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Universidade do Minho2006

Investigação OperacionalJosé António Oliveira – zan@dps.uminho.pt

Investigação OperacionalAnálise de Sensibilidade, Formulação Dual

(Mestrado)

Engenharia Industrial

http://dps.uminho.pt/pessoais/zan

Universidade do Minho - Escola de EngenhariaDepartamento de Produção e Sistemas

Análise de Sensibilidade• Uma das tarefas mais delicadas no desenvolvimento prático dos modelos de PL respeita à obtenção de estimativas credíveis para os parâmetros envolvidos (elementos da matriz A, aij os termos independentes das restrições, bi, e coeficientes da função objectivo, cj), isto porque raramente são conhecidos com exactidão;

• Trabalha-se com estimativas ou previsões, cujos valores são supostos constantes ao longo do período em análise.

• Só excepcionalmente esta situação se verifica, éimportante conhecer o comportamento da solução óptima do problema face à variação nalgum ou nalguns dos seus parâmetros.

Análise de Sensibilidade• Em muitas situações a prática da PL traduz-se pela existência de um modelo que sistematicamente (semanal ou mensalmente, por exemplo) é utilizado na determinação da solução óptima, mas cuja formalização, no essencial, se mantém, apenas havendo que «corrigir» alguns dos seus parâmetros, situação que, convenientemente explorada, evita geralmente a resolução a partir do início.

• Sucede também, por vezes, que por erro de formalização ou por ocorrência de novas situações se torna necessário introduzir novas restrições ou novas actividades.

Análise de Sensibilidade• Outras vezes a solução do problema não permite detectar a existência de estrangulamento nos recursos; nestes casos, revela-se de interesse um tipo de análise que evidencie possíveis soluções técnico-económicas tendentes ao desbloqueamento destas situações (por exemplo novos investimentos, políticas de marketing, etc).

• Convém ainda referir o interesse que reveste para o decisor o conhecimento de soluções que não sendo o óptimo do problema formalizado, representam possíveis soluções para o problema real, permitindo, além disso, uma visão mais ampla das consequências da decisão.

Análise de Sensibilidade• Finalmente, como a modelização de problemas económicos exige, em geral, muitas hipóteses simplificadoras e como a interdependência destes fenómenos é muito forte, alguns dos parâmetros, como por exemplo restrições de natureza governamental, podem ser alterados (ou manipulados, como sucede com alguns instrumentos de política económica), o que sópor si pode criar imensas dificuldades e constantes inadequações dos modelos existentes.

• Todas estas razões mostram o interesse e a importância dum tipo de análise que incorpore no modelo a «incerteza» com que a realidade se manifesta, permitindo ao mesmo tempo uma visão mais alargada do espectro de soluções quando ocorrem alterações do tipo indicado.

Análise de Sensibilidade• 1. Análise de pós-optimização, em que é abordado o impacto na

solução óptima de alterações discretas nos parâmetros do modelo — alterações dos coeficientes da FO, dos termos independentes, dos coeficientes da matriz, introdução de novas variáveis e introdução de novas restrições;

• 2. Análise de sensibilidade, cuja preocupação se centra na determinação de intervalos de variação para os parâmetros que não envolvam alteração da estrutura da solução óptima já encontrada; na secção respectiva será feita a análise de sensibilidade a todos os parâmetros do modelo tomados isoladamente;

• 3. Parametrização, cujo objectivo é estudar os efeitos na solução óptima do modelo perante variações contínuas de alguns dos seus parâmetros; neste caso a análise recairá apenas sobre os coeficientes da FO e termos independentes das restrições.

Análise de Sensibilidade• O (só) conhecimento da Solução Óptima de um Problema de Programação Linear é algo limitado.

• É importante conhecer o efeito de variações tanto nos coeficientes das restrições (coeficientes tecnológicos) como no valor dos coeficientes da Função Objectivo.

• Qual o domínio possível de variação dos coeficientes do problema sem que haja alteração das variáveis que constituem a base no Quadro Óptimo.

