEB
PROGRAD – DCET
CAMPUS I – SALVADOR
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
LÓGICA MATEMÁTICA E CONJUNTOS
Aristóteles (384 a.C. – 322 a.C.)
Notas de Aula
Eron
Salvador–Ba
2011
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
2 Figura da capa – Aristóteles
Aristóteles nasceu em Estagira em 384 a.C. e faleceu em Calcis (Eubea), em 322 a.C.
Estudou com Platão durante vinte anos e lecionou na Academia que Platão fundou. Depois
de viajar por vários países, voltou a Atenas, onde abriu uma escola de Filosofia, que
competiu com seriedade com a Academia de seu mestre. Esteve bastante ligado com
Alexandre o Grande (356–323 a.C.), de quem havia sido conselheiro, razão pela qual, à
morte deste, teve que abandonar Atenas, onde não pode mais ingressar.
Aristóteles representa o ponto máximo da ciência e filosofia clássica, nas quais
contribuiu como pensador excepcional e como pesquisador audacioso e sistemático. É daí
que praticamente todas suas obras estão relacionadas com a ciência da natureza, além da
lógica, da metafísica, da ética, da política, da retórica e da poética, algo assim como uma
enciclopédia do saber de sua época.
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
3 APRESENTAÇÃO
Este material resume notas de aulas e exercícios de uma Introdução à Lógica
Matemática e Conjuntos. Foi desenvolvido para ajudar na aprendizagem dos alunos do curso
de Licenciatura em Matemática do projeto PARFOR coordenado pela UNEB do Campus de
Salvador.
Um dos objetivos é de otimizar o tempo de apresentação e ajudar na interação dos
alunos com os conteúdos. Outro objetivo é que tenhamos um material para acompanhar as
aulas, e assim, adquirir maior flexibilidade e dinâmica nas mesmas.
Resume os seguintes tópicos que formam a ementa da disciplina Lógica Matemática e
Teoria dos Conjuntos:
Elementos de Lógica Matemática
Conjuntos
Conjunto dos Números Reais
Relações e definição de função
Desde já, assumo total responsabilidade por todos os erros que possa conter este
material, ainda incompleto, e agradeço a quem indicar as correções, críticas e sugerir
melhorias.
No final, há uma lista com a bibliografia utilizada para confeccionar este material,
você deve procurar obter pelo menos uma delas que verse sobre o conteúdo pretendido.
Observo também que este material não substitui a consulta, leitura e estudo de textos e
livros citados na bibliografia, deve servir como um material de auxílio, principalmente no
momento em que se realizam a aulas.
Salvador, janeiro de 2011.
Eron
eronsouza@gmail.com
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
4 PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
Podemos pensar a lógica como o estudo do raciocínio correto. O raciocínio é o
processo de obter conclusões a partir de suposições ou fatos. O raciocínio correto é o
raciocínio onde as conclusões seguem-se necessária e inevitavelmente das suposições ou fatos.
A lógica procura estudar as coisas da mente, e não as coisas reais. Por exemplo, quando
dizemos: arco-íris bonito, sol distante, praia suave são classificações que damos às coisas.
Aplicamos lógica na Filosofia, Matemática, Computação, Física, Engenharias, entre
outros. Na Filosofia para determinar se um certo raciocínio é válido ou não, pois uma frase
pode ter diferentes interpretações, não obstante a lógica permite saber o significado correto.
Nas Matemáticas para demonstrar teoremas e inferir resultados corretos que podem ser
aplicados nas pesquisas. Na Computação para determinar se um determinado programa é
correto ou não, na Física para obter conclusões de experimentos.
Conteúdos
1. Estudar Lógica
2. Lógica – um pouco de história
3. Proposições e conectivos
4. Tabela-verdade e cálculo proposicional
5. Equivalência lógica e álgebra das proposições
6. Implicação lógica e regras de inferência
7. Argumentos
8. Métodos para validade de argumentos
Tabela-verdade; Regras de inferência; Inferência + equivalências; Contradição
9. Sentenças abertas e quantificadores lógicos
10. Exercícios de Aprendizagem e Fixação
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
5 Lógica Matemática: alguns motivos para estudá-la.
1. Lógicas consistentes são os fundamentos da Matemática, ou seja, toda Matemática
está alicerçada sobre conceitos e estruturas lógicas.
2.
3. Lógica está nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN). O conteúdo de Lógica
Matemática ajuda na necessidade que temos em trabalhar a Matemática dos diversos
níveis de ensino (fundamental, médio e superior) com argumentação, interpretação e
análise da realidade, por meio de premissas verdadeiras ou falaciosas, como apontam
os PCN.
De acordo com os PCN, “embora a Lógica não se constitua como bloco de conteúdo a
ser tratado sistematicamente, alguns de seus princípios podem e devem ser integrados
aos demais conteúdos. (...) No contexto da construção do conhecimento matemático,
é ela que permite a compreensão dos processos, possibilita o desenvolvimento da
capacidade de argumentar e de fazer conjecturas e generalizações”.
Também consta dos PCN a necessidade cada vez maior de que as diferentes áreas do
saber sejam trabalhadas em conjunto.
4.
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
6 Lógica Matemática – um pouco de história
O pensamento lógico teve forte presença no cerne da civilização Grega. Aristóteles
(384–322 a.C.) é tido como o primeiro sistematizador do conhecimento lógico da época.
Presume-se que a partir de uma análise das discussões, que eram comuns no seu tempo, o
filósofo teria procurado caracterizar um instrumento de que se serviria a razão, na busca da
verdade. Aristóteles teve seu trabalho registrado por seus discípulos e a obra de Lógica,
intitulada o “Organon”, serviu de fundamentação para a Lógica Simbólica. Aristóteles
classificou as proposições em quatro grupos, dois originários de uma consideração
qualitativa e dois de considerações quantitativas. Segundo a quantidade, tem-se
proposições afirmativas ou negativas e, segundo a qualidade, em universais e particulares.
Assim é que na lógica de Aristóteles aparecem expressões como todo, nenhum, algum, etc; e
frases tipo “Todo homem é mortal” (afirmativa universal) e “Alguns homens não são
sábios” (negativa particular).
Ainda na Grécia Antiga, surgiu a escola estóico-megárica que estudava a lógica das
proposições, desenvolvendo aspectos não encontrados na Lógica Aristotélica. Depois do
período dos estóico-megários, inicia-se um período obscuro, quase virgem de pesquisa.
Segundo os elementos históricos existentes, não houve nenhuma contribuição original à
Lógica por mais de 1000 anos. Houve apenas o trabalho de transmissão de conhecimentos
antigos para a Idade Média. Destaca-se Boécio (470–524) com a tradução latina de parte da
obra aristotélica.
Foi um longo período pobre de contribuições para esse ramo do conhecimento científico.
Durante os séculos XVII e XVIII e início do século XIX o grande interesse era pela retórica e
pelas questões psicológicas. Escapa dessa influência Leibniz (1646–1716), cujas idéias originais
e inovadoras ficaram isoladas no século XVII e só viriam a ser apreciadas e conhecidas no fim
do século XIX. Assim é que o uso de diagramas para estudos de lógica, atribuído a Euler,
já tinha sido utilizado por Leibniz. No entanto, foi John Venn (1834–1923) quem
aperfeiçoou os diagramas no estudo da Lógica.
Leibniz foi o precursor da Lógica Moderna. Ele sugeriu uma espécie de Álgebra Universal, uma
linguagem de símbolos que pudesse ser entendida por todos, qualquer que fosse a língua
utilizada. Estava assim criado o ambiente adequado para o surgimento da Lógica
Simbólica (também chamada de Lógica Matemática ou Lógica Formal) e cujo objetivo era
dar um tratamento rigoroso, estrutural, ao conhecimento lógico tradicional.
O período “contemporâneo” da lógica tem suas raízes nos trabalhos de George Boole (1815-
1864) que deu novos rumos ao estudo da matéria. A obra fundamental de Boole,
“Investigations of the Laws of Thought”, publicada em 1854, compara as leis do pensamento
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
7 às leis da álgebra. Paralelamente, De Morgan (1806-1871) também contribuiu para o
desenvolvimento da álgebra da Lógica. Com os trabalhos de Boole e de Morgan a Lógica
clássica torna-se autônoma, separando-se da Filosofia para tornar-se a Lógica Matemática.
Os alemães Frege (1848-1925) e Cantor (1845-1918) deram impulsos à Lógica Simbólica. A
tentativa de Frege de transformar a Matemática em ramo da Lógica levou a paradoxos depois
estudados por Russel e Whithead, autores do “Principia Mathematica”, uma das obras
fundamentais deste século. Como consequência os lógicos e matemáticos entraram em
divergência, a partir da segunda metade do século XIX, dando lugar ao surgimento de pelo
menos três correntes de pensamento bem distintas: o logicismo (de Russel), o intuicionismo
(de Brouwer) e o formalismo (de Hilbert).
A corrente logicista pretendeu reduzir a Matemática à Lógica, e seu pensamento está bem
delineado na obra “Principia Mathematica” e suas origens estão certamente em Leibniz.
A corrente formalista – cujas raízes estão no filósofo alemão Kant, foi liderada por Hilbert.
Amplia a atuação da Lógica caracterizando-a como um método de obter inferências
legítimas. Uma teoria para ser formalizada deve conter conceitos primitivos, axiomas e
teoremas e ser consistente. Ser consistente numa teoria formal significa que se ela contém
determinada proposição, não pode conter a sua negação.
A escola intuicionista, cujo maior representante foi o matemático holandês Brouwer,
reduz a Lógica a um método que se desenvolve paralelamente a Matemática. Para os seus
seguidores, todos os conhecimentos existem por intuição, ou seja, sem auxílio de raciocínio.
Rejeitam o princípio do terceiro excluído, sendo, portanto possível para eles a construção
de enunciados que não são verdadeiros ou falsos.
As críticas e divergências em torno dos fundamentos filosóficos do “Principia Matemática”
deram lugar ao surgimento de lógicas polivalentes. Atualmente a Lógica não está – como
esteve, até por volta de 1930 – dividida nas três correntes acima. Hoje, inúmeras correntes
surgem e as três antigas se aproximam. Os estudos ganharam um ritmo acelerado, as
especialidades se multiplicam e os problemas se abrem.
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
8 1. PROPOSIÇÕES E CONECTIVOS
A Lógica Matemática se ocupa da análise de certas sentenças, quase sempre de conteúdo
matemático. Também estuda as relações, conexões, entre estas sentenças. Começaremos
definindo proposição.
Proposição. Chama-se proposição uma sentença (conjunto de palavras e símbolos)
declarativa, que exprime um pensamento de sentido completo e que pode ser classificada como
verdadeira ou falsa.
Os termos “verdade” e “falsidade” são chamados valores lógicos de uma proposição.
Para efeito de classificar as proposições em “verdadeiras” ou “falsas” a Lógica Matemática
adota como regras fundamentais os dois seguintes princípios:
Princípio da Não Contradição – Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo
tempo.
Princípio do Terceiro Excluído – Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa (isto é, verifica-se
sempre um desses casos e nunca um terceiro).
Pelos dois princípios anteriores temos que: Toda proposição tem um e somente um dos
valores lógicos “verdade” ou “falsidade”. Por este motivo, chamamos a Lógica Matemática de
bivalente.
Notação. As proposições serão indicadas por letras , , , , ,...p q r s t e o seu valor lógico por
( )V p V= (ou 1) para uma proposição verdadeira e, ( )V p F= (ou 0 ) para uma
proposição falsa.
Exemplos e contra-exemplos
1) :p Salvador é a capital da Bahia.
2) : 2 3 5q + < .
3) :r O poeta Castro Alves era baiano.
4) 2 1x + = .
5) Como faz calor!
6) Que dia é hoje?
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
9 Os exemplos 5 e 6 não são proposições, pois são sentenças exclamativas e interrogativas,
respectivamente. O exemplo 4 também não representa uma proposição, uma vez que não
podemos atribuir um único valor lógico (depende de x ).
As proposições podem ser classificadas em simples e compostas.
Proposições simples – Aquelas que não contêm nenhuma outra como parte integrante de si
mesma. São também chamadas de atômicas.
Proposições compostas – Aquelas formadas pela combinação de proposições simples. São
também chamadas de moleculares.
Como convencionado anteriormente as proposições simples serão indicadas por letras
, , , , ,...p q r s t . As proposições compostas serão denotadas por , , , , ,...P Q R S T .
Exemplos – Classifique as proposições em simples ou composta.
