Rodolfo Maduro Almeida

Professor Adjunto I

Instituto de Engenharia e Geociências

Universidade Federal do Oeste do Pará

2000-2004

Graduação em Licenciatura Plena em Matemática

UFPA - Universidade Federal do Pará

Campus de Santarém

2004-2007

Mestrado em Computação Aplicada

INPE - Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais

2007-2012

Doutorado em Computação Aplicada

INPE - Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais

2011 - presente

Programa de Ciências da Terra

Instituto de Engenharia e Geociências

UFOPA - Universidade Federal do Oeste do Pará

• Disciplinas lecionadas: Cálculo I, Cálculo II, Cálculo III,

Álgebra Linear, Geometria Analítica, Cálculo Numérico,

Computação Aplicada às Geociências, Cartografia Digital

e Sistema de Informações Geográficas, Sensoriamento

Remoto, Geoprocessamento.

Linhas de Pesquisa

Modelagem matemática

Geoprocessamento

Sensoriamento Remoto

Análise Espacial

Inteligência computacional aplicada

Projetos de Pesquisa

2011-2012

Cartografia digital para o turismo sustentável: estudo de caso

em Santarém, estado do Pará

2012-presente

Análise, síntese, modelagem e simulação de sistemas

sociais e ambientais na Amazônia

UNIDADE 1 - INTRODUÇÃO

– Modelagem ambiental

– Modelo e modelagem matemática

– Etapas do processo de modelagem matemática

UNIDADE 2 – MODELAGEM MATEMÁTICA EM ECOLOGIA DE

POPULAÇÕES BIOLÓGICAS

– Modelagem da dinâmica de interação entre presa e predador

• Modelo baseado em equações

• Modelo baseado em agentes

UNIDADE 3 – MODELAGEM MATEMÁTICA EM MEIO-AMBIENTE E

SUSTENTABILIDADE

– Modelo de propagação do fogo em incêndios de vegetação

• Modelo baseado em autômatos celulares probabilísticos

– Modelo baseado em agentes para a tragédia do bem comum

• Modelo baseado em agentes

• Modelagem ambiental

• Modelo e modelagem matemática

• Etapas do processo de modelagem matemática

Ramo da modelagem matemática que visa prever eventos ou fenômenos

ambientais a partir de princípios gerais. É, basicamente, modelagem

computacional, utilizando modelos matemáticos, aplicada a situações

relativas ao meio natural ou a situações criadas pelo Homem ao alterar o

meio ambiente. Seu objetivo é a geração de diagnósticos e prognósticos

para gerenciar o meio ambiente de forma sustentável.

• O termo “modelo” lembra...

– Exemplo

• O termo “modelo” lembra...

– Idéia ou Conceito

Desenvolvimento sustentável é um conceito sistêmico que se traduz num modelo de

desenvolvimento que visa, ao mesmo tempo, usar os recursos da terra e preservar as

espécies e os habitats naturais: ponto de equilíbrio entre o crescimento econômico,

igualdade social e a proteção do ambiente

• O termo “modelo” lembra...

– Padrão

• O termo “modelo” lembra...

– Molde

• O termo “modelo” lembra...

– Representação

Mona Lisa (também conhecida como La Gioconda ou, em francês, La Joconde, ou ainda Mona

Lisa del Giocondo), é a mais notável e conhecida obra do pintor italiano Leonardo da Vinci.

• O termo “modelo” lembra...

– Representação

• O termo “modelo” lembra...

– Representação

Diferentes representações para a obra Mona Lisa do pintor italiano Leonardo da Vinci.

• O termo “modelo” lembra...

– Exemplo

– Idéia ou conceito

– Padrão

– Molde

– Representação

– (...)

• Aqui trataremos o termo “modelo” de acordo com o

ponto de vista matemático

Modelo matemático

Conjunto de símbolos e relações matemáticas que representa uma

situação, um fenômeno ou um objeto real a ser estudado.

O uso da Matemática como linguagem simbólica conduz a uma

representação da situação problema em termos matemáticos.

Processo de construção de um modelo

If (... ? ) then ...

Modelagem matemática

Consiste na arte de transformar problemas da realidade em problemas

matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem

do mundo real.

Modelagem matemática

Consiste na arte de transformar problemas da realidade em problemas

matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem

do mundo real.

universo conceitual

universo matemático

universo computacional

Problema do

mundo real

idealização

modelagem

matemática

simulação

computacional

implementação

computacional

If (... ? ) then ...

Simulação computacional

Experimentos de simulações executados mediante o uso de um

ambiente computacional para desenvolvimento de modelos.

Definição do

problema

Simplificação e

formulação de

hipóteses

Dedução do

modelo

Resolução do

modelo

Validação do

modelo

Aplicação do

modelo

1. Definição do problema

– identifica-se o problema a ser estudado

2. Simplificação e formulação de hipóteses

– As características do problema são examinadas e selecionadas mediante uma simplificação

3. Dedução do modelo matemático

– Utiliza-se de uma formulação matemática para descrever o problema. Pode-se recorrer a uma teoria física.