• Iremos usar a representação matricial

Análise de Sensibilidade• Considere-se o seguinte Quadro Inicial

A =1 1 1 1 1 0 01 4 2 2 0 1 02 3 6 1 0 0 1

b =358090

c = 5 4 6 −8 0 0 0 z = 0

1 34 0 5

432 0 − 1

4 0 54 − 1

2 1 − 14

0 14 1 − 1

4 − 12 0 1

Análise de Sensibilidade•O respectivo Quadro Óptimo

0 54 0 51

492 0 1

• Variações nos Coeficientes da Função Objectivo– variáveis básicas

1 34 0 5

432 0 − 1

4 0 54 − 1

2 1 − 14

0 14 1 − 1

4 − 12 0 1

Análise de Sensibilidade

0 54 0 51

492 0 1

c = H 5 4 6 −8 0 0 0 Lc = H p 4 6 −8 0 0 0 L

−52 +

3 p4 13

2 +5 p4

−3 +3 p2 3

2 −p4

30 1 + p

CB = H p 0 6 L

Análise de Sensibilidade• Variações nos Coeficientes da Função Objectivo

– variáveis básicas c = H 5 4 6 −8 0 0 0 Lc = H p 4 6 −8 0 0 0 L

5 3 10- 02 4 3

13 5 2602 4 5

33 0 22

3 0 62 4

+ ≥ ⇒ ≥

+ ≥ ⇒ ≥ −

− + ≥ ⇒ ≥

− ≥ ⇒ ≤

10 ,63

• Variações nos Coeficientes da Função Objectivo– variáveis não básicas

1 34 0 5

432 0 − 1

4 0 54 − 1

2 1 − 14

0 14 1 − 1

4 − 12 0 1

Análise de Sensibilidade

0 54 0 51

492 0 1

c = H 5 4 6 −8 0 0 0 Lc = H 5 p 6 −8 0 0 0 L

214 − p

Análise de Sensibilidade• Variações nos Coeficientes da Função Objectivo

– variáveis não básicas

21 2104 4

p p− ≥ ⇒ ≤

c = H 5 4 6 −8 0 0 0 Lc = H 5 p 6 −8 0 0 0 L

p ∈ −∞

21 50 44 4

p p− ≥ ⇒ ≤ +5,44

p ∈ −∞ +

0 54 0 51

492 0 1

Análise de Sensibilidade• Variações nos Coeficientes da Função Objectivo• Decréscimo em cj para xj não-básico ou pequeno aumento em cj para xj básico

– Qualquer destas situações não altera a selecção de Variáveis Básicas no quadro da Solução Óptima.

– Um decréscimo em cj para xj não-básico torna xj ainda menos atractivo para pertencer à base.

– Um pequeno aumento em cj para xj básico reforça o interesse da localização dessa variável na base do quadro da Solução Óptima.

– Um grande aumento cj para xj básico pode, contudo, implicar a libertação de recursos de outras actividades, para uma especialização na actividade tornada mais atractiva do ponto de vista da contribuição para a Função Objectivo.

Análise de Sensibilidade• Variações nos Coeficientes da Função Objectivo• Aumento em cj para xj não-básico

– O aumento máximo que o coeficiente na Função Objectivode uma Variável Não-Básica pode ter é dado pelo valor do coeficiente inscrito na Linha da Função Objectivo do Quadro Óptimo.

c = 5 4 6 −8 0 0 00 5

4 0 514

92 0 1

4preço sombra: qual o significado?

Análise de Sensibilidade• Variações nas Disponibilidades das Restrições

1 34 0 5

432 0 − 1

4 0 54 − 1

2 1 − 14

0 14 1 − 1

4 − 12 0 1

0 54 0 51

492 0 1

b =p8090

b =358090

32 H−15 + pL115 − p

245 − p2

9 H5 + pL2

( )3 15 0 152

115 0 1152

45 0 452

− + ≥ ⇒ ≥

−≥ ⇒ ≤

b =p8090

b =358090

] [15,45p∈

Análise de Sensibilidade•Variações nas Disponibilidades das Restrições• Variação da disponibilidade bj quando a Variável de Folga relativa a uma condição não está na base

– Neste caso, pode-se afirmar que a Solução permanece Válida enquanto bj no Quadro Final for maior ou igual a zero

1 34 0 5

432 0 − 1

4 0 54 − 1

2 1 − 14

0 14 1 − 1

4 − 12 0 1

0 54 0 51

492 0 1

b =358090

b =35p90

−40 + p

40 0 40p p− + ≥ ⇒ ≥

b =358090

] [40,p∈ +∞

b =35p90

Análise de Sensibilidade•Variações nas Disponibilidades das Restrições• Aumento da disponibilidade bj quando a Variável de Folga relativa a uma condição está na base

– Uma Variável de Folga Básica significa que o recurso representado pela condição não é escasso. Aumentar a disponibilidade desse recurso implica, apenas, aumentar de igual quantidade o valor da Variável de Folga na Base.

• Decréscimo da disponibilidade bj quando a Variável de Folga relativa a uma condição está na base

– Desde que o decréscimo na disponibilidade não exceda o valor da Variável de Folga na base, o Quadro Óptimo mantém-se válido. Verifica-se, apenas, um decréscimo correspondente no valor da Variável de Folga.

Análise de Sensibilidade•Alteração de coeficientes da matriz A, aij

– coeficiente de uma variável não-básica• Se coeficiente pertence a linha de variável de folga, então não altera a solução óptima;

• Se coeficiente pertence a restrição de variável de decisão, é necessário estabelecer valores de intervalo.

A =ik 1 1 1 1 1 0 01 4 2 2 0 1 02 3 6 1 0 0 1

ik 1 1 1 p 1 0 01 4 2 2 0 1 02 3 6 1 0 0 1

y{ik1 3

4 0 − 14 + 3p

232 0 − 1

4 0 74 − p

2 − 12 1 − 1

4 1 14 − p

2 − 12 0 1

y{I 0 5

4 0 34 H11 + 6 pL 9

2 0 14 M

Análise de Sensibilidade•Alteração de coeficientes da matriz A, aij

– coeficiente de uma variável básica• A alteração é global no quadro por força da matriz B-1

que é alterada.• A alteração poderá implicar que a solução deixe de ser óptima e ou válida. Pode implicar a utilização do simplexprimal (optimização) ou do simplex dual (validação) e simplex primal.