1) 2 é ímpar. (simples)
2) 3 é ímpar e 2 ∈ . (composta)
3) 2 0> ou 3 1 5+ = . (composta)
4) Se 4 é par então 4 é divisível por 2. (composta)
5) 3 é ímpar se e somente se 3 é primo. (composta)
Conectivos. As palavras ou símbolos usados para formar novas proposições a partir
de proposições dadas são chamados de conectivos.
Os conectivos fundamentais da Lógica Matemática são:
Conectivo Símbolo
Não, não é verdade que ∼ Negação ou modificador
E ∧ Conjunção
Ou ∨ Disjunção
Se ... então → Condicional
Se e somente se ↔ Bicondicional
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
10 Dadas as proposições simples p e q podemos com o uso dos conectivos formar novas
proposições a partir de p e q . Assim, temos:
Negação de p p∼ Não p
Conjunção de p e q p q∧ p e q
Disjunção de p e q p q∨ p ou q
Condicional de p e q p q→ Se p então q
Bicondicional de p e q p q↔ p se e somente se q
Exemplo 1 – Dada as proposições:
:p Jorge Amado escreveu o livro “Mar Morto”.
:q Rui Barbosa era baiano.
Exibimos abaixo algumas proposições e suas traduções para a linguagem corrente:
:p∼ Jorge Amado não escreveu o livro “Mar Morto”.
:p∼ Não é verdade que Jorge Amado escreveu o livro “Mar Morto”.
:p q∧ ∼ Jorge Amado escreveu o livro “Mar Morto” e Rui Barbosa não era baiano.
:p q∧ ∼ Jorge Amado escreveu o romance “Mar Morto” e é falso que Rui Barbosa era baiano.
:p q∨∼ Jorge Amado não escreveu o livro “Mar Morto” ou Rui Barbosa era baiano.
:p q∨∼ Não é verdade que Jorge Amado escreveu o livro “Mar Morto” ou Rui Barbosa
era baiano.
( ) :p q∨∼ Não é verdade que: Jorge Amado escreveu o livro “Mar Morto” ou Rui Barbosa
era baiano.
Exemplo 2 – Considere as proposições : 2 .p é um número par e : 6 3.q é múltiplo de
Para as seguintes proposições temos as traduções para a linguagem simbólica.
a) 2 não é par ou 6 é múltiplo de 3 . p q∨∼
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
11 b) Se 6 não é múltiplo de 3 então 2 é par . q p→∼
c) 2 não é par, se e somente se, 6 é múltiplo de 3. p q↔∼
2. OPERAÇÕES LÓGICAS COM PROPOSIÇÕES (CÁLCULO PROPOSICIONAL)
Quando estudamos os conjuntos numéricos, definimos operações como a adição,
multiplicação, etc. e as propriedades de tais operações, mostrando que tais conjuntos têm
uma estrutura algébrica. No caso da Lógica não trabalhamos com números, mas com
proposições. Já vimos que a partir de proposições simples podemos “combiná-las” mediante
o uso de conectivos para formar novas proposições. O que queremos saber agora é:
Conhecidos os valores lógicos das proposições simples, qual o valor lógico da proposição
resultante obtida com os conectivos?
Na verdade os conectivos funcionam como símbolos operatórios, tais como , , , ,...+ − ÷ × .
Precisamos, portanto saber o “resultado” das operações envolvendo conectivos e
proposições da Lógica. Conhecendo-se os valores lógicos de duas proposições p e q , queremos
definir os valores lógicos das proposições: , , , , p p q p q p q p q∧ ∨ → ↔∼ , que decorrem de
situações cotidianas, onde utilizamos o nosso bom senso, a nossa lógica.
Negação. A negação de uma proposição p escreve-se p∼ e se lê: “não p ” ou “é falso que
p ”, ou “não é verdade que p ”; é a proposição que nega que se cumpra a proposição p .
Podemos resumir isto na seguinte tabela-verdade
p p∼
V F
F V
A negação de uma proposição não afirma que aconteça o contrário.
Exemplos
a) p : 12 é um número ímpar.
p∼ : Não é verdade que 12 é número ímpar.
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
12 b) p : Lima é a capital do Peru (V).
p∼ : Lima não é a capital do Peru (F).
p∼ : Não é verdade que Lima é a capital do Peru (F).
c) p : Maria é bonita.
p∼ : Não é verdade que Maria seja bonita.
A proposição p∼ não afirma que Maria seja feia, pois entre ser bonita ou feia existem
outras possibilidades.
Observação. Negar uma proposição p não é apenas afirmar algo diferente do que p afirma,
ou algo com valor lógico diferente. Por exemplo, a proposição
q : Salvador é a capital da Bahia (V)
não é a negação de
p : Brasília é a capital da Bahia (F).
Conjunção. Dadas as proposições p e q , a proposição p q∧ é verdadeira quando as duas
proposições forem verdadeiras, e é falsa se uma delas for falsa. Pode-se resumir o exposto
na tabela a seguir.
p q p q∧
V V V
V F F
F V F
F F F
A tabela acima prevê todas as possibilidades para o valor lógico de uma proposição
composta a partir dos valores lógicos das componentes e dos conectivos lógicos, é chamada
tabela-verdade da proposição composta. O conectivo lógico ∧ (“e”) traduz a idéia de
“simultaneidade”.
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
13 É conveniente diferenciar entre o “e” que usamos na determinação da conjunção p e q o
“e” na utilização da linguagem do dia a dia. O mesmo texto permitirá diferenciar um do
outro. Assim, por exemplo, quando se diz: “Seja a proposição p e q ” entende-se claramente
que o “e” está determinando sua função lógica; no outro caso quando se diz: “Sejam as
proposições p e q ” fazemos uso do “e” no sentido da linguagem do dia a dia.
Exemplos
a) : 2 5p < : 2 3 5q + =
Observe que ( )V p V= e ( )V q V= , logo, ( )V p q V∧ = .
b) :p π é um número irracional. :q 2 é ímpar .
Então, ( )V p V= e ( )V q F= , logo, ( )V p q F∧ = .
c) Consideremos : 2 8 5p + > e : 8 6q > , então, temos as quatro possibilidades
2 8 5+ > ∧ 8 6> V
2 8 5+ > ∧ 8 6≤ F
2 8 5+ ≤ ∧ 8 6> F
2 8 5+ ≤ ∧ 8 6≤ F
Disjunção. Dadas as proposições p e q a proposição p q∨ é verdadeira quando pelo menos
uma das proposições for verdadeira, e é falsa se as duas forem falsas. Resumindo, a tabela-
verdade é dada por
p q p q∨
V V V
V F V
F V V
F F F
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
14 Exemplos
a) :p 2 é ímpar. : 3 0q > .
Temos então que ( )V p q V∨ = .
b) : 4 7 11p + = : 15 3 12q − =
Então temos as quatro possibilidades
4 7 11+ = ∨ 15 3 12− = V
4 7 11+ = ∨ 15 3 12− ≠ V
4 7 11+ ≠ ∨ 15 3 12− = V
4 7 11+ ≠ ∨ 15 3 12− ≠ F
Observação. Na linguagem do dia-a-dia, a palavra “ou” tem dois sentidos:
1º. p : Mário é motorista ou professor.
2º. q : Carlos é gaúcho ou paulista.
Da proposição p podemos obter as proposições: “Mário é motorista”, assim como “Mário é
Professor”, podendo ser ambas verdadeiras então temos que “Mário é motorista e professor”.
Mas na proposição q , temos as proposições “Carlos é gaúcho”, e a outra, “Carlos é paulista”
sendo verdadeira somente uma delas que exclui o valor verdade da outra; não é possível
ocorrer “Carlos é gaúcho e paulista”.
Na proposição p , a disjunção é inclusiva; e, na proposição q a disjunção é exclusiva. O
símbolo “∨” ou “∨” indica o conectivo lógico exclusivo e sua tabela-verdade mostramos
abaixo
p q p q∨
V V F
V F V
F V V
F F F
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
15 Exemplos
a) João é baiano ou sergipano. (DE)
b) Canto ou assovio. (DE)
c) Maria é professora ou advogada. (DI)
Condicional. Dadas as proposições p e q , a proposição p q→ é falsa quando p é verdadeira
e q é falsa e é verdadeira nos demais casos. Resumindo, a tabela-verdade é dada por
p q p q→
V V V
V F F
F V V
F F V
Exemplos
a) :p 4 é ímpar.
:q 3 é par.
Então ( )V p q V→ = .
b) p : 3 2 5+ = e : 3 5q < , então temos as quatro possibilidades:
3 2 5+ = ∨ 3 5< V
3 2 5+ = ∨ 3 5≥ F
3 2 5+ ≠ ∨ 3 5< V
3 2 5+ ≠ ∨ 3 5≥ V
Observações
1) Notemos que, quando o valor lógico da proposição p é falso, temos que a
condicional é automaticamente verdadeira (não depende do valor lógico de q ). Isto se justifica
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
16 pelo fato de que se p é falsa, qualquer conclusão pode se tirar daí, verdadeira ou falsa. Por
exemplo,
Se supusermos que 1 2= , podemos concluir que 0 1= e também que 3 3= .
Em outras palavras, se p é falsa, tudo é válido como nos ditados populares:
“Se você é o dono da Coca-Cola então eu sou o rei da Inglaterra”.
Isto dá origem a proposições sem nexo, absurdas, tais como:
“Se 2 1= então a lua é de queijo”,
“Se a Terra é quadrada então 2 2 4+ = ”,
que apesar de serem verdadeiras, de acordo com a regra estabelecida, não tem nenhum
sentido prático.
2) Na proposição p q→ , a proposição p é chamada de antecedente (hipótese) e a
proposição q de conseqüente (tese).
3) As proposições condicionais são importantes na matemática, e tem várias maneiras
diferentes de enunciá-las, por exemplo, p q→ podemos entender como uma das seguintes
formas
p implica q .
p é condição suficiente para q .
Para que p é necessário que q .
q é condição necessária para p .
Se p , também q .
q cada vez que p .
q se p .
q sempre que p .
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
17 4) Uma condicional p q→ não afirma que o consequente se “deduz” do antecedente p , ou
seja, pode não haver uma relação intrínseca entre p e q . O que a condicional afirma é
unicamente a relação entre os valores lógicos de p e q , de acordo com a definição dada,
isto é, a condicional p q→ é uma operação, também chamada de “implicação material”.
Obviamente, na maioria dos casos, a Matemática vai estar interessada em condicionais
verdadeiras, que vão de fato significar que p “implica” q .
5) O exemplo a seguir pode nos ajudar a “justificar” o significado das condições
“necessária” e “suficiente”.
“Se o pássaro canta então está vivo”.
i) O pássaro cantar é condição suficiente para ele estar vivo, ou seja, é suficiente o pássaro
cantar para garantirmos que ele está vivo.
ii) O pássaro estar vivo é condição necessária para ele cantar, ou seja, é necessário que o
pássaro esteja vivo para que ele possa cantar.
Proposições associadas à condicional. Toda condicional está associada a outras três
proposições, elas são: a recíproca, a inversa (ou contrária) e a contra-recíproca (ou
contrapositiva). Suponha temos a proposição composta: p q→ , então também temos
i) Recíproca: q p→ .
ii) Inversa: p q→∼ ∼ .
iii) Contrapositiva: q p→∼ ∼ .
Exemplos
a) Dada a condicional: “Se 4 é par então 4 é divisível por 2”, temos
i) recíproca: “Se 4 é divisível por 2 então 4 é par”
ii) inversa: “Se 4 não é par então 4 não é divisível por 2”
iii) contrapositiva: “Se 4 não é divisível por 2 então 4 não é par”
b) Dada a condicional: “Se 3 é um número irracional então 2 3 é irracional”, temos
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
18 i) recíproca: “Se 2 3 é irracional então 3 é irracional”
ii) inversa:
iii) contrapositiva:
c) Se o número a termina em zero, então a é múltiplo de 2.
Temos p : a termina em zero e q : a é múltiplo de 2. A proposição é da forma p q→ .
Recíproca: Se a é múltiplo de 2, então a termina em zero.
Inversa: Se a não termina em zero, então a não é múltiplo de 2.
Contra-recíproca: Se a não é múltiplo de 2, então a não termina em zero.
Bicondicional. Dadas as proposições p e q a proposição p q↔ é verdadeira quando p e
q tiverem os mesmos valores lógicos e é falsa nos demais casos. Sua tabela-verdade é
dada por
p q p q↔
V V V
V F F
F V F
F F V
Exemplos
a) :p 3 é ímpar . :q 4 é divisível por 2.
Então ( )V p q V↔ = .
