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LISTA 3 - Prof.JasonGallas,IF–UFRGS 3 deAgostode2003, as10:14a.m.
ExercıciosResolvidosdeDinamica Classica
JasonAlfr edoCarlson Gallas,professortitular de fısicateorica,
Doutor em Fısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do SulInstituto de Fısica
MateriaparaaQUARTA prova. Numerac¸aoconformeaquarta edicaodo livro“FundamentosdeFısica”,Halliday, ResnickeWalker.
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Conteudo
14 Capıtulo 14- OSCILAC OES 2
14.1 QUESTIONARIO . . . . . . . . . . . . 214.2 EXERCICIOSE PROBLEMAS . . . . 214.3 PROBLEMAS ADICIONAIS . . . . . 8
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14 Capıtulo 14 - OSCILAC OES
14.1 QUESTIONARIO
2. Quandoa massa��� e suspensade umadetermina-da mola A e a massamenor ��� e suspensada molaB, as molassao distendidasda mesmadistancia. Seossistemasforemcolocadosemmovimentoharmonicosimplesverticalcomamesmaamplitude,qualdelesteramaisenergia?� Daequac¸aodeequilıbrio paraumcorposuspensodeumamola, ������ �� , concluimosque � ��� � � . A
energiadoosciladore � �������� , portanto� � � � � .4. Suponhamosqueum sistemaconsisteemum blocode massadesconhecidae umamola de constantetam-bem desconhecida.Mostre como podemosprever operıododeoscilacaodestesistemabloco-molasimples-mentemedindoa extensaoda molaproduzida,quandopenduramoso bloconela.� No equilıbrio temos ������� �� . O perıodo doosciladore � �"!$# % � , ondea razaodesconhecida% �podesersubstituıdapelarazao &(') .
5. Qualquermola real tem massa.Seestamassaforlevadaem conta,explique qualitativamentecomo istoafetarao perıododeoscilacaodosistemamola-massa.�7. Que alteracoes voce pode fazer num osciladorharmonico paradobrara velocidademaxima da mas-saoscilante?� A velocidademaximado osciladore * % ,+.- % .As possibilidadesdeduplicaressavelocidadeseriam(i)duplicandoa amplitude- % , (ii) trocara moladecons-tante � poroutradeconstante/ � , (iii) trocara massa�poroutramassa��0 / . Claro,hainumeraspossibilidadesdealterar� e � tal que +213 �"+ .
10. Tente prever com argumentosqualitativos se operıododeumpenduloira aumentarou diminuir, quan-dosuaamplitudefor aumentada.
� Para pequenasamplitudes,o pendulo e isocrono,isto e, o perıodo nao dependeda amplitude. Contudo,quandoas oscilacoesse dao a angulosmaiores,paraos quaisa aproximac¸ao 4�576�8,9:8 ja nao e valida,operıodotorna-seumafuncaocrescentede 8"; , o angulodemaximoafastamentodaposicaodeequilıbrio. Umadiscussaointeressantea esserespeitoesta feitanovolu-me � , capıtulo < doMoysesNussenzveig.
11. Um pendulosuspensodo teto de uma cabinedeelevador tem um perıodo T quandoo elevador estaparado. Como o perıodo e afetadoquandoo eleva-dor move-se(a) paracima com velocidadeconstante,(b) parabaixo com velocidadeconstante,(c) parabai-xo com acelerac¸ao constanteparacima, (d) paracimacomacelerac¸aoconstanteparacima,(e) paracimacomacelerac¸ao constanteparabaixo = � � , e (f) parabai-xo com acelerac¸ao constanteparabaixo = � � ? (g)Em qualcaso,seocorreemalgum,o penduloosciladecabec¸aparabaixo?�16. Um cantor, sustentandouma nota de frequenciaapropriada,podequebrarumatacadecristal,seesteforde boaqualidade. Isto nao podeser feito, seo cristalfor debaixaqualidade.Expliqueporque,emtermosdaconstantedeamortecimentodovidro.� O cristal da taca e um sistemaoscilantefortementeamortecido.Quandoumaforca externaoscilantee re-movida,asoscilacoesdepequenaamplitudeno sistemadiminuemrapidamente.Para uma forca externaosci-lantecujafrequenciacoincidacomumadasfrequenciasde ressonanciada taca, a amplitudedas oscilacoes elimitadapeloamortecimento.Mas,quandoa amplitudemaximae atingida,o trabalhoefetuadopela forca ex-ternasuperao amortecimentoe a taca podeentaovir aromper-se.
14.2 EXERCICIOS E PROBLEMAS
Secao14-3MovimentoHarmonicoSimples:A Lei deForca
3E. Um bloco de /?>A@B@ kg esta suspensode umacertamola,estendendo-sea C7DE>A@ cm alemdesuaposicaoderepouso.(a) Qual e a constanteda mola? (b) O bloco
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e removido e um corpocom @E>GFH@B@ kg e suspensodamesmamola. Seestafor entao puxadae solta,qual operıododeoscilacao?� (a) No equilıbrio, a forca exercidapelamolae igualaopesodamassa.Entao�$ ��� �� JI /?>A@K@ML ION >APQC7L@QRSC7D T� /MF N/m
(b) O perıodosera
� T�H!$U � � V�"! U @ERWFH@K@� /XF @E> � P s
10E.Umamassade FH@Q>A@ g e presaa extremidadeinfe-rior deumamolaverticale colocadaemvibracao. Seavelocidademaximada massae C7FE>A@ cm/se o perıodo@E>GFH@B@ s, ache(a) a constantede elasticidadeda mola,(b) a amplitudedo movimento e (c) a frequenciadeoscilacao.� Aı temosum exercıcio que e aplicacao direta de”f ormulas”:(a) +� �H!� �"!@E>GFH@K@ C � >GFBY rad/s�$Z+ � �[ I C � >GFBYKL � I @E>A@MFH@ML YX> N @ N/m
(b) � % * %+ @E>\C]FC � >GFBY @Q>A@EC � m
(c) ^ �`_ � � >A@ Hz
16E.Um corpooscilacommovimentoharmonicosim-plesdeacordocoma equac¸ao-� I DE>a@ mLcb�dH4fe I < ! rad/sLhg(i !j0 < radklREm g �� >A@ s, quaissao (a) o deslocamento,(b) a ve-locidade,(c) a aceleracao e (d) a fasedo movimento?Tambem, quaissao (e) a frequenciae (f) o perıodo domovimento?� (a)- I g � >A@ML I DE>A@MLmb�dH4 I D ! i ! < L <Q>A@ m(b)* I g T� >a@BL �n I < ! L I DE>a@BL347576 I D ! i ! < on / N m/s
(c)= I g � >A@ML pn I < ! L � I DQ>A@MLqb�dH4 I D ! i ! < L �nr� DKDE>GF m/s�
(d)
fase D ! i ! < C N !<(e) ^ +�"! < !�H! CK>GF Hz
(f) � ^ _ � @Q>ADXY sR20P. Um bloco de � >A@B@ kg esta suspensode umacertamola.Sesuspendermosumcorpode <B@K@ g embaixodobloco,a molaesticara mais � >A@K@ cm. (a) Quala cons-tantedamola? (b) Seremovermoso corpode <K@B@ g eo bloco for colocadoem oscilacao, acheo perıodo domovimento.� (a) Para calcular a constanteda mola usamosa condicao de equilıbrio com a segundamassa,res-ponsavel peladeformac¸aoadicionaldamola:� 1 �sT�c- 1I @Q>A<K@B@BL ItN >aPEC]L V� I @Q>A@ ��$ C7FH@ N/m
(b) Calculadaa constantedamola,vamosaoperıodo:� T�"!$U � �� V�"! U � >A@B@C]FH@ @E>uY"< s
26P. Um bloco esta numasuperfıcie horizontal (umamesaoscilante),queseagitahorizontalmentenummo-vimento harmonico simplescom a frequenciade � >a@Hz. O coeficientede atrito estatico entreo bloco e asuperfıcie e @E>aF . Qual podesera maior amplitudedoMHS, paraqueo bloconaodeslizesobrea superfıcie?� A forca responsavel pelaoscilacaonaodeveexcedera forca maximadoatritoestatico:�c- % Tvxwa�y�+ � - % zvxwa�/ ! � ^ � - % Zvxwa�- % vxwG�/ ! � ^ �
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- % <Q>\C7@ cm
30P. Certamola semmassaesta suspensado teto comum pequenoobjeto presoa sua extremidadeinferior.O objeto e mantido inicialmenteem repouso,numaposicao �K{ tal quea molanaofiqueesticada.O objetoeentaoliberadoeoscilaparacimaeparabaixo,sendosuaposicaomaisbaixa C7@ cm de �K{ . (a) Quala frequenciada oscilacao? (b) Qual a velocidadedo objetoquandoesta PE>a@ cmabaixodaposicaoinicial? (c) Um objetodemassade <K@B@ g e ligadoaoprimeiroobjeto;logo apos,o sistemaoscila com metadeda freq’uenciaoriginal.Quala massadoprimeiroobjeto?(d) Comrelacaoa � { ,ondeeo novo pontodeequilıbrio (repouso)comambososobjetospresosa mola?� (a)Osdadosdoproblemasugeremo usodoprincıpiodaconservacaodaenergia. Colocamoso referencialpa-raaenergiapotencialgravitacionalnaposicaomaisbai-xa: ���M�s �X� ���]�.z+ � �+�|U �"��+� C\/ rad/s
(b) Ainda trabalhandocom a conservacao da energia,mudamoso referencialagoraparaa posicao a PE>a@ cmabaixode �B{ : �y�X� 1 � * �� i �X�c1 ���]�X� 1 n}+ � � 1 � * �* @E>GFHD m/s
Tambempodemoschegara esteresultadopelaequac¸aode movimento. A amplitudedo MHS subsequentee� % @E>A@MF m e tomandog @ quandoa massaestaem � { , temosaconstantedefase~ @ :� I g�L Z� % b�dH4 + gn @Q>A@B< @E>A@MF�b�dH4 + gb�dH4 + g T� > � C�/B< rad
Paraa velocidadedamassa,* I g�L �n�+s� % 47576 + g* I C\/XL I @Q>A@MFKL�47576 I � > � C�/B<ML �n @Q>aFHD m/s
O sinal negativo indica que a massaesta abaixo daposicao de equilıbrio, dirigindo-separa a posicao demaximoafastamento,do ”lado negativo”.(c) Paradeterminara massadoprimeiroobjetoligadoamola,usamosa relacao �$T�y+ � , tomando+21xZ+�0H� :�$ I � i � 1 L + 1 ��y+ � I � i � 1 L + �/�� @E>�C�@ kg
(d) Quandoasoscilacoesacontecemcomambososob-jetospresosa mola,a posicaodeequilıbrio do sistemapassaa ser I � i � 1 L �$ I � i � 1 L + 1 � � 1 1� 1 1 / �+ � @E> � @ m
33P. Duasmolasidenticasestao ligadasa um blocodemassa� eaosdoissuportesmostradosnaFig. C�/ n�� Y .Mostrequea frequenciadaoscilacaonasuperfıciesematrito e ^ C�"! U �2�� R� Qualquerdeslocamentoda massaproduzum igual �- dedistencaoecompressaodasmolas,tal queaforcaresultanteatuandonamassae�K�E �-�Z��+ � �-+ � �K��^ C�"! U �K��35P. Duasmolassaoligadaseconectadasadeterminadamassa� , comomostradonaFig. C\/ n� P . A superfıciee sematrito. Seambasasmolastiveremumaconstantedeforca � , mostrequea freq’uenciadasocilacaode �e ^ C�H! U ��"� R� Suponhamosqueasmolastem constantesdiferen-tes, � � e � � . Qualquerdeslocamentodamassaproduzadeformac¸ao -Q��z- � i - � , quetambempodemosescre-vercomo -Q��z� I C� � i C� � L ��Bwq���]{S���G��wh�"�tw
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C� wq�q�]{����G�Swh�"�tw � � i � ��X���K�Paraa frequenciateremosentao^ C�H!T� �M���B�I � � i � � L �Considerandoasmolasiguais,com � � � � T� , vem^ C�"! U ��H�.
Secao 14-4 Movimento Harmonico Simples:ConsideracoesSobreEnergia
42E. Um objetode FE>A@K@ kg numasuperficie horizon-tal sematrito e ligadoa umamolacomconstanteC�@K@B@N/m. O objeto e deslocadoFH@Q>A@ cm horizontalmentee empurradoa umavelocidadeinicial de C7@E>a@ m/s, nadirecaodopontodeequilıbrio. (a)Quala frequenciadomovimento?Quaissao(b) aenergiapotencialinicial dosistemabloco-mola,(c) a energiacineticainicial e (d) aamplitudedaoscilacao?� (a)A frequenciadomovimentoe^ +�"! T� > � F Hz
(b) A energiapotencialinicial e��� �Q �- ��� � I @E>GFH@ML I C7@K@B@BL I @E>GFKL � C � F J
(c) A energiacineticainicial e�$� � * ����$� I @E>GFKL I Fc>a@BL I C�@Q>A@ML � T� FH@ J
(d) Coma conservacaodaenergiatemos� ��� i �$� �c- �%�-m @E>aPMY m
46P. Uma partıcula de <Q>A@ kg esta em movimentoharmonico simplesem uma dimensao e move-sedeacordocomaequac¸ao-V I Fc>a@ mLcb�dH4fe I !j0 < rad/sLqg n�!j0 / radk�R
(a) Em qualvalor de - a energia potencialdapartıculae igual a metadeda energia total? (b) Quantotempolevaparaquea partıculamova-separaestaposicao - , apartirdopontodeequilıbrio?�50P*. Um cilindro solido esta ligado a umamola ho-rizontal semmassade forma queele possarolar, semdeslizamento,sobreumasuperfıciehorizontal(Fig. 14-32). A constanteda mola � e <E>a@ N/m. Seo sistemafor liberadodeumaposicaoderepousoemquea molaestejaestendidade @Q> � F m, ache(a) a energia cineticatranslacionale (b) a energia cinetica rotacionaldo ci-lindro quandoele passapelaposicao deequilıbrio. (c)Mostrequenessascondicoeso centrode massado ci-lindro executaum movimentoharmonico simplescomperıodo � J�"! U <M��K� >onde � e a massado cilindro. (Sugestao: Achea deri-vadadaenergiamecanicatotalemrelacaoaotempo.)� A energiamecanicatotal doosciladore � �� �X- �m.Com os dadosfornecidos,obtemos� @E>\C7@ J. Naposicaodeequilıbrio, aenergia total e so cinetica
� C� ��* � i C�s� + � RComoo cilindro rola semescorregar, * +2� e a ener-gia cineticarotacionalpodeserexpressaem termosdavelocidadelinear * :
� C� ��* � i C��I C� � � � L I *� L �� C� ��* � i C� I C� ��* � L
A energia cineticade rotacaovalea metadedaenergiacineticadetranslac¸ao.Portanto,(a)�
translacao @E>a@KDMY J
(b) �rotacao
@E>A@B<K< JR(c) Seguindo a sugestao do enunciado, a energiamecanicatotaldoosciladore� C� ��* � i C� � + � i C� �X- �
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� C� ��* � i C� I C� � � � L I *� L � i C� �X- �� </ ��* � i C� �X- �Como a energia mecanicatotal e constante,�G�� � @ .Usandonasduasparcelasdoladodireitodaequac¸aoaci-maasrelacoesparaa posicao,velocidadee acelerac¸aodoMHS, obtemos@ < � ��*�� *� g i �X- � -� g@ < � � I n�+�- m 47576 + g�L I n�+ � - m b�dH4 + g�LAi �X- m b�dH4 + g I n�+�- m 47576 + g�LAposasdevidassimplificacoes,resulta+ � �B�<B�Outra forma de se chegar ao perıodo pedidoe ”cons-truindo” a equac¸aodiferencialquedescreve o MHS. Aforca resultanteatuandoe
��� � -� g � �n��X-$n ^ atrito
A segundana lei na forma angularfornecea forca deatritoestatico� ^
atrito �B I C� � � � L I C� L � � -� g �^atrito
C� �¡� � -� g �Levandoesteresultadoparaaequac¸aodaforcaresultan-te,vem I �¢i C� ��LH� � -� g � i �X-� @� � -� g � i �B�<B� -� @Na segundaparcelada equac¸ao acima, a quantidademultiplicando - e igual a + � , levandoao perıodo doMHS docilindro.
Secao14-5Um Oscilador HarmonicoSimplesAngu-lar
52P. Umaesferasolida de N F kg comum raio de C7F cme suspensadeum fio verticalpresoaotetodeumasala.Um torquede @E> � @ N.m enecessarioparagiraraesferadeumangulode @E>aPBF rad.Qualo perıododaoscilacao,
quandoaesferae liberadadestaposicao?� O momentodeinerciadaesferasolida e� �F � � � @E>aPBFKF kg.m�
A constantedetorcaodofio e£y�¤8 Fc>a@K< N.m/rad
O perıododasoscilacoesentaoe
� V�"! U �£ V� >GF N s
54P. A rodade balanco deum relogio oscilacomumaamplitudeangularde ! rad e um perıodo de @Q>aFH@ s.Ache (a) a velocidadeangularmaxima da roda, (b) avelocidadeangulardarodaquandoseudeslocamentoede !j0K� rad e (c) a acelerac¸ao angularda roda,quandoseudeslocamentoe de !j0 / rad.� (a) Assumimos,claro,queo movimentooscilatorioinicia naposicaodemaximodeslocamentoangular, demodoquea constantedefase¥ @ :+
max.z+ 8 m / ! � rad/s
(b) 8 I g�L 8 m b\dH4 + g! � z! b�dH4�/ ! g/ ! g ! < rad
Levamosesteresultadoparaaequac¸aodavelocidadedoMHSA: + I g�L pn}+ � 8 m 47576 + g+��n / ! � 475�63@Q>aF pn <E>A/MF ! � rad/s
(c) Na equac¸ao para a acelerac¸ao angular, quando8 I g�L �¦§ rad, temos fI g�L on¨+ � 8 m b�dH4 + g fI g�L on / !3© rad/s� R
Secao14-6Pendulos
64E. Um pendulofısico consisteem um disco solidouniforme(de massa� e raio � ), suportadonum pla-noverticalpor umeixo localizadoa umadistancia� docentrododisco(Fig. 14-35).O discoedeslocadodeumpequenoanguloe liberado.Acheumaexpressaoparao
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perıododomovimentoharmonicosimplesresultante.� Usamosaquidiretamentea equac¸aoparao perıododo pendulofısico,masantesprecisamosaplicaro teo-remadoseixosparalelosparater o momentodeinerciadoeixoderotacaopassandopelopontosesuspensaododisco: � � cm i � � � C� � � � i � � �A expresaoparao perıodoentaoe
� �H! � � � i � � ��]� �69P. Uma hastecom comprimentoª oscilacomo umpendulofısico,comeixo no ponto « naFig. 14-37.(a)Deduzaumaexpressao parao perıodo do penduloemtermosde ª e - , a distanciado pontodesuspensaoaocentrodemassadopendulo.(b) Paraqualvalorde -m0 ªo perıodoe mınimo? (c) Mostreque,se ª CK>a@K@ m e�s N >aPK@ m/s
�, estemınimo e CB>aFH< s.� (a) Repetimosaqui o problemaanterior; com a
aplicacao do teoremadoseixosparalelosparaobteromomentodeinercia,temosparao perıodo:
� �H! � ª � iTC �H- �C �"�M-(b) Precisamosagoraderivaraexpressaodoperıodoemrelacao a variavel - e fazendoa derivadaigual a zero,obtemos � / - � ª � izC �"- �-ª U CC � @E> � P N(c) Aplicandoestevalor obtido, -� @E> � P N ª , e os de-maisdadosnaexpressaodo perıodoencontramoso va-lor � mın.
CB>aFK< s.
72P. Um pendulosimplesde comprimentoª e massa� esta suspensoemum carroqueesta viajandoa umavelocidadeconstante* , em um cırculo de raio � . Seo penduloexecutapequenasoscilacoes numadirecaoradialemtornodasuaposicaodeequilıbrio, qualseraasuafrequenciadeoscilacao?� Alem da forca gravitacional, o pendulo esta soba acao da forca centrıpetado movimentocircular uni-forme. Sua acelerac¸ao efetiva vale entao = efetiva
¬ � � i �G® � . A forca restauradorado MHS e � n�� = efetiva 475�6¯8 . Parapequenasoscilacoes, 475�6�8�9°8e fazendo8 ²±³ , podemosescreveraequac¸aodoMHSparaa variaavel 4
� � 4� g � i # �� i�* § 0"� �ª 4 @Q>
onde + � I # � � i�* § 0"� �ª Lnosleva a frequencia � ¦´ .
75P. Umahastelongae uniformedecomprimentoª emassa� gira livrementeno plano horizontalem tor-no de um eixo vertical, atraves do seu centro. Umadeterminadamola com constantede forca � e ligadahorizontalmenteentreumaextremidadedahastee umaparedefixa, comomostraa Fig. 14-38. Quandoa has-te esta em equilıbrio, fica paralelaa parede. Qual operıododaspequenasoscilacaoesqueresultam,quandoahastee ligeiramentegiradae liberada?� A molaexerceum torquerestauradorsobrea barradadopor
¤ �n�X- ª � onµ� I ª � 8BL ª �Da segundalei angular, ¤ �r , com � % ³ ���� , escre-vemosa equac¸aoparao MHS dabarra
� � � 8� g � i � ª�/ 8 @Q>
naqualidentificamos+ � © �% , doqueresultao perıodo
� �"!�U �< � RSecao 14-8Movimento HarmonicoSimplesAmorte-cido
83P. Um osciladorharmonico amortecidoconsisteemum bloco( �,o� >A@B@ kg), umamola( �y C7@E>a@ N/m) eumaforca de amortecimento�,¶n�· * . Inicialmente,ele oscilacom umaamplitudede � Fc>a@ cm; devido aoamortecimento,a amplitudee reduzidaparatresquar-tosdo seuvalor inicial, quandosaocompletadasquatrooscilacoes.(a)Qualo valorde · ? (b) Quantaenergiafoi
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”perdida”duranteessasoscilacoes?� Considerando·¹¸`¸ ¬ �% , daequac¸aoparaaposicaoobtemos </ - m
T-m 5 _ �º¼»� �
Como · e supostopequeno,� �H!s# % � V� >aPEC sque,levadoaequac¸aoanterior, forneceo valorde ·� @Q>\C�@ �kg/s.(b) A energia inicial do osciladore � o
�� �X- �m@E>a<EC7< J.Para g /B� , teremos� I /K�¹L � o 5 _ hº¼»� @E>\C"Y"D J
Descontandoessevalor da energia inicial, teremosaenergiaperdidapeloamortecimento,quee @E>�C�<XY J.
85P. Considereque voce esta examinandoas carac-terısticasdo sistemadesuspensaodeum automovel de� @B@K@ kg. A suspensao ”cede” C7@ cm, quandoo pesodo automovel inteiro e colocadosobreela. Al em dis-so,a amplitudedaoscilacaodiminui FH@�½ duranteumaoscilacao completa.Estimeos valoresde � e · paraosistemade molae amortecedorem umaroda,conside-randoquecadaumasuportaFH@K@ kg.� Escrevendoa condicaodeequilıbrio paracadaumadasrodas,temosI FH@K@ML ION >APQC7L T� I @E>�C�@BL�$ /Q> N @BFT¾�C�@ § N/m
Pressupondoum pequenovalor para · , tomamos+¿¬ �% N > N @BF rad/se o perıodo � � ¦´ @Q>ADB< s elevamosestesresultadosparaa equac¸ao da posicao domovimentoamortecido:@E>aFK@ - m
z-m 5 _ º¼»� �
Tomandoo logaritmonaturaldosdoisladosdaequac¸aochegamosaovalordaconstantedeamortecimento·� CKC7@K@ kg/s
Secao14-9OscilacoesForcadaseRessonancia
87P. Um carro de �B� @B@ libras, transportandoquatropessoasde C�PB@ libras,viajaemumaestradadeterraco-bertadepequenasondulacoes(costelas),comsalienciasseparadasde C�< pes. O carro balanca com amplitudemaxima quandosuavelocidadee de C�@ milhas/h. O
carroentaoparae osquatropassageirosdesembarcam.Quantosobea carroceriado carro em sua suspensaodevido aodecrescimodepeso?� Vamosresolvero problemaemunidadesSI.A massatotal e �
totalT�
carro i � passageiros�total NBN PÀi I /ML I PECB>ADMFKL C7< � /Q>aFK@ kg
A amplitudemaximaocorrequando* /Q>A/XY m/s.Paraa distanciaentreascostelastemos-Á <E> N D m. Agorapodemoscalcularo perıodo� -* max.
<Q> N D/?>�/cY @E>aPKPKD sA frequenciaangulare + � ¦Â YX>a@ N rsd/se a cons-tanteelasticadosistemadesuspensaoe �$z� total
+ � DBDBFKPK@ N/m. Comospassageirosabordo,a deformac¸aodasuspensaoe�X�� � total
�� C�< � /Q>GF(¾ N >aPECDKDMFHPK@ @Q>\C N F m
Semospassageiros,adeformac¸aoe�K�r � carro�� NBN P.¾ N >APQCDBDBFKPK@ @E>�C\/cY m
O quantoacarroceriasobeaposo desembarquedospas-sageiros,calculamospeladiferenca� � n}� � @Q>A@H/MP m
Convertendoas unidadespara confirmar o resultado,@Q>A@K/BP m correspondemas CB> N @ polegadasnasrespos-tasdo livro.
14.3 PROBLEMAS ADICION AIS
88. Um osciladorharmonico simplesconsisteem umbloco ligado a umamola de constante�TÃ� @K@ N/m.O blocodeslizaparafrentee paratrasaolongodeumalinha reta, numasuperfıcie sematrito, com ponto deequilıbrio em -Z @ e amplitude @Q> � @ m. Um graficodavelocidade* do blococomoumafuncaodo tempo ge mostradona Fig. 14-42. Quaissao (a) o perıodo domovimentoharmonico simples,(b) a massado bloco,(c) o deslocamentodo blocoem g @ , (d) a acelerac¸aodoblocoem g @E>�C�@ s e(e) aenergiacineticamaximaalcancadapelobloco.
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� (a) Bastaobservar o grafico paraobter o perıodo:� @Q> � @ s.(b)A massadoblococalculamospelarelacao �$T�y+ � ,�[ ��H!j0 � � @K@C�@ ! � @Q> � @ kg
(c) O deslocamentodoblocoem g @ e- I @BL z- m @Q> � @ m
(d) Paraa acelerac¸aoem g @Q>\C�@ s,= I g @E>�C�@ML on I C�@B@ ! � L I @Q> � @MLmb�dH4 !¨ C N Yc>�/M@ m/s�
(e)A energiacineticamaximaalcancadapeloblocoe�m C� � * �m <E> N F J
91. Um pendulofısicoconsisteemduashastescomummetrode comprimentoquesao ligadascomomostraaFig. 14-44. Qualo perıododeoscilacaocomum eixoinseridonoponto Ä ?
� Precisamosprimeirodeterminara posicaodo centrodemassadasduashastes.Do capıtulo N sabemosque�
cm � I @MLxi � I n ª 0H� L�"� �n ª / >
onde ª e � sao, respectivamente,o comprimentoe amassadecadaumadashastes.A origemdo sistemadereferenciaesta colocadono ponto Ä . Entao, o centrode massado sistemaformadopelasduashastesesta adistancia ª 0 / abaixodo ponto Ä . Portanto,aı temosadistancia”d” do centrodemassado penduloaopontodesuspensao.O momentodeinerciadosistemae� � � i � �
� C< � ª � i CC � � ª � FC � � ª �Levandoosvaloresde � e � paraaexpressaodoperıodo,teremos
� T�H! � FHª< � � >aF N sR
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ExercıciosResolvidosdeDinamica Classica
JasonAlfr edoCarlson Gallas,professortitular de fısicateorica,
Doutor em Fısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do SulInstituto de Fısica
MateriaparaaQUARTA prova. Numerac¸aoconformeaquarta edicaodo livro“FundamentosdeFısica”,Halliday, ResnickeWalker.
Estaeoutraslistasencontram-seem:http://www.if.ufrgs.br/� jgallas
Conteudo
15 Gravitacao 215.1 Questoes. . . . . . . . . . . . . . . . . 215.2 Problemase Exercıcios . . . . . . . . . 2
15.2.1 A Lei daGravitacaodeNewton 215.2.2 Gravitacao e o Princıpio de
Superposic¸ao . . . . . . . . . . 2
15.2.3 Gravitacao Proximo a Su-perfıciedaTerra . . . . . . . . 3
15.2.4 Gravitacaono InteriordaTerra. 415.2.5 EnergiaPotencialGravitacional 415.2.6 PlanetaseSatelites:LeisdeKe-
pler . . . . . . . . . . . . . . . 715.2.7 OrbitasdeSatelitese Energia . 815.2.8 ProblemasAdicionais . . . . . 10
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15 Gravitacao
15.1 Questoes
Q 15-11
A forca gravitacionalexercidapelo Sol sobrea Lua equaseduasvezesmaiorqueaquelaexercidapelaTerra.Porquea LuanaoescapadaTerra?�15.2 ProblemaseExercıcios
15.2.1 A Lei da GravitacaodeNewton
E 15-1 (14-1/6� edicao)
Qualdeveseraseparac¸aoentreumapartıculade ����� kge outrade ��� � kg, paraquesuaforca deatracaogravita-cionalseja ��� � ��������� N?� O modulodaforca gravitacionale ������� � � � ��� � ,dondetiramosque� � � ��� � � �� � � "! � !$# ��� �%�&�(' �)� � ' �)� � '��� * ��� �%�+�� �-, m �E 15-4 (14-3/6� )
Um dossatelitesEchoconsistiaemumbalaoesfericodealumınio inflado,com .� m dediametroemassaiguala�/� kg. Suponhaqueummeteorode
#kg passea m da
superfıciedosatelite. Quala forcagravitacionalsobreometeoro,devidaaosatelite,nesseinstante?� Use �0�1���324�35 ��� � , onde�62 e �35 saoasmassasdo satelite e do meteoro,respectivamente.A distanciaentreoscentrose
� �1798;:������<8;=�>�-? m, onde 7e o raio do satelite e : a distanciaentresuasuperfıcieeo centrodometeoro.Portanto
�0� "! � !$# @�-�)���A� ' �/� ' B# '�-? � �1�)� ,�@�-� �%�&� N �
15.2.2 Gravitacaoe o Princıpio deSuperposicao
E 15-6 (14-7/6� )A quedistanciadaTerra,medidaaolongodalinha queuneos centrosda Terrae do Sol, deve estarumason-daespacialparaquea atracaogravitacionalanulea daTerra?� No pontoondeasforcasseequilibramtemos�DCFEG�� �� � �DC;H)�� �� Ionde CFE e CJH sao asmassasda Terrae do Sol, � ea massadasonda,
� � a distanciado centrodaTerraatea sonda,e
� � a distanciado centrodo Sol ate a sonda.Chamandode : adistanciadocentrodaTerraateo cen-tro doSol, temosque
� � �K:ML � � e,portanto,queC E� �� � C H :=L � � ' � Idonde,extraindoa raizquadradae re-arranjando,segue� � � :ON CFEN C E 8PN C H � :�Q8KR CJH � CFE
� ���/�� ���.S�Q8KT �4U SASWVX�+YAZB[\ U SA]WVX�+YA^"_� �����/,`�=@�-� ] m �Percebaquaoutil foi realizara simplificacaoalgebrica-menteantesdesubstituirosvaloresnumericos.
P 15-15 (14-13/6� )Oproblemaqueseguefoi retiradodoexame“Ol ımpico”de 1946, da UniversidadeEstatal de Moscou (vejaFig. 15-31).Fazemosumacavidadeesfericanumabolade chumbode raio 7 , de tal modoquesuasuperfıcietocao exterior daesferadechumbo,passandotambempelo seucentro. A massada esfera,antesde ser feitaa cavidade,era C . Qual a intensidadeda forca gravi-tacionalcomquea esferaconcava atraira umapequenaesferade massa� , queesta a umadistancia : do seucentro,medidaao longo da linha quepassapeloscen-trosdasesferasedacavidade?� Sea esferade chumbonao fosseoca,a magnitudedaforca queelaexerceriaem � seria � � ���DCa� � :`� .Partedestaforca e devida aomaterialquee removido.
