Post on 12-Oct-2015
5/21/2018 Identificao de Sistemas Dinmicos No-lineares No Domnio Da
1/28
Srie Arquimedes, Volume 2, Anais do DINCON 20032 Congresso Temtico de Aplicaes de Dinmica e Controle da
Sociedade Brasileira de Matemtica Aplicada e Computacional (SBMAC).So Jos dos Campos, SP, Brasil, 18-22 Agosto de 2003, ISBN:
Editores: J. M. Balthazar, G. N. da Silva, M. Tsuchida,M. Boaventura, L.C.S. Ges e J. D. S. Silva.
IDENTIFICAO DE SISTEMAS DINMICOS NO-LINEARES NO DOMNIO DAFREQNCIA
Roberto Barbosa CintraLuiz Carlos Sandoval GesInstituto Tecnolgico de Aeronutica
Centro Tcnico Aeroespacial
12.228-900 So Jos dos Campos, SP
Brasil
roberto-cintra@uol.com.br; goes@ita.br
1. RESUMO
A utilizao de tcnicas de identificao de sistemas no domnio da freqncia bastante
difundida para sistemas lineares de uma entrada e uma sada. A extenso de tais tcnicas a sistemas
lineares de mltiplas entradas e uma ou mltiplas sadas (Bendat,1976; Bendat e Piersol, 1986) e
mais recentemente a sistemas no-lineares (Bendat,1997; Pintelon e Schoukens,2001) ampliou as
possibilidades de utilizao de abordagens no domnio da freqncia para a identificao.
Neste trabalho utiliza-se um sistema no-linear de uma sada como caso de estudo para a tcnica
da dinmica reversa associada a funes de densidade espectral condicionadas (CRP) na
identificao no-paramtrica das funes de resposta em freqncia de interesse. Ainda, definindo-
se um modelo paramtrico de interesse a ser aplicado, atravs da maximizao da funo de
verossimilhana no domnio da freqncia(Schoukens,2001), obtm-se a identificao paramtrica.
5/21/2018 Identificao de Sistemas Dinmicos No-lineares No Domnio Da
2/28
2. PALAVRAS CHAVES
Identificao no domnio da freqncia; Sistemas No-lineares; CRP
3. INTRODUO
A identificao de sistemas dinmicos permite a construo de modelos matemticos para um
sistema de interesse a partir de dados medidos(Ljung,1999). Usualmente, um modelo divido em
duas parcelas, a determinstica e a estocstica e, neste contexto, o objetivo da teoria de identificao
proporcionar uma abordagem sistemtica para obter um modelo matemtico, to bom quanto
possvel, para a parcela determinstica do modelo, eliminando, tanto quanto possvel, as distores
causadas pelo rudo(Pintelon e Schoukens,2001).
O processo de identificao, que visa construo de um modelo a partir dos dados provenientes
do sistema, engloba trs aspectos fundamentais(adaptado de Ljung,1999 e de Pintelon e
Schoukens,2001):
a) Obter informaes a respeito do sistema de interesse, observando suas flutuaes naturais,
planejando experimentos especficos que ativamente excitem o sistema, ou seja, obter um conjunto
de dados suficientemente representativo do sistema de interesse;
b) Selecionar um conjunto de modelos candidatos, isto possveis estruturas para representar o
sistema. Modelos paramtricos ou no-paramtricos? Caixa branca ou preta? Linear ou No-
linear?
c) Estabelecer um critrio de avaliao, atravs do qual os modelos elegveis possam ser
comparados e ordenados. No caso dos paramtricos, que proporcione a obteno dos referidos
parmetros;
d) Validao do modelo selecionado, atravs de testes nas mesmas condies em que ser
empregado, anlise da relao entre a complexidade do modelo selecionado e a utilizao especfica
do mesmo.
5/21/2018 Identificao de Sistemas Dinmicos No-lineares No Domnio Da
3/28
Figura 1: Esquema do Processo de Identificao.
Um determinado modelo pode ser avaliado como bom quando os valores de resposta por ele
estimado prximo queles da sada do sistema efetivamente medidos e no utilizados no
processo de identificao, no contexto da validao do modelo obtido.
O processo de identificao pode ser concludo se, obtida a resposta em freqncia, por
exemplo, o modelo suficiente j foi obtido; neste caso no h necessidade de se particularizar o
sistema, ou seja uma identificao no-paramtrica suficiente.
Por outro lado, como a prpria Figura 1 sugere, em outras situaes, uma estrutura pode ser
admitida e a meta da identificao ento passa a ser obteno de valores ou parmetros. Observe-se
que a estrutura do modelo a ser empregada nem sempre conhecida, assim, vrias possibilidades
podem ser testadas at que a mais adequada, segundo algum critrio de classificao estabelecido,
seja obtida. Definida a estrutura, o que no limite implica na quantidade de parmetros a serem
identificados, o processo de minimizao da funo-custo(penalizao do erro de predio, a
diferena entre a sada medida e a estimada pelo modelo), leva identificao dos parmetros que
so ajustados at que a sada do modelo coincida, tanto quanto possvel, com a sada medida.