Observações
1) A bicondicional também pode ser interpretada como a conjunção de duas
condicionais: ( ) ( )p q q p→ ∧ → ;
2) A bicondicional também pode ser lida como
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
19 i) p é condição necessária e suficiente para q .
ii) q é condição necessária e suficiente para p .
As definições que não são puramente nominais são condições necessárias e suficientes. Por
exemplo, ABC é um triângulo retângulo se e somente se ABC têm um ângulo reto.
3) É muito comum nos livros de Matemática, definições dadas por uma condicional como, por
exemplo: um triângulo é retângulo se tem um ângulo reto. Entretanto, deve-se entender
que a definição é sempre uma bicondicional.
Construção de Tabelas-verdade de proposições compostas
Dadas várias proposições , , , ...p q r , podemos combiná-las pelos conectivos lógicos
, , , , ∧ ∨ → ↔∼ e construir proposições compostas.
Exemplos
a) ( , ) : ( )P p q p p q∧ →∼
b) ( , ) : ( )Q p r p r r→ ∨∼
c) ( ) ( )( , , ) : ( )R p r s p s r s p s→ ∧ ∨ ∧ →∼ ∼ ∼
Cada proposição simples p tem dois valores lógicos: V ou F , que se excluem. Daí, para n
proposições simples 1 2, , ..., np p p , há tantas possibilidades quantos são os arranjos n a
n , com repetição de 2 elementos (V e F ), isto é, 2, 2nnA = . Segue-se que o número de
linhas da tabela-verdade é 2n .
Construção de uma tabela–verdade. Suponha temos a construir a tabela-verdade para a
proposição ( )( , ) : P p q p q∨∼ ∼ . Vamos considerar o roteiro seguinte:
a) Primeiro, formamos o par de colunas correspondentes às duas proposições simples p e q ;
b) Em seguida forma-se a coluna para q∼ ;
c) Depois forma-se a coluna para p q∨ ∼ ;
d) E, finalmente, a coluna dos valores lógicos para ( )p q∨∼ ∼ .
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
20 Veja abaixo
p q q∼ p q∨ ∼ ( )p q∨∼ ∼
V V F V F
V F V V F
F V V F V
F F V V F
Exemplos
1 – Construa a tabela-verdade da proposição ( ) ( )( , ) :P p q p q p q∧ ∨ ↔∼ ∼ .
p q p q∧ p q↔ ( )p q∧∼ ( )p q↔∼ ( ) ( )p q p q∧ ∨ ↔∼ ∼
V V V V F F F
V F F F V V V
F V F F V V V
F F F V V F V
2 – Construa a tabela-verdade da proposição ( ) ( )( , ) :P p q p q p q∧ → ∨∼ ∼ ∼ .
p q p∼ q∼ p q∧ ∼ p q∨∼ ∼ ( ) ( )p q p q∧ → ∨∼ ∼ ∼
V V V
V F V
F V V
F F V
Os conectivos lógicos, do mesmo modo que servem para construir proposições compostas a
partir de proposições simples, também são utilizados para obter esquemas lógicos muito
mais complexos a partir de proposições compostas.
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
21 Observações sobre o uso de parêntesis. Para evitar ambiguidades, em geral, colocamos
parêntesis na simbologia das proposições compostas. Assim, por exemplo, a proposição
:P p q r∧ ∨ deve ser lida : ( )P p q r∧ ∨ , ou seja, na ordem de aparecimento dos conectivos.
Portanto, a supressão de parêntesis deve ocorrer por meio de convenções.
Em geral, ∼ é o conectivo de menor hierarquia, logo seguem ∨ e ∧ , esses conectivos tem a
mesma hierarquia; logo → é o de maior hierarquia. Porém, cada conectivo pode ter maior
hierarquia, quando o indica o parênteses de coleção. Dada uma proposição composta, os
valores-verdade desta proposição são os que correspondem aos valores do conectivo de maior
hierarquia presente na proposição.
Exemplos
a) A fórmula p q r p q∨ ∨ → →∼ ∼ deve ser entendida como:
( ) ( )( ) ( ) ( )p q r p q∨ ∨ → →∼ ∼
b) Se a lua é quadrada e a neve é branca então a lua não é quadrada.
Na linguagem simbólica escrevemos: p q p∧ →∼ .
c) A lua não é quadrada se, e somente se, a neve é branca.
Na linguagem simbólica escrevemos: p q↔∼ .
Tautologia. É toda proposição composta ( , , ,...)P p q r cujo valor lógico sempre é verdade (V),
quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples , , ,...p q r .
Exemplos
a) A proposição p p∨ ∼ é tautologia.
p p∼ p p∨ ∼
V F V
F V V
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
22 b) Determine a tabela-verdade para a seguinte proposição: ( )( , ) : ( )P p q p q q p∨ ∧ →∼ .
p q p q∨ q∼ ( )p q q∨ ∧ ∼ ( )( )p q q p∨ ∧ →∼
V V V F F V
V F V V V V
F V V F F V
F F F V F V
Contradição. É toda proposição composta ( , , ,...)P p q r cujo valor lógico sempre é falso (F),
quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples , , ,...p q r .
Concluímos, portanto, que ( , , ,...)P p q r é uma tautologia se, e somente se, ( , , ,...)P p q r∼ é
uma contradição.
Exemplos
a) A proposição p p∧ ∼ é uma contradição.
p p∼ p p∧ ∼
V F F
F V F
b) Determine a tabela-verdade para a proposição ( )( ) : ( )P p p p p∨ ↔∼ .
p p p∨ ( )p p p∨ ↔ ( )( )p p p∨ ↔∼
V V V F
F F V F
Contingência. É toda proposição composta que não é tautologia nem contradição. As
contingências também são chamadas de proposições contingentes ou proposições
indeterminadas.
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
23 Exemplo
a) Determine a tabela-verdade para a proposição ( )( , , ) : ( )P p q r p q r∧ ∧∼ ∼ .
p q r p q∧ r∼ ( ) ( )p q r∧ ∧ ∼ ( )( )p q r∧ ∧∼ ∼
V V V V F F V
V V F V V V F
V F V F F F V
V F F F V F V
F V V F F F V
F V F F V F V
F F V F F F V
F F F F V F V
Mais Exemplos – Construir a tabela verdade das seguintes proposições
a) ( ) ( )p q p q∧ ↔ ∨∼ ∼ ∼ (tautologia)
b) ( ) ( )p q p q∨ ∧ ∧∼ ∼ (contradição)
c) ( ) ( )p r q r∨ → ∧∼ ∼ (contingência)
3. EQUIVALÊNCIA LÓGICA
Equivalência. Dizemos que uma proposição P é logicamente equivalente (ou simplesmente
equivalente) a uma proposição Q se a bicondicional P Q↔ é tautológica.
Usamos a notação P Q⇔ par indicar que a proposição P é equivalente à proposição Q .
Pela definição temos que se duas proposições são equivalentes então as suas tabelas-
verdade são idênticas.
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
24 Observação. Os símbolos ↔ e ⇔ são distintos!
O símbolo ↔ indica uma operação lógica.
O símbolo ⇔ estabelece que P Q↔ é tautológica. Indica “relação” e não operação.
Exemplos
a) As proposições :P p p q→ ∧ e :Q p q→ são equivalentes.
Com efeito, observe a tabela-verdade.
p q p p q→ ∧ p q→
V V V V
V F F F
F V V V
F F V V
b) As proposições :R p q↔ e : ( ) ( )S p q q p→ ∧ → são equivalentes.
Observe a tabela-verdade.
p q p q↔ ( ) ( )p q q p→ ∧ →
V V V V
V F F F
F V F F
F F V V
c) Considere a proposição p q→ assim como sua recíproca q p→ , sua inversa p q→∼ ∼ e
sua contrapositiva q p→∼ ∼ .
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
25 p q p q→ q p→∼ ∼ q p→ p q→∼ ∼
V V V V V V
V F F F V V
F V V V F F
F F V V V V
Outros exemplos de proposições equivalentes
d) Se P e Q são ambas tautológicas ou ambas contradições então P Q⇔ .
e) ( ) p q p q∨ ⇔ ∧∼ ∼ ∼
f) ( ) p q p q∧ ⇔ ∨∼ ∼ ∼
g) ( ) p q p q→ ⇔ ∧∼ ∼
h) ( ) ( ) ( )p q p q q p↔ ⇔ ∧ ∨ ∧∼ ∼ ∼
Todas as equivalências exemplificadas podem ser demonstradas pela construção das tabelas-
verdade, ou utilizando o bom senso, em vários dos casos anteriores.
Por serem muito utilizadas em Matemática, destacamos as seguintes equivalências:
i) p q q p→ ⇔ →∼ ∼ .
A condicional e sua contrapositiva são equivalentes; nesta equivalência se baseia o método
de demonstração por absurdo.
ii) ( ) ( )p q p q q p↔ ⇔ → ∧ →
Exemplo – Mostre que: Se 2x é número ímpar, então x é número ímpar.
Podemos considerar a proposição :p 2x é número ímpar, e :q x é número ímpar. Então
temos que verificar a validade da proposição p q→ . Do fato de serem as proposições p q→
e p q→∼ ∼ logicamente equivalentes será suficiente mostrar que: Se x não é número
ímpar, então 2x não é número ímpar.
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
26 PROPRIEDADES DA EQUIVALÊNCIA LÓGICA
Reflexiva: P P⇔
Simétrica: Se P Q⇔ então Q P⇔
Transitiva: Se P Q⇔ e Q R⇔ então P R⇔
4. ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES (PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES)
1. Dupla Negação. ( )p p⇔∼ ∼
2. Propriedades da conjunção. Consideremos , , p q r proposições simples, então o conectivo
lógico da conjunção satisfaz as seguintes propriedades:
a) Idempotente: p p p∧ ⇔
b) Comutativa: p q q p∧ ⇔ ∧
c) Associativa: ( ) ( )p q r p q r∧ ∧ ⇔ ∧ ∧
d) Elemento neutro: p V p∧ ⇔
e) Elemento absorvente: p F F∧ ⇔
f) p p F∧ ⇔∼
3. Propriedades da disjunção. Sejam , , p q r proposições simples, então o conectivo lógico
da conjunção satisfaz as seguintes propriedades:
a) Idempotente: p p p∨ ⇔
b) Comutativa: p q q p∨ ⇔ ∨
c) Associativa: ( ) ( )p q r p q r∨ ∨ ⇔ ∨ ∨
d) Elemento neutro: p F p∨ ⇔
e) Elemento absorvente: p V V∨ ⇔
f) p p V∨ ⇔∼
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
27 Propriedades envolvendo conjunção e disjunção
4. Distributiva: ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
p q r p q p r
p q r p q p r
∧ ∨ ⇔ ∧ ∨ ∧
∨ ∧ ⇔ ∨ ∧ ∨
5. Absorção: ( )
( )
p p q p
p p q p
∧ ∨ ⇔
∨ ∧ ⇔
6. Leis de De Morgan: ( )
( )
p q p q
p q p q
∧ ⇔ ∨
∨ ⇔ ∧
∼ ∼ ∼
∼ ∼ ∼
7. Negação da condicional. ( ) p q p q→ ⇔ ∧∼ ∼
8. p q p q→ ⇔ ∨∼
9. p q q p→ ⇔ →∼ ∼
Observação sobre a condicional. A condicional p q→ não satisfaz as propriedades
idempotente, comutativa e associativa.
10. Negação da bicondicional. ( ) ( ) ( ) p q p q p q↔ ⇔ ∧ ∨ ∧∼ ∼ ∼
11. 5) ( ) ( )p q p q q p↔ ⇔ → ∧ →
Observações sobre a bicondicional
i. A bicondicional p q↔ não goza da propriedade idempotente, pois é óbvio que as
proposições p p↔ e p não são logicamente equivalentes.
ii. A bicondicional goza das propriedades associativa e comutativa.
Nota. Todas as equivalências continuam sendo válidas quando substituímos as
proposições simples por proposições compostas.
