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Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos
1
INE 7002 – GABARITO LISTA DE EXERCÍCIOS –MODELOS PROBABILÍSTICOS
35) a) Binomial: cada realização tem apenas 2 resultados possíveis, o número de realizações é
conhecido, e a probabilidade de sucesso é suposta constante (pois não há nenhuma informação em
contrário). n = 20 p = 0,05
b) P(X>0) = 1 – P(X = 0) = 1 – C20,0 × 0,050 × 0,95
20
c) P(X = 2) = C20,2 × 0,052 × 0,95
18
d) E(X) = n × p = 20 × 0,05 = 1 erro.
36) a) Binomial: ver motivos em 35 a). n = 5 p = 0,5
b) P(X 4) = P(X = 4) + P(X = 5) = C5,4 × 0,54 × 0,5
1 + C5,5 × 0,5
5 × 0,5
0
c) E(X) = n × p = 5 × 0,5 = 2,5 caras. Não, a variável não pode assumir este valor.
37) a) Binomial: ver motivos em 35 a). n = 10 p = 0,5
b) P(X 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10)
= C10,8 × 0,58 × 0,5
2 + C10,9 × 0,5
9 × 0,5
1 + C10,10 × 0,5
10 × 0,5
0
38) a) Binomial: ver motivos em 35 a). n = 3 p = 0,1
b) P(X 1) = 1 – P(X < 1) = 1 – P(X = 0) = 1 – C3,0 × 0,10 × 0,9
3
39) a) Binomial: ver motivos em 35 a). n = 11 p = 0,8
b) P(X = 11) = C11,11 × 0,811
× 0,20 = 0,085899
c) P(X = 0) = C11,0 × 0,80 × 0,2
11
d) P(X 6) = P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X =11)
= C11,6 × 0,86 × 0,2
5 + C11,7 × 0,8
7 × 0,2
4 + C11,8 × 0,8
8 × 0,2
3 + C11,9 × 0,8
9 × 0,2
2 +
C11,10 × 0,810
× 0,21 + C11,11 × 0,8
11 × 0,2
0 = 0,98834
Como P(X 6) > 0,75, a associação deve processar o fabricante.
e) E(X) = n × p = 11 × 0,8 = 8,8 carros.
40) a) Binomial: ver motivos em 35 a). n = 5 p = 0,1
b) P(X = 3) = C5,3 × 0,13 × 0,9
2 = 0,0081
c) P(X 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = C5,0 × 0,10 × 0,9
5 + C5,1 × 0,1
1 × 0,9
4 = 0,91854
d) Novo n = 10, novo p = 0,91854 => Sucesso: caixa aceita.
P(X 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X =10)
= C10,8 × 0,918548 × 0,08146
2 + C10,9 × 0,91854
9 × 0,08146
1 + C10,10 × 0,91854
10 × 0,08146
0
41) Proposta 1 versus Proposta 2 Binomial: p = 0,03
Proposta 1 – n = 80
P(X 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X =3)
= C80,0 × 0,030 × 0,97
80 + C80,1 × 0,03
1 × 0,97
79 + C80,2 ×0,03
2 ×0,97
78 + C80,3 ×0,03
3 ×0,97
77
= 0,78066
Proposta 2 – n = 40
P(X = 0) = C40,0 ×0,030 ×0,97
40 = 0,29571
Proposta Lote P(Aceitar) P(Rejeitar) Lucro
1 4000 0,78066 0,21934 60 se aceitar, 30 se não
2 4000 0,29571 0,70249 65 se aceitar, 20 se não
E(Lucro1) = (4000 × 60 × 0,78066) + (4000 × 30 × 0,21934) = 213679,20
E(Lucro2) = (4000 × 65 × 0,29571) + (4000 × 20 × 0,70249) = 133227,80
Escolhe-se a proposta 1 pois tem o maior lucro.
Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos
2
42) a) Binomial, n = 18, p = 0,06 P(X = 0) = C18,0 ×0,060 ×0,94
18 = 0,3283
b) Binomial, novo p = 0,3283, novo n = 8
P(X 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = C8,0 ×0,32830 ×0,6717
8 + C8,1 ×0,3283
1 ×0,6717
7
43) a) Binomial: ver motivos em 35 a). n = 12 p = 0,25
b) P(X 2) = 1 – P(X < 2) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1) = 1 – C12,0 ×0,250 ×0,75
12 - C12,1 ×0,25
1 ×0,75
11
c) P(X 4) = 1 – P(X< 4) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1) – P(X = 2) – P(X = 3)
= 1 - C12,0 ×0,250 ×0,75
12 - C12,1 ×0,25
1 ×0,75
11 - C12,2 ×0,25
2 ×0,75
10 - C12,3 ×0,25
3 ×0,75
9
d) P(X 1) = 1- P(X < 1) = 1- P(X = 0) = 1 - C12,0 ×0,250 ×0,75
12
e) E(X) = n × p = 12 × 0,25 = 3 Desvio padrão 51750250121 ,,,)p(pn
44) Binomial n = 9 p = 0,8
a) E(X) = n × p = 9 × 0,8 = 7,2 micros
b) P(X > 7) = P(X = 8) + P(X = 9) = C9,8 ×0,88 ×0,2
1 + C9,9 ×0,8
9 ×0,2
0 = 0,4362
c) Não, porque a probabilidade em b é menor do que 0,60 (60%).
45) Binomial n = 15 p = 0,95
a) P(X 10) = 1 – P(X > 10) = 1 – P(X = 11) – P(X = 12) – P(X = 13) – P(X = 14) – P(X = 15)
= 1 - C15,11 ×0,9511
×0,054 - C15,12 ×0,95
12 ×0,05
3 - C15,13 ×0,95
13 ×0,05
2 - C15,14 ×0,95
14 ×0,05
1
- C15,15 ×0,9515
×0,050 = 0,0006146
b) Não, a probabilidade é muito baixa.
c) Novo n = 1200 p = 0,95
E(X) = n × p = 1200 × 0,95 = 1140 Desvio padrão 55705095012001 ,,,)p(pn
46) Poisson = 2,25 crianças/dia t = 1 dia × t = 2,25 × 1 = 2,25 crianças
P(X > 2) = 1 – P(X 2) = 1- P(X = 0) – P(X = 1) – P(X = 2)
=
!
),(e
!
),(e
!
),(e ,,,
2
252
1
252
0
2521
225212520252
= 1 – 0,60933 = 0,39067
O hospital não deve ser instalado: P(X > 2) < 0,5.
47) Poisson = 0,5 carros/dia t = 2 dias × t = 0,5 × 2 = 1 carro
a) P(pagar dívida) = P(X 3) = 1- P(X < 3) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1) – P(X = 2)
=
!
)(e
!
)(e
!
)(e
2
1
1
1
0
11
211101
= 0,0803 Este valor é o correto, o indicado
como resposta na lista está errado.
b) P(X = 0) = 367800
101
,!
)(e
c) E(X) = × t = 0,5 × 2 = 1 carro V(X) = × t = 0,5 × 2 = 1 carro2
Desvio padrão 1 )X(V = 1 carro.
48) Poisson = 4 chamadas/hora
a) t = 0,5 horas × t = 4 × 0,5 = 2 chamadas
P(X > 3) = 1 – P(X ≤ 3) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1) – P(X = 2) – P(X = 3)
=
!3
)2(e
!2
)2(e
!1
)2(e
!0
)2(e1
32221202
= 1 – 0,85712 = 0,14288
Há uma probabilidade relativamente pequena de que as 3 viaturas não seja suficientes.
b) t = 1 hora ×t = 4 ×1 = 4 chamadas
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3
P(X = 0)=
!0
)4(e 04
= 0,0183156
c) t = 2 horas ×t = 4 × 2 = 8 chamadas
P(X = 0) =
!0
)8(e 08
= 0,000335462
A chance de não atender nenhuma chamada é muito pequena.
49) Poisson = 0,20 chamadas/minuto
a) t = 10 minutos × t = 0,2 × 10 = 2 chamadas P(X = 3) =
!3
)2(e 32
= 0,1804
b) t = 10 minutos × t = 0,2 × 10 = 2 chamadas
P(X ≥ 5) = 1 – P(X < 5) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1) – P(X = 2) – P(X = 3) – P(X = 4)
=
!4
)2(e
!3
)2(e
!2
)2(e
!1
)2(e
!0
)2(e1
4232221202
= 0,0526
c) t = 60 minutos × t = 0,2 × 60 = 12 chamadas P(X = 10) =
!10
)12(e 1012
= 0,1048
d) t = 360 minutos × t = 0,2 × 360 = 72 chamadas
P(X ≤ 5) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)
=
!5
)72(e
!4
)72(e
!3
)72(e
!2
)72(e
!1
)72(e
!0
)72(e 572472372272172072
0
e) Meia hora t = 30 minutos E(X) = × t = 0,2 × 30 = 6 chamadas.
