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MATEMÁTICA POR TODA PARTE

A Magia da MatemáticaIlydio Pereira de Sá

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Reflexões Teóricas

Matemática Por Toda

Parte

A Magia da Matemática

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"Por ter alto valor no desenvolvimento da inteligênciae do raciocínio, é a Matemática um dos caminhosmais seguros por onde podemos levar o homem asentir o poder do pensamento, a mágica do espírito.“

(MALBA TAHAN em O HOMEM QUE CALCULAVA)

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Não podemos esquecer a importância do aspecto

lúdico, associado ao exercício intelectual,

característico da matemática. Infelizmente,

parece que tal aspecto tem sido desprezado.

Por que não introduzir no currículo uma

matemática construtiva, lúdica, desafiadora,

interessante, nova e útil para o mundo moderno?

(UBIRATAN D’AMBROSIO)

A MATEMÁTICA: OS MEDOS

CHATA !

EXTERMINADORA !!!

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A atitude do professor, as

metodologias usadas e o seu próprio

modo de “encarar” a matemática são

fundamentais no combate ou no

reforço desse “demônio”.

Por que aprender Matemática?

Algumas perguntas que nossos alunos fazem ...

− Professor, para que serve toda essa Matemática que

estamos estudando?

− Todas esses números e fórmulas não são para mim...

não tenho cabeça para isso!

Qual o verdadeiro papel da Matemática na

formação dos alunos/cidadãos?

Respostas, às vezes evasivas ... “Tudo

isso você vai precisar para o que vai

aprender mais tarde” ...

... o que nem sempre é verdadeiro,

todos sabemos.

A única razão é de natureza histórica – há tempo

se ensina isso. MESMICE!!!!

E o professor infere: "se me ensinaram é porque

era importante, portanto...ensino o que me

ensinaram".

(D’AMBROSIO, 1999)

Ninguém ilustrou melhor essa reflexão que René Thom,

um dos mais importantes matemáticos do século

passado, ao divulgar um poema de um sábio chinês,

que diz:

"Havia um homem que aprendeu a matar dragões e deu

tudo que possuía para se aperfeiçoar nessa arte. Depois

de três anos ele se achava perfeitamente preparado

mas, que frustração, não encontrou oportunidades de

praticar sua habilidade."

"Como resultado ele resolveu ensinar como matar

dragões." (René Thom)

Matemática por toda parte

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I) Sentido Matemático nos animais

Pesquisas realizadas em diversos países nos

levam a acreditar que a capacidade numérica

dos animais e muito mais sofisticada do que se

pensava antigamente.

Parece que todas as criaturas nascem com um

cérebro com predisposição para a matemática.

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ALEMANHA: UNIVERSIDADE DE ULM.

COMPROVAÇÃO DA CAPACIDADE DE

“ALGUM” TIPO DE CONTAGEM EM

FORMIGAS.

Para refletir...

Sobre esse tema, vejamos um pequeno trecho

de um vídeo da BBC sobre a História da

Matemática.

Porque é que o primeiro pássaro a sair

do ovo tem tendência a empurrar para

fora do ninho os outros ovos?

Porque será que uma cobra não

“gasta” seu bote a toa, ou seja, só dá

o bote quando sabe que pode

alcançar a presa?

II) A Matemática na Natureza e nas Artes

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RAZÃO DE OURO E SEQUÊNCIA DE

FIBONACCI

Durante muito tempo os artistasdevem se ter perguntado qual eraa mais perfeita e harmoniosamaneira de se dividir um objeto emduas partes.

Na antiguidade clássica, o grego Platão:

divisão de um segmento de uma forma

harmônica e agradável à vista. Ele a

chamou de “A Seção”.

Cerca de 300 anos antes de Cristo, outro

grego, Euclides, encontrou geometricamente

a forma de se fazer essa divisão harmônica e

agradável à vista. Ele a chamou de “Seção

Áurea”.

Euclides escreveu em seus “Elementos”:

“Para que um segmento seja dividido em

seção áurea, a razão entre o segmento e a

parte maior deve ser igual à razão entre a

parte maior e a parte menor.”

