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LISTA 0 - Prof.JasonGallas,IF–UFRGS 29deDezembrode2004, as13:20
ExercıciosResolvidosdeDinamica Classica
JasonAlfr edoCarlson Gallas,professortitular de fısicateorica,
Doutor em Fısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do SulInstituto de Fısica
MateriaparaaPRIMEIRA prova. Numerac¸aoconformeaquarta edicaodo livro“FundamentosdeFısica”,Halliday, ResnickeWalker.
Estaeoutraslistasencontram-seem:http://www.if.ufrgs.br/� jgallas
Conteudo
4 Vetores 24.1 Problemase Exercıcios . . . . . . . . . 2
4.1.1 Somadevetores . . . . . . . . 2
4.1.2 Somandovetores atraves dassuascomponentes. . . . . . . . 2
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4 Vetores
4.1 Problemase Exercıcios
4.1.1 Somadevetores
P 3-6 (3-??/6�
edicao)
Um vetor � temmodulo�
unidadese esta dirigido paraleste.Um outrovetor, � , esta dirigido para � ��� a oestedo nortee temmodulode � unidades.Construadiagra-masvetoriaisparacalcular � � e ��� � . Estimeomoduloeaorientacaodosvetores� � e ��� � apartirdessesdiagramas.� Para resolver esteproblemacomo o livro deseja,necessita-sedepapelmilimetrado,reguaeumtransferi-dor, paramedirangulos.Irei resolver o problema usando sua representac¸aoalgebrica.As componentesdosvetores� e � sao����� ��� ������� �e � ��� � � sen � � � � ����� �� � � �!� �#"%$�&�� � � � ���'�)(*�O sinalde
� � e negativo poisparafazera somaalgebri-camente,precisamosprimeirotransladaro vetor � paraa origem do sistemade coordenadas.E claro que taltranslac¸aonaoe necessariano processograficoutiliza-do paraa soma.Entendabemo queesta sendofeito, asdiferencasentreosdoismetodosdeobtera soma.Portanto,paraasoma+ �,�- � temos
+ � ./� � � � � � � � �10� . � �2���'�3 � � �4� ��( 065 . ���7( � ��� � 0 �cujomoduloe89�;: 8=<� >8?<� �A@ . ���'( 0 <B,. �4� � 0 <�� �4�'�3C 5 �D� ���O anguloquea soma+ fazcoma horizontaleE3F � arctan
8=�8 � � arctan���'�)(���'( � � � � � � 5 � � � �
Dito demodoequivalente,o vetor + esta direcionadodeumangulode � � � � � � � � � � aOestedoNorte.
Parao vetordiferenca G � �H� � temos
G �I. �����'�3 J� ��� �4� ��( � � 0K5 . �9(�� � � �4� � 0 �
cujomoduloeL � : L <� L <� �A@ . �9(*� � 0 < �. ��� � 0 < ��M � �4N 5 M �O anguloqueadiferenca G fazcomahorizontaleE1O � arctan
L �L � � arctan�4� ��9(*� � � �1�D� � � �
Dito de modoequivalente,o vetor G esta direcionadode um angulode �1�D� � � a Norte do Oeste.Ou ainda,a � � �2�1�4� � � � C � �7( � aOestedoNorte.
4.1.2 Somandovetoresatravesdassuascomponen-tes
P 3-29 (3-??/6�
edicao)
Umaestac¸aoderadardetectaumaviaoquevemdoLes-te. No momentoemquee observadopelaprimeiravez,o aviao esta a � ��� m de distancia, � � � acimado hori-zonte,O aviao e acompanhadopor mais N �3� � no planoverticalLeste-Oestee esta a M C � m dedistanciaquandoeobservadopelaultimavez.Calculeo deslocamentodaaeronaveduranteo perıododeobservacao.� Chamemosde P aorigemdosistemadecoordenadas,de Q a posicaoinicial doaviao,ede R asuaposicaofi-nal. Portanto,o deslocamentoprocuradoe��SQ�R � �DSP�RA� �)SP�QT�Para
�DSP�R temos,definindoE �UN �3� � � � � �V � � � (1� � ,
que �DSP�R � W P�R WX. � senE9Y "%$�& E[Z 0� ./M C � 0 . � sen (1� � Y "%$)&\(1� � Z 0� � M �)��� ��� Y � � N � ��� Z
Analogamente,para��SP�Q temos�)SP�Q � W P�Q WX. "%$�&�� � � Y sen � � � Z 0� . � ��� 0 . "]$)&*� � � Y sen � � � Z 0� � � C�� ��� Y � � (*� N�N Z
Portanto��SQ�R � �DSP�RA� �)SP�Q� . � M ����� �*�^�_� � C�� ��� � � � N � ���^�2� � (*� N�N 0� . � N)N � M � M � � � � � C�( 0 �http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina2 de3
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cujamagnitudeeW ��SQ�R W��I@ . � N)N � M � M � 0 < ,. � � � C*( 0 < � N�N � M � M � �5 N�N � � m �O anguloqueo vetor
��SQ9R faz com a partenegativa do
eixo ` e
arctan a � � � C�(� N�N � M � M �cb �,� � ��� � rad �d� � � M � �o quesignificaqueo aviao voa quaseque horizontal-mente.
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LISTA 0 - Prof.JasonGallas,IF–UFRGS 20deNovembrode2004, as11:51
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4 Movimento emduase tr esdimensoes 2
4.1 Problemase Exercıcios . . . . . . . . . 24.1.1 Analise do Movimento de
Projeteis . . . . . . . . . . . . 2
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4 Movimento em duas e tr es di-mensoes
4.1 Problemase Exercıcios
4.1.1 Analisedo Movimento deProjeteis
P 4-37 (4-29/6�
edicao)
Uma bola e jogadado solo parao ar. A umaalturade�����m avelocidadee ��� � �� ���������� emmetrosporse-
gundo(i horizontal,j vertical).(a)Qualaalturamaximaalcancadapelabola?(b) Qualsera a distanciahorizon-tal alcancadapelabola? (c) Quala velocidadeda bola(moduloe direcao),no instanteemquebatenosolo?� (a)Chamede � o temponecessarioparaabolaatingira velocidadedada.Nestecasoteremos
����� ����� ����� � �! #"�$&% ��'()� ����� ����� � � " � $+*, % � ,
Eliminando� " entreestasduasequac¸oesobtemos- � � � , �.����� � $ ����� �0/�'
cujasraızessao �1��/ � 2 �34 e �1� $65 ��� 5 / � . Substituin-doa raizpositivanaexpressao�! #" � �����7�.��� 2 �encontramosque � " � � - � �82:9;� - � m/s. Portantoabolaira atingirumaalturamaximade
(8< � � , "5=% � � � - � �� ,5�� ��� 2 � � �8�m�
(b)Comoacomponentehorizontaldavelocidadeesem-prea mesma,temos
> � � �?A@ 5!� "%CB � � � � � 5�� � - � 8���� 2 � 585 � 2D9 5�E m�
(c) O modulodavelocidadee
� � F � , �? � � , "� G � � � � , � � � - � �� , � �H��� 3 9I� m/s
�O anguloque � fazcoma horizontaleJ � tanK * @ �8L�"� �? B
� tanK * @ � - � � � B � � 5 � �4� L 90� E L 'ouseja,esta orientada
� E L abaixo dahorizontal.
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ExercıciosResolvidosdeDinamica Classica
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Conteudo
5 Forcase Movimento – I 25.1 Questoes. . . . . . . . . . . . . . . . . 2
5.2 Problemase Exercıcios . . . . . . . . . 25.2.1 SegundaLei deNewton . . . . 25.2.2 AlgumasForcasEspecıficas . . 25.2.3 AplicacaodasLeisdeNewton . 3
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5 ForcaseMovimento – I
5.1 Questoes
Q 5-??
Cite bla-bla-bla...�
5.2 Problemase Exercıcios
5.2.1 SegundaLei deNewton
E 5-7 (5-7/6� edicao)
Nacaixade � kg daFig.5-36,saoaplicadasduasforcas,mas somenteuma e mostrada. A acelerac¸ao da cai-xa tambem e mostradana figura. Determinea segun-da forca (a) em notacao de vetoresunitariose (b) emmoduloesentido.� (a) Chamemosasduasforcasde ��� e ��� . Deacordocomasegundalei deNewton, ������� ���� , demodoque ���� ��������� . Na notacao de vetoresunitariostemos��� ������ e�� ������ sen ��"!����#���%$'&"() ��"!+*, ���-.�/���0�21 34*�1
Portanto
���5 67�98'6:��-"8)�;�6<��8=6:���0�21 3>8'*��?�@�.� AB�� "�%�/�C�;�9*=D N 1(b) O modulode ��� e dadoporE �� GF E ��IH E ��IJ GK 6:�� 9�98 � L6:��;�+8 � L �M N 1O anguloque ��� fazcomo eixo N positivo e dadopor
tan OP E �IJE �IH ��;��� "� ��21 -"Q@-;1O anguloeou � ! ou � ! R�0M9� ! L�;�0 ! . Comoambascomponentes
E �SH eE �IJ saonegativas,o valor corretoe�)�+ ! .
5.2.2 AlgumasForcasEspecıficas
E 5-11 (5-???/6� )Quaissaoa massae o pesode(a) um treno de -9 �� kg e(b) deumabombatermicade 3"�)� kg?� (a) A massae igual a -9 �� kg, enquantoqueo pesoeT U�WVX Y6Z-� 9�98=6Z[;1 M98% L-;�]\�3 N.(b) A massae igual a 3"�;� kg, enquantoqueo pesoeT U�WVX Y6^3"�;�+8=6Z[;1 M98% �32����Q)1 M N.
E 5-14 (5-11/6� )Umadeterminadapartıculatempesode ��� N numpon-to onde V� _[21 M m/s� . (a) Quaissao o pesoe a mas-sadapartıcula,seela for paraum pontodo espac¸o on-de V� _3/1 [ m/s� ? (b) Quaissao o pesoe a massadapartıcula,seelafor deslocadaparaum pontodo espac¸oondeaacelerac¸aodequedalivresejanula?� (a) A massae�` T V �9�[;1 M ��;1 � kg 1Num local ondeV� a321 [ m/s� a massacontinuara a ser�;1 � kg, maso pesopassaraasera metade:T b�WVX a6<�)1c��8=6^321 [98� a��� N 1(b) NumlocalondeVd L� m/s� amassacontinuaraaser�;1 � kg, maso pesoseraZERO.
E 5-18 (5-???/6� )(a)Um salamede ��� kg estapresoporumacordaaumabalanca demola,queesta presaaotetopor outracorda(Fig. 5-43a). Quala leituradabalanca? (b) Na Fig. 5-43b, o salameesta suspensopor umacordaquepassapor uma roldanae se prendea uma balanca de molaque,por suavez, esta presaa paredepor outracorda.Quala leiturana balanca? (c) Na Fig. 5-43c,a paredefoi substituıdapor outrosalamede ��� kg, a esquerda,eo conjuntoficou equilibrado.Quala leituranabalancaagora?