Conhecimento Prvio Projeto do Experimento Obtenodos dados
.Equaes Dinmicas .Sinal suficientemente .Pr-tratamento
.Experimentos anteriores excitante na faixa de interesse dos dados
Seleo do Modelo Obteno do Modelo Especfico Genrico Estrutura e Parmetros
.Teste de alternativas de modelos.Paramtrico ou no-paramtrico da mesma classe.Domnio da Freqncia ou do tempo
ndice de Custo ou critrio Processo de Validao do Modelo de otimalidade Especfico
No Resultados
Satisfatrios? Sim
Modelo Especificado
5/21/2018 Identificao de Sistemas Dinmicos No-lineares No Domnio Da
4/28
Uma medida do quanto possvel os valores medidos e estimados podem se aproximar a
verossimilhana, que corresponde probabilidade do erro de predio ser nulo. Deste modo, obter
os valores dos parmetros que maximizam a verossimilhana pode corresponder minimizao do
ndice J de penalizao do erro de predio.
Figura 2: Separao Esquemtica de Mtodos para Identificao de Sistemas(adaptado de
Nelles,2000).
O principal objeto de interesse neste trabalho a aplicao de tcnicas de identificao no-
paramtricas no domnio da freqncia a sistemas de mltiplas entradas e uma (MISO) ou mais
sadas(MIMO), com particular interesse nos sistemas no-lineares como por exemplo aeronaves. O
uso associado das funes de densidade espectral condicionadas e do mtodo de anlise dinmica
reversa permitem a especificao de modelos, admitida uma determinada estrutura.
4. NOMENCLATURA
2 ( )xy f - funo de coerncia ordinria entre x
e y;2
.( 1)!( )ix y i f - funo de coerncia parcial entre
xie y;
c coeficiente de atrito viscoso;
E[.] espertana matemtica;
( ) ( )i jx x ij
G f G f = - funo densidade
espectral de potncia entre i e j;
. ! . !( ) ( )i j rx x x ij rG f G f = - funo densidade
espectral de potncia entre i e j condicionada a
r;
H(f) funo de transferncia;
k constante elstica;
Identificao deSistemas
Mtodos de Estimao Mtodos
de Parmetros No-Paramtricos
No domnio No domnio No domnio No domniodo tempo da freqncia do tempo da freqncia
.mnimos quadrados .mnimos quadrados .resposta impulsiva .resposta em freqncia
.otimizao no-linear .otimizao no-linear .anlise de transiente .anlise de Fourier
.mnimos quadrados repetidos .anlise decorrelao .anlise Espectral
5/21/2018 Identificao de Sistemas Dinmicos No-lineares No Domnio Da
5/28
m massa;
p(x) - funo densidade de probabilidade;
0( )P x x - funo probabilidade acumulada ;
Re[.] parte real;
5. SISTEMAS NO-LINEARES: SEM MEMRIA E COM MEMRIA FINITA
Um sistema no-linear dito sem memria se age instantaneamente sobre a entrada de forma
no-linear, isto , no h nenhuma ponderao quanto a entradas passadas.
Figura 5.1: Exemplo de Sistema No-Linear sem Memria.
Para o sistema ilustrado na figura 5.1, a sada s depende da entrada corrente:
3( ) [ ( )] ( )y t G x t x t= = (1)
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) [ ( )] [ ( )] [ ( ) ( )]a y t a y t a G x t a G x t G a x t a x t + = + + (2)
Admita-se que x(t) uma entrada arbitrria cuja funo densidade de probabilidade p(x). Se
um sistema no-linear de memria nula tal que a relao entre a sada e a entrada bijetora, ento
a funo densidade de probabilidade da resposta dada por(Bendat,1997):
2
( )( )
( )
p xp y
dg x
dx
= (3)
Ainda, tem-se:
0 0
0 0( ) ( ) ( ) ( )
x y
P x x p x dx p y dy P y y
= = = (4)
A aplicao de (4) identificao de sistemas direta, pois atravs da comparao entre as
probabilidades acumuladas, pode-se obter uma tabela ou uma funo interpolada para a no-
linearidade de interesse conforme ilustram as figuras a seguir.
x(t) ( )3 y(t)
5/21/2018 Identificao de Sistemas Dinmicos No-lineares No Domnio Da
6/28
Figura 5.2: Distribuies Empricas de Probabilidade: Entrada Gaussiana e Resposta de um
Sistema No-Linear sem Memria do tipo cbico.
Figura 5.3: Pares (x,y) conforme (4) para funo cbica.
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x ou y
ProbabilidadeAcumulada
Distribuio Normal(Entrada)Distribuio da Sada
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-15
-10
-5
0
5
10
x0
y0
5/21/2018 Identificao de Sistemas Dinmicos No-lineares No Domnio Da
7/28
Utilizando-se exatamente a mesma abordagem, substituindo-se a no-linearidade cbica por uma
zona morta, obteve-se os resultados ilustrados na fig.I.4.
Figura 5.4: Pares (x,y) conforme (4) para Sistema No-Linear sem memria Zona Morta entre
0,5 e 0,5.
Uma situao mais completa relativa a sistemas no-lineares de memria finita(Bendat,1997),
que so obtidos via insero de sistemas lineares a parmetros contantes antes e/ou aps sistemas
no-lineares sem memria:
Figura 5.5:Sistema No-linear com memria finita, com pores lineares antes e aps uma no-
linearidade esttica.