4. Resolução do modelo matemático

– O modelo é solucionado visando encontrar a solução do problema

5. Validação do modelo

– A aceitação do modelo é analisada comparando-o sua solução com dados reais

6. Aplicação do modelo matemático

– Uma vez validado, o modelo pode ser utilizado para compreender, explicar, analisar, prever ou decidir sobre a realidade em estudo.

Para onde vai o fogo na vegetação?

1. Definição do problema

– Modelar o fenômeno de propagação do fogo em vegetação

1. Definição do problema

False color image composition 543 from IRS - LISS3 sensor.

Aug 13, 2010

large scale agriculture

extensive livestock grazing

anthrophogenic fire

2. Simplificação e formulação de hipóteses

– O fogo é influenciado principalmente pelo acúmulo de

combustível

– Rios e estradas atuam como obstáculos ao fogo

– Os seguintes fatores são considerados como determinantes

para a propagação do fogo:

• Fatores estáticos:

Altitude

Elevações na superfície

Acúmulo de combustível

Aspecto

Tipo de combustível

• Fatores dinâmicos:

Velocidade e direção do vento

Humidade relativa do ar

Temperatura do ar

Propagação

do fogo em

vegetação

vegetação

2. Simplificação e formulação de hipóteses

Years since last fire

1973-2002

head

rear

flanks

main spread direction

3. Dedução do modelo

Célula sem vegetação (rio ou estrada)

Célula com vegetação

Célula queimando

Célula queimada

3. Dedução do modelo

– O fogo pode se propagar de uma célula para qualquer outra

célula vizinha

– O modelo utiliza uma probabilidade que determina a facilidade

ou dificuldade pro fogo avançar e leva em conta os fatores

selecionados na fase anterior

– O modelo possui um relógio interno que determina a evolução

do tempo

4. Resolução do modelo

– Simulação computacional 1:

• Probabilidade de propagação do fogo = 0.3

– Simulação computacional 2:

• Probabilidade de propagação do fogo = 0.4

5. Validação do modelo

About the fire:

• Date: July 09, 2002

• Wind speed: 35 km/h (WS 2)

• Wind direction: NE

WS 2

O

N

L

S

supposed starting point

Iteration 0

Iteration 20 Iteration 40 Iteration 60

Iteration 80 Iteration 100 Iteration 120

6. Aplicação do modelo

• Modelagem da dinâmica de interação entre presa e predador

o Modelo baseado em equações

o Modelo baseado em agentes

1. Introdução ao problema e objetivo

2. Modelagem matemática da interação presa-predador

Modelo baseado em equações

Modelo baseado em agentes

3. Simulações e resultados

Modelo baseado em equações

Modelo baseado em agentes

4. Considerações finais

Objetivo geral:

• Explorar duas abordagens de modelagem matemática para a

dinâmica de interação entre populações biológicas do tipo

predação: a modelagem baseada em equações e a

modelagem baseada em agentes.

Objetivos específicos:

• Definir e delinear as duas abordagens de modelagem e como

elas são empregadas para modelar o fenômeno de estudo;

• Explorar, por meio de simulações computacionais, os modelos

matemáticos visando apontar as vantagens e desvantagens

de cada uma das abordagens de modelagem.

– Modela o fenômeno a partir de uma

concepção holística ou agregada.

– A descrição do fenômeno e a representação

das interações é tratável matematicamente.

– Uma equação modela o comportamento

coletivo e suas soluções caracterizam o

estado do sistema como um todo. Unidade A

Unidade B

Interação

j(A,B)

comportamento do

modelo equação ~j(𝑨, 𝑩)

Modelagem baseada em equações

Modelagem baseada em equações

Objetivo: Encontrar uma função que nos diga qual o tamanho

da população ao longo do tempo

Ponto de partida: Equações que definem a taxa de variação

populacional do longo do tempo

Exemplo: Modelo de crescimento exponencial (Malthusiano) 𝑑𝑁

𝑑𝑡= 𝑏 − 𝑑 𝑁 = 𝑟𝑁

𝑏: taxa inst. de nascimento 𝑑: taxa inst. de mortes

Solução: A solução do modelo nos fornece o tamanho da

população ao longo do tempo 𝑁 = 𝑓(𝑡).