Em todosostrescasosa balanca naoesta acelerando,oquesignificaqueasduascordasexercemforca deigualmagnitudesobreela. A balanca mostraa magnitudedequalquerumadasduasforcasa ela ligadas. Em cadaumadassituacoesa tensao na cordaligadaao salametem queter a mesmamagnitudequeo pesodo salamepoiso salamenaoesta acelerando.Portantoa leituradabalanca e �WV , onde� e amassadosalame.Seuvalor eT G6:�9�+8=6ZM;1 [98% Y�0�9M N 1
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5.2.3 AplicacaodasLeis deNewton
P 5-21 (5-19/6� )Um foguete experimentalpode partir do repousoealcancar a velocidadede �+-��9� km/h em ��1 M s, comacelerac¸aoconstante.Qualaintensidadedaforcamedianecessaria,sea massado foguetee Q@�9� kg?� Bastausarmos
E `��e , ondeE
e a magnitudedaforca, e a acelerac¸ao,e � amassado foguete.A acelerac¸aoeobtidausando-seumarelacaosimplesdacinematica,a saber, f� ge"h . Para f� i�0-��9� km/h �0-9���>j] ;1 -k �3�393 m/s, temosque el �393�3)j>��1 Mk m�]3)\m/s� . Comistoa forca mediaedadaporE b��eX Y6<Q@���"8'6<�]3>\�8n Y��1c�Pop�+��q N 1E 5-23 (5-??/6� )
Seum neutronlivre e capturadopor um nucleo,elepo-deserparadono interiordonucleoporumaforca forte.Estaforcaforte,quemantemo nucleocoeso,enulaforado nucleo. Suponhaqueum neutronlivre comveloci-dadeinicial de �91 3po��0�9r m/s acabade ser capturadopor um nucleocomdiametrost u�+�)v �:w m. Admitindoquea forca sobreo neutrone constante,determinesuaintensidade.A massadoneutrone ��1 -"\xoy�0�;v � r kg.� A magnitudeda forca e
E z��e , onde e e aacelerac¸aodoneutron.Paradeterminaraacelerac¸aoquefazo neutronpararaopercorrerumadistancias , usamosa formula f � bf �{ #�@e>s/1Destaequac¸aoobtemossemproblemas
ed f � �pf �{�@s �|6:��1 3Xop�+��r=8 ��;6}�0� v �~w 8 ���[21 MXoy�0� � r m/s� 1A magnitudedaforca eE U��ed G6:��1 -"\xoy�0� v � r 8'67[;1 M�op�+� � r 8� Y�0-;1 3 N 1E 5-28 (5-15/6� )
Veja a Fig. 5-27. Vamosconsiderara massado blocoigual a M21 Q kg e o angulo OL � �� ! . Determine(a) atensao na cordae (b) a forca normalaplicadasobreobloco. (c) Determineo modulodaacelerac¸aodo blocosea cordafor cortada.
� (a) O diagramadecorpoisoladoemostradonaFig.5-27do livro texto. Comoa acelerac¸aodoblocoe zero,asegundalei deNewton fornece-nos� �y��V senO �� �y��V�$'&9(;O �;1A primeira destasequac¸oes nos permite encontraratensaonacorda:� ���V senOx a6ZM21 Q98'67[;1 M98 sen 9�9!� �3"� N 1(b) A segundadasequac¸oesacimafornece-nosa forcanormal:� b�WV�$=&9()OP Y6ZM;1cQ�8=6Z[21 M"8)$'&"() �� ! �\@� N 1(c) Quandoa cordae cortadaela deixade fazerforcasobreo bloco,quepassaaacelerar. A componenteN dasegundalei de Newton fica sendoagora ����V senOy ��e , demodoqueed a��� senOx Y�|6Z[21 M"8 sen �� ! Y��321 [ m/s� 1O sinalnegativo indicaqueaacelerac¸aoeplanoabaixo.
E 5-33 (5-???/6� )Um eletron e lancado horizontalmentecom velocida-dede ��1c�WoR�0�9r m/sno interior deum campoeletrico,que exercesobreele uma forca vertical constantede3/1 Qdo?�+�)v �:� N. A massado eletrone [21��9��o?�0�;v4� � kg.Determineadistanciaverticaldedeflexaodoeletron,nointervalodetempoemqueelepercorre �� mm,horizon-talmente.� A acelerac¸aodo eletrone verticale, paratodosefei-tos,aunicaforcaqueneleatuaea forcaeletrica;aforcagravitacionale muito menor. Escolhao eixo N no sen-tido davelocidadeinicial e o eixo � no sentidodaforcaeletrica. A origeme escolhidacomosendoa posicaoinicial do eletron.Comoa acelerac¸aoe forca saocons-tantes,asequac¸oescinematicassao
NW �f { h e �� �� e"h � �� E� h ���ondeusamos
E g��e paraeliminar a acelerac¸ao. Otempoqueo eletroncomvelocidadef { leva paraviajarumadistanciahorizontalde N# � �� mm e h| �N�j�f { esuadeflexaonadirecaodaforca e
� �� E��� Nf {/� � �� � 3/1 QPoy�0�)v �:�[;1����,oy�0� v4� � � � ��Xoy�0�)v����1c�xoy�0� r � � ��1cQdop�+� v�� m L�;1 ���2�+Q mm1
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E jogandoeletronscontraum tubode imagensquesuaTV funciona...Isto sera estudadonoscapıtulos23 e 24do livro.
P 5-38 (5-29/6� )Umaesferademassa �o|�0�;v w kg estasuspensaporumacorda.Umabrisahorizontalconstanteempurraa esferademaneiraqueelafaca um angulode "\ ! coma verti-cal derepousodamesma.Determine(a) a intensidadedaforca aplicadae (b) a tensaonacorda.� (a) Suponhamosabrisasoprandohorizontalmentedadireita paraa esquerda.O diagramade corpo isoladoparaaesferatemtresforcas:a tensao
�nacorda,apon-
tandoparacima e paraa direita e fazendoum anguloO��i >\ ! com a vertical, o peso �WV apontandoverti-calmenteparabaixo, e a forca
Eda brisa, apontando
horizontalmenteparaa esquerda.Comoa esferanaoesta acelerada,a forca resultantede-ve sernula. A segundalei de Newton nosdiz queascomponenteshorizontaise verticaisdasforcassatisfa-zemasrelacoes,respectivamente,�
senO�� E � �� $'&"()O��y��V �;1Eliminando
�entreestasduasequac¸oesobtemosE U�WV tan O 67 Xop�+� v w 8'6Z[21 M"8 tan >\@! �;1 �;��oy�0� v4� N 1
(b) A tensaopedidae� ��V$'&9(;O 6Z top�+�)v w 8'6Z[21 M"8$'&9(2 "\ ! b 21 -9MPoy�0� v4� N 1Percebaque talvez fossemais simplester-se primeirodeterminado
�e,aseguir,
E, naordemcontrariadoque
pedeo problema.
P 5-39 (5-??/6� )Uma moca de 39� kg e um treno de M21 3 kg estao sobrea superfıcie deum lagogelado,separadospor ��Q m. Amoca aplicasobreo treno umaforca horizontalde Q)1c�N, puxando-oporumacorda,emsuadirecao.(a)Qualaacelerac¸aodotreno? (b) Qualaacelerac¸aodamoca?(c)A quedistancia,emrelacao a posicao inicial damoca,elessejuntam,supondonulasasforcasdeatrito?� (a) Comoo atrito e desprezıvel, a forca damoca notreno e a unicaforca horizontalqueexisteno treno. Asforcasverticais,a forca da gravidadee a forca normaldogelo,anulam-se.
A acelerac¸aodo treno e
e"�� E�W� Q;1 �M21 3 L�;1 -9� m/s� 1(b) De acordocoma terceiralei deNewton, a forca dotrenonamocatambemede Q;1 � N. A acelerac¸aodamocae,portanto,
e>�� E� � Q)1c�3"� ��21��+ m/s� 1(c) A acelerac¸aodo treno e damoca temsentidosopos-tos.Suponhamosqueamocapartadaorigememova-sena direcao positiva do eixo N . Suacoordenadae dadapor
N4�� �� e"��h � 1O treno partede Ny YN { ���Q m e move-seno sentidonegativo de N . Suacoordenadaedadapor
N � �N { � �� e � h � 1ElesseencontramquandoN4�� �N2� , ousejaquando�� e>��h � bN { � �� e"��h � �dondetiramosfacilmenteo instantedoencontro:
h� a� �]N {e � le � �quandoentaoa moca teraandadoumadistancia
N � �� e � h � N { e"�e>�#Re"� 6}�+Q98'6Z�21��+ 98�;1��0 �l�;1 -9� L�;1 - m 1
P 5-40 (5-31/6� )Doisblocosestaoemcontatosobreumamesasematri-to. Uma forca horizontale aplicadaa um dosblocos,como mostradona Fig. 5-45. (a) Se � � ��;1 kg e� � ��91 � kg e
E L ;1c� N, determineaforcadecontatoentreosdoisblocos.(b) Mostreque,sea mesmaforcaE
for aplicadaa � � , aoinvesde � � , a forca decontatoentreosdoisblocose �)1�� N, quenao e o mesmovalorobtidoem(a). Expliquea diferenca.� (a) O diagramadecorpoisoladoparaamassa��� temquatroforcas:navertical, �k�IV e
� � , nahorizontal,para
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a direita a forca aplicadaE
e, paraa esquerda,a forcadecontato�� que ��� exercesobre��� . O diagramadecorpoisoladoparaa massa��� contem tresforcas: navertical, ����V e
� � e, na horizontal,apontandoparaadireita,a forca � . Notequeo pardeforcas �� e � e umparacao-reac¸ao,conformea terceiralei deNewton.A segundalei deNewtonaplicadapara� � forneceE �?�� b���'e �onde e e a acelerac¸ao.A segundalei deNewtonaplica-dapara��� fornece �� b� � e41Observe que como os blocosmovem-sejuntos com amesmaacelerac¸ao, podemosusaro mesmosımbolo eemambasequac¸oes.Da segundaequac¸aoobtemose� Y��j���� quesubstitui-danaprimeiraequac¸aodosfornece� :
�� E � ����%R��� 6Z 21 �98'6}��1c��8�)1 �b�91 � a�91�� N 1(b) Se � for aplicadaem � � emvezde � � , a forca decontatoe
�� E � ����%R��� 6Z 21 �98'6<�)1 98�)1 �b�91 � L�;1�� N 1A acelerac¸aodosblocose a mesmanosdoiscasos.Co-mo aforca decontatoe a unicaforcaaplicadaa umdosblocos,parececorretoatribuir-seaqueleblocoa mesmaacelerac¸aoqueaoblocoaoqual � eaplicada.No segun-do casoa forca decontatoaceleraum blococommaiormassadoquenoprimeiro,demodoquedevesermaior.