CB

AC

AC

AB

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O número de ouro é representado

pela letra grega (Fi), em

homenagem a Fídias (Phideas),

famoso escultor grego, por ter usado

a proporção de ouro em muitos dos

seus trabalhos.

ONDE ENCONTRAMOS A RAZÃO DE OURO?

O Homem Vitruviano - Leonardo Da Vinci

22 6891,1

5,96

163

pés aos umbigo dist.

altura

Um exemplo

RETÂNGULO DE OURO

23

a b

Retângulo de ouro

24

a

b

...618,1

b

a

Essa forma de particionarmos um

segmento constituiu-se na base para a

arte e a arquitetura grega.

O Partenón, templo dos Deuses Gregos

Onde podemos encontrar o número de ouro?

Na vida cotidiana:

Algumas modernas telas de TVs de

LCD.

Cartões de crédito, documentos em

geral.

Mona Lisa

Leonardo Da Vinci

Seção Áurea

Mondrian

A RAZÃO DE OURO NA ARTE

Na natureza

A espiral maravilhosa – Existe, por exemplo, na concha do

caracol Nautilus. Fica formada a partir de arcos de

circunferência concordantes, construídos a partir de

sucessivos retângulos de ouro.

Na natureza:

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A seqüência de Fibonacci e o número de ouro

Leonardo de Pisa – O Fibonacci (filho de Bonaccio)

Fibonacci (filho de Bonaccio) foi um dos matemáticos mais importantes da

idade média. Fibonacci nasceu por volta de 1170 em Pisa, uma das

primeiras cidades comerciais italianas e que manteve um comércio

florescente com o mundo árabe. Desde cedo, Fibonacci foi iniciado nos

negócios e nos cálculos, o que despertou o seu interesse pela matemática.

Em 1202, Fibonacci escreveu a sua obra mais célebre, "Liber Abaci", que

foi também um meio através do qual a numeração hindu-árabe foi

introduzida na Europa Ocidental.

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O nome de Fibonacci tornou-se conhecido devido a um

problema que existia no seu livro "Liber Abaci", que é o

problema dos coelhos. A solução deste problema é uma

sequência numérica famosa e que, curiosamente, se

relaciona ao número de ouro e a diversos fenômenos da

natureza.

"Quantos pares ou casais de coelhos serão produzidos

em um ano, começando-se com um só par, se em cada

mês cada par gera um novo par, que se torna produtivo a

partir do segundo mês?“

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MêsCasais adultos

Casais jovens

Total de casais

1 1 0 1

2 1 0 1

3 1 1 2

4 1 2 3

5 2 3 5

6 3 5 8

7 5 8 13

8 8 13 21

9 13 21 34

10 21 34 55

11 34 55 89

12 55 89 144

13 89 144 233

14 144 233 377

15 233 377 610

16 377 610 987

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Verifique a curiosa “lei de formação” gerada na solução

desse problema. Na sequência de Fibonacci, cada número,

a partir do terceiro, é obtido pela soma dos dois números

anteriores.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377...

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Novamente...na Natureza

Observe-se mais algumas proezas da natureza. Muitas

plantas apresentam 5 pétalas. O ananás possui 8 diagonais

num sentido e 13 no outro. Normalmente as margaridas e os

girassóis têm 21, 34, 55 ou 89 pétalas. Verifique, 5, 8, 13, ...,

34, 55, 89, ... são todos números da seqüência de Fibonacci.

Descobriu-se, não há muito tempo, que estes números são

importantes e muito freqüentes na natureza. O seu

aparecimento não é um acaso, mas o resultado de um

processo físico de crescimento das plantas e dos frutos.

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Vejamos um recorte de vídeo (TV ESCOLA)

onde alguns dos fatos que mostramos serão

ilustrados.

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Temos muita matemática na natureza e não

só relacionada ao número de ouro ou à

sequência de Fibonacci.

Por exemplo: Você já viu uma colméia de

abelhas? Sabe o porque do formato de um

prisma regular hexagonal?

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A MAGIA DA MATEMÁTICA(O lado lúdico da Matemática)

O que é “Motivar”?