Análise de Sensibilidade•Introdução de uma variável• A introdução de uma nova variável, xn+1 no problema éuma situação que pode ser contemplada de forma particularmente simples.

• Com efeito, tal significa a passagem ao novo problema de que a solução óptima do problema anterior constitui,, uma solução admissível com xn+1 como variável não básica, logo nula (xn+1=0).

• Podemos processar a nova coluna e verificar se se trata de uma coluna atractiva. Nesse caso, aplica-se o algoritmo primal do simplex introduzindo o vector Pn+1na base.

Análise de Sensibilidade•Introdução de uma restrição• Após se ter obtido a solução óptima do problema, pretende neste caso responder-se à questão de como incorporar uma nova restrição no modelo.

• É importante notar que a introdução de uma nova restrição não altera o gradiente da FO, mas pode restringir o conjunto das soluções admissíveis, K, do problema original.

• Nestas condições, pode concluir-se que o valor assumido pela FO na solução óptima do novo problema nunca serásuperior ao valor correspondente do problema original.

Análise de Sensibilidade•Introdução de uma restrição• Assim, o primeiro passo consiste em verificar se a solução óptima já obtida satisfaz a nova restrição. Em caso afirmativo, aquela solução permanece óptima para o novo problema e o processo termina; caso contrário, há que determinar a nova solução óptima.

– Incluir a nova restrição, uma nova variável de folga, validar o quadro simplex;

• Se estiver em causa a introdução de mais do que uma restrição, ou de uma restrição que altere significativamente o conjunto das soluções admissíveis do problema original, pode ser mais eficiente aplicar directamente o método do simplex ao novo problema.

• Definindo o Problema DUAL como sendo o problema da determinação de W=(w1,w2,...,wm) que maximiza (problema de máximo)

Problema DUAL• Definindo o Problema

Primal como sendo o problema da determinação de X=(x1,x2,...,xn) que minimiza (problema de mínimo)

f CXs aAX bX

≥≥

g Wbs aWA CW

≤≥

• Problema DUAL

Problema DUAL• Problema Primal

10 9: 5 4 200

4 6 2302 1 70, 0

Max x xsa x x

x xx x

++ ≤+ ≤+ ≤≥

200 230 70. : 5 4 2 10

4 6 1 9, , 0

Min w w ws a w w w

w w ww w w

+ ++ + ≥+ + ≥

( )( )( )

Construção dual

Construção dual ( )( )

O Dual do Dual é o Primal

Problema DUAL• Teorema I - Qualquer solução para o Problema

Primal (Dual) constitui um limite para o Valor Óptimo do Problema Dual (Primal)

Problema DUAL

Problema DUAL• Teorema II - O valor da Solução Óptima para o

Problema Primal, se existir, é igual ao valor da Solução Óptima para o Problema Dual.

Problema DUAL• Teorema III (da Folga Complementar )• Sejam xj*, para j=1,2,...,n e yi* para i=1,2,...,m

Soluções Válidas, respectivamente para o Problema Primal e para o Problema Dual.

• Estas Soluções só serão Óptimas se:

Problema DUAL• Teorema da Folga Complementar

– Nestas equações, os termos entre parêntesis representam Folgas, respectivamente nas condições do Primal e do Dual.

– O Teorema afirma, portanto, que sempre que exista Folga numa restrição de um dos problemas, a variável correspondente no outro problema tem valor nulo.

Problema DUAL• Teorema IV - Se para algum dos problemas

existir solução não limitada, então o outro não possui soluções admissíveis

Problema DUAL

• Solução óptima

Problema DUAL• VARIÁVEIS PRINCIPAIS• produção mensal de 160 secretárias, x1*=160;• produção mensal de 60 estantes, x2* =60.• VARIÁVEIS FOLGA• 160 horas-máquina não utilizadas mensalmente no

Departamento de Estampagem, x3*=160;• capacidade esgotada no Departamento de Montagem e

Acabamento, x4*=0;• esgotado o mercado potencial de secretárias, x5*=0.• FUNÇÃO OBJECTIVO• margem bruta de 1140 x 1O3 esc. por mês

Problema DUAL• Dual

• O que significa este problema?• Análise Económica

Problema DUAL• Qual o significado das variáveis principais u1, u2 e u3? • E as variáveis desvio terão algum significado económico?• Considere-se, em primeiro lugar, a primeira restrição

• O valor do segundo membro 6, representa a margem bruta unitária das secretárias; os coeficientes das variáveis duais, 2, 4 e 1, são as horas-máquina, horas-homem e unidade, relativas aos dois departamentos e ao mercado, respectivamente.

• Então, como os dois membros da restrição são expressos necessariamente na mesma unidade, as variáveis principais do dual, u1, u2 e u3, devem ser entendidas como valorizações unitárias a imputar a cada recurso;

• o primeiro membro da restrição pode interpretar-se como sendo a valor (dos recursos) a imputar à produção de uma secretária, e a restrição indica que esta valorização não deve ser inferior àrespectiva margem bruta unitária.

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