P 5-44 (5-33/6� )Um elevador e suacarga, juntos, tem massade �0-��9�kg. Determinea tensao no cabode sustentac¸ao quan-doo elevador, inicialmentedescendoa ��� m/s,eparadonumadistanciade 3>� m comacelerac¸aoconstante.� O diagramade corpo isoladotem duasforcas: pa-ra cima, a tensao
�no cabo e, para baixo, a forca�WV da gravidade. Se escolhermoso sentidoparaci-
macomopositivo, asegundalei deNewtondiz-nosque� �|�WVd ���e , ondee eaacelerac¸ao.Portanto,atensaoe � b�C6�V,le)8�1Paradeterminaraacelerac¸aoqueaparecenestaequac¸aousamosa relacao f � �f �{ #�@e"� �
ondea velocidadefinal e fy �� , a velocidadeinicial ef { ������ e �� ���3"� , a coordenadado pontofinal.Comisto,encontramos
eX ��f �{�@� �|6}���+�98 ��;6:��3>��8 ���\ a�91c\)� m/s� 1Esteresultadopermite-nosdeterminara tensao:� b�C6�V,le)8� Y6}�0-9���98� Z[21 M����1¡\>�+¢� Y��1 Mdop�+� w N 1P 5-52 (5-35/6� )
Umapessoade M9� kgsaltadepara-quedaseexperimentaumaacelerac¸ao,parabaixo,de �)1cQ m/s� . O para-quedastem Q kg demassa.(a)Quala forcaexercida,paracima,peloar sobreo para-quedas?(b) Quala forca exercida,parabaixo,pelapessoasobreo para-quedas?� (a) O diagramadecorpoisoladoparaa pessoa+para-quedascontemduasforcas: verticalmenteparacima aforca
E � doar, e parabaixoa forca gravitacionaldeumobjetodemassa�m Y67M��%�Q�8% LM9Q kg, correspondenteasmassasdapessoaedopara-quedas.Considerandoo sentidoparabaixocomopositivo,A se-gundalei deNewtondiz-nosque
�WVx� E � U��e �ondee e a acelerac¸aodequeda.Portanto,E � U�C6�Vd�ye)8� G6ZM"Q�8'67[;1 M��C�;1 Q98� L-9��� N 1(b) Consideremosagorao diagramade corpo isoladoapenasparao para-quedas.Paracimatemos
E � , e parabaixo temosa forca gravitacionalsobreo para-quedasde massa��£ . Al em dela, parabaixo atuatambem aforca
E £ , dapessoa.A segundalei deNewton diz-nosentaoque �t£�V, E £,� E � b��£]e , dondetiramosE £ b� £ 6ZeP�¤V;8� E � 6<Q�8=67�)1cQ��y[21 M"8�R-"�@� Q�M�� N 1P 5-55 (5-???/6� )
Imagineum modulodeaterrisagemseaproximandodasuperfıcie de Callisto, uma das luas de Jupiter. Se omotor forneceumaforca paracima (empuxo)de 9��-��N, o modulodescecomvelocidadeconstante;seo mo-tor forneceapenas���@�9� N, o modulo descecom umaacelerac¸aode �;1 �[ m/s� . (a) Qualo pesodo modulode
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aterrisagemnasproximidadesdasuperfıciedeCallisto?(b) Quala massado modulo?(c) Quala acelerac¸aoemquedalivre,proximaa superfıciedeCallisto?� Chamemosde V a acelerac¸ao da gravidadepertodasuperfıciedeCallisto,de � amassadomodulodeater-risagem,de e a acelerac¸ao do modulo de aterrisagem,e de
Eo empuxo(a forca paracima). Consideremos
o sentidoparabaixo como o sentidopositivo. Entao�WV�� E ���e . Se o empuxoforE �R � "�@-9� N, a
acelerac¸aoe zero,dondevemosque
��Vx� E � b�21Seo empuxofor
E � ��9�@��� N, aacelerac¸aoe e � ���21 9[m/s� , e temos
�WVx� E � ���e"��1(a) A primeira equac¸ao forneceo pesodo modulo deaterrisagem: T ���Vd E �� � "�@-�� N 1(b) A segundaequac¸aofornecea massa:
�` T � E �e>� "�@-����?���@�9��;1 �[ ��)1¡\xop�+� � kg 1(c) O pesodividido pelamassafornecea acelerac¸aodagravidadeno local,ouseja,
VX T� "�@-���)1¡\Poy�0� � Y��1c� m/s� 1P 5-58 (5-43/6� )
Um blocodemassa���X � 21c\ kg esta sobreum planocom �� ! deinclinacao,sematrito,presoporumacordaquepassaporumapolia,demassaeatritodesprezıveis,e temnaoutraextremidadeum segundoblocodemas-sa ���� `�;1 kg, penduradoverticalmente(Fig. 5-52).Quaissao(a)osmodulosdasacelerac¸oesdecadablocoe (b) o sentidodaacelerac¸aode ��� ? (c) Quala tensaonacorda?� (a) Primeiro, fazemoso diagramade corpo isoladoparacadaumdosblocos.Para ��� , apontandoparacimatemosa magnitude
�da
tensao na corda,e apontandoparabaixo o peso ����V .Para �k� , temostres forcas: (i) a tensao
�apontando
paracima,aolongodoplanoinclinado,(ii) a normal�
perpendicularaoplanoinclinadoeapontandoparacimae paraa esquerda,e (iii) a forca peso�k�¥V , apontando
parabaixo,fazendoum angulo OW u �� ! como prolon-gamentodanormal.Para �k� , escolhemoso eixo N paraleloao planoincli-nadoe apontandoparacima, e o eixo � na direcao danormalaoplano. Para � � , escolhemoso eixo � apon-tandoparabaixo. Comestasescolhas,a acelerac¸aodosdoisblocospodeserrepresentadapelamesmaletra e .As componentesN e � da segundalei de Newton para� � sao,respectivamente,� �p� � V senO � � e �� �y�WV�$'&"()O �21A segundalei deNewtonpara� � fornece-nos� � Vx� � �� � e41Substituindo-se
� �� � edb� � V senO (obtidada pri-meiraequac¸aoacima),nestaultimaequac¸ao,obtemosaacelerac¸ao:
e 6^� � �p� � senO"8�V�k�%?��� A �;1 ��C ;1¡\ sen �� ! D�67[;1 M98 21c\¦#�)1 L�;1¡\] 9Q m/s� 1
(b) O valor de e acima e positivo, indicandoque aacelerac¸aode � � apontaparacimado planoinclinado,enquantoquea acelerac¸aode � � apontaparabaixo.(c) A tensao
�nacordapodeserobtidaoude� � � e�R� � V senO 6Z 21c\�8'A �;1¡\] "Q�l[;1 M sen 9�9!ID� L�@�21 M�3 N �
ou,ainda,daoutraequac¸ao:� � � V,?� � e 67�)1 98=A [21 M��C�;1¡\] "Q�D/ L���;1 M@3 N 1P 5-63 (5-47/6� )
Um macacode �+� kg sobeporumacordademassades-prezıvel, quepassasobreo galhode umaarvore, sematrito, e tem presana outraextremidadeumacaixade��Q kg, queesta no solo (Fig. 5-54). (a) Qualo modulodaacelerac¸aomınimaqueo macacodeveterparalevan-tar a caixadosolo?Se,aposlevantara caixa,o macacoparardesubireficaragarradoacorda,quaissao(b) suaacelerac¸aoe (c) a tensaonacorda?� (a) Consideremos“para cima” comosendoos sen-tidos positivos tantoparao macacoquantoparaa cai-xa. Suponhamosqueo macacopuxea cordaparabaixo
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comumaforca demagnitudeE
. De acordocoma ter-ceira lei de Newton, a cordapuxao macacocom umaforca demesmamagnitude,demodoquea segundaleideNewtonaplicadaaomacacofornece-nosE �y����VX b����e>� �onde ��� e e>� representama massae a acelerac¸aodomacaco,respectivamente.Comoacordatemmassades-prezıvel, a tensaonacordaeo proprio
E.
A cordapuxaacaixaparacimacomumaforcademag-nitude
E, demodoqueasegundalei deNewtonaplicada
a caixae E � �p��£+V� U��£@e�£ �onde �t£ e e�£ representama massae a acelerac¸ao dacaixa,respectivamente,e
�e a forca normalexercida
pelosolosobreacaixa.Suponhamosagoraque
E E �¦§�¨ , ondeE ��§�¨ e a
forca mınima paralevantara caixa. Entao� ©� ee £ u� , poisa caixaapenas‘descola’do chao,semter
aindacomecadoa acelerar. Substituindo-seestesvalo-resnasegundalei deNewton paraa caixaobtemosqueE i� £ V que, quandosubstituidana segundalei deNewton parao macaco(primeiraequac¸ao acima),nospermiteobtera acelerac¸aosemproblemas:
e"�� E �p� � V��� 6Z�t£,�p� � 8~V��� 6}�+Q����0�98=6Z[21 M"8�+� b321 [ m/s� 1
(b) Para a caixa e para o macaco,a segundalei deNewtonsao,respectivamente,E �p� £ Vd b� £ e £ �E �p���VX U����e>�P1Agora a acelerac¸ao do pacotee parabaixo e a do ma-cacoparacima, de modoque e"�m ª��e £ . A primeiraequac¸aonosforneceE b� £ 6^V,#e £ 8� �� £ 6�VP�ye>�,8 �
quequandosubstituidana segundaequac¸ao acimanospermiteobter e>� :
e"� � £ �y���,8�V�t£,�p� � 6}�+Q��#�+�98~V�+Q���0� L� m/s� 1
(c) Dasegundalei neNewtonparaacaixapodemosob-terqueE U��£26�Vx�Ce � 8� G6:��Q�8=6Z[;1 M��C�;1 �"8� ����@� N 1P 5-70 (5-53/6� )
Um balao de massa« , com ar quente,esta descendo,verticalmentecomumaacelerac¸ao e parabaixo(Fig. 5-59). Quequantidadedemassadeveseratiradaparaforadobalao,paraqueelesubacomumaacelerac¸ao e (mes-mo moduloe sentidooposto)?Suponhaquea forca desubida,devidaaoar, naovarieemfuncaodamassa(car-gadeestabilizac¸ao)queeleperdeu.� As forcasqueatuamnobalaosaoa forca ��¬ dagra-vidade,parabaixo,ea forca � � doar, paracima.Antesdamassadeestabilizac¸aoserfogadafora, a acelerac¸aoeparabaixoe asegundalei deNewtonfornece-nosE � �C«�VX a�«�e �ouseja
E � L«�6�Vx�Ce)8 . Aposjogar-seforaumamassa� , a massado balaopassaa ser «�C� e a acelerac¸aoe paracima, com a segundalei de Newton dando-nosagoraaseguinteexpressaoE � �U67«®�y��8~VX a6<«®�y��8:e41Eliminando
E � entreasduasequac¸oesacimaencontra-mossemproblemasque
�` ��«�ee�CV ��«��?V;j@e 1
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ExercıciosResolvidosdeDinamica Classica
JasonAlfr edoCarlson Gallas,professortitular de fısicateorica,
Doutor em Fısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do SulInstituto de Fısica
MateriaparaaQUARTA prova. Numerac¸aoconformeaquarta edicaodo livro“FundamentosdeFısica”,Halliday, ResnickeWalker.
