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Profº Dr Carlos Alberto (Caio) DantasProfº Dr Luiz Renato G. FontesProf Dr Victor Hugo Lachos DavilaProf Fernando Brito SoaresProf. Claudio Jordão et al.Prof David Lavine et al.Prof Isnard Martins

INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE

Conteúdo:

Análise e Elaboração de ProjetosApresentação – Prof Dr Isnard Martins

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Experimento

Designaremos por Experimento todo processo que fornece dados:

•Pode ser a observação de um fenômeno natural:

1.observação astronômica

2.meteorológica

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Experimento Aleatório ou Fenômeno AleatórioSituações ou acontecimentos cujos resultados não podem ser previstos com certeza.

Exemplos:• Condições climáticas do próximo domingo;• Taxa de inflação do próximo mês;• Resultado ao lançar um dado ou moeda;• Tempo de duração de uma lâmpada.

Espaço Amostral (O)Conjunto de todos os possíveis resultado de um experimento aleatório ou fenômeno aleatório.

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• observação de um experimento controlado para testar a fadiga de materiais

• verificar o resultado de um exame de sangue etc.

• pesquisa de opinião para saber quantos estudantes fumam na Universidade

• quantos eleitores tem intenção de votar num candidato A em uma eleição

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Exemplos:

1. Lançamento de um dado. ? O={1,2,3,4,5,6}2. Tipo sanguíneo de um individuo. ? O={A, B, AB,0}3. Opinião de um eleitor sobre um projeto. ?O={Favorável,Contrário}4. Tempo de duração de uma lâmpada ? O={t; t>0)Evento subconjunto do espaço amostral ONotação: A, B, C,...Exemplos: No exemplo 1, alguns eventos:A: sair face par: ? A={2,4,6} ? OB: Sair face maior que 3 ? B={4,5,6} ? OC: sair face 1 ? C={1} ? OD: sair face 7 ? D={ } (evento impossível)= Ø (conjunto vazio) ? O

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Definição Clássica ou a prioriSe um experimento aleatório tiver n(O) resultados mutuamente exclusivos e igualmente prováveis e se um evento A tiver n(A) desses resultados. A probabilidade do evento A representado por P(A), é dado por:

Exemplo: Considere o lançamento de 2 dados balanceados. Calcular a probabilidade de:a) Obter soma 7;b) Obter soma maior que 10;c) Que resultado do primeiro dado seja superior ao resultado do segundo.

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Definição frequentista ou a posteriori

Suponhamos que realizamos um experimento n vezes (n grande) e destas o evento A ocorre exatamente r<nvezes, então a frequência relativa de vezes que ocorreu o evento A, “r/n”, é a estimação da probabilidade que ocorra o evento A, ou seja,

Essa estimação da probabilidade por frequência relativa de um evento A, é próxima da verdadeira probabilidade do evento A, quando n tende ao infinito.

Exemplo: Considere o lançamento de uma moeda. Calcular a probabilidade de A={ resultado obtido é cara}.

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Os resultados são imprevisíveis mas podemos descrever quais são os possíveis resultados.É possível associar uma “chance” a cada possível resultado.

Experimento aleatório

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Sejam os eventos A e B definidos no mesmo espaço amostral•A? B: União dos eventos A e B.Representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos A ou B

•AnB: Intersecção dos eventos A e B.Representa a ocorrência simultânea dos eventos A e B.

• A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não têm elementos em comum, isto é, AnB= Ø

• A e B são complementares se sua intersecção é vazia e sua união o espaço amostral, isto é. AnB= Ø e A? B= O.• O complementar de um evento A é representado por AC

ou A

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Exemplo 1

Qual a probabilidade doFuncionário 10 ser escolhido?

{Funcionário 1, Funcionário 2, … , Funcionário 100 }

Se há 40 mulheres dentre os 100 funcionários, qual é a probabilidade de uma delas ser escolhida ?

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Exemplo 2

Lançamento de um dado “honesto”Conjunto de possibilidades = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Qual é a probabilidade de vitória ?

Supondo que o dado é equilibrado, temos:

(3/6) (nº de possibilidades favoráveis / nºtotal de possibilidades )

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Modelos matemáticos para experimentos aleatórios

Modelo de Probabilidade1) ? = Conjunto de resultados possíveis doexperimento, denominado Espaço Amostral.

2) Atribuição de Probabilidades a cada Evento = Subconjunto do Espaço Amostral.

Eventos particulares do experimento

Em geral, temos interesse em eventos particulares do experimento.

•Evento A: é escolhida uma mulherA = {ser escolhida uma mulher} ? 1

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Exemplo 2

? 2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

•Evento B: sair face parB = {2, 4, 6} ? ? 2

•Evento C: sair uma face ímparC = {1, 3, 5} ? ? 2

•Evento D: sair uma face maior que 3D = {4, 5, 6} ? ? 2

•Evento E: sair face 1E = {1} ? ? 2

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A um experimento aleatório está associado um espaço amostral ? .