Turno completo t = 360 minutos E(X) = × t = 0,2 × 360 = 72 chamadas.
50) Poisson Impurezas => = 0,005/cm3 Bolhas => = 0,15/cm
3 t = 10 cm
3.
a) A peça é considerada defeituosa se apresentar 2 ou mais defeitos, sejam eles por impurezas ou bolhas
isoladamente, ou qualquer combinação possível deles. Como os defeitos são independentes podemos
somar suas taxas de ocorrência e obter a taxa combinada de defeitos: = impurezas + bolhas =
0,005 + 0,15 = 0,155 defeitos/cm3. Como t = 10 cm
3, então × t = 0,155 × 10 = 1,55 defeitos.
P(peça defeituosa) = P(X ≥ 2) = 1 – P(X < 2) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1)
=
!1
)55,1(e
!0
)55,1(e1
155,1055,1
=1 – 0,5411 = 0,4589
b) Binomial n = 3 p = 0,4589
P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = C3,0 ×0,45890 ×0,5411
3 + C3,1 ×0,4589
1 ×0,5411
2 = 0,5615
c) c.1 – P(Defeito) = 0,4589 => Lucro = -5 P(Sem defeito) = 0,5411 => Lucro = 10 – 5 = 5
E(Lucro) = (-5 × 0,4589) + (5 ×0,5411) = 0,411
c.2 – E(Lucro em 1500 peças) = 1500 × E(Lucro) = 1500 × 0,411 = 616,5
51) Poisson = 4 carros/ 15 minutos = 16 carros/hora
a) t = 0,5 horas × t = 16 × 0,5 = 8 carros
P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) + ... = 1 – P(X 2) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1) – P(X = 2)
=
!
)(e
!
)(e
!
)(e
2
8
1
8
0
81
281808
= 0,9862
b) t = 1 hora × t = 16 × 1 = 16 carros
P(X 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
=
!
)(e
!
)(e
!
)(e
2
16
1
16
0
16216116016
= 0,000016318
Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos
4
c) Sim, porque a probabilidade de chegarem até 2 carros em uma hora é muito baixa.
52) Como p = 0,00001 é muito baixa, podemos usar Poisson como aproximação a binomial.
a) n = 200 m = n × p = 200 × 0,00001 = 0,002
P(realizar negócio) = P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) =
!
),(e
!
),(e ,,
1
0020
0
00201002000020
1.
b) n = 2000 m = n × p = 2000 × 0,00001 = 0,2
P(realizar negócio) = P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) =
!
),(e
!
),(e ,,
1
20
0
20120020
= 0,9824
c) n = 200000 m = n × p = 200000 × 0,00001 = 2
P(realizar negócio) = P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) =
!
)(e
!
)(e
1
2
0
21202
= 0,4060
53) Poisson: = 4 itens/6 horas t = 12 horas × t = 8 itens
a) P(X > 4) = 1 – P(X 4) = 1 – P(X = 0) – P(X =1) – P(X =2) – P(X =3) – P(X=4)
=
!
)(e
!
)(e
!
)(e
!
)(e
!
)(e
4
8
3
8
2
8
1
8
0
81
4838281808
= 1 – 0,0996 = 0,9004
b) P(X > 7) = 1 – P(X 7) = 1 – P(X = 0) – P(X=1) – P(X=2) – P(X=3) – P(X=4) – P(X=5) – P(X=6) – P(X=7)
=1 – 0,996 -
!
)(e
!
)(e
!
)(e
7
8
6
8
5
8786858
= 1 – 0,4529 = 0,54707.
7 peças é um número suficiente. Há mais de 50% de probabilidade de requisitar mais de 7 peças.
54) a) No gráfico abaixo P(Z>1,0)
b) No gráfico abaixo P(Z < 1,0)
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3,5 -3
-2,5 -2
-1,5 -1
-0,5 0
0,5 1
1,5
1,9
9
2,4
9
2,9
9
3,4
9
3,9
9
Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3,5 -3
-2,5 -2
-1,5 -1
-0,5 0
0,5 1
1,5
1,9
9
2,4
9
2,9
9
3,4
9
3,9
9
Z
A área sombreada corresponde a P(Z>1,0).
Esta probabilidade pode ser obtida
diretamente da tabela:
P(Z> 1,0) = 0,1587
A área sombreada corresponde a P(Z<1,0). Esta
probabilidade NÃO pode ser obtida diretamente
da tabela. Mas pelas propriedades de
probabilidade sabemos que:
P(Z<1,0) = 1 – P(Z≥1,0). Esta última
probabilidade pode ser obtida diretamente da
tabela, e é igual à probabilidade encontrada no
item a (P(Z>1,0)), pois Z é uma variável
aleatória contínua. Então:
P(Z< 1,0) = 1 – P(Z>1,0) = 1 - 0,1587 = 0,8413
Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos
5
c) No gráfico abaixo P(Z>-0,34)
d) No gráfico abaixo P(0 < Z < 1,5)
e) No gráfico abaixo P(-2,88 < Z < 0)
f) No gráfico abaixo P(-0,56<Z<-0,2)
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5-4
-3,5 -3
-2,5 -2
-1,5 -1
-0,5 0
0,5 1
1,5
1,9
9
2,4
9
2,9
9
3,4
9
3,9
9
Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3,5 -3
-2,5 -2
-1,5 -1
-0,5 0
0,5 1
1,5
1,99
2,49
2,99
3,49
3,99
Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3,5 -3
-2,5 -2
-1,5 -1
-0,5 0
0,5 1
1,5
1,9
9
2,4
9
2,9
9
3,4
9
3,9
9
Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3,5 -3
-2,5 -2
-1,5 -1
-0,5 0
0,5 1
1,5
1,99
2,49
2,99
3,49
3,99
Z
A área sombreada corresponde a P(Z>-0,34).
Esta probabilidade NÃO pode ser obtida
diretamente da tabela, pois o Z é negativo. Mas
pelas propriedades de probabilidade sabemos
que:
P(Z>-0,34) = 1 – P(Z<-0,34).
E devido à simetria da distribuição normal
padrão em relação à média zero:
P(Z<-0,34) = P(Z>0,34), e esta última
probabilidade pode ser obtida da tabela.
Então: P(Z>-0,34) = 1 – P(Z>0,34) =
1 – 0,3669 = 0,6331
Para obter a probabilidade de Z estar entre 0 e
1,5 basta obter a probabilidade de Z ser maior
do que zero e subtrair a probabilidade de Z ser
maior do que 1,5: o resultado será exatamente a
probabilidade do intervalo procurado.
P(0 < Z < 1,5) = P(Z>0) – P(Z>1,5)
= 0,5 – 0,0668 = 0,4332
Esta probabilidade foi facilmente obtida por que
os valores de Z são ambos positivos.
Podemos usar um raciocínio semelhante ao da
letra d): P(-2,88<Z<0) = P(Z<0) – P(Z<-2,88).
A probabilidade P(Z<0) é igual a P(Z>0), mas
P(Z<-2,88) não pode ser obtida diretamente da
tabela. Contudo, devido à simetria da
distribuição normal padrão em relação à média
zero: P(Z<-2,88) = P(Z>2,88). Então:
P(-2,88<Z<0) = P(Z>0) – P(Z>2,88) =
0,5 – 0,0020 = 0,4980
O valor de Z -2,88 é “invisível” no gráfico ao
lado devido à grande distância da média (2,88
desvios padrões).