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Calculeaforcaexercidasobre� porumaesferaqueen-chaa cavidade,naposicaodacavidade,e subtraia-adaforca feitapelaesferasolida.A cavidadetemraio
� �b7 � � . O materialquepreenche-atemamesmadensidade(= massa/volume)queaesferasolida. Ou seja,ja cancelando-seo fatorcomum �.c � ,temosque C;d �W��e �fC � 7 e , onde CJd e a massaquepreencheacavidade.Portanto,com
� �b7 � � , temos
C d � �We7 egCh� 7 e�� ?7 eiCj� C ? �O centroda cavidadeesta a uma distancia : L � �:kL97 � � da massa� , de modoquea forca quea ca-vidadeexercesobre� e� � � � C � ? ' � :DLl7 � � '�� �A magnitudedaforca exercidapelaesferafuradae
�m�K� � LF� � � �DCa�mn �: � L �? :MLl7 � � '��Oo� �DCa�: � n �pL �?rqs�tLl7 � �.: 'vuw�)o �
15.2.3 GravitacaoProximo a Superfıcieda Terra
E 15-16 (14-??/6� )Seoperıododeumpenduloeexatamente� snoequador,qualseraseuperıodonopolo sul?Utilize aFig. 15-7.� O perıodo de um pendulosimplese dadopor xf��WcyR z ��{ , onde z e o comprimentodo pendulo. Co-mo{
e diferenteemlugaresdiferentesdasuperfıcie daTerra,o perıododeum pendulovariaquandoele e car-regadodeumlugarparaoutro.Portanto,osperıodosnopolo sule noequadorsao,respectivamente,
xr|M�1�Wcy} z{ | I e x%~t�1�Wc } z{ ~ Icujarazaoe x | � x ~ � R { ~ ��{ | . Destaultima expressaoobtemos
x | � � { ~{ | x ~ � � ,X� # ?.�,X� ?``� � s' �1�)� ,., # sIondeosvaloresnumericosforamtiradosdaFig. 15-7.
E 15-18 (14-15/6� )A quealtura,medidaa partir da superfıcie da Terra,aacelerac¸aodagravidadesera �X� , m/s� ?� Paracomecar, percebaque �X� ,M�1,)� ? � � .A acelerac¸aodevidagravidadee dadapor
{ �b�DC ��� � ,onde C e a massadaTerrae
�e a distanciado centro
daTerraate o pontoondesemedea acelerac¸ao. Subs-tituindo
� ��7m81� , onde 7 e o raio da Terrae � e aaltitude,obtemos
{ ���DC � 7a81� ' � . Resolvendo-seestaequac¸aopara � e usandoosvaloresnumericosfor-necidosnoApendiceC, temos� � � L@7
� } �DC{ Ll7� � �! � !$# @�-� ���A� ' ��� ,.?�@�-� �&� '�X� , L ! � # @�-�`�� ��� ! @�-� � m �
P 15-29 (14-??/6� )Um corpoestasuspensonumabalancademolanumna-vio queviajaaolongodoequadorcomvelocidade� . (a)Mostrequea leituradabalanca sera muito proximade� Y �������y� ��{ ' , onde� e a velocidadeangulardaTer-ra e
� Y e a leitura dabalanca quandoo navio esta emrepouso.(b) expliqueo sinaldemaisoumenos.� (a) As forcasqueatuamnumobjetosendopesadosaoaforcadagravidade,parabaixo,eaforcadamola,paracima, cujasmagnitudeschamaremosde ��� e
�, res-
pectivamente.A leitura da balanca forneceo valor de�. Comoo objetoesta viajandonum cırculo de raio7 , possuiumaacelerac¸aocentrıpeta. A segundalei de
Newtonfornece-nos
� � L � �K�9� �7 Ionde� eavelocidadedoobjetomedidanumreferencialinerciale � e a massadoobjeto.A relacao entreasvelocidadese � �f��70��� , onde� e a velocidadeangulardaTerraquandogira, e � e avelocidadedonavio emrelacaoaTerra.O sinal 8 eusa-doseo navio estivernavegandonomesmosentidoqueaporcaodeaguasobele(deoesteparaleste)enegativase
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navegarno sentidocontrario (delesteparaoeste).Comisto tudo,a segundalei deNewtonfica
����L � �9� ��79�F� ' �7 �Ao expandiro parentesispodemosdesprezaro termo �$�poisamagnitudede � e muitomenorque ��7 . Portanto
� � L � �K� ����7����;�W��7��7 Idemodoque �0�1�G��L �k� � 79�;�/���y���Com o navio parado,�b��� , a leitura e
� Y �f���*L�k����7 e, portanto,� � � Y �m�W�k�y� . Substituindo
agora� por� Y ��{ obtemos,finalmente,que� � � Y�� �Q� ���y�{�� �
(b) O sinal L e usadoseo navio navegaremdirecaoaoleste,enquantoqueo sinal 8 e usadoquandonavegaremdirecaoaooeste.
15.2.4 Gravitacaono Interior da Terra
P 15-34 (14-25/6� )A Fig. 15-35 mostra,em corte, o interior da Terra (afigura nao esta em escala). Longede seruniforme, aTerra esta dividida em tres regioes: uma crosta exte-rior, o mantoe um nucleo interior. A figura mostraasdimensoesradiaisdestasregioes,bemcomoasmas-sascontidasem cadauma. A massatotal da Terra e��� ,.?�9�-� ��� kg e seuraio e 6370km. SupondoqueaTerrae esfericae ignorandosuarotacao, (a) calcule
{na superfıcie. (b) Suponhaque um poco (o Moho) eescavado desdea superfıcie ate a regiao que separaacrostado manto,a �.� km deprofundidade;qualo valorde{
nofundodestepoco? (c) ConsiderandoqueaTerrae umaesferauniformecommassae raiosiguaisaosdaverdadeiraTerra,qualseriao valorde
{aumaprofundi-
dadede �.� km?(Vejao Exercıcio 15-33.)(Medidaspre-cisasde
{funcionamcomosondasbastantessensıveis
paraestudara estruturado interior daTerra,emboraosresultadospossamsermascaradosporvariacoesdeden-sidadelocais.)� (a) A magnitudedaforca numapartıculacommassa� na superfıcie da Terrae dadapor �f���DCa� � 7�� ,
onde C e a massatotal daTerrae 7 e o raio daTerra.A acelerac¸aodevida a gravidadee{ � �� � �DC7 �� "! � !$# l�-���%�&� ' �)� ,`?� ���.�&� ' �! � # @�-� � ' �� ,X� ?` m/s�/�(b) Agora
{ ���DC � 7�� , onde C e a massaconjuntado nucleomaiso mantoe 7 e o raio externodo manto,! � .�$�<��-� � m, deacordocomaFig.15-35.A massaemquestaoe Cj�m�`� ,`�=�-� �&� 8*�X� �)��D�-� ��� �1�)� ,.�Q=�-� �&�kg, ondea primeiraparcelae a massado nucleoe a se-gundaa domanto.Portanto{ � �! � !O# �������A� ' ��� ,/��@�-�`��� ' "! � /�$��@�-� � '+� �b,X� ?.� m/s�/�(c) Um pontoa �.� km abaixodasuperfıcieestanainter-facemanto-nucleo,nasuperfıcie deumaesferade raio7a� ! � .�$��3�-� � m. Comoamassaesupostauniforme-mentedistribuida,podeserencontradamultiplicando-sea massapor unidadedevolumepelovolumedaesfera:C � 7 e�� 7 e� ' CJE , onde CFE e a massatotal da Ter-ra e 7 E e o raio da Terra. Portanto,simplificandodeantemaoumfator ��� � comuma ambososraio,temos
C � n 7 e7 e� o CFE� n ! � /�$�! � # o ��� ,.?� ��� �&� ' ����� ,)��@�-� �&� kg �A acelerac¸aodagravidadee{ � �! � !O# �������A� ' ��� ,)�M@�-�`��� ' "! � /�$��@�-� � '+� �b,X� # , m/s�/�15.2.5 Energia PotencialGravitacional
P 15-46 (14-31/6� )As tresesferasdaFig. 15-38,commassas� � ��?.�.� g,� � ���-�`� g e � e ���/�`� g, estaocomseuscentrosali-nhados,sendozJ�0��� cme :��b� cm. Vocemovimentaa esferado meioate quea suadistanciacentroa centrode � e seja : �¡� cm. Qualo trabalhorealizadosobre� � (a) porvocee (b) pelaforcagravitacionalresultantesobre� � , devido asoutrasesferas?
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� (a) O trabalhofeito por voce ao mover a esferademassa� � e igual avariacaodaenergiapotencialdosis-temadastresesferas.A energiapotencialinicial e¢¤£ �0L ��� � � �: L ��� � � ez L ��� � � ezlL@: Ienquantoquea energiapotencialfinal e¢�¥ �mL ��� � � �zlL@: L ��� � � ez L ��� � � e: �O trabalhoe,portanto,� � ¢y¥ L ¢ £ � ��� �r¦ � � L@� e�§ � �: L �zlLl: �
� �! � !O# @�-� ���A� ' �)�¨�-� ' ¦ �)� ?.��L@�X� �.� § � ��X� �.� L ��X� �`? �
� 8���� �� ��� ���A� J�Percebaquaoutil foi realizara simplificacaoalgebrica-menteantesdesubstituirosvaloresnumericos.Empar-ticular, existe um termoem ambasexpressoesde
¢ £e¢ ¥
quesecancelamaoconsiderarmoso trabalho.(b) O trabalhofeito pelaforcagravitacionaleL � ��L ¢y¥ L ¢ £ ' ��L©��� ��@�-� ���A� J�P 15-47 (14-33/6� )
Um foguete e aceleradoate uma velocidade �ª�� N { 7 E proximo a superfıcie da Terra (aqui 7 E e oraio da Terra)e, entao, orientadoparacima. (a) Mos-tre queeleescapara daTerra. (b) Mostrequea suave-locidade,quandoestiver muito distanteda Terra, sera�*� N � { 7 E .� (a) Bastausar-seo princıpio daconservacaodaener-gia. Inicialmenteo fogueteesta na superfıcie da Terrae a energiapotenciale
¢¤£ �«L<�DCa� � 7�E �«Lp� { 7�E ,onde C e a massada Terra, � a massado foguete,e7�E e o raiodaTerra.Usamoso fatoque
{ �K�DC � 7 �E .A energia cinetica inicial e ¬ £ �f���$� � �;��/� { 7�Eonde, de acordocom os dadosdo problema,usamos�*�1� N { 7 E .Parao fogueteconseguirescapar, aconservacaodaener-gia deve forneceruma energia cinetica final positiva,nao importandoquao longe da Terra o fogueteande.
Considerea energia potencialfinal comosendozeroeseja¬ ¥ aenergiacineticafinal. Entao
¬ ¥ �K¬ ¥ 8�®�¯�° Y±�²(³�´¢ ¥ � ¢¤£ 8;¬ £� Lp� { 7 E 8;�/� { 7 E� � { 7 E �Como o resultadoe positivo, o foguete tem energiacineticasuficienteparaescapardo campogravitacionalterrestre.(b) Chamemosde ���$�¥ � � aenergiacineticafinal. Entao���O�¥ � �M�b� { 7 E e,portanto,� ¥ � R � { 7 E �P 15-48 (14-35/6� )
(a) Qual e a velocidadede escapenum asteroide cujoraio tem �.�.� km e cujaacelerac¸aogravitacionalnasu-perfıcie e de m/s� ? (b) A quedistanciadasuperfıcieira umapartıculaquedeixe o asteroidecomumavelo-cidaderadialde ���.�.� m/s?(c) Comquevelocidadeumobjetoatingira o asteroide,secair deumadistanciade���.�`� km sobreasuperfıcie?� (a) Usamosaquio princıpio daconservacaodaener-gia. Inicialmentea partıcula esta na superfıcie do as-teroidee temumaenergia potencial
¢ £ ��L<�DCa� � 7 ,onde C e a massado asteroide, 7 e o seuraio,e � e amassadapartıculaejetada.Considereaenergiacineticainicial como sendo ¬ £ �i���$� � � . A partıcula con-segue apenasescaparse suaenergia cinetica for zeroquandoela estiver infinitamenteafastadado asteroide.As energiascineticae potencialsao nulas. Portanto,aconservacaodaenergianosdiz que¢y£ 8J¬ £ �mL �DCa�7 8 �� ��� � �b�)�Substituindo�DC � 7 por
{ 7 , onde{
e a acelerac¸aodagravidadena superfıcie, e resolvendopara � encontra-mosque��� R � { 7 � R � ' �.�.�� ��� e '� �.� # @�-� e m/s�(b) Inicialmentea partıculaesta nasuperfıcie. A ener-gia potenciale
¢ £ ���DCa� � 7 e a energia cineticae¬ £ �µ���$� � � . Suponhaa partıcula a uma distancia� acimada superfıcie quandoela atingemomentanea-menteo repouso. A energia potencialfinal e
¢�¥ �http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina5 de10
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L<�DCa� � 7K8b� ' e a energia cineticafinal e ¬ ¥ �«� .Comisto,a conservacaodaenergianosforneceque
L �DCa�7 8 �� ��� � �mL �DCa�7P8P� �Substituindo-se�DC por
{ 7�� e cancelando� obtemos
L { 7�8 �� � � �0L { 7 �798;� Idondetiramosque
� � � { 7��� { 7bL@� � L@7� � ' �.�.��@�-� e ' �� ' �.�.�� ��� e ' L �-�.�`� '�� LF�/�`�� ��� e� �)� ��@�-� \ m �(c) Inicialmentea partıculaesta a umadistancia � aci-ma da superfıcie, em repouso.Suaenergia potenciale¢ £ �¶L<�DCa� � 7m8a� ' e suaenergia cinetica iniciale ¬ £ �·� . Imediatamenteantesde atingir o asteroidea energia potenciale
¢y¥ �¸L<�DCa� � 7 . Escrevendo���$� � � paraenergia cinetica,a conservacaodaenergianosdiz que
L �DCa�7P8�� �mL �DCa�7 8 �� ��� � �Cancelando-se� e substitutindo-se�DC por
{ 7�� obte-mos
L { 7��798;� ��L { 7�8 �� � � �Resolvendoentaopara� encontramos
� � � � { 7bL � { 7 �7P8��� } � ' �/�`��@�-� e ' L � ' �/�`�� ��� e ' � �.�.�<8b���.�`� ' ��� e� R `�.�.��LP�-�`�.� ' @�-� e � N �� ��� e� �`� �r���� ��� e m/s�
Observe quesepodesimplificar“de cabec¸a” o queestadentrodo radical.Estapraticaesalutar!!! :-))
P 15-51 (14-37/6� )
Duas estrelasde neutronsestao separadaspor umadistanciade ���$�+Y m. Ambaspossuemmassade �-� e Y kge raio de ��� \ m. Seestivereminicialmenteemrepousoumaemrelacaoa outra: (a) comquerapidezestaraosemovendo,quandosuaseparac¸ao tiver diminuıdo paraametadedovalor inicial? (b) Qualavelocidadedasduasestrelas,imediatamenteantesdecolidirem?� (a) O momentodasduasestrelase conservado,e co-moelastemamesmamassa,suasvelocidadeseenergiascineticassaoiguais.Usamoso princıpiodaconservacaodaenergia.
A energia potencialinicial e¢ £ �¡L<�DCm� �W� £ , onde C
emassadequalquerumadasestrelase� £
suaseparac¸aoinicial centroa centro. A energia cineticainicial e ze-ro,¢ £ �¹� , poisasestrelasestaoemrepouso.A ener-
gia potencialfinal e¢ ¥ ��L©�/�DCm� �W� £ , umavezquea
separac¸aofinal e� £ � � . A energiacineticafinal do siste-
mae ¬ ¥ �mCa� � � �©8�Ca� � � ���aCa� � . Comisto tudo,aconservacaodaenergianosdiz que
L �DCm�� £ ��L �.�DCm�� £ 8;Ca� � �Portanto
� � � �DC� £� � �! � !O# ��� ���A�(' �-� e Y�'��� �+Y �K?X� ��@�-� � m/s�
(b) Imediatamenteantesde colidirem a separac¸ao doscentrose
� ¥ �·�/7��·������ \ m, onde 7 e o raio dequalquerumadasestrelas.A energia potencialfinal edadapor
¢y¥ �¡L<�DCm� ��� ¥ e a equac¸aodaconservacaodaenergiaficaagorasendo
L �DC �� £ ��L �.�DC �� ¥ 8;Ca� � Ideondeobtemosque
� � } �DC � �� ¥ L �� £ �� � ! � !$# @�-� ���A�+º e Y � ���@�-� \ L ���� �+Y �� �`� ?�@�-�`» m/s�
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15.2.6 Planetase Satelites: Leis deKepler
P 15-56 (14-41/6� )Um dossatelitesdeMarte,Fobos,esta numaorbitacir-cularderaio ,X� �kJ�-� � m comum perıodode7 h e 39m. A partir destesdados,calculea massadeMarte.� Operıodo x eo raio
�daorbitaestaorelacionadospe-
la lei dosperıodos(deKepler): x©�M��q �.c%� � �DC '¼u �We ,onde C e a massadeMarte. O perıodoe 7h 39m,queperfaz
B# ! �<8J`, ' ! �D��� # �/�`� s. PortantoCj� �`c%� �We��x � � �.c%� ,)� �* ��� � ' e �! � !O# @�-� ���A�(' � # �W�`� '+�� ! ���� ��� � e kg �
O ApendiceC informa que a massaCJ½ de Marte eiguala �)�¨�-� # vezesamassadaTerra.PortantoCJ½¾�K�)�¨�-� # C E � ! � `,.? ! @�-� � e kg Iumaboaconcordancia. Nao seriade seesperarqueoautordo livro deixassede verificar isto ao escolherosdadosdoproblema,claro... ;-)
E 15-58 (14-43/6� )O Sol, cujamassavale �*F�-� e Y kg, orbitaemtornodaVia Lactea,queesta a umadistanciade �����g��-� ��Y m,comperıodode ������J���.] anos.SupondoquetodasasestrelasdaGalaxiatemmassaigual adoSolequeestaodistribuıdasdemaneirauniformenum volumeesfericoemtornodo centrodaGalaxiae, alemdisto,queo Solesta praticamentena superfıcie destaesfera,faca umaestimativagrosseiradonumerodeestrelasnaGalaxia.� Chamemosde ¿ o numerodeestrelasnaGalaxia,deC amassadoSol,e 7 o raiodeGalaxia.A massatotaldaGalaxiae ¿ C e a magnitudedaforca gravitacionalatuantenoSol e ���K�M¿ Cm� � 7�� . A forca apontaparao centrodaGalaxia. A magnitudedaacelerac¸aodo Sole À �>�$� � 7 , onde � e a suavelocidade.Chamandodex o perıododomovimentodoSolemtornodocentrodaGalaxia,entao �*�1�/c%7 � x e À*�b�`c � 7 � x � . A segundalei deNewtonfornece-nos�M¿ÁCm� � 7��<�b�`c%�-Cm7 � x�� .O numero¿ desejadoe,portanto,¿·� �`c%��7 e��x � C �Como ������ ���.] anossao
# � ?`?� ���$� \ segundos,temos¿�� �.c%� �)� ��@�-�.�&Y ' e "! � !$# ' B# � ?`? '+� � ' @�-� ���A�+º e Y4º e Y �K���¨�M@�-� �+Y I
o queeumnumeroe tantodeestrelas,nao?...
E 15-60 (14-45/6� )(a) QualavelocidadelinearqueumsatelitedaTerrade-veterparaficaremorbitacircularaumaaltitudede � ! �km? (b) Qualo perıododerevolucaodessesatelite?� (a) Chamandode
�o raio da orbita,entaoa magni-
tudeda forca gravitacionalqueatuano satelite e dadapor �DCa� ��� � , ondeC eamassadaTerrae � eamas-sado satelite. A magnitudedaacelerac¸aodo satelite edadapor �O� ��� . onde � e a suavelocidade.A segundalei de Newton fornece-nos�DCa� ��� �Á�Â�k�O� ��� . Co-mo o raio da Terrae
! � # P�-� � m, o raio da orbita e� � ! � # 3�-� � 8J� ! ��3�-� e � ! � �.����� � m. Portanto,avelocidadee dadapor
� � � �DC�� � "! � !$# @�-� �%�&�Ã' �)� ,`?� ��� �&��'! ���/�@�-� �� # � ?`�� ��� e m/s�
(b) Comoacircunferenciadaorbitae �/c � , o perıodoe
xK� �Wc �� � �/c �! ���/�@�-� � '# � ?`��@�-� e �������.�� ��� e sIou,equivalentemente,? # � � minutos.
E 15-62 (14-47/6� )Um satelitedaTerraesta numaorbitaelıpticacomapo-geude ! � km eperigeude �-?`� km. Calcule(a) o semi-eixo maiore (b) a excentricidadedaorbita. (Sugestao:Vejao exemplo15-10.)� (a) A maior distanciaentreo satelite e o centrodaTerra (i.e., o apogeu),e 7 � � ! � # a�-� � 8� ! � ��� e � ! � # k��-� � m. A menordistancia(o perigeu)e7<|@� ! � # 9�-� � 8>��?.������ e � ! ���.�k9�-� � m. Emambasexpressoes,
! � # ;��� � m e o raio da Terra. DaFig. 15-16vemosqueo semi-eixomaiore
À � 7 � 8J7 |�� "! � # ©8 ! ���.� ' @�-� �� � ! � ! ��@�-� � m �http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina7 de10
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(b) As distanciasdo perigeue apogeuestao relaciona-dascom o semi-eixomaior e a excentricidadeatravesdasformulas7 � �bÀ �Q8;Ä ' I e 7 | �KÀ �<LlÄ ' �Somandoobtemos7 � 8;7p|M���/À I isto e À*� 7 � 8J7<|� �Subtraindoobtemos7 � L@7<|D�1�/ÀOÄ I isto e Ä�� 7 � Ll7 |�/À �PortantoÄ�� 7 � Ll7 |�.À � 7 � L@7 |7 � 8J7<|� ! � # �L ! � �`�! � # <8 ! � �`� �K�)� �)�� ! �Observe que ja simplificamoso fator ��� � queaparecenonumeradoredenominadoracima.
PÅ 15-74 (14-55/6� )Tresestrelasidenticas,demassaC , estaonosverticesde um trianguloequilaterode lado z . Qual deve sersuavelocidade,seelassemovemnumaorbitacircularquecircunscreve o triangulo,soba influenciasomentede suainteracao gravitacionalmutuae mantendosuasposicoesrelativasnosverticesdo triangulo?� Cadaestrelaeatraidaemdirecaoacadaumaasoutrasduasporumaforca demagnitude�DCm� � zQ� , aolongoalinhaqueunecadapardeestrelas.A forcaresultanteemcadaestrelatem magnitude�DC �%Æ�Ç`È `�`É � z � e apontaparao centrodotriangulo(i.e.parao centrodemassadositema). Tal forca e umaforca centrıpetae mantemasestrelasnamesmaorbitacircularsesuasvelocidadesfo-remapropriadasparamanteraconfigurac¸ao.Chamandode 7 o raio daorbitacircular, a segundalei deNewtonfornece-nos �DCm� ÆÃÇ`È .� Éz � ��C �$�7 �As estrelasorbitamem torno do seucentrode massa,que coincidecom o centrodo trianguloe o centrodocırculo. Suponhaqueo triangulotenhaum deseusla-dos alinhadoscom a horizontale escolhaum sistemade coordenadascom o eixo horizontal Ê passandoporestelado, com a origemsituadana estrelaa esquerda,e com o eixo vertical Ë passandopor estamesmaes-trela. A altitudede um trianguloequilateroe z N � e,
portanto,asestrelaestao localizadasnospontos � I � ' , z I � ' e
z � � I z N � � ' . A coordenadaÊ d do centrode massae Ê d � �$CÌ8¡zQC � �k8>z�C ' � `C ' � z � ��8¹z ' � ��ªz � � enquantoque Ë d � �$CÍ8Cmz N � ��8M�$C ' � `C ' � z N � � ' � ��1z � � N ' . Adistanciadeumaestrelaqualquerate o centrodemassae
7a� R Ê � d 8JË �d � � z �� 8 z ���� � zN �Substituindo-seestevalorde 7 dalei deNewtonacima,obtemos �DCm� ÆÃÇ`È .� Éz � �1C N DCa�O�z �Como Æ�Ç`È `� É � N � � , dividindo a equac¸aoacimaporC obtemos�DC � zQ�©�9�O� � z , ouseja,
�*� � �DCz �15.2.7 Orbitas deSateliteseEnergia
E 15-76 (14-57/6� )Um asteroide, com massa�39�-����� vezesa massadaTerra,esta numaorbitacircularemtornodo Sol,a umadistanciaigual a duasvezesa distanciadaTerraaoSol.(a) Calculeo perıodoorbital do asteroideemanos.(b)Quala razaoentrea energiacineticadoasteroidee a daTerra?� (a) Usamosa lei dosperıodos x©�Á� �`c � �DC ' �We ,onde CÎ���.� ,.,�Á��� e Y kg ea massadoSole
�e o raio
daorbita. O raio daorbitae duasvezeso raio daorbitadaTerra,ouseja,
� �1� � E ��� ���/��@�-�.S ' m. Portanto
x � � �.c � � e�DC� } �.c � .�`�� ��� S-' e �! � !O# ��� ���A� ' �.� ,.,*@�-� e Y '� ?X� , ! ��� » s�Estevalorequivalea?)� , ! @�-� » ! � ' �W� ' "! � ' �! � ' �1�)� ? anos�
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(b) A energia cinetica de qualquerasteroide ou pla-netanumaorbita circular de raio
�e dadapor ¬ ��DCa� � � � ' , onde� eamassadoasteroideouplaneta.
Tal energia e proporcionala massae inversamentea�.
A razaoentreaenergiacineticadoasteroideea energiacineticadaTerrae¬¬ E � �� E � E� � ��@�-�)�r�Ã�3E� E � E� � E �m�M@�-� �r� �P 15-79 (14-59/6� )
Usandoa conservacaodaenergiae a Eq.15-47,mostreque,paraum objetoemorbitaelıpticaemtornodeumplanetademassaC , suadistanciaaocentrodoplaneta,�, esuavelocidade� estaorelacionadaspor� � �K�DC � �� L �À � �� A energia total e dadapor Ϲ�¡L<�DCa� � �.À ' , ondeC e a massado corpocentral(o Sol, por exemplo), �
e a massado objeto(um planeta,por examplo),e À e osemi-eixomaiordaorbita.
P 15-84 (14-63/6� )Calcule(a) a velocidadee (b) o perıododeum satelitede �`�/� kg numaorbita, aproximadamentecircular, emtorno da Terra, a uma altitude de
! �$� km. Suponha,agora,queo satelite esta perdendoenergia a umataxamediade �.� �� ��� \ J,emcadavoltacompletaemtornoda Terra. Tomandocomoaproximac¸ao razoavel queaorbita passea serum “cırculo cujo raio diminui lenta-mente”,determinesao,paraestesatelite, (c) a altitude,(d) a velociddee (e) o perıodo,quandoo satelite com-pletar ���/�`� voltas.(f) Qualo modulodaforcaresistentemediasobreo sateliet? (g) O momentoangulardestesistemaemtornodocentrodocentrodaTerrae conser-vado?� (a) A forca queatuano satelite temmagnitudeiguala �DCa� ��� � , onde C e a massado corpoatraentecen-tral (o Sol, por exemplo), � e a massado satelite, e�
e o raio da orbita. A forca apontaparao centrodaorbita. Comoa acelerac¸aodo satelite e �$� ��� , onde � ea velocidade,a segundalei deNewton fornece-nosque�DCa� ��� ���9���O� �W� , dondetiramosque �*��R �DC �W� .O raiodaorbitaeasomadoraioTerracomaaltitudedaorbita,ouseja,
� � ! � # =�-� � 8 ! �`�QD��� e � # � �)��D�-� �m. Portanto
� � � �! � !O# ��� ���A� ' �)� ,`?�@�-� ��� '# � �)�� ��� �
� # ���W�* ��� e m/s�(b) O perıodoe
xK� �/c �� � �Wc ¼# � �)�� ��� � '# ���W�* ��� e� ��� ?/�*@�-� e sIqueequivalema �.?/�$� � ! ���1, # � minutos.(c) Chamando-sede Ï Y a energia inicial, entaoa ener-gia apos Ð orbitas e Ï � Ï Y L¹ÐGÑ , onde Ñ ��`� � K�-� \ J/orbita. Numa orbita circular, a energia eo raio da orbita estao relacionadospela formula ϸ�L<�DCa� � � � ' , demodoqueo raio apos Ð orbitase da-dopor
� �mL<�DCa� � �/Ï ' . A energia inicial e
Ï Y � L "! � !$# �������A� ' �)� ,`?�@�-�`��� ' �.�/� '� ¼# � �)��@�-� � '� L ! � � ! @�-� S J�A energiaapos Ð6�0���.�.� orbitaseÏ � ÏaL ÐGÑ� L ! ��� ! @�-� S L ���/�`� ' �.� �* ��� \ '� L ! � � # @�-� S J�O raioapos ���.�.� orbitase,portanto,� � L "! � !$# �����%�&� ' �)� ,`?* ���.�&� ' �.�/� 'L ! � � # @�-� S� ! � # ?�@�-� � m �A altitudedesejadae��� � L � E � "! � # ?�L ! � # ' @�-� � �K�X�¨�� ��� \ m Ionde
� E e o raiodaTerra.(d) A velocidadee
� � � �DC�� � "! � !$# @�-� �%�&�Ã' �)� ,`?� ��� �&��'! � # ?�@�-� �� # � !$# ��� e m/s�
(e)O perıodoe
xK� �/c �� � �Wc "! � # ?� ��� � '# � !O# ��� e �K��� ! @�-� e sIhttp://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina9 de10
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o queequivalea � ! �.� � ! ���1,.X� minutos.(f) Chamandode � a magnitudedaforca mediae de Òa distanciaviajadapelo satelite, entao o trabalhofeitopelaforca e
� ��L<�DÒ . Estetrabalhoe a varaicaodaenergia: Ó�ÏÔ�¶L<�DÒ , dondeobtemos�¶�ÔL©Ó�Ï � Ò .Calculemosestaexpressaoparaa primeiraorbita. ParaumaorbitacompletatemosÒ��1�/c � �1�Wc B# � �X��@��� � ' �K�X� �`��@�-� » m Ie Ó�Ï���LM�.� �* ��� \ J.Portanto�m�0L Ó�ÏÒ �0L LM�.� �* ��� \�r� �*@�-� » �1)� �@�-� � e N �
(g)A forcaresistivaexerceumtorquenosatelite,demo-do queo momentoangularnao e conservado. Observequecomoo sistemaTerra-satelite e quaseisolado,seumomentoangularconserva-secomboaaproximac¸ao.
15.2.8 ProblemasAdicionais
E 15-?? (15-??/6� )
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ExercıciosResolvidosdeDinamica Classica
JasonAlfr edoCarlson Gallas,professortitular de fısicateorica,
Doutor em Fısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do SulInstituto de Fısica
MateriaparaaQUARTA prova. Numerac¸aoconformeaquarta edicaodo livro“FundamentosdeFısica”,Halliday, ResnickeWalker.
Estaeoutraslistasencontram-seem:http://www.if.ufrgs.br/� jgallas
Conteudo
16 Fluidos 216.1 Questoes. . . . . . . . . . . . . . . . . 216.2 Problemase Exercıcios . . . . . . . . . 2
16.2.1 DensidadeePressao . . . . . . 216.2.2 FluidosemRepouso . . . . . . 3
16.2.3 O Princıpio deArquimedes. . . 4
16.2.4 LinhasdeCorrenteeaEquacaodaContinuidade . . . . . . . . 5
16.2.5 AplicacoesdaEquacaodeBer-noulli . . . . . . . . . . . . . . 6
16.2.6 ProblemasAdicionais . . . . . 7
Comentarios/Sugestoese Erros:favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br
(listam3.tex)
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16 Fluidos
16.1 Questoes
Q 16-??�
16.2 ProblemaseExercıcios
16.2.1 DensidadeePressao
E 16-3 (15-1/6� edicao)
Encontreo aumentode pressao de um fluido em umaseringaquandoumaenfermeiraaplicaumaforca de ���N aoembolodaseringa,deraio ���� cm.� O aumentodepressaoeaforcaaplicadadivididapelaarea,isto e, ��� ������� �������������� , onde � e o raio dopistaodaseringa.Portanto
��� ���� �"!#� !#�$�%� � �����'&(�%!�) Pa�E 16-5 (15-3/6� edicao)
A janeladeum escritorio temdimensoesde *+� � m por���� m. Comoresultadodeumatempestade,apressaodoar do ladode fora cai para !+� ,$- atm,masa pressaodedentropermanecede � atm. Qualo valor da forca quepuxaa janelaparafora?� O ar de dentroempurraa janelaparafora com umaforca dadapor �/.%� , onde�/. e a pressaodentrodo es-critorio e � e a areada janela. Analogamente,o ar dolado de fora empurraparadentrocom umaforca dadapor �10�� , onde �/0 e a pressao fora. A magnitudedaforca lıquidae,portanto,� �2� .�3 �/0��4� �5� 3 !+� ,$-$�6�4��� !#�%*7&8�9! ) ���:*#� �;�6�:����%� �#� ,<&8�9!�= N >ondeusamoso fatoque � atm ?�$� !+�9*@&8�9! ) Pa.