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
y0
x0
Sistema u(t) Sistema v(t) Sistemax(t) Linear No-linear Linear y(t)
B(f) Sem Memria A(f)
5/21/2018 Identificao de Sistemas Dinmicos No-lineares No Domnio Da
8/28
Um sistema do tipo ilustrado na fig 5.5 denominado de Wiener-Hammerstein(Pintelon e
Schoukens,2001,p.81). Quando B(f) igual a 1, denomina-se sistema de Hammerstein e quando
A(f) igual a 1, denomina-se sistema de Wiener. Neste trabalho s se considerou sistemas no-
lineares deste tipo.
6. UTILIZAO DA METODOLOGIA DE DENSIDADES ESPECTRAIS DE POTNCIA
NA IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES
Em 1995, numa conferncia em Porto Rico, Bendat proferiu uma palestra na qual apresentou as
tcnicas direta e reversa para anlise e identificao de sistemas MISO no-lineares. Tais tcnicas
so aplicveis a qualquer sistema no-linear que possa ser modelado por equaes diferenciais ou
ntegro-diferenciais no-lineares(Bendat,1997). As principais caractersticas dessas abordagens so:
a. Modelos dinmicos do tipo SISO no-lineares sem realimentao podem ser
convertidos em modelos de dinmica direta equivalentes, do tipo MISO lineares
sem realimentao;
b. Modelos dinmicos do tipo SISO no-lineares com realimentao podem ser
convertidos em modelos de dinmica reversa equivalentes, do tipo MISO lineares
sem realimentao;
c. Uma representao no-linear exata obtida utilizando-se uma funo de resposta
em freqncia linear de cada componente no-linear;
d. As propriedades de amplitude do sistema no-linear bem como os parmetros
fsicos com coeficientes dependentes da freqncia podem ser identificados;
e. No h restries na probabilidade ou natureza espectral quanto aos sinais de
excitao ou resposta;
5/21/2018 Identificao de Sistemas Dinmicos No-lineares No Domnio Da
9/28
f. Todos os resultados podem ser avaliados em cada freqncia tanto para os termos
lineares quanto no-lineares, atravs das funes de coerncia;
Considere-se, por exemplo, um sistema linear massa-mola-amortecedor excitado por uma
resultante fsica x(t), com o deslocamento fsico correspondente dado por y(t). A equao do
movimento no domnio do tempo dada por:
2
2( )
d y dym c ky x t
dtdt+ + = (5)
A idia fundamental do mtodo reverso simplesmente inverter os papis da entrada e da sada,
utilizando-se os dados experimentais:
Figura 6.1: Formas Direta e Reversa Equivalentes para Sistemas Lineares.
2
2( )
d x dxy t m c kx
dtdt= + + (6)
Neste contexto, x passa a ser o deslocamento matemtico correspondente entrada enquanto y
passa a ser a sada matemtica medida, correspondente fora.
A abordagem de identificao via determinao de funes de resposta em freqncia, atravs
de densidades espectrais de potncia condicionadas ou no, embora no paramtrica em princpio,
pode servir de base para a estimao de parmetros. Considere-se um sistema SISO, porm com
uma no-linearidade, cuja resultante fsica x(t), com o deslocamento fsico correspondente dado
por y(t) e equao dinmica dada por:
2
2
( ) ( )( ) ( , , ) ( )
d y t dy t m c ky t p y y t x t
dtdt+ + + =& (7)
Direto X(f) H(f) Y(f) Y(f)=H(f).X(f)
Reverso Y(f) A(f) X(f) Y(f)=H(f).X(f)
A(f)=H- (f)
5/21/2018 Identificao de Sistemas Dinmicos No-lineares No Domnio Da
10/28
A representao do sistema dado por (7) teria para sua dinmica reversa a forma ilustrada na
Figura 6.2.
Figura 6.2: Representao do sistema no-linear reverso dado por (7).
7. SISTEMAS LINEAR E NO-LINEAR EM PARALELO
Considere-se a situao representada na figura 7.1: o sistema tem uma parcela no-linear e outra
linear em paralelo(adaptado de Bendat,1997,p.98):
Figura 7.1: Modelo SISO No-linear em Paralelo com Sistema Linear.
A relao entre a entrada e a sada, conforme ilustrado na fig.III.1, dada por:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )h v vY f Y f Y f N f H f X f Y f N f = + + = + + (8)
Conseqentemente:
( ) ( ) ( ) ( ) 2Re[ ( )]h h v v h vyy y y y y nn y y
G f G f G f G f G f = + + + (9)
Como * *[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( )h v vy y v xy
G H f X f Y f H f G f = = , a separao entre os componentes linear e
no-linear da sada no factvel, exceto no caso em que as pores so no-correlacionadas. Para
yh(t)
Sistema Linear H(f) n(t)
x(t) y(t)yv(t)
Sistema No-linear
Sistema Linear H(f)
y(t)entrada x(t)matemtica sada
Sistema No-linear matemtica
( , , )p y y t&
5/21/2018 Identificao de Sistemas Dinmicos No-lineares No Domnio Da
11/28
se forar tal no-correlacionamento, trabalha-se com um sistema (terico) equivalente revisado
cuja representao dada na figura a seguir:
Figura 7.2: Modelo SISO No-linear em Paralelo com Sistema Linear Revisado.