Modelo de Lotka-Volterra

𝑑𝑉

𝑑𝑡= 𝑟𝑉 − 𝛼 𝑉𝑃

𝑑𝑃

𝑑𝑡= 𝛽𝑉𝑃 − 𝑞𝑃

Vito Volterra

Alfred Lotka

𝑉 = 𝑓(𝑡): número de presas no tempo 𝑡

𝑃 = 𝑔(𝑡): número de predadores no tempo 𝑡

Modelo de Lotka-Volterra

𝑑𝑉

𝑑𝑡= 𝑟𝑉 − 𝛼 𝑉𝑃

𝑑𝑃

𝑑𝑡= 𝛽𝑉𝑃 − 𝑞𝑃

taxa de variação da

população de presas

taxa de variação da

população de predadores

Modelo de Lotka-Volterra

𝑑𝑉

𝑑𝑡= 𝑟𝑉 − 𝛼 𝑉𝑃

𝑑𝑃

𝑑𝑡= 𝛽𝑉𝑃 − 𝑞𝑃

A população de presas

cresce em função da

natalidade, onde 𝑟 é a

taxa de natalidade das

presas.

A população de

predadores decresce em

função da mortalidade,

onde 𝑞 é a taxa de

mortalidade.

Modelo de Lotka-Volterra

𝑑𝑉

𝑑𝑡= 𝑟𝑉 − 𝛼 𝑉𝑃

𝑑𝑃

𝑑𝑡= 𝛽𝑉𝑃 − 𝑞𝑃

A população de presas

decresce em função da

predação, onde 𝛼 é a

eficiência na predação.

A população de

predadores cresce em

função da predação,

onde 𝛽 é a taxa de

eficiência de conversão

da predação sobre a

população de

predadores.

• Parte de uma concepção individual ou

desagregada.

• Modelagem a partir do comportamento

individual das partes + interações entre

elas.

• Um comportamento coletivo

emergente: “O todo é mais do que a

soma das partes”

Modelagem baseada em agentes

comportamento do

modelo

(partes + interações)

Definição de agente:

• “Um agente é uma entidade que pode

perceber seu ambiente por meio de

sensores e agir sobre este por meio de

atuadores” (Russel & Norvig, 2003).

Outra definição de agente:

• “Um agente é qualquer ator dentro de um

ambiente, é qualquer entidade que pode

afetar a si mesma, ao ambiente e a outros

agentes.”

Modelagem baseada em agentes

Modelagem baseada em agentes

Ambiente

Espacial

Agentes

O modelo é definido por:

• uma coleção de agentes (comportamento)

• uma representação do ambiente onde atuam

O modelo é definido por:

• uma coleção de agentes

• uma representação do ambiente onde atuam

• Interações entre os agentes

• Interações entre os agentes e o ambiente

Modelagem baseada em agentes

Modelagem baseada em agentes

passos discretos (iterações)

𝑡 = 0, 1, 2, … , 𝑡𝑓

busca por

alimentos reprodução morte movimento

Quando t=0:

• população inicial de presas e de predadores

• energia acumulada na busca por alimentos (predação ou pasto)

• probabilidade de uma presa nascer (por indivíduo)

• probabilidade de um predador nascer (por indivíduo)

Comportamento das presas e predadores (executados a cada iteração):

Modelo baseado em equações

𝑑𝑉

𝑑𝑡= 𝑟𝑉 − 𝛼 𝑉𝑃

𝑑𝑃

𝑑𝑡= 𝛽𝑉𝑃 − 𝑞𝑃

V(t) e P(t)

método numérico

(Runge-Kutta de 4a. ordem)

visualização

MATLAB

Modelo baseado em equações

Solução do modelo para uma dada condição inicial

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.51

1.5

2

2.5

3

3.5

numero de presas

num

ero

de p

red

ad

ore

s

Valores da população de presas e predadores ao longo do tempo para a condição

inicial (𝑉0, 𝑃0) = (1,5; 2,0) e os valores dos parâmetros 𝑟 = 1, 𝛼 = 0,5, 𝑞 = 0.75,

𝛽 = 0,25.

Modelo baseado em equações

Soluções do modelo para diferentes condições iniciais

Plano de fases 𝑉 × 𝑃 do modelo de Lotka-Volterra utilizando os valores de

parâmetros 𝑟 = 1, 𝛼 = 0,5, 𝑞 = 0.75, 𝛽 = 0,25 e diferentes valores de condições

iniciais, conforme indicadas no gráfico.

Modelo baseado em equações

Crítica: a população de presas possui recursos ilimitados

Valores da população de presas e predadores ao longo do tempo para a condição

inicial(𝑉0, 𝑃0) = (1,5, 2,0) e valores dos parâmetros 𝑟 = 0,1, 𝑞 = 0,1, 𝛽 = 0 e 𝛼 = 0.

Modelo baseado em equações

A população de predadores responde à abundância de presas

Comportamento da população de presas e predadores para

𝑉0 , 𝑃0 = (1,5; 2,0), 𝑟 = 1,0, 𝑞 = 0.75, 𝛼 = 0,5, 𝛽 = 0,25.

Modelo baseado em equações

A população de predadores responde à abundância de presas

Comportamento da população de presas e predadores para

𝑉0 , 𝑃0 = (1,5; 2,0), 𝑟 = 1,5, 𝑞 = 0.75, 𝛼 = 0,5, 𝛽 = 0,25.