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
28 Exemplos
1 – Utilizando as propriedades das operações lógicas simplifique as seguintes proposições:
a) ( )p q q∧ ∨ ∼
( )
( ) ( )
( )
p q q
p q q q
p q V
p q
∧ ∨⇔ ∨ ∧ ∨⇔ ∨ ∧⇔ ∨
∼∼ ∼∼∼
b) ( ) ( )p p q p q⎡ ⎤ ⎡ ⎤∨ ∧ ∧ ∧⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∼
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
p p q p q
p p q
p p p q
F p q
p q
⎡ ⎤ ⎡ ⎤∨ ∧ ∧ ∧⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⇔ ∧ ∨
⇔ ∧ ∨ ∧⇔ ∨ ∧⇔ ∧
∼∼ ∼∼ ∼
∼∼
c) ( )p p q→ ∧∼ ∼
( )
( ) ( )
p p q
p p q
p p q
V q
V
→ ∧⇔ ∨ ∧⇔ ∨ ∨⇔ ∨⇔
∼ ∼∼ ∼ ∼∼ ∼∼
d) ( ) ( )p p q p q⎡ ⎤∨ → ∧ →⎢ ⎥⎣ ⎦∼
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
p p q p q
p p q p q
p p q q
p p F
p p
V
⎡ ⎤∨ → ∧ →⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⇔ ∨ ∨ ∧ ∨⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⇔ ∨ ∨ ∧⎢ ⎥⎣ ⎦
⇔ ∨ ∨⇔ ∨⇔
∼∼ ∼ ∼∼ ∼∼∼
2 – Mostre que p q p∧ → . Basta mostrar que p q p T∧ → ⇔ .
Demonstração. ( ) ( ) ( ) ( )p q p p q p p q p p p q⎡ ⎤ ⎡ ⎤∧ → ⇔ ∧ ∨ ⇔ ∨ ∨ ⇔ ∨ ∨⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∼ ∼ ∼ ∼ ∼
( )( ) p p q T q T⎡ ⎤∨ ∨ ⇔ ∨ ⇔⎢ ⎥⎣ ⎦∼ ∼ ∼ .
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
29 3 – Mostre que ( )p q p q F→ ⇔ ∧ →∼ .
Demonstração. ( ) ( ) p q F p q F p q p q p q∧ → ⇔ ∧ ∨ ⇔ ∧ ⇔ ∨ ⇔ →∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ .
4 – Mostrar que p q p q q→ ⇔ ∨ → .
5 – Mostre que a condicional ( )p q p q⎡ ⎤→ ∧ →⎢ ⎥⎣ ⎦ (modus ponens) é logicamente verdadeira.
Demonstração.
( ) p q p q⎡ ⎤→ ∧ → ⇔⎢ ⎥⎣ ⎦
( )p q p q⎡ ⎤⇔ ∨ ∧ →⎢ ⎥⎣ ⎦∼
( ) ( )p p q p q⎡ ⎤⇔ ∧ ∨ ∧ →⎢ ⎥⎣ ⎦∼
( )F q p q⎡ ⎤⇔ ∨ ∧ →⎢ ⎥⎣ ⎦
( ) q p q V⇔ ∧ → ⇔
6 – Este exemplo mostra como as equivalências são utilizadas nas demonstrações em
Matemática. Considere o seguinte
Teorema: Dadas três retas distintas , e r s t do plano, se r s e s t então r t .
Demonstração. Provaremos usando redução ao absurdo, isto é, e e r s s t r t F→ .
i) r t r t→ ∩ ≠ ∅
ii) r t∩ ≠ ∅ e r s e s t → r t= (axioma das paralelas)
iii) r t= é uma contradição, pois por hipótese as retas são distintas.
5. IMPLICAÇÃO LÓGICA
Implicação. Diz-se que uma proposição P implica logicamente (ou simplesmente, implica)
uma proposição Q , se Q é verdadeira sempre que P for verdadeira.
Indicamos a implicação lógica por P Q⇒ .
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
30 Como consequência imediata da definição temos que P Q⇒ significa que a condicional
P Q→ é tautológica, isto é, P Q V→ ⇔ .
De fato, pela definição, se temos que P Q⇒ , então não ocorre a situação ( )V P V=
e ( )V Q F= que é o único caso em que a condicional é falsa. Logo, P Q→ é uma tautologia.
Observação. Os símbolos ⇒ e → são distintos!
O símbolo → indica uma operação lógica.
O símbolo ⇒ indica que a condicional P Q→ é tautológica. É uma “relação” e não
operação.
Exemplos em tabela-verdade
1) Sejam : P p q∨∼ e :Q p q→ , temos que:
p q p q∨∼ p q→ P Q→
V V V V V
V F V
F V V V V
F F V V V
2) Mostre que a proposição : ( )P p p q→ ∧ implica logicamente à proposição :Q p q→ .
p q ( )p p q→ ∧ p q→ P Q→
V V V V V
V F V
F V V V V
F F V V V
3) Verifique se a proposição :R p q→ implica logicamente a proposição :S p q∨ ∼ .
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
31 p q p q→ p q∨ ∼ R S→
V V V V V
V F
F V V F F
F F V V V
Observe a terceira linha da tabela-verdade, a verdade de R não implica a verdade de S .
Portanto a proposição R , não implica logicamente a proposição S .
Para demonstrar uma implicação, P Q⇒ , podemos também utilizar o método dedutivo,
que neste caso consiste em mostrar que P Q V→ ⇔ .
Outros Exemplos
a) O pássaro canta ⇒ O pássaro está vivo.
b) x é par ⇒ 2x é par.
c) x é um número primo ⇒ 2x = ou x é ímpar.
d) p q p q∧ ⇒ ∨ .
e) Se 2 2x = então x ∉ .
f) ( ) ( )0 0x x y x y x≠ → = ∧ ≠ ⇒ = .
g) ( ) ( )4 4 x y x x x y= ∨ < ∧ ≥ ⇒ = .
Propriedades da implicação
Reflexiva: P P⇒
Transitiva: Se P Q⇒ e Q R⇒ então P R⇒ .
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
32 Regras de inferência (mais propriedades da implicação). Algumas implicações lógicas se
destacam por terem papel importante nas demonstrações matemáticas. Tais implicações
são chamadas de Regras de Inferência. Vejamos alguns exemplos
1) Regra da Adição (AD)
p p q
q p q
⇒ ∨⇒ ∨
2) Regra da Simplificação (SIMP)
p q p
p q q
∧ ⇒∧ ⇒
3) Regra do Modus Ponens (MP) ( ) p q p q→ ∧ ⇒
4) Regra do Modus Tollens (MT) ( ) p q q p→ ∧ ⇒∼ ∼
5) Regra do Silogismo Hipotético (SH) ( ) ( ) p q q r p r→ ∧ → ⇒ →
Exemplos
a)
b)
c)
6. ARGUMENTOS
Nosso objetivo agora é investigar os processos que serão aceitos como válidos na derivação de
uma proposição, chamada de conclusão, a partir de proposições dadas chamadas
premissas.
Argumento. Sejam 1 2, , ..., nP P P e Q proposições quaisquer. Chama-se argumento toda
afirmação de que as proposições 1 2, , ..., nP P P têm como consequência (ou acarretam)
uma proposição final Q .
1 2, , ..., nP P P são chamadas de premissas e Q de conclusão.
Indicaremos um argumento de premissas 1 2, , ..., nP P P e conclusão Q por:
1 2, , ..., nP P P Q
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
33 e se lê de uma das seguintes maneiras:
Q é conseqüência de 1 2, , ..., nP P P .
Q deduz-se de 1 2, , ..., nP P P .
Q infere-se de 1 2, , ..., nP P P .
1 2, , ..., nP P P implicam Q .
Nota. Um argumento que contém duas premissas é chamado de silogismo.
Exemplos de argumentos
a) 1 :P Se chove então fica nublado.
2 :P Choveu.
Conclusão: Está nublado.
b) 1 :P Se fizer sol então irei à praia.
2 :P Não fui à praia.
:Q Não fez sol.
c) 1 :P Se eu fosse cantora então seria artista.
2 :P Não sou cantora.
:Q Não sou artista.
d) 1 :P Todo professor de Matemática é licenciado em Matemática.
2 :P Todos os cursistas do PARFOR são professores de Matemática.
:Q Todos os cursistas são licenciados em Matemática.
Analisando os exemplos a), b) e d) acima, podemos observar que as conclusões são deduzidas
a partir das premissas assumindo a veracidade das mesmas, o mesmo não acontecendo com o
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
34 exemplo c). Note que uma conclusão pode ser deduzida a partir de sentenças falsas. Isto pode
conduzir a conclusões não necessariamente verdadeiras, como no Exemplo d) acima.
Argumento válido. Um argumento 1 2, , ..., nP P P Q diz-se válido se, e somente se, a
conclusão Q é verdadeira sempre que as premissas 1 2, , ..., nP P P forem todas verdadeiras.
Um argumento que não é válido diz-se um sofisma.
Teorema (Critério de validade de um argumento). Um argumento 1 2, , ..., nP P P Q é válido
⇔ 1 2 3 nP P P P Q∧ ∧ ∧ ∧ → é uma tautologia ⇔ 1 2 3 nP P P P Q∧ ∧ ∧ ∧ ⇒ .
Demonstração. As premissas 1 2, , ..., nP P P são todas verdadeiras se e somente se a
proposição 1 2 3 nP P P P∧ ∧ ∧ ∧ é verdadeira. Logo, o argumento 1 2, , ..., nP P P Q é válido
se e somente se a conclusão Q é verdadeira sempre que 1 2 3 nP P P P∧ ∧ ∧ ∧ é verdadeira,
ou seja, se e somente se a proposição 1 2 3 nP P P P∧ ∧ ∧ ∧ implica logicamente a conclusão
Q , o que é equivalente a afirmar que a condicional 1 2 3 nP P P P Q∧ ∧ ∧ ∧ → é tautológica.
Comentário. Dado um argumento 1 2, , ..., nP P P Q , chamamos 1 2 3 nP P P P Q∧ ∧ ∧ ∧ →
de condicional associada a este argumento.
Exemplos
a) 1 :P Se eu fosse cantora então seria artista.
2 :P Não sou cantora.
:Q Não sou artista.
O argumento 1 2, P P Q não é válido, pois podemos ter a situação ( )V Q F= com
1 2( )V P P V∧ = . De fato, Fernanda Montenegro é artista mas não é cantora.
“Tipos” de argumentos. Em todo argumento válido, não pode acontecer que, a partir de
premissas verdadeiras, inferir de modo correto e chegar a uma conclusão falsa. Podemos
resumir os possíveis “tipos” de argumentos em na tabela abaixo.
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
35 Premissa Conclusão Inferência Argumento
p q p q→
Falsa Falsa Verdadeira Verdadeiro inconsistente
Falsa Verdadeira Verdadeira Verdadeiro inconsistente
Verdadeira Falsa Falsa Falso (ilógico)
Verdadeira Verdadeira Verdadeira Verdadeiro consistente
Desse modo, o fato de um argumento ser verdadeiro não significa necessariamente que sua
conclusão seja verdadeira (V), pois pode ter partido de premissas falsas. Argumentos
consistentes obrigatoriamente chegam a conclusões verdadeiras.
Exemplos
b) Conclusão verdadeira.
Todo ser humano é mortal.
Pedro é humano.
Portanto, Pedro é mortal.
c) Conclusão falsa.
Toda ave voa.
O avestruz é ave.
Portanto, o avestruz voa.
d) Conclusão verdadeira.
Todo número com exatamente dois divisores é primo.
O número 4 não tem exatamente dois divisores.
Portanto, 4 não é primo.
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
36
e) Conclusão falsa.
Todo múltiplo de 4 é par.
O número 5 é múltiplo de 4.
Portanto, 5 é par.
7. MÉTODOS DE DETERMINAÇÃO DA VALIDADE DE UM ARGUMENTO
7.1 Tabela–verdade. Dado o argumento 1 2, , ..., nP P P Q a este argumento corresponde
a condicional 1 2 3 nP P P P Q∧ ∧ ∧ ∧ → chamada de condicional associada ao argumento
dado, cujo antecedente é a conjunção das premissas e o consequente é a conclusão. Para
testarmos a validade do argumento, pelo critério de validade, temos que verificar se a
condicional 1 2 3 nP P P P Q∧ ∧ ∧ ∧ → é tautológica. A tabela-verdade é, portanto, o método
mais geral para se testar a validade de um argumento.
Exemplos
a) 1 2 3, , P P P Q
1 :P João vai ao cinema ou vai ao clube.
2 :P Se João vai ao clube, então telefona.
3 :P João não telefonou.
:Q João foi ao cinema.
Consideremos: :p João vai ao cinema; :q João vai ao clube; :r João telefona.
O argumento reescrito em linguagem simbólica é dado por
1
2
3
:
:
:
:
P p q
P q r
P r
Q p
∨→
∼.