Para este sistema revisado, visto que 0 ( ) ( ) ( ) ( )u v hY f Y f Y f Y f + = + , a forma equivalente a (9)
:
( ) ( ) ( ) ( ) 2Re[ ( )]h h v v h vyy y y y y nn y y
G f G f G f G f G f = + + + (10)
E a relao entre as funes de transferncia, visto que y0e yue so no-correlacionados, dada
por:
)(
)()()(0
fG
fGfHfH
xx
xyv+= (11)
Ainda, as seguintes relaes decorrem:
)()(
)()( fX
fG
fGYfY
xx
xy
vuv= (12)
)(
)(
)()(
2
fG
fG
fGfGxx
xy
yyyy
v
vvuu = (13)
)(
)(
)(
)(
)(
)(1 00
fG
fG
fG
fG
fG
fG
yy
nn
yy
yy
yy
yy uu ++= (14)
Considerando-se a definio de coerncia ordinria:
)(
)(
)()(
)()(
)()()( 00
22
0
2
2
fG
fG
fGfG
fGfH
fGfG
Gf
yy
yy
yyxx
xx
yyxx
xy
xy === (15)
Sistema Linear timoy0(t)
x(t)y(t)
Sistema No-linear yu(t)
Revisado
0 ( )H f
5/21/2018 Identificao de Sistemas Dinmicos No-lineares No Domnio Da
12/28
Por analogia, observando-se (15) a funo coerncia da parcela no-linear no-correlacionada
(Bendat,1997,p.101) :
)(
)()(2
fG
fGfq
yy
yy
xyuu= (16)
Assim, de (14) a (16), o espectro do rudo dado por:
)()]()(1[)( 22 fGfqffG yyxyxynn = (17)
Pode-se interpretar o termo que multiplica o espectro da sada em (17) como o complemento da
coerncia mltipla referente entrada isto , quanto mais prximo de zero, mais a entrada explica
a sada, tanto atravs do canal linear quanto do no-linear.
A generalizao da situao anterior, com sistemas no-lineares do tipo Wiener, corresponde a
um MISO linear conforme ilustrado na Figura 7.3, a seguir:
Figura 7.3: Vrios Modelos No-lineares em Paralelo com Sistema Linear.
Sistema Linear H(f) yh(t)
n(t)Sistema No-linear Sistema Linear A1(f)
sem memria g1(x) v1(t) yv1(t)
x(t) y(t)
Sistema No-linear Sistema Linear A1(f) yv2(t)
sem memria g2(x) v2(t)
Sistema No-linear Sistema Linear A1(f) yvn(t)
sem memria gn(x) vn(t)
M
M
5/21/2018 Identificao de Sistemas Dinmicos No-lineares No Domnio Da
13/28
Utilizando-se a abordagem direta ou reversa, dependendo da equao dinmica do sistema, para
as entradas v na fig.III.3, tem-se um sistema de mltiplas entradas e uma sada MISO linear cuja
soluo no domnio da freqncia ser explorada na seo 8. Neste contexto, um problema no-
linear que envolvesse n no-linearidades seria resolvido como um sistema linear desde que as
mesmas pudessem ser representadas sob a forma de Wiener. Observe-se que, admitida essa
limitao para o sistema no-linear, a extenso para o caso de mltiplas entradas e mltiplas sadas
direta.
8. SISTEMAS LINEARES DE MLTIPLAS ENTRADAS E UMA SADA (MISO)
O problema geral de um sistema linear de mltiplas entradas e uma sada est representado na
Figura 8.1:
Figura 8.1: Sistema Linear com mltiplas entradas e rudo na sada.
Tal problema foi solucionado por Bendat(1976) e quatro restries precisam ser satisfeitas para
que a abordagem seja aplicvel:
a. Nenhuma das funes de coerncia ordinrias entre qualquer par de entradas pode ser
igual a 1. Caso tal ocorra, elas contm informaes redundantes e, deste modo, uma
delas deve ser eliminada;
X1(f) H1(f) Y1(f) N(f)
X2(f) H2(f) Y2(f)
X3(f) H3(f) Y3(f) Y(f)
...
Yk(f)
Xk(f) Hk(f)
+
+
5/21/2018 Identificao de Sistemas Dinmicos No-lineares No Domnio Da
14/28
b. Nenhuma das funes de coerncia ordinrias entre qualquer entrada e a sada deve
ser igual a 1. Caso tal ocorra, as demais entradas no esto contribuindo para a sada
e, deste modo, o modelo adotado deveria ser de uma entrada e uma sada;
c. A funo de coerncia mltipla entre uma entrada qualquer e as demais entradas no
deve ser unitria. Caso tal ocorra, essa entrada qualquer no proporciona nenhuma
informao nova e deve ser eliminada do modelo;
d. A funo de coerncia mltipla entre a sada e as entradas dadas deve, em situaes
prticas, ser suficientemente elevada, acima de 0,50 o valor utilizado no trabalho
inicial(Bendat,1976), 0,80 foi alterado para 0,50 por Bendat e Piersol(1986) de
modo que as hipteses tericas quanto ao sistema provem-se razoveis. Caso
contrrio, outras entradas relevantes devem estar sendo negligenciadas; o valor 0,50
no preciso, julgamental;
Assume-se que as medidas tanto dos sinais de entrada quanto sada so simultneas. Ainda, admite-
se que os erros presentes tanto os de sistema quanto os estatsticos presentes nas variveis medidas
tenham sido minimizados atravs de calibrao precisa dos instrumentos de medida bem como pr-
processamento de dados realizado.