Modelo baseado em equações

A população de predadores responde à abundância de presas

Comportamento da população de presas e predadores para

𝑉0 , 𝑃0 = (1,5; 2,0), 𝑟 = 2,0, 𝑞 = 0.75, 𝛼 = 0,5, 𝛽 = 0,25.

Modelo baseado em equações

População de predadores estagnada ⟹ extinção das presas

Comportamento da população de presas e predadores para

𝑉0 , 𝑃0 = (1,5; 2,0), 𝑟 = 2,0, 𝑞 = 0.75, 𝛼 = 0,5, 𝛽 = 0,25.

Modelo baseado em agentes

V(t) e P(t)

visualização

MATLAB

Parâmetros de entrada do modelo baseado em agentes

• tf: tempo final de simulaçao

• sz = [sx sy]: dimensoes do espaco celular

• D: densidade inicial do pasto

• regrowTime: tempo de regeneracao do pasto

• npreys: numero inicial de presas

• birthPreys: taxa de natalidade de presas

• preyStarvation: tempo que a presa morre de fome

• npreds: numero inicial de predadores

• birthPreds: taxa de natalidade de predadores

• predStarvation: tempo que o predador morre de fome

Parâmetros de entrada do modelo baseado em agentes

• tf = 1000; ... tempo final de simulação

• sz = [50 50]; ... dimensões do espaço celular

• D = 0.75; ... densidade inicial do pasto

• regrowTime = 10; ... tempo de regeneração do pasto

• npreys = 100; ... numero inicial de presas

• preyStarvation = 2; ... tempo que a presa morre de fome

• npreds = 50; ... numero inicial de predadores

• predStarvation = 10; ... tempo que o predador morre de fome

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

predador

presa

pasto

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

100

200

300

400

500

600

700

predadores

presas

pasto

• npreys = 100

• birthPreys = 0.25

• preyStarvation = 2

• npreds = 50

• birthPreds = 0.05;

• predStarvation = 10;

Diferenças entre as abordagens

As duas abordagens possuem enfoques diferentes:

• A modelagem baseada em equações se fundamenta em

um enfoque holístico, implícito e agregado

• A modelagem baseada em agentes se fundamenta em

um enfoque discreto, explícito e desagregado

• Ambas conseguem descrever o comportamento cíclico

da dinâmica de interação entre presas e predadores

Modelagem baseada em equações

• Na sua forma original, o modelo de Lotka-Volterra apresenta

limitações

• A modelagem baseada em equações é matematicamente

tratável • a dificuldade no tratamento aumenta a medida que introduzimos mais

realismo ao modelo, consequentemente a solução numérica torna-se mais

difícil

• Modelos baseados em equações são bem úteis para estudos

teóricos iniciais

Modelagem baseada em agentes

• A modelagem baseada em agentes desenvolve um modelo de

simulação • o modelo é baseado em regras simples que buscam mimicar o mundo real

(espaço e as partes s]ao explícitas)

• A modelagem baseada em agente é extremamente flexível e

conceitualmente poderosos • são mais propensos à modificações visando sofisticação na representação

da realidade

• mais realismo implica em regras mais bem elaboradas e detalhadas

• Modelo de propagação do fogo em incêndios de vegetação

o Modelo baseado em autômatos celulares probabilísticos

• Modelo baseado em agentes para a tragédia do bem comum

o Modelo baseado em agentes

• Cerrado: “Savanas Brasileiras”: – 80% a 90% de formação savânica

– Segunda savana tropical mais rica em

biodiversidade no mundo

• Intensa pressão humana – Área inicial: 200 milhões de hectares

– Área atualmente: menos de 20%

– Áreas de proteção atuais: menos de 2%

• O fogo é elemento estruturante da vegetação – Estudos do histórico evolutivo da vegetação sugerem que as transformações

começaram a menos de 10 milhões de anos atrás e diversificou-se em 4 milhões de anos atrás ou menos, coincidindo com a expansão dos biomas savânicos no mundo

O fogo em Unidades de Conservação no Cerrado

Fonte: compilação de dados do IBAMA (Prevfogo) realizada por Helena França.

Tabela – CAUSAS DAS QUEIMADAS EM PARQUES NACIONAIS NO CERRADO

Parque Nacional Antropogênica

no %

Natural (raios)

no %

Desconhecida

no %

Total

no Período de obs.

Brasília, DF

14 13 21 19 74 68 109 1991-2003 (1992, 1994)

Chapada Diamantina, BA 229 72 1 0 89 28 319 2000-2005

Chapada dos Guimarães, MT 21 70 4 13 05 17 30 2006

Chapada dos Veadeiros, GO 61 59 11 11 32 31 104 1989-2005 (1996, 1997)

Emas, GO 15 17 62 71 10 11 87 1991-2004 (1993, 2000)

Grande Sertão Veredas, MG 142 99 0 0 2 1 144 2000-2005

Serra da Canastra, MG 76 52 47 32 24 16 147 1987-2005 (1995)

Serra do Cipó, MG 130 70 0 0 56 30 186 1991-1992; 2000-2005

Obs: Na última coluna,os valores entre parênteses indicam os anos em que não constam observações.