Construindo a tabela-verdade para este argumento, temos
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
37 p q r p q∨ q r→ r∼ ( ) ( ) ( )p q q r r∨ ∧ → ∧ ∼ ( ) ( ) ( )p q q r r p∨ ∧ → ∧ →∼
V V V V V F F V
V V F V F V F V
V F V V V F F V
V F F V V V V V
F V V V V F F V
F V F V F V F V
F F V F V F F V
F F F F V V F V
Usando o critério de validade verificamos, pela tabela-verdade, que a condicional
( ) ( ) ( )p q q r r p∨ ∧ → ∧ →∼ é tautológica. Logo, o argumento é válido.
b) 1 2, P P Q
1 :P Se eu fosse cantora então seria artista.
2 :P Não sou cantora.
:Q Não sou artista.
Consideremos: :p Sou cantora; :q Sou artista.
O argumento em linguagem simbólica: , p q p q→ ∼ ∼ .
Construindo a tabela-verdade da condicional ( ) ( )p q p q→ ∧ →∼ ∼ .
p q p q→ p∼ ( ) ( )p q p→ ∧ ∼ q∼ ( ) ( )p q p q→ ∧ →∼ ∼
V V V F F F V
V F F F F V V
F V V V V F F
F F V V V V V
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
38 Vemos pela tabela que a condicional não é tautológica, logo, a condicional é um sofisma!
Analisando a quarta linha da tabela verdade observamos que os valores lógicos ( )V p F= ,
( ) ( )V q V r V= = nos mostram a situação em que temos 1 2( )V P P V∧ = e ( )V Q F= . Isto
mostra a não-validade do argumento.
De uma maneira geral mostrar a não-validade de um argumento consiste em encontrar
uma atribuição de valores lógicos às proposições simples, componentes do argumento, que
torne todas as premissas verdadeiras e a conclusão falsa.
O método da tabela-verdade permite demonstrar ou testar a validade de qualquer argumento,
mas o seu emprego torna-se cada vez mais trabalhoso à medida que aumenta o número de
proposições simples componentes dos argumentos. Assim, vamos buscar outros métodos mais
eficientes para a análise da validade de um argumento.
7.2 Regras de Inferência. Neste método utilizamos as propriedades (regras) da implicação
lógica para analisar os argumentos.
1) Regra da Adição (AD)
p p q
q p q
∨∨
2) Regra da Simplificação (SIMP)
p q p
p q q
∧∧
3) Regra da Conjunção (CONJ) , p q p q∧
4) Regra do Modus Ponens (MP) , p q p q→
5) Regra do Modus Tollens (MT) , p q q p→ ∼ ∼
6) Regra do Silogismo Hipotético (SH) , p q q r p r→ → →
Pode-se enunciar mais regras ainda.
Na inferência, parte-se de uma ou mais proposições aceitas (premissas) para chegar a outras
novas. Se a inferência for válida (no sentido de ser tautológica), a nova proposição também
deve ser aceita. Posteriormente essa proposição poderá ser empregada em novas inferências.
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
39 Assim, inicialmente apenas podemos inferir algo a partir das premissas do argumento; ao
longo da argumentação, entretanto, o número de afirmações que podem ser utilizadas
aumenta.
Exemplos resolvidos – Utilize as Regras de Inferência para analisar a validade dos argumentos.
Argumento 1
1 :P Estudo.
2 :P Trabalho.
3 :P Se estudo e trabalho então não tiro férias.
:Q Não tiro férias.
Analisando as premissa por inferências
(1) p [premissa]
(2) q [premissa]
(3) p q r∧ → [premissa]
(4) p q∧ [de 1 e 2 por CONJ]
(5) r [de 3 e 4 por MP] ... Note que obtemos a conclusão.
Argumento 2: , ( ), ( ) p q p r s t r s t∧ → ∨ → ∧∼ ∼ ∼
(1) p q∧ [premissa]
(2) ( )p r s→ ∨ [premissa]
(3) ( )t r s→ ∧∼ ∼ ∼ [premissa]
(4) p [de 1 por SIMP]
(5) r s∨ [de 2 e 4 por MP]
(6) t [de 3 e 5 por MT]
Argumento 3: , ( ) ( ), , p p q r s s t q t q∨ → ∧ → →∼ ∼
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
40 (1) p [premissa]
(2) ( ) ( )p q r s∨ → ∧ [premissa]
(3) s t→∼ [premissa]
(4) q t→ [premissa]
(5) p q∨ [de 1 por AD]
(6) r s∧ [de 2 e 5 por MP]
(7) s [de 6 por SIMP]
(8) t∼ [de 3 e 7 por MP]
(9) q∼ [de 4 e 8 por MT]
Argumento 4: Considere (1) a (4) proposições que constituem um argumento
(1) x y x z= → = [premissa]
(2) 1x z x= → = [premissa]
(3) 0 1x x= → ≠ [premissa]
(4) x y= [premissa]
(5) x z= [de 1 e 4 por MP]
(6) 1x = [de 2 e 5 por MP]
(7) 0x ≠ [de 3 e 6 por MT]
Argumento 5: Provar que ( ) ( ) ( )A B C A B D C B D⎡ ⎤∧ → ∧ ∧ → ∨ ∧ →⎢ ⎥⎣ ⎦∼ .
(1) A [premissa]
(2) B C→ [premissa]
(3) ( ) ( )A B D C∧ → ∨ ∼ [premissa]
(4) B [premissa]
(5) A B∧ [de 1 e 4 por CONJ]
(6) C [de 2 e 4 por MP]
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
41 (7) D C∨ ∼ [de 3 e 5 por MP]
(8) ( )C∼ ∼ [de 6 por DN]
(9) D [de 7 e 8 por SD]
Regras de inferência aplicadas quando a conclusão é uma condicional. O que fizemos até
agora foram demonstrações de argumentos do tipo 1 2 3 nP P P P Q∧ ∧ ∧ ∧ → , onde
partimos das hipóteses 1 2 3, , ,..., nP P P P para deduzirmos a conclusão ou tese Q . Este
processo chama-se dedutivo, e fizemos demonstrações diretas que são aquelas que partem
diretamente das hipóteses para a tese. O método de dedução também pode ser estendido
para proposições do tipo ( )1 2 3 nP P P P Q R∧ ∧ ∧ ∧ → → , onde a conclusão é também um
condicional. Podemos simplesmente partir das hipóteses 1 2 3, , ,..., nP P P P para deduzir a tese
Q R→ , ou podemos de forma equivalente, incluir Q como uma das hipóteses, passando a
ser R a tese. Isto é possível, pois
( )1 2 3 1 2 3 n nP P P P Q R P P P P Q R∧ ∧ ∧ ∧ → → ⇔ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ →
Demonstração. Para facilitar a notação chamemos o conjunto das hipóteses
1 2 3 nP P P P∧ ∧ ∧ ∧ , simplesmente de P . Logo, queremos provar que
( ) P Q R P Q R→ → ⇔ ∧ → .
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) .
P Q R P Q R
P Q R
P Q R
P Q R
P Q R
→ → ⇔ ∨ →⇔ ∨ ∨
⇔ ∨ ∨⇔ ∧ ∨⇔ ∧ →
∼∼ ∼∼ ∼∼
Exemplos
Argumento 1: Provar R → ~P, dadas as hipóteses P → Q e R → ~Q. Neste caso, aplicando
a equivalência demonstrada acima, transformemos o teorema (P → Q) ∧ (R → ~Q) → (R
→ ~P) na sua forma equivalente (P → Q) ∧ (R → ~Q) ∧ R → ~P.
1. P → Q hip
2. R → ~Q hip
3. R hip
4. ~Q 2,3,mp
5. ~P 1,4,mt
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
42 Argumento 2 – Provar o silogismo hipotético: (P → Q) ∧ (Q → R) → (P → R).
1. P → Q hip
2. Q → R hip
3. P hip
4. Q 1,3,mp
5. R 2,4,mp
Argumento 3 – Provar que (~A → ~B) ∧ (A → C) → (B → C)
1. ~A → ~B hip
2. A → C hip
3. B hip
4. ~(~B) 3,dn
5. ~(~A) 1,4,mt
6. A 5,dn
7. C 2,6,mp
É claro que também podemos optar por considerarmos B → C a tese. Desta forma a prova
poderia ser:
1. ~A → ~B hip
2. A → C hip
3. B → A 1,cont
4. B → C 3,2,sh.
Argumento 4 – Provar que (~A ∨ B) ∧ (B → C) → (A → C).
1. ~A ∨ B hip
2. B → C hip
3. A hip
4. A → B 1,imp
5. B 3,4,mp
6. C 2,5,mp
ou
1. ~A ∨ B hip
2. B → C hip
3. A → B 1,imp
4. A → C 2,3,sh
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
43 7.3 Regras de inferência e equivalências. Neste método, utilizamos as regras de inferência
concomitante com as propriedades (ou regras) de equivalência para testar a validade de
argumentos .....
7.4 Demonstração Indireta. Um método utilizado para se mostrar a validade, ou não, de um
argumento 1 2, , ..., nP P P Q é o chamado método da demonstração indireta (ou
demonstração por absurdo) que consiste em negar a conclusão, isto é, supor ( )V Q V=∼ e
deduzir logicamente uma contradição qualquer, ou seja, a negação de alguma
premissa.
Este método está baseado na equivalência entre a condicional e a sua contrapositiva, isto é,
P Q Q P→ ⇔ →∼ ∼ . Assim,
1 2 3 nP P P P Q∧ ∧ ∧ ∧ → ⇔
( ) 1 2 3
Q P P P Pn
⇔ → ∧ ∧ ∧ ∧∼ ∼
1 2 3 nQ P P P P⇔ → ∨ ∨ ∨ ∨∼ ∼ ∼ ∼ ∼
Uma vez que as premissas são admitidas como verdadeiras, chegar à negação de uma delas é
uma contradição.
Exemplos – Use o método da demonstração indireta para analisar a validade dos
seguintes argumentos.
a) 1 2 3, , P P P Q
1 :P João vai ao cinema ou vai ao clube.
2 :P Se João vai ao clube, então telefona.
3 :P João não telefonou.
:Q João foi ao cinema.
Supondo que João não foi ao cinema, então por 1P ele vai ao clube. Segue de 2P que João
telefonou, o que contradiz 3P . Logo o argumento é válido. Esquematizando temos
:p João vai ao cinema; :q João vai ao clube; :r João telefona.
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
44 O argumento reescrito em linguagem simbólica:
1 :P p q∨
2 :P q r→
3 :P r∼
: Q p
Assumindo que ( ) ( )V Q V p F= = . De 1P temos que ( )V q V= .
Com este valor para q segue de 2P que ( )V r V= , o que contradiz 3P .
Logo, o argumento é válido.
b) 1 :P p q r→ ∨
2 :P p q∧
3 :P q r p∨ →
:Q p r∧
Suponhamos ( ) ( )V Q V p r F= ∧ = .
Temos duas alternativas: ( )V p F= ou ( )V r F= , que devemos analisar separadamente:
i) ( )V p F= . Neste caso temos uma contradição em 2P .
ii) ( )V r F= . Temos por 2P que ( ) ( )V p V q V= = .
Com estes valores temos 1 2 3( ) ( ) ( )V P V P V P V= = = e ( )V Q F= .
Então, podemos concluir que o argumento é um sofisma (não válido).
c) 1 :P p q∨∼ ∼
2 :P r s p∨ →
3 :P s q∨∼
4 :P r∼
: ( )Q r s∨∼
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
45 Suponhamos ( ) ( )( ) ( ) V Q V r s F V r s F= ∨ = ⇔ ∧ =∼ ∼ ∼ . Temos duas alternativas:
i) ( )V r V= . Este caso contradiz 4P .
ii) ( )V s V= . Daí, por 3P , ( )V q V= . Então ( )V q F= em 1P , o que contradiz 2P .
De i) e ii) podemos concluir que o argumento é válido.
d) 1 :P p q r→ ∨
2 :P r s↔
3 :P q p∨ ∼
:Q p q∧∼
Suponhamos ( )( )V Q V p q F= ∧ =∼ .
Temos duas alternativas: ( )V p V= ou ( )V q F= .
i) ( )V p V= . Temos que ( )V q V= , por 3P . Isto acarreta 1( )V P V= , independentemente do
valor de r . Basta atribuirmos os mesmos valores a r e s para obtermos 2( )V P V= . Temos
assim, valores lógicos para , , e p q r s tais que todas as premissas são verdadeiras e a
conclusão é falsa. Podemos, portanto, concluir que o argumento não é válido sem precisar
analisar a outra alternativa, ii) ( )V q F= .
Dos exemplos analisados podemos tirar as seguintes conclusões:
1) Para analisarmos a validade de um argumento pelo método da demonstração indireta,
negamos a conclusão. Se chegarmos à negação de uma das premissas então o
argumento é válido. Se conseguirmos valores lógicos para as proposições componentes que
tornam as premissas verdadeiras e a conclusão falsa então o argumento é um sofisma.