1
( ) ( ) ( ) ( )k
j j
j
Y f H f X f N f =
= + (18)
Conseqentemente, em termos de densidades espectrais:
1
( ) ( ) ( )i i j i
k
x y j x x x n
j
G H f G f G f =
= + (19)
Observe-se que se fosse apenas uma entrada x sem correlao com o rudo de sada, a relao
(19) levaria relao SISO ( ) ( )xy xxG f H f G= . Por outro lado, mesmo havendo mltiplas entradas,
se no houver correlao com o rudo, tem-se:
5/21/2018 Identificao de Sistemas Dinmicos No-lineares No Domnio Da
15/28
1
( ) ( )i i j
k
x y j x x
j
G H f G f =
= (20)
A equao (20) corresponde a um conjunto de k equaes e k incgnitas. Ocorre, porm, que no
caso genrico em que h correlao no nula entre as vrias entradas, essa abordagem no consegue
estabelecer a contribuio marginal de cada entrada independentemente. Assim, o problema de
identificao em princpio resolvido, visto que as funes de transferncia foram obtidas, mas no
totalmente explicado, visto que as contribuies individuais no so calculveis.
Quando h correlao entre pares de entradas, se for definida a causalidade da influncia da
entrada i sobre a i+1, pode-se remover tal efeito. Imaginando-se um ordenamento das entradas e
a retirada seqencial dos efeitos da entrada i sobre a subseqente i+1, pode-se obter um novo
sistema no qual as entradas so no correlacionadas. A grande vantagem desse sistema transformado
que possvel o estabelecimento do efeito individual de cada entrada na sada.
Um sistema mais geral, com mltiplas entradas e uma sada, como o ilustrado na figura IV.1,
que apresenta entradas com um certo grau de correlao entre si, pode ser transformado num sistema
de mesma ordem, porm com entradas no correlacionadas. Adotando-se a mesma conveno
estabelecida por Bendat(1976), a qual indica a retirada de uma entrada sobre a outra atravs de um
subescrito do tipo ponto. Assim, 3.2.1 3.2!X X= equivalente a dizer que da entrada
original 3X foram retiradas as parcelas lineares referentes s duas entradas anteriores:
Figura 8.2: Sistema com mltiplas entradas no correlacionadas e uma sada com rudo.
L1y(f) Y1(f) N(f)
L2y(f)
L3y(f) Y(f)
...
Lky(f)
+ +
1 2 1, , . .., ( )kY x x x f
1 2, ( )Y x x f
1( )Y x f2 1( )X f
3 2!( )X f
( 1)!( )k kX f
1( )X f
5/21/2018 Identificao de Sistemas Dinmicos No-lineares No Domnio Da
16/28
Para o sistema transformado:
( 1)!
1
( ) ( ) ( ) ( )q
iy i i
i
Y f L f X f N f
=
= + (21)
Como as entradas so no correlacionadas, a esperana [ ( ) ( )] 0i jE u f u f = se as entradas forem
distintas:
*
( 1)! ( 1)!
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )q q
yy jy j j jy j j
j j
G f E L f X f N f L f X f N f = =
= + +
(22)
( 1)! ( 1)!
2
1( ) ( ) ( ) ( )j j j j
q
yy jy x x nn
jG f L f G f G f
== + (23)
O mais importante, porm, a relao entre as funes de transferncia individuais. No caso das
entradas no correlacionadas, a funo de transferncia tima entre qualquer das q entradas no
correlacionadas e a sada y dada, exatamente como no caso SISO:
( 1)!
( 1)! ( 1)!
( )( )
( )
j j
j j j j
x y
jy
x x
G fL f
G f
= (24)
Retomando-se (33) e admitindo-se que Y possa ser tratada como a q+1 varivel e que o rudo a
diferena entre tal entrada e as demais:
1 ( 1)!
1
1 ( 1)! 1. !
1
1. ! 1 ( 1)!
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
q
q iy i i
i
q
q iy i i q q
i
q
q q q iy i i
i
Y f X f L f X f N f
X f L f X f X f
X f X f L f X f
+ =
+ +=
+ + =
= = +
= +
=
(25)
Observe-se que generalizando-se (25):
. ! .( 1)!
1
( ) ( ) ( ) ( )r
j r j ij i i
i
X f X f L f X f=
= (26)
Assim:
5/21/2018 Identificao de Sistemas Dinmicos No-lineares No Domnio Da
17/28
1
.( 1)! .( 1)!