Estaeoutraslistasencontram-seem: http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas
Conteudo
6 Forcase Movimento – II 26.1 Questoes. . . . . . . . . . . . . . . . . 26.2 Problemase Exercıcios . . . . . . . . . 2
6.2.1 PropriedadesdoAtrito . . . . . 26.2.2 Forca de Viscosidadee a Velo-
cidadeLimite . . . . . . . . . . 46.2.3 MovimentoCircularUniforme . 46.2.4 ProblemasAdicionais . . . . . 6
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6 ForcaseMovimento – II
6.1 Questoes
Q 6-10
Cite bla-bla-bla...�
6.2 Problemase Exercıcios
6.2.1 Propriedadesdo Atrito
E 6-1 (6-??/6� edicao)
Um armario de quartocom massade ��� kg, incluindogavetase roupas,esta emrepousosobreo assoalho.(a)Seo coeficientedeatritoestaticoentreo movel eo chaofor ��� �� , quala menorforca horizontalqueumapessoadeveraaplicarsobreo armarioparacoloca-loemmovi-mento?(b) Seasgavetase asroupas,quetem �� kg demassa,foremremovidasantesdo armario serempurra-do,qualanovaforcamınima?� (a) O diagramade corpo livre desteproblematemquatroforcas. Na horizontal: apontandoparaa direitaesta a forca aplicada , paraa esquerdaa forca deatri-to � . Na vertical, apontandoparacima temosa forcanormal � do piso,parabaixoa forca ��� dagravidade.Escolhandoo eixo � nahorizontaleo eixo � navertical.Comoo armarioesta emequilıbrio (naosemove),a se-gundalei deNewton fornece-noscomocomponentes�e � asseguintesequac¸oes����� � ������ ��� � ���Dondevemosque
� �!�e�"� ��� .
Quando�
aumenta,�
aumentatambem, ate que���#%$ � . Neste instanteo armario comeca a mover-se.
A forca mınima que deve ser aplicadaparao armariocomecara mover-see�&� # $ �'� # $ ��� �)( �*� ���,+ ( ��-+ (/. � 0+ �21 �,� N �(b) A equac¸aopara
�continuaamesma,masamassae
agora��� � �� �!1 0 kg. Portanto�&� #%$ �3� �)( ��� ��-+ (41 0-+ (/. � 0+ � 1 � N �
P 6-2 (6-???/6� )Um jogadorde massa� � � . kg escorrega no cam-poe seumovimentoe retardadoporumaforca deatrito�!� ���5� N. Qual e o coeficientede atrito cinetico #%6entreo jogadoreo campo?� Nesteproblema,o diagramadecorpolivre temape-nastresforcas:Nahorizontal,apontandoparaaesquer-da,a forca � deatrito. Navertical,apontandoparacimatemosa forca normal � do solosobreo jogador, e parabaixoa forca �7� dagravidade.A forca de atrito esta relacionadacom a forca normalatravesda relacao
�8� #%6 � . A forca normal�
e ob-tida considerando-sea segundalei deNewton. Comoacomponeteverticaldaaceleraccaoezero,tambemo eacomponenteverticaldasegundalei deNewton,quenosdiz que ��� ��� � ���ouseja,que
�"� ��� . Portanto
# 6 � �� � ��3� � ���5�( � . + (9. � 0-+ � �*� :*;�E 6-8 (?????/6� )
Umapessoaempurrahorizontalmenteumacaixade �-�kg, paramove-lasobreo chao, com umaforca de
1,1 �N. O coeficientede atrito cinetico e ��� <-� . (a) Qual omodulo da forca de atrito? (b) Qual a acelelrac¸ao dacaixa?� (a) O diagramadecorpolivre temquatroforcas. Nahorizontal,apontandoparaadireitatemosaforca quea pessoafazsobrea caixa,e apontandoparaa esquerdaaforcadeatrito � . Navertical,paracimaaforcanormal� dopiso,eparabaixoa forca �7� dagravidade.A magnitudeda forca da gravidade e dadapor
�"�# 6 � , onde# 6 e o coeficientedeatritocinetico.Comoacomponenteverticaldaacelerac¸aoe zero,a segundaleideNewtondiz-nosque,igualmente,asomadascompo-nentesverticaisdaforcadeveserzero:
�=� ��� � � , ouseja,que
�"� ��� . Portanto��� #%6 �'� #%6 �3� �&( ��� <-�,+ ( �-�,+ (9. � 0-+ � >0 . N �(b) A acelerac¸ao e obtidadacomponentehorizontaldasegundalei deNewton. Como
�!����� ��? , temos
? � �!�@�� � 1-1 � � >0 .�,� � ���A�5: m/sB,�http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina2
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E 6-11 (6-9/6� )Uma forca horizontal
�de 1 N comprimeum bloco
pesando� N contraumaparedevertical (Fig. 6-18). Ocoeficientedeatrito estaticoentrea paredee o bloco e��� : , eo coeficientedeatritocineticoe ��� � . Suponhaqueinicialmenteo bloco nao estejaem movimento. (a) Oblocosemovera?(b) Quala forca exercidapelaparedesobreo bloco,emnotacaodevetoresunitarios?� (a) O diagramadecorpoisoladoconsisteaquidequa-tro vetores.Na horizontal,apontandoparaa direita,te-mosa forca
�e apontandoparaa esquerdaa forca nor-
mal�
. Navertical,apontandoverticalmenteparabaixotemoso peso��� , eapontandoparacimaaforcadeatri-to�
.Paradeterminarseo blococai, precisamosencontraramagnitude
�daforca defriccaonevessariaparamante-
lo semacelerarbemcomoencontrara forca da paredesobreo bloco. Se
�&C # $ � o bloco nao deslizapelaparedemasse
�ED # $ � o blocoiradeslizar.A componentehorizontaldasegundalei deNewton re-querque
�F�G�H� � , de modoque�I�J�H� 1 N
e, portanto,# $ �K�L( ��� :-+ ( 1 + � ��� 1 N. A componenteverticaldiz que
�M� ��� � � , demodoque��� �3� � �
N.Como
�EC #%$ � , vemosqueo bloconaodesliza.(b) Comoo bloconaosemove,
�N� � N e�K� 1 N.
A forcadaparedenoblocoe PO �)�Q�ER�ST�VUW�)(X� 15RYS � U + N �P 6-22 (6-13/6� )
Umacaixade :,0 kg epuxadapelochaaoporumacordaquefazum angulode >�-Z acimadahorizontal.(a) Seocoeficientedeatritoestaticoe ���A� , quala tensaomınimanecessaria parainiciar o movimentoda caixa? (b) SE# 6 � ��� <-� , qualasuaacelerac¸aoinicial?� (a) O diagramade corpoisoladotem quatroforcas.Apontandoparaa direitae fazendoum angulode [ �>�-Z coma horizontaltemosa tensao \ nacorda.Hori-zontalmenteparaa esquerdaapontaa forca deatrito � .Navertical,paracimaapontaa forcanormal � dochaosobrea caixa,e parabaixoa forca �7� dagravidade.Quandoa caixaaindanao semove asacelerac¸oessaozero e, consequentemente,tambe o sao as respectivascomponentesda forca resultante.Portanto,a segundalei deNewtonnosforneceparaascomponentehorizon-tal e verticalasequac¸oes,respectivamente,]_^a`b [ ��� � ���
]sen[ Sc��� ��� � ���
Estaequac¸oesnosdizemque�8�L]_^a`b [ e que
�d��3� �N] sen[ .Paraa caixapermaneceremrepouso
�temqueserme-
nordoque # $ � , ouseja,]_^e`-b [ C # $ ( �3� �N] sen[-+f�Destaexpressaovemosquea caixacomecara a mover-se quandoa tensao
]for tal que os dois lados da
equac¸aoacimacompemsem-se:]_^e`-b [ � #%$ ( �3� �N] sen[-+f�dondetiramosfacilmenteque
]2� #%$ �3�^e`-b [ S # $ sen[ � ( ���A�,+ ( :,0+ (9. � 0-+^e`-b �� Z S ���A� sen>� Z� <-�5� N �(b) Quandoa caixasemove, a segundalei de Newtonnosdiz que ]_^a`b [ �@� � �7?g��LS�]
sen[ � �3� � �*�Agora,poremtemos��� # 6 �'� # 6 ( ��� �h] sen[+f�ondetiramos
�dasegundaequac¸aoacima.Substituin-
doeste�
naprimeiradasequac¸oesacimatemos]_^a`-b [ � # 6 ( �3� �N] sen[-+ � ��?g�deondetiramosfacilmenteque
? � ]M(/^e`-b [ S # 6 sen[-+� � # 6 �� ( <-�5�+ (/^e`-b ��,Z S �*� <� sen>�-Za+:,0 �G( �*� <�,+ (9. � 0-+� ,� < m/sB-�
Percebabemondeseusa#%$ eondeentra# 6 .P 6-24 (6-15/6� )
NaFig. 6-24,A e B saoblocoscompesosde �,� N e1-1
N, respectivamente.(a)Determineo menorpeso(blocoC) quedeve sercolocadosobreo blocoA paraimpedi-lo dedeslizar, sabendoqueo coeficiente#%i entreA e a
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mesae ��� 1 . (b) Seo blocoC for repentinamenteretira-do, qualsera a acelerac¸aodo blocoA, sabendoque # 6entreA ea mesae �*�j�� ?� (a) Aqui temosDOISdiagramasdecorpoisolado.Odiagramaparao corpoB temapenasduasforcas: paracima, a magnitudeda tensao
]na corda,e parabaixo
a magnitudekml do pesodo bloco B. O diagramapa-ra o corpocompostopor A+C tem quatroforcas. Nahorizontal,apontandoparaa direita temosa tensao
]nacorda,eapontandoparaaesquerdaamagnitude
�da
forcadeatrito. Navertical,paracimatemosanormal�
exercidapelamesasobreosblocosA+C, eparabaixoopesokonqp , pesototaldeA+C.Vamossuporqueosblocosestaoparados(naoacelera-dos),e escolhero eixo � apontandoparaa direita e oeixo � apontandoparacima. As componentes� e � dasegundalei deNewtonsao,respectivamente,]r��� � �*���� kmnqp � �*�Parao blocoB tomamoso sentidoparabaixocomosen-dopositivo, obtendoque
kml �N]s� ���Portantotemosque
]=� kol e, consequentemente,que�7�s]t� kml . Temostambemque�"� k nqp .