P 16-7 (15-??/6� edicao)
Uma caixavedadacom umatampade �A� pol� de areae parcialmenteevacuada.Se uma forca de �9!$B librase necessaria paratirar a tampada caixae a pressaoat-mosfericado exterior e de �%C lib/pol � , qual e a pressaodoar nacaixa?� A magnitudedaforcanecessariaparatirar a tampae�D ��2�10 3 �FEG�4�H>onde�10 e a pressaofora, �1E e a pressaointerna,e � e aareadatampa.Isto fornece-nos
� E I� 0 3 � � ��%C 3 �9!�B�%� J- lb/pol� �Observe quecomo �/0 foi dadaem lb/pol� e � e dadaem pol� , nao foi necessario converter-seunidades.Arespostafinal, e obvio, naoesta noSI.
P 16-8 (15-7/6� edicao)
Em 1654, Otto von Guericke, burgomestre(prefeito)deMagdeburg e inventordabombadevacuo,deuumademonstrac¸ao publicaparaprovar suatesedequedoisgruposde oito cavalosnao seriamcapazesde separardoishemisferiosdelataounidos,dentrodosquaissefezvacuo. Realmente,os cavalosnao conseguiramsepa-rar oshemisferios. (a) Pressupondoqueoshemisferiostenhamparedesfinas, de forma que K na Fig. 16-34possaser consideradoo raio interno e externo, mos-tre que a forca necessaria parasepararos hemisferiose �? L�MK'�9�� , onde �� e adiferencaentreaspressoesinternaeexternanaesfera.(b) FazendoK iguala *$! cmeapressaointernacomo !+�N�%! atm,encontrea forcaqueoscavalosteriamdeexercerparasepararoshemisferios.(c) Porqueforamusadosdoisgruposdecavalos?Ape-nasumgruponaoprovariaa tesedamesmaforma?� Em cadaponto sobrea superfıcie dos hemisferiosexiste uma forca lıquida para dentro, normal a su-perfıcie,devida a diferenca depressaoentreo ar dentroe foradaesfera.Parapodersepararosdoishemisferioscadaconjuntodecavalosprecisaexercerumaforca quetenhauma componentehorizontalpelo menosigual asomadascomponenteshorizontaisde todasas forcasqueatuamsobreo hemisferioquepuxam.Considereumaforcaqueatuanohemisferiopuxadopa-ra a direita e que faca um angulo O com a horizontal.Suacomponentehorizontale ���P6Q$R�O�S;� , onde S;� eumelementoinfinitesimaldeareanopontoondeaforca
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esta aplicada.Tomamostal areacomosendoa areadoanel com O constantena superfıcie. O raio do anel eK sen O , ondeK e o raiodaesfera.Sea larguraangulardoanele S$O , emradianos,entaosualargurae K'S$O esuaareae S;�T U�V�MK'� sen OWS�O . Comisto, a componentehorizontallıquidaa forca doar e dadapor
�YX ���MK � �� Z\[�] �^ senO P6Q$R�O_S$O �MK � �� sen� OM``` [�] �^ L�MK � ��a�
Esta e a forca mınima que deve ser exercidapor ca-da conjuntode cavalos paraconseguir separaros he-misferios.(b) Lembrandoque � atm ���� !#�%*H&b�%! ) Pa,temos�YXc d� �:!#� *$� � �:!#� ,�!$�6�4�$� !+�9*c&(�%!�)6� e��C#�gf$f7&8�9!$h N �(c) Um conjuntode cavalosteria sido suficienteseumdos hemisferios tivessesido amarradoa uma arvoregrandeouaumpredio.Doisconjuntosdecavalosforamprovavelmenteusadosparaaumentaro efeitodramaticodademonstrac¸ao.
16.2.2 Fluidos emRepouso
E 16-11 (15-9/6� )As saidasdoscanosdeesgotosdeumacasaconstruıdaemumaladeiraestao B#�g� m abaixodo nıvel darua. Seo canodeesgotoseencontraa ���� m abaixodonıvel darua, encontrea diferenca de pressao mınima quedevesercriadapelabombaderecalqueparapuxaresgotodedensidademedia ,$!�! kg/mh .� Considereo bombeamentono cano num instantequalquer. A forca mınima da bombae aquelaqueser-ve paraequilibrara forca dagravidadenoesgotocomaforca dabombanocano.Sobtal forca mınimao esgotosera empurradosemmudarsuaenergiacinetica.A forca dagravidadeno esgotoe i$j;k6� , onde i e a suadensidade,k ( lB#�g� 3 ����m n-#�� m) e o comprimentodo cano,e � e a areadaseccaoretado cano.Se � ^ fora pressao no cano,entao � ^ � e a forca queempurraoesgotoparabaixono cano.Se � for a pressaoexercidapelabomba,entaoa forcadabombanoesgotoe �1� .A forca lıquidanoesgotoe dadapor�o� 3 � ^ �4� 3 i�j;k6�
e � sera mınima quandoela anular-se. Portanto,ve-seque a diferenca de pressao que deve ser mantidapelabombae� 3 � ^ Ji$j$kp D�",$!�!;���",+� B;���:-#��%�q JC#� �r&8�9!�= Pa�E 16-16 (15-13/6� )
Membrosdatripulacaotentamescapardeum submari-no danificado, �%!�! m abaixoda superfıcie. Queforcaelestemdeaplicarnoalcapao,de �$� � m por !+� -$! m, pa-raempurra-loparafora?Considereadensidadedaaguadooceano�%!$��C kg/mh .� A pressao� naprofundidadeS doalcapaoe � ^1s i$j�S ,ondei eadensidadedaaguadooceanoe � ^ eapressaoatmosferica. A forca parabaixo da aguano alcapao e�2� ^ s i�j�S��4� , onde � e a areado alcapao. Seo ar nosubmarinoestiver na pressao atmosferica, entao exer-ceraumaforca � ^ � paracima.A forca mınimaquede-ve seraplicadapelatripulacaoparaabrir o alcapaotemmagnitudedadapor� �2� ^ s i�j�S��4� 3 � ^ � i$j�S;� �5�9!$�$C��6�",#� B$�6�4�%!�!$�6�4�$� �$���"!+� -$!$�t �f��g�c&(�%! ) N �P 16-18 (15-15/6� )
Doisvasoscilındricosidenticos,comsuasbasesaomes-monıvel, contemumlıquidodedensidadei . A areadabasee � paraambos,masemum dosvasosa alturadolıquidoe u/v enooutroe u � . Encontreo trabalhorealiza-do pelaforca gravitacionalaoigualarosnıveis,quandoosdoisvasossaoconectados.� Quandoosnıveissaoosmesmosaalturadolıquidoeu� ��wu v s u � �x��� , onde u v e u � saoasalturasoriginais.Suponhaque u v emaiordoque u � . A situacaofinal po-de seratingidatomando-seum porcao de lıquido comvolume �H�wu1v 3 uF� e massai��H�wu1v 3 uF� , no primeirovaso,ebaixando-aporumadistanciau 3 u � . O trabalhofeito pelaforca dagravidadeey Li��H�wu vz3 u1�Gj��:u 3 u � �{�Substituindo-seu| ��wu v s u � �}�V� nestaexpressaoacha-moso resultadopedido:y �� i$j��c�:u/v 3 u � � � �
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P 16-22 (15-17/6� )NaFig. 16-38,o oceanoesta apontodeinvadiro conti-nente.Encontrea profundidadeu do oceano,usandoometododonıveldecompensac¸aomostradonoProblema21.� Suponhaquea pressao e a mesmaem todospontosa umadistancia S~ ��V! km abaixodasuperfıcie. Parapontosno ladoesquerdodafiguratal presaoe dadapor�� b� ^ s i ^ j#u s i��}S;S;� s i���j�S;�H>onde � ^ e a pressao atmosferica, i ^ e a densidadedaaguado oceanoe u e a profundidadedo oceano,i�� ea densidadeda crostae S�� a espessurada crosta,e i;�e a densidadedo mantoe S;� e a espessurado manto(ate umaprofundidadede �V! km). Parapontosno ladodireitodafigura,� e dadapor�� �� ^ s i��5j�S+�Igualandoestasduasexpressoespara� e cancelandojobtemosque i��}Sc Ji ^ u s i��}S�� s i���S;�c�SubstituindoS;�e �S 3 u 3 S�� , tem-sequei��}Sc di ^ u s i��}S;� s i���S 3 i��'u 3 i���S;�9>deondetiramos
u i��xS�� 3 i��}S s i���S 3 i���S��i�� 3 i ^ ��i � 3 i � ���:S 3 S � �i�� 3 i ^ �"*+� * 3 ��� B$���w�V! 3 �%�$�*+� * 3 ��� ! ���of km �Observequenaequac¸aoacimasubstituimoskm, naom.
P 16-23 (15-19/6� )A aguaseencontraaumaprofundidade� abaixodafa-ceverticaldeum dique,comoilustraa Fig. 16-39.Sejay
a largurado dique. (a) Encontrea forca horizontalresultanteexercidano diquepelapressaomanometricada aguae (b) o torqueresultantedevido a estapressaoemrelacaoaoponto � . (c) Encontreo braco dealavan-ca,emrelacaoaoponto � , daforcahorizontalresultantesobreo dique.
16.2.3 O Princıpio deAr quimedes
E 16-31 (15-??/6� )Uma lata tem volumede �%�V!$! cmh e massade �9*$! g.Quantasgramasdebalasdechumboelapoderiacarre-gar, semqueafundassenaagua?A densidadedochum-bo e ����� � g/cmh .� Seja ��� a massada lata e ��� a massado chumbo.A forca dagravidadesobreo sistema‘lata + chumbo’e�"� � s � � �Gj e a forca deempuxodaaguae i$j#� , ondeir�G J,$,�B kg/mh ) e a densidadedaaguae � e o volumedeaguadeslocada.No equilıbrio, estasforcasbalanceiam-sedemodoque��� � s � � �Gjr di$j����A lata ira contera maiormassadechumboquandoes-tiver quasepor afundardemodoqueo volumedaaguadeslocadacoincideentaocomoo volumeda lata. Por-tanto� � Li�� 3 � � �:,�,�B;���5�%�V!$!H&8�9!#�1�6� 3 !+�N�%*�! �$� !�f kg �Percebaque �A�V!�! cmh D�A�V!$!H&8�9! �1� mh .E 16-34 (15-25/6� )
Umaancoradeferro,quandototalmenteimersanaagua,parece��!�! N maisleve queno ar. (a) Qual e o volumeda ancora?(b) Qual e o pesono ar? A densidadedoferro e fVB;f�! kg/mh .� (a) O problemadiz quea ancoraesta totalmentede-baixodaagua.Elaaparentasermaisleveporqueaaguaempurra-aparacima com um empuxode i � j#� , ondei � eadensidadedaaguae � eo volumedaancora.Seupesoefetivo dentrodaaguae�Y�� J� 3 i � j#� >onde� eo seupesoverdadeiro(forcadagravidadeforadaagua).Portanto
�� � 3 ���i � j ��!�!�",�,$B$�6�",#� B$� ���� !V�;Cc&8�9! � � mh �(b) A massadaancorae �� Ji�� , ondei e adensidadedoferro. Seupesonoar e�? J��j@ Li$j�� �wfVB;f�!;���:,#� B$���w��� !V��C_&8�9! � � �
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���gCVB@&(�%! h N �P 16-43 (15-33/6� )
Uma matriz fundidora de ferro, contendoum certonumerode cavidades,pesa-�!$!�! N no ar e �$!$!�! N naagua.Qual e o volumedascavidadesdafundidora?Adensidadedo ferro e f�� B�f g/cmh .� O volume �F� dascavidadese a diferenca entreo vo-lume �F� damatrizfundidoracomoumtodoeo volume�F� do ferrocontidonamatrizfundidora:� � �� � 3 � � �O volumedoferroedadopor �+�� �������j�i��Y� , onde� eo pesodamatrizfundidorae i;� e adensidadedoFerro.
O pesoefetivo �Y� naaguapodeserusadoparaencontraro volumeda matriz fundidora. Ele e menordo que �poisa aguaempurraa matriz fundidoracomumaforcaj�i � � � , ondei � representaadensidadedaagua.Assimtemoso pesoefetivo dadopor� � J� 3 j�i � �+�@�Portanto � � � 3 ���j�i � >deondetiramosque
�1�� � 3 � �j�i � 3 �j�i � -$!�!�! 3 �$!$!�!�",+� B;���:!#� ,�,�Bc&8�9! h � 3 -$!�!$!�:,#� B$�6�wf�� B;fH&8�9! h � !#��%�;f mhE imprescindıvelsaberfazercorretamenteasconversoesdeunidades:
f�� B;f g/cmh f�� B;fH&(�%! � h kg�9! �/� mh ef�� B;fH&(�%! h kg/mh �16.2.4 Linhas de Corr ente e a Equacao da Conti-
nuidade
E 16-55 (15-39/6� )Umamangueiradejardim,dediametrointerno!+�gf�C pol,e conectadaa um esguichoque consisteem um canocom ��� furos,cadaum com !+� !;CV! pol dediametro.Se
a aguanamangueirativervelocidadede * pes,comquevelocidadeelasaira dosburacosdoesguicho?� Usea equac¸aodacontinuidade.Seja � v a velocidadeda aguana mangueirae � � suavelocidadequandoeladeixaum dosfuros. Seja �'v a areada seccao retadamangueira.Comoexistem � furos, podemosimaginara aguanamangueiracomoformando� tubosdefluxo,cadaum indo sair atravesde um dosfuros. A areadecadatubodefluxo e � v ��� . Se � � for a areadeumfuro,aequac¸aodacontinuidadeficasendodadapor
� v ��v� J� � � � �Destaexpressaotiramosque
� � � v�M� � � v K����� � � v >onde K e o raio da mangueirae � e o raio deum furo.Portanto� � K'��W� � �$vp �"!+� *�fVC$�4����F�:!#� !$�$C�� � �"*+� !;� ���B pes/s�P 16-56 (15-42/6� )
A aguae bombeadacontinuamentepara fora de umporaoinundado,a umavelocidadede C m/s,atravesdeumamangueirauniformede raio � cm. A mangueirapassapor umajanela* m acimado nıvel daagua.Qualea potenciadabomba?� Suponhaqueuma massac� de aguae bombeadanum tempo c� . A bombaaumentaa energia poten-cial da aguapor H��j#u , onde u e a distanciaverticalquea aguae elevada,e aumentasuaenergiacineticadec�W�;�A�V� , onde� e suavelocidadefinal. O trabalhoqueabombafaze y Jc�mj#u s �� c�W� � >esuapotenciae,consequentemente,
�? yc� c�c�W� j#u s �� � �%� �A taxadefluxo demassae c����H�� ei��p� , ondei e adensidadedaaguae � e a areadaseccaotransversaldamangueira,isto e,�� J��� � L� �:!#� !#�%!$� � �*#��6�<&8�9! � = m���Comisto, temosi��p�< ��",$,�B;���"*+�N�9�c&8�9! � =9�6�:C$�� ?�$� C;f kg/s�
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Portanto
� H�c� � j#u s �� � � � �4���gC$f��#�G�",+� B;���:*#� !$� s C ��c� J-$- W �16.2.5 Aplicacoesda EquacaodeBernoulli
E 16-58 (15-43/6� )A aguasemovecomumavelocidadede C m/satravesdeum canocomumaareadesecao transversalde � cm� .A aguadesce�9! m gradualmente,enquantoa areadocanoaumentapara B cm� . (a) Qual e a velocidadedoescoamentono nıvel maisbaixo? (b) Sea pressao nonıvel maisalto for ���gC<&b�9! ) Pa,qualsera a pressaononıvel maisbaixo?� (a) Usea equac¸ao da continuidade:� v � v �� � � � ,onde � v e a areado canono topoe � v a velocidadedaaguano local, � � e a areado canono fundo e � � e avelocidadedaaguano fundo.Portanto,
� � � v� � �$v� �B �wC�� e���gC m/s�(b) Usea equac¸aodeBernoulli:
� v s �� i;� �v s i$j#u v I� � s �� i;� �� s i$j�u � >onde i e a densidadedaagua,u1v suaalturainicial e u �suaalturafinal. Portanto,
� � � v s �� i1�"� �v 3 � �� � s i$j/�wu v�3 u � � ���gCH&8�9!$) s �� �"!#� ,�,$B@&(�%!�h6���NC � 3 �:�#� C$� �¡ s �"!+� ,$,�B@&8�9! h ���",+� B;���5�9!$� ��� -c&8�9! ) Pa�E 16-67 (15-49/6� )
Sea velocidadede escoamento,passandopor debaixode umaasa,e �$�9! m/s, quevelocidadede escoamentonapartedecimacriaraumadiferencadepressaode ,�!$!Pa entreassuperfıciesdecimae debaixo?Considereadensidadedo ar iW ���� *r&I�%! � h g/cmh . (Ver exercıcio15-66.)
� Usea equac¸ao de Bernoulli desprezandoos termosde energia potencial,pois os dois tubosde fluxo estaoessencialmentenamesmaaltitude:�+� s �� i$� �� b�1¢ s �� i;� �¢ >onde� � e a pressaonasuperfıciedebaixo,� ¢ a pressaoem superfıcie de cima, �A� a velocidadedo ar na su-perfıcie de baixo, �V¢ a velocidadedo ar na superfıciedecima,e i a densidadedoar.Desejamosencontrar�V¢ de modoque �#� 3 �F¢\ �,�!$!Pa,ouseja,
� ¢ £ �#�2�#� 3 �F¢��i s � �� ¤ �#�:,�!�!;��$� * s �5���9!;� � ?�$�9- m/s�
Observe quee imprescindıvel usarasunidadescorretasde i :i@ ?�$� *<&8�9! � h g
cmh ��� *@&(�%! � h �9! � h kg�5�9! � � � h mh ��� * kgmh >
quefoi o numerousadoparaobter � ¢ .P 16-73 (15-??/6� )
As janelasde um predio de escritorios tem dimensoesde � m por C m. Emumdia tempestuoso,o arpassapelajanelado 53¥ andar, paraleloa janela,comumaveloci-dadede *�! m/s. Calculea forca resultanteaplicadanajanela.A densidadedoar e �$� ��* kg/mh .� Chamando-sede � E a pressao internadasalae de � ¥a pressao de fora da janela,temosquea forca lıquidana janelae �o�1E 3 � ¥ �4� , onde � e a areada janela. Adiferenca de pressao podeser encontradausando-seaequac¸aodeBernoulli: � ^ s i;�;�A�V�_ ��FE , onde� eavelo-cidadedoarforae i eadensidadedoar. Supomosqueoardentrodasalaestaparado.Portanto,�FE 3 � ¥ Li$���A���sendoa forca e dadapor
�D �� i$� � �� �� �5���g�V*;���"*$!$� � �������"*;� D�$�N�$�'&(�%!V= N �P 16-76 (15-??/6� )
Uma placade B�! cm� e CV!�! g de massae presapordobradicasemumdeseuslados.Sehouverarsoprando
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apenassobrea suasuperfıcie superior, quevelocidadedevera ter o ar parasustentara placana posicao hori-zontal?� Esteexercıcio consideraumasituacaoanalogaaquelamostradana Fig. 16-26,da moca soprandosobreumafolhadepapel.Como a pressao e uniforme sobresuperfıcie o torquequeelaexercepodesercalculadocomoseo ar atuasseno centrode massa,o mesmovalendoparaa forca dagravidade.O torquelıquidoanula-sequandoa forca do ar igualaaforca da gravidade. Seja�+� a pressao na superfıcie debaixo, �F¢ a pressaonasuperfıciedecima, � a velocida-dedo ar sobrea superfıciesuperior, e i a densidadedoar. Deacordocomaequac¸aodeBernoulli,
�#�¦ ��F¢ s �� i;� � > ouseja �+� 3 �1¢c �� i$� � �A magnitudedaforca doar e �� §�o� � 3 � ¢ �5� , onde�e a areadaplaca.No equilıbrio, �l §��j , onde � e amassadaplaca.Portanto�� i$� � �� L��j1>deondeobtemos
� v ¤ �V�mji�� £ �+�"!+� C$���",+� B;��5���g�V*;���"B$!H&8�9! � = � J*;� m/s�
P 16-81 (15-25/6� )Aplicandoa equac¸aodeBernoulli e a equac¸aodacon-tinuidadeaospontos � e � daFig. 16-22,mostrequeavelocidadedoescoamentonaentrada(ponto � ) e
�@ £ ��¨ � ��i1�:� � 3 ¨ � � �� Ambospontosestaonamesmaaltitude,demodoqueaequac¸aodeBernoulli e
� v s �� i;� �v �� � s �� i;� �� �A euqac¸aodacontinuidadee ��� v D¨;� � , demodoque� � ��p� v ��¨1� Substituindoestaexpressaonaequac¸aodeBernoulliobtemos
� v s �� i;� �v �� � s �� i � � ¨ � � � �v �Resolvendo-a,temosque
�$v� £ �#�2� v�3 � � �4¨ �i1�:� � 3 ¨ � � £ �V¨ � ��i/�"� � 3 ¨ � � >ondeusamos���©b�/v 3 � � .16.2.6 ProblemasAdicionais
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ExercıciosResolvidosdeDinamica Classica
JasonAlfr edoCarlson Gallas,professortitular de fısicateorica,
Doutor em Fısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do SulInstituto de Fısica
MateriaparaaQUARTA prova. Numerac¸aoconformeaquarta edicaodo livro“FundamentosdeFısica”,Halliday, ResnickeWalker.
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Conteudo
17 MOVIMENT O ONDULATORIO 2
17.1 Questionario . . . . . . . . . . . . . . . 217.2 Exercıciose Problemas. . . . . . . . . 317.3 ProblemasAdicionais . . . . . . . . . . 9
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17 MOVIMENT O ONDULATORIO
17.1 Questionario
17-2. Energia podeser transferidapor partıculasbemcomopor ondas.Comopodemosdistinguirexperimen-talmenteessesmetodosdetransferenciadeenergia?� A energia e transferidaentrepartıculasnoseventosdecolisao,comoacontece,porexemplo,numjogocombolasdebilhar. Quandoaenergia e tranferidaporonda,tambemseda pelascolisoesdaspartıculasdo meio,nocasodasondasmecanicas,masaspartıculasmovem-selocalizadamente,enquantoa ondasepropagapor umaextensaomuito maior. Um exemplonotorio e o dason-dassonoras.
17-6. Compareo comportamentode (a) um sistemamassa-molaoscilandonummovimentoharmonicosim-plese (b) umelementodeumacordaesticadaondeumaondasenoidalsepropaga.Discutado pontodevistadodeslocamento,velocidadevetorial, acelerac¸ao e trans-ferenciasdeenergia.� (a) No sistemamassa-mola,a energia e localizada,isto e,amassadetemaenergiacineticaeamola,supos-ta semmassa,detem a energia potencial. Sea energiatotal econstante,emalguminstanteelae todadamassa,quandoestapassapelaposicaodeequilıbrio e emoutroinstantesera todapotencial,quandoa mola estiver nasuamaxima deformac¸ao. Sendoo deslocamentome-dido em relacao a posicao de equilıbrio, a velocidadenessaposicao e maxima,enquantoa acelerac¸ao e nula.Nos pontosde maximo deslocamento,a velocidadeenulae aacelerac¸aoe maxima.(b) Parao elementodacordaesticada,aenergiaestadis-tribuidaemvezdelocalizada,porquetodasaspartıculasdo elementose movem e sofrema acao da tensao dedeformac¸ao.O elementoestasobamaximadeformac¸aoquandoestanaposicaodeequilıbriodoMHS executadopelaspartıculase e tambem nessaposicao quea velo-cidadetransversalatingeo seumaximo. Nospontosdemaiordeslocamentodaspartıculasemrelaca a posicaodeequilıbrio, elastemvelocidadee acelerac¸aonulas.
17-8. Quandoduasondasinterferem,umaatrapalhaapropagac¸aodaoutra?Explique.� Nao. As ondasse combinampelo prinıpio desuperposic¸aoformandoumaondaprogressivacomuma
redistribuicao apropriadada sua energia, ou forman-do umaondaestacionaria, com outraredistribuicao deenergia.
17-9. Quandoduasondasinterferem,existe perdadeenergia?Justifiquesuaresposta.� Nao. Existe uma redistribuicao da energia. Nospontosde inter ferencia destrutiva, a energia e nula,mas,consequentementesera maiornospontosdeinter-ferenciaconstrutiva.
17-11. Seduasondasdiferemsomenteemamplitudeesepropagamem sentidosopostosatravesde um meio,produzirao elasondasestacionarias? Existira energiatransportada?Existiraonos?� Nao.
17-13.Umaondatransmiteenergia. Ela tambemtrans-feremomentolinear. Sera possıvel transferirmomentoangular?�17-15. Uma cordae esticadaentredois suportesfixosseparadosdeumadistancia� . (a)Paraquaisharmonicosexistira um no no ponto que dista ����� de um dos su-portes? Existira um no, um antino ou uma condicaointermediarianum pontoquedista ������ de um dossu-portes,se (b) o quinto harmonico foi gerado? (c) odecimoharmonicofoi gerado?� (a)Seo no dista ���� deumdossuportes,acordaestavibrandona forma de � meioscomprimentosde onda.Entaotrata-sedo terceiroharmonico.(b) No pontoquedista ������ de um dossuportes,exis-tira um no tanto parao quinto quantoparao decimoharmonicos.
17-17. Violonistassabemque, antesde um concerto,deve-setocarum poucoo violao e ajustarsuascordasporque,aposalgunsminutosdeexecucao,ascordasseaqueceme cedemligeiramente. Como essepequenoafrouxamentoafetaas frequenciasde ressonanciadascordas?� O afrouxamentodascordastemcomoconsequenciaa diminuicao da velocidadede propagac¸ao das on-dasna corda( � ��� ����� ), alterandoo conjuntodas
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frequenciasderessonancia,isto e,o violaofica “desafi-nado”.
17.2 ExercıcioseProblemas
Secao 17-5 A VelocidadeEscalar de Propagacao deuma Onda
17-3E.Balancandoumbarco,ummeninoproduzondasna superfıcie de um lago ate entao quieto. Ele obser-va que o barco realiza ��� oscilacoes em ��� s, cadaoscilacao produzindoumacristade onda �� cm acimada superficie do lago. Observa aindaque uma deter-minadacristade ondachega a terra,a dozemetrosdedistancia,em ����� s. Quaissao (a) o perıodo, (b) a ve-locidadeescalar, (c) o comprimentode onda e (d) aamplitudedestaonda?� Inicialmente, calculamos a frequencia, que e� ����������������� � Hz. As grandezaspedidassaoaplicacoesdiretasde“f ormulas”:
(a) ! � �#"%$ �&�����(' s
(b) �)��* +,� �������� �-�.� � m/s/(c) 0 � �� � �.� ���� � �1��� ��� m /(d) 2
m �3���4�5 m /17-6E.Escrevaaequac¸aoparaumaondasepropagandono sentidonegativo do eixo * e quetenhaumaampli-tude de ��� ���4� m, uma frequenciade ��� Hz e umavelocidadede ����� m/s.� A formadaondaprogressiva e2%6 * � +87 � 2
m 94:5; 6�< *>=@? +87 /Precisamoscalcularo numerode ondaangular < e afrequenciaangular? :< � �A0 � ��A �� � 6 �A 7 6 ��� 7����� �B�4���8C(' rad/m
? � < �D� 6 �4����C(' 7 6 ����� 7 �3��CE� rad/s
Entao,aondaemquestaoe2F6 * � +87 �1�������4� 94:5; 6 �4����C(' *G= ��C(� +8717-14P. (a) Escreva uma expressao que descreva umaondatransversalsepropagandonumacorda,no senti-do =H* com um comprimentode ondade �5� cm, umafrequenciade CE��� Hz e umaamplitudede ����� cm. (b)Qual e a velocidadeescalarmaxima de um ponto dacorda?(c) Qualea velocidadeescalardaonda?� (a)Comecamoscalculandoasquantidades< e ? paramontaraequac¸aodaonda:
< � �A0 � ��A�4� �1��� ����A rad/cm�? �-�A � �3��A 6 C���� 7 �3I�����A rad/s e2%6 * � +87 � 6 ����� cm
7 95:5; 6 ���J����A *>K I�����A +87 /(b) L
max. � 2m ? � 6 �.� � 7 6 I�����A 7 �1������ cm/s
(c) �)� 0 � � 6 �5� 7 6 C���� 7 �MCE����� cm/s/17-16P. Umaondadefrequencia���� Hz temumavelo-cidadede ���� m/s.(a)Quaoafastadosestaodoispontosquetemumadiferenca defasede A#�� rad?(b) Quale adiferenca de faseentredoisdeslocamentos,numdeter-minadoponto,emtemposseparadosde ������� ms?� (a)Consideremosafuncao 2%6 * � � 7 daFig. 17-4a.Asfasesda ondanessesdois pontosdefasadosdevem seriguais: < * $ � < *ONP=RQ<%6 * $ KS*�N 7 � Q
* $ KT* N � 0 Q�A � � Q�A � � 6 ���� 7 6 A#�� 76 �A 7 6 ���� 7 �3���4���' m /http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina3
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(b) Agoraconsideramosa funcao 2F6 ��� +87 daFig. 17-4b:KU? + $ � KU? + N =VQ? 6 + N K + $ 7 � QQ �-�A �>W + � 6 �A 7 6 ���� 7 6 ��� ����� 7 �MA rad/Secao17-6VelocidadeEscalarda Onda numa CordaEsticada
17-18E.As cordasdeumviolino, respectivamentemaisleve e maispesada,temdensidadeslinearesde ����� g/me �.� X g/m. Qual e a relacao dosdiametrosdessascor-das,damaispesadaparaa maisleve, supondoquesaofeitasdomesmomaterial?� A densidadevolumetricadascordase Y>�1Z[��A%\ N^] .Em termosda densidadelinear dada,escrevemos YR��#��A%\ N . Comoascordassaofeitasdomesmomaterial,� $\ N$ � � N\ NN /Substituindoos dadosfornecidos,chegamosa relacaoentreosdiametros_ $ e _ N :_ $ �B��������'_ N /17-25P. Uma cordaesticadatem uma massapor uni-dadedecomprimentode .��� g/cme umatensaode �5�N. Umaondasenoidalnessacordatemumaamplitudede ���4�5� mm e umafrequenciade �4��� Hz e sepropagano sentidode * decrescente.Escrevaumaequac¸aoparaessaonda.� Com os dadosfornecidos,calculamosinicialmenteasgrandezas� , ? e < necessariasparaexplicitar aonda:�>� ` �� � ` �5���� �1C���C(' m/s
? �-�A � � 6 �A 7 6 �4��� 7 �3����I����E� rad/s< �a? � � ����I����E�C���C(' �B�^C���� �� m"%$
Comoa ondasepropagano sentidonegativo doeixo * ,temos2%6 * � +87 � 6 ���J�cbS�4� "�d 7 94:5; 6 �^C���� �� *>= 6 �E��I������ +87 /
17-31P. O tipo deelasticousadono interiordealgumasbolas de beisebole de golfe obedecea lei de Hoo-ke para uma larga faixa de alongamentodo elastico.Um segmentodestematerialtemumcomprimento(naoesticado)� e uma massaZ . Quandouma forca e eaplicada,o elasticoesticadeumcomprimentoadicionalW � . (a) Qual e a velocidadeescalar(em termosde Z ,W � eaconstanteelastica< ) dasondastransversaisnesteelastico? (b) Usandosuarespostaem (a), mostrequeo temponecessario paraum pulsotransversalpercorrero comprimentodo elasticoe proporcionala ���f W � seW �hgigR� e e constantese
W �kjijR� .� (a) Com a forca aplicadael� < W � e a densidadedo elasticodadapor �a�mZn� 6 � = W � 7 , calculamosavelocidadeescalar:�D�Bo e � � ` < W � 6 � = W � 7Z(b) O temponecessario parao pulsotransversalpercor-rero comprimentodoelasticoe+ � �� � � f Z� < � W � = <%6 W � 7 NSe
W �igig�� , 6 W � 7 N e desprezıvel e a expressaopara+
reduz-sea +qp ` �rZ< W � �ouseja,o tempoeproporcionala ���f W � .Se
W �Pjij1� , entao+ � W ����� , casoemquea expressao
para+
reduz-sea +qp ` Z < /17-32P*. Uma corda uniforme de massaZ e com-primento � esta penduradano teto. (a) Mostre que avelocidadede umaondatransversalna cordae funcaode 2 , a distanciaate a extremidademaisbaixa,e e dadapor �@� f s 2 . (b) Mostrequeo tempoqueumaondatransversalleva parapercorrero comprimentodacordaedadopor
+ �3�t� �u� s .� (a) Consideremoso eixo 2 ao longo da corda,comorigemnaextremidadeinferior damesma.Paraumele-mentoinfinitesimal _�Z da massada cordalocalizadoem 2 a partirdaorigem,temos_��v� 6 _�Z 7 s �1� s _ 2
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que,integrandoaolongodacorda,fornece� 6r2 7 �-wVxy � s _ 2.z �H� s 2 /Levandoesteresultadoparaarelacaodavelocidade,ob-temos � 6{2 7 � o � 6r2 7� � f s 2 /(b) Usandoo resultadode(a),_ 2_ + � f s 2
w}|y _ + z � w}~y 6 s 2 7 "i$�� N _ 2+ � �f sS� � 2 $�� N�� ~y
+ �3� o �s /Secao 17-8Energia e Potencianuma Onda Progres-siva
17-33E. A potencia � $ e transmitidapor uma ondade frequencia
� $ numacordasobtensao � $ . Qual e apotenciatransmitida� N emtermosde � $ (a)seatensaonacordafor aumentadapara� N �1C�� $ e(b) se,aoinves,a frequenciafor diminuıdapara
� N � � $ ��� ?� (a) Se a tenao na corda for quadruplicada,avelocidadede porpagac¸ao fica duplicada. Sendo apotencia media transmitidapor uma onda dada por��� $N �%� ? N 2 Nm, a duplicacao da velocidadeimplicanaduplicacaodapotenciatransmitida.(b) Como a frequencia apareceao quadradona ex-pressao da potencia,suadiminuicao pelametade,im-plicaranareducaodapotenciaaumquartodoseuvalorinicial.