1
( ) ( ) ( ) ( )r
j r j ij i i
i
X f X f L f X f
=
= (27)
A relao (27) proporciona o clculo recursivo das transformadas de Fourier dos sinais
condicionados. Tambm:
. ! .( 1)! .( 1)!( ) ( ) ( ) ( );
1,2,... ; , 1
ij r ij r rj ir r G f G f L f G f
r q r i j q
=
= < + (28)
A expresso anterior permite a obteno recursiva dos espectros condicionados. Porm a
determinao das ( )rjL f essencial para que seja possvel tal clculo. Generalizando-se a equao
(24) entretanto, a definio das L fica dada:
.( 1)!
.( 1)!
( )( ) ;
( )
1, 2,..., 1;
1, 2,..., 1;
r j
r r
x x r
rj
x x r
G fL f
G f
r j
j q
=
=
= +
(29)
E assim:
.( 1)!
. ! .( 1)! .( 1)!
.( 1)!
( )( ) ( ) ( );
( )
1,2,... ; , 1
r
r
x xj r
ij r ij r ir r
x xr r
G fG f G f G f
G f
r q r i j q
=
= < +
(30)
A permite o clculo do prximo espectro condicionado a partir do anterior.
Multiplicando-se (21) por *.( 1)!( )i iX f e tomando-se a esperana:
.( 1)! .( 1)!
.( 1)!
.( 1)!
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )
1,2,..., ;
i i
i i
q
iy i jy ij x x ij i
qiy i
iy jy ij
j ix x i
G f H f L f G f
G fL f H f L f
G f
i q
=
=
=
= =
=
(31)
A soluo de (31) ocorre em ordem reversa: resolve-se para i=q, q-1 e assim sucessivamente at
que i=1.
5/21/2018 Identificao de Sistemas Dinmicos No-lineares No Domnio Da
18/28
Por definio, as funes de coerncia ordinria entre qualquer das entradas 1 a q e a sada y
dada por:
2
2( )
( )( ) ( )
i
i
i i
x y
x y
x x yy
G ff
G f G f = (32)
A coerncia parcial analogamente definida por:
!
1
! 1
2
. !2
. !
. ! . !( )
( )( )
( )
i i
i i
i i i i
x y x
x y x
x x x yy x f
G ff
G f G
= (33)
Assim, descontado o efeito das q entradas, obtm-se o espectro do rudo:
1
1
2
. ! . !
1
2 2
. !
1
(1 )
( ) (1 )
q i i
i i
q
yy x yy x y x
i
q
ny x y x
i
G G
f
=
=
=
(34)
Ainda, a coerncia mltipla das q entradas, isto a poro de potncia de sada decorrente da
totalidade das entradas comandadas, o complemento da coerncia do rudo e, assim, dada por:
1
2 2
: ! . !
1
( ) 1 (1 )q i i
q
y x x y x
i
f
=
= (35)
9. TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER (DFT), ESTIMADORES DE DENSIDADE
ESPECTRAL DE POTNCIA (PSD)
Para o caso de um sistema real cujos dados so amostrados e o tamanho das amostras finito, as
equaes de densidade espectral de potncia no se aplicam diretamente e estimativas das
densidades espectrais de potncia devem ser calculadas. Marple(1987); Oppenheim e Schafer(1975);
Ljung(1999) comentam ass distores decorrentes da utilizao de estimativas bem como algoritmos
e aspectos prticos da implementao do clculo dos estimadores via segmentao dos dados,
janelamento, transformada discreta de Fourier (DFT) em particular a transformada rpida de Fourier
5/21/2018 Identificao de Sistemas Dinmicos No-lineares No Domnio Da
19/28
(FFT) e clculo de mdias para gerar as estimativas do espectro. Para se estimar o espectro de um
sinal de tempo contnuo, alguns passos devem ser seguidos (Pintelon e Schoukens,2001,p.):
a. Discretizao no tempo, que consiste em amostrar o sinal contnuo em intervalos de
tempo constantes;
b. Restringir o tamanho da amostra, visto que o nmero de dados com os quais um
computador pode lidar finito. Deste modo o comprimento limitado a N amostras,
excluindo o resto, o que chamado de janelamento;
c. Discretizao na freqncia, pois um sinal discreto no tempo ainda possui um espectro
contnuo em freqncia, assim o espectro deve ser calculado apenas em conjuntos de
freqncias eqidistantes.
Uma expresso para a DFT :
21
0
( ) ( ) ; 0,1,... 1
j knN
N
n
X k x nT e k N
=
= = (36)
onde:x(nT) ou x(n) corresponde ao sinal no domnio do tempo j discretizado e janelado via
w(n).