Podemos usar um raciocínio semelhante ao da
letra e, tendo em mente que os dois valores que
definem o intervalo são negativos, e que há
simetria da distribuição normal padrão em
relação à média zero:
P(-0,56<Z<-0,2) = P(Z>0,2) – P(Z>0,56)
= 0,4207 – 0,2877 = 0,133
Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos
6
g) No gráfico abaixo P(-0,49 < Z < 0,49)
h) No gráfico abaixo P(2,5 <Z < 2,8)
i) No gráfico abaixo P(Z<-0,2)
j) No gráfico abaixo P(Z>-0,2)
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3,5 -3
-2,5 -2
-1,5 -1
-0,5 0
0,5 1
1,5
1,9
9
2,4
9
2,9
9
3,4
9
3,9
9
Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3,5 -3
-2,5 -2
-1,5 -1
-0,5 0
0,5 1
1,5
1,9
9
2,4
9
2,9
9
3,4
9
3,9
9
Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3,5 -3
-2,5 -2
-1,5 -1
-0,5 0
0,5 1
1,5
1,99
2,49
2,99
3,49
3,99
Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3,5 -3
-2,5 -2
-1,5 -1
-0,5 0
0,5 1
1,5
1,9
9
2,4
9
2,9
9
3,4
9
3,9
9
Z
Usemos um raciocínio semelhante ao das letras
d e e, mas agora os valores que definem o
intervalo têm sinais diferentes, mas são iguais
em módulo, isto é estão à mesma distância da
média (zero). Sendo assim, P(Z>0,49) = P(Z<-
0,49), devido à simetria da distribuição normal
padrão em relação à média. Recordando que a
probabilidade de ocorrência de um evento é
igual a 1 menos a probabilidade do seu
complementar, então:
P(-0,49<Z<0,49) = 1- 2 × P(Z>0,49)
= 1 – 2 × 0,3121 = 0,3758
Usando um raciocínio semelhante ao da letra d,
basta obter a probabilidade de Z ser maior do
que 2,5 e subtrair a probabilidade de Z ser
maior do que 2,8: o resultado será exatamente a
probabilidade do intervalo procurado.
P(2,5< Z < 2,8) = P(Z>2,5) – P(Z>2,8)
= 0,0062 – 0,0026 = 0,0036
Esta probabilidade foi facilmente obtida por que
os valores de Z são ambos positivos. O valor
obtido é pequeno, pois o intervalo está a mais de
2 desvios padrões da média.
A probabilidade procurada não pode ser obtida
diretamente da tabela: esta define as
probabilidades de Z ser MAIOR do que um certo
valor. Entretanto, devido à simetria da
distribuição normal padrão em relação à média
zero:
P(Z<-0,2) = P(Z>0,2) = 0,4207
A probabilidade procurada não pode ser obtida
diretamente da tabela, pois Z aqui é negativo.
Entretanto, devido à simetria da distribuição
normal padrão em relação à média zero, e
usando a propriedade do evento complementar:
P(Z>-0,2) = 1-P(Z>0,2) = 1-0,4207 = 0,5793
Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos
7
k) No gráfico abaixo P(-0,2<Z<0)
l) No gráfico abaixo P(-0,2<Z<0,4)
55) Neste exercício devemos procurar pelas probabilidades informadas na tabela e então encontrar os
valores de Z correspondentes. Se não for possível encontrar o valor de Z exatamente correspondente à
probabilidade procurada, pode-se obter o mais próximo possível.
a) No gráfico abaixo P(Z>Z1) = 0,0505
b) No gráfico abaixo P(Z>Z1) = 0,0228.
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5-4
-3,5 -3
-2,5 -2
-1,5 -1
-0,5 0
0,5 1
1,5
1,99
2,49
2,99
3,49
3,99
Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3,5 -3
-2,5 -2
-1,5 -1
-0,5 0
0,5 1
1,5
1,99
2,49
2,99
3,49
3,99
Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3,5 -3
-2,5 -2
-1,5 -1
-0,5 0
0,5 1
1,5
1,99
2,49
2,99
3,49
3,99
Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3,5 -3
-2,5 -2
-1,5 -1
-0,5 0
0,5 1
1,5
1,99
2,49
2,99
3,49
3,99
Z
Podemos usar o raciocínio da letra e. A
probabilidade P(Z<0) é igual a P(Z>0), mas
P(Z<-0,2) não pode ser obtida diretamente da
tabela. Contudo, devido à simetria da
distribuição normal padrão em relação à média
zero: P(Z<-0,2) = P(Z>0,2). Então:
P(-0,2<Z<0) = P(Z>0) – P(Z>0,2) =
0,5 – 0,4207 = 0,0793
Usemos um raciocínio semelhante ao da letra g,
mas os valores que definem o intervalo têm
sinais e valores diferentes. Mas, devido à
simetria da distribuição normal padrão em
relação à média: P(Z<-0,2) = P(Z>0,2).
Recordando que a probabilidade de ocorrência
de um evento é igual a 1 menos a probabilidade
do seu complementar, então:
P(-0,2<Z<0,4) = 1- P(Z>0,2) - P(Z>0,4)
= 1 – 0,4207 – 0,3446 = 0,2347
Procura-se o valor de Z1 tal que a probabilidade
de Z ser MAIOR do que ele seja igual a 0,0505.
Desta forma podemos procurar esta
probabilidade diretamente na tabela. Na coluna
da extrema esquerda identificamos a linha 1,6. E
na primeira linha encontramos a segunda
decimal 0,04, resultando em Z1 = 1,64.
Procura-se o valor de Z1 tal que a probabilidade
de Z ser MAIOR do que ele seja igual a 0,0228.
Desta forma podemos procurar esta
probabilidade diretamente na tabela. Na coluna
da extrema esquerda identificamos a linha 2,0. E
na primeira linha encontramos a segunda
decimal 0,00, resultando em Z1 = 2,00.
Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos
8
c) No gráfico abaixo P(Z<Z1) = 0,0228
d) No gráfico abaixo P(0<Z<Z1) = 0,4772
e) No gráfico abaixo P(-Z1<Z<Z1) = 0,95 Esta probabilidade está INCORRETA na lista.
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5-4
-3,5 -3
-2,5 -2
-1,5 -1
-0,5 0
0,5 1
1,5
1,9
9
2,4
9
2,9
9
3,4
9
3,9
9
Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3,5 -3
-2,5 -2
-1,5 -1
-0,5 0
0,5 1
1,5
1,9
9
2,4
9
2,9
9
3,4
9
3,9
9
Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3,5 -3
-2,5 -2
-1,5 -1
-0,5 0
0,5 1
1,5
1,9
9
2,4
9
2,9
9
3,4
9
3,9
9
Z
Procura-se o valor de Z1 tal que a
probabilidade de Z ser MENOR do que ele
seja igual a 0,0228. Desta forma NÃO
podemos procurar esta probabilidade
diretamente na tabela. Entretanto, devido à
simetria da distribuição normal padrão à
média zero, sabemos que:
P(Z<Z1) = 0,0228 = P(Z>-Z1) = 0,0228
De acordo com a letra b –Z1 = 2,00, então Z1
= -2,00.
Observe a coerência do resultado: como a
área é limitada por um valor ABAIXO de zero,
obviamente Z1 teria que ser negativo.
Procura-se o valor de Z1 tal que a
probabilidade de Z estar entre 0 e ele seja
igual a 0,4772. Percebe-se que Z1 será
POSITIVO.
P(0<Z<Z1) = 0,4772 = P(Z>0) – P(Z>Z1)
P(Z>Z1) = 0,5 – 0,4772 = 0,0228.
Observe que se trata do mesmo problema da
letra b, então Z1 = 2.
Procura-se o valor de Z1 tal que a
probabilidade de Z estar entre –Z1 e +Z1 seja
igual a 0,95. Como os dois valores estão à
mesma distância de zero
P(Z<-Z1) = P(Z>Z1) = (1-0,95)/2 = 0,025
P(Z>Z1) = 0,025.
Procura-se o valor de Z1 tal que a
probabilidade de Z ser MAIOR do que ele seja
igual a 0,025. Desta forma podemos procurar
esta probabilidade diretamente na tabela. Na
coluna da extrema esquerda identificamos a
linha 1,9. E na primeira linha encontramos a
segunda decimal 0,06, resultando em Z1 =
1,96.
Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos
9
f) No gráfico abaixo P(Z<Z1) = 0,0110
g) No gráfico abaixo P(Z<Z1) = 0,0505
h) P(Z<Z1) = 0,5. Como a distribuição normal padrão é simétrica em relação à sua média zero, então Z1
= 0, pois há 50% de chance dos valores serem menores do que zero.
i) No gráfico abaixo P(-Z1<Z<Z1) = 0,6825
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5-4
-3,5 -3
-2,5 -2
-1,5 -1
-0,5 0
0,5 1
1,5
1,9
9
2,4
9
2,9
9
3,4
9
3,9
9
Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3,5 -3
-2,5 -2
-1,5 -1
-0,5 0
0,5 1
1,5
1,9
9
2,4
9
2,9
9
3,4
9
3,9
9
Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3,5 -3
-2,5 -2
-1,5 -1
-0,5 0
0,5 1
1,5
1,9
9
2,4
9
2,9
9
3,4
9
3,9
9
Z
Procura-se o valor de Z1 tal que a
probabilidade de Z ser MENOR do que ele
seja igual a 0,0110. Este valor não pode ser
identificado diretamente na tabela, mas devido
à simetria da distribuição normal à média
zero: P(Z<Z1) = 0,0110 = P(Z>-Z1)
Procura-se o valor de -Z1 tal que a
probabilidade de Z ser MAIOR do que ele seja
igual a 0,0110. Desta forma podemos procurar
esta probabilidade diretamente na tabela. Na
coluna da extrema esquerda identificamos a
linha 2,2. E na primeira linha encontramos a
segunda decimal 0,09, resultando em -Z1 =
2,29. Logo Z1 = -2,29 (observe a coerência
com o gráfico, pois Z1 é menor do que zero).
Procura-se o valor de Z1 tal que a
probabilidade de Z ser MENOR do que ele
seja igual a 0,0505. Este valor não pode ser
identificado diretamente na tabela, mas devido
à simetria da distribuição normal à média
zero: P(Z<Z1) = 0,0505 = P(Z>-Z1)
Procura-se o valor de -Z1 tal que a
probabilidade de Z ser MAIOR do que ele seja
igual a 0,0505. Desta forma podemos procurar
esta probabilidade diretamente na tabela. Na
coluna da extrema esquerda identificamos a
linha 1,6. E na primeira linha encontramos a
segunda decimal 0,04, resultando em -Z1 =
1,64. Logo Z1 = -1,64 (observe a coerência
com o gráfico, pois Z1 é menor do que zero).
Procura-se o valor de Z1 tal que a
probabilidade de Z estar entre –Z1 e +Z1 seja
igual a 0,6825. Como os dois valores estão à
mesma distância de zero
P(Z<-Z1) = P(Z>Z1) = (1-0,6825)/2 = 0,1587
P(Z>Z1) = 0,1587.
Procura-se o valor de Z1 tal que a
probabilidade de Z ser MAIOR do que ele seja
igual a 0,1587. Desta forma podemos procurar
esta probabilidade diretamente na tabela. Na
coluna da extrema esquerda identificamos a
linha 1,0. E na primeira linha encontramos a
segunda decimal 0,00, resultando em Z1 =
1,00.
Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos
10
j) No gráfico abaixo P(-Z1<Z<Z1) = 0,9544
56) A solução desta questão passa pela utilização da equação Z = (x -)/, sabendo-se que = 25 e =
2.
a) Z = (23-25)/2 = -1,0 b) Z = (23,5-25)/2 = -0,75 c) Z = (24-25)/2 = -0,5
d) Z = (25,2-25)/2 = 0,1 e) Z = (25,5 – 25)/2 = 0,25
57) Novamente devemos usar a equação Z = (x -)/, mas isolar o valor de x: x = + Z×, sabendo
que = 40 e = 3.
a) x = 40 + (0,1×3) = 40,3 b) x = 40 + (2×3) = 46 c) x = 40 + (0,75×3) = 42,25
d) x = 40 + (-2,53×3) = 32,41 e) x = 40 + (-3×3) = 31 f) x = 40 + (-3,2×3) = 30,4
58) X é uma variável aleatória contínua com distribuição normal, com = 50 e = 5. Para calcular as
probabilidades pedidas é preciso encontrar os valores de Z correspondentes aos valores de x.
a) P(40<X<50)
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5-4
-3,5 -3
-2,5 -2
-1,5 -1
-0,5 0
0,5 1
1,5
1,9
9
2,4
9
2,9
9
3,4
9
3,9
9
Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
30
32
,5 35
37
,5 40
42
,5 45
47
,5 50
52
,5 55
57
,5 60
62
,5 65
67
,5 70
X
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3,5 -3
-2,5 -2
-1,5 -1
-0,5 0
0,5 1
1,5
1,9
9
2,4
9
2,9
9
3,4
9
3,9
9
Z
Procura-se o valor de Z1 tal que a
probabilidade de Z estar entre –Z1 e +Z1 seja
igual a 0,9544. Como os dois valores estão à
mesma distância de zero
P(Z<-Z1) = P(Z>Z1) = (1-0,9544)/2 = 0,0228
P(Z>Z1) = 0,0228.
Procura-se o valor de Z1 tal que a
probabilidade de Z ser MAIOR do que ele seja
igual a 0,0228. Desta forma podemos procurar
esta probabilidade diretamente na tabela. Na
coluna da extrema esquerda identificamos a
linha 2,0. E na primeira linha encontramos a
segunda decimal 0,00, resultando em Z1 =
2,00.
Usando a equação Z = (x -)/ podemos
encontrar os valores de Z correspondentes a 40
e 50:
Z1 = (40-50)/5 = -2 Z2 = (50-50)/5 = 0
Então: P(40<X<50) = P(-2<Z<0).
Abaixo está o gráfico da variável Z
Podemos usar um raciocínio semelhante ao da
letra d do Exercício 54: P(-2,0<Z<0) = P(Z<0)
– P(Z<-2,0).
A probabilidade P(Z<0) é igual a P(Z>0), mas
P(Z<-2,0) não pode ser obtida diretamente da
tabela. Contudo, devido à simetria da
distribuição normal padrão em relação à média
zero: P(Z<-2,0) = P(Z>2,0). Então:
P(-2,0<Z<0) = P(Z>0) – P(Z>2,0) =
0,5 – 0,0228 = 0,4772
Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos
11
b) P(49<X<50)
c)P(40<X<45)
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,53
0
32
,5 35
37
,5 40
42
,5 45
47
,5 50
52
,5 55
57
,5 60
62
,5 65
67
,5 70
X
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3,5 -3
-2,5 -2
-1,5 -1
-0,5 0
0,5 1
1,5
1,9
9
2,4
9
2,9
9
3,4
9
3,9
9
Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
30
32
,5 35
37
,5 40
42
,5 45
47
,5 50
52
,5 55
57
,5 60
62
,5 65
67
,5 70
X
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3,5 -3
-2,5 -2
-1,5 -1
-0,5 0
0,5 1
1,5
1,9
9
2,4
9
2,9
9
3,4
9
3,9
9
Z
Usando a equação Z = (x -)/ podemos
encontrar os valores de Z correspondentes a
49 e 50:
Z1 = (49-50)/5 = -0,2 Z2 = (50-50)/5
= 0
Então: P(49<X<50) = P(-0,2<Z<0).
Abaixo está o gráfico da variável Z
Podemos usar um raciocínio semelhante ao da
letra i do Exercício 54: P(-0,2<Z<0) = P(Z<0) –
P(Z<-0,2).
A probabilidade P(Z<0) é igual a P(Z>0), mas
P(Z<-0,2) não pode ser obtida diretamente da
tabela. Contudo, devido à simetria da
distribuição normal padrão em relação à média
zero: P(Z<-0,2) = P(Z>0,2). Então:
P(-0,2<Z<0) = P(Z>0) – P(Z>2,0) =
0,5 – 0,4207 = 0,0793
Usando a equação Z = (x -)/ podemos
encontrar os valores de Z correspondentes a
40 e 45:
Z1 = (40-50)/5 = -2 Z2 = (45-50)/5 =-1
Então: P(40<X<45) = P(-2<Z<-1).
Abaixo está o gráfico da variável Z
Podemos usar um raciocínio semelhante ao da
letra f do Exercício 54: P(-2<Z<-1) = P(Z>1) –
P(Z>2).
Então:
P(Z<-0,2) = P(Z>0,2). Então:
P(-0,2<Z<0) = P(Z>0) – P(Z>2,0) =
0,5 – 0,4207 = 0,0793
Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos
12
d) P(56<X<60)
e) P(40<X<65)
f) P(45<X<55)
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,530
32,5 35
37,5 40
42,5 45
47,5 50
52,5 55
57,5 60
62,5 65
67,5 70
X
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3,5 -3
-2,5 -2
-1,5 -1
-0,5 0
0,5 1
1,5
1,9
9
2,4
9
2,9
9
3,4
9
3,9
9
Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
30
32
,5 35
37
,5 40
42
,5 45
47
,5 50
52
,5 55
57
,5 60
62
,5 65
67
,5 70
X
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
30
32
,5 35
37
,5 40
42
,5 45
47
,5 50
52
,5 55
57
,5 60
62
,5 65
67
,5 70
X
Usando a equação Z = (x -)/ podemos
encontrar os valores de Z correspondentes a
56 e 60:
Z1 = (56-50)/5 = 1,2 Z2 = (60-50)/5 =2
Então: P(56<X<60) = P(1,2<Z<2).