2) Quando a negação da conclusão Q nos leva a mais de uma alternativa para ser analisada,
temos que analisar todas para concluir que o argumento é válido. Se ao analisarmos uma das
alternativas encontramos valores que tornam as premissas verdadeiras e a conclusão falsa
já podemos garantir que o argumento é um sofisma e não precisamos analisar as outras
situações.
3) A prova da não validade de um argumento consiste em apresentar valores para as
proposições que tornem as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. É óbvio que toda vez
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
46 que for possível encontrar essa atribuição de valores sem utilizar tabela-verdade evita-se
um bom trabalho. O método da demonstração indireta nos permite chegar a esses valores.
8. SENTENÇAS ABERTAS
O cálculo proposicional é insuficiente para a Matemática. Considere os seguintes
exemplos:
a) Existe triângulo retângulo.
b) Quaisquer que sejam os pontos A e B , existe uma reta a tal que ,A B a∈ .
O teorema em a) é um teorema de existência, que tem um quantificador existencial e o
teorema em b) apresenta um quantificador universal. Por este motivo faz-se necessário o
estudo do cálculo de predicados (proposições quantificadas).
Há expressões às quais não podemos atribuir os valores lógicos “falso” ou “verdadeiro”,
por exemplo,
a) 1 0x + = .
b) 1x y− = .
c) 2 2 2 0x y z+ + = .
A depender do valor atribuído a x , y e a z em cada caso, as expressões acima passam a
ter um valor lógico V ou F , tornando-se proposições.
Sentença aberta (função proposicional). Chama-se sentença aberta (ou função proposicional)
com uma variável em um conjunto A , uma expressão que indicaremos por ( )p x , tal que ( )p a
é verdadeira ou falsa para todo elemento a A∈ .
O conjunto A é chamado de conjunto universo.
O conjunto dos elementos a A∈ tais que ( )p a é verdade é chamado de conjunto-verdade
da sentença aberta e indicaremos por
( ){ } ; ( )pV a A V p a V= ∈ = .
Exemplo – Determinar o conjunto-verdade das seguintes sentenças abertas nos conjuntos
indicados.
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
47 a) ( ) : 2 1 5p x x − = em .
b) 2( ) : 1 0p x x − = em .
c) ( ) : 3p x x > em { }1,0,1,2,3, 4,5,6,7A = − .
Sentença aberta múltipla. Chama-se sentença aberta (ou função proposicional) com n variáveis
em 1 2 nA A A× × × a expressão ( )1 2, ,..., nP x x x que é verdadeira ou falsa para toda n –upla
( )1 2, ,..., na a a em 1 2 nA A A× × × que é o conjunto universo. Assim, o conjunto verdade é dado
por
( ) ( )( ){ }1 2 1 2 1 2, ,..., ; , ,...,p n n nV a a a A A A V p a a a V= ∈ × × × =
Exemplos
a) ( , ) : 3p x y x y+ = em × . { }(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)pV = .
b) 2 2 2( , , ) : 0p x y z x y z+ + = em 3 . { }(0,0,0)pV = .
Operações Lógicas com sentenças abertas. As operações lógicas sobre proposições se
estendem naturalmente às sentenças abertas. Assim, dadas as sentenças abertas ( )p x e ( )q x
podemos obter novas sentenças como:
1) ( )p x∼
2) ( ) ( )p x q x∧
3) ( ) ( )p x q x∨
4) ( ) ( )p x q x→
5) ( ) ( )p x q x↔
Admite-se todas as regras e propriedades dos conectivos para estes casos.
Exemplos – Para cada uma das sentenças abertas, determine o conjunto verdade em
{ }1,0,1A = − .
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
48 1) ( ) : 1 1p x x + = , temos { }0pV = .
( ) : 1 1p x x + ≠∼ e { }1,1pV = −∼ .
Observe que p pV A V= −∼ .
Generalizando, se ( )p x é uma sentença aberta em A então p pV A V= −∼ .
2) ( ) ( ) : ( 1 1) ( 1)p x q x x x∧ + = ∧ ≥− , temos que { }0p qV ∧ = .
Generalizando, se ( )p x e ( )q x são sentenças abertas em A então p q p qV V V∧ = ∩ .
3) 2( ) ( ) : ( 1) ( 1 1)p x q x x x∨ = ∨ + = , temos { }1,0,1p qV ∨ = − .
Generalizando, se ( )p x e ( )q x são sentenças abertas em A então p q p qV V V∨ = ∪ .
4) ( ) ( ) : ( 1 ) ( 1 0)p x q x x A x→ + ∈ → + = .
Lembremos que p q p q→ ⇔ ∨∼ , logo { }1,1p qV → = − .
Generalizando, se ( )p x e ( )q x são sentenças abertas em A então p q p qV V V→∨ = ∪∼ .
5) ( ) ( ) : ( é par) ( 0)p x q x x x↔ ↔ ≥
Lembremos que ( ) ( )p q p q q p↔ ⇔ → ∧ → , assim { }1,0p qV ↔ = − .
Generalizando, se ( )p x e ( )q x são sentenças abertas em A então p q p q q pV V V↔ → →= ∩ .
9. QUANTIFICADORES
Podemos transformar sentenças abertas em proposições usando expressões como “para
todo”, “qualquer que seja”, “existe um”, etc.
Exemplos
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
49 1) Consideremos a sentença aberta ( ) : 1 1p x x + = . A partir desta sentença podemos
formar as seguintes proposições:
i) Existe x pertencente a ; 1 1x + = .
ii) Para todo x pertencente a , 1 1x + = .
2) Existex ∈ tal que x ∈ .
3) Para todo x ∈ , x ∈ .
4) Qualquer que seja o número natural ele é inteiro.
5) Existe um número primo par.
Notamos as expressões “qualquer que seja”, “existe”, “para todo”. Estas expressões são
chamadas de quantificadores.
É importante notar que uma sentença aberta com todas as variáveis quantificadas é uma
proposição, pois ela assume um dos valores lógicos F ou V .
Quantificador Universal. Seja ( )p x uma sentença aberta em um conjunto A e seja pV o
seu conjunto-verdade. Considere as seguintes proposições:
Qualquer que seja x A∈ , ( )p x , ou
Para todo x A∈ , ( )p x .
Simbolicamente, representamos , , ( )x x A p x∀ ∈ .
Se pV A= então a proposição , , ( )x x A p x∀ ∈ é verdadeira.
Se pV A≠ então a proposição , , ( )x x A p x∀ ∈ é falsa.
Em outras palavras, dada a sentença aberta ( )p x em A , o símbolo ∀ referido à variável x
representa uma operação lógica que transforma a sentença aberta ( )p x numa proposição. A
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
50 esta operação lógica dá-se o nome de quantificação universal e ao respectivo símbolo de
quantificador universal.
Exemplos
a) ; 0x x∀ ∈ ≥ .
b) , .x x∀ ∈ ∈
Quantificador existencial. Seja ( )p x uma sentença aberta em um conjunto A e seja pV o
seu conjunto-verdade. Considere a seguinte proposição
Existe x A∈ , ( )p x ou
Existe pelo menos um x A∈ , ( )p x .
Simbolicamente, escrevemos , , ( )x x A p x∃ ∈ .
Se pV ≠ ∅ então a proposição , , ( )x x A p x∃ ∈ é verdadeira.
Se pV = ∅ então a proposição , , ( )x x A p x∃ ∈ é falsa.
Em outras palavras, dada a sentença aberta ( )p x em A , o símbolo ∃ referido à variável x
representa uma operação lógica que transforma a sentença aberta ( )p x numa proposição. A
esta operação lógica dá-se o nome de quantificação existencial e ao respectivo símbolo de
quantificador existencial.
Exemplos
a) ; 1 3x x∃ ∈ + < .
b) ; 2 1 0x x∃ ∈ + = .
Negação de proposições com quantificadores. Os quantificadores existencial e universal
podem ser precedidos do símbolo de negação (∼ ). Por exemplo,
negar a proposição “Todo número primo é ímpar”
é afirmar “Nem todo número primo é ímpar”
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
51 ou afirmar “Existe um número primo que não é ímpar”.
Simbolicamente: ( ) primo, é ímpar primo, não é ímpar.x x x x∀ ⇔ ∃∼
De uma maneira geral temos:
i. ( ) ; ( ) ; ( )x p x x p x∀ ⇔ ∃∼ ∼ .
ii. ( ) ; ( ) ; ( )x p x x p x∃ ⇔ ∀∼ ∼ .
Exemplos – Determine a negação das seguintes proposições:
a) 2 ; 1x x∀ ∈ = .
b) 2 ; 1x x∃ ∈ ≠ .
c) ; é par 2x A x x∃ ∈ → ≠
Nota. Mostrar que uma proposição do tipo “ ; ( )x A p x∀ ∈ ” é falsa é mostrar que
“ ( )0 0 ; ( )x A V p x F∃ ∈ = ”. Um elemento 0x de A que satisfaz a condição anterior é dito
um contra-exemplo.
Exemplos de contra-exemplos
a) 2 ; 0x x∀ ∈ > .
b)
Quantificação múltipla. Toda sentença aberta com n variáveis precedidas de n quantificadores
(um para cada variável) torna-se uma proposição.
Exemplos
1) ( , ) : 1p x y x y+ = em 2 . (sentença aberta em duas variáveis)
; ; 1x y x y∃ ∈ ∃ ∈ + = é uma proposição.
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
52
2) Considere o conjunto { }1,2,3A = . Determine o valor lógico de cada uma das seguintes
proposições.
a) ; ; 0x A y A x y∃ ∈ ∃ ∈ + = .
b) ; ; 0x A y A x y∀ ∈ ∀ ∈ + ≥ .
c) ; ; x A y A x y A∃ ∈ ∃ ∈ − ∈ .
3) Seja 1,0A ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ e { }1,0,1B = − . Determine o valor lógico de cada uma das seguintes
proposições.
a) , , x A y B x y∀ ∈ ∃ ∈ > .
b) ; ; 1x A y B x y∀ ∈ ∀ ∈ ≤ + .
c) 2, , x A y B y x∃ ∈ ∀ ∈ ≥ .
d) , , 1x A y A x y∃ ∈ ∃ ∈ + = − .
Negação com quantificação múltipla
Lembrando que
( ) ; ( ) ; ( )x p x x p x∀ ⇔ ∃∼ ∼ e ( ) ; ( ) ; ( )x p x x p x∃ ⇔ ∀∼ ∼ .
Temos
i) ( )( )( ) ; ( , ) ( )( ) ; ( , )x y p x y x y p x y∀ ∃ ⇔ ∃ ∀∼ ∼ .
ii) ( )( )( ) ; ( , ) ( )( ) ; ( , )x y p x y x y p x y∀ ∀ ⇔ ∃ ∃∼ ∼ .
iii) ( )( )( ) ; ( , ) ( )( ) ; ( , )x y p x y x y p x y∃ ∃ ⇔ ∀ ∀∼ ∼ .
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
53 Comutatividade dos quantificadores
A) Os quantificadores de espécies diferentes, em geral, não podem ser comutados.
Exemplo – ( , ) :p x y y x> , ,x y ∈ . Temos
a) ( ),( ), x y y x∀ ∃ > . (V)
b) ( ),( ), y x y x∃ ∀ > . (F)
B) Quantificadores de mesma espécie podem ser comutados, ou seja,
( ),( ), ( , ) ( ),( ), ( , )x y p x y y x p x y∃ ∃ ⇔ ∃ ∃ .
( ),( ), ( , ) ( ),( ), ( , )x y p x y y x p x y∀ ∀ ⇔ ∀ ∀ .
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
54 EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM E FIXAÇÃO – LÓGICA MATEMÁTICA
1 – Das frases seguintes, assinale quais são proposições, atribuindo-lhes o valor lógico
correspondente:
a) Brasil e Argentina.
b) Brasil foi campeão mundial de futebol em 1982.
c) As diagonais de todo paralelogramo são de comprimentos iguais.
d) O triplo de 6.
e) Que horas são?
f) Todo quadrado é um retângulo.
g) 2 2 2( )a b a b+ = + .
h) 2 5− <− .
j) sen sen2
x xπ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
.
k) Quadrados e triângulos.
l) 5, 0 e 5− são raízes da equação 3 25 0x x+ = .
m) 21 3 5 9 (2 1)n n+ + + + + − = .
n) Todo triângulo é um polígono.