Para se estimar o espectro(PSD) propriamente dito, neste trabalho utilizou-se o mtodo do
Periodograma de Welch(Marple,1987,p.154-158; Oppenheim e Schafer,1975,p.553-570). Tal
mtodo consiste em se dividir o vetor de dados de comprimento N em P segmentos de D amostras
cada, com um salto de S amostras entre segmentos adjacentes, assim P inteiro e P (N-D)/S+1, de
modo que haja sobreposio entre os dados de segmentos adjacentes, elevando o nmero de
segmentos que entram no clculo das mdias, deste modo suavizando o espectro e reduzindo a
varincia do estimador. Para o estimador do autoespectro tem-se os passos:
( ) ( ) ( ) ( )px n w n x n pS= + (37)
1( ) ( ) 2
0
( ) ( )D
p p j nfT
n
X f T x n e
=
= (38)
5/21/2018 Identificao de Sistemas Dinmicos No-lineares No Domnio Da
20/28
*( ) ( ) ( )1( ) ( ) ( ) ;0 1p p pxxG f X f X f p P
U D T =
% (39)
1
2
0
( )
D
n
U w n
== (40)
1( )
0
1 ( ) ( )P
p
W xx
p
G f G f P
=
= % (41)
O fator U retira a parcela de vis da PSD decorrente da janela. O valor mdio dos periodogramas
ento:
2
( )[ ( )] ( )W xx W fE G f G fU
= (42)
12
0
( ) ( )D
j nfT
n
W f T w n e
=
= (43)
Para o caso do espectro cruzado, analogamente:
*( ) ( ) ( )1( ) ( ) ( )p p pxyG f X f Y f
U D T =
% (44)
1( )
0
1 ( ) ( )P
p
xy xy
p
G f G f P
=
= % (45)
10. ESTUDO DE CASO; SIMULAO E IDENTIFICAO DE UM SISTEMA NO
LINEAR
Seja um sistema dinmico cuja equao dada por:
2
1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )mx t cx t kx t c x t x t k x t y t + + + + =&& & & & 46)
Considerando-se a dinmica reversa, a seguinte figura pode representar o sistema:
5/21/2018 Identificao de Sistemas Dinmicos No-lineares No Domnio Da
21/28
Figura 10.1 Representao de um sistema no-linear SISO
Aplicando-se a transformada ao sistema reverso:
2 2
1 2( )( ) ( ) { ( ) ( )} ( ) { ( )} ( )X m j c k A F x t x t A F x t Y + + + + =& & (47)
Neste contexto, h trs FRF a serem obtidas: A, correspondente inversa da poro linear do
sistema; A1, referente ao amortecimento no-linear; A2referente mola no-linear.
Os grficos a seguir mostram os resultados de simulao obtidos para um sistema cujas
caractersticas so dadas na tabela 10.1:
Tabela 10.1: Parmetros utilizados no exemplo 1
M c k C1 k1 fs Entrada
1kg 4N/m/s 350N/m 100N/(m/s)2
1000N/m2
100Hz Rudo
branco
X()
X1() Y()
X2()
( )A
1 ( )A
2 ( )A
5/21/2018 Identificao de Sistemas Dinmicos No-lineares No Domnio Da
22/28
Figura 10.2 Densidades Espectrais de Potncia da Entrada e Sada utilizadas na simulao
O rudo utilizado excita toda a faixa de freqncia de interesse. Esse um fator importante na
seleo da entrada, isto , o sinal tem que ser suficientemente excitante na poro do espectro em
que se tem interesse no estudo de algum sistema.
Figura VI.3 Respostas em Freqncia para abordagens SISO e MISO.
10-2
10-1
100
101
-80
-70
-60
-50
-40
-30
MdulodaFRF
(dB)
Estimativa MISOEstimativa SISO
10-2
10-1
100
101
-200
-100
0
100
200
ngulodeFase(graus)
Freqncia (Hz)
Estimativa MISOEstimativa SISO
10-2
10-1
100
101
56
58
60
62
64
MdulodaPSD
dorudo
(dB)
10-2
10-1
100
101
-100
-80
-60
-40
-20
MdulodaPSDdarespo
sta(dB)
freqncia (Hz )
5/21/2018 Identificao de Sistemas Dinmicos No-lineares No Domnio Da
23/28
Observe-se a diferena entre as estimativas SISO, em que H dada por Gxy/Gxxe a estimativa
MISO que utiliza as densidades condicionadas. No primeiro caso o sistema no apresenta
ressonncia em 3Hz, enquanto no segundo a diferena h resposta significativa. Os ngulos de fase
tambm so distintos.
Figura 10.5 Resposta em Freqncia estimada para a poro no-linear relativa a ( ) ( )x t x t& & .
Tal FRF, conforme expresso na Tabela 10.1, corresponde a uma constante de valor 100 e,
portanto, fase nula. A varincia do mdulo observado na poro apresentada 3 e a mdia 91.
10-2
10-1
100
101
0
500
1000
1500
2000
2500
Mdulo
daFRF
dex
2
10-2
10-1
100
101
-100
-50
0
50
ngulo
deFase(graus)
Freqncia (Hz)
5/21/2018 Identificao de Sistemas Dinmicos No-lineares No Domnio Da
24/28
Figura 10.6 Resposta em Freqncia estimada para a poro no-linear relativa a x2.
Tal FRF, conforme expresso na Tabela 10.1, corresponde a uma constante de valor 1000 e,
portanto, fase nula. A varincia do mdulo observado na poro apresentada 308 e a mdia 1089.
O principal motivo de tamanha diferena em termos de qualidade da estimativa est relacionada
potncia relativa de cada poro. Neste contexto, quanto maior a intensidade da excitao, tanto
mais exacerbadas so as caractersticas no-lineares.