Paraquenao ocorradeslizamento,e necessario que�
sejamenorque # i � , isto e que kml C # i k nqp . O me-norvalorque k nqp podetercomosblocosaindaparadose
kmnqp � k l# i � 1,1�*� 1 � ,>� N �Comoo pesodo bloco A e �-� N, vemosqueo menorpesodoblocoC e
k p � -u� � �-� � :-: N �(b) Quandoexistemovimento,asegundalei deNewtonaplicadaaosdoisdiagramasdecorpoisoladonosforne-ceasequac¸oes
]8��� � k n� ?g��J� k n � ���kml �N] � kol� ?g�
Alem destas,temos�v� # 6 � , onde
� � kon (dasegundaequac¸ao acima). Da terceiraacima tiramos
]=� k l �t( k lxw ��+y? . Substituindoasduasultimasex-pressoesnaprimeiraequac¸aoacimaobtemos
kol � k l� ? � #%6 k n � kon� ?g�Isolando? encontramos,finalmente,
? � � ( k l � # 6 konz+k n S kml � (/. � 0-+e{ 1-1;�8( ���|>�,+ ( �-�+~}�,� Sr1,1� 1 � < m/sB5�Percebabemondeentra# i e ondeseusa#%6 .6.2.2 Forca deViscosidadee a VelocidadeLimite
P 6-43 (6-33/6� )Calculea forca da viscosidadesobreum mıssil de �,<cm dediametro,viajandonavelocidadedecruzeirode1 �5� m/s,a baixaaltitude,ondea densidadedo ar e ,� 1kg/m� . Suponha� � �����5� .� UseaEq.6-18do livro texto:�m���'1 �W���Q� B �onde � e a densidadedo ar, � e a areada seccao retadomıssil, � e a velocidadedo mıssil,e � e o coeficien-te deviscosidade.A areaeadadapor � �F��� B , onde��� �*� �,< w 1�� �*� 1 :-� m eo raiodomıssil. Portanto,�m��� 1 ( �*�A�,�,+ ( ,� 1 + (�� + ( ��� 1 :�,+ B (91 �,�-+ B � :�� 1�� u� � N �6.2.3 Movimento Cir cular Uniforme
E 6-47 (?????/6� )Seo coeficientedeatritoestaticodospneusnumarodo-via e ��� 1 � , comquevelocidademaximaum carropodefazerumacurvaplanade ���Y� � m deraio,semderrapar?� A acelerac¸ao do carro quandofaz a curva e �B w � ,onde � e a velocidadedo carroe
�e o raio da curva.
Comoa estradae plana(horizontal),a unicaforca queevita comqueelederrapee a forca deatrito daestradacomospneus.A componentehorizontaldasegundaleideNewton e
�@� ����B w � . Sendo�
a forca normaldaestradasobreo carroe � a massado carro,a compo-nenteverticaldasegundalei nosdiz que
�"� �3� � � .Portanto,
��� �3� e #%i ��� #%i �3� . Seo carronao
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derrapa,�hC #%i �3� . Isto significaque ��B w �=C #%i � , ou
seja,que � Cs� #%i � � .A velocidademaxima com a qual o carro podefazera curva semdeslizare, portanto,quandoa velocidadecoincidir com o valor a direita na desigualdadeacima,ouseja,quando
� max�=� # i � � �=� ( ��� 1 �-+ ( �Y���A�,+ (/. � 0-+ � - m/s�
E 6-55 (?????/6� )No modelodeBohr do atomodehidrogenio,o eletrondescreve umaorbitacircularemtornodo nucleo. Seoraioe �Y� < � u�Y����� m eo eletroncircula :�� : � u���y� vezespor segundo,determine(a) a velocidadedo eletron,(b)a acelerac¸aodo eletron(moduloe sentido)e (c) a forcacentrıpetaqueatuasobreele. (Estaforca e resultantedaatracaoentreo nucleo,positivamentecarregado,e oeletron,negativamentecarregado.) A massado eletrone. �|, � >�Y� � � kg.� (a)
(b)(c)
E 6-56 (???/6� )A massa� esta sobreumamesa,sematrito,presaaumpesodemassa� , penduradopor umacordaquepassaatravesdeum furo no centrodamesa(vejaFig. 6-39).Determineavelocidadeescalarcomque � devesemo-verpara � permaneceremrepouso.� Para � permanecerem repousoa tensao
]na cor-
da temqueigualara forca gravitacional �!� sobre � .A tensao e fornecidapelaforca centrıpetaquemantem� emsuaorbitacircular:
])� ���B w�� , onde � e o raioda orbita. Portanto,�!� � ��� B�w�� , dondetiramossemproblemasque
� �&� �!� �� �
P 6-62 (?????/6� )Um estudantede :-0 kg, numaroda-gigantecom velo-cidadeconstante,tem um pesoaparentede �,�5� N nopontomaisalto. (a) Qualo seupesoaparenteno pontomaisbaixo? (b) E no pontomaisalto, sea velocidadedaroda-gigantedobrar?
Atencao: observequeo enunciadodesteproble-manaquartaedicaodo livro falaem“pesoapa-rentede �5: kg”, fazendoexatamenteaquiloquenaosedevefazer:confundirentresi,pesoemas-sa.
A origemdoproblemaesta natraducaodo livro.
O livro originaldiz que“um estudantede >�5� li-bras”....“temumpesoaparentede 1 � libras”.
O tradutornaopercebeuque,comosepodefaci-lementever no ApendiceF, “libra” e tantoumaunidadede massa,quantode peso. E e precisoprestaratencaoparanaoconfundirascoisas.
Assim,enquantoqueas ��5� libras referem-seaumamassade :,0 kg, as 1 � librasreferem-seaumpesode �,�5� N.� (a) No topoo acentoempurrao estudanteparacima
comumaforcademagnitude�o�
, iguala �-�5� N. A Terrapuxa-oparabaixocomumaforcademagnitudek , iguala :,05� �F( :-0-+ (9. � 0-+ � :,:-: N. A forca lıquidaapontandoparao centroda orbita circular e k �8� � e, de acordocoma segundalei deNewton,deveserigual a ���B w � ,onde� eavelocidadedoetudantee
�eo raiodaorbita.
Portanto
� ��B� � k �@�%��� :,:,: � �,�,� � ,>: N �Chamemosde
���a magnitudedaforca do acentosobre
o estudantequandoeleestiver nopontomaisbaixo.Talforcaapontaparacima,demodoqueaforca lıquidaqueapontaparao centrodo cırculo e
����� k . Assimsendo,temos
���z� k � �3��B w � , dondetiramos
� � � � �B� S k � ,>: S :-:,: � �50 1 N �quecorrespondema umamassaaparentede
� � � ���� ���V01. � 0 � � . ��� kg �
(b) No topotemosk �@�o��� �3� B w � , demodoque� � � k � � ��B�2�Seavelocidadedobra,���B w � aumentaporumfatorde� , passandoaser ,>: � � � �-:5� N. Entao�%��� :,:,: � �-:,� �!1 � 1 N �correspondendoaumamassaefetivade
� � � �o�� �1 � 1. � 0 �21 �*� : kg �
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LISTA 1 - Prof.JasonGallas,IF–UFRGS 23deOutubrode2003, as10:09a.m.
P 6-65 (6-45/6� )Um aviaoesta voandonumcırculohorizontalcomumavelocidadede �0,� km/h. Seasasasdoaviaoestaoincli-nadas��-Z sobrea horizontal,qualo raio do cırculo queo aviao faz?Vejaa Fig. 6-41. Suponhaquea forca ne-cessariasejaobtidada“sustentac¸aoaerodinamica”,quee perpendiculara superfıciedasasas.� O diagramade corpoisoladodo aviao contem duasforcas: a forca ��� da gravidade,parabaixo,e a forca�
, apontandoparaa direita e fazendoum angulode [com a horizontal. Como as asasestao inclinadas�-�Zcoma horizontal,a forca desutentac¸aoe perpendicularasasase,portanto,[ �2. � � �� � �,�-Z .Comoo centrodaorbitaestaparaadireitadoaviao,es-colhemoso eixo � paraa direita e o eixo � paracima.A componente� e � dasegundalei deNewtonsao,res-pectivamente,
�@^a`b [ � � � B� ��sen[ � �3� � �*�
onde�
e o raio da orbita. Eliminando�
entreasduasequac¸oese rearranjandoo resultado,obtemos
� � � B� tan [��Para � � �0,� km/h
� u<,< m/s,encontramos�!� ( u<-<-+yB. � 0 tan �5� Z �!1 � 1�� u� � m �P 6-70 (6-47/6� )
A Fig.6-42mostraumabolade ,� <5� kg presaaumeixogirantevertical por duascordasde massadesprezıvel.As cordasestao esticadase formam os lados de umtrianguloequilatero. A tensao na cordasuperiore de<-� N. (a) Desenheo diagramade corpoisoladoparaabola. (b) Qual a tensao na cordainferior? (c) Qual aforca resultantesobrea bola, no instantemostradonafigura?(d) Quala velocidadedabola?� (a) Chamede
] 6 e] �
astensoesnascordasdecimae debaixo respectivamente.Entaoo diagramadecorpoisoladoparaa bolacontemtresforcas: parabaixoatuao peso�7� dabola.Paraaesquerda,fazendoumangulo[ � <-�-Z paracima,temos\�� . Tambemparaaesquerda,poremfazendoum angulo[ � <,�Z parabaixo,temosaforca \�� . Comoo triaguloe equilatero,percebaqueo
anguloentre\�� e \�� temqueserde :,�Z sendo[ , comomostraa figura,a metadedestevalor.Observeaindaquea relacaoentreasmagnitudesde \��e \�� e
] 6 D�] � , pois \�� deve contrabalanc¸ar naoape-naso pesodabolamastambema componentevertical(parabaixo)de \ � , devida acordadebaixo.(b) Escolhendoo eixohorizontal� apontandoparaaes-querda,no sentidodo centrodaorbitacircular, e o eixo� paracimatemos,paraa componente� dasegundaleideNewton ] 6 ^a`b [ Sc]q�*^a`b [ � � �B� �onde� e avelocidadedabolae
�e o raiodasuaorbita.