•Um evento A ocorre se o resultado doexperimento pertence a A.

•Os conjuntos ? e Ø também são eventos:

? é o evento certo

Ø é o evento impossível

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Sejam A e B dois eventos de um mesmoespaço amostral:

•O evento interseção de A e B, denotadoAn B, é o evento em que A e B ocorremSimultaneamente

•O evento reunião de A e B, denotado AUB,é o evento em que A ocorre ou B ocorre (ouambos)

•O evento complementar de A, denotado Ac,é o evento em que A não ocorre

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Exemplos: interseção e reunião de eventos

? 2 = {1,2,3,4,5,6}

Eventos A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} e C = {1, 3, 5}

A n C = {2, 4, 6} n {1, 3, 5} = Øsair uma face par e ímpar

A n B = {2, 4, 6} n {4, 5, 6} = {4, 6}sair uma face par e maior que 3

A U B = {2, 4, 6} U {4, 5, 6} = {2, 4, 5, 6}sair uma face par ou maior que 3

A U C = {2, 4, 6} U {1, 3, 5} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}sair uma face par ou ímpar

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Probabilidade

É uma função que atribui aos eventos de ? umnúmero P(A) (se A é um evento de ? , P(A) é aprobabilidade de A) satisfazendo as condições:

1) 0 <= P(A) <= 1

2) P(Ø) = 0, P(? ) = 1

3) Regra da soma para dois eventos, A e B,mutuamente exclusivos: P(A U B) = P(A) + P(B)

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Probabilidade da união de eventos:P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A n B)

Probabilidade do evento complementar:P(AC) = 1 - P(A) para todo evento A

Propriedades

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Relativos aos habitantes de Sergipe, na faixa etária entre 20 a 24 anos com relação às variáveis Sexo e Leitura

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Um jovem entre 20 e 24 anos é escolhido aoacaso em Sergipe.

? = conjunto de 101.850 jovens de Sergipe,com idade entre 20 e 24 anos.

ExemploEventos de interesse:

M = jovem sorteado é do sexo masculinoF = jovem sorteado é do sexo femininoL = jovem sorteado sabe ler

M n L = jovem sorteado é do sexo masculino e sabe lerM U L = jovem sorteado é do sexo masculino ou sabe ler

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Definição de probabilidade condicional

Se A e B são eventos de um experimento aleatório, a prob. condicional de A dado B é:

Exemplo: Prob. de um jovem sorteado ser dosexo masculino dado que sabe ler:

P(M | L) = P(M n L) = 0,388 = 0,460P(L) 0,843

Regra do Produto: P(A n B) = P(B).P(A | B)

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Exercícios

Ex. 1 – No lançamento de um dado perfeito de 6 faces qual é a probabilidade de saída de:

a) um número par;b) um número superior a 4;c) um número igual ou inferior a 4

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Exercícios

a) um número par;b) um número superior a 4;c) um número igual ou inferior a 4

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Probabilidades – Aplicações na Administração de Projetos

A incerteza é uma característica inerente a todos os fatos da vida – particularmente àqueles relacionados com o futuro.

A probabilidade é uma medida de certeza ou incerteza.

Quando afirmamos ser possível realizar um projeto em 15 semanas, afirmamos que em determinadas condições de trabalho e da equipe envolvida, a realização plena do projeto pode ser obtida no prazo dimensionado.

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Probabilidades – Aplicações na Administração de Projetos

Quando afirmamos que a probabilidade de desenvolvimento de uma atividade é de 60%, estamos na verdade associando uma medida de certeza à sua realização, bem como uma medida de incerteza de 40% à não realização da atividade.

Quanto mais improvável apresentar-se a realização do evento mais próximo de zero estará a probabilidade de sua realização e quanto mais provável, mais próximo de 1 estará a sua probabilidade de materialização.

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Probabilidades – Aplicações na Administração de Projetos

O conceito de probabilidade é muito útil na área de administração, já que permite expressar opiniões quantificadas com base na experiência pessoal de gestores.

Com base no aprendizado profissional podemos tomar decisões com maior segurança através das informações acumuladas e armazenadas em nossa mente ao longo do tempo.

Desta forma quando afirmamos assumir um risco calculado, queremos afirmar que dispomos de um grau de certeza satisfatório para determinada situação sobre o sucesso de certa ação.

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EXERCÍCIO

Se escolhermos aleatoriamente uma carta do baralho, qual a probabilidade:

1. A carta escolhida ser preta?

2. A carta escolhida ser um ás?

3. A carta escolhida ser um às preto?

4. A carta escolhida ser um ás ou carta preta?

5. Sabendo à priori quea carta escolhidaé preta, ser a cartaum ás?

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EXERCÍCIOSe escolhermos aleatoriamente uma carta do baralho, qual a probabilidade:

A carta escolhida ser preta?A carta escolhida ser um ás?A carta escolhida ser um às preto?A carta escolhida ser um ás ou carta preta?Sabendo à priori que a carta escolhida é preta, ser a carta um ás?