Abaixo está o gráfico da variável Z
Podemos usar um raciocínio semelhante ao da
letra h do Exercício 54:
P(1,2<Z<2) = P(Z>1,2) – P(Z>2).
Então:
P(1,2<Z<2) = 0,1151 – 0,0228 = 0,0923
Usando a equação Z = (x -)/ podemos
encontrar os valores de Z correspondentes a
40 e 65:
Z1 = (40-50)/5 = -2 Z2 = (65-50)/5 =3
Então: P(40<X<65) = P(-2<Z<3).
Podemos usar um raciocínio semelhante ao
da letra g do Exercício 54 (embora os
valores de Z não sejam iguais):
P(-2<Z<3) = 1- P(Z>2) – P(Z>3).
Então:
P(-2<Z<3) = 1-0,0228 – 0,00135 = 0,97585
Usando a equação Z = (x -)/ podemos
encontrar os valores de Z correspondentes a
40 e 65:
Z1 = (45-50)/5 = -1 Z2 = (55-50)/5 =1
Então: P(45<X<55) = P(-1<Z<1).
Podemos usar um raciocínio semelhante ao
da letra g do Exercício 54:
P(-1<Z<1) = 1- 2×P(Z>1)
Então:
P(-1<Z<1) = 1-2×0,1587 = 0,6826
Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos
13
59) Em ambos os casos é preciso encontrar os valores de Z correspondentes aos escores mínimos 575 e
540. Como 575 é maior do que 550, o valor de Z associado será positivo, e como 540 é menor do que
550, Z será negativo. Vamos apresentar os cálculos.
Usando a equação Z = (x -)/ podemos encontrar os valores de Z correspondentes a 575 e 540:
Z1 = (575-550)/30 = 0,83 Z2 = (540-550)/30 = - 0,33.
Então P(X>575) = P(Z>0,83) e P(X>540) = P(Z>-0,33). Os gráficos respectivos são mostrados a
seguir:
P(Z>0,83) pode ser obtida diretamente da tabela: P(Z>0,83) = 0,2033. Como a distribuição normal
padrão é simétrica em relação à média zero, e lembrando da propriedade da probabilidade do evento
complementar: P(Z<-0,33)=1 - P(Z>0,33) = 1 – 0,3707 = 0,6293.
60) Suponha a variável X como sendo os ganhos mensais. Apenas será interessante mudar de emprego se
X>3500, que são os ganhos atuais. Então, para escolher a melhor opção (letra b), ou para calcular a
probabilidade de ganhar mais em cada emprego, é preciso obter P(X>3500).
a) No caso da indústria, = 4000 e = 500, P(X>3500) = P(Z>Z1): Z1= (3500 – 4000)/500 = -1,0.
Veja os gráficos a seguir:
Como a distribuição normal padrão é simétrica em relação à média zero, e lembrando da propriedade
da probabilidade do evento complementar, a probabilidade de ganhar mais na indústria: P(X>3500) =
P(Z>-1) = 1 – P(Z>1) = 1 – 0,1587 = 0,8413.
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
43
0
44
5
46
0
47
5
49
0
50
5
52
0
53
5
55
0
56
5
58
0
59
5
61
0
62
5
64
0
65
5
67
0
X
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3,5 -3
-2,5 -2
-1,5 -1
-0,5 0
0,5 1
1,5
1,9
9
2,4
9
2,9
9
3,4
9
3,9
9
Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
43
0
44
5
46
0
47
5
49
0
50
5
52
0
53
5
55
0
56
5
58
0
59
5
61
0
62
5
64
0
65
5
67
0
X
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5-4
-3,5 -3
-2,5 -2
-1,5 -1
-0,5 0
0,5 1
1,5
1,9
9
2,4
9
2,9
9
3,4
9
3,9
9
Z
0,00,10,10,20,20,30,30,40,40,5
20
00
,00
22
50
,00
25
00
,00
27
50
,00
30
00
,00
32
50
,00
35
00
,00
37
50
,00
40
00
,00
42
50
,00
45
00
,00
47
50
,00
49
95
,00
52
45
,00
54
95
,00
57
45
,00
59
95
,00
X
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3,5 -3
-2,5 -2
-1,5 -1
-0,5 0
0,5 1
1,5
1,9
9
2,4
9
2,9
9
3,4
9
3,9
9
Z
Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos
14
No caso do Vendedor, = 3200 e = 2600, P(X>3500) = P(Z>Z2): Z2= (3500 – 3200)/2600 = 0,11.
Veja os gráficos a seguir:
A probabilidade de ganhar mais como vendedor: P(X>3500) = P(Z>0,11) = 0,4562.
b) Obviamente, o emprego na indústria deve ser o escolhido, pois tem uma probabilidade bem maior de
proporcionar ganhos superiores ao salário atual do que o de vendedor.
61)
a) P(X>3,05). = 3,062 e = 0,01 , P(X>3,05) = P(Z>Z1): Z1= (3,05 – 3,062)/0,01 = -1,2. Veja os
gráficos a seguir:
Como a distribuição normal padrão é simétrica em relação à média zero, e lembrando da propriedade
da probabilidade do evento complementar, P(X>3,05) = P(Z>-1,2) = 1- P(Z>1,2) = 1-0,1151 = 0,8849.
b) A solução é encontrar a probabilidade dos eixos estarem dentro dos padrões: P(3,04<X<3,08). Eixos
dentro dos padrões resultarão em lucro de 5-1,2 = 3,8. Eixos fora dos padrões, cuja probabilidade de
ocorrência será 1-P(3,04<X<3,08) – probabilidade do complementar – resultará em prejuízo de 1,2.
Usando a equação Z = (x -)/ podemos encontrar os valores de Z correspondentes a 3,04 e 3,08:
Z1 = (3,04-3,062)/0,01 = -2,2 Z2 = (3,08-3,062)/0,01 = 1,8
Então P(3,04<X<3,08) = P(-2,2<Z<1,8). Os gráficos respectivos são mostrados a seguir:
Podemos usar um raciocínio semelhante ao da letra g do Exercício 54 (embora os valores de Z não
sejam iguais):
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-72
00
-59
00
-46
00
-33
00
-20
00
-70
0
60
0
19
00
32
00
45
00
58
00
71
00
83
74
96
74
10
97
4
12
27
4
13
57
4
X
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3,5 -3
-2,5 -2
-1,5 -1
-0,5 0
0,5 1
1,5
1,9
9
2,4
9
2,9
9
3,4
9
3,9
9
Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
3,0
22
0
3,0
27
0
3,0
32
0
3,0
37
0
3,0
42
0
3,0
47
0
3,0
52
0
3,0
57
0
3,0
62
0
3,0
67
0
3,0
72
0
3,0
77
0
3,0
81
9
3,0
86
9
3,0
91
9
3,0
96
9
3,1
01
9
X
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3,5 -3
-2,5 -2
-1,5 -1
-0,5 0
0,5 1
1,5
1,9
9
2,4
9
2,9
9
3,4
9
3,9
9
Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
3,0
22
0
3,0
27
0
3,0
32
0
3,0
37
0
3,0
42
0
3,0
47
0
3,0
52
0
3,0
57
0
3,0
62
0
3,0
67
0
3,0
72
0
3,0
77
0
3,0
81
9
3,0
86
9
3,0
91
9
3,0
96
9
3,1
01
9
X
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3,5 -3
-2,5 -2
-1,5 -1
-0,5 0
0,5 1
1,5
1,9
9
2,4
9
2,9
9
3,4
9
3,9
9
Z
Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos
15
P(-2,2<Z<1,8) = 1- P(Z>1,8) – P(Z>2,2). Então: P(-2,2<Z<1,8) = 1 - 0,0359 – 0,0139 = 0,9502.
Conclui-se então que a probabilidade dos eixos estarem dentro dos padrões vale 0,9502, e de estarem
fora dos padrões vale 1- 0,9502 = 0,0498. Podemos então criar uma nova variável aleatória Y, lucro
individual, com a seguinte distribuição:
Y P(Y)
-1,2 0,0498
3,8 0,9502
O valor esperado de Y pode ser obtido através da expressão:
551,39502,08,30498,02,1py)Y(En
1i
yii
Este é o lucro esperado por em uma peça.
