Post on 18-Apr-2015
Jornadas de Aplicações da Matemática, ISEL, Out. 98
Analogia entre Sinais e Vectores
31
2
z 3
g 3
1
32
31 1+ a 32 2
Isabel Milho e Fernando SousaCCISEL, ISEL
DEEC, ISEL
16-10-1998 Analogia entre Sinais e Vectores
Introdução
Espaços Vectoriais (operações e relações)Espaços de Sinais (def. produto interno)Aplicações
Série de Fourier / Transformada de Fourier DCT em compressão de imagem Descritores de Fourier em imagem (contornos) Desenho de sistemas de comunicação digital ...
16-10-1998 Analogia entre Sinais e Vectores
Espaços Vectoriais
Operações e relações produto interno, norma, ortogonalidade, teorema de Pitágoras, desigualdade de Schwarz’s, base ortonormada, procedimento de Gram-Schmidt
vu,
v
0, vu222
wvwv
wvwv ,
K
kkkv
1
31
2
z 3
g 3
1
32
31 1+ a 32 2
16-10-1998 Analogia entre Sinais e Vectores
Espaços de Sinais
Produto Interno medida de semelhança entre 2 sinais
Norma (Energia ou Potência): ou
dttwtvwv )()(, *
2
2
* )()(1
lim,T
TT
dttwtvT
wv
Sinais de Energia
Sinais de Potência
vEv 2
vPv 2
16-10-1998 Analogia entre Sinais e Vectores
Série de Fourier
Base ortonormada de sinais sinais de potência periódicos em T0
0
2
)( T
tkj
kkk
kk etv
0
0
2
0
)(1
,T
T
tkj
kk dtetvT
v
|V ( nf 0 )| = | k |
ff0
arg [ V ( nf 0 )] = arg [ k]
f-180º
180º
Coeficientes da Série de Fourier
16-10-1998 Analogia entre Sinais e Vectores
Transformada de Fourier
Sinais de energia
dfefVdfffVtv tfj
2)()()()(
dtetvfvfV tfj 2)()(,)(
|V ( f )|
ff0
arg [ V ( f )]
f-180º
180º
Transformada de Fourier
16-10-1998 Analogia entre Sinais e Vectores
Transformadas DiscretasDFT e DCT
Transformadas discretas de sinais 1D e 2D Representação do sinal original - base de
funções/imagens Filtragem, compressão de dados, extracção de
características e outras aplicações
DFT e DCT (Discrete Fourier/Cosine Transform) Implementação em O(Nlog2N) operações com o
algoritmo FFT (Fast Fourier Transform)
16-10-1998 Analogia entre Sinais e Vectores
DFT-Discrete Fourier Transform
1,...,1,0,)(1
)(1
0
NnWkvN
nuN
k
knN
1,...,1,0,)()(1
0
NkWnukv knN
N
n
N
j
N eW2
DFT
IDFT
com
16-10-1998 Analogia entre Sinais e Vectores
DCT-Discrete Cosine Transform
1,...,1,0,2
)12(cos)()()(
1
0
NnN
knkvknu
N
k
1,...,1,0,2
)12(cos)()()(
1
0
NkN
knnukkv
N
n
1,...,2,1,2
)(,1
)0( NkcomN
kN
DCT
IDCT
com
16-10-1998 Analogia entre Sinais e Vectores
0 50 100 150 2000
1
2
3
4
5
6
0 50 100 150 2000
10
20
30
40
50
60
70
80
Linha de uma imagem digital com 256 níveis de cinzento
0 50 100 150 2000
0.2
0.4
0.6
0.8
1Linha da imagem digital
DFT DCT
16-10-1998 Analogia entre Sinais e Vectores
FFT2shift da Imagem Original
50 100 150 200 250 300
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0
2
4
6
8
10
Compressão de imagem usando a DCT
DCT2 da Imagem Original
50 100 150 200 250 300
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
FFT2 da Imagem Original
50 100 150 200 250 300
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0
2
4
6
8
10
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Compressão de imagem usando a DCT (cont.)
original
final
T
T1compressão deTaxa
Imagem Original Taxa de compressão = 75% Taxa de compressão = 93,75%
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Representação de contornos com Descritores de Fourier
Representação do contorno definido pelos pontos (x,y) tal que:
10,)(1
)(21
0
NnekaN
nu N
nkjN
k
10,)()(21
0
Nkenuka N
nkjN
n
1,...,1,0),(j)()( Nnnynxnu
y
x
Descritores de Fourier - FD (Fourier Descriptors)
16-10-1998 Analogia entre Sinais e Vectores
Representação de contornos com Descritores de Fourier (cont.)
0 5 10 15 20 25 30-50
0
50
100
150
200
250
300
0 5 10 15 20 25 30-50
0
50
100
150
200
250
Contornooriginal
Reconstrução com apenas 9 FD'sReconstrução com os FD’s quantizados em 25 níveis
FD’s (Parte Real)
FD’s (Parte Imaginária)
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Desenho de Sistemas de Comunicação Digital
s iCodificador
Codificadorde Linha
Detector Descodificadorm i
w (t) ruído branco gaussiano
s i(t) x mFonte
Transmissor Receptor
x (t)
2
1
x
xx
M={m1, m2, m3, m4}
2
1
i
i
s
sis
2
1
)()(j
jiji tsts base ortonormada
16-10-1998 Analogia entre Sinais e Vectores
Detector óptimo
1(t)
x 1T
dt0
N (t)
xNT
dt0
2(t)
x2T
dt0x (t)
...
Detector Descodificador
w (t) ruído branco gaussiano
s i(t) x m
Receptor
x (t)
Banco de Correladores
Nx
x
x
2
1
x
16-10-1998 Analogia entre Sinais e Vectores
ksx, Produto interno-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Descodificador óptimo
erros=[2 1 3 2]media(erros)=2percentagem=2%
Detector Descodificador
w (t) ruído branco gaussiano
s i(t) x m
Receptor
x (t)
Regra de decisão óptima:
ikmP
mm
kk
i
para )|(max
seˆ
x
ikEsx
mm
k
N
jkjj
k
i
para 2
1max
seˆ
1
2min k
ksx
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Outras aplicações
Desenho do filtro óptimo para detecção de pulsos na presença de ruído
Interpretação dos valores de um sinal amostrado, como coordenadas da projecção do sinal sobre uma base ortonormada de funções sinc
Funções de correlação - sua interpretação como funções de produtos internos (deslizantes).
…
16-10-1998 Analogia entre Sinais e Vectores
Conclusões
Ferramenta “Analogia entre Sinais e Vectores” simples (operações e relações vectoriais) facilita a compreensão de algumas operações em
processamento de sinais reduz a complexidade do problema
Aplicações: filtragem, compressão de dados, extracção de características, desenho de sistemas comunicação digital e outras.