17-35P. Uma ondasenoidaltransversale geradanumaextremidadede uma longa cordahorizontal,por umabarraquesemove paracima e parabaixo entreextre-mosquedistam ������� cm. O movimentoe contınuo erepetidoregularmente�5��� vezespor segundo. A cor-da tem uma densidadelinear de �5��� g/m e e mantida
sobumatensao de X�� N. Ache (a) o valor maximo davelocidadetransversal L e (b) o valor maximodacom-ponentetransversalda tensao. (c) Mostrequeos doisvaloresmaximos, calculadosacima, ocorrempara osmesmosvaloresde faseda onda. Qual e o desloca-mentotransversal 2 da cordanessasfases?(d) Qual ea maximapotenciatransferidaao longo da corda? (e)Quale o deslocamentotransversal2 quandoestatrans-ferenciamaxima de potenciaacontece?(f) Qual e atransferenciamınima de potenciaao longo da corda?(g) Qual e o deslocamentotransversal 2 quandoestatransferenciamınimadepotenciaocorre?� Comecemospor construira equac¸aodapropagac¸aodaondanacorda:�D� ` �� � ` X�����^����� �3�E'(����X m/s
0 � �� � ��'.����X�5��� �3���J��� m
2%6 * � +87 � 6 .� �DbT�5� "F� 7 95:5; ��A 6 C�����I *)K ����� +87 �sendo* emmetrose
+emsegundos.
(a) A velocidadetransversalescalarmaxima Lmax. obte-
mosde Lmax. � 64� 2� + 7 max. � ? 2
m� 6 �A 7 6 �5��� 7 6 .� ��bS�4� "O� 7� ���J'�' m/s
(b) A componentetransversaldatensaoe� transv. �H� 6 � 2� * 7 �eo valormaximodacomponentetransversale6 � transv.
7max. � � <.2 m� 6 X�� 7 6 C�����I 7 6 �A 7 6 .� �>bT�5� "O� 7� ���.� ��I N /
(c)TantoavelocidadetransversalL comoatensaotrans-versal � transv. tem as suasfasessob a funcao cosseno.Entao, o mesmopar 6 * � +87 maximizaambasas gran-dezas,mas se essepar maximiza a funcao cosseno,ele anula a funcao seno,ou seja, se < *RK&? + ��� ,
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2%6 * � 2 7 ��� . (d) A potenciatransmitidaao longo dacordaedadapor�&� 6 K � � 2� * 7 64� 2� + 7 �H� < ? 2 Nm ��� 9 N 6�< *�KT? +87Paraa potenciamaximatransmitidatemosentao,� max. � � < ? 2 Nm� 6 X�� 7 6 ��A 7 6 C�����I 7 6 �CE��A 7 6 .� �cbS�4� "O� 7 N� C.' W /(e) O deslocamento 2 correspondentea maximapotenciatransmitidae 2 ��� , ja que o par 6 * � +87 quemaximizaa funcaocossenoe o queanulaa funcaose-no.(f) A potenciamınimatransmitidaenula.(g) A mınima potencia transmitida acontecepara2 � 2
m, ja queo par 6 * � +87 queanulao cossenoe aquelequemaximizao seno.
Seccao17-11Interfer enciadeOndas
17-38P. Uma fonte � e um detectorde ondasde radio�estao localizadosaonıvel do soloa umadistancia _
(Fig. 17-26).Ondasderadiodecomprimento0
chegama
�, pelo caminhodireto ou por reflexao, numacerta
camadadaatmosfera.Quandoacamadaestanumaaltu-ra � , asduasondaschegamem
�exatamenteemfase.
A medidaquea camadasobe,a diferenca defaseentreasduasondasmuda,gradualmente,ate estaremexata-mentefora de faseparaumaalturada camada� =1� .Expresse
0emtermosde _ , � e � .� Aposa reflexaonaaltura � , asondaschegamem
�emfase: ��\ $ K _��3���sendo\ $ � � � N = 6 _.��� 7 N .Aposa reflexaonaaltura � =1� , asondaschegamem�
emoposicaodefase:��\ N�K _�� 0 ���.�sendo \ N ��� 6 � =R� 7 N = 6 _.��� 7 N . Combinandoasduasequac¸oesparaasinterferenciasconstrutiva e des-trutiva,vem �\ N�K �\ $ � 0 ���.�0 �MC � � 6 � =R� 7 N = 6 _(��� 7 N K � � N = 6 _.��� 7 N � /
17-41P*. Determinea amplitudedaondaresultantedacombinac¸ao de duasondassenoidaisquesepropagamno mesmosentido, possuemmesmafrequencia, temamplitudesde ����� cm e C�� � cm e diferenca de fasedeA#��� rad.� Consideremosas duasondassenoidaisna posicao* �3� : 2 $ �1����� 95:5; ? +
e2 N �HC�� � 94:5; 6 ? + = A#��� 7 /Agora,usandoa relacaotrigonometrica 95:5; 6r� =R� 7 �95:5; � ��� 9 ��= ��� 9 � 95:4; � naondaonda2 N , efetuamossuasomacom 2 $ : 2 � 2 $ = 2 N2 �3��� � 94:5; ? + = C�� � ��� 9 ? +
2 �1��� � � 95:5; ? + = ������� �^� 9 ? + � /A superpsic¸aodessasondasproduzumaondadamesmaformadecadaumadelas,queescrevemosgenericamen-tecomo 2 � 2
m 95:5; 6 ? + =VQ 7 �e,usandoa mesmaidentidadetrigonometrica,obtemos2 � 2
m6 95:5; ? + ��� 9 Q>= ��� 9 ? + 95:5; Q 7 �
ondeQ eadiferencadefasede 2 emrelacaoa 2 $ . Com-parandoasduasformasquetemospara2 , escrevemos� 94:5; Q � ��� ��� :� ��� 9 Q �&���onde � e um fator de proporcionalidadeentreasduasformasda funcao 2 . Dividindo asduasrelacoesacimaobtemosaconstantedefaseQ :+ s Q �B�������
Q �H��� X�� rad/http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina6
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Elevandoasrelacoesacimaaoquadradoesomando,ob-temoso fator � :� N 6 94:5; N QD= �^� 9 N Q 7 �-�.��'��I�X��� � ��� ����C�/Agorapodemosexplicitar a funcao 2 � 2 $ = 2 N :2%6 +87 �3�����E 94:5; 6 ? + = ����X�� 7 �onde 2
m ����� ����Cnb}�������R����� �� m. Esteproblematambempodeserfacilmenteresolvidopelometododosfasores.Coma escolhadeumaescalaadequada,a am-plitude e a constantede fasesao diretamentemedidascomreguae transferidor. Refaca o problemausandoosfasoresparaconfirmaro resultadoobtido pelo metodoanalıtico.
Secao17 -13OndasEstacionarias e Ressonancia
17-42E. Uma corda sob tensao � i oscila no terceiroharmonicocomumafrequencia
� � , e asondasnacordatemcomprimentodeonda
0 � . Sea tensaofor aumenta-dapara � f ��Ct� i e a cordanovamentelevadaa oscilarno terceiro harmonico, qual sera (a) a frequenciadeoscilacaoemtermosde
� � e(b) o comprimentodeondaemtermosde
0 � ?� (a)Darelacao � i � � � i �� , obtemoscomatensaofi-nal � f �-C�� i que � f �&�� i. Entao,parao “novo” terceiroharmonicoteremos�
3f � ���� 6 �� i
7 �-� � 3i /(b) Parao comprimentodeonda,teremos0
3f � �� i� � 3i
� 03i �
ou seja,a variacaonatensaodacordaduplicaa veloci-dadeea frequencia,mantendoinalteradoo comprimen-to deonda.
17-46E.Umacordadeviolao,denailon, temumaden-sidadelinear de '(�J� g/m e esta sob uma tensao iguala �5�� N. Os suportesfixos estao distanciadosX�� cm.A cordaesta oscilandodeacordocomo padraodeon-da estacionaria mostradona Fig. 17-27. Calcule(a)a velocidadeescalar, (b) o comprimentode ondae (c)a frequenciadasondascuja superposic¸ao origina esta
ondaestacionaria.� A ondaestacionariaindicadaestavibrandonotercei-ro harmonico,ouseja,; �3� .(a)Paraavelocidadetemos�>� ` �� � ` �5��'(�J��bT�5� "O� � �^C�C m/s/(b) Parao comprimentodeonda,0
n � ���; �0 � � 6 � 7 6 ����X�� 7� �H��� ��� m /
(c) E paraa frequencia,� � �0 � �^C�C������� �-�CE� Hz /17-48E.Umacordade �5��� cmdecomprimentoeestica-daentresuportesfixos. Quaissaoostrescomprimentosdeondamaislongospossıveisparaondasestacionariasnessacorda?Esboceasondasestacionariascorrespon-dentes.� O comprimentodeondae dadopor
0n �&���u� ; , com; �����J�.�����^/�/�/ sea cordaesta fixa nasduasextremida-
des.Ostresmaiorescomprimentosdeondaseraoentao,0 $ �-�����3�.�8CE� m �0 N �1���&���J��� m e0 � � �� ���3����I�� m /17-52E.Umapontadeumacordade �5��� cm e mantidafixa. A outra pontae presaa um anel sempesoquepodedeslizarao longo de uma hastesematrito, con-formemostradona Fig. 17-28. Quaissao os tresmaislongoscomprimentosdeondapossıveisparaondases-tacionariasnessacorda?Esboceasondasestacionariascorrespondentes.� Quandoacordaestapresaemso emumaextremida-de, os comprimentosde ondapossıveis sao fornecidospelarelacao
0n ��CE��� ; , com ; � ������� ��J'(�4/�/�/ . Os tres
maiorescomprimentosdeondaserao0 $ �1C����HC���I�� m �http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina7
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0 � � C � ��� ��� ��� m e
0�¡ � C ���H����X�� m /17-54P. Duasondasestaosepropagandonamesmacor-da,muito comprida.Um vibradorno extremoesquerdodacordageraumaondadadapor2 � 6 ����� cm
7 � ��� 9 A � � 6 ����� m"%$ 7 *>= 6 I�� � s
"�$)+ � �
enquantoumoutronoextremodireitogeraaonda2 � 6 ��� � cm7 � ��� 9 A � � 6 ����� m
"�$ 7 *vK 6 I���� s"�$ 7F+ � /
(a) Calculea frequencia,o comprimentode ondae avelocidadeescalardecadaonda.(b) Determineospon-tos ondenaoexiste movimento(os nos). (c) Em quaispontoso movimentodacordaemaximo?� (a) Paraobteras grandezaspedidasso precisamosobservar asquantidadesfornecidasnasduasondasda-das: � ��?��A � C�A�A �3����� Hz �
0 � �A< � �AA �-�.� � m e
�)� 0 � � 6 �.� � 7 6 �.� � 7 �1C���� m/s/(b) A superposic¸aodasondasdadasproduzaondaesta-cionaria ¢ 6 * � +87 �3� 2 m ��� 9 A * �^� 9 C�A + �cujosnosobtemosfazendo��� 9 A * ��� , condicaosatis-feitapara * �1��/ �� m £^��/ m £J�./¤ m £^/�/�/(c) Os antinos devem satisfazera condicao ��� 9 A * �¥ � , cujasposicoessao* �B��/ � m £ �./ � m £ ��/ � m £^/�/�/17-56P. Uma cordaesta esticadaentresuportesfixosseparadospor '� cm. Observou-sequetemfrequenciasressonantesem C(��� e ���� Hz e nenhumaoutra nesteintervalo. (a) Qual e a frequenciade ressonanciamais
baixadessacorda?(b) Qualeavelocidadedeondaparaessacorda?� Paraumacordafixa nasduasextremidades,temos��� � n � ; � , com ; �����J�.� ���^/�/�/ Paraasduasfrequenciasdadas,escrevemos CE���; a
� ����; b
�onde ; a e ; b sao valoresconsecutivos dosharmonicos; , tal que ; a � ; b = � . Substituindoessacondicaonaigualdadeacima,encontramosos harmonicosquecor-respondemasfrequenciasdadas,; a �1C e ; b �3� .(a)Paraa frequenciafundamentaltemos� $ � CE���C � �4�E Hz /(b) A velocidadedaondae�>�-��� � $ � �5E'(/¤ m/s/17-60P. Umacordade ����� m decomprimentoestaosci-landonaformadeumaondaestacionariadetresmeioscomprimentosde onda,cuja amplitudee ��� � cm. Avelocidadeescalarda ondae de �5��� m/s. (a) Qual e afrequencia?(b) Escreva equac¸oesparaduasondasque,combinadas,resultemnessaondaestacionaria.� A cordaesta vibrandono terceiroharmonico, comcomprimentodeonda
0 �3��/ � m. Entao,(a)� � �0 �-�� Hz
(b) Sea amplitudedaondaestacionariae ��/ � cm,a am-plitudedecadaumadasondascombinadase ��/¤ cm. Onumerode ondaangulare < ���A#� 0 �¦A rad/me afrequenciaangulare ? �1�A � � �4����A rad/s.Portanto,2 $ � 6 ��/ 7 95:5; A 6 *�K �4��� +87 e2 N � 6 ��/¤ 7 95:5; A 6 *D= �4��� +87 /17-63P. Considereuma ondaestacionaria que e a so-madeduasondasidenticassepropagandoemsentidosopostos.Mostrequeaenergiacineticamaximaemcadameio comprimentode ondadessaondaestacionaria e��A N � 2 Nm � � .� A velocidadetransversaldeumelementodomeioeL � � 2� +§� K � 2 m 95:4; < * 94:5; ? + �
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tal quesuaenergiacineticaedadapor_�¨ � �� _�Z L N� ���_ * 2 Nm ? N 95:5; N < * 94:5; N ? + /A energiacineticamaximadoelementoe_E¨ m �-���_ * 2 Nm ? N 95:5; N < * /Lembrandoque? �1�A �
, integramos_�¨ m desde* �1�ate * � 0 ���G�HA#� < :¨ m � ��� 2 Nm ? N w}© � ªy 95:5; N * _ *� ��� 2 Nm ? N w © � ªy « * � K 94:5; � < *C < ¬� �Jªy� ���%A N 2 N® � �O/17-64P. Um fio dealumınio decomprimento�P������� �cm comareadesecao transversaligual a ��������b}�5� " NcmN e densidade������� g/cm
�e conectadoa um fio de
aco, de densidade'.��I�� g/cm�
e mesmaareade secaotransversal. O fio compostoe conectadoa um blocode massaZ¯���4����� kg, conformea Fig. 17-30, deforma quea distancia � N entrea juncao e a roldanadesuporteseja I���� � cm. Ondastransversaissaoestabele-cidasno fio usando-seumafonteexternadefrequenciavariavel. (a) Achea maisbaixafrequenciadevibracaoque dara origem a uma ondaestacionaria com no nopontodejuncao. (b) Quantosnossaoobservadosnessafrequencia?� O fio compostoesta submetidoa tensao
! �°Z s �X�I N e, lembrandoque Y}� Zn��±�� , a densidadelineardecadaparte,dealumınio e aco, e, respectivamente,� $ �1Y $ ±3�3��/ �>bS�4� "F� kg/me� N �1Y N ±3�°'(/ I�bS�4� "O� kg/m/A tensaono fio e
! ���%� N ��� 0 N � N e lembrandoque��� ; 0 ��� , temos� $ 0 N $ � N � � N 0 N � N� $ C�� N$; N $ � � N CE� NN; NN �quenosfornece ; N; $ � � N f � N� $ f � $ �-�./¤
Osvaloresde ; quesatisfazema razaoacimasao ; $ �� e ; N �3 , doqueobtemos0 $ � ��� $; $ �1��/ ��� m e
0 N � ��� N; N �3��/ �� m /Voltandoa relacaoda tensao,
! �²� $ 0 N $ � N , obtemosamaisbaixafrequenciadevibracaodosistema,(a)
� �3����C Hz /(b) As extremidadesfixas sao nos, evidentemente.Ocomprimento� $ acomodaum comprimento
0 $ , com �nos, inclusive o do pontode juncao dosfios. O com-primento � N acomoda�./¤ comprimentos
0 N , com � nos,incluindoo do pontode juncao. Entao,o fio compostotemumtotalde I nosnessemodovibrante.
17.3 ProblemasAdicionais
17-65. Uma corda,submetidaa umatensao de ����� Ne presaem ambasasextremidades,oscilano segundoharmonicode umaondaestacionaria. O deslocamentodacordae dadopor2 � 6 ���4�4� m
7 6 94:5; A * ��� 7 95:5; ���A + �onde * ��� numadaspontasda corda, * e dadoemmetrose
+emsegundos.Quaissao (a) o comprimento
dacorda,(b) a velocidadeescalardasondasnacordae(c) amassadacorda?(d) Seacordaoscilarnumpadraode ondaestacionaria referenteao terceiroharmonico,qualsera o perıododeoscilacao?� (a) Da formadaondadada,temos< �°A#��� rad/me0 ���A#� < �³C�/ � m. Comoa cordavibra no segundoharmonico, ; �-� , resultaque��� 0 �1C�/ ��ZS/(b) A velocidadedasondasnacordaobtemosde�D� ? < �3�C m/s
(c) Com a tensao aplicadae a velocidadedo ıtem (b),temos �[� �� N �H��/ ��C(' kg/m
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A massadacordaentaoeZ´�M����� ��/ ��X kg /(d) Seacordavibrano terceiroharmonico,a frequenciae
� � ; �.�����[��X�/ � Hz e o perıodo de oscilacao e! � � "�$ �1��/���� s.
17-67. Umaondaestacionariaresultadasomadeduasondastransversaisprogressivasdadaspor2 $ �H�������� ��� 9 6 A *�K C�A +87 �2 N �H�������� ��� 9 6 A *>= C�A +87 �onde * , 2 $ e 2 N estao em metrose
+em segundos.
(a) Qual e o menor valor positivo de * que corres-pondea um no? (b) Em quais instantesno intervalo�@µ + µ���� �� s a partıcula em * �¶� tera velocidadezero?� (a)Usandoa identidadetrigonometrica,��� 9 � = ��� 9 � �1� ��� 9 �� 6·� =}� 7 ��� 9 �� 6r� KT� 7 �chegamosa formadaondaestacionariaresultante:¢ 6 * � +87 �3��/��4� ��� 9 A * ��� 9 C�A + /
A cadano, devemoster
¢ �3� . Portanto,��� 9 A * � �A * � A �* � ��/ m
(b) A velocidadeparaqualquerpartıculadacordaosci-lanteeLk6 * � +87 � � ¢� + � K 6 C�A 7 6 ��/��5� 7 ��� 9 A * 95:5; C�A + /Em * �1� , apartıculatemvelocidadenulaquando95:5; C�A + � �C�A + � ; A+ � ; C �onde ; �B���^���J�.�4/�/�/ . Dentrodo intervalo emquestao,avelocidadeenulapara
+ �H� s,+ �1��/¤�� se
+ �3��/¤ s.
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ExercıciosResolvidosdeDinamica Classica
JasonAlfr edoCarlson Gallas,professortitular de fısicateorica,
Doutor em Fısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do SulInstituto de Fısica
MateriaparaaQUARTA prova. Numerac¸aoconformeaquarta edicaodo livro“FundamentosdeFısica”,Halliday, ResnickeWalker.
Estaeoutraslistasencontram-seem:http://www.if.ufrgs.br/� jgallas
Conteudo
18 ONDAS - II 2
18.1 Questionario . . . . . . . . . . . . . . . 2
18.2 Exercıciose Problemas. . . . . . . . . 3
Comentarios/Sugestoese Erros:favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br
(listam3.tex)
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18 ONDAS - II
18.1 Questionario
18-3. Queevidenciaexperimentalexiste paraafirmar-mosquea velocidadedo som,no ar, e a mesmaparaqualquercomprimentodeonda?� O fenomenodo ecoevidenciabemestefato. Seoar fosseummeiodispersivo, o somrefletidonoeconaoreproduziriao somemitido.
18-6. Qual e a funcaocomumdasvalvulasdeum pis-tome davarado trombone?� As valvulasdo pistome a varado trombonetem afuncaodealteraro comprimentodacolunadear no in-terior destesinstrumentos,paraproduzirasfrequenciascorrespondentesasnotasmusicais.
18-9. Quandovoce bateemum dosdentesdeum dia-pasao, o outro dentetambem oscila,mesmoquea ex-tremidadeinferior do diapasao estejafixa. Como istoacontece?E como podeo segundodenteoscilar, domesmomodoqueo primeiro(a mesmafrequencia)?� O segundodentedodiapasaooscila- ecomamesmafrequencia- porqueuma ondase propagatambem nointerior daestruturacristalinado metaldequee feito odiapasao.
18-11. Comopodemoslocalizar, numaexperiencia,asposicoesdosnose ventresemumacorda,emumaco-lunadeare emumasuperfıcievibrante?� As posicoesdos nos e ventresem uma cordasaofacilmentevisualizados,sea frequencianao for muitogrande. Na colunade ar, os nos e ventrespodemserdeterminadospelodispositivo ilustradonaFig. 18-29edescritonoexercıcio18-49E.Numasuperfıcievibrante,podemosespalharalgumpo bemvisıvel eobservarondeeleseacumulaparadiferentesfrequenciasdeoscilacao.A Fig. 17-19mostraalgunsmodosdevibracaodamem-branadeumtambor.
18-14. Expliqueo somaudıvel produzidoao passarodedoumidopelabocadeumcalicedevinho.
� O interior do calicee comoumacolunadear e umaressoanciaaconteceparaumadadafrequenciado mo-vimentodo dedo.Mudandoo nıvel do vinho no calice,mudaa alturadacolunadear e a ressonanciavai acon-tecendoparaoutrasfrequencias.
18-15. Um relampagodissipaumaquantidadeenormedeenergiaeeessencilamenteinstantaneopelospadroesdenossavida diaria. Comoessaenergia setransformanosomdotrovao?� A correnteeletricano relampagoproduzum aque-cimento do ar, que sofre uma bruscaexpansao, pro-duzindoa propagac¸ao de uma ondasonorade grandeamplitude.
18-16. Ondassonoraspodemser usadaspara medira velocidadecom que o sanguepassapelasveias earterias.Expliquecomo.� Ondasultra-sonicasatingeme sao refletidaspelasestruturasdediferentesdensidadespresentesno sanguee movendo-secomeleao longodasveiase arterias.Afrequenciarefletidasera maiorou menorquea emitida,emfuncaodomovimento.
18-18.Suponhamosque,noefeitoDopplerparao som,a fonte e o receptorestao em repousoem relacao aalgum ponto de referencia, mas o ar esta se moven-do levandoemcontaesseponto. Havera mudanc¸asnocomprimentodeonda(ou frequencia)recebido?� Nao.Deve haverummovimentorelativo entrefonteereceptorparaobservarmosmudanc¸asnocomprimentodeonda.
18-20. De quemodoo efeito Dopplerpodeserusadoemuminstrumentoparadetectarabatidadocoracaodeumfeto?(Esteprocedimentoe rotineiroemmedicina.)� O movimento do musculo cardıaco altera afrequenciadasondasultra-sonicasna reflexao, permi-tindoassima detecc¸aodassuasbatidas.
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18.2 ExercıcioseProblemas
Secao18-2A Velocidadedo Som
18-2E.Umacolunadesoldados,marchandoa ����� pas-sospor minuto, segue a musicada bandaa frente dopelotao. Observa-seque os soldadosatras da colunaavancam com o pe esquerdo,enquantoos musicosdabandaavancamcomo direito. Qualo tamanhodacolu-na,aproximadamente?� A frequenciadamarchae de � passosporsegundoeaspassadasdosmusicose dossoldadosatrasdacolunaestaodefasadasdemeiocomprimentodeonda:���� � �� ������ m �Portanto,o tamanhodacolunae,aproximadamente,� � ��� ��� � m �18-5E. A densidademedia da crostaterrestre, ��� kmabaixodasuperfıcie, e de ���� g/cm� . A velocidadedasondaslongitudinaissısmicasa essaprofundidade,en-contradaa partir damedidado tempoemquechegam,vindasdeterremotosdistantes,e de ��� � km/s. Useestainformacao para acharo modulo de elasticidadevo-lumetricada crostaterrestrea essaprofundidade.Paracomparac¸ao, o modulo de elasticidadevolumetricadoaco e,aproximadamente,����������� � Pa.� Aplicamosdiretamentea relacao entrea velocida-de depropagac¸ao,a densidadedo meioe o modulodeelasticidade:! �#" %$ � �� � &�'�(� �)� Pa�O modulodeelasticidadedacrostaaprofundidadedadae a metadedodoaco.
18-8P. A velocidadedo somem um certo metal e * .Em umaextremidadedeum longotubodestemetal,decomprimento+ , se produzum som. Um ouvinte dooutro ladodo tubo ouve dois sons,um da ondaquesepropagapelotuboeoutrodaquesepropagapeloar. (a)Se eavelocidadedosomnoar, queintervalodetempo,
ocorreentreosdoissons?(b) Supondoque, � ��� ��� s
e queo metale o ferro,encontreo comprimento+ .
� (a) O tempoquea ondaquesepropagapeloar levaparapercorrer+ e
, � � +.- e o tempoparaa quesepropaganometale
, $ � +.-�* . Portanto,, � , �0/ , $ � + 1 * / %2 *(b) Tomando* � ��34��� m/s, aproximadamente,obte-mos + �65 ��� m.
18-11P. Umapedrae jogadanumpoco. O somdapedrasechocandocoma aguae ouvido
5 � ��� sdepois.Qualaprofundidadedopoco?� A profundidadedo poco e 7 �98 , $: -�� , onde
, : e otempoqueapedralevaparaatingiraagua.Mastambem7 � ,<;
, sendo,<;
o tempoqueo somlevaparaalcancara bordado poco. A somadessestempose o intervalomedido: , :>= , ; ��5 � �4� s�Igualandoasequac¸oesparaa profundidade7 , 1 5 � ��� / , : 2 � �� 8 , $ :@?teremosumaequac¸aodosegundograupara
, : , cujaraizvalida,
, : � ��� ��� s, fornecea profundidadedo poco7 � �A��� � m.
Secao18-3PropagacaodeOndasSonoras
18-14E.Ultra-soma frequenciade �A� ��� MHz e usadoparaexaminartumoresnostecidosinternos.(a) Qualocomprimentodeondano ar dessasondassonoras?(b)Sea velocidadedosomno tecidoe de ������� m/s,qualocomprimentodeondadasondasno tecido?� (a)O comprimentodeondae dadopor�B�C�ED ��GF m �(b) Se @H � �����4� m/s,entaoo comprimentodeondanotecidoe � H �I H� � �J� 5�5 mm�18-18P. A pressao em umaondasonoraprogressiva edadapelaequac¸aoKML � 1 �4� � Pa2ON�P�QSRIT 1 �4� �4� m U � 2)V / 1 545 � sU � 2 ,XW �Encontre(a) a amplitudede pressao, (b) a frequencia,(c) o comprimentodeondae(d) avelocidadedaonda.
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� (a)Daequac¸aodaondatemosdiretamentequeaaml-pitudeede ����� Pa.(b) A frequenciaangulare Y �Z545 � R rad/s. Entao afrequenciadasoscilacoese� � Y� R � �(�4� Hz �(c) O numerodeondaangulare [ � R rad/m. Entaoocomprimentodeondae�� � R[ � ��� � m �(d) A velocidadedepropagac¸aodaondae dadapor ��� � � Y [ ��5�5 � m/s�18-21P. NaFig. 18-25,doisalto-falantes,separadosporumadistanciade �J� �4� m, estao em fase. Supondoquea amplitudedossonsdosdoisseja,demodoaproxima-do, a mesmanaposicao do ouvinte,queesta a
5 �� �� mdiretamentea frentede um dosalto-falantes. (a) Paraquaisfrequenciasaudıveis( ��� - ���4����� Hz) existeum si-nal mınimo? (b) Paraquaisfrequenciaso somfica aomaximo?� (a) A condicaoparaa ocorrenciadosmınimose quea diferenca depercursoentreasfontese o ouvintesejaumnumero\ inteirodemeioscomprimentosdeonda:K N � N �./ N $ � 1 \ = �� 2 � �onde N � �^] 1 5 �� �� 2 $ = 1 ��� ��� 2 $ � �A� �4� m e N $ �5 �� �� m. Reescrevemosa equac¸aodosmınimosparaasfrequencias: � � 1 \ = �� 2 K N ?da qualobtemos,para \ � � ,
� � �I5 � 5 Hz, a menorfrequenciano intervalo audıvel. A maior frequencianointervaloocorrepara\ � � � , sendo
� $`_ � �(3����J� Hz.(b) A condicaoparaa ocorrenciadosmaximose queadiferenca de percursosejaum numerointeiro de com-primentosdeonda K N � \ �a�C� �Explicitandoa frequencia,temos� � \ K N ?
que fornece� � � � � � Hz e
� $`b � ��3 � 3�� Hz paraamenorea maiorfrequenciasno intervaloaudıvel.
18-24P. Umaondasonorade comprimentodeondade���J� � cm entrano tubo mostradona Fig. 18-26. Qualdeve sero menorraio c , demodoqueum mınimo sejaregistradopelodetector?� Paraummınimo,a diferenca depercursoseraR c / �@c � � � ?demodoqueobtemosparao raioc � �� 1 R / � 2 � �� �� �4� cm�18-25P. Na Fig. 18-27,umafontepontual d deondassonorasesta proximaa um muro refletor e !
. Um de-tector f interceptao raiosonorog � , vindodiretamentede d . Tambeminterceptao raio sonorog $ , quefoi re-fletidopelomurocomum angulodeincidencia h@i igualao angulodereflexao h@j . Encontreasduasfrequenciasparaasquaisexisteinterferenciaconstrutiva entre g � eg $ em f . (A reflexaodosomnomuronaoalteraa fasedaondasonora.)� ObservandoageometriadaFig. 18-27,temosparaoraio g � : g � � ] � � $ = ��� $ � 3��k� 5 � ft �O raio g $ e refletidopelomuro e !
numpontoqueestaadistancial verticalmenteabaixode d . Dasemelhanc¸adostriangulosestabelecemosl��� � ��� / l3�� ?quenosforneceo valor l � � ft. Agorapodemosdeter-minar g $ : g $ � ] ��� $ = 34� $ � �(���k� ��� ft.
A distancia m , de d ate o pontodo murodeonde g $ erefletido,e m � ] � $ = ��� $ � �����n� � ft �Agorapodemoscalcularadiferencadepercurso
KSonos
caminhosde g � e g $ ate f :Kpo � m = g $ / g � � �@ %� �4� ft.
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ParaosmaximosdeinterferenciadevemosterKpo � \ � ? com \ � � ? � ? � ? �q�n�Explicitandoessarelacaoparaa frequencia,temos� � �rKSo � �4���4��@ %� �4� � ���A� � Hz e
� $ � � KSo � �4������@ %� �4� � ����3 Hz.