Queremos encontrar o lucro esperado em 100. Podemos usar uma propriedade do valor esperado:
E(k×Y) = 100×E(Y) => O valor esperado do produto de uma constante (100 no caso deste problema)
pelo valor esperado de uma variável aleatória é igual ao produto da constante pelo próprio valor
esperado. Assim, para 100 peças: E(100×Y) = 100 × E(Y) = 100 × 3,551 = 355,1.
62)
a) Variável aleatória X = precipitação anual em cm, segue distribuição normal com = 29,5 e = 2,5.
Precisamos encontrar o valor de X que delimita os 5% maiores valores de X: P(X>X1) = 0,05. Com base
na equivalência com a distribuição normal padrão: P(X>X1) = P(Z>Z1) = 0,05. Veja os gráficos a
seguir:
Podemos usar um raciocínio semelhante ao da letra a do Exercício 55. Procurar na tabela pela
probabilidade 0,05. Esta probabilidade NÃO EXISTE na tabela, podemos encontrar os valores mais
próximos. Na coluna da extrema esquerda vamos encontrar o valor 1,6, e na linha superior vamos
encontrar a segunda decimal 0,04 e 0,05: P(Z>1,64) = 0,0505 e P(Z>1,645) = 0,0495. Como as
probabilidades estão à mesma distância de 0,05 fazemos a média dos 2 valores de Z, então Z1 = 1,645.
Novamente devemos usar a equação Z = (x -)/, mas isolando o valor de x: x = + Z×, sabendo que
= 29,5, = 2,5 e Z1 = 1,645: x1 = 29,5 + 1,645 ×2,5 = 33,6125 cm.
b) P(X>32). = 29,5 e = 2,5, P(X>32) = P(Z>Z2): Z2= (32 – 29,5)/2,5 = 1,0. Veja os gráficos a
seguir:
P(Z>1,0) = 0,1587. Como a probabilidade é menor do que 0,45 não é viável a instalação do sistema.
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
19
,50
20
,75
22
,00
23
,25
24
,50
25
,75
27
,00
28
,25
29
,50
30
,75
32
,00
33
,25
34
,48
35
,73
36
,98
38
,23
39
,48
X
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3,5 -3
-2,5 -2
-1,5 -1
-0,5 0
0,5 1
1,5
1,9
9
2,4
9
2,9
9
3,4
9
3,9
9
Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
19
,50
20
,75
22
,00
23
,25
24
,50
25
,75
27
,00
28
,25
29
,50
30
,75
32
,00
33
,25
34
,48
35
,73
36
,98
38
,23
39
,48
X
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3,5 -3
-2,5 -2
-1,5 -1
-0,5 0
0,5 1
1,5
1,9
9
2,4
9
2,9
9
3,4
9
3,9
9
Z
Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos
16
63) Encontrar P(X<6) nos dois tipos de televisores. Aquele que apresentar menor valor deve ser o
incentivado.
No televisor A, P(X<6). = 9 e = 2, P(X<6) = P(Z>Z1): Z1= (6 – 9)/2= -1,5. Veja os gráficos a
seguir:
No televisor B, P(X<6). = 12 e = 3, P(X<6) = P(Z>Z2): Z2= (6 – 12)/3= -2. Veja os gráficos a
seguir:
Incentivaria o televisor B, pois ele tem a menor probabilidade de reposição em 6 meses.
64) Primeiramente encontramos a percentagem que atende às especificações P(1,6<X<2,4). Usando a
equação Z = (x -)/ podemos encontrar os valores de Z correspondentes a 1,6 e 2,4:
Z1 = (1,6-1,978)/0,172 = -2,2 Z2 = (2,4-1,978)/0,172 =2,45
Então: P(1,6<X<2,4) = P(-2,2<Z<2,45). Veja os gráficos a seguir:
Podemos usar um raciocínio semelhante ao da letra g do Exercício 54:
P(-2,2<Z<2,45) = 1- P(Z>2,2) – P(Z>2,45). Então: P(-2,2<Z<2,45) = 1-0,0139 – 0,0071 = 0,979.
Assim, o percentual dos que NÃO atendem às especificações seria igual a 1 – 0,979 = 0,021. A
esmagadora maioria dos eixos está dentro das especificações. Resta saber se 97,9% é aceitável ou não.
65) O problema é definir as faixas de percentuais, obter os valores de Z correspondentes e depois os
valores das notas que definem os conceitos. Veja os gráficos abaixo.
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
1,0
0
2,0
0
3,0
0
4,0
0
5,0
0
6,0
0
7,0
0
8,0
0
9,0
0
10
,00
11
,00
12
,00
12
,98
13
,98
14
,98
15
,98
16
,98
X
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3,5 -3
-2,5 -2
-1,5 -1
-0,5 0
0,5 1
1,5
1,9
9
2,4
9
2,9
9
3,4
9
3,9
9
Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
0
1,5 3
4,5 6
7,5 9
10
,5 12
13
,5 15
16
,5 18
19
,5 21
22
,5 24
X
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3,5 -3
-2,5 -2
-1,5 -1
-0,5 0
0,5 1
1,5
1,9
9
2,4
9
2,9
9
3,4
9
3,9
9
Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
1,2
90
0
1,3
76
0
1,4
62
0
1,5
48
0
1,6
34
0
1,7
20
0
1,8
06
0
1,8
92
0
1,9
78
0
2,0
64
0
2,1
50
0
2,2
36
0
2,3
20
3
2,4
06
3
2,4
92
3
2,5
78
3
2,6
64
3
X
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3,5 -3
-2,5 -2
-1,5 -1
-0,5 0
0,5 1
1,5
1,9
9
2,4
9
2,9
9
3,4
9
3,9
9
Z
P(X<6)=P(Z<-1,5) Devido à simetria
da distribuição normal padrão à média zero:
P(Z<-1,5)= (Z>1,5)
=0,0668
P(X<6)=P(Z<-2) Devido à simetria da distribuição
normal padrão à
média zero: P(Z<-2)=P(Z>2)
=0,0228
Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos
17
P(Z>Z4) = 0,1 P(Z>Z3) = 0,3 P(Z>Z2) = 0,7 P(Z>Z1) = 0,9
Procurando na tabela da distribuição normal padrão:
Z4 1,28, x4 = 50 + 1,28 ×10 = 62,8 Z3 0,53, x3 = 50 + 0,53 ×10 = 55,3
P(Z>Z2) = 0,7 , P(Z>- Z2) = 1 – 0,7 = 0,3 - Z2 0,53 Z2 -0,53, x2 = 50 -0,53 ×10 = 44,7
P(Z>Z1) = 0,9, P(Z>- Z1) = 1 – 0,9 = 0,1 - Z1 1,28 Z1 -1,28, x1 = 50 -1,28 ×10 = 37,2
As notas então serão 37,2, 44,7, 55,3 e 62,8.
66) a) P(X>260). = 250 e = 7 , P(X>260) = P(Z>Z1): Z1= (260 – 250)/7 = 1,43.
b) P(Z<Z2) = 0,05. Devido à simetria da distribuição normal padrão à média zero:
P(Z<Z2) = 0,05 = P(Z>-Z2). Lembrando da letra a do exercício 62, -Z2 = 1,645, então Z2 = -1,645.
Novamente devemos usar a equação Z = (x -)/, mas isolando o valor de x: x = + Z×, sabendo que
= 250, = 7 e Z2 = -1,645: x2 = 250 - 1,645 ×7= 238,48h. Para repor apenas 5% da produção o
prazo máximo de garantia deveria ser de 238,48 h.
67) O índice de aprovação é obtido calculando a probabilidade de que as notas sejam MAIORES do que
os pontos alcançados pelos candidatos. Caso seja menor do que a taxa vagas por candidatos o indivíduo
está aprovado, caso contrário está reprovado. No curso de economia a probabilidade associada aos
pontos alcançados não pode ser maior do que 0,370 e no de administração 0,412.
a) Economia = 50,92, = 9,09 P(X>50) = P(Z>Z1): Z1 = (50-50,92)/9,09 = -0,10. P(X>50) = P(Z>-0,10) = 1-P(Z>0,1) = 1-0,4602 = 0,5398 > 0,370 => candidato reprovado.
P(X>60) = P(Z>Z2): Z2 = (60-50,92)/9,09 = 1,0. P(X>60) = P(Z>1) = 0,1587 < 0,370 => candidato aprovado.