Motivar é criar e revelar pretextos que facilitem o ensino e

a aprendizagem. A incentivação relaciona-se com o

interesse e a atração.

William James, em “Talkes to teachers, divide os assuntos

que devem ser ensinados em dois grupos:

1. Os que possuem em si um alto potencial de interesse;

2. Os que não possuem esse potencial.

Afirma esse autor que os alunos só assimilarão os

assuntos do 2º grupo se estes foram, inteligentemente

associados aos do 1º grupo.

O importante é instigar o aprender damatemática não como um ato mecânicode “decorar e aplicar fórmulas”, mascompreender que “a matemática” estána vida, muito antes de ser apreendidaou apresentada no espaço escolarizado.

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“É natural que nossos alunos sintam maisprazer quando estão envolvidos em atividadesdesafiadoras e que permitam a descoberta. É oque chamamos de heurística. Para issoprecisam de estímulo, de motivação, deprovocação.”

Atividade 1: O adivinho indiscreto

Clicar aqui

Qual a justificativa matemática desse jogo?

Agora vou descobrir as idades de

alguns de vocês. Basta dizer sim

ou não, conforme a sua idade

esteja ou não nas telas que irão

surgir em seguida.

Justificativa

Esta atividade envolve uma interessante propriedade dos

números naturais e do Sistema Binário de numeração.

“Todo número natural pode ser escrito como uma soma de

potências de 2”

Vejamos, por exemplo, o número 23. Ele pode ser

transformado na soma (1 + 2 + 4 + 16 = 23).

Observe que todas as parcelas dessa soma são potências de

base 2.

Vejamos nas cartelas o que está ocorrendo.

Assim sendo, o número 23 só irá aparecer (SIM) nas

cartelas iniciadas pelas potências de 2 que estão na sua

decomposição (1, 2, 4, 16). Nós só temos que somar

esses valores. Verifique na tabela !

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2) Usando materiais manipulativos

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Para uma reflexão final...

Os macacos e as bananas!

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Um grupo de cientistas e pesquisadores

colocou cinco macacos numa jaula. No

meio da jaula, uma escada e no alto da

escada um cacho de bananas.

Quando um macaco subia a escada para

pegar as bananas, um jato de água fria

era jogado nos macacos que estavam no

chão.

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Depois de um certo tempo, quando um

macaco subia a escada para pegar as

bananas, os outros que estavam no chão

o pegavam e o enchiam de pancada.

Passado algum tempo, nenhum macaco

subia mais a escada, apesar da tentação

das bananas. O jato de água fria tornou-

se desnecessário.

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Então os pesquisadores substituíram um

dos macacos por um novo. A primeira coisa

que ele fez foi subir a escada, dela sendo

retirado pelos outros que o surraram.

Depois de algumas surras, o novo

integrante do grupo não subia mais a

escada.

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Um segundo substituto foi colocado na

jaula e o mesmo ocorreu com este, tendo o

primeiro substituto participado com

entusiasmo na surra ao novato.

Um terceiro foi trocado e o mesmo ocorreu.

Um quarto e afinal o último dos cinco

integrantes iniciais foi substituído.

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Os pesquisadores tinham, então, cinco

macacos na jaula que, mesmo nunca

tendo tomado o banho frio, continuavam

batendo naquele que tentasse pegar as

bananas.

Se fosse possível perguntar a algum deles

porque eles batiam em quem tentasse

subir a escada, com certeza, dentre as

respostas, a mais frequente seria:

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"NÃO SEI, MAS AS COISAS

POR AQUI SEMPRE

FORAM ASSIM."

Talvez essa fábula tenha muito a ver com a

Educação, com a Matemática e com as

experiências que alguns de nós

vivenciamos ao longo de nossa

escolarização...

Mas será que tudo tem de ser mesmo do

jeito que sempre foi?

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A MAGIA DA MATEMÁTICA – Ilydio Pereira

de Sá. Ed. Ciência Moderna. 3ª Edição.

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«O grande livro do Universo está escrito em linguagem matemática.» ,

Galileu Galilei (1564-1642)