O fogo em Unidades de Conservação no Cerrado

Modelagem do comportamento do fogo no Cerrado

• É uma área ainda incipiente

• Principais publicações são voltadas ao contexto ecológico

– Projeto Fogo - Efeitos do regime de fogo sobre a estrutura de uma

comunidade de Cerrado (Reserva Ecológica do IBGE – Brasília).

• Cerrado: “Savanas Brasileiras”: – 80% a 90% de formação savânica

– Segunda savana tropical mais rica em

biodiversidade no mundo

• Intensa pressão humana – Área inicial: 200 milhões de hectares

– Área atualmente: menos de 20%

– Áreas de proteção atuais: menos de 2%

• O fogo é elemento estruturante da vegetação – Estudos do histórico evolutivo da vegetação sugerem que as transformações

começaram a menos de 10 milhões de anos atrás e diversificou-se em 4 milhões de anos atrás ou menos, coincidindo com a expansão dos biomas savânicos no mundo

O fogo em Unidades de Conservação no Cerrado

Fonte: compilação de dados do IBAMA (Prevfogo) realizada por Helena França.

Tabela – CAUSAS DAS QUEIMADAS EM PARQUES NACIONAIS NO CERRADO

Parque Nacional Antropogênica

no %

Natural (raios)

no %

Desconhecida

no %

Total

no Período de obs.

Brasília, DF

14 13 21 19 74 68 109 1991-2003 (1992, 1994)

Chapada Diamantina, BA 229 72 1 0 89 28 319 2000-2005

Chapada dos Guimarães, MT 21 70 4 13 05 17 30 2006

Chapada dos Veadeiros, GO 61 59 11 11 32 31 104 1989-2005 (1996, 1997)

Emas, GO 15 17 62 71 10 11 87 1991-2004 (1993, 2000)

Grande Sertão Veredas, MG 142 99 0 0 2 1 144 2000-2005

Serra da Canastra, MG 76 52 47 32 24 16 147 1987-2005 (1995)

Serra do Cipó, MG 130 70 0 0 56 30 186 1991-1992; 2000-2005

Obs: Na última coluna,os valores entre parênteses indicam os anos em que não constam observações.

O fogo em Unidades de Conservação no Cerrado

Modelagem do comportamento do fogo no Cerrado

• É uma área ainda incipiente

• Principais publicações são voltadas ao contexto ecológico

– Projeto Fogo - Efeitos do regime de fogo sobre a estrutura de uma

comunidade de Cerrado (Reserva Ecológica do IBGE – Brasília).

• Objetivo Geral

– Propor um modelo de propagação do fogo, fundamentado no estado-da-arte da modelagem do comportamento do fogo em incêndios de vegetação, que projete cenários de propagação de incêndios no Cerrado.

• Objetivos Específicos

– Idealizar o modelo a partir do formalismo de autômatos celulares probabilísticos e da teoria de percolação.

– Investigar a capacidade do modelo idealizado em representar a dinâmica de propagação de incêndios de vegetação.

– Propor parametrizações que explicitem o comportamento do modelo em função das condições ambientais de incêndios reais e em seguida avaliá-las.

– Propor uma metodologia de ajuste visando aplicar o modelo para simular incêndios de vegetação no Cerrado.

Idealização do modelo 1

Análise exploratória do modelo 2

Parametrização e avaliação das parametrizações 3

Ajuste e aplicação do modelo 4

O fogo se propaga como um processo

de contágio ao longo da vegetação

momento ou energia

conectividade

Teoria de percolação e incêndios de vegetação

limiares condicionam a propagação do fogo

fator condicionante

pro

babili

dade d

e p

ropag

ação d

o f

ogo

Teoria de percolação e autômatos celulares

V F O E vegetação queimando queimado sem vegetação

O incêndio de vegetação é modelado como um processo de contágio ao

longo das células com vegetação e é condicionado por uma probabilidade

𝑆 chamada de probabilidade efetiva de propagação do fogo.

A probabilidade efetiva 𝑺 depende da:

– probabilidade 𝐷 (densidade da vegetação):

𝐷 = 0.1 𝐷 = 0.5 𝐷 = 0.9

Relaciona-se com a componente conectividade e caracteriza

a abundância ou disponibilidade de combustível vegetal.

Vegetação esparsa vegetação densa

A probabilidade efetiva 𝑺 depende da:

– probabilidade 𝐼 (dinâmica de propagação do fogo):

Relaciona-se com a componente momento e caracteriza a

dinâmica de propagação do fogo ao longo da vegetação.

Vizinhança de Moore

V F 𝐼

t t+1

A probabilidade efetiva 𝑺 depende da:

– probabilidade 𝐵 (chances de extinção do fogo):

F O 𝐵

t t+1

Relaciona-se com a componente momento e caracteriza a

dinâmica de combustão.