A componente� e] 6 sen[ �h]�� sen[ � �3� � �*�Estaultimaequac¸aoforneceatensaonacordadebaixo:]�� �s] 6 � ��� w sen[ . Portanto
]�� � <� � ( ,� <5��+ (/. � 0+sen<-� Z � 0������ N �
(c) A forca lıquidae paraa esquerdae temmagnitude��¡¢�)(�] 6 S�] � + ^a`-b [ �)( <-� S 0*�A�V�+ ^e`-b <-� Z � <���� . N �(d) A velocidadee obtidada equac¸ao
�%¡N� ���B w � ,observando-seque o raio
�da orbita e ( tan [ �( ,��� w 1 + w � , vejaafigurado livro):
� � ,��� w 1tan <,� Z � ,� ��� m �
Portanto
� �=� �£�%¡� � � ( -� �Y�5+ ( <�Y� . +,� <5� � :�� �� m/s�6.2.4 ProblemasAdicionais
6-72 (?????/6� )Uma forca ¤ , paralelaa umasuperfıcie inclinada >�-Zacimadahorizontal,agesobreumblocode ��� N, comomostraaFig. 6-43.Oscoeficientesdeatritoentreo blo-co e a superfıciesao #%i � �*� � e # 6 � �*� <,� . Seo blocoinicialmenteesta em repouso,determineo moduloe osentidodaforcadeatritoqueatuanele,paraasseguinteintensidadesdeP: (a) � N, (b) 0 N, (c) �� N.�
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LISTA 2 - Prof.JasonGallas,IF–UFRGS 17deOutubrode2003, as8:20a.m.
ExercıciosResolvidosdeDinamica Classica
JasonAlfr edoCarlson Gallas,professortitular de fısicateorica,
Doutor em Fısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do SulInstituto de Fısica
MateriaparaaQUARTA prova. Numerac¸aoconformeaquarta edicaodo livro“FundamentosdeFısica”,Halliday, ResnickeWalker.
Estaeoutraslistasencontram-seem: http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas
Conteudo
7 Trabalho eEnergia Cinetica 27.1 Questoes. . . . . . . . . . . . . . . . . 27.2 Problemase Exercıcios . . . . . . . . . 2
7.2.1 Trabalho: movimento���
comforca constante. . . . . . . . . 2
7.2.2 Trabalho executadopor forcavariavel . . . . . . . . . . . . . 3
7.2.3 Trabalhorealizadoporumamola 47.2.4 EnergiaCinetica . . . . . . . . 47.2.5 Potencia. . . . . . . . . . . . . 57.2.6 Energia Cineticaa Velocidades
Elevadas . . . . . . . . . . . . 7
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7 Trabalho eEnergia Cinetica
7.1 Questoes
Q 7-13
As molasA eB saoidenticas,excetopelofatodequeAe maisrıgidado queB, isto e ������� . Qualdasduasmolasrealizaumtrabalhomaior(a) quandoelassofremo mesmodeslocamentoe (b) quandoelassaodistendi-daspor forcasiguais.� (a) Temos ��� � ��������� e �� � �������� , onde �representao deslocamentocomumaambasmolas.Por-tanto, �� � ���� � ���ouseja, ����� � .(b) Agora temos ��� � ��� �� ��� e � � !� � ��� ,onde��� e �� representamosdelocamentosprovocadospelaforca identicaqueatuasobreambasasmolasequeimplica ter-se,emmagnitude," � � ���#�$� � %�� �dontetiramos��&� � �����%� � . Portanto �� � ��� � ��� (' � �)���!� � �* � � ��� �,+ ���ouseja, �� + � .
7.2 Problemase Exercıcios
7.2.1 Trabalho: movimento�-�
comforca constan-te
E 7-2 (7-7/6. edicao)
Paraempurrarumcaixotede /�0 kg numpisosematrito,umoperarioaplicaumaforcade � � 0 N, dirigida � 0�1 aci-madahorizontal.Seo caixotesedeslocade 2 m, qualo trabalhoexecutadosobreo caixote(a) pelooperario,(b) pelopesodo caixotee (c) pelaforca normalexerci-dapelopisosobreo caixote?(d) Qualo trabalhototalexecutadosobreo caixote?
� (a) A forcaaplicadaeconstanteeo trabalhofeito porelae �3 ��4&576�� "98%:7;�<>= �onde 4 e a forca, 6 e o deslocamentodo caixote,e
=e
o anguloentrea forca 4 e o deslocamento6 . Portanto, �3 �?'@� � 0 *A' 2 * :A;B< � 0 1 � /�C�0 JD(b) A forca da gravidadeapontaparabaixo, perpendi-cularaodeslocamentodo caixote. O anguloentreestaforca e o deslocamentoe C�0 1 e, como
:A;�< C�0 1E� 0 , otrabalhofeito pelaforca gravitacionale ZERO.(c) A forca normalexercidapelopisotambematuaper-pendicularmenteao deslocamento,de modoqueo tra-balhoporelarealizadotambeme ZERO.(d) As tresforcasacimamencionadassaoasunicasqueatuamno caixote.Portantoo trabalhototal e dadopelasomadostrabalhosindividuaisrealizadosporcadaumadastresforcas,ouseja,o trabalhototal e /�C�0 J.
P 7-9 (???/6. )A Fig. 7-27 mostraum conjuntode poliasusadoparafacilitar o levantamentodeum pesoF . Suponhaqueoatrito sejadesprezıvel e queasduaspoliasdebaixo,asquaisesta presaa carga,pesemjuntas � 0 N. Uma car-gade G�H�0 N deve serlevantada
� � m. (a) Quala forcamınima 4 necessariaparalevantara carga? (b) Qualotrabalhoexecutadoparalevantara carga de
� � m? (c)Qualo deslocamentodaextremidadelivredacorda?(d)Qualo trabalhoexecutadopelaforca 4 pararealizarestatarefa?� (a) Supondoqueo pesodacordaedesprezıvel (istoe,quea massadacordasejanula),a tensaonelae a mes-ma ao longo de todo seucomprimento.Considerandoasduaspoliasmoveis(asduasqueestaoligadasaopesoF ) vemosquetaispoliaspuxamo pesoparacimacomumaforca
"aplicadaemquatro pontos,demodoquea
forca totalparacimaaplicadanaspoliasmoveise H " .Se"
for a forca mınimaparalevantara carga(comve-locidadeconstante,i.e.semacelera-la),entaoasegundalei deNewtonnosdiz quedevemosterH "JILKJM � 0 �ondeKJM
representao pesototal da carga maispoliasmoveis,ouseja,
KJM �N' G�HB0%O � 0 * N. Assim,encontra-mosque " � G�P�0H ��� � / N D
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(b) O trabalhofeito pelacordae � H "98 � KJMQ8 ,onde8
eadistanciadelevantamentodacarga.Portanto,o trabalhofeito pelacordae �N' G�P�0 *7' � ��*R� � 0�2 � 0 JD(A respostanatraducaodo livro esta incorreta.)(c) A cadametroquea carga sobe,cadasegmentodacordaentreo conjuntosuperiore inferior depoliasdi-minui deummetro.Ouseja,aextremidadelivredacor-daabaixode H metros.Portanto,no total a extremidadelivredacordamove-se' H *A' � ��*!� H�G m parabaixo.(d) O trabalhofeito pelapessoaquepuxaa cordapelaextremidadelivre e � "98 � KJMQ8 � H , onde
8e a
distanciaquea extremidadelivresemove. Portanto,
�N' G�P�0 * HBGH � � 0�2 � 0 JDObserve queos valoresencontradosnositens(b) e (d)devemcoincidir, o quenaoocorrecomasrespostasfor-necidasno livro.
P 7-12 (???/6. )Um blocode 2SDUT�/ kg epuxadocomvelocidadeconstan-te por umadistanciade H�D 0�P m em um piso horizontalpor umacordaqueexerceumaforca de TVD P�G N fazen-do um angulode
� /�1 acimada horizontal. Calcule(a)o trabalhoexecutadopelacordasobreo bloco e (b) ocoeficientedeatritodinamicoentreo blocoeo piso.� (a)A forcanacordaeconstante,demodoqueo traba-lho edadopor ��4$5W6�� "98%:A;B<>= , onde4 e a forcaexercidapelacorda,6 e a distanciado deslocamento,e=
e o anguloentrea forca eo deslocamento.Portanto �N' TVD P�G *7' H�D 0�P * :7;�< � / 1 � 2�0>D � JD(b) A respostapodeserobtidafacilmentefazendo-seumdiagramadecorpolivre ondeconstemtodasas(quatro)forcasaplicadas.Desenheumponto X representandoo bloco.Em X , de-senhea forca normal Y apontandoparacima, a forcapesoZE[ apontandoparabaixo. Apontandohorizontal-menteparaaesquerdadesenheaforca \ deatrito. Dese-nheaforca 4 quepuxao blocoapontandoparaadireitae paracima,fazendoumangulo
=comahorizontal,
Comistotudo,asegundolei deNewtonnosdizqueparaqueo blocosemovasemacelerardevemosterequilıbriotantonahorizontalquantonavertical,o quenosforneceasequac¸oes,respectivamente,"$:A;�<�=]I_^ � 0 �` O " sen
=aI Z M � 0SD
A magnitudedaforca deatrito e dadapor^ ��bdc ` �ebdcV' Z MfIL" sen= * �
ondeo valorde`
foi obtidodasegundaequac¸aoacima.Substituindoo valorde
^naprimeiradasequac¸oesaci-
maeresolvendo-aparab c encontramossemproblemasque
b c � "$:A;B<>=Z MgI$" sen=
� ' TQD P�G * :7;�< � / 1' 2>D /BT *7' CSD G * I ' TQD P�G * sen� / 1 � 0>D ��� D
7.2.2 Trabalho executadopor forca vari avel
P 7-16 (???/6. )A forca exercidanumobjetoe
" 'h�i*j� "lk 'm�i��� k9I � * .Calculeo trabalhorealizadoparadeslocaro objetode�n� 0 ate �&�o��� k (a) fazendoum graficode
" 'h�i* edeterminandoa areasobacurvae(b) calculandoa inte-gralanaliticamente.� (a) A expressaode
" 'h�i* diz-nosquea forca variali-nearmente com � . Supondo� k �p0 , escolhemosdoispontosconvenientespara,atravesdeles,desenharumalinhareta.Para�q� 0 temos
" � Ir" k enquantoquepara�s�J��� ktemos
" � " k , ousejadevemosdesenharumalinha re-ta quepassepelospontos ' 0 � Ir" k * e '@��� k � " k * . Faca afigura!Olhandoparaa figuravemosqueo trabalhototal e da-do pelasomadaareadedoistriangulos:um quevai de�E� 0 ate �q��� k , o outroindode �E�e� k ate �q���� k .Comoosdoistriangulostema mesmaarea,sendoumapositiva, a outranegativa, vemosqueo trabalhototal eZERO.(b) Analiticamente,a integralnosdiz que
� t �vu�wk " kyx �� 1 I �-z 8 �� " k{x � ���� k I � z}||| �vu wk � 0SD
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7.2.3 Trabalho realizadopor uma mola
E 7-18 (7-21/6. )Umamolacomumaconstantedemolade
� / N/cmestapresaa umagaiola,comonaFig. 7-31. (a) Qualo tra-balhoexecutadopelamola sobrea gaiolasea mola edistendidade TVD P mm emrelacaoaoseuestadorelaxa-do? (b) Qualo trabalhoadicionalexecutadopelamolaseelaedistendidapormais TQD P mm?� (a) Quandoa gaiolamove-sede �E�e�y~ para�E��� �o trabalhofeito pelamolae dadopor
� t u-�u�� ' I � �i* 8 � � I�� � � � ||| u �u �� I �� � 'h� �� I � � ~ * �
onde � e a constantede forca da mola. Substituindo� ~ � 0 m e � � � TQD P�� � 0S�#� m encontramos
� I �� ' � /�0�0 *7' TVD P�� � 0 �i� * � � I 0SD 0�HB2 JD(b) Agora bastasubstituir-se �y~�� TVD PL� � 0S�#� m e� � � � /QD � � � 0S�#� m naexpressaoparao trabalho:
� I �� ' � /�0�0 *>�@' � /QD ��* � I ' TVD P * ��� � ' � 0 �i� * �� I 0SD � 2 JDPercebaqueduranteo segundointervaloo trabalhorea-lizado e maisdo queo dobrodo trabalhofeito no pri-meiro intervalo. Emborao deslocamentotenhasidoidenticoem ambosintervalos,a forca e maior duranteo segundointervalo.