Secao18-4Intensidadee Nıvel do Som
18-29E.Umanotadefrequencia5 �4� Hz temumainten-
sidadede ��� ���.F W/m$ . Qualaamplitudedasoscilacoesdoar, causadasporestesom?� Tirando N�s darelacaodaintensidade,vemN�s �ut ��v" Y $kw �`x $ �65 �k� � nm�18-30E.Dois sonsdiferemem nıvel por �4� �4� dB. Porque numeroficam multiplicadas(a) suaintensidadee(b) suaamplitude?� Sea diferencaemnıvel e de �4� �4� dB, entao1 �(� dB2 ozy 8 v $v � � ��� � dB ?
o{y 8 v $v � � �k�q�4�(a)Entaoo fatorentreasintensidadesev $ � �������0v � �(b) E o fatorentreasamplitudeseN(s}| $N(s}| � ��~ �4� ��� � �4�q�����18-34E.Umafontedeondassonorastemumapotenciade ��� ����F W. Sefor umafontepontual(a)quala intensi-dadea
5 � ��� m dedistanciae (b) qualo nıvel dosomemdecibeisa essadistancia?� (a)Dadaa potencia,calculamosa intensidadeporv � �� R c $ ��� � � ������� U b W/m$ �
(b) O nıvel sonoroparaa distanciapedida,com v � ���� U � $ W/m$ , sera� � 1 ��� dB 2 o{y 8 vv �� 1 ��� dB 2 o{y 8 � � � ������� U b�4� ���'�(� U � $� 1 ��� dB 2 1 5 � 3�� 2 �65 3k� � dB
18.36P(a) Mostrequea intensidadev deumaondae oprodutodaenergia daondapor unidadedevolume � esuavelocidade . (b) Ondasde radio viajam a veloci-dadede
5 � ���a���(� _ m/s. Encontre� paraumaondaderadiodistando� � � km deumafontedepotencia �����4���W, considerandoasondasesfericas.� (a) Podemosrecorrera analise dimensional. Narelacao da intensidade, v � " Y $ N $s -�� , o fator" Y $ N $s -�� temdimensaodeenergia por unidadedevo-lume(verifique!),portanto,podemosexpressara inten-sidadeemtermosde � como v � � .(b) Comosdadosfornecidos,calculamosa intensidade:v � �� R c $ � ���� 5 ������U _ W/m$ �E comarelacaodo ıtem(a),obtemos� � v � ���� � ��'�(��U � � J/m���18-39P. Encontreasrazoesdas(a) intensidades,(b) am-plitudesde pressao e (c) amplitudesde deslocamentosdepartıculasparadoissonscujosnıveisdiferempor
5 dB.� (a)Paraarazaoentreasintensidades,temosozy 8 v $v � �65 ��
v $v � � ���J�����(b) Explicitandoa razaoentreasintensidades,temosv $v � � Y $ N $s}| $Y $ N $s}| � ?queforneceparaarazaoentreasamplitudesdepressaoK}L $K}L � � Y N s}| $Y N(s}| � ��� v $v � � @�k� �
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(c) A razao entreas amplitudesde deslocamentoe amesmarazaoentreasamplitudesdepressao.
18-40P. A uma distancia de �(� km, um berrantede�(�4� Hz, consideradocomoumafontepontual,e ouvidomuitobaixo.A quedistanciacomecaraacausardornosouvidos?� O limiar daaudicaodolorosae de ����� dB, deacor-do coma Tabela18-3. Essenıvel sonorocorrespondeaintensidade o{y 8 vv � � ��� ?
v � ��� � $ v � � ��� � W/m$ �Paraasdistanciasemquestao,com c � � ����� m, temosv � c $� � v�c $ ?quefornecec � ��� U $ m.
18-41P. VoceestaparadoaumadistanciaD deumafon-tequeemiteondassonoras,deformaigual,emtodasasdirecoes. Caminha���J� � m emdirecao a fontee obser-va quea intensidadedasondasfoi dobrada.Calculeadistanciaf .� Com a equac¸ao � � v 1 � R c�$ 2 , relacionamosasin-tensidadesnasduasdistancias,v�f $ � ��v 1 f / ��� 2 $ ?obtendoumaequac¸ao do segundograuparaa variavelf , cujaraizvalidafornecef � �@ %� m.
18-45P. A Fig. 18-28 mostra um interferometroacustico, cheio de ar, usadoparademonstrara inter-ferenciadeondassonoras.d e um diafragma;f e umdetectordesom,comoo nossoouvidoou um microfo-ne.O comprimentod ! f podeservariado,enquantoocomprimentod�eMf e fixo. Em f , a ondasonoravindade d ! f interferecomavindade d�e}f . A intensidadedosomem f temumvalormınimode ����� unidadesemumacertaposicaode
!e cresce,demaneiracontınua,
ate um valor maximode 34��� unidadesquando!
e des-locadode �4� ��� cm. Encontre(a) a frequenciado somemitidopelafontee(b) arazaoqueaamplitudedaondade d�eMf temcomaamplitudedaondade d ! f em f .
(c) Comopodemessasondasteremdiferentesamplitu-des,seforamoriginadaspelamesmafonte d ?� (a) Do mınimo parao maximo,o deslocamentoded�f !
e tal quefaz crescera diferenca de percursodemeio comprimentode ondaparaum comprimentodeondainteiro, isto e,� � � �S�'��� �4� cm�Portanto,
��� �k� � cm e a frequenciado somemitidopelafontee entao� ��� � 5 � 5�k� �4��� � �J�(3% Hz �(b) Chamemosde e a amplitudedaondaquechegaemf vindo por d�e}f e
!a amplitudeda ondaquevem
pelo caminho d ! f . A intensidadee proporcionalaamplitudeaoquadrado.Entao,v max.
� [ 1 e = ! 2 $ � 3���� ?v mın.
� [ 1 e / ! 2 $ � �(�4�J�Tomandoa razaodasintensidades,temos1 e = ! 2 $1 e / ! 2 $ � 3 ?quenoslevaaoresultadoe! � �J�(c) O atritoentreo areasparedesdo tuboreduza ener-giadasondasnopercurso.Comoo percursoe diferenteparaasduasondasqueseencontramem f , suasampli-tudessaodiferentes.
18-46P*. Dois alto-falantes,d � e d $ , estaoa %� � m umdo outro e oscilamem fase,cadaum emitindosomnafrequenciade ����� Hz, demodouniforme,emtodasasdirecoes. d � emitea umapotenciade ���������(� U � W ed $ a ��� � �#�(� U � W. Sejaum pontoP, queesta �A� � mde d � e
5 � � m de d $ . (a) Comoasfasesdasduasondaspassandopor � serealcionam?(b) Quala intensidadedosomemP com d � e d $ ligadas?(c) Qualaintensida-dedo somemP, se d � esta desligado( d $ ligado)? (d)Qual a intensidadedo somem P, se d $ esta desligado( d � ligado)?� (a) A distanciade d � a � e c � � �k� � m e a distanciade d $ a � e c $ ��5 � � m, tal quea diferenca depercurso
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eK m � ��� � m. Entaoa diferenca defaseentreasondas
em � e � � � R K m� � ���n�� R rad� �����4�
Lembrandoqueasondasquesecombinamem � viajamemsentidosopostos,adiferenca defaseedefato� � � / � � ��� ��5 �����(b) A intensidadedo som com ambasas fontes li-gadasdependeda amplitudeda onda que resultadasuperposic¸aodasondasno ponto � . Comoessasondasfazempercursosdiferentes,asamplitudesem � tambemsaodiferentes.Suponhamosqueem � temosV � � . Asondasquevamossomarsaoentao7 � � e N�P(Q Y ,
e7 $ � ! N�P�Q 1 Y , = � 2 ?onde e e
!sao as amplitudesdasondas. Usandoa
identidadetrigonometricaN�P�Q 1 Y , = 5 �4� 2 � N�P�Q Y , � y N 5 ��� = � y N Y , N�P�Q 5 �4�chegamosa expressao7 � e N�P�Q Y , = ! 1 �J� � N�P�Q Y , = �J��� � y N Y , 2� 1 e = �J� � ! 2`N(P�Q Y , = �J��� ! � y N Y ,� 1 e = �J� � ! 2���N�P(Q Y , = �J��� !e = �k� � ! � y N Y ,X�A onda7 tema formageraldaondaprogressiva7 � �
m N�P�Q 1 Y , = � 2� �m
1 N�P(Q Y , � y N � = � y N Y , N�P�Q � 2Secao18-5FontesSonorasMusicais
18-49E.Na Fig. 18-29,um bastao g esta fixado peloseucentro;um disco f , presoa um extremodo bastao,esta dentrode um tubo de vidro que tem pedac¸os decortica enfileiradosnoseuinterior. Um embolo � e co-locadono outroextremo.Fazemosentaoo bastaoosci-lar, longitudinalmente,a frequencia
�paraproduziron-
dassonorasdentrodo tubo,eo embolo� eajustadoatequeumaondaestacionaria sejaconseguidano interiordo tubo. Quandoisto acontece,os pedac¸os de corticaseacumulamnasregioescorrespondentesaosnos dasondasproduzidasnaqueleinterior. Mostreque,se m e a
distanciamediaentreospontosdeacumulac¸ao,a velo-cidadedosom nogas,dentrodo tubo,edadapor � � � mA�Estee o metododeKundtparadeterminara velocidadedosomnosgases.� Se m e a separac¸aoentreosnosdaondaestacionaria,entao
�B� ��m eavelocidadedaondasendo ��� �, nos
levadiretamenteaoresultadopedido, � ��m � �18-54E.Um tubo de um orgao e , com asduasextre-midadesabertas,tem uma frequenciafundamentalde5 ��� Hz. O terceiroharmonico de um orgao
!, com
umaextremidadeaberta,temamesmafrequenciaqueosegundoharmonicodo e . Qual o comprimento(a) dotubodo orgao e e (b) do
!?� Paraum tubocomasduasextremidadesabertas,te-
mosasfrequenciasderessonanciadadaspor��� � Q � ��+ � ? com Q � � � ? � ? 5 ? �n�q�Para um tubo com uma extremidade aberta, asfrequenciassao�@� � Q � �4+ � ? com Q � � � ? 5 ? � ? �n�n�(a)A frequenciafundamentalfornecidalevadiretamen-teaocomprimento+ �
:+ � � � �@� � � 5 � 5�4��� � �k� �� m �(b) Sabemosque
�@� � � ��� $ , ouseja,5 ��+ � � + � ?quenosforneceo comprimento+ � � �J� � 5 m.
18-56P. Umacertacordadeviolino tem5 � cm decom-
primento,esta fixa nassuasduasextremidadese temmassade �J� � g. A cordaemiteumanota e ( ����� hz),quandotocadasemsecolocaro dedo.(a)Ondesedevecolocaro dedoparaqueacordapasseaemitir umanota�
( ��� 5 Hz)? (b) Qual a razao entreos comprimentosde ondada ondada cordanecessario paraumanota ee parauma
�? (c) Qual a razao entreo comprimento
deondadaondasonora,quandoe tocadaumanota e e
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uma�
?� (a) Quandotocadasemcolocaro dedo,a cordavi-branasuafrequenciafundamental,
� � � �4�4� Hz, com� � � ��+ � �J� ��� m e a velocidadee ��� � � � � �����m/s. Como dedoposicionado,o comprimentodeondanacordapassaa ser
�A�E� - � �#� �J������� m. Sendo+��o novo comprimentodacorda,temos�A��� ��+G�Q ?e,se Q � � , vamoster+ � � � �� � �J����� m �Portanto,o dedodeveserposicionadoaK + � + / + � � ��� � cm
daextremidadedacorda.(b) A razaoentreoscomprimentosdeondanacordae� �� � � ������J��� � �4�q��3J�(c) A razao entreos comprimentosde ondadasondassonorasea mesmado ıtem(b).
18-57P. Umacordadeumvioloncelotemcomprimento+ , parao qual a frequenciafundamentale�
. (a) Dequal comprimento
oprecisaa cordaserdiminuıdacom
o dedo,paramudara frequenciafundamentalpara c � ?(b) Qualo valor de
opara + � �J� � � m e c � ��-�� ? (c)
Para c � ��-�� , quala razaoentreo comprimentodeon-dadanova ondasonoraemitidapelacordae a emitidaantesdacolocacaododedo?� As frequenciasderessoanciadacordafixa nasduasextremidadessao� ����+ Q ? com Q � � ? � ? 5 ? �n�n�Se
�e a frequenciafundamental,
� � -���+ . A novafrequenciafundamentale c � � -�� 1 + / o 2 .(a)Tomandoarazaoentreasfrequenciasc � e
�, temosc � ++ / o ?
quenosfornece o � + 1 � / �c 2 �
(b) Comosdadosfornecidose o resultadodo ıtem(a),vem o � �J� � 1 � / �k� �45 2 � �k�q�(� m �(c) Para a frequencia
�,��� ��+ e paraa frequenciac � ,
� � � ��+G� . Mas, +�� � + / o � c�-�+ . Entao,parac � �%-�� , � �� � �c � �� �E 18-60 ( na 6¡ edicao)
Umapalmano palcodeum anfiteatro(Fig. 18-31)pro-duzondassonorasquesedispersamemumaarquiban-cadacom degrausde largura + � �k�� �� m. O somre-tornaaopalcocomoumaseriedepulsosperiodicos,umdecadadegrau;ospulsossoamjuntoscomoumanota.(a) A quefrequenciaos pulsosretornarao (isto e, quala frequenciadanotapercebida)?(b) Sea largura + dosdegrausfossemenor, a frequenciapercebidaseriamaioroumenor?� (a) Parainterferir construtivamente,asondasrefle-tidaspelosdegrausdevemconterum numerointeiro decomprimentosdeondanadiferenca depercurso,ou se-ja, K m � \ � ? com \ � � ? � ? � ? �q�n�Para dois degraus consecutivos,
K m � ��+ e, para\ � � , �#� ��+ . Entao,a menorfrequencia( Q � � )dospulsosrefletidossera� � ��+ � 5 � 51 � 2 1 �k�� �� 2 � �4��3 Hz �(b) Como
��¢ ��-�+ , a frequenciapercebidaseriamaiorse + fossemenor.
18-63P. Uma cordade violino de5 �J� � cm de compri-
mentocom densidadelinear de �k� ����� g/m e colocadaproxima de um alto-falante,que esta conectadoa umosciladorde audiode frequenciavariavel. Descobre-seque a cordaoscila somentenasfrequencias
��� � Hz e� 5 ��� Hz, quandoa frequenciado osciladorvaria entre����� e ������� Hz. Quala tensaonacorda?� As frequencias dadas correspondema doisharmonicosda corda,com numerosQ � e Q $ , respecti-vamente.Com
� � Q£ -���+ , tomamosa razaoentreosharmonicos: Q $Q � � � 5 ������ � � �����
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Os valoresque satisfazemestarazao sao Q � � � eQ $ �65. A velocidadedaondanacorda,paraQ � � � , e � ��+ �Q � 1 �k� 5 � 2 1 ��� � 2 � ����� m/s�
E, finalmente,¤ � F $ � 1 �J� �4�p�¥�(� U � 2 1 ����� 2 $ � ���J� 5 N �Secao18-6Batimentos
18-65E.A corda e de um violino esta frouxa. Quatrobatimentospor segundosaoouvidos,quandoa cordaetocadajunto a um diapasao,cujafrequenciacorrespon-de a nota e ( �4�4� hz). Qual o perıodo da oscilacao dacordadoviolino?� Com
�bat.
� � �}/ � $ , e� $ � �4�4� Hz, a frequencia
devibracaodacordae� � � �4��� Hz. Potanto,o perıodo
dasvibracoesdacordae¦ � � U � � ������� ms�E 18-66 ( na 6¡ edicao)
Sao-lhe dadosquatro diapasoes. O diapasao com afrequenciamaisbaixaoscilaa ����� Hz. Fazendo-seosci-lar doisdiapaoessimultaneamenteouvem-seasseguintefrequenciasdebatimento: � ? � ? 5 ? � ? e
�Hz. Quaisas
possıveisfrequenciasdosoutrosdoisdiapasoes?� Chamemos� � � ����� Hz e as demaisfrequencias
procuradasde� $ , � � e
� � . Comasfrequenciasdebati-mentosouvidas,chegamosasprocuradas:� � / � � �6�
Hz ? � � � ��� � Hz� �0/ � � � Hz ? � � � ���� Hz� $ / � � � � Hz ? � $ � ����� Hz �As combinac¸oespossıveisdessasfrequenciasproduzemosdemaisbatimentos(emHz):� ��/ � � � � ? � ��/ � $ � � ? � ��/ � $ �65 �18-67P. Duas cordas de piano identicas tem umafrequenciafundamentalde ����� Hz, quandocolocadassobamesmatensao.Queaumentofracionarionatensaode uma cordaira levar a ocorrenciade � batimentos,quandoascordasoscilaremjuntas?
� A cordamaistensionadavibrara a� � � �
bat. = � $ ��4��� Hz. Paraafrequenciafundamental, �§� � � ��+ �.
Com
¤ � F $ , as tensoes serao
¤ � � ��FO+ $ � $� e¤ $ � �4FO+ $ � $$ . A razaoentreastensoese¤ �¤ $ � t � �� $ w $� t �4����4��� w $� �4� ���Portanto,paraproduzirosbatimentos,a tensaodeumadascordasdeveserincrementadaem ��¨ .
Secao18-7O Efeito Doppler
18-71E. Um apito usadopara chamarcaestem umafrequenciade
5 � kHz. O cao, entretanto,o ignora. Odonodo cao, que nao podeescutarfrequenciasacimade ��� kHz, decideusaro efeitoDopplerparadescobrirseo apito funcionade maneiraadequada.Pedea umamigoquesopreo apitonointeriordeumcarroemmo-vimento,enquantoele permaneceparadoouvindo. (a)Qualprecisasera velocidadedo carroe quala direcaoparaqueo donoescuteo apitoa ��� kHz (seeleestiverfuncionando)?O experimentoemquestaoepratico?(b)Refacaparaumafrequenciadoapitoiguala ��� kHz,emvezde
5 � kHz.� (a) Para termosessaredcao na frequencia,o carrodeveafastar-sedodono:� � �� � = �©
����[5 ��[ � 5 � 55 � 5 / �© ?quefornece © � �J�@ %� � km/h! Essavelocidadecorres-pondeas
5�� � mi/h apresentadana respostado livro. Oexperimentonaoe realizavel, porquecarrosnaosaotaovelozes.(b) Refazendoos calculosparaa frequencia
� � �4�kHz, vamosencontrar�© � ��� 5 ��� km/h,quecorrespon-deas � mi/h. Comessavelocidadeo experimentopodeserrealizado.
18-73E.Umaambulanciatocandosuasirenea ������� Hzultrapassaum ciclista,queestava pedalandoa
� � ��� ft/s.Depoisdaambulanciaultrapassa- lo, o ciclistaescutaa
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sirenea ����34� Hz. Quala velocidadedaambulancia?� Fontee detetorestaoemmovimentoe,aposa ultra-passagem,o detetormove-seemdirecaoa fonte:� � � � = �ª = �« �Trabalhandocom � ������� ft/s, obtemos����34������4� � ������� = � � �4�������� = « ?quefornece « � �����n� ft/s.
18-79P. Dois diapasoesidenticospodemoscilara �����Hz. Umapessoaesta localizadaemalgumlugarna li-nha entreos dois diapasoes. Calculea frequenciadebatimentoscaptadaporesseindivıduose(a)permaneceparadoeosdiapasoessemovemparaadireitaa
5 � m/s,e (b) os diapasoesestiveremparadose o indivıduo semovendoparaa direitaa
5 � m/s.� (a) Um diapasao aproxima-sedo detetore o outroafasta-se. Os batimentosresultamda diferenca entreasfrequenciasouvidasdevido ao movimentosdosdia-pasoes: �
aprox.
� � / «� ����� 5 � 55 � 5 / 5 �� � � ����� Hz.�afast.
� � = «� ����� 5 � 55 � 5 = 5 �� �4���k� � Hz.
Portanto,�
bat.
� �aprox. / �
afast.
� � �� � Hz.(b) Agoraeo detetorqueseaproximadeumafonteeseafastadaoutra:�
aprox.
� � = �ª� ����� 5 � 5 = 5 �5 � 5� �% � ��� Hz.�afast.
� �¬ / ª
� �4�4� 5 � 5 / 5 �5 � 5� ���J�4� � Hz.
Assim,�
bat.
� �aprox. / �
afast.
� 4 Hz.
P 18-80 (18-60/6¡ edicao)
Um aviaovoa a �4-�� � ������� davelocidadedo som. Aexplosaosonicaalcanca um homemno soloexatamen-te l min depoisdo aviao ter passadosobresuacabec¸a.Qual a altitude do aviao? Considerea velocidadedosomcomo
545 � m/s.� A velocidadedo aviaoe � � 1 �4� �4� 2 1 5�5 � 2 � �A�������m/s.Apos1 minuto,o aviaopercorreua distanciaV � � , � 1 �A���J� � 2 1 �4� 2 � ���% ���� m.
O angulodoconedeMache dadoporN�P(Q h � � � 5�5 ��A���J� � � �k� � � ?dondeobtemosh � � 5 � . A altitude doaviaoe tal queV � , ® Q h ?fornecendo � V tan h � 1 �@�� ���� 2 tan � 5 � �65 � � ����¯ 545
km �P 18-82 ( na 6¡ edicao)
A Fig. 18-33mostraum transmissore um receptordeondascontidosem um unico instrumento.Ele e usadoparamedira velocidade� deum objeto(idealizadoporuma laminalisa) que se move diretamentena direcaodo instrumento,analisandoasondasrefletidasno alvo.(a) Mostrequea frequencia
� j , dasondasrefletidasaoreceptor, serelacionacoma frequenciaemitida
� ;por� j � � ; t° = � / � w ?
onde e a velocidadedas ondas. (b) Em muitassituacoespraticas,��±�± . Nestecaso,mostrequeaequac¸aoacimasetorna� j / � ;� ; D �@� �
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� (a) A alteracaona frequenciadevida a aproximac¸aodoobjetoe � � � � ; = � �Na reflexao,o objetopassaa serumafontemovel, en-quantoo detetor, estacionario,recebea frequencia� j � � � / � �Combinandoestasequac¸oes,obtemos� j � � ; = � / �� � ; = � / �(b) Se �²±�± , usamosa expansaobinomialparaobter� j� ; ��³ � = � >´ ³ � / � �´ U � D ³ � = � �´ ³ � = � >´ ?e chegaraoresultadopedido,� j / � ;� ; D ��� �Veremosmaisafrentequeosproblemas18.84P, 18.89Pe 18.101Psaoaplicacoesdesteresultado.
P 18-84 (18-53/6¡ edicao)
Um alarmeacusticocontraroubosconsisteemumafon-te queemiteondasa frequenciade � � kHz. Qualsera afrequenciadosbatimentosrefletidospor um intrusoan-dandoaumavelocidademediade �J� 34��� m/s,nadirecaoopostaaoalarme?� Aqui o intrusoafasta-sedafontecomumavelocida-de � � / �k� 3�� m/squesatisfaz µ �¶µ4·¸µ µ , onde �65 � 5m/seavelocidadedosomnoara ��� � (vejaTabela18.1).Portanto,usandoo resultadono item (b) do problema18-82acima,encontramosque�
bat� µ � j / � ; µº¹ �kµ �¶µ � ;
¹ � 1 �J� 34� 25 � 5 1 � � �'�(� � 2 � ����� Hz �18-89P. Em umadiscussao sobredeslocamentosDop-pler de ondasultra-sonicas, usadosem diagnosticosmedicos,o autorcomenta:“Paracadamilımetroporse-gundoqueumaestruturadocorposemove,afrequencia
dasondasultra-sonicasincidentessofre uma variacaode,aproximadamente,�4� 5 � Hz/MHz.” Quevelocidadede ondasultra-sonicasem tecidosvoce deduz,a partirdessaafirmativa?� A variacaofracionaldafrequenciadasondaseK �� � ��� 5 ��(�4» �No problema18.82PobtivemosK �� D �@� �Com � � �(� U � m/s,chegamosa velocidadedasondasultra-sonicasnostecidos, � ���@��� m/s.
P 18-92 (18-56/6¡ edicao)
Umasirenede �����4� Hz eumoficialdadefesacivil estaoemrepousoemrelacaoaTerra.Quefrequenciao oficialira ouvir, se o ventoestiver soprandoa ��� m/s (a) dafonteparao oficial e (b) dooficial paraa fonte?� (a)A formuladodeslocamentoDopplerevalidaape-nasquandoasvelocidadesdasireneedooficial, � ;
e � � ,foremmedidasemrelacaoa um meioestacionario (i.e.,semvento).Paramodificara formulademodoa levaroventoemconsiderac¸aobastamudarparaum novo refe-rencialnoqualnaoexistavento.Quandoo ventosoprada fonte parao observadorcomumavelocidade¼ , temos �½�; � �½�� � ¼ no novo re-ferencialquesemove junto como vento. Comonestereferencialo observadoraproxima-seda fonte enquan-to quea fontedeleseafasta,temos,no novo sistemadereferencia� � � � = �½�� = �; � � = ¼ = ¼ � � � �����4� Hz.
(b) Nestecaso,bastatrocaro sinalde �½�� e �¾�; . O resul-tadoe que,novamente,naohadeslocamentoDoppler:� � � �¿ / �½�� / �; � �¬ / ¼ / ¼ � � � �����4� Hz.
Em geral,nuncaexistira deslocamentoDopplerquandonaohouver movimentorelativo entreobservadore fon-te, independentementedeexistir ounaoventopresente.
P 18-94 (18-55/6¡ edicao)
Umameninaesta sentadaproximaa umajanelaabertadeum trem,queesta semovendoa umavelocidadede
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�(�k� �4� m/sparao leste.A tia dameninaestaproximaaostrilhos,observandoo trempartir. O apitodalocomotivaemiteum soma frequenciade ���4�J� � Hz. Nao ha ven-tos. (a) Quefrequenciaa tia da meninaira ouvir? (b)Quefrequenciaa meninaira ouvir? (c) Comum ventosoprandoparaoestea �(�J� ��� m/s,quefrequenciaa tia dameninairaouvir? (d) E amenina?� (a) Comoo trem esta seafastandoda observadora,temos� � � � = �« � ����� 5 � 55 � 5 = ��� � � � ��� � Hz.
(b) Comonao ha movimentorelativo entrea fonte e oobservador, a meninaouve a frequenciaemitida,
� ����4� Hz.(c) Como ventosoprandoparaoeste,teremosasvelo-cidadesrelativas ª�| ar
� �(� m/se�« | ar
� ��� m/s.
Comoa fonteseafastadaobservadora,temos� � � � = �ª0| ar = �« | ar
� ���4� 5 � 5 = �(�5 � 5 = ��� � � � �k� � Hz.
(d) Pelamesmarazaodo ıtem (b), a frequenciaouvidapelameninae
� � ����� Hz.
Secao18-8O Efeito Doppler para a Luz
18-96E.Certoscomprimentosde onda,caracterısticosnaluz vindadeumagalaxianaconstelac¸aodeVirgem,sao �J� �%¨ maioresdoquealuz correspondentedefontesterrestres.Qual a velocidaderadial dessagalaxia comrespeitoaTerra?Elaestaseaproximandoouseafastan-do?� Aplicandoa equac¸ao(18-55),temosK �� � � � � �J� �����Portanto,� � �k� �4��� � � �4� �S�'�(� » m/s,afastando-se.
18-99P. O perıodode rotacao do Sol no seuequadorede �@� ? d e o seuraio e de %� ����������À km. Quedeslo-camentoDopplerno comprimentode ondae esperadoparaa luz de ����� nm,emitidadasuperfıciedoSol?� O perıododadocorrespondea �J�q� 5 ������� » s . A ve-locidadede qualquerpontoequatorialda superfıcie doSol e � � R c¦ � ��� ���4���'�(� � m/s,
quevem a sera velocidadeda fonte. Com a equac¸ao(18-55)vem � � K �� � �J� � ��'�(�JU » �O deslocamentoDopplere entaoK �B��Á�5 �� � pm�18-101P. Microondas,queviajam a velocidadeda luz,saorefletidaspor um aviaodistante,queesta seaproxi-mandodafonte.Sabe-seque,quandoasondasrefletidassecruzamcomasemitidas,a frequenciadosbatimentosede 3�3�� Hz. Seasmicroondastem �J�n�(��� m decompri-mentodeonda,qualavelocidadeaproximadadoaviao?� Este problemae uma aplicacao do resultadodoproblema18.82P, onde substituimos por
�, a velo-
cidadede propagac¸ao das ondaseletromagneticasnovacuo,
5 � ����� _ m/s. A frequenciadasmicroondase� � � - �a��5 � ������� b Hz. Escrevemos� � � D � = ��� �� ?sendo
� � � / � � 3�34� Hz. Portanto,� D 3�34� �� �D �43k� � m/s.
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ExercıciosResolvidosdeTermodinamica
JasonAlfr edoCarlson Gallas,professortitular de fısicateorica,
Doutor em Fısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do SulInstituto de Fısica
MateriaparaaQUARTA prova. Numerac¸aoconformeaquarta edicaodo livro“FundamentosdeFısica”,Halliday, ResnickeWalker.
Estaeoutraslistasencontram-seem:http://www.if.ufrgs.br/� jgallas
Conteudo
19 Temperatura 219.1 Questoes. . . . . . . . . . . . . . . . . 2
19.2 Exercıciose Problemas. . . . . . . . . 219.2.1 Medindotemperatura. . . . . . 219.2.2 As escalasCelsiuse Fahrenheit 319.2.3 Expansaotermica. . . . . . . . 3
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19 Temperatura
19.1 Questoes
Q 19-3.
Um pedac¸o de gelo e um termometromaisquentesaocolocadosnum recipientehermeticamentefechado,novacuo. O gelo e o termometroestao suspensosde talmaneira,quenaoficamemcontato.Porquea leituradotermometrodiminui, aposalgumtempo?� O termometrotransferecalorpor irradiacao. As for-masdetranferenciadecalorseraoestudadasnocapıtulo20.
Q 19-7.
Embora pareca impossıvel atingir o zero absolu-to de temperatura,temperaturastao baixas quanto��� �����������������
K foramalcancadasemlaboratorios. Istonaoseriasuficienteparatodososfins praticos?Porqueosfısicosdeveriam(comorealmentefazem)tentarobtertemperaturasaindamaisbaixas?� Porquea muitobaixastemperaturasosmateriaisexi-bempropriedadesnaoobservadasatemperaturasusuais.A supercondutividadee um exemplodessasproprieda-des.A motivacaoparaessetipo depesquisaestanapos-sibilidadedeencontrarnovosfenomenosepropriedadesfısicasdosmateriais.A tentativa de reduziros limitesfısicosinduzo desenvolvimentodeinstrumentosdeme-dida mais e mais sofisticados,que sao posteriormenteusadosemoutroscampos.
Q 19-14.
Explique por que, quandocolocamosum termometrode mercurio numachama,a colunade mercurio desceumpouco,antesdecomecara subir.� Porqueo vidro que contem o mercurio inicia seuprocessodedilatacaoprimeiro. Depois,a dilatacao domercurio emaisnotavel,porqueestetemumcoeficientededilatacaomaiordoqueo dovidro.
Q 19-18.
Duaslaminas,umadeferroeoutradezinco,saorebita-dasumana outra,formandoumabarraqueseencurvaquandoeaquecida.Porquea partedeferroficasempre
no interiordacurva?� Porqueo zinco tem coeficientelinear de expansaotermicamaiorqueo ferro. Procuretaisvaloresemalgu-maTabela.
Q 19-22.
Explique por que a dilatacao aparentede um lıquidonum tubo de vidro, quandoaquecido,naocorrespondeaverdadeiraexpansaodo lıquido.� Porqueo vidro quecontemo lıquido tambemseex-pande.
19.2 ExercıcioseProblemas
19.2.1 Medindo temperatura
P 19-6.
Dois termometrosde gasa volumeconstantesao usa-dosem conjunto. Um delesusanitrogenio e o outro,hidrogenio. A pressaodo gasemambososbulbose �= � � mm deHg. Quale a diferenca depressaonosdoistermometros,secolocarmosambosemaguafervendo?Emqualdostermometrosa pressaosera maisalta?� Tomamos�� como sendo � � mm de mercurio pa-ra ambostermometros. De acordocom a Fig. 19-6, otermometrode N fornece ����� � ��� K parao ponto deebulicaodaagua.Usamosa Eq.19-5paradeterminarapressao:
����� �� ��� ����� ���� � ����� � ���� ��� ��� �"!$# � ��%� ����&'� ��(�� mmdemercurio�
Analogamente,o termometro de hidrogenio fornece����� ��� � parao pontodeebulicaodaaguae
�) � � ����� ������ ��� �����*! # � ��%� � ��&��+� ��� mmdemercurio�
A pressao no termometrode nitrogenio e maior queapressaono termometrodehidrogeniopor
�'� � � � mm demercurio.
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19.2.2 As escalasCelsiuseFahrenheit
E 19-14.
A quetemperaturaos seguintesparesde escalasdao amesmaleitura: (a) Fahrenheite Celsius(veja Tabela19-2),(b) Fahrenheite Kelvin e (c) CelsiuseKelvin?� (a) As temperaturasFahrenheite Celsiusestao rela-cionadaspelaformula
�*, � & �"-/. �102� � . Dizer quealeitura deambasescalase a mesmasignificadizerque� , � � -
. Substituindoestacondicaonaexpressaoaci-matemos
� - � & � - . �304� � deondetiramos� - � 5 �( # � ��% �653( ��7 C�
(b) Analogamente,a condicao paraas escalasFahre-nheite Kelvin e
�", � �, fornecendo� � & � # � 5 � ��� ��� � % 04� �98
ouseja,� � �(;: # &�% # � ��� ��� � %� 5<� �>= �?����� K�
(c) ComoasescalaCelsiuse Kelvin estaorelacionadaspor
� - � � 5 � ��� ��� � , vemosquenaoexistenenhumatemperaturaparaa qualessasduasescalaspossamfor-neceramesmaleitura.