𝐷 = 1,00 𝐵 = 0,40 𝐼 = 0,25 𝐷 = 0,80 𝐵 = 0,40 𝐼 = 0,25 𝐷 = 0,60 𝐵 = 0,40 𝐼 = 0,25

Probabilidade efetiva de propagação do fogo

𝐷 = 0,30 𝐷 = 0,40 𝐷 = 0,50

𝐷 = 0,60 𝐷 = 0,80 𝐷 = 1,00

Fronteira crítica e padrões de propagação do fogo

𝐷 = 1

Fronteira crítica e padrões de propagação do fogo

𝐷 = 1

padrões sólidos

extinção

Velocidade adimensional de propagação do fogo 𝑅0:

𝑅 = 𝑅𝑎

Δl

Δt

Especialização do modelo para simular incêndios reais

𝑆 = 𝑓(condições ambientais)

Condições ambientais heterogêneas

vegetação

Tipo de combustível vegetal

Quantidade de combustível vegetal disponível

Teor de umidade

Feições topográficas

Temperatura do ar

Umidade relativa

Velocidade e direção do

vento

Parametrização da probabilidade 𝑫

Relaciona-se com a continuidade do combustível vegetal

𝐷 = 0 𝐷 = 1 0 < 𝐷 < 1

Gramíneas do gênero Spinifex

comuns no oeste da Austrália

Área com Capim-flecha no PNE. Aceiro no PNE

Parametrização da probabilidade 𝑰

Relaciona-se com a eficiência dos mecanismos de transferência de calor

emitidos pela frente de fogo

• Fatores que influenciam: • Tipo de combustível vegetal

• Teor de umidade do combustível vegetal

• Velocidade e direção do vento

• Feições topográficas

gradiente de elevação

Parametrização da probabilidade 𝑰

𝐼 = 𝐼0 ⋅ 𝜆𝑀 ⋅ 𝜆𝑠 ⋅ 𝜆𝑤

– efeito das características da vegetação: 𝐼0

– efeito da umidade do combustível vegetal: 𝜆𝑚 = exp −𝑏1𝑀

– efeito das feições topográficas: 𝜆𝑠 = exp 𝑎𝜃𝑠

– efeito da velocidade e direção do vento: 𝜆𝑤 = 1 + 𝑓 𝜔 𝑐1𝑈𝑐2

Parametrização da probabilidade I

𝑬𝒊−𝟏,𝒋−𝟏 𝑬𝒊−𝟏,𝒋 𝑬𝒊−𝟏,𝒋+𝟏

𝑬𝒊,𝒋−𝟏 𝑬𝒊,𝒋 𝑬𝒊,𝒋+𝟏

𝑬𝒊+𝟏,𝒋−𝟏 𝑬𝒊+𝟏,𝒋 𝑬𝒊+𝟏,𝒋+𝟏

Δ𝑙

Δ𝑙

𝜃𝑠<0 𝜃𝑠>0

Parametrização da probabilidade 𝑰

𝑓 𝜔 = exp (𝑐3𝑈(cos 𝜔 − 1))

𝝎

𝒇(𝝎)

Parametrização da probabilidade B

Quantifica a sustentabilidade e a combustibilidade

da queima do combustível vegetal

• Sustentabilidade:

– Depende do teor de umidade do combustível vegetal

• Combustibilidade:

– Depende das características do combustível vegetal

Parametrização da probabilidade B

Quantifica a sustentabilidade e a combustibilidade

da queima do combustível vegetal

𝐵 = 𝐵0 ⋅1

𝜆𝑚

𝑏2

– efeito das características da vegetação: 𝐵0

– efeito da umidade do combustível vegetal: 1

𝜆𝑚

𝑏2

Três classes de acúmulo de combustível

FC1

FL1

FC1

FL2

FC1

FL3

𝐼0 0,20 0,25 0,35

𝐵0 0,45 0,40 0,35

Três classes de acúmulo de combustível

FL1

FL2

FL2

Efeitos de variações no acúmulo de combustível vegetal

iteração = 20 iteração = 80 iteração = 120

Efeitos de variações no acúmulo de combustível vegetal

obstáculos naturais

iteração = 40 iteração = 120 iteração = 150

Efeitos de variações na umidade de combustível vegetal

(𝑏1 = 0,1 e 𝑏2 = 0,05)

𝑀 = 5%

iteração = 50 iteração = 200 iteração = 354

Efeitos de variações na umidade de combustível vegetal

(𝑏1 = 0,1 e 𝑏2 = 0,05)

𝑀 = 10%

iteração = 50 iteração = 200 iteração = 289

Efeitos de variações na umidade de combustível vegetal

(𝑏1 = 0,1 e 𝑏2 = 0,05)