7.2.4 Energia Cinetica
E 7-21 (7-???/6. )Seum fogueteSaturnoV com umaespac¸onave Apoloacopladatemumamassatotal de � D C]� � 0�� kg e atingeumavelociadede
��� D � km/s,quala suaenergiacineticanesteinstante?� Usandoa definicaodeenergiaconeticatemosque� � �� Zs� � � �� '@� D C�� � 0 � *A' ��� D � � � 0 � *� � D�T�/f� � 0 ~ � JD
E 7-22 (7-1/6. )Um eletrondeconducao(massaZ � CSD ��� � � 0S�#� ~ kg)do cobre,numatemperaturaproximado zeroabsoluto,temumaenergiacineticade P>D�T(� � 0Q� ~�� J.Qualavelo-cidadedoeletron?� A energiacineticaedadapor
� � Zq� � ��� , ondeZ eamassadoeletrone � asuavelocidade.Portanto
� ��� � �Z � � �S' PSDUTf� � 0 � ~�� *C>D ��� � � 0 �#� ~ � � D � � � 0�� m/sDE 7-29 (???/6. )
Um carrode� 0�0�0 kg esta viajandoa P�0 km/h numaes-
tradaplana.Osfreiossaoaplicadospor um temposufi-cienteparareduzira energiacineticado carrode /�0 kJ.(a)Qualavelocidadefinal docarro?(b) Quala reducaoadicionaldeenergiacineticanecessariaparafaze-lopa-rar?� (a) A energiacineticainicial docarroe
�]� � Zs� �� ��� ,ondeZ e a massadocarroe
� � � P�0 km/h � P�0f� � 0��2�P�0�0 � � PSDUT m/s
ea suavelocidadeinicial. Isto nosfornece� � �N' � 0�0�0 *7' � P>D�T * � ����� � D 2�C�� � 0 � JDAposreduzirem /�0 kJ a energiacineticateremos�a� � � D 2�C�� � 0 � I /�0�� � 0 � � GSD C�� � 0�� JDComisto,a velocidadefinal docarrosera
� � ��� � �a�Z � � �S' GSD C�� � 0 � *� 0�0�0 � � 2>D 2 m/s� HVTQD G km/hD(b) Comoaoparara energiacineticafinal do carroseraZERO,teremosqueaindaremover GSD C!� � 0 � Jparafaze-lo parar.
P 7-35 (7-17/6. )Um helicopterolevantaverticalmenteum astronautadeT � kg ate
� / m dealturaacimadooceanocomo auxıliodeum cabo. A acelerac¸ao do astronautae
M � � 0 . Qualo trabalho realizadosobreo astronauta(a) pelo he-licopteroe (b) pelo seuproprio peso?Quaissao (c) aenergiacineticae (d) avelocidadedoastronautanomo-mentoemquechegaaohelicoptero?
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� (a) Chamede"
a magnitudedaforca exercidapelocabonoastronauta.A forca docaboapontaparacimaeo pesoZ M doastronautaapontaparabaixo.Al emdisto,aacelerac¸aodoastronautae
M � � 0 , paracima.Deacordocoma segundalei deNewton,"JI Z M � Z M � � 0 �demodoque
" � ��� Z M � � 0 . Comoaforca 4 eo deslo-camento6 estaonamesmadirecao,o trabalhofeito pelaforca 4 e
3�� "98 � ��� Z M� 0 8 � ��� ' T ��*A' CSD G *A' � / *� 0� � D � P�� � 0�� JD(b) O pesotemmagnitudeZ M eapontanadirecaoopos-tadodeslocamento.Eleexecutaumtrabalho �� � I Z MV8 � I ' T ��*7' CSD G *7' � / *)� I � D 0�Pg� � 0�� JD(c) O trabalhototal feito e �� � ��� P�0�0 I � 0�P�0�0 � � 0�0�0 JDComo o astronautapartiu do repouso,o teoremadoTrabalho-Energiadiz-nosquesuaenergia cineticafinaldeveraseriguala �(d) Como
� � Zq� � ��� , avelocidadefinal doastronautasera
� � � � �Z � � �>' � 0�0�0 *T � � /QD � T m/s � � G>D C km/hDP 7-36 (7-19/6. )
Umacordae usadaparafazerdescerverticalmenteumbloco,inicialmenteemrepouso,demassa
Kcomuma
acelerac¸ao constanteM � H . Depoisqueo bloco desceu
uma distancia8, calcule(a) o trabalhorealizadopela
cordasobreo bloco, (b) o trabalhorealizadosobreoblocopeloseupeso,(c) aenergiacineticadoblocoe (d)a velocidadedobloco.� (a) Chamede
"amagnitudedaforcadacordasobre
o bloco. A forca"
apontaparacima, enquantoqueaforca dagravidade,demagnitude
KJM, apontaparabai-
xo. A acelerac¸aoeM � H , parabaixo.Considereo sentido
parabaixo comosendoo sentidopositivo. A segundalei deNewtondiz-nosque
KJMfI$" � KJM � H , demodoque" � 2 KJM � H . A forca esta direcionadano sentido
opostoaodeslocamentodemodoqueo trabalhoqueelafaze �3 � Ir"98 � I 2 KJMQ8 � H>D
(b) A forca da gravidade apontano mesmosentidoqueo deslocamentode modoqueela faz um trabalho �� � KJMV8 .(c) O trabalhototal feito sobreo blocoe
�� � I 2H KJMV8 O KJMQ8 � �H KJMQ8 DComoo bloco partedo repouso,o valor acimacoinci-decomsuaenergiacinetica
�aposhaver baixadouma
distancia8.
(d) A velocidadeaposhaverbaixadoumadistancia8
e
� �N� � �K ��� MQ8� D7.2.5 Potencia
P 7-43 (???/6. )Um blocodegranitode
� HB0�0 kg epuxadoporumguin-dastea vaporao longo de umarampacom velocidadeconstantede
� D 2�H m/s(Fig.7-38).O coeficientedeatritodinamicoentreo blocoearampae 0SD H . Qualapotenciadoguindaste?� Paradeterminara magnitude
"da forca com queo
guindastepuxao granitousaremosumdiagramadecor-po livre.Chamemosde
^a forca deatrito, no sentidoopostoao
de"
. A normal Y apontaperpendicularmentea ram-pa,enquantoqueamagnitudeZ M daforcadagravidadeapontaverticalmenteparabaixo.O angulo� doplanoinclinadovale
� � tan� ~ x 2�0H�0 z � 2VT 1 DTomemoso eixo � nadirecaodoplanoinclinado,apon-tandoparacimaeo eixo � apontandonomesmosentidodanormal Y .Comoa acelerac¸aoe zero,ascomponentes� e � dase-gundalei deNewtonsao,respectivamente,"JI_^aI Z M sen� � 0 �`oI Z M�:7;�< � � 0SDDa segundaequac¸ao obtemosque
` � Z M�:7;�< � , demodoque
^ ��bdc ` ��bdc Z M�:A;�< � . Substiutindoes-te resultadonaprimeiraequac¸aoe resolvendo-apara
"obtemos " � Z M x sen��O bdc :A;�< � z D
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A forcadoguindasteapontanomesmosentidoqueave-locidadedobloco,demodoqueapotenciadoguindastee X � " �
� Z M � x sen�(O b c :7;�< � z� ' � H�0�0 *7' CSD G *7' � D 2�H * x sen2BT 1 O�0SD H :A;B< 2BT 1 z� � T kW D
P 7-47 (???/6. )Umaforcade / N agesobreumcorpode
� D�/ kg inicial-menteemrepouso.Determine(a) o trabalhoexecutadopela forca no primeiro, segundoe terceirosegundose(b) a potenciainstantaneaaplicadapela forca no finaldo terceirosegundo.� (a) A potenciae dadapor X � " � e o trabalhofeitopor 4 entreo instante� ~ e � � e
� t� � � X 8 � �t� � � " � 8 ��D
Como 4 e a forca total, a magnitudeda acelerac¸ao e¡ � ^ � Z e a velocidadeem funcao do tempoe dadapor � � ¡ � � " � � Z . Portanto
� t � �" � �Z 8 � � �� " �Z x � �� I � � ~ z D
Para � ~�� 0 se � � � � s temos
~ � �� x / �� / z)¢ ' � * � I ' 0 * ��£ � 0SD G�2 JDPara � ~�� � se � � �e� s temos
� � �� x / �� / zR¢ '@��* � I ' � * ��£ ��� D / JDPara � ~��e� se � � � 2 s temos
� � �� x / �� / zR¢ ' 2 * � I '@��* ��£ � H�D � JD(b) Substitua� � " � � Z em X � " � obtendoentaoX � " � � � Z paraa potencianum instante� qualquer.Ao final do terceirosegundotemos
X � ' / * � ' 2 *� / � / W D
P 7-48 (7-35/6. )Um elevadordecargatotalmentecheiotemumamassatotal de
� � 0�0 kg e deve subir /�H m em 2 min. O con-trapesodo elevadortemumamassade C�/�0 kg. Calcu-le a potencia(emcavalos-vapor)queo motordo eleva-dordevedesenvolver. Ignoreo trabalhonecessarioparacolocaro elevador em movimento e parafrea-lo, istoe, suponhaquesemova o tempotodo com velocidadeconstante.� O trabalhototal e a somados trabalhosfeitos pelagravidadesobreo elevador, o trabalhofeito pelagravi-dadeno contrapeso,e o trabalhofeito pelomotorsobreo sistema: � � $¤�Oe �¥%Oe �¦ . Comoo elevadormove-secomvelocidadeconstante,suaenergiacineticanao mudae, de acordocom o teoremado Trabalho-Energia,o trabalhototal feito e zero. Isto significaque $¤RO� $¥)O� �¦ � 0 .O elevadormove-se/�H m paracima,demodoqueo tra-balhofeito pelagravidadesobreelee ¤r� I Z ¤ MV8 � I ' � � 0�0 *7' CSD G *7' /�H *l� I PSD 2�/f� � 0 � JDO contrapesomove-separabaixopelamesmadistancia,demodoqueo trabalhofeito pelagravidadesobreelee $¥ � ZE¥ MQ8 �N' C�/�0 *A' CSD G *7' /�H *�� /QD 0�2�� � 0 � JDComo � � 0 , o trabalhofeito pelomotore ¦J� I ¤ I ¥§� ' PSD 2�/ I /QD 0�2 * � � 0 �
� � D 2 � � � 0 � JDEste trabalhoe feito num intervalo de tempo ¨f� �2 min � � G�0 s e, portanto,a potenciafornecidapelomotorparalevantaro elevadore
X � �¦¨f� � � D 2 � � � 0��� G�0 � T�2�/ W DEstevalorcorrespondeaT�2�/ WT�H�P W/hp
� 0SD C�C hpDP 7-49 (???/6. )
A forca(masnaoapotencia)necessariapararebocarumbarcocomvelocidadeconstanteeproporcionalaveloci-dade.Sesaonecessarios
� 0 hpparamanterumaveloci-dadede H km/h, quantoscavalos-vaporsaonecessariosparamanterumavelocidadede
� � km/h?