P 19-17.
Observamos,nodia-a-dia,queobjetos,quentesoufrios,esfriamou aquecemate adquirira temperaturaambien-te. Sea diferenca de temperatura@ �
entreo objetoeo ambientenaofor muitogrande,a taxadeesfriamentoouaquecimentoseraproporcionaladiferencadetempe-ratura,isto e, A @ �A�B �C5ED # @ � %F8ondeA e umaconstante.O sinalmenosapareceporque@ �
diminui como tempo,sefor positivo,eaumenta,senegativo. Estaea lei deNewtondoresfriamento. (a) DequefatoresdependeA? Qual a suadimensao? (b) Seno instante
B � �a diferenca de temperaturafor @ �*G
,mostreque @ � �?@ � GIH�JLKNMnuminstanteposteriort.
� (a) Mudancas na temperaturamocorrematraves deradiacao,conducaoe conveccao.O valorde D podeserreduzidoisolandoosobjetosatravesdeumacamadadevacuo,por exemplo. Isto reduzconducaoe conveccao.Absorcaoderadiacaopodeserreduzidapolindo-seasu-perfıcieateteraaparenciadeumespelho.ClaramenteDdependedacondicaodasuperfıciedo objetoe dacapa-cidadedoambientedeconduzirouconvectarenergiadoe parao objeto.Comopodemosreconhecerdaequac¸aodiferencialacima,D temdimensaode(tempo)
J"O.
(b) Rearranjandoaequac¸aodiferencialdadaobtemos�@ � A @ �A�B �P5ND �Integrando-aemrelacaoa
Be observandoqueQ �@ �
A @ �A�B A�B � Q �@ � A # @ � %R8temos QTSVUSVU W �@ � A # @ � % � 5 Q MG D A�B
X�Y @ �[ZZZ SVUSVU>W � 5ND BX�Y @ �@ � G � 5ND B 8
quereescritade modoequivalenteforneceo resultadodesejado: @ � ��@ � GNH J3K3M\�19.2.3 Expansao termica
E 19-24.
Umabarrafeitacomumaliga dealumınio mede���
cma��� 7
C e� ��� ��� � cm no pontodeebulicaodaagua.(a)
Qualo seucomprimentono pontodecongelamentodaagua?(b) Qualasuatemperatura,seo seucomprimentoe���'� ����&
cm?� (a) A relacaoparaavariacaodocomprimento,@^]4�]`_$@ �, permitecalcularo coeficientede expansao li-
neardabarra: _ =��� �����ba � � Jc37�dbJ"O
.Portanto,partindo-sedos
� �cm a
��� 7C, vemosqueao
baixarmosa temperaturaate o pontode congelamentodaaguaa barrasofreumavariacaodecomprimentoda-dapor @^] � ]e_ # Bgf 5 Bih %� # ����% # ��� �����ba � � J*c % # � 5 ����%� 5 �'� ��� ��� cm
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Portantoo comprimentoprocuradoe]kj��l]m0n@^]4� � � 5 �'� ��� ���o� &'� &�&�� � cm�
(b) Partindo-senovamentedos���
cm a��� 7
C, perce-bemoslogo queparachegara
� ��� ����&cm a temperatura
tera queaumentar. A matematicanosfornecesempreosinalcorreto.Como ] hqp ] , darelacao@^]T�r] f 5<]T�l]<_s@ B �l]e_ # Bgf 5 Bih %obtemosfacilmentea temperaturaprocurada:Bgf � Bih 0 ] f 5<]]e_ � ��� 0 ���'� ����& 5 � �# � ��% # ��� �����ta ��� Jc %
� ��� 04(��t� � � 7 C�
E 19-30.
Um cubodelataotemarestade � � cm. Qualo aumentodesuaarea,sea temperaturasubirde
���para ��� 7 C?� Aqui consideramosa equac¸ao da expansao superfi-
cial, comcoeficientededilatacao� au_ latao �r���na ��� Jvw7 d J"O 8ondetiramoso _ lataodaTabela19-3,pag.176.Portanto, @^D � D # � _ % @ � 8� # &�����% # ���ba � �9J*v�% # ��� %� ��� ��� � cm �P 19-36.
Uma barradeaco a� � 7Fd tem � cm dediametro.Um
aneldelataotemdiametrointeriorde��� &�&��
cma� � 7xd .
A quetemperaturacomumo anelseajustaraexatamentea barra?� Aposa mudanc¸a detemperaturao diametrodabarradeaco e y{z|�?y{z G 0;_$z y{z G @ �
ao diametrodoaneldelataoe yb}L��yb} G 04_q}~yb} G @ �
, ondey{z G a yb} G saoosdiametrosoriginais, _ z a _ } saooscoeficienteslinearesdeexpansao,e @ �
e a mudanc¸a datemperatura.A barraseajustara exatamentea barraquandotivermosy z �?y } , ossejaquandoy z G 0T_ z y z G @ � �?y } G 0T_ } y } G @ � 8
deondeobtemos@ �:@ � � y z G 5�y } G_ } y } G 5<_ z y z G� ��5 �9� &�&��# � & a � � Jv % # ��� &�&���% 5 # ��� a � � J*v % # � %� ����� 7 C�
Portantoa temperaturaprocuradae� � � �L0T�������l� ��� 7 C�
P 19-39.
Densidadee massadividida por volume. Comoo vo-lumedependedatemperatura,a densidadetambemde-pende. Mostreque,sea temperaturavariar de @ �
, avariacaodadensidadesera@b���P5u���L@ � 8onde � e o coeficientededilatacaovolumetrica.Expli-queo sinalnegativo.� Sabemosque @^�6�����$@ �
, ouseja,que@��@ � �?��� �Dadefinicaodedensidade�^�l� . � obtemos@b�@ � �65 �� @^�@ � � 5 �� ���
� 5 � � �m�P53��� �Comparandoasduasextremidadesobtemosque@b���P5u���L@ � �Quando@ �
epositivo,o volumeaumentaeadensidadediminui, ou seja, @4� e negativo. Se @ �
e negativo, ovolume diminui e a densidadeaumenta,isto e, @T� epositivo.
P 19-42.
A temperaturade uma moedade cobre aumentade� ��� 7Rde seudiametrocresce
�'��� �k� . De o aumentopercentual,com dois algarismossignificativos, (a) naarea,(b) na espessura,(c) no volume e (d) na massadamoeda.(e) Qualo coeficientededilatacao lineardamoeda?� (a) Comosabemosqueo coeficientedeexpansaosu-perficial e o dobro do coeficientede expansao linear,
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podemosafirmarimediatamentequeo aumentopercen-tual naareasera o dobrodo aumentopercentuallinear,ouseja
��� � � � .Mais formalmente,podemosver isto comparandoasformulas@^]] � _m@ � � ��� ���'� �@^DD � � _m@ � � # ��% # ��� ���'� � % � ��� � � � �(b) A espessura� da moedavaria linearmentee, por-tanto,suavariacao percentualcoincidecom a do itemanterior: @��� �r_^@ � � ��� ���'� ��� �'��� �k� �(c) A variacaonovolumee:@��� �?��_s@ � � # � % # ��� ���'� � % � ��� ��(�� �(d) Naohavariacaonamassadamoeda.(e)Qualquerdasrelacoesacimapodeserusadaparade-terminar_ . Porexemplo,usandoa do item(a) temos:@ AA �?_$@ � �r_ # � ����% � ��� ���'� � 8dondetiramosque_�� � �^a ��� J*v`7 d JwO �Percebaquepararesponderaositens(a)-(d) nao e ne-cessario conhecer-se _ . Estae a razao do livro pedirparadeterminar_ apenasaofinal doexercıcio.
P-46.
(a) Mostreque,seos comprimentosde duasbarrasdemateriaisdiferentessaoinversamenteproporcionaisaosseusrespectivoscoeficientesdedilatacao linear, a mes-matemperaturainicial, adiferencaemcomprimentoen-treelasseraamesma,atodasastemperaturas.(b) Quaisdevemseroscomprimentosdeumabarradeaco e ou-tra de latao a
� 7C, tais que,a qualquertemperatura,a
diferenca decomprimentoseja�'� � � m?� (a) A temperaturainicial, considere-seos compri-
mentosdasduasbarrasdadospor:] O�7 ���_ O e ]/ 7 ���_ 8onde � e aconstantedeproporcionalidade.Quandoa temperaturavariadeum @ �
, tem-se:] O ���_ O 0 � @ �e ]/ 1���_ 0 � @ �
A diferencaentreoscomprimentosiniciaisdasbarrase:
@^] 7 �r] Og7 5<] 7 � �_ O 5��_ � 8� � _ O 5<_� _ O _ �A diferenca entreoscomprimentosdasbarrasquandoatemperaturavarioude @ �
e:
@^] � ] O 5<] � � �_ O 0 � @ � 5��_$ 5 � @ �@^] � � _ O 5<_ _ O _$ @^] � @b] 7
(b) Sendo@^]P� ��8 � � m e osvaloresdoscoeficientesdeexpansaodoaco e do lataodadospor_ aco � ��� a ��� Jvw7 d J"Oe _�� z M��z 7 � � & a ��� Jvw7 d J"O 8
�'8 � � � � # ��& 5 ���>% a � � J*v��8���& a ��� J"O G� � � 8 ��(�a � � Jv
] Og7 � � 8 ��(�a � � Jv��& a � � J*v � ��8 ( � � � m
] 7 � � 8 ��(�a � � Jv��� a � � J*v � ��8 � � � � m@^] 7 � ��8 � � m�
P 19-50.
Uma barracomposta,de comprimento]���] O 0?]/ ,e feita de umabarrade material
�e comprimento] O ,
ligadaaoutradematerial�
ecomprimento]k (Fig. 19-18). (a) Mostrequeo coeficientede dilatacao efetivoparaestabarrae
_<� # _ O ] O 04_ ] %] �(b) Usandoaco e latao,dimensioneumabarracompos-ta de � �9� ( cm e o coeficientededilatacaolinearefetivo� �^a � � Jvw7�dbJ"O
.
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� (a) A variacaono comprimentodabarracompostaedadapor @^] � @^] O 0n@^]/ � ] O _ O @ � 0T]/ w_$ q@ �� # ] O _ O 0T]/ "_$ % @ �Poroutrolado,tambemtemosque@^]T�?][_;@ � � # ] O 0T] % _b@ � �Igualando-seasduasexpressoespara @b] obtemosque] O _ O 0T] _ � # ] O 04] % _ , ouseja,que_<� ] O _ O 04]k "_� ] �(b) Reescrevendoaexpressaoacimaeusandoo fatoque]/ 1�?]<5<] O , obtemos]k_��r] O _ O 0 # ]<5<] O % _ 8quenosda,com _ O � ��� a � � Jv
e _ � ��& a � � J*v,] O � _m5�_$ _ O 5�_ ] � � ��5 � &��� 5 � & # ��� � � ( %
� # � % # ��� � � ( %( �l� &�� � cm8
ondeja simplificamoso fatorcomum� � Jv
queaparecenonumeradoredenominadordafracao.Finalmente,] �r]<5<] O ��� �9� (�5�� &�� �t� � � ��� cm
�E claro queestevalor tambem poderiater sido obtidoindependentemente,subsituindo-se] O �?]u5�] naex-pressaoacimapara _ :]/ 1� _ O 5e__ O 5�_ ] � ��� 5 � ���� 5 � & # ��� � � ( %
� �'� � � (( � � � ��� cm�
P 19-54�Um cubo de alumınio de aresta
���cm flutua em
mercurio. Quantoafundara o cubo, se a temperaturasubirde
� � � para � ��� K? O coeficientededilatacaodomercurio e
��� ��a � � J�� . 7 d.� A forcadagravidadenocuboe � K�� � , onde� eo vo-
lumedocuboe � K eadensidadedemassadoalumınio.O empuxodomercurio nocuboe �9� � D1� , onde��� e adensidadedemassadomercurio, D e a areadeumadas
facesdo cubo,e � e a profundidadede submersao, demodoque D1� forneceo volumedomercurio deslocado.O cubo esta em equilıbrio, de modo que a magnitu-de das duas forcas e o mesmo: � K�� ������� � DN� .Substituindo-se���C] e D6�C] nestaexpressaoob-temos ��� � K��� ] �Quandoa temperaturamuda,todasastresquantidadesqueaparecemem � tambemmudam,sendotal mudanc¸adadapor@b� � � �� � K @;� K 0 � �� � � @b��� 0¡� �� ] @^]
� ]� � @b� K 5 � K ]� � @;�9��0 � K� � @^] �Primeiro, consideremosa mudanc¸a da densidadedoalumınio. Suponhamosqueumamassa¢ dealumınioocupeum volume � K . A densidadesera, portanto,� K �?¢ . � K , sendoa variacaodadensidadedadapor@b� K �
A � KA � K @�� K �65 ¢� K @�� K �65 � K� K @^� K �Comosabemosque @^� K �?��_s� K @ �
, encontramos@b� K �P5N��_q� K @ � 8onde _ representao coeficientede expansao linear doalumınio.Segundo,demodoanalogo,parao mercurio temos@b���¡�P5 �9�� � @��� �Agora porem, como tratamoscom um lıquido e naode um solido como acima, @���£�¤����E@ �
, onde� representao coeficientede expansaovolumetricadomercurio. Portanto@b�9�¥�653�w�9��@ � �Terceiro,temosque @b]T�?_$]k@ �
.Substituindoestestresresultadosnaexpressaopara @b�acimaobtemos:@b� � ]� � # 5N��_q� K @ � % 5 � K ]� � # 53�w�9�¦@ � %
0 � K��� # _$]k@ � %� � K� � ];§¨�E5 � _$© @ �� ��� �� � � �/# ����% : ��� ��a � � J� 5 # ��% # � �^a ��� J*v % = # � ��%� �9� ��� a ��� J cm � ���+�����
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ondeusamoso fatoque @ � �l� ��� 5 � � � �l� � K.� Solucao alternativa: Para o bloco flutuando nomercurio a
� � � K, peloPrincıpio deArquimedes,tem-se: � K � � � ª«�¬��)/V] � �� K ��] � � ��)ks] � � 8ouseja, �{� � K ���)/ ] �
(1)
Para � K ��� ��� �®a � � °¯�± .>² e ��)k?� ��� �ma ��� �¯�± .�² , a equac¸ao (1) fornece�4� ��� � ( m, ou seja,ocuboesta com
���% dasuaarestasubmersa.Mas todas
asquantidadesenvolvidasnaequac¸ao(1) variamcomatemperatura:@b��)/s��0n@b�/��)/ � @b� K ��]m0T@^]{� K � � (2)
E claroquea massado cubonaovariacoma tempera-tura: � K �³� � K ��] 8@b� K �³� @b� K ��] 04�I] @^]I� K �u� ��I] @^]{� K �´� 5®@;� K ��] ]`@b� K �´� 5E�o� K �w@^] (3)
Substituindoa Eq.(3) naEq.(2) temos:
@b� )/ ��0n@b�k� )/ � 5E�/@^]{� K � 0n@^]{� K �@b��)/$��0n@b�k��)/ � 5 � @^]{� K �@b��)/ � 5¦����)/V@ �5u����)ks@ � ��0n@b�k��)/ � 5 � @^]{� K �Trazendoo resultadodaEq.(1) paray:� 5��w��)k�@ � ! � � K �� )/ ] ! 0n@;�k��)k � 5 � @^]{� K �
@b� � ��]I� K � @ � 5 � ]k_ K � @ � � K ���)k@b� � � K ���)k ] � �E5 � _ K � ! @ �Introduzindoosvaloresdasquantidadesnaequac¸aoaci-ma,obtem-se,finalmente,
@b��� ��� ��� a � � J�m � ���+�����
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ExercıciosResolvidosdeTermodinamica
JasonAlfr edoCarlson Gallas,professortitular de fısicateorica,
Doutor em Fısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do SulInstituto de Fısica
MateriaparaaQUARTA prova. Numerac¸aoconformeaquarta edicaodo livro“FundamentosdeFısica”,Halliday, ResnickeWalker.
Estaeoutraslistasencontram-seem:http://www.if.ufrgs.br/� jgallas
Conteudo
20 Calor e� a Lei da Termodinamica 2
20.1 Questoes. . . . . . . . . . . . . . . . . 2
20.2 ExercıcioseProblemas. . . . . . . . . 2
20.2.1 A absorc¸aodecalorpor solidose lıquidos . . . . . . . . . . . . 2
20.2.2 Alguns casosespeciaisda pri-meiralei datermodinamica. . . 4
20.2.3 A transferenciadecalor . . . . 520.2.4 ProblemasAdicionais . . . . . 6
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20 Calor e� a Lei da Termodinamica
20.1 Questoes
Q-4.
O calorpodeserabsorvidoporumasubstanciasemqueestamudesuatemperatura.Estaafirmacao contradizo conceitodo calor comoumaenergia no processodetransferencia,devido a umadiferencadetemperatura?� Nao. Um sistemapodeabsorver calor e utilizar es-saenergia na realizacaodeum trabalho;a temperaturado sistemanao mudae nao e violado o princıpio daconservacaodaenergia.
Q-7.
Um ventiladornaoesfriao arquecircula,maso esquen-ta levemente.Comopode,entao,lhe refrescar?� O movimento do ar estabeleceuma correntedeconveccao, com o ar maisquentesubindo,e o ar maisfrio ocupando-lheo lugar, refrescandoo ambiente.
Q-14.
Voce poe a mao dentrode um forno quenteparatirarumaforma e queimaseusdedosnela. Entretanto,o aremtornodelaesta a mesmatemperatura,masnaoquie-maseusdedos.Porque?� Porquea forma,feita demetalcomoo alumınio, porexemplo,conduzmuitomelhoro calordoqueo ar.
Q-20.
Osmecanismosfisiologicos,quemantematemperaturainternadeum serhumano,operamdentrodeumafaixalimitada de temperaturaexterna. Expliquecomo essafaixapodeseraumentada,paraosdoisextremos,comousoderoupas.� No verao, usam-seroupasclaras, que refletem aradiacao, e soltas,que favorecema conveccao do ar,ventilandoo corpo. Com as roupasmais grossasdeinverno, a camadade ar junto da pele, aquecidaporirradiacaodocorpo,funcionacomoisolantetermico.
Q-27.
Discutao processopeloo quala aguacongela,dopontode vista da primeira lei da termodinamica. Lembre-seque o gelo ocupaum volume maior do que a mesmamassadeagua.� Pela primeira lei, tem-separa o processo��������
. O calor Q e removido da agua,e, portanto,iguala
� ��, o calordefusaodogelo.O trabalhoeda-
dopor� ��������� ����� , sendop apressaoatmosferica.��� e maiorque ��� , sendoo trabalhopositivo. Entao,a
variacaodaenergia internae ����� � ��� � , sendo,portanto,negativa.
Q-31.
Porqueaspanelasdeaco frequentementepossuemumaplacadecobreoualumınio no fundo?� Porqueo cobree o alumınio conduzemmaiseficien-tementeo calordoqueo aco.
20.2 ExercıcioseProblemas
20.2.1 A absorcaodecalor por solidose lıquidos
E-6.
Quantaaguapermanecelıquidaapos !#"�$&% kJ de calorseremextraıdosde %('(" g deagua,inicialmentenopontodecongelamento?� E necessarioextrair� �*) � �+�,"�$&%#'-"-�.�,/(/-/-01�2�*3�$4'-'65879"(: J
parasolidificartodaamassadeagua.Comos !1$4";%<5=7>" :Jextraıdos,so epossıvel solidificarpartedaagua:
)@?�� � ? � � !A$&"-%65 7>" :/1$&/(/B5 7>"(C ��"1$.7D!#" kg
Portanto,
�6)E�F) )@?��*%('(" 7>!#"G�H7(7>" g
permanecemnoestadolıquido.
E-13.
Um objetode massade '�$4"-" kg cai de umaalturade!("1$&" m e,por meiodeumaengrenagemmecanica,gira
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umarodaquedesloca"�$4'-"(" kg de agua. A aguaestainicialmentea 7D!JI2K . Qualo aumentomaximodatem-peraturadaagua?� A energiapotencialgravitacionalperdidapeloobjetonaquedae:� �F)JLAMN�+�,'�$4"-"-�O�QP1$&3("-�.�Q!("-���R%#P(S-"1T1$quecorrespondema
� �VUW";%A$&/#S cal. O aumentodetemperaturaproduzidonaaguaserade:� � )@?9X<�6YU#"-%A$&/#S�X.Z;[\� �Q'("("]LA�.� 7($&"^XOZ_[La`<b �c�dY<� 7D! ` �7($97DUe� Y<� 7>! `Y<� � 7>'1$.7WU ` bgfP-18.
Calculeo calorespecıfico de um metala partir dosse-guintesdados.Um recipientefeito do metaltemmassade /�$4' kg e contem 79S kg de agua. Uma peca de 7($&3kg destemetal,inicialmentea 7>3("hIiK , e colocadaden-tro da agua.O recipientee a aguatinhaminicialmenteatemperaturade 7>'�IiK eafinaldosistemafoi de 7>3�IWK .� A aguaabsorvepartedocalorcedidopelapeca:�
agua � ) agua X agua �6Y� �j7.S;"("("]LA�.�k7($&" XOZ_[Ll`<b �O��%A$4" ` bm�� %(3("-"("^XOZ_[O recipientefeito do metalabsorveoutrapartedo calorcedidopelapeca:�mnporq,sut � ) nporq,sut X nporq,svt �6Y� �,/-'("("]LA�.�Q%A$&" ` bm�kX nporq,svt� U#%("("^X nporq,sutO calorcedidopelapeca e iguala:�
peca �w) peca X metal �xY � �k793-"("iL1�O�j79';% ` bm�1X metal� %#P17>'("-"^X metal
Reunindoasquantidadescalculadas,vem:�agua y � metal � �
peca%(3("("-" y U#%("("^X metal � %#P17>'("-"^X metal%#3-"("-"z� %#3#S-S-"-"^X metalX nporq,svt � "1$4"-P(3^X.Z;[r{>L ` bgf
P-24.
Um blocodegelo,emseupontodefusaoe commassainicial de !("1$4" kg,deslizasobreumasuperfıciehorizon-tal, comecandoa velocidadede !A$4/-3 m/s e finalmenteparando,depoisdepercorrer%#31$&/ m. Calculea massadegeloderretidocomoresultadodoatritoentreo blocoe a superfıcie. (Suponhaque todo o calor produzidopeloatritosejaabsorvidopeloblocodegelo.)� A desacelerac¸aodoblocoe dadapor:|;} � |_}` %^Z�~ZB� ��!A$4/-3-� }��%(�O��%#3�$4/(";� �F"1$v!A7-7�)�{#� } fO calorproduzidopeloatrito e dadopor:� � � � )�Z�~� ��!#"�$4"�0;L1�O�Q"1$v!A7(7�)�{(� } �O��%#3�$4/("^)��� U(%#/�$4'17hTA massadegeloderretidoe:� � ) �) � U(%#/1$&'17]T/1$&/(/B5 7>" C T�{#0_L) � "1$&"("-%�0;L�fP-30.
(a) Doiscubosdegelode !#" g saocolocadosnumvidrocontendo%#"-" g deagua.Sea aguaestava inicialmentea temperaturade %(!�I2K e se o gelo veio diretamentedo freezera
7>!mIiK , qual sera a temperaturafinal dosistemaquandoaaguaeo geloatingiremamesmatem-peratura?(b) Supondoquesomenteum cubode gelofoi usadoem (a), qual a temperaturafinal do sistema?Ignorea capacidadetermicadovidro.� (a)Sea aguaresfriarate "]I>K , o calor fornecidoporelasera de�
agua �F) agua X agua �6Y � �Q%("("iL1�O�j7($&" XOZ_[L�`.b �.�Q%(! ` bm�� !#"-"("gXOZ_[Parao gelochegara " ` b , necessita-se:�m�uo�t ` � ) �Oort ` X �Oort ` �6Y� �j79"-"iLA�.�,"�$&!#/ XOZ_[Ll`9b �O�j7>! ` bm�� U#P-!gXOZ_[
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Parafundir o geloseriamnecessarias:� ?��F) �Oort ` �� �+�k7>"("iL1�O�rUWP�$&!]XOZ_[r{>L1����U#P-!#"gXOZ_[Entao o calor fornecidoderretera so partedo gelo. Ocalordisponıvel sera:
!#"-"(" UWP-!m�FS;%#";!�X.Z;[Comessaquantidadedecalor, pode-sefundir
) �Oort ` � � � � S_%#";!UWP�$&! �R!#/hLPortanto,ter-se-a uma misturade aguae gelo a " ` b ,restando79"-" !#/ ��SAU g de gelo. (b) Seapenasumcubodegelofor adicionadoa agua:� �Oort ` �F) �Oort ` X �uo�t ` �6Y � �Q!("-�.�,"1$v!#/;�O�," � 7D!(�j�� /(P_U_$v!hX.Z;[
�Fusao �F) �Oort ` � ��!#"iL1�O�rUWP1$v!]XOZ_[�{DLA�� /-P;U#!hXOZ_[� �Oort ` y � Fusao �FS;/;U#%1$&!("�XOZ_[kf
Agora o calor fornecidopela aguasera suficienteparaderretertodoo gelo. A temperaturafinal do sistemaes-tara algoacimadatemperaturadefusao:� ? �uo�t ` � ) �Oort ` X agua �6Y� ��!#"iL1�O�j7($&" XOZ_[L ` b �.�dY � " ` �� !("]Y ��G�c�2�;�������v�^� � �m�uo�t ` y � Fusao y � ? �uo�t `� S;/;U(%A$&!(" y !#"^Y f�m��� �^�v�^� � ) agua X agua �6Y� ��%#"-"iLA�.�k7-$4" XOZ_[L ` b �.�dY � %(! ` �
� �c�2�;�����<�v�^� y �m��� �^�v�^� � "S;/;U#%1$&!(" y !#"]Y<� y %#"("^Yc� !#"-"("�� "%(!("#Y � �*'_U#%A$v!#"Y � �R%A$&!17 ` bgf
P-/#S�f��Dois blocosde metalsao isoladosdeseuambiente.Oprimeiro bloco, quetem massa)�����/1$979' kg e tem-peraturainicial Y � ��7DUA$4" ` C, tem um calor especıfico
quatrovezesmaior do queo segundobloco. Esteestaa temperaturaY } �RS_U ` C e seucoeficientededilatacaolinear e 7D!A$&"J5�79"1���9{ ` b . Quandoos dois blocossaocolocadosjuntos e alcancam seuequilıbrio termico, aareadeumafacedo segundoblocodiminui em "1$&"(/-"("%. Encontreamassadestebloco.� O calorabsorvidopeloprimeiroblocoe:�G�c�2�;�������v�^� �w)���X9�]�dY � Y � ���F/�$.79'�X9�2�dY � 7DU ` �O calorcedidopelosegundoblocoe:� ��� �^�v�^� �*) } X9�S �,Y � Y � ���w) } X9�S �,Y � SAU ` �A variacaonaareadeumadasfacesdosegundoblocoeexpressapor:
�B� } ��� } %^���dY � S_U ` ��B� }� } �R%]�N�,Y � SAU ` ��� "1$4"-"("-/�Q%-�O�j7>!A$&"B5 7>" ��� �O�dY � SAU ` ��� "1$4"-"("-//("B5879" ��� Y � 7($jS�7�5 7>" �� � "1$4"-"("-/
Y<�x� 7($97(7�5 7>"A�� /("B5879" ��� �F/;U ` bEquacionandooscalores,cedidoeabsorvido,vem:�m��� �^�v�^� y � �c�i�-�����<�v�^� � " ) } X �S �k7>"-� y /1$979'^X9����%#"-��� "
%A$&!]) } �F'-/1$v%) } �*%-!A$v%#3�0;L�f20.2.2 Algunscasosespeciaisdaprimeira lei da ter-
modinamica
P-42.
Quandoumsistemapassadeumestadoi paraf peloca-minhoiaf naFig. %#" %#/ , � �R!#" cal. Pelocaminhoibf,� ��/(' cal. (a) Qualo trabalhoW parao caminhoibf?(b) Se
� � 7>/ cal parao caminhocurvo deretornofi, qual e Q paraessecaminho?(c) Seja �¢¡�£�¤D¥�¦ £���7>"cal. Quale �B§ �©¨ q ¦ � ? (d) Se �B§ �ª¨ q ¦ « �R%(% cal,quaisosvaloresdeQ paraosprocessosib e bf?� (a) Daprimeiralei tem-se�B§ �ª¨ q � �R�� :
�6§ �©¨ q �R!#" %("x�F/-"gX.Z;[http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina4 de7
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/-"G�*/-' ¬� �ª« � �®« ��'1$4"�XOZ_[(b) Dado
� �>� � 79/�XOZ_[ e sabendo-sedo ıtem(a) que�B§ �ª¨ q ¦ �>� � /-"gX.Z;[ , vem /("m� � �>� � 79/;�� �>� � S-/gXOZ_[(c) Dado o valor �B§ �ª¨ q ¦ � � 79"�XOZ_[ , com o valor�B§ �ª¨ q �F/("�XOZ_[ do ıtem(a), vem�B§=�ª¨ q ¦ � �B§=�ª¨ q ¦ �2��/("�XOZ_[�B§=�ª¨ q ¦ �x�*S-"�XOZ_[(d) Dadoo valor �B§ �ª¨ q ¦ « �+%(%BXOZ_[ , parao processoibtem-se: �B§ �ª¨ q ¦ �®« �R%(% 7>"G�¯7D%hX.Z;[
�B§ �ª¨ q � � �ª« �� �ª«7>%�� � �ª« '�$4"� �®«°� 7>3�XOZ_[E parao processobf tem-se:�B§ �ª¨ q ¦ «r� �R�B§ �©¨ q2 �B§ �ª¨ q ¦ �ª« �*/-" 7D%m��793�XOZ_[� «�� �*"�$ � «r� �*�B§ �ª¨ q ¦ «r� �H793�XOZ_[kfP-S-/1f��
Um cilindro possuium pistao de metal bem ajustadode %1$4" kg, cuja areada secao reta e de %A$&"�±O² } (Fig.20-24). O cilindro contemaguae vapora temperaturaconstante.Observa-sequeo pistaodescelentamente,ataxade "1$&/(" cm/s,poiso calorescapadocilindro pelassuasparedes.Enquantoo processoocorre,algumvaporsecondensana camara. A densidadedo vapordentrodelaede '�$4"�5@79"1� :]³ {W±O²� eapressaoatmosferica,de7($&" atm. (a) Calculea taxade condensac¸ao do vapor.(b) A querazaoo calordeixaa camara?(c) Quala taxadevariacaodaenergiainternadovaporedaaguadentrodacamara?� (a) Expressandoa massadevaporemtermosdaden-sidadee dovolumeocupado,) ���c´<��� �Fµ ���c´<��� �B�H�Fµ ���c´<��� � �x¶�$a taxadecondensac¸aodevaporsera:· ) �<�c´<���·^¸ � µ �<�c´<��� � · ¶·�¸· ) �<�c´<���·^¸ � �,"�$4'm0;L�{D) �O��%A$&"¢5 7>" � :c) } �p5�Q/1$&"¢5 7>" �� )�{#�D�· ) �<�c´<���·^¸ � /1$&'B5 7>" ��¹ 0;L�{#�h�*"�$4/('h)JL1{(�
(b) O calordeixaacamaraa razaode:· � ���c´<���·�¸ � a���c´<��� · ) ���c´<���·�¸· �x���c´<���·�¸ � �Q%-%#'("�0�T�{#0_LA�.�,/1$&'B5 7>" ��¹ 0;L�{#�D�� "1$&317hT�{(�(c) A taxaderealizacaodetrabalhoe:· �·^¸ � )�º �®» q�¼s ` L · ¶·�¸· �·^¸ � �Q%1$4"m0;L1�O�QP1$43g)�{#� } �.�,/�$4"¢5879" �� )�{(�>�· �·^¸ � "1$&"('6T�{#�No ıtem (b), a taxa calculadae a do calor que dei-xa a camara,sendoentao negativa, de acordocom aconvencaodesinaisadotada.Tambemnoitem(c), o tra-balhoporunidadedetempoe realizadosobreo sistema,sendo,portanto,negativo. Reunindoessesresultadosnaprimeiralei, chega-sea taxadevariacaodaenergia in-ternanacamara:· § �ª¨ q·�¸ � · �·^¸ · �·�¸· § �ª¨ q·�¸ � "�$4317 � "�$4"-'-�]� "1$uU#!GT�{#�-f20.2.3 A transferenciadecalor
E-48.