P(X>50) P(X>60)
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
10
,00
15
,00
20
,00
25
,00
30
,00
35
,00
40
,00
45
,00
50
,00
55
,00
60
,00
65
,00
69
,90
74
,90
79
,90
84
,90
89
,90
X
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4,0
0
-3,5
0
-3,0
0
-2,5
0
-2,0
0
-1,5
0
-1,0
0
-0,5
0
0,0
0
0,5
0
1,0
0
1,5
0
1,9
9
2,4
9
2,9
9
3,4
9
3,9
9
Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
22
2,0
0
22
5,5
0
22
9,0
0
23
2,5
0
23
6,0
0
23
9,4
3
24
2,9
3
24
6,4
3
24
9,9
3
25
3,4
3
25
6,9
3
26
0,4
3
26
3,8
6
26
7,3
6
27
0,8
6
27
4,3
6
27
7,8
6
X
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3,5 -3
-2,5 -2
-1,5 -1
-0,5 -0
0,4
9
0,9
9
1,4
9
1,9
8
2,4
8
2,9
8
3,4
8
3,9
8Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
14
,56
19
,11
23
,65
28
,20
32
,74
37
,29
41
,83
46
,38
50
,92
55
,47
60
,01
64
,56
69
,01
73
,55
78
,10
82
,64
87
,19
X
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
14
,56
19
,11
23
,65
28
,20
32
,74
37
,29
41
,83
46
,38
50
,92
55
,47
60
,01
64
,56
69
,01
73
,55
78
,10
82
,64
87
,19
X
P(X<260)
=P(Z>1,43)
= 0,0764
Z1 Z2
Z3
Z4
X1 X2
X3
X4
Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos
18
b) Economia = 50,92, = 9,09
P(X>55 = P(Z>Z1): Z1 = (5550,92)/9,09 = 0,44
P(X>50) = P(Z>0,44) = 0,3300 < 0,370 => candidato aprovado.
Administração = 55,11, = 8,22
P(X>58) = P(Z>Z1): Z1 = (58-55,11)/8,22 = 0,35.
P(X>58) = P(Z>0,35) = 0,3632 = < 0,370 => candidato aprovado.
Economia: P(X>55) Administração: P(X>58
c) Basta encontrar x1 tal que P(X>x1) = 0,370 em economia e x2 tal que P(X>x2) = 0,412.
P(X>x1) = P(Z>Z1) = 0,370; Z1 0,33 P(X>x2) = P(Z>Z2) =0,412; Z2 0,22
Novamente devemos usar a equação Z = (x -)/, mas isolando o valor de x: x = + Z×, sabendo que:
= 50,92, = 9,09 em economia e Z1 = 0,33: x1 = 50,92 +0,33 ×9,09= 54.
= 55,11, = 8,22 em administração e Z2 = 0,22: x2 = 55,11 +0,22 ×8,22= 57.
68) a) Pela binomial: 1833,05,05,0C)8X(P 68
8,14 . Como n ×p e n×(1-p) são maiores do que 5
a aproximação pela normal é viável: = n×p = 7; = 1,87
Binomial: P(X = 8) => Normal: P(7,5<X<8,5) = P(Z1<Z<Z2) Z2=(8,5-7)/1,87 = 0,80 Z1=-Z2=-0,80
P(-0,80<Z<0,80) = 0,1833. Veja o gráfico abaixo:
Observe como a curva normal passa quase “por cima” das probabilidades binomiais, o que explica os
bons resultados.
b) Pela binomial: 042506040737
710 ,,,C)X(P ,
Como n ×p é menor do que 5 a aproximação pela normal não é boa, mas vamos realizá-la mesmo assim,
a título de exemplo: = n×p =4; = 1,55 Binomial: P(X = 7) => Normal: P(7,5<X<8,5) =
P(Z1<Z<Z2) Z2=(8,5-4)/1,55 =2,91; Z1= (7,5-4)/1,55 =
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
14
,56
19
,11
23
,65
28
,20
32
,74
37
,29
41
,83
46
,38
50
,92
55
,47
60
,01
64
,56
69
,01
73
,55
78
,10
82
,64
87
,19
X
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
22
,2
26
,3
30
,5
34
,6
38
,7
42
,8
46
,9 51
55
,1
59
,2
63
,3
67
,4
71
,5
75
,6
79
,7
83
,8
87
,9
X
0,0000000
0,0500000
0,1000000
0,1500000
0,2000000
0,2500000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Binomial
Normal
Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos
19
P(2,26<Z<2,91) = 0,0413 (este valor está INCORRETO na lista). A aproximação não foi tão ruim
assim, pois n × p = 4, bem próximo de 5. Veja o gráfico abaixo:
c) Pela binomial P(X8) = P(X = 8) + P(X=9) + P(X=10)+...+ P(X=15) = 0,9957.
Como n ×(1-p) é menor do que 5 a aproximação pela normal não é boa, mas vamos realizá-la mesmo
assim, a título de exemplo: = n×p =12; = 1,55
Binomial: P(X 8) => Normal: P(X>7,5) = P(Z>Z1) Z1=(7,5- 12)/1,55 =-2,91
P(Z>-2,91) = 1-P(Z>2,91) = 0,9982. A aproximação parece não ter sido tão ruim, mas n ×(1- p) = 3, o
que leva a problemas em outros valores. Veja o gráfico abaixo:
d) Pela binomial: P(X<9) = P(X=0) + P(X = 1) +...+ P(X = 8) = 0,5141. Como n ×p e n×(1-p) são
maiores do que 5 a aproximação pela normal é viável: = n×p = 8,4; = 1,83
Binomial: P(X < 9) => Normal: P(X<8,5) = P(Z<Z1) Z1=(8,5-8,4)/1,83 = 0,05
P(Z<0,05) = 1-P(Z>0,05) = 1 – 0,4801 = 0,5191.
A aproximação apresentou diferença apenas na 3ª casa decimal. Veja o gráfico a seguir:
0,0000000
0,0500000
0,1000000
0,1500000
0,2000000
0,2500000
0,3000000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Binomial
Normal
0,0000000
0,0500000
0,1000000
0,1500000
0,2000000
0,2500000
0,3000000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Binomial
Normal
As probabilidades de 10, 11,
13, 14 e 15 apresentam
diferenças, e o próprio
“formato” da distribuição
binomial não é exatamente
simétrico.
Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos
20
e) Pela binomial P(X 2) = P(X = 0) + P(X=1) + P(X=2) =0,2061.
Como n ×p é menor do que 5 a aproximação pela normal não é boa, mas vamos realizá-la mesmo assim,
a título de exemplo: = n×p =4; = 1,79
Binomial: P(X 2) => Normal: P(X<2,5) = P(Z<Z1) Z1=(2,5- 4)/1,79 =-0,84
P(Z<-0,84) = P(Z>0,84) = 0,2005. A aproximação parece não ter sido tão ruim, mas n × p = 4, o que
leva a problemas em outros valores. Veja o gráfico abaixo:
f) Pela binomial P(15 < X ≤ 18) = P(X = 16) + P(X = 17) + P(X = 18) = 0,0000499 (esta probabilidade
está INCORRETA na lista). Como n ×p e n×(1-p) são maiores do que 5 a aproximação pela normal é
viável: = n×p = 7; = 2,13
Binomial: P(15 < X ≤ 18) => Normal: P(15,5 < X< 18,5) = P(Z1 < Z< Z2)
Z1=(15,5-7)/2,13 = 3,99 Z2 = (18,5 – 7)/2,13 = 5,40
P(3,99 < Z < 5,40) = P(Z > 3,99) – P(Z > 5,40) = 0,00003304 – 0,00000003 = 0,00003301 (esta
probabilidade está INCORRETA na lista). Observe que houve diferença, provavelmente por se tratar de
valores muito elevados de Z. Mesmo assim, veja o gráfico a seguir:
0,0000000
0,0500000
0,1000000
0,1500000
0,2000000
0,2500000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Binomial
Normal
0,0000000
0,0500000
0,1000000
0,1500000
0,2000000
0,2500000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Binomial
Normal
As probabilidades de 0, 2, 3,
5, e 6 apresentam
diferenças, e o próprio
“formato” da distribuição
binomial não é exatamente
simétrico.
Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos
21
69) Trata-se de um problema de binomial: apenas 2 resultados possíveis (usa ou não o produto), há 200
elementos pesquisados (número máximo de realizações é conhecido), e podemos considerar a
probabilidade de sucesso (usar o produto) como constante, uma vez que não há nada indicando o
contrário: n = 200; p = 0,20; 1 – p = 0,80.