10-2
10-1
100
101
0
500
1000
1500
2000
2500
MdulodaFRF
dex
2
10-2
10-1
100
101
-100
-50
0
50
ngulodeFase(gra
us)
Freqncia (Hz)
5/21/2018 Identificao de Sistemas Dinmicos No-lineares No Domnio Da
25/28
Figura 10.7 Funes de Coerncia.
A coerncia mltipla 1 porque no foi adicionado rudo de medio na simulao em que estes
resultados foram obtidos. Observe-se que a coerncia da estimativa SISO, correspondente
coerncia ordinria entre a entrada e a sada, bastante elevada, embora haja diferenas to
relevantes nas FRFs. Por outro lado, as pores no-lineares tm graus de coerncia distintos, o que
explica a diferna na varincia das estimativas obtidas.
Com o intuito de ilustrar o impacto do rudo de medida na qualidade dos estimadores, realizou-
se uma srie de simulaes cujos resultados esto sintetizados na tabela e grfico a seguir:
10-2
10-1
100
101
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Coerncia
Freqncia (Hz)
Coerncia Mltipla
1,4
2,4.1
(dx/dt|dx/dt|)
3,4.2
(x2)
5/21/2018 Identificao de Sistemas Dinmicos No-lineares No Domnio Da
26/28
Tabela 10.2: razo Sinal/Rudo e parmetros relacionados ao mdulo do estimadores das FRFs
das pores no-lineares.
SNR(dB)1c 1c 1
1
c
c
1
k 1k
1
1
k
k
91 3 0.03 1089 308 0.2869 91 3 0.03 1138 343 0.30
49 92 4 0.04 1251 607 0.49
29 102 11 0.11 1459 1036 0.71
-11 118 17 0.14 430 194 0.45
-31 125 25 0.20 54 46 0.85
-51 128 32 0.25 6 7 1.17
O indicador desvio/mdia isoladamente tenha aplicao limitada, a observao conjunta dele e
do erro da mdia indica a deteriorao dos estimadores medida em que o rudo aumenta. Os efeitos
so maiores no estimador de pior desempenho na situao sem rudo.
Figura 10.8 Indicador do efeito do rudo de medio na qualidade do estimador.
-100 -50 0 50 100 150 2000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
razo Sinal/Rudo (dB)
razodesvio/mdia
Mdulo do Estim ador da FRF de dx/dt|dx/dt|
Mdulo do Estimador da FRF de x2
5/21/2018 Identificao de Sistemas Dinmicos No-lineares No Domnio Da
27/28
11.CONCLUSES
A utilizao da tcnica CRP, isto , a dinmica reversa associada s densidades espectrais
condicionadas, permite a identificao no-paramtrica de sistemas SISO/MISO no-lineares do tipo
Wiener. Por um raciocnio anlogo ao apresentado, considerando-se agora tambm as sadas
correlacionadas, extende-se a utilizao a sistemas MIMO.
No contexto da identificao, deve ser vista como uma etapa inicial do processo. Estabelecendo-
se uma estrutura para o modelo, pode ser aplicada na obteno das FRFs que por sua vez propiciam
uma estimativa inicial dos parmetros de interesse.
Mesmo quando as no-linearidades so aparentemente pequenas visto que a coerncia entre
entrada e sada elevada, podem existir diferenas importantes de comportamento dinmico, em
particular nas regies em que o sistema apresentar plos.
A caracterizao das no-linearidades depende da capacidade de excitao da entrada utilizada
tanto no que diz respeito faixa de freqncia excitada bem como a amplitude do sinal. Quanto mais
ampla a resposta obtida maior a probabilidade, em geral, de se elevar a importncia relativa da
poro no-linear do sistema e de diminuir a varincia da FRF.
A qualidade do estimador depende tambm da razo sinal/rudo e se deteriora medida em que
o nvel do rudo se eleva relativamente; o impacto maior no estimador de pior qualidade mesmo
sem rudo. No exemplo simulado, especificamente, h um limiar (inferior) a partir do qual a razo
independe do rudo, isto , a qualidade limitada pela prpria situao: sinal de excitao,
caractersticas relativas aos estimadores das PSDs e tcnica de identificao utilizada.
12. AGRADECIMENTOS
Ponha agradecimentos aqui.
5/21/2018 Identificao de Sistemas Dinmicos No-lineares No Domnio Da
28/28
13.REFERENCIAS
[1] BENDAT, J. S., System Identification from multiple input/output data. Journal of Sound and
Vibration. v. 49, n.3, p. 293-308,1976.
[2] BENDAT, J. S., Nonlinear system techniques and applications. Los Angeles: John Wiley,
1997.
[3] BENDAT, J. S.; PIERSOL, A. G., Random data: analysis and measurement procedures.
New York: John Wiley, 1986.
[4] LJUNG, L., System identification: Theory for the user. New York: Prentice Hall, 1999.
[5] MARPLE Jr., S. L., Digital Spectral Analysis: with applications. Englewood Cliffs:
Prentice-Hall, 1987.
[6] OPPENHEIM,A.V.;SCHAFER,R.W.Digital Signal Processing. Englewood Cliffs: Prentice-
Hall, 1975.
[7] PINTELON, ; SCHOUKENS, System Identification: a frequency domain approach, IEEE
Press, New York, 2001.