𝑀 = 15%

iteração = 50 iteração = 200 iteração = 213

Efeitos de variações nas feições topográficas

feição topográfica hipotética

Efeitos de variações nas feições topográficas

(𝑎 = 0,05)

iteração = 50 iteração = 120 iteração = 240

Efeitos de variações na velocidade do vento

(𝑐1 = 0,10, 𝑐2 = 0,90 e 𝑐3 = 0,05)

𝑈 = 0

direção do vento

iteração = 50 iteração = 100 iteração = 150

Efeitos de variações na velocidade do vento

(𝑐1 = 0,10, 𝑐2 = 0,90 e 𝑐3 = 0,05)

𝑈 = 2

iteração = 50 iteração = 100 iteração = 150

direção do vento

Efeitos de variações na velocidade do vento

(𝑐1 = 0,10, 𝑐2 = 0,90 e 𝑐3 = 0,05)

𝑈 = 6

iteração = 50 iteração = 100 iteração = 150

direção do vento

Efeitos de variações na velocidade do vento

𝑀 = 15% (𝑏1 = 0,1 e 𝑏2 = 0,05)

𝑈 = 0 (𝑐1 = 0,10, 𝑐2 = 0,90 e 𝑐3 = 0,05)

iteração = 50 iteração = 200 iteração = 213

Efeitos de variações na velocidade do vento

𝑀 = 15% (𝑏1 = 0,1 e 𝑏2 = 0,05)

𝑈 = 15 (𝑐1 = 0,10, 𝑐2 = 0,90 e 𝑐3 = 0,05)

direção do vento

iteração = 50 iteração = 100 iteração = 262

Efeito das parametrizações sobre

a dinâmica do modelo

𝐷 = 1,00

Região-alvo: Parque Nacional das Emas, estado de

Goiás, Brasil

- Criado em 1961

- Área total: 132000 hectares

- totalizando 348km e dividindo o Parque em 20

blocos

- Histórico de incêndios mapeado desde 1973

Vegetação do Cerrado

Fonte: J. Mistry, Fire in the cerrado (savannas) of Brazil: an ecological review, Progress in Physical Geography, Vol. 22, No. 4., pp. 425-

448

estrato herbáceo-subarbustivo

estrato arbóreo-arbustivo

Vegetação do Parque Nacional das Emas

Fisionomias abertas (80% do PNE)

•Campo limpo

•Campo sujo

•Campo cerrado

Foto

: M

ário B

arr

oso

cerrado fechado

mata ciliar ou de galeria

campo úmido

Fisionomias abertas do Parque Nacional das Emas

campo limpo campo sujo campo cerrado

Dominância do capim-flecha (Tristachya leiostachya)

1 ano

sem queima

2 anos

sem queima

3 anos

sem queima

4 anos

sem queima

O fogo nas fisionomias abertas do Parque Nacional

das Emas

amostras pontuais

regularmente espaçadas

O fogo nas fisionomias abertas do Parque Nacional

das Emas

Dis

trib

uiç

ão

cu

mu

lativa

anos sem queima

𝐹 𝑡 = 1 − exp −𝑡

𝑏

𝑐

anos sem queima

De

nsid

ade d

e p

rob

abili

dade

𝑓 𝑡 =𝑐𝑡𝑐−1

𝑏𝑐exp −

𝑡

𝑏

𝑐

anos sem queima

taxa

de

ris

co

de

qu

eim

a

𝜆 𝑡 =𝑐𝑡𝑐−1

𝑏𝑐

• Inflamabilidade das fisionomias abertas

guiada pela fenologia do capim-flecha

• 75% de chances do fogo ocorrer até 3

ou 4 anos sem queima (valor crítico)

O fogo nas fisionomias abertas do Parque Nacional

das Emas

Dis

trib

uiç

ão

cu

mu

lativa

anos sem queima

𝐹 𝑡 = 1 − exp −𝑡

𝑏

𝑐

anos sem queima

De

nsid

ade d

e p

rob

abili

dade

𝑓 𝑡 =𝑐𝑡𝑐−1

𝑏𝑐exp −

𝑡

𝑏

𝑐

anos sem queima

taxa

de

ris

co

de

qu

eim

a

𝜆 𝑡 =𝑐𝑡𝑐−1

𝑏𝑐

Três classes de acúmulo:

• acúmulo baixo (o - 1 ano sem queima)

• acúmulo médio (1 - 2 anos sem queima)

• acúmulo alto (mais de 3 anos sem

queima)

Jun2006-Mai2007

Jun2006-Mai2007

Jun2006-Mai2007

Classes de acúmulo de combustível

Escala comparativa entre as classes de tipo e

respectivas

classes de acúmulo de combustível vegetal

Valores das probabilidades elementares

Miranda et al (2009): Máxima velocidade de propagação do fogo documentada para

o Cerrado é de 0,6 m/s. Logo Δ𝑙 = 30 m e Δ𝑡 = 50 s.