Pela binomial: P(X > 30) = P(X = 31) + P(X = 32) + ... + P(X = 200). O procedimento seria tedioso,
mas como n × p e n × (1 – p) são maiores do que 5 é possível aproximar por uma normal com
= n × p = 200 × 0,20 = 40 8,02,0200)p1(pn = 5,66
Binomial: P(X > 30) => Normal: P(X > 30,5) = P(Z>Z1) Z1=(30,5-40)/5,66 = -1,68
Veja os gráficos a seguir:
Devido à simetria da distribuição normal padrão em relação à média zero e à propriedade da
probabilidade do evento complementar: P(Z > - 1,68) = 1 – P(Z > 1,68) = 1 – 0,0465 = 0,9535 (a
propósito o valor exato pela binomial é 0,9570, bastante próximo).
70) Trata-se de um problema de binomial: apenas 2 resultados possíveis (acertar ou errar a questão), há
80 questões das quais ele não sabe nada (número máximo de realizações é conhecido), e podemos
considerar a probabilidade de sucesso (acertar questão) como constante, uma vez que não há nada
indicando o contrário: n = 80; p = 0,25; 1 – p = 0,75.
Pela binomial: P(25 ≤ X ≤ 30) = P(X = 25) + P(X = 26) + ... + P(X = 30). O procedimento seria tedioso,
mas como n × p e n × (1 – p) são maiores do que 5 é possível aproximar por uma normal com
= n × p = 80 × 0,25 = 20 75,025,080)p1(pn = 3,87
Binomial: P(25 ≤ X ≤ 30) => Normal: P(24,5 < X < 30,5) = P(Z1 < Z < Z2)
Z1 = (24,5 – 20)/ 3,87 = 1,16 Z2 = (30,5 – 20)/ 3,87 = 2,71
Devido à simetria da distribuição normal padrão em relação à média zero e à propriedade da
probabilidade do evento complementar: P(1,16 < Z < 2,71) = P(Z>1,16) – P(Z>2,71) = 0,1196
0,0000000
0,0200000
0,0400000
0,0600000
0,0800000
0,1000000
0,1200000
0,1400000
0,1600000
0,1800000
0,2000000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Binomial
Normal
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
17
,37
20
,20
23
,03
25
,86
28
,69
31
,51
34
,34
37
,17
40
,00
42
,83
45
,66
48
,49
51
,26
54
,09
56
,91
59
,74
62
,57
X
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4,0
0
-3,5
0
-3,0
0
-2,5
0
-2,0
0
-1,5
0
-1,0
0
-0,5
0
0,0
0
0,5
0
1,0
0
1,5
0
1,9
9
2,4
9
2,9
9
3,4
9
3,9
9
Z
As probabilidades de vários
valores não coincidem
exatamente, indicando que
embora a condição mínima
para aproximação tenha
sido satisfeita ela apresenta
algumas discrepâncias.
Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos
22
Veja os gráficos a seguir:
A propósito, o valor exato pela binomial é 0,1193 (bastante próximo).
71) Trata-se de um problema de binomial: apenas 2 resultados possíveis (face 2 ou não 2 na letra a, e
face par ou ímpar na letra b), o dado é lançado 100 vezes (número máximo de realizações é conhecido),
e se o dado é honesto a probabilidade de sucesso pode ser considerada constante:
a) n = 100; p = 1/6; 1 – p = 5/6. Pela binomial: P(X ≥ 18) = P(X = 18) + ... + P(X = 80). O processo de
cálculo seria tedioso, mas como n × p e n × (1 – p) são maiores do que 5 é possível aproximar por uma
normal com = n × p = 100 × 1/6 = 16,67 6/56/1100)p1(pn = 3,73
Binomial: P(X ≥ 18) => Normal: P(X > 17,5) = P(Z > Z1) Z1 = (17,5 – 16,67)/ 3,73 = 0,22
P(Z > 0,22) = 0,4129. Veja os gráficos a seguir:
A propósito, o valor exato pela binomial é 0,400593.
72) Foi declarado textualmente que a variável tempo de chamadas segue uma distribuição uniforme
entre 0,5 e 5 minutos: parâmetros a = 0,5 e b = 5. Seja X a variável aleatória duração de uma chamada,
e seja Y a variável aleatória duração total das 104 chamadas.
Estamos procurando P(Y > 3,5h) = P(Y > 210 minutos). Se há 104 chamadas, a média por chamada é de
210/104 = 2,02 minutos. Então isso significa que procuramos P(X > 2,02), veja o gráfico:
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,54
,51
6,4
4
8,3
8
10
,32
12
,25
14
,19
16
,13
18
,06
20
,00
21
,94
23
,87
25
,81
27
,71
29
,64
31
,58
33
,52
35
,45
X
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4,0
0
-3,5
0
-3,0
0
-2,5
0
-2,0
0
-1,5
0
-1,0
0
-0,5
0
0,0
0
0,5
0
1,0
0
1,5
0
1,9
9
2,4
9
2,9
9
3,4
9
3,9
9
Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
1,7
6
3,6
2
5,4
9
7,3
5
9,2
1
11
,08
12
,94
14
,80
16
,67
18
,53
20
,39
22
,26
24
,08
25
,95
27
,81
29
,67
31
,54
X
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3,5 -3
-2,5 -2
-1,5 -1
-0,5 0
0,5 1
1,5
1,9
9
2,4
9
2,9
9
3,4
9
3,9
9
Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
0,5
0
1,0
0
1,5
0
2,0
0
2,5
0
3,0
0
3,5
0
4,0
0
4,5
0
5,0
0
X
P(X>2,02) é a área sombreada. Para calcular
tal área na uniforme devemos usar a expressão:
(b-x) × (1/(b-a)) = (5 – x)/(1/(5 – 0,5)).
P(X > 2,02) = (5 – 2,02) × (1/4,5) 0,6624
Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos
23
73) Foi declarado textualmente que a variável diâmetro dos eixos segue uma distribuição uniforme
entre 3,5 e 3,8 mm: parâmetros a = 3,5 e b = 3,8.
a) P(X > 3,7) = (3,8 – 3,7) × (1/(3,8 – 3,5)) = 0,3333 (33,33%).
b) Para distribuição uniforme E(X) = (a + b)/2 = (3,5 + 3,8)/2 = 3,65 mm
c) P(X < 3,72) = (3,72 – 3,7) × (1/(3,8 – 3,5)) = 0,7333 < 0,80. A exigência não está sendo satisfeita.
d) P(X < 3,75| X > 3,7) = P[(X < 3,75) (X > 3,7)]/P(X > 3,7) = [(3,75 – 3,7)×1/(3,8 – 3,5)]/0,3333 =
0,5 (50%).
74) Trata-se de um problema de distribuição exponencial, mas o parâmetro é desconhecido. Contudo,
sabe-se que P(X > 1h) = 0,22313 = e-×1
= e-
. Aplicando logaritmo natural (cuja base vale e):
ln 0,22313 = ln e-
=> -1,5 - => 1,5. Agora podemos calcular as probabilidades pedidas nas
letras a e b.
a) P(X > 3h) = e-×3
= e-1,5×3
0,0111
b) P(X < 0,5 h) = 1 – e -×0,5
= 1 – e-1,5×0,5
= 1 – e-0,75
= 0,4723. Como esta probabilidade é obviamente
diferente de 0,91 a afirmação não pode ser feita.
75) Trata-se de um problema de distribuição exponencial, onde novamente o valor de é desconhecido.
Mas, o valor esperado de uma distribuição exponencial é E(X) = 1/, e sabemos que E(X) = 120, logo
= 1/120.
a) P(X > 100) = e-×100
= e-(1/120)×100
= e-5/6
0,4346
b) Sabe-se que P(X< X1) = 0,05 => P(X > X1) = 0,95 = e-×x)
. Veja o gráfico a seguir:
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
3,5
0
3,5
5
3,6
0
3,6
5
3,7
0
3,7
5
3,8
0
X
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
3,5
0
3,5
5
3,6
0
3,6
5
3,7
0
3,7
5
3,8
0
X
0,0000
0,0010
0,0020
0,0030
0,0040
0,0050
0,0060
0,0070
0,0080
0,0090
0,0
0
49
,00
99
,00
14
9,0
0
19
9,0
0
24
9,0
0
29
9,0
0
34
9,0
0
39
9,0
0
44
9,0
0
X
0,95 = e-(x1/120)
Aplicando logaritmo natural:
ln 0,95 = ln e-(x1/120)
-0,051 = -x1/120 x1 = 6,15 meses
Então, a garantia máxima para repor até 5% da
produção deve ser de 6,15 meses.