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� Comoo problemaafirmaquea forca e proporcionala velocidade,podemosescrever quea forca e dadapor" �?© � , onde� e a velocidadee © e umaconstantedeproporcionalidade.A potencianecessariaeX � " � �e© � � DEstaformula nos diz que a potenciaassociadaa umavelocidade� ~ e X ~ �ª© � �~ e a uma velocidade� � eX � �«© � �� . Portanto,dividindo-seX � por X ~ podemosnoslivrardaconstante© desconhecida,obtendoque
X � � x � �� ~ z � X ~ DPara X ~r� � 0 hpe � � � 2�� ~ , vemossemproblemasque
X � � x � �H z � ' � 0 *!�N' 2 * � ' � 0 *)� C�0 hpDObserve quee possıvel determinar-seexplicitamenteovalor de © a partir dosdadosdo problema.Porem, talsolucaoemenoselegantequeaacimaapresentada,ondedeterminamos© implicitamente.
7.2.6 Energia Cineticaa VelocidadesElevadas
E 7-50 (???/6. )Um eletronsedeslocade /QD � cmem 0SD � / ns. (a) Qualearelacaoentreavelocidadedoeletroneavelocidadedaluz? (b) Qual e a energia do eletronem eletrons-volt?(c) Qualo erropercentualquevoce cometeriaseusas-sea formulaclassicaparacalculara energiacineticadoeletron?� (a) A velocidadedoeletrone
� � 8 � � /SD � � � 0S� �0>D � /g� � 0 � � �J� D 0�H�� � 0�¬ m/sD
Comoavelocidadedaluz e �e� D C�C�G(� � 0 ¬ m/s,temos
� � � D 0�H� D C�C�G � 0>D P�G��D(b) Comoa velocidadedo eletrone proximadaveloci-dadedaluz,devemosusarexpressaorelativısticaparaaenergiacinetica:� � ZE � x �® � I � � � � I � z� ' CSD ��� � � 0 � ~ *7'@� D C�C�G�� � 0 ¬ * �x �® � I ' 0>D P�G * � I ��z� 2>D 0�� � 0 � ~ � JDEstevalor eequivalentea
� � 2SD 0�� � 0Q� ~ �� D P�0�� � 0 � ~¯� � � D C�0�� � 0 � � � C�0 keV D(c) Classicamentea energiacineticae dadapor� � �� Zq� � � �� ' CSD ��� � � 0 �#� ~ *A'°� D 0�H±� � 0�¬ * �� � D C�0f� � 0 � ~ � JDPortanto,o erropercentuale,simplificandojaapotenciacomum
� 0Q� ~ � queapareceno numeradore denomina-dor,
erropercentual � 2SD 0 I � D C2SD 0 � 0SD 2BT �ou seja, 2BT�² . Percebaque nao usara formula rela-tivısticaproduzumgrandeerro!!
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ExercıciosResolvidosdeDinamica Classica
JasonAlfr edoCarlson Gallas,professortitular de fısicateorica,
Doutor em Fısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do SulInstituto de Fısica
MateriaparaaQUARTA prova. Numerac¸aoconformeaquarta edicaodo livro“FundamentosdeFısica”,Halliday, ResnickeWalker.
Estaeoutraslistasencontram-seem:http://www.if.ufrgs.br/� jgallas
Conteudo
8 Conservacaoda Energia 28.1 Questoes. . . . . . . . . . . . . . . . . 28.2 Problemase Exercıcios . . . . . . . . . 2
8.2.1 Determinac¸ao da Energia Po-tencial . . . . . . . . . . . . . . 2
8.2.2 Usandoa Curva deEnergia Po-tencial . . . . . . . . . . . . . . 7
8.2.3 ConservacaodaEnergia . . . . 8
8.2.4 TrabalhoExecutadopor ForcasdeAtrito . . . . . . . . . . . . 8
8.2.5 MassaeEnergia . . . . . . . . 11
Comentarios/Sugestoese Erros:favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br
(listam2.tex)
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8 Conservacaoda Energia
8.1 Questoes
Q 8-10
Cite algunsexemplospraticos de equilıbrio instavel,neutroe estavel.�
8.2 Problemase Exercıcios
8.2.1 Determinacaoda Energia Potencial
E 8-1 (8-??/6� edicao)
Uma determinadamola armazena��� J de energia po-tencialquandosofreumacompressaode ���� cm. Quala constantedamola?� Comosabemosqueaenergiapotencialelasticaarma-zenadanumamolae ��� ������� ������ , obtemosfacilmen-teque
��� ����� �� � � ����� �����!�� !������ � �#"�� $&%(')!�* N/m �
E 8-6 (8-3/6� )Um pedacinhode gelo sedesprendeda bordade umataca hemisfericasematrito com � � cm deraio (Fig. 8-22). Com que velocidadeo gelo esta se movendoaochegaraofundodataca?� A unicaforca quefaz trabalhosobreo pedacinhodegeloea forcadagravidade,queeumaforcaconservati-va.Chamandode +-, aenergiacineticadopedacinhodege-lo na bordada taca, de +/. a suaenergia cinetica nofundodataca,de 0, suaenergiapotencialdabordaede1. suaenergiapotencialno fundodataca, temosentao
+/.3241.5�#+-,6240,7�Consideremosa energia potencialno fundodataca co-mo sendozero. Nestecasoa energia potencialno topovale 0,8�:9<;�= , onde = representao raio da taca e 9
representaa massado pedacinhodegelo.Sabemosque+/,>�?! poiso pedacinhodegelopartedorepouso.Cha-mandode @ a velocidadedo pedacinhodegeloaoatin-gir o fundo,temosentao,daequac¸aodaconservacaodaenergiaacimaque 9<;�=A�?9B@������ , o quenosfornece
@&�DC ��;�=E� C �6��$�� " �F��!6� � ���G�#���H' m/s�E 8-8 (8-13/6� )
Um caminhaoqueperdeuos freiosesta descendoumaestradaem declive a 'JI ! km/h. Felizmentea estradadispoedeumarampadeescape,comumainclinacaode'���K (Fig. 8-24). Qualo menorcomprimentoda rampaparaquea velocidadedo caminhao cheguea zeroan-tesdo final da rampa?As rampasdeescapesaoquasesemprecobertascom uma grossacamadade areiaoucascalho.Porque?Nota:usoo valor 'JI ! km/hdasextaedicaodolivro, emvezdos ')��! km/hdaquarta,ja quenaquartaedicaonaoe fornecidanenhumaresposta.� Desprezeo trabalho feito por qualquer forca defriccao. Nestecasoa unicaforca a realizartrabalhoea forcadagravidade,umaforca conservativa.Seja+ , aenergia cineticado caminhaono inıcio darampadees-capee + . suaenergia cineticano topodarampa.Seja1, e �. os respectivosvaloresda energia potencialnoinıcio eno topodarampa.Entao
+ . 24 . �#+ , 24 , �Setomarmosa energia potencialcomosendozero noinıcio da rampa,entao . �L9/;�M , onde M e a alturafinal do caminhaoemrelacaoa suaposicaoinicial. Te-mosque +-,N�#9B@������ , onde@ e a velocidadeinicial docaminhao,e +/./�O! ja queo caminhaopara.Portanto9<;�M-�?9B@������ , dondetiramosque
M<� @���P; � �Q')I�!�%R'J! * �PI S�!�!��Q��6��$6� "�� �TS S����I m �Sechamarmosde U o comprimentodarampa,entaote-remosque U sen '���K(�VM , dondetiramosfinalmenteque
UW� Msen ')� K � S S����I
sen ')� K ��������� !�S m �Areia ou cascalho,quesecomportamnestecasocomoum “fluido”, temmaisatrito queumapistasolida, aju-dandoa diminuir maisa distancianecessariaparapararo veıculo.
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E 8-10 (8-??/6� )Um projetil comumamassade �X� Y kg e disparadopa-ra cimado alto deumacolinade ')� � m dealtura,comumavelocidadede ')��! m/se numadirecaoquefazumangulode Y6'�K com a horizontal. (a) Qual a energiacinetica do projetil no momentoem que e disparado?(b) Quala energia potencialdo projetil no mesmomo-mento?Suponhaquea energia potenciale nulanaba-se da colina ( Z��[! ). (c) Determinea velocidadedoprojetil nomomentoemqueatingeo solo.Supondoquearesistenciadoarpossaserignorada,asrespostasacimadependemdamassadoprojetil?� (a) Se 9 for a massado projetil e @ suavelocidadeaposo lancamento,entaosuaenergiacineticaimediata-menteaposo lancamentoe
+-,>� '� 9B@ � � '� ����� Y�! �F�Q')��! � � �#� �X� !&%R'J!�* J�(b) Sea