2 – Considere as proposições : .p Está frio e : .q Está chovendo Traduza para linguagem
corrente as seguintes proposições:
a) p∼ b) p q∧ c) p q∨
d) p q↔ e) p q→∼ f) p q∨ ∼
g) p q∧∼ ∼ h) p q↔∼ i) ( )p q p∧ →∼
j) p q↔∼ ∼ k) p q↔∼ ∼ l) ( ) ( )p q q p∨ ↔ ∧∼ ∼
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
55 3 – Considere as proposições
: .p A Terra é um planeta : .q A Terra gira em torno do Sol
Traduza para linguagem simbólica as seguintes proposições:
a) Não é verdade: que a Terra é um planeta ou gira em torno do Sol.
b) Se a Terra é um planeta então a Terra gira em torno do Sol.
c) É falso que a Terra é um planeta ou que não gira em torno do Sol.
d) A Terra gira em torno do Sol se, e somente se, a Terra não é um planeta.
e) A Terra não é nem um planeta e nem gira em torno do Sol.
(Expressões da forma “não é nem p e nem q ” devem ser vistas como “não p e não q ”)
4 – Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições matemáticas:
a) Se 0x > então 3y = .
b) Se 6x y+ = então 0z < .
c) Se 6x = ou 5x = , então 2 11 30 0x x− + = .
d) Se 2 11 30 0x x− + = então 6x = ou 5x = .
e) Se 5z > então 1x ≠ e 2x ≠ .
f) Se 4y = e x y< então 5x < .
5 – Construa a tabela-verdade para cada uma das seguintes proposições:
a) ( )p q∧∼
b) p q∨∼ ∼
c) p q q∧ ∧ ∼
6 – Verificar se cada expressão representa: tautologia, contradição ou contingência.
a) p p q→ ∧∼
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
56 b) ( ) ( ) ( )p q q r p r→ → → → →
c) ( )p p q∧ ∨∼
d) ( )p p q→ ∨∼
7 – Escrever a negação das seguintes proposições numa sentença o mais simples possível:
a) Ele é alto, porém elegante.
b) Se as ações caem aumenta o desemprego.
c) Nem Luis nem João são ricos.
d) Ele tem cabelos louros se e somente se tiver olhos azuis.
e) Se Lucas é rico, então João e Maria são ambos felizes.
f) A condição suficiente para ser um bom matemático é saber lógica.
8 – Dada a condicional “Se p é primo então, 2p = ou p é impar.”. Determinar
a) a contrapositiva;
b) a contrária (inversa);
c) a recíproca;
d) a contrária da recíproca;
e) a recíproca da contrária.
9 – Sem utilizar tabelas verdade mostre as seguintes equivalências:
a) p p p→ ⇔∼ b) ( ) p p q p∨ ∧ ⇔
c) ( ) p p q p∧ ∨ ⇔ d) ( ) p q q p q→ → ⇔ ∨
e) ( ) ( ) ( ) p q p r p q r→ ∧ → ⇔ → ∧ f) ( ) ( ) p q r p q r→ ∨ ⇔ ∧ →∼
10 – Resolva os problemas:
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
57 a) Supondo ( )V p q r s F∧ ↔ ∨ = e ( )V r s V∧ =∼ ∼ , determine ( )V p r s→ ∧ .
b) Sabe-se que ( )( )V p q r V∧ ∨ = e ( )V p r q F∨ → = , obtenha ( ), ( ) e ( )V p V q V r .
c) Dado que ( )V p q V→ = , determine ( )V p r q r∧ → ∧ e ( )V p r q r∨ → ∨ .
d)
e)
11 – Utilize as propriedades das operações lógicas e equivalências para simplificar as
seguintes proposições:
a) ( )p q p∨ ∧ ∼
b) ( ) ( )p q p q→ ∧ →∼
c) ( ) ( )p p q p q∧ → ∧ →∼
d) ( ) ( )p p q p q q∧ ∨ → ∨ ∧
e) ( ) ( ) ( )p q p q p q⎡ ⎤→ ∧ ∧ ∨ ∨⎢ ⎥⎣ ⎦∼ ∼ ∼
f) ( )p p p q⎡ ⎤→ ∨ ∨⎢ ⎥⎣ ⎦∼ ∼ ∼
g) ( ) ( )p p q p q⎡ ⎤∨ ∧ ∧ ∧⎢ ⎥⎣ ⎦ ∼
h) ( ) ( ) ( )p q r p p q p p r⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∧ ∨ ∨ ∧ ∧ ∨ ∧ ∧⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∼ ∼ ∼ ∼ ∼
i) ( )p q→∼ ∼ ∼
j) ( )p p q→ ∧∼ ∼
k) ( ) ( )p q p q∨ ∨ ∧∼ ∼
l) ( )p q∨∼ ∼ ∼
12 – Utilize as regras de inferências (e equivalências) para verificar a validade dos
argumentos:
a) lkmef
b) mçre
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
58 c) sdfgwq
d) 2 2 21 1, 1 ( 1 0), ( 1 0 2) ( 1 0),
1 0 2
x x x x x x x x x
x x
≠ ∧ = ≠ → = ∨ < + = → >− → ≠ ∧ </+ = >−
∼
13 – Verifique a validade ou não dos seguintes argumentos utilizando o método indireto
(contradição):
a) , p q r q p r∨ ∨ ∼ →∼ ∼ ∼
b) , ( ) p q p r s q s∨ ∨ ∧ →∼ ∼
c) ( ), , ( )p q r q p s r p s→ ∨ → → ∼ ∧∼ ∼
d) ( ) ( ), ( ), , p q s r p t s r t q→ ∨ → ↔ ∨∼ ∼ ∼ ∼
e) , , p q r s p s q r→ → ∨ ∨
f) ( ), ( ) ( ), p q p q r s s r r∧ ∧ → ∧ →∼ ∼ ∼
g) ( ) , ( ), ( ) , p q r r s t s t u u p q→ → → ∨ → → →∼
h) 6 , ( 5 6), 5 x x y y x y x y x y= → > > ∧ ≠ >/ → > >∼
14 – Sendo { }1,2,3A = , determine o valor lógico de cada uma das seguintes proposições:
a) ( )( )2 6 0x A x x∃ ∈ + − =
b) ( )2 ; 3 1 0x A x x∃ ∈ + + =∼
c) 2 ; ( 6)y A y y∃ ∈ ∼ + =
d) 2 ; 3 1x A x x∀ ∈ + ≠
e) ( )2 ; 6x A x x∀ ∈ + =∼
15 – Determine a negação das proposições:
a) ( ) ( ) ; ( ) ; ( )x A p x x A q x∀ ∈ ∧ ∃ ∈
b) ( ) ( ), ( ) , ( )x A p x x A q x∃ ∈ ∨ ∀ ∈∼ ∼
c) ( ) ( ) ; ( ) ; ( )x A p x x A q x∃ ∈ → ∀ ∈ ∼
PARTE I – LÓGICA MATEMÁTICA
59 d) Existem pessoas inteligentes que não sabem nem escrever.
e) Toda pessoa culta é sábia se e somente se for inteligente.
f) Qualquer que seja a pessoa, é necessário ser pobre para ser feliz.
16 – Seja { }1,2,3,...,9,10A = , determine o valor lógico de cada uma das seguintes
proposições:
a) ( )( )( )14x A y A x y∀ ∈ ∃ ∈ + =
b) ( )( )( )14x A y A x y∀ ∈ ∀ ∈ + <
c) ( )( )( )( 14x A y A x y∃ ∈ ∃ ∈ + >
d) ( )( )( )14x A y A x y∀ ∈ ∀ ∈ + =
17 – Seja { }1,2,3A = e 1,1B ⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦ , determine o valor lógico das seguintes proposições:
a) 2, , 1x A y A x y∃ ∈ ∀ ∈ < +
b) , ; 1x A y B y x∀ ∈ ∀ ∈ ≤ −
c) 2, ;
3x A y B x y∃ ∈ ∃ ∈ − =
d) , ; 0y
x A y Bx
∀ ∈ ∃ ∈ =
e) , ; x A y B y x∃ ∈ ∀ ∈ <
f) , ; x A y B x y∀ ∈ ∀ ∈ ≥
18 – Escreva a negação das seguintes proposições:
a) ( )( )( )( ) ( )x y p x q y∀ ∃ ∨
b) ( )( )( )( ) ( )y x p x q y∃ ∃ ∧ ∼
c) ( )( )( )( , ) ( , )x y p x y q x y∀ ∃ →
d) ( )( )( )( , ) ( , )x y p x y q x y∀ ∀ ↔
APENDICE – RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS E REFERENCIAS
1
APÊNDICE
SUGESTÕES E RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
PARTE I – ELEMENTOS DE LÓGICA MATEMÁTICA
1)
b) Proposição Falsa
c) Proposição Falsa
f) Proposição Verdadeira
h) Proposição Falsa
n) Proposição Verdadeira
Os outros itens não são proposições.
2)
a) Não está frio.
b) Está frio e chovendo.
c) Está frio ou chovendo.
d) Está frio se e somente se estiver chovendo.
e) Se está frio então não está chovendo.
f) Está frio ou não está chovendo.
g) Não está frio e não está chovendo.
h) Está frio se e somente se não está chovendo.
i) Se está frio e não chove, então está frio.
j) Não está frio se e somente se não está chovendo.
l) idem j)
l) Está frio ou não chove se, e somente se, está chovendo e não está frio.
APENDICE – RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS E REFERENCIAS
2
3)
a) ( )p q∨∼
b) p q→
c) ( )p q∨∼ ∼
d) q p↔∼
e) p q∧∼ ∼
4)
a) 0 3x y> → =
b) 6 0x y z+ = → <
c) 2( 6 5) ( 11 30 0)x x x x= ∨ = → − + =
d) 2( 11 30 0) ( 6 5)x x x x− + = → = ∨ =
e) 5 ( 1 2)z x x> → ≠ ∧ ≠
f) ( 4 ) 5y x y x= ∧ < → <
5)
a) Ele não é alto ou não é elegante.
b) As ações caem e não aumenta o desemprego.
c) Luis ou João não são ricos.
d) Ele tem cabelos louros e não tem olhos azuis ou ele não tem cabelos louros e tem
olhos azuis.
e) Lucas é rico e João não é feliz ou Maria não é feliz.
f) Sabe lógica e não é bom matemático.
6)
a) Se 2p ≠ e p é par então p não é primo.
b) Se p não é primo então, 2p ≠ e p é par.
c) Se 2p = ou p é impar então p é primo.
APENDICE – RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS E REFERENCIAS
3
d) Se 2p ≠ e p é par então p não é primo.
e) Se 2p ≠ e p é par então p não é primo.
7)
a) Supondo ( )V p q r s F∧ ↔ ∨ = (1) e ( )V r s V∧ =∼ ∼ (2). De (2) temos que
( ) ( )V r V s F= = . Usando estes resultados em (1) obtemos: ( ) ( )V p V q V= = . Assim,
( )V p r s F→ ∧ = .
b) Supondo ( )V p q r V⎡ ⎤∧ ∨ =⎢ ⎥⎣ ⎦ (1) e ( )V p r q F∨ → = (2). De (1) concluímos que ( )V p V=
e ( )V q r V∨ = e de (2) temos que ( )V q F= , logo ( )V r V= .
c) Sabendo que ( )V p q V→ = , determine ( )V p r q r∧ → ∧ e ( )V p r q r∨ → ∨ .
Vamos supor ( )V p r q r F∧ → ∧ = . Temos assim que ( )V p r V∧ = e ( )V q r F∧ = , o que
nos permite concluir que ( ) ( )V p V r V= = e ( )V q F= , o que contradiz ( )V p q V→ = . Logo,
( )V p r q r V∧ → ∧ = .
Analogamente, pode-se mostrar que ( )V p r q r V∨ → ∨ = .