Valores das probabilidades elementares

cerrado aberto

FC1 floresta

cerrado

fechado

campo

úmido

FL1 FL2 FL3 FC4 FC2 FC3

𝐵0 0,350 0,250 0,220 0,450 0,700 0,800

𝐼0 0,075 0,115 0,152 0,100 0,115 0,075

Procedimento de ajuste objetivo

modelo de

propagação do fogo

incêndio

simulado

dados de saída

incêndio real

objetivo

minimizar a diferença em

termos de extensão e

tempo de duração

MÉTODO

DE BUSCA

dados de entrada

O ajuste é definido à partir de 50 execuções independentes do algoritmo de vaga-lumes, com

32 vaga-lumes que se movimentam no espaço de busca ao longo de 30 iterações.

FC1, FL1

FC1, FL2

FC1, FL3

FC2

FC3

FC4

rio

aceiro

queimando

queimada

FC1, FL1

FC1, FL2

FC1, FL3

FC2

FC3

FC4

rio

aceiro

queimando

queimada

Garrett Hardin

• Ecologista norte-americano que alertou sobre

os perigos da superpopulação.

• Expôs em 1968 um artigo intitulado “A

tragédia do bem comum” (em inglês “The

tragedy of the commons”), chamando a

atenção para o perigo que ações inocentes de

indivíduos podem impor ao meio ambiente.

• A tragédia dos comuns é um tipo de

armadilha social, frequentemente

econômica, que envolve um conflito entre

interesses individuais e o bem comum no uso

de recursos finitos.

Garrett Hardin

(1951 - 1986)

"The Tragedy of the Commons". Science 162 (3859): 1243–1248. 1968. doi:10.1126/science.162.3859.1243

• Ocorre quando indivíduos atuam independentemente e racionalmente,

esgotando um recurso que é compartilhado, mesmo tendo conhecimento de que

este recurso possa se esgotar.

O pasto é um recurso compartilhado entre vários pastores.

O pastor pode usar livremente o pasto para alimentar o seu rebanho.

Embora saibam que o recurso é limitado, o manejo do pasto é ignorado.

Embora saiba que o recurso é limitado, o manejo do pasto é ignorado.

antes depois

overgrazing

(consumo exagerado de pastagem)

• Objetivo do pastor: maximizar sua produção, ou seja,

aumentar o tamanho de seu rebanho.

• Cada animal possui uma utilidade com uma componente

positiva e outra componente negativa:

– Positivo: o pastor recebe todo o lucro sobre cada animal

adicional.

– Negativo: a pastagem é ligeiramente degradada por cada animal

adicional.

• A divisão destes custos e benefícios é desigual: o pastor

individualista ganha todas as vantagens, mas as

desvantagens são compartilhadas entre todos os

pastores que usam a pastagem.

20 40 60 80 100

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

agente

pastor

recurso

comum

(pasto)

• Comportamento do agente pastor:

– Ocupa uma célula

– Possui um rebanho que consome o recurso da célula

– Movimenta-se aleatoriamente ao longo do espaço celular

– Possui três tipos de estratégias de uso do recurso:

• Predatória: o consomo do recurso se dá indiscriminadamente

• Equilibrada: o consumo é diretamente proporcionalmente à

abundância de recursos

• Mista: Opta pelo equilibrado, mas se desvirtua em alguns

momentos, optando pela estratégia predatória

• Recurso (espaço celular):

– Uma vez consumida pelo pastor, existe uma probabilidade de

regeneração do pasto

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

tempo

pro

po

rçã

o d

e p

asto

Estratégia predatória

Estratégia mista

Estratégia equilibrada

• A estratégia predatória induz a

uma competição, onde muitos

consumirem pouco recurso.

• A estratégia equilibrada

favorece uma melhor

distribuição de consumo do

recurso.

• A estratégia mista apresenta-

se no intermédio entre a

predatória e a e equilibrada.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

50

100

150

200

250

300Estratégia Predatória

10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

50

100

150

200

250Estratégia Equilibrada

0 10 20 30 40 50 60 70 800

50

100

150

200

250

300Estratégia Mista

• Modelagem matemática é uma arte.

• Simplificar antes de modelar é essencial.

• A etapa de concepção do modelo é a mais elegante e

exige o domínio de vários formalismos de modelagem

de modo que o modelar opte pelo mais adequado.

• A etapa de implementação computacional do modelo é a

mais poética.

• A etapa da validação de um modelo é a mais “hardcore”.

• Importância de um modelo:

– Caráter diagnóstico: obtenção de cenários what-if.

– Caráter prognóstico: obtenção de projeções.

George E. P. Box

Matemático inglês

Essentially, all models are wrong, but some are useful.

Remember that all models are wrong; the practical

question is how wrong do they have to be to not be useful.

Lembre-se de que todos os modelos são errados; a

questão prática é como errado eles têm que ser para não

ser útil. Box & Draper (1987), Empirical model-building and response surfaces, Wiley, p. 424.