Um bastaocilındricodecobre,decomprimento7($v% me areade secao retade S�$&3�±O² } e isolado,paraevitarperdade calor pela sua superfıcie. Os extremossaomantidosa diferenca de temperaturade 79"-" I K , umcolocadoemumamisturaagua-geloe o outroemaguafervendoe vapor. (a) Ache a taxa em que o calor econduzidoatravesdo bastao. (b) Achea taxaemqueogeloderretenoextremofrio.� (a) Comosdadosfornecidos,maiso valordacondu-tividadetermicadocobre,0��*S-"�7^½�{D²�f ¾ , tem-se:
¿ � �dS;"17 � {W)RÀ �.�dS�$4365 7>" � : ) } �.�k7>"("^À8�7-$&%i)� 79'�$4" J/s
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LISTA 4 - Prof.JasonGallas,IF–UFRGS 25deFevereirode2004, as4:43a.m.
(b) Daequac¸aoparaa conducaodocalorvem:· �·(¸ � ¿ � � · ) �Oort `·-¸· ) �Oort `·-¸ � ¿ � � 7>'1$&"lT�{#�/(/(/�0�T�{#0;L �Á"1$4"(S-3�L1{(�-fP-55
Um grandetanquecilındricodeaguacomfundode 7($uUm dediametroe feito de ferro galvanizadode !A$v% mmde espessura.Quandoa aguaesquenta,o aquecedoragasembaixomantem a diferenca de temperaturaentreassuperfıciessuperiore inferior, dachapadofundo,em%A$&/ ` C. Quantocalor e conduzidoatraves dessaplacaem !A$&" minutos? O ferro tem condutividadetermicaiguala ';Up½�{D²w¾ .� A areadachapae �R�F · } {DS6�R%A$&%;U m} . A taxadeconducaodocalore¿ � 0l�Ã�6Y � �Q';U#�.�Q%1$&%-U(�O��%A$4/;�"1$4"-"-!-% ��';U(%-UA7 �O calorconduzidono intervalode !1$4" minutossera:� � ¿ � ¸ � �Q';U#%;U_7 � �.�,/-"("��D�� %1$4"-%65879" ¹ J �\%("1$&% MJ
P-58.
Formou-segeloemumchafarizefoi alcancadoo estadoestacionario,comaracimadogeloa
!1$4" ` C eo fundodo chafariz a S�$4" ` C. Sea profundidadetotal do gelo+aguafor 7-$jS m, qual a espessurado gelo? Suponhaqueascondutividadestermicasdogeloe daaguasejam"1$4S-" e "1$97>%p±9Ä#Åd{D²�IDKJÆ , respectivamente.� No regimeestacionario,astaxasdeconducaodo ca-lor atravesdogeloe daaguaigualam-se:
0 agua � �dYcÇ YcÈ-� agua
�R0 �Oort ` � �dYcÈ Y � � ^�Oort `Mas YcÈ , a temperaturanainterface,e " ` C:�,"�$.7>%-�O�,S�$4";�7($jS � �Oort ` � �,"�$jS;"-�O��!A$&"-� �Oort ` �Oort ` � 7($979/h) f
20.2.4 ProblemasAdicionais
P-62.
Quantoscubosdegelode %#"�$4" g, cujatemperaturaini-cial e
7>" ` C, precisamsercolocadosem 7($&" L dechaquente,com temperaturainicial de P(" ` C, paraque amistura final tenhaa temperaturade 79" ` C? Suponhaquetodoo geloestara derretidonamisturafinal e queocalorespecifico dochasejao mesmodaagua.� Considerandoos valoresparaos caloresespecıficosda aguae do gelo, X agua �ÉS�7>P("�T�{#0_L�À e X �uo�t ` �%-%(%("8T�{(0;L�À , o calor extraıdo do gelo paratraze-lo atemperaturadefusaoe:� � �F) � X � �6YÁ�Á) � �Q%(%-%#";�O�k7>"-�8�\%(%(%("("]) � ��T��Parafundir o gelo:� } �F) �� � �\/(/-/("-"("]) � �kT��uÊParaaquecero geloderretidode " ` C a 79" ` C:� � ) � X agua �6Y� ) � �dS�7>P("xT�{#0;L�À8�O�j79"^À8�� S�79P("-"]) �uo�t ` ��T��ufO calorremovido docha e:� : � ) agua X agua �xY� �j7($&"�0_LA�.�dS�7>P("xT�{#0;L�À8�O� 3("^À8�� /-/-!-%#"(" JfReunindotodososvalorescalculadosacima,vem:� � y � } y � ¬� : �*"�Q%-%(%#"-" y /-/(/("-"(" y S�79P("-"-�_) � �Ë/(/-!-%#"-"/-P;UW"-"("]) � �\/-/-!-%#"(") � �\"�$43#S-S�0_L�fComocadacubotem ) � �Ì"1$&"-%#" kg, deve-seacres-centaraocha ÍE�ÌÎ ¦ Ï :4:Î ¦ Î } ÎÑÐ S_% cubosdegelo.
P-63.
Umaamostradegasseexpandeapartirdeumapressaoeumvolumeiniciaisde 79" Pae 7($&"a²¢ paraumvolumefinal de %A$&"g²¢ . Durantea expansao,a pressaoe o vo-lumesaoobtidospelaequac¸ao �Ã�HZl� } , onde ZJ�7>"Ò {D² Ï . Determineo trabalhorealizadopelogasdurante
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a expansao.
� O trabalhorealizadopelagasnaexpansaoedadopor
· � �Ó� · �Ô�ËZa� } · �
Integrandodovolumeinicial � � ateo volumefinal � � :� � Z Õ �DÖ�9× � } · �� � ZlØ �G /ÚÙ
�>Ö� × �\Z@Ø �x �/ �m �/ÚÙ� � �j79"^ÛN{D) Ï ��Ø 3/ 7/ Ù �,)@Ü>�� � %(/1$4/-/GT1f
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ExercıciosResolvidosdeTermodinamica
JasonAlfr edoCarlson Gallas,professortitular de fısicateorica,
Doutor em Fısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do SulInstituto de Fısica
MateriaparaaQUARTA prova. Numerac¸aoconformeaquarta edicaodo livro“FundamentosdeFısica”,Halliday, ResnickeWalker.
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Conteudo
21 A Teoria CineticadosGases 2
21.1 Questoes. . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2 Exercıciose Problemas. . . . . . . . . 321.3 ProblemasAdicionais . . . . . . . . . . 9
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21 A Teoria CineticadosGases
21.1 Questoes
Q-5.
Duassalasdemesmotamanhosecomunicampor umaporta aberta. Entretanto,a media de temperaturanasduassalase mantidaa valoresdiferentes.Em qualsalahamaisar?� Pelaequac¸ao do gas ideal
���� � constante,seapressaoeamesmanasduassalas.Entao ����� � �� �� .Se � ����� , tem-se�� ����� , ou seja,ha maisar nasalacujatemperaturaemaisbaixa.
Q-12.
Por que a temperaturade ebulicao de um lıquido au-mentacomapressao?� Comapressaoexternamaioraplicadasobreo lıquido,as moleculasprecisamter uma energia cineticamaiorparavencerasforcas(fracas)queasuneme ”escapar”ou evaporar. Umaenergiacineticamaiordasmoleculassignifica uma temperaturamaior. A grandesaltitudesacima do nıvel do mar, no topo das montanhas,on-dea pressaoatmosfericae menor, a agua,por exemplo,podeferverauns ����� C; aonıveldomar, fervea ������� C.
Q-19.
Que evidencia direta temos para a existencia dosatomos?E indireta?� Naopercebemosdiretamenteaexistenciadosatomos,masindiretamentesim, e de muitas formas. Quandosentimoso vento no rosto ou o interceptamoscom apalmada mao, sabemosque se trata de um gas, cu-jas partıculas em movimento, exercemforca sobreasuperfıcie emqueincidem. Fenomenosobservadosco-mo o movimento Browniano ou o efeito fotoeletricotambem indicam claramenteque todasas substanciassaoformadasporestasminusculaspartıculas.
Q-25.
De umaexplicacaoqualitativa daconexaoentreo livrecaminhomediodasmoleculasdeamonianoareo tem-po queseleva parasentiro cheiroda amonia,quando
umvidro e abertodooutroladodeumasala.� O tempotıpico parasesentiro cheiroe decercadeum minuto. As moleculasde amonia difundem-senoar, tendoumlivrecaminhomediodaordemde ����� � m,sofrendodaordemde ����! colisoespor segundo.Comoasmoleculasmovem-seemtodasasdirecoesdevido ascolisoes,precisamdestetempoparaatravessarumasa-la. O movimentodasmoleculastambemeafetadopelascorrentesde convecao do ar, em geralpresentesnumasala.
Q-28.
As duasparedesopostasde um recipientede gas saomantidasadiferentestemperaturas.O arentreosvidrosde uma janelacontratempestadee um bom exemplo.Descreva,emtermosdeteoriacinetica,o mecanismodeconducaodocaloratravesdogas.� O calore transferidonogasporummecanismocom-binadode conducao e conveccao. As moleculasde arpro ximasdaparedemaisquentetemenergiamaiorquea energia mediae perdemenergia nascolisoescom asmoleculasquetem energia maisbaixa,queestao maisproximasdaparedemaisfria. Mashatambemumtrans-portedemassanoprocesso,porqueo ar juntodaparedequenteexpande-se,tendosuadensidadediminuıda. Oar maisfrio vai ocupandoo lugardeixadopeloar maisquente,estabelecendo-seumacorrentedeconvecaoen-treasparedes.
Q-32.
Quetipo deobservacaoforneceriaboaevidenciadequenemtodasasmoleculasdeum corpoestaosemovendocoma mesmavelocidadea umadadatemperatura?� Um fenomenoqueforneceboaevidenciade queasmoleculasnao se movem a mesmavelocidadea umadadatemperatura,e o processode evaporac¸ao de umlıquido, em queasmoleculasmais rapidassao asquemaisfacilmenteescapamdasuasuperfıcie.
Q-37.
Expliquecomopodemosmanterum gasa umatempe-raturaconstante,duranteumprocessotermodinamico.� O processono qual a temperaturamantem-secons-tante,chama-seisotermico. Paraquea temperaturasemantenhaconstanteduranteo processo,asvariacoesnas
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outrasgrandezas(pressao,volume)devemserefetuadasmuito lentamentee deve haver transferenciade calor.De um modogeral,asgrandezasQ, W e "$# int naosaonulasnosprocessostermodinamicos. Parao gas ideala energia internaso dependeda temperatura;seestaeconstante,"$# int e nulae % �'& .
Q-40.
Expliquepor quea temperaturadeum gasdiminui emumaexpansaoadiabatica.� Nao havendoqualquertrocade calor, pelaprimeiralei da termodinamica,a variacao da energia internaeigual aotrabalhorealizadonaexpansao,quee positivo.Portanto,aenergiainternadogasdiminui, o quecorres-pondea umadiminuicaodatemperaturadogas.
21.2 ExercıcioseProblemas
P-3.
Se as moleculasde aguaem ��()��� g de aguafossemdistribuıdas uniformementepela superfıcie da Terra,quantasmoleculashaveriaem ��()��� cm dasuperfıcie?� A massamolarM daaguaede �*�+()� g/mol. O numeroN demoleculasnamassade ��(,��� g e dadopor:- �/.0 -
A � 1 ��()���32 154 ()�36879��� ,: 2���� ; ( ;=<�< 7>�*� ) moleculas
A areaA daTerrae ? �@<�A�B �DC (E�87F�*� � � cm . Onumerodemoleculasporunidadedeareae entao:- ? � ; ( ;�<�< 7>�*� , C (*�G79��� � � � 4 C�C � moleculas/cm IHP-13.
(a) Qual o numerode moleculaspor metrocubico noar a 6���� C e a pressao de ��()� atm (= ��()�+�$7J�*��K Pa)?(b) Qual a massade ��(,� m: dessear? SuponhaqueL C % dasmoleculassejamdenitrogenio(
- ) e 6 C % deoxigenio( M ).� (a) Daequac¸aodogasideal:NPO � � B Q(R� � --
A
- O � N -AB � 1 ��()�+�G79����K*2 1S4 ()��687>�*� ): 21 �T( ; �I2 1 6�U ; 2� 6T( C 7>�*� K moleculas/m:
(b) As massasmolaressao0WV�X � � 4 ()� g/mole
0FYZX �� < (,� g/mol. O numerototaldemolesnaamostradegase: � T � NPOB �[< ��( < � moles
Paraospercentuaisindicados,� V�X � �+( L C 7 < ��( < � �; ��(*��� molese � YZX � �+(,6 C 7 < ��( < � � �*�T( ; L moles.Asmassasdosgasesserao:. V X � � V X 0FV X � 1 �*�T( ; L 2 1 � 4 (,��2 � � 4�4 g. YZX � � YZXE0FYZX � 1 ; ��(E����2 1 � < ()��2 �\<3; 4 g
A massatotaldegase . T � 4 ��6 g.
P-15.
Uma amostrade ar, queocupa �T(*� < m: a pressao ma-nometricade ��(,� ; 7]����K Pa,seexpandeisotermicamenteate atingir a pressao atmosfericae e entao resfriada,apressaoconstante,atequeretorneaoseuvolumeinicial.Calculeo trabalhorealizadopeloar.� Comecandopeloexpansaoisotermica:N_^5O_^ � NP`3O_` (O ` � O ^ N ^NP` � 1 �T(E� < 2 1 ��(,�T�ba[��()� ; 2c79����K��(,�T�G7>�*� K � �T(,6�� m NP^5O_^ � � B � 6T()� C 4 7>�*��d J& isotermico � � B feg� O `O ^& isotermico � 1 6T()� C 4 79��� d 2�eS�ih �T(,6���T(E� <�j � ��(,U��$79��� d JHParao processoisobarico,& isobarico � N 1 O `lk O ^ 2& isobarico � 1 ��(,�T� 7m��� K 2 1 �T(*� < k �+(,6=�32 � k ��( < �P7i�*��d JHO trabalhototal realizadopeloar eentao:& T � 1 ��()U�� k ��( < �I2�7>�*��d �nC ( L 79��� : JHP-20.
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Um tubodecomprimentoo � 6 C ()� m, abertoemumadasextremidadescontemar a pressaoatmosferica. Elee colocadoverticalmenteemum lagodeaguadoce,atequeaaguapreenchametadedotubo,comomostradonaFig.6T� k � 4 . Quala profundidadeh dapartesubmersadotubo?Considerea temperaturacomosendoamesmaemtodoo lugare constante.� Sea temperaturae constante,entao NPO � � B �constante. A pressaodoar, ocupandoagoraametadedovolumedotubo,e dadaporN ^ O ^ � N ` O `N � oc? � N o 6 ? p N � 6 N �A pressao N fundo do lagoedadapor:N
fundo � N aFq�r o 6Nfundo � 6 N � asq�r o 6
A mesmapressao N fundo, calculadaa partir dasuperfıciedo lagoedadapor N
fundo � N � aFq�r�tIgualandoasduasequac¸oesparaN fundo, vem:6 N � asq�r o 6 � N � aFq�r�tN � � q�r 1 t k o 6 2t � o 6 a N �q�rt � ��6T( C a ��()�+�G79����K1 �*������2 1 U+()��2 � 6�6�( 4 � m
P-23.
O recipienteA, naFig. 6�� k � L , contemum gasidealapressaode C (,�u7v�*��K Pa e a temperaturade ; ��� K. Eleesta conectadopor um fino tubo ao recipienteB, quetemquatrovezeso volumedeA. O B contemo mesmogasideal,a pressaode ��()�w7v�*��K Pa e a temperaturade< ��� K. A valvula de conexao e abertae o equilıbrio eatingidoaumapressaocomum,enquantoa temperaturade cadarecipientee mantidaconstante,em seuvalorinicial. Qualapressaofinal dosistema?� As temperaturasnosdois recipientesnaosealteramcoma aberturadavalvula.A pressaofinal deequilıbrio
sera indicadapor p. Comosdadosfornecidos,calcula-seo numerodemoles� A e � B degasemcadarecipienteantesdaaberturadavalvula.Depois, essesnumerossao��x A e ��x B eo numerototal demolesnosdoisrecipientesen: O
AB A
� � ANA
� ��x ANParaumvolumeunitario:� A � N
AB A
� C (,�w79����K�ylz1 �T( ; �|{_} .�~ e H � 2 1 ; ��� � 2� 6����+( C 4 moles
� B � < N BB B
� 1 < 2 1 ��(,�w79����K�ylz�21 �+( ; �|{_} .�~ e H � 2 1 < ��� � 2� ��6��T( ;=< moles� A aF� B ��; 6=�+()U�� moles��x A as��x B � �� A ANA
� ��x A AN � � B B< N B
� ��x B B< N��x A AN � ��x B B< N��x A � ��x B B< A
� �T( ;�;�; ��x B�+( ;�;�; ��x B aF��x B � ���x B � ; 6=�+()U����( ;�;�; � 6 < �+( 4 � moles��x A � ���T(�6�6 moles
E, finalmente,obtem-sea pressao:N x A � ��x A� A
H NA � h ���T(�6�66����+( C 4 j 1 C ()��7i�*� K 2 � ��(,U�U�7m��� K Pa
E-28.
(a) Encontrea velocidadequadratica media de umamoleculadenitrogenioa 6���� C. (b) A quetemperaturasa velocidadequadraticamediasera a metadee o dobrodessevalor?� (a) A massamolardamoleculade
- e0 � 6=�T(,�
g/mol:
�rms ��� 1 ; 2 1 �+( ; �|{_} .�~ e H � 2 1 ; �+� � 2�+()�36=��r+} .�~ e ��C � L ( 4 � m/s
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(b) A metadeda � rms do ıtem(a) e iguala 6 C �T(,� < m/s.Atemperaturacorrespondentesera:Qx � 0 �
rms;�B � L C (,6 C K1�� k �*U�� � C2
O dobroda � rms do ıtem (a) e igual a ��� ;�C ( ; 4 m/s. Anovatemperaturasera:Qx�x � 0 �
rms;�B � �I6=� < K1�� U ; � � C2 H
P-30.
A densidadedeumgasa 6 L ; K e ��()���G7��*��� atmede��(�6 < 7������ K g/cm: . (a) Encontrea velocidade� rms paraasmoleculasdo gas. (b) Achea massamolardo gaseidentifique-o.� (a) Escrevendoa equac¸aodo gasidealemtermosdamassadaamostraedamassamolarM dogas,tem-se:NB � .0 O ( onde . O � q HA massamolar e
0 ��� ���� e a velocidadequadratica
mediapodeentaoserexpressapor � rms �D� : �� e obtida
comosdadosfornecidosacima:�rms � � 1 ; 2 1 ��(,�T�G79��� : ylz�2�T(,�T�I6 <c� r+} . : ��< U < ( ; 6 m/sH
(b) A massamolarM vale:0 � q B N� 1 �+()�T�I6 <c� rT} . : 2 1 �T( ; �|{_} .�~ e H � 2 1 6 L ; � 2��()�+�G79��� :� �T(,��6 L U kg/mol
Na tabeladePropriedadesdosElementos,ApendiceD,encontramosa massamolardo nitrogenio,que,na for-mamolecular, temmassa
0 � 6��T(,� g/mol.
P-36.
Mostrequea equac¸aodo gasideal (Eq. 21-4)podeserescritanasformasalternativas: (a) N � � ���� , onde q ea densidadede massado gase M, a massamolar; (b)NPO � - � , ondeN e o numerode partıculasdo gas(atomosoumoleculas).
� (a) Na equac¸ao do gas ideal, o numeron de molespodeser expressopor � ���� , ondem e a massadaamostradegaseM, a suamassamolar:N ��. B 0 O ( onde . O � q_(N � q B 0 H(b) O numerodemolesdaamostradegastambempo-de ser expressaem termosde N, o numero total departıculase o numerode Avogadro: � � �� A
. Lem-
brandoque �$� �� A, vemN O � - � H
P-43.
Em um certoaceleradorde partıculas,os protonsper-corremumcaminhocirculardediametrode 6 ; ()� m emumacamaraondeapressaoe ��()���b7l�*�T�P� mmdeHg eatemperaturae 6=U C K. (a) Calculeo numerodemoleculasdegaspor centımetrocubico,a estapressao. (b) Qualo livre caminhomedio dasmoleculasde gassobestascondicoes,seo diametromolecularfor de 6�(,���w7>�*��� �cm?� (a) Em unidadesdo SistemaInternacional,a pressaodadae igual a N � ��( ;�; 7������ d Pa. Expressandoonumerode molesem termosdo numerode partıculas,� � �� A
, daequac¸aodogasidealvem:- O � N -AB � 1 ��( ;�; 7>�*�T� d ylz�2 154 ()�36879��� ,: 21 �T( ; �|{_} .�~ e H � 2 1 6=U C � 2- O �n; (�6 4 79��� ��� moleculas/cm:IH
(b) Com o diametromoleculardado,o livre caminhomedioe obtidodiretamentepor:� � �� 6 A�� 1 - } O 2 � � L 6 4 � cmH
ou� � � L ; m H
P-54.
Certamoleculadehidrogenio(diametrode ��(,�w7v�*��� �cm) escapade um forno ( ��< ����� K) com veloci-dadequadraticamediae entraem umacamaraconten-do atomosde argonio frio (diametrode ; ()�F7��*��� �cm), sendoa densidadedesteultimo de < (,�F7���� � !atomos/cm: . (a) Quala velocidadedamoleculadehi-drogenio?(b) Sea moleculadehidrogenioe umatomo
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deargoniocolidirem,quala menordistanciaentreseuscentros,considerandoamboscomoesferasrıgidas?(c)Qualo numeroinicial decolisoespor segundosofridaspelamoleculadehidrogenio?� (a) A massamolardamoleculade � e
0 � 6T()�36g/molesuaa velocidadequadraticamediae:�
rms �@� ;�B 0 � � 1 ; 2 1 �T( ; �|{_} .�~ e H � 2 1 < ����� � 2�T(,����6���6 � rT} .�~ e� L ��6 4 m/sH(b) A distanciasentreoscentrosdamoleculade �w e oatomodeAr e igualasomadosseusraios,isto e,�8�� Ar a H
X � 6T()�$7>�*� � � cmH(c) O livre caminho medio dos atomos de Ar nascondicoesdadase� � �� 6 A�� Ar
1 - } O 2 � 4 (,6 C 79��� �P� m HO numerodecolisoesporsegundo,f, e dadopor¡ � �� � L �36 4 . }=¢4 (�6 C 7>�*� � � . � ��(E�I6879��� �,� colisoes/sHP-56.
Para a distribuicao hipotetica de velocidadesdas Npartıculasdeum gas,mostradanaFig. 21-19[ y 1 � 2 �£ � para�$� �¥¤J� � ; y 1 � 2 � � para� � � � ], encontre(a) umaexpressao paraC em termosde N e � � , (b) avelocidademediadaspartıculase (c) a velocidadermsdaspartıculas.� (a) Parao calculodeC, tem-se:¦W§,¨� £ � � � � - (£ � ; -� :� H(b) A velocidademediae obtidapor:©� � �- ¦ y 1 � 2 � �©� � h ; -� :� j �- ¦ §�¨� � : � �©� � ; � �< � �T( L C � � H
(c) A velocidadequadraticamediacalcula-sepor:©� � �- ¦ y 1 � 2 � � �©� � h ; -� :� j �- ¦ §�¨� � d � �©� � ; � �Cª ©� � �rms � � ; C � � � �+( L�L C � � H
P-61.6��T(,U J de calor sao adicionadosa um certogas ideal.Como resultado,seu volume aumentade C �+()� para����� cm: , enquantoa pressaopermanececonstante( ��(,�atm).(a) Quala variacaonaenergia internadogas?(b)Seaquantidadedegaspresentefor de 6�(,���«7¬����� : mol,calculeo calorespecıfico molara pressaoconstante.(c)Calculeo calorespecıfico molara volumeconstante.� (a) O trabalhorealizadonaexpansaodogase&� N " O � 1 ��(,�T�G7>�*� K ylz�2 1 C �w7>�*� �P� . : 2� C ()� C JHE a variacaodaenergia internae"8# int � 6��T( 4 k C (,� Cl� � C (,� C JH(b) A variacaodatemperaturanoprocessopodesercal-culadaa partirdo trabalho:&®� N " O � � B "8Q("¬ � &� B � C ()� C {1 6�(,�w79��� � : .�~ e52 1 �+( ; �b{+} .�~ e H � 2� ; � < K H
E parao calorespecıficomolarapressaoconstantevem:£P � %��"8 � 6=�+()U¯{1 6T()�$7>�*� � : .�~ e�2 1 ; � < � 2� ;=< ( ; 4 J/mol.KH
(c) O calorespecıfico molaravolumeconstanteeobtidodiretamentedo resultadodo ıtemanterior:£
V � £Pk B°�n;=< ( ; 4 k �T( ; � � 6 4 ()� L J/mol.KH
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P-68.
Suponhaque < ()� moles de um gas ideal diatomico,cujas moleculasestejamem rotacao sem oscilar, so-frem um aumentode temperaturade
4 �T(,� K a pressaoconstante.(a) Quantocalor foi transferidoparao gas?(b) Em quantoaumentoua energia internado gas? (c)Quantotrabalhofoi realizadopelogas? (d) Qual foi oaumentonaenergia internatranslacionaldasmoleculasdogas?� (a) O calortransferidoparao gasapressaoconstantefoi:% � � £ P "8� 1 < (,� .�~ e52 1 L6 2 1 �T( ; �|{_} .�~ e H � 2 1S4 �+()� � 2� 4 U���� JH(b) A variacaodaenergiainterna,paraqualquerproces-so,edadapor "$# int � � £ V "8 :"$# int � 1 < ()� .�~ e52 1 C6 2 1 �T( ; �|{_} .�~ e H � 2 1S4 �T(,� � 2� < U 4 � JH(c) O trabalhorealizadopelogaseN � " O � � B "8� 1 < ()� .�~ e52 1 �+( ; �b{+} .�~ e H � 2 154 �T(,� � 2� �*U�U < JH(d) Levandoemcontaso osgrausde liberdadetransla-cionaisdasmoleculas,a energia internacorrespondentesera:"$# int � 1 < ()� .�~ e52 1 ; 6 2 1 �T( ; �|{_} .�~ e H � 2 1S4 �T(,� � 2� 6=U�U�6 JHP-69.
A massamolardo iodoede ��6 L g/mol. Umaondaesta-cionariaemum tubocheiodegasdeiodo a < ��� K temos seusnos
4 ( L�L cm distantesum do outro, quandoafrequenciae ������� Hz. O gasdeiodoemonoatomicooudiatomico?� Sea distanciaentrenos e
4 ( L�L cm, o comprimentode ondae
� � 6�7 4 ( L�L � � ; ( C=< cm e a velocidade
de propagac¸ao e � � � ¡ � � ;3C ( < m/s. O modulo deelasticidadevolumetricapodeser expressoem termosdaconstanteadiabatica ± edapressao:² � k O � N� O � ± N HA velocidadedepropagac¸aoe entao � � � ³ �� e,como
foi mostradono P-; 4 , � � � ���� . Assim, a velocidade
e, finalmente,� � � ³ ���� . Comosdadosdisponıveis,pode-seagoraobter ± :± � � 0B � 1 � ;�C ( < . }=¢I2 1 6$79�I6 L r+} .�~ e521 �T( ; �|{_} .�~ e H � 2 1 < ��� � 2 � ��( < HDobrou-seamassamolarnocalculoparaobter± � ��( < ,o valordaconstanteadiabaticadeumgasdiatomico.
E-71.
(a) Um litro degascom ± � ��( ; esta a 6 L ; K e ��()���atm. O gas e subitamente(adiabaticamente)compri-mido ate a metadedo seuvolumeinicial. Calculesuastemperaturaepressaofinais.(b) O gaseentaoresfriadoate 6 L ; K, apressaoconstante.Qualo seuvolumefinal?� (a) Para o processoadiabatico, sao validas asrelacoes: N ^ O ³^ � N ` O ³`NP` � N_^ h O+^O ` j ³ � 6T( < 4 atmH ^ O ³ � �^ � ` O ³ � �` ` � ^ h O ^O ` j ³ � � ��;�; 4 K H(b) O numerodemolesdegasnaamostrae� � NP^�O_^B ^ � 1 ��(,�T�G7>�*��K�ylz�2 1 �T(,���+� . : 21 �+( ; �b{+} .�~ e H � 2 1 6 L ; � 2� �T()� <�<ZC mol HE a variacaoproduzidanovolumee entaoN " O � � B "¬m(" O � � B "8N� 1 �T(,� <�<ZC .�~ e52 1 �T( ; �|{_} .�~ e H � 2 1 k 4 ; � 21 6�( < 4 2 1 ��(,�T�´79��� K ylz�2� k �+(E�*� m:=H
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O ` � " O a O ^ � k �+(E��aW�T( Cl� �T( < litro HP-80.
Um gas ideal sofre uma compressao adiabatica deN � ��()� atm, O � ��()�v7µ�*��� litros, � �+()��� CparaN � ��()�w7v�*��K atm, O � ��(,�u79��� : litros. (a) Es-te gase monoatomico,diatomico ou poliatomico? (b)Quala suatemperaturafinal? (c) Quantosmolesdogasestaopresentes?(d) Quala energia cineticatranslacio-nal total por mole, antese depoisda compressao? (e)Quala razaoentreosquadradosdasvelocidadesrmsdesuasmoleculas,antesedepoisdacompressao?� (a) Paraosprocessosadiabaticosvalea relacao:N ^ O ³^ � N ` O ³` (NP^�O ³^ � ��� K NP^ 1 �*� � : O_^ 2 ³C k ; ± � �+( p ± � C;Portanto,trata-sedeumgasmonoatomico.(b) Paraachara temperaturafinal, tem-seoutrarelacaoparaosprocessosadiabaticos: ^5O ³ � �^ � `�O ³ � �` ( ` � ^ h O ^O ` j ³ � � � 1 6 L ; � 2 1 ��� : 2 X¶ � 6 L ; ��� K H
(c) O numerodemolespresentesecalculadodaequac¸aodeestadodogasideal:� � NP^�O_^B ^ � 1 ��(,�T�G7>�*��K�ylz�2 1 �*� : . : 21 �T( ; �|{_} .�~ e H � 2 1 6 L ; � 2� <�<3C 6=�+(,6 4 molesH(d) A energia cinetica translacionalpor mol, antesdacompressaoe: � ^� � ; 6 B ^ �n;=< � ; J(e depoisdacompressaoe:� `� � ; 6 B ` ��;�< � ; ��� JH(e) A razao entreos quadradosdas � rms, antese depoisdacompressao,e:�
rms,f� rms,i
� ` ^ � 6 L ; ���6 L ; � ����� H
P-83.
Certamaquinatermicaprocessa��()��� mol de um gasideal monoatomico atraves do ciclo mostradona Fig.21-21.O processo�G·�6 acontecea volumeconstante,o 6J· ; e adiabatico e o ; · � acontecea pressaoconstante. (a) Calculeo calor Q, a variacao da ener-gia interna "$# int e o trabalhorealizadoW, paracadaum dos tres processose parao ciclo como um todo.(b) Se a pressao inicial no ponto � for ��()��� atm, en-contrea pressao e o volume nos pontos 6 e ; . Use��()��� atm � ��()�T� ; 79����K Pae Bµ� �+( ; � < J/mol.K.� (a) Comecandocomo processoa volumeconstante,%¬�)¸l � � £ V "8� 1 ��(,��2 1 ��( C 2 1 �T( ; ��2 1S4 ��� k ; ����2� ; L < � JHO trabalhoe nulo nesteprocessoe,portanto,a variacaodaenergia internae igualaocalorabsorvido,ouseja,"$# int, ¹�º X ��; L < � JHNo processoadiabatico, % � � edaprimeiralei tem-se:"$# int,
X º ¶ � k & ("$# int,
X º ¶ � � £ V "8� 1 ��(,��2 1 ��( C 2 1 �T( ; � < 2 1 <3C�C k 4 ���32� k ������� JHPortanto,& �¸l: � �*����� J.Parao processoa pressaoconstantetem-se:%l:�¸¬� � � £ P "¬� 1 ��()�32 1 6�( C 2 1 �T( ; � < 2 1 ; ��� k <ZC�C 2� k ; 6�6�6 J(
& :,¸¬� � N " O � � B "¬� 1 ��()�32 1 �T( ; ��2 1 ; ��� k <3C�C 2� k ��6�U�� J("$# int,
¶ º�¹ � k ; 6�6�6 k 1 k ��6�U���2 � k ��U ; 6 JHhttp://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina8 de10
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O calorefetivo transferidonociclo e:% Total � %8�»¸l «aW%l �¸l:�a¼%l:�¸¬�� ; L < �]aW� k ; 6�6�6� C �*� JHO trabalhototal realizadonociclo e:& Total � & �)¸l ¯a & ,¸½:ca & :�¸¬�� �ma[������� k ��6�U��� C ��� JHE parao ciclo, "$# int � % Total
k & Total � � .(b) Dada N � � ��(,� atm e �� �'; ��� K, obtem-seapressao N : N ��� � N � dondetiramosfacilementeN � N � � �� � 1 ��(,�bz3¾ . 2 h 4 ���; ��� j � 6T()� atmHParaobterN : , usa-sea relacaoentrea pressaoe o volu-mevalidaparaosprocessosadiabaticos:N O ³ � N : O ³: (O volume O e calculadocom a equac¸ao de estadodogasideal:O � � B N � 1 ��(,��2 1 �T( ; �I2 1 ; ���32��(,�T� ; 7>�*� K� �T()�36 < 4 6 m:� 6 < ( 4 6 litros HO volume O : obtem-sedarelacao: O ³ � � � : O ³ � �: (O ³ � �: � O ³ � � : � 1 6 < ( 4 2 �*¿ �)À 4 ���<3C�C (O �*¿ �)À: � ����(,6 L e O : �[; L ( ;�< litros HN : � N h O O : j ³N : � 1 6T()�bz3¾ . 2�h 6 < ( 4 6; L ( ;=<�j �Á¿ �)À � ��(,� atmH
21.3 ProblemasAdicionais
P-85.