8)
a) ( ) ( ) ( ) ( )p q p p p q p F q p q p∨ ∧ ⇔ ∧ ∨ ∧ ⇔ ∨ ∧ ⇔ ∧∼ ∼ ∼ ∼ ∼
( ) ( )
( ) ( ) ( )
b) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
p q p q p q p q p q p p q q
p p p q q p q q F p q q p q
p q q q p q q p q
⎡ ⎤ ⎡ ⎤→ ∧ → ⇔ ∨ ∧ ∨ ⇔ ∨ ∧ ∨ ∨ ∧⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⇔ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ⇔ ∨ ∧ ∨ ∧ ∨⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⇔ ∧ ∨ ∨ ∧ ⇔ ∨ ∧ ⇔
∼ ∼ ∼ ∼∼ ∼ ∼
∼ ∼
( ) ( )c) ( ) ( ) ( )
( )
p p q p q p p q p q p p q q
p p F p p F
⎡ ⎤∧ → ∧ → ⇔ ∧ ∨ ∧ ∨ ⇔ ∧ ∨ ∧ ⇔⎢ ⎥⎣ ⎦∧ ∨ ⇔ ∧ ⇔
∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼∼ ∼
d) ( ) ( )p p q p q q p q∧ ∨ → ∨ ∧ ⇔ →
e) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
p q p q p q p q p q p q
p q p q q p q p V F q F
⎡ ⎤ ⎡ ⎤→ ∧ ∧ ∨ ∨ ⇔ ∧ ∧ ∧ ∨ ∧⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤⇔ ∧ ∧ ∧ ∨ ⇔ ∧ ∧ ∧ ⇔ ∧ ⇔⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼
f) ( ) ( ) ( ) ( )p p p q p p p q p p q V p q p q⎡ ⎤ ⎡ ⎤→ ∨ ∨ ⇔ ∨ ∨ ∨ ⇔ ∨ ∧ ⇔ ∧ ∨ ⇔ ∨⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼
9)
a) Válido. Sugestão: use o método indireto, ou seja, suponha ( )V p r F→ =∼ ∼ e
obtenha a falsidade em uma das premissas.
APENDICE – RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS E REFERENCIAS
4
b) Válido. Sugestão: use o método indireto, ou seja, suponha ( )V q s F→ = e obtenha a
falsidade em uma das premissas.
c) Válido. Pelo método indireto, temos que ( )V p s F⎡ ⎤∼ ∧ =⎢ ⎥⎣ ⎦ que é equivalente a
( )V p s V∧ = .
d) Não válido (sofisma). Se fizermos ( )V q F= , ( )V r V= , ( )V t F= , ( )V p V= e
( ) ou V s V F= , teremos a conclusão falsa com todas as premissas verdadeiras.
e) Não válido (sofisma). Fazendo ( ) ( ) ( )V p V q V r F= = = e ( )V s V= , todas as
premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa, o que configura argumento não válido.
f) Não válido (sofisma). Basta fazer ( )V p V= e ( ) ( ) ( )V q V s V r F= = = e teremos
todas as premissas verdadeiras com a conclusão falsa.
g) Não válido (sofisma). Com ( )V p q F→ = , ( ) ( ) ( )V r V u V s t V= = → = temos a
conclusão falsa com todas as premissas verdadeiras.
h) Válido, pelo método indireto.
i) Válido. Utilizando as regras de inferência (abaixo).
(1) 21 1x x≠ ∧ = [premissa]
(2) 21 ( 1 0)x x x≠ → = ∨ < [premissa]
(3) 2( 1 0 2) ( 1 0)x x x x+ = → >− → ≠ ∧ </∼ [premissa]
(4) 1 0x + = [premissa]
(5) 1x ≠ [de 1 por SIMP]
(6) 2 1 0x x= ∨ < [de 2 e 5 por MP]
(7) ( ) ( )21 0 2 1 0x x x x+ = → >− → = ∨ <∼ ∼ [equivalência em 3]
(8) 1 0 2x x+ = → >− [de 6 e 7 por MT]
(9) 2x >− [de 4 e 8 por MP]
10) Todos os ítens tem valor lógico Verdade.
11)
a) ( ) ( ) ; ( ) ; ( )x A p x x A q x∃ ∈ ∨ ∀ ∈∼ ∼
APENDICE – RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS E REFERENCIAS
5
b) ( ) ( ), ( ) , ( )x A p x x A q x∀ ∈ ∧ ∃ ∈
c) ( ) ( ) ; ( ) ; ( )x A p x x A q x∃ ∈ ∧ ∃ ∈
d) Todas as pessoas inteligentes sabem ler ou escrever.
e) Existem pessoas cultas sábias e não inteligentes ou pessoas cultas não sábias ou
inteligentes.
f) Podemos “ver” a frase como “qualquer que seja a pessoas, se é feliz então é pobre”.
Cuja a negação é “Existe pessoa feliz que não é pobre”.
12)
a) Falsa. Contra-exemplo: para 2x A= ∈ , y A/∃ ∈ tal que 14x y+ = .
b) Falsa. Contra-exemplo: 10x y A= = ∈ .
c) Verdade.
d) Falsa.
13) a) F b) F c) V d) V e) V f) V
14)
a) ( )( )( )( ) ( )x y p x q y∃ ∀ ∧∼ ∼
b) ( )( )( )( ) ( )y x p x q y∀ ∀ ∨∼
c) ( )( ) ( , ) ( , )x y p x y q x y⎡ ⎤∃ ∀ ∧⎢ ⎥⎣ ⎦∼
d) ( )( ){ }( , ) ( , ) ( , ) ( , )x y p x y q x y p x y q x y⎡ ⎤ ⎡ ⎤∃ ∃ ∧ ∨ ∧⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∼ ∼
Parte II – Conjuntos
Parte III – Conjunto dos Números Reais
Parte IV – Relações e uma definição de Função
APENDICE – RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS E REFERENCIAS
6
REFERÊNCIAS
Parte I – Lógica Matemática
[1] ALENCAR FILHO, Edgard. Iniciação à Lógica Matemática. Editora Nobel, 1984.
[2] DAGHLIAN, Jacob. Lógica e Álgebra de Boole, 3ª. edição. São Paulo, Atlas, 1990.
[3] IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar – conjuntos e funções, vol 1.
Atual, 2005.
[4] MACHADO, Nilson José. Lógica? é Lógico! – Coleção Vivendo a Matemática.
Scipinoe, 2000.
[5] LIPSCHUTZ, Seymour. Teoria dos Conjuntos – Coleção Schaum. McGraw–Hill,
1972.
[6] MACHADO, Nilson José & CUNHA, Marisa Ortega. Lógica e linguagem cotidiana –
Coleção Tendências em Educação Matemática. Autêntica Editora, 2005.
[7] CRUZ, Angela & MOURA, José Eduardo. A Lógica na Construção dos Argumentos
– Notas em de Matemática Aplicada 14. SBMAC, 2004.
[8] CARNIELLI, Walter A. & EPSTEIN, Richard L. Computabilidade, funções
computáveis, lógica e os fundamentos da Matemática. São Paulo – Editora UNESP,
2006.
[9] FOSSA, John. Introdução às Técnicas de Demonstração em Matemática. Editora
Livraria da Física, 2009.
[10] CARAÇA, Bento. Conceitos Fundamentais da Matemática, 4ª. edição. Editora
Gradiva, Lisboa, 2002.
[11] COURANT, R e ROBBINS, H. O que é a Matemática? Editora Ciência Moderna,
Rio de Janeiro, 2000 (tradução do original What is Mathematics? 1969).
[12] STEWART, Ian. Mania de Matemática: diversão e jogos de Lógica matemática. Rio
de Janeiro, Jorge Zahar editora, 2005.
Parte II e IV – Conjuntos e Relações
APENDICE – RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS E REFERENCIAS
7
[1] LIPSCHUTZ, Seymour. Teoria dos Conjuntos – Coleção Schaum. McGraw–Hill,
1972.
[2] LIMA, Elon L. A Matemática do Ensino Médio, volume 1. SBM, 2000.
[3] IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar – conjuntos e funções, vol 1.
Atual, 2005.
[4] HALMOS, Paul. Teoria Ingênua dos Conjuntos – Coleção Clássicos da Matemática.
Livro de 1960 reeditado pela Ciência Moderna, 2001.
[5] LIMA, Elon L. Meu professor de matemática e outras histórias. Coleção do professor
de matemática. SBM, 1991.
[6] CARAÇA, Bento. Conceitos Fundamentais da Matemática. 4a edição, Gradiva,
Lisboa, 2002.
[7] CARNIELLI, Walter A. & EPSTEIN, Richard L. Computabilidade, funções
computáveis, lógica e os fundamentos da Matemática. São Paulo – Editora UNESP,
2006.
[8] COURANT, R e ROBBINS, H. O que é a Matemática?. Ed. Ciência Moderna, Rio
de Janeiro, 2000 (tradução do original What is Mathematics? 1969).
Parte III – Conjunto dos Números Reais (ou Números e Conjuntos Numéricos)
[1] LIMA, Elon Lages. A Matemática do Ensino Médio, volume 1. SBM, 2000.
[2] RIPOLL, Jaime B., RIPOLL, Cydara C. e SILVEIRA, José Francisco P. Números
Racionais, Reais e Complexos. Editora UFRGS, 2006.
[3] LIMA, Elon L. Análise Real, vol 1 – Coleção Matemática Universitária. Rio de
Janeiro, IMPA, 1997.
[4] AVILA, Geraldo. Análise Matemática para Licenciatura. Edgard Blücher, 2006.
[5] MILIES, Cesar P. & COELHO, Sonia P. Números: uma introdução à Matemática.
EdUSP, 2001.
[6] DOMINGUES, Hygino H. Fundamentos de Aritmética. Atual Editora, 1991.
APENDICE – RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS E REFERENCIAS
8
[7] FERNANDES, Ângela Maria V. [et al.]. Fundamentos de Álgebra. Editora UFMG,
2005.
[8] NIVEN, Ivan. Números Racionais e Irracionais. SBM, 1984.
[9] FIGUEIREDO, Djairo G. Números irracionais e transcendentes. Coleção iniciação
cientifica. SBM, 2002.
[10] MENDES, Iran Abreu. Números: o simbólico e o racional na história. São Paulo,
Editora Livraria da Física, 2006.
[11] CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos Fundamentais da Matemática, 4a edição,
Gradiva, Lisboa, 2002.
[12] COURANT, R e ROBBINS, H. O que é a Matemática?. Ed. Ciência Moderna, Rio
de Janeiro, 2000 (tradução do original What is Mathematics? 1969).
Artigos e revistas
[1] Geraldo Ávila. Cantor e a Teoria dos Conjuntos. RPM, número 43, páginas 6–14,
2000.
[2] Christian Q. Pinedo. História da Teoria dos conjuntos. Monografias em Ensino da
Matemática vol. 1(2002), No. 01, pp. 139-150. IFBA (Pato Branco, PR).
[3] Irineu Bicudo. Peri apodeixeos/de demonstratione. In Educação Matemática:
pesquisa e movimento, Maria Aparecida V. Bicudo e Marcelo C. Borba
(organizadores). São Paulo, Cortez editora, 2004.
[4] Ana Catarina P. Hellmeister. Lógica através de exemplos: vamos usar a RPM?.
RPM, número 47, páginas 32–37, 2001.
[5] Iaci Malta. Linguagem, leitura e Matemática in Disciplinas Matemáticas em cursos
superiores: reflexões, relatos, propostas. Helena Noronha Cury (organizadora).
EDPUCRS, Porto Alegre, 2004.
[6] As diferentes faces do infinito – Edição especial, Cientific American Brasil, n° 15.
[7] RPM – Revista do Professor de Matemática, diversos números, SBM.
[8] Desvendando os números reais. Cristina Cerri, USP.
APENDICE – RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS E REFERENCIAS
9
[9] A construção dos números reais nos ensinos fundamental e médio. Cydara C. Ripoll,
UFRGS.
[10] João Carlos Sampaio e Pedro Luiz Malagutti. Mágicas, Matemáticas e outros
Mistérios – III Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática - UFGO
Divulgação e História da Matemática
[1] EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Unicamp, 2002.
[2] IFRAH, Georges. Os números – a história de uma grande invenção, 2ª edição. Globo,
1989.
[3] BOYER, Carl B. História da matemática, 2ª. Edição. Edgard Blücher, 1998.
[4] GUNDLACH, Bernard H. Tópicos de história da matemática para uso em sala de
aula: Números e numerais e Computação. Atual editora, 1998.
[5] MAOR, Eli. e : a história de um número. Record, 2003.
[6] AABOE, Asger. Episódios da história antiga da matemática. SBM, 2002.
[7] KAPLAN, Robert. O nada que existe – uma história natural do zero. Editora Rocco,
2001.
[8] ACZEL, Amir O. O Mistério de Aleph – A Matemática, a cabala e a procura pelo
infinito. Rio de Janeiro, Editora Globo, 2003.
[9] GARBI, Gilberto G. A Rainha das Ciências – um passeio histórico pelo maravilhoso
mundo da Matemática. São Paulo, Editora Livraria da Física, 2006.
[10] NETZ, Reviel & NOEL, William. Códex Arquimedes – como um livro de orações
revelou a genialidade de um dos maiores cientistas da antiguidade. Rio de Janeiro,
Record, 2009.