Uma amostrade gas ideal passapelo processocıclicoilustradonograficop - V daFig. 6�� k 6�6 . A temperaturado gasno pontoa e 6���� K. (a) Quantosmolesdo gasexistemnaamostra?Quaissao(b) atemperaturadogasno pontob, (c) a temperaturado gasno pontoc e (d) ocalortotal adicionadoaogasduranteo ciclo?� (a) O numerodemolesnaamostrae:� � NPOB a
� 1 6T( C 79��� : ylz�2 1 ��(,� . : 21 �T( ; � < {+} .�~ e H � 2 1 6=��� � 2 � ��( C mol
(b) Paraa temperaturanopontob tem-se:NaO
a a
� NbO
b b
( b � a
NbO
bNaO
a
� 1 6=��� � 2 1 L ( C 7>�*� : ylz�2 1 ; ()� . : 21 6�( C 79��� : 2 1 ��()� . : 2� ������� K H(c) E paraa temperaturanopontoc tem-se: c � b
NcO
cNbO
b
� 1 �*����� � 2 1 6T( C 79��� : ylz�2 1 ; ()� . : 21 L ( C 79��� : ylz�2 1 ; ()� . : 2� 4 ��� K H(d) O trabalhorealizadopelogasnociclo e igual a areado trianguloabce vale C ����� J. Comoe nulaa variacaodaenergia internano ciclo, o calor total adicionadoaogase igualaotrabalho,ouseja,C ����� J.
P-88.
Uma amostrade gas ideal se expandede pressao evolume iniciais correspondentesa ; 6 atm e ��()� litro,respectivamente,paraum volumefinal de < ()� litros. Atemperaturainicial do gas era de ; ��� K. Quaisseraoa pressao e temperaturafinais dessegase quantotra-balhoele realizara durantea expansao, se estafor (a)isotermica,(b) adiabaticae o gasmonoatomico, e (c)adiabaticae o gasdiatomico?� (a) Sea expansaoe isotermica,"$# int � � e % �°& .A pressaonoestadofinal sera:N ^ O ^ � N ` O ` (
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N ` � N ^ h O ^OP` j � 1 ; 6bz�¾ . 2 ��()�be< ()�be � �+()� atmHE o trabalhonoprocessoisotermicoe dadopor:&� ¦ �IÂ�*à N � O � � B ¦ �IÂ�*à � OO � � B �eg� OP`O ^&®� 1 ; 6|z3¾ . H e�2 1 eg� < 2 �\<�< ( ; 4 atm.l ��<�< U < JH(b) Paraa expansaoadiabaticadeumgasmonoatomicotem-se% � � , £ V � : B ,
£P � K B e ± � K : � ��( 4 L . A
pressaofinal e: N ^ O ³^ � N ` O ³` (N ` � N ^ h O ^OP` j ³ � 1 ; 6|z3¾ . 2 h ��()�be< ()�be j �Á¿ �,À �[; (*� 4 atmHE atemperaturafinal e obtidapor: ^ O ³ � �^ � ` O ³ � �` (
` � ^ h O ^O ` j ³ � � � 1 ; ��� � 2�h ��()��e< ()��e j �E¿ �,À� �����T( C K H
Da primeiralei, "$# int � k & . A variacao da energiainternae calculadapor:"$# int � � £ V "8 � ; 6 � B 1 �����T( C k ; ���32Á(Parao estadoinicial, obtem-se:� B°� NP^5O_^ ^ � 1 ; 6|z3¾ . 2 1 ��()�+�i7>�*� K ylz�2 1 ��� � : . : 2; ��� �� ���T(,� J/K H
"$# int � ; 6 1 ���T(,�¯{_} � 2 1 ���*�T( C � k ; ��� � 2� k 6=U < �T( ; � JHE, portanto,&®� 6=U < �T( ; � J.(c) Seaexpansaoeadiabaticaeo gasediatomico, tem-se % � � , £ V � K B ,
£P � À B e ± � ÀK � ��( < .
Repetindoosmesmoscalculosdo ıtemanterior, obtem-se y ` ��< ( 4 atm, ` � � L 6 K e &®��;�<3C 4 J.
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ExercıciosResolvidosdeTermodinamica
JasonAlfr edoCarlson Gallas,professortitular de fısicateorica,
Doutor em Fısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do SulInstituto de Fısica
MateriaparaaQUARTA prova. Numerac¸aoconformeaquarta edicaodo livro“FundamentosdeFısica”,Halliday, ResnickeWalker.
Estaeoutraslistasencontram-seem:http://www.if.ufrgs.br/� jgallas
Conteudo
22 ENTROPIA E A II LEI DA TERMO-DINAMICA 2
22.1 Questoes. . . . . . . . . . . . . . . . . 2
22.2 Exercıciose Problemas. . . . . . . . . 4
22.3 ProblemasAdicionais . . . . . . . . . . 12
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22 ENTROPIA E A II LEI DA TERMODIN AMICA
22.1 Questoes
Q-6.
Explique qualitativamentecomo as forcas de atrito entreduassuperfıcies aumentama temperaturadestassu-perfıcies.Porqueo processoinversonaoocorre?� Quandoduassuperfıciesestao em contato,ocorreminteracoesde naturezaeletricaentreassuasmoleculas.Como movimentorelativo, essasinteracoessaorompidas,a energiacineticadasmoleculasaumenta,acarretandoum aumentodatemperaturadassuperfıcies. No processoinverso,a energia termicadificultariaa interacaoentreasmoleculase asforcasenvolvidasseriamlocalizadase insuficientesparaproduzirmovimentorelativo dassu-perfıcies.
Q-7.
Um blocovolta a suaposicaoinicial, depoisdesemoverdissipandoenergiapor atrito. Porqueesteprocessonaoe termicamentereversivel?� Porquea energia termicaproduzidano atrito, naopodeserreconvertidaemenergia mecanica,conformea se-gundalei datermodinamica.
Q-10.
Podemoscalcularo trabalhorealizadoduranteumprocessoirreversı vel emtermosdeumaareanumdiagramap -V? Algum trabalhoe realizado?� Nosprocessosirreversıveisha realizacaodetrabalho- sobreo sistemaou pelosistemasobreo seuambiente-masestetrabalhonao podeserobtidopelocalculodeumaareano diagramap - V, porquea pressaodo sistemanaoe definidanumprocessoirreversıvel.
Q-14.
Sobquecondicoesumamaquinatermicaidealseria ������� eficiente?� A eficienciadeumamaquinatermicapodeserexpressapor��� H ����� C �� H � �Parao rendimentoserde ������� , � C � , o calorliberado,teriaquesernulo,masessaseriaentaoumamaquinaperfeitaque,de acordocom a segundalei, nao existe. Considerandoa eficienciaexpressaem termosdastemperaturasextremas, �� � � � C�
H �paraumrendimentode ������� , a temperaturadafontefria teriadeser
��� � K, o queestariaemdesacordocomaterceiralei datermodinamica(verdiscussaosobreo zeroabsoluto,porexemplo,nasecao ��� � � dosegundovolumedoCursodeFısicaBasica, doautorH. MoysesNussenzveig).
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Q-18.
Porqueumcarrofazmenosquilometrospor litro degasolinano invernodoquenoverao?� As maquinastermicasreaisnaooperamciclosexatamentereversıveisequantomaiorfor adiferncadetempera-turaentrea fontequenteea fontefria, maioreaquantidadedeenergiaquenaoseaproveita.Assim,nosdiasmaisfrios, ummotordeautomovel tema suaeficienciadiminuıda.
Q-21.
De exemplosdeprocessosemquea entropiadeum sistemadiminui, e expliquepor quea segundalei da termo-dinamicanaoe violada.� No processodecongelamentodeumaamostradeagua,aentropiadestesistemadiminui, porquea aguaprecisaperdercalorparacongelar. A segundalei datermodinamicanaoe violadaporquea entropiado meio,querecebeo calor cedidopelaagua,aumenta.Esteaumentoe maior do quea diminuicao, tal quea entropiado sistema+ambienteaumenta.
Q-23.
Duasamostrasdeum gas,inicialmentea mesmatemperaturae pressao,saocomprimidasdevolumeV parao vo-lume ����� , umaisotermicamenteeaoutraadiabaticamente.Emqualdoscasosapressaofinal emaior?A entropiadogasvariadurantequalquerumdosprocessos?� No processoisotermicoa pressaofinal e: � � � � � �� � � �No processoadiabatico,apressaofinal e: � �"! �$# � �% ! �� �&! � �A pressaofinal e maiornoprocessoadiabatico.A variacaodaentropianoprocessoisotermicoe dadapor:')( �*,+ �.- * �� �')( � *,+ �/- * � �No processoadiabatico,aentropianaovaria,umavezque
' e nulonestecaso.
Q-25.
Ocorrevariacaodaentropiaemmovimentospuramentemecanicos?� Sim,porcausadaenergiatermicaproduzidapeloatrito.
Q-28.
Calore transferidodoSolparaaTerra.Mostrequea entropiadosistemaTerra-Solaumentaduranteo processo.
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� O Sol liberacalor a alta temperaturae tema suaentropiadiminuıda. Ja a Terraabsorve o calor a temperaturabemmaisbaixa.A entropiadaTerraaumentanoprocessoe esteaumentoe maiordo quea diminuicaodadoSol,tal queavariacaodaentropiadosistemaTerra-Solepositiva.
22.2 ExercıcioseProblemas
P-4.
Um mol deum ga idealmonoatomicopassapelociclo mostradonaFig. 22-18. O processobc e umaexpansaoadiabatica;
�10 �2� � � atm, � 0 � � ���)34�2�6517 m7 , e �18 :9 � �����0. Calcule:(a) o caloradicionadoaogas,(b) o
calorcedidopelogas;(c) o trabalhorealizadopelogase (d) a eficienciadociclo.� Parachegaraosresultadospedidos,antesenecessarioobtero valordatemperaturaedapressaonofinal decadaumdosprocessosdociclo. Comecandocomo processoadiabaticoqueliga osestadosb ec, tem-se:�10 � !0 � 8;�"!8 �� 8 �<0 # � 0� 8�= ! ?> �2�A@�BDC.E # ���F5179 � �)3G��� 517 =,HJI KML � �;N � atm NF� �PO)3G����Q Pa�As temperaturasnosestadosb e c sao:� 0 �<0 � 0*,+ > �2��E > � � �F�3R�2��S�T"@6E > � � �)3R�2�6517<C.7�E> � � ��E >U9 �;N �POWVX�&C/Y - � Z E �2��� K �� 8 � 8;�18*,+ > NX� ��O[3G��� Q T"@6E >\9 � �)3G���F517<C.7�E> � � ��E >\9 �;N ��O]V^��C.Y - � Z E N � K �Nacompressaoisobarica,tem-se � 8�^8 �,_� _ �� _ � 8 � _�18 `> N � Z E
# � 09 � �a�0 = NX� 9 K �
As transferenciasdecalore o trabalhorealizadoemcadaprocessosaocalculadoscoma primeiralei:bab � � ab
c*ed]f ' � `> � � ��E > N � E >\9 �;N ��O]V^��C.Y - � Z E > �2��� � NF� 9 E Z ��O�g&O J�bbc � 'ih int
� *ed]f ' � ?> � � ��E > N � E >U9 �;N �POWVX�&C/Y - � Z E > �2��� � N ��E Z ����O�g J�bca � _ > � _ � � 8 E `> NX� �PO)3G��� Q T"@�E > � � � � 9 � ��E�3R�2� 5<7 C 7 � ����� J� caj*ed�k ' � l> � � ��E > �� E >\9 �;N ��O]V^��C.Y - � Z E > NF� 9 � N ��E Z � � O � J�
Entao,finalmente,(a) absorvido
ab ��O�g&O J.
(b) cedido ca
� � O � J.(c)b
efetivo b
bc m b ca ���PO6g � ����� jn ��g J.
(d) �o p q.pp r absorvidop tsMu LH Q L Q � �;v�N .http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina4 de14
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E.7
Parafazergelo,um freezerextrai O�� kcal de calordeum reservaorio a � ��� C em cadaciclo. O coeficientedeperformancedo freezere
� � g . A temperaturado ambientee � v C. (a) Quantocalor, por ciclo, e rejeitadoparaoambiente?(b) Qualaquantidadedetrabalhoporciclo necessariaparamantero freezeremfuncionamento?� (a) A performancedo freezere dadapor:
Z � C �� b � �E o trabalhoexternonecessario e: b � C �Z O��aw6xy@ -� � g g �;N g kcal�� H � � b � m � C � �� H � `> g �;N g m O���EMw6xy@ - O n �MN g kcal�(b)b g �MN g kcal N � kJ.
E-10.
Numciclo deCarnot,aexpansaoisotermicadeumgasidealacontecea O���� K eacompressaoisotermicaa N ��� K.Durantea expansao,
� ��� cal decalorsao transferidaspelogas. Calcule(a) o trabalhorealizadopelogasdurantea expansaotermica;(b) o calorrejeitadopelogasdurantea compressaoisotermicae (c) o trabalhorealizadopelogasduranteacompressaoisotermica.� (a) Naexpansaoisotermica,
'[hint � e
b . Portanto,b � ��� cal ��� n N J.
(b) Nacompressaoisotermicatambem b , maso calore liberado:
� C � �C�H� H � N ���O���� � ��� N g � cal � � g�� J�
(c) � b � N g � cal � � g&� J.
E-15.
Parao ciclo deCarnotilustradonaFig. 22-9,mostrequeo trabalhorealizadopelogasduranteo processobc(passo� ) temo mesmovalorabsolutoqueo realizadoduranteo processoda (passoO ).� O processobc e a expansaoadiabatica,a temperaturainicial e�
H e a final e�
C e � . Entao,pelaprimeiralei,
'[hint � b . '[h
int�*ed
V
' � j*edV> �
C � � H E �b m *ed V> �
H � � C E �O processoda e a compressao adiabatica,a temperaturainicial e
�C e a final e
�H.'[h
int � b e
'[hint*ed
V> �
H � � C E . O trabalhoeb � *ed V
> �H � � C E . Portanto,� b bc � � b da � .
P-20.
Umabombatermicaeusadaparaaquecerumedifıcio. Do ladodeforaatemperaturae � �A C edentrodoedifıciodeve sermantidaa ��� C. O coeficientedeperformancee NF� 9 e a bombainjeta � � 9 Mcal decalorno edifıcio porhora.A quetaxadevemosrealizartrabalhoparamanterabombaoperando?
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� O calorinjetado,expressoemJ/s,e:
H > � � 9 3G��� K E > O � � 9 v VzEN�v ���|{ ��� n N J/s�
O coeficientedeperformancedabombaedadapor:
Z �� C �� b � �� H ����� b �� b � }� H �� b � � � �A taxaderealizacaodetrabalhonecessariaparaoperarabombavai serentao� b �B �� H � ��BZ m � ��� n NNX� 9 m � O N�v W �P-24.
(a) Mostreque,quandoumciclo deCarnote tracadonumdiagramatemperatura(Kelvin) versusentropia(T - S), oresultadoeumretangulo.Parao ciclo deCarnotmostradonaFig. 22-19,calcule(b) o calorganhoe (c) o trabalhorealizadopelosistema.� (a) Osdoisprocessosisotermicosdo ciclo deCarnotvaoproduzirdoissegmentosdereta,perpendicularesaoeixoT nodiagrama(T - S), eosdoisprocessosadiabaticosocorremsemtrocasdecalor, produzindodoissegmentosperpendicularesaoeixoS.(b) No diagramaT - S, a areasobo segmentoderetaab fornece H esobo segmentocd, fornece C: H
l> O���� Z E > � �;v � � � � ����E~V^� Z ����� J�(c) Calculando C: C
l> � � � Z E > � � � � � �;v EJVX� Z � �2� � J�E, finalmente,o trabalhorealizadopelosistemae:� b � � H �&��� C � ����� � �2� � g � J�P-25.
NumamaquinadeCarnotdedoisestagios,umaquantidade H decalore absorvidaa temperatura� H , o trabalhob H e feito e umaquantidade u e rejeitadaa temperatura
� u peloprimeiroestagio. O segundoestagioabsorveo calor rejeitadopeloprimeiro, realizaum trabalho
b u , e rejeitaumaquantidadedecalor 7 a temperatura� 7 .
Provequea eficienciadestacombinac¸aoe ����� 5 ������ � .� Parao primeiroestagiodamaquinapode-seescrever, deacordocoma equac¸ao(22-11),� H �� u � � u� H �Parao segundoestagio,igualmente, � 7� u � � 7� u �Essasrelacoespermitemvincular � H � e � 7 � atravesde � u � :
� 7 � � 7� u � u� H � H � �http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina6 de14
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� 7 � � 7� H � H � �O rendimentodamaquinaeentaoexpressopor � � � � 7 �� H � �quee equivalentea �o � � � 7� H �ouseja,o rendimentodamaquinae funcaodastemperaturasextremasentreasquaisoperao ciclo.
P-30.
Um mol deumgasidealmonoatomicoeusadopararealizartrabalhoemumamaquinaqueoperaseguindoo ciclomostradonaFig. 22-21.Suponhaque
� � � , � ��� , � � � �X��3G�2��S Pa,e � � � ����� � m7 . Calcule(a) otrabalhorealizadoporciclo; (b) o caloradicionadoporciclo duranteo trechodeexpansaoabc, e (c) aeficienciadamaquina.(d) Quala eficienciadeCarnotdeumamaquinaoperandoentreastemperaturasmaisaltae maisbaixaqueocorremnesteciclo?Compareestaeficienciacomaquelacalculadaem(c).� (a) O trabalholıquidoproduzidoporciclo e iguala areadodiagramap - V dafig. 22-21.Calculandoostrabalhoscorrespondentesaexpansaoe a compressao,vemb
bc � � > ��� � � E � � � O � O � J�b
da � > � � ��� E � � � � ����g�� � � J�b
ciclo O � O � � ����g�� � � ����g�� � � J�
(b) No processoab,b � e '[h int
?*edV
' �. As temperaturasnosestadosinicial e final desteprocesso
sao: �a � � *,+ ��g NX�MN�N K ��
b � � � *,+ � O vF�;v g K � ab
`> � � ��C.Y - E > N � E >\9 �;N ��O]V^��C.Y - � Z E > � O vF�Mv g � ��g NX�MN�N E Z N O�� 9 � g�� J� bcj*"d
P> �
c � � b E ��c �
b
� c� b
�2� n NX�MN � K � bc`> � � ��C.Y - E > �� E >U9 �MN �PO]V^�&C/Y - � Z E > �2� n NF�MN � � � O vX�Mv g�E Z ��� N�v � �;N � J� H
ab m bc N O�� 9 � g&� m ��� N�v � �;N � �PO6g�g6� J�
(c) A eficienciadamaquinapodesercalculadapor��� b �� H � ����g�� � ���O�g�g6� � � � � O �(d) A eficienciadamaquinaidealdeCarnotoperandoentreasmesmastemperaturasextremasseria:�
Carnot � � � H�
C
� � ��g NX�MN�N�2� n NF�MN � � � g � �http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina7 de14
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Comparadoo rendimentodamaquinacomo damaquinaideal,tem-se��Carnot
� � � � O� � g � � � ��� � �O rendimentodamaquinaede ��� � � ��� dodamaquinaideal.
P-36.
Um inventorafirmater criadoquatromaquinas,todasoperandoentre O���� K e N ��� K. As caracterısticasdecadamaquina,por ciclo, saoasseguintes:maquina(a), H
����� J, C � ��g � J,
b O�� J;maquina(b), H � ���
J, C � ����� J,
b O���� J; maquina(c), H v ��� J, C
� ����� J,b O���� J; maquina(d), H
����� J, C � n � J,
b �2� J. Usandoa primeirae a segundaleis da termodinamica,verifiqueparacadamaquinasealgumadestasleisesta violada.� (a) Primeiralei datermodinamica: '[h
int �� b � � H ����� C � ����� � ��g � � � J�'ih
int � � � O�� � � � J�
Como'ih
int � � , estavioladaaprimeiralei. Paraverificarasegundalei, calcula-seo rendimentodamaquinaparasercomparadoaorendimentodamaquinaidealdeCarnotoperandoentreasmesmastemperaturas:�
maq.�� b �� H � O������� � � ��
Carnot � H � � C�
H
O���� � N ���O���� � � � �Como � maq. � � Carnot, asegundalei naoesta violada.(b) � H �&��� C � N ��� J'[h
int N ��� � O���� � �2��� J�
Como'[h
int � � , estamaquinatambemviola aprimeiralei.�maq.�� b �� H � O����� ��� � � 9
Sendo� maq. � � Carnot, tambemestavioladaasegundalei.(c) � H �&��� C � v ��� � ����� O���� J�'ih
int O���� � O���� � ��
maq.�� b �� H � O����v ��� � �Mv g
Estamaquinaesta deacordocoma primeiralei, masviola asegunda,umavezque � maq. � � Carnot.(d) � H ���c� C � ����� � n � ��� J'[h
int ��� � ��� � ��
maq.�� b �� H � �������� � � �2�
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Estamaquinaesta deacordocoma primeiraea segundaleis.
E-41.
Suponhaquea mesmaquantidadedecalor, por exemplo, � v � J, e transferidapor conducaodeum reservatorio aO���� K paraoutroa (a) �2��� K, (b) ����� K, (c) N ��� K e (d) N�v � K. Calculeavariacaodeentropiaemcadacaso.� (a) Se�
C ����� K, ')(
H� H�
H
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C N�v � K ')(
c� c�
C
� v �N�v � � � g�� J/K')( � � �Mv � m � � g�� � � ��g J/K �P-44.
Um cubode gelo de �2� g a � ��� C e colocadonum lago queesta a � �A C. Calculea variacao de entropiadosistemaquandoo cubodegeloatingiro equilıbrio termicocomo lago.O calorespecıfico dogeloe � � � � cal/g.
C.
( Sugestao: O cubodegeloafetaraa temperaturado lago?)� E claroqueo cubodegelonao afetaa temperaturado lago. O gelovai absorver calorparaderretere ter suatemperaturafinal elevadaate � �A C. Nessatransferenciadecalor, a variacaodeentropiado lagosera negativae adogelo,positiva. Comecandoa calcularasvariacoesdeentropiadogelo,tem-se:')(
gelo C�xe� ��������
�� `> �����6E > � � � �AxP@ - �2� � Z E - * ��g N� v�N � � � n cal/K �')(gelo C�� F� > �����FE >U9 �Axy@ - �2�FE��g N Z � � n N cal/K�')(
agua C�x agua � � ���� �
�� `> �2���6E > � � �Axy@ - �2� � Z E - * � 9�9��g N � � � O cal/K �O calorcedidopelolagoparalevaro geloaoseuestadofinal deequilıbrio e: lago
l> �2���6EP� > � � � �Axy@ - �2� � Z E > �2� Z E m 9 �axy@ - �2� m > � � �Axy@ - �2� � Z E > � � Z ED� ������� cal�A variacaodeentropiado lagovai ser:')(
lago�� �2�����Axy@ -� 9�9 Z � NF� O6g cal/K �
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A variacaodeentropiadosistemae,entao,'[(sistema
� � � n m � � n N m � � � O NF�;v�v cal/K �Ja a variacaodeentropiado {P��{�B � C/@ m @�C��~� �2* B � e:')( � NF� O�g m NX�Mv�v � � � n cal/K �P-48.
Um mol deum gasidealmonoatomicoevolui deum estadoinicial a pressaop e volumeV ate um estadofinal apressao � � e volume ��� , atravesdedoisdiferentesprocessos.(I) Ele expandeisotermicamenteate dobraro vo-lumee,entao,suapressaoaumentaa volumeconstanteate o estadofinal. (II) Ele e comprimidoisotermicamenteate duplicara pressaoe,entao,seuvolumeaumentaisobaricamenteate o estadofinal. Mostrea trajetoriadecadaprocessonum diagramap-V. Paracadaprocessocalcule,emfuncao dep e deV: (a) o calorabsorvidopelogasemcadapartedo processo;(b) o trabalhorealizadopelogasemcadapartedo processo;(c) a variacaodaenergiainternadogas,
hint,f � h int,i e (d) a variacaodeentropiadogas,
(f � ( i.� (I) Expansaoisotermica:
'[hint � e b ;
(a) e (b) ia b
iaj+ ��- * �1��X � � - * �
Processoisocorico:b � e
'[hint ;
af¡d
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' � N � +)> � f � � a E�a � �+�¢ �
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N � +)> O � �2E� �+ n � � �
(c) '[hint,iaf
af n � � �
(d) ')(ia� ia� � � - * �� ¡+ - * � �')(
af�d
V � � f� a ��� N � + - * O N + - * � �')(
(I) ')(
ia m ')( afl> � m N E + - * � O + - * � �
(II) Compressaoisotermica:'[h
int � e b ,
(a) e (b) ib b
ib¡+ �/- * � b� � � b
� � � ib b
ib � � � - * � �
Expansaoisobarica: bfjd
P
' � �� +)> � f � � b E �� � > f u E�b
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f O � b �
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� �+ � �� � � �bbf � ' � � � > ��� � � � � �£E N
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ib � + - * � �'[(
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P � � f� b ��� �� + - * O � + - * � �'[(
(II) '[(
ib m ')( bf?> � � m � E + - * � O + - * � �
Sendoaentropiaumavariavel deestado,confirma-seque')(
(I) ')(
(II) .
P-53.
Um mol deumgasmonoatomicopassapelociclo mostradonaFig. 22-24.(a) Quantotrabalhoe realizadoquandoo gasseexpandedea ate c pelocaminhoabc? (b) Quaisasvariacoesdeenergia internae entropiadeb ate c? (c)Quaisasvariacoesdeenergia internae entropianumciclo completo?Expressetodasasrespostasemtermosde� , � , R e
� .� (a) No caminhoabcso ha realizacaodetrabalhono processoisobaricoab.b
ab e igual a areado graficosobosegmentoderetaab: b
ab � ' � N
� � �(b) No processoisocoricobc, astemperaturas,inicial efinal, sao:�
a � � + ��
b �
a
O�� � O � a ��c > O � a E > � � E� j9 �
a �Paraa variacaodaenergia internavem,'ih
int,bc�*ed
V
' � `> � � ��E > N � + E >U9 � O�E � a v + � a �
E paraa variacaodeentropia,tem-se ')(bcj*"d
V � � c� b ��� j*"d
V
- * � c�b �')(
bc N � + - * � �
(c) A variacaodaenergia internano ciclo deve sernula. Pode-seconfirmarissocalculando-seasvariacoesasso-ciadasaosprocessosabe cae somando-asaoja conhecidovalordavariacaonoprocessobc:'[h
int,ab�*ed
V
' � `> � � ��E > N � + E > O � ��E� � + n � � � �'[h
int,ca�*ed
V
' � `> � � ��E > N � + E > � � 9 E� � + � �6�� � � �
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'[hint,ciclo
'[hint,ab m '[h int,bc m '[h int,ca
l> n� m v � �6�� E�T � � �Paracalculara variacaodeentropiano ciclo, tambemseprecisacalculara variacaocorrespondenteaosprocessosabe caesomarosresultadosaovalor ja obtidoparao processobc. Comecandopeloprocessoisobaricoab:')(
abj*"d
P � � b� a ��� `> � � ��E > �� + E - * O � + - * � �
Comoo processoca nao e nema pressao,nema volumeconstante,usam-sedois outrosprocessosquelevemosistemado estadoc aoestadoa. Considere-seprimeiroum processoa pressaoconstante,� � , no qualo volumesejareduzidode O�� a � : �
c� c
�d� d ��
d 9 � � + � O�� � � � + �')(
cd�*ed
P � � d� c ��� ?> � � ��E > �� + E - * �O � � + - * � �
Agora,considere-seumprocessoa volumeconstante,queleveo sistemadoestadointermediariod aoestadoa:')(da�*ed
V � � a� d ��� ?> � � ��E > N � + E - * �� � N � + - * � �
E, finalmente,avariacaodeentropianociclo e:')(ciclo ')(
ab m ')( bc m ')( cd m ')( dal> � m N � � � � N � E + - * � � �
22.3 ProblemasAdicionais
P-56.
Um mol deumgasidealeusadoemumamaquinaqueoperaseguindoo ciclo daFig. 22-26.BCeDA saoproces-sosadiabaticosreversıveis.(a)Ogasemonoatomico,diatomicooupoliatomico?(b) Qualaeficienciadamaquina?� (a) Considerandoo processoadiabaticoBC e tomandoosvaloresinicial e final paraa pressaoe o volumedografico,vem � > ��� E ! � N � > � v � E ! �N �£3��&!¤3.�e! � v !��e! �� � SM¥ ! � �&Q;! �� m§¦ O ¦ e ¦ �
N �O gase,portanto,monoatomico.(b) Paraobteraeficienciadociclo, eprecisocalcularo calorabsorvidoeo calorliberado.No processoAB tem-se: AB
�*edP
' �Paraobteravariacaodatemperaturanesteprocesso,faz-se�
A � � + �
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�B � > � � E+ � � A � AB
`> � � ��C.Y - E > �� + E >� � + E � � � � �
No processoCD tem-se: CDc*ed
P
' � �Calculandoasvariacoesdetemperaturanecessarias,�
B � ! 5 HB �
C � ! 5 HC �� � � + > ��� ED! 5 H � c> � v � E�! 5 H ��
C ��
� � + �No processoisobaricoCD, vem � C�
C
� D�D ��
D �
C
� D� C
� � � + 9 � � v � � � O + � CD
?> � � �AC/Y - E > �� + E > �� � � + E � �
� � O �A eficienciadociclo edadapor: �o � AB �&��� CD �� AB � �� � ��� � � �&O� ��� � � � �P-57.
Um mol deum gasidealmonoatomico,inicialmentea pressaode� � ��� kN/mu e temperaturade v ��� K expandea
partir deum volumeinicial � � � ��� m7 ate � � � � ��� m7 . Durantea expansao,a pressaop e o volumedogasestaorelacionadospor � ?> � � ���[3R�2� 7 E � � f � 5 f �\¨ _ �ondep estaemkN/mu , � e � � estaoemm7 e @ � � ��� m7 . Quaissao: (a) apressaofinal e (b) atemperaturafinaldogas?(c) Qualo trabalhorealizadopelogasduranteaexpansao?(d) Quala variacaodeentropiadogasdurantea expansao?(Sugestao: usedoisprocessosreversıveissimplesparaachara variacaodeentropia.)� (a) Simplesmentesubstituindoosdadosfornecidosnarelacaodadaparaa pressaoemtermosdovolume,vem� > � � � �AC 7 E `> � � �)3G��� 7 E � � HJI ©M© 5 u I ©;© � �6� � ��� � � 9 O[3R�2� 7 N/mu �(b) Paraa temperaturafinal tem-se:
� � � � � � �� � �� � > � � 9 O)3R�2��7�T"@6E > � � ����C.7PE> � � ���[3R�2� 7 T"@6E > � � ����C 7 E v ��� Z O�O�� K �http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina13 de14
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Paracalcularo trabalhorealizadopelogas,vem: b � �� �b � a� ff � � � f � 5 f �\¨
_� �b � � f �\¨ _�ª � @�� 5 f ¨ _2« ff �b � @ � f �\¨ _ ª � � 5 f ¨ _ m � 5 f �U¨ _ «b ?> � � ���[3R�2� 7 E > � � ����E � H ª � � 5 u m � 5 H «b ?> � � ���i3G��� 7 E ª � � 5 H m � « NF� � v kJ�
(d) Paracalculara variacaodeentropia,consideram-sedoisprocessossucessivospelosquaiso sistemapassadoestadoinicial aofinal. Comecandoporumprocessoisotermicoa
� v ��� K, noqual'[h
int � e b , tem-se
�*,+ �.- * �^�� `> � � ��C.Y - E >\9 �MN ��O]V^��C.Y - � Z E > v ��� Z E - * � � ���� � ��� N O � 9 J�')(�¬ � � � � g v J/K �Considere-seagoraumprocessoisocorico,noquala pressaoea temperaturachegamaosvaloresfinais:b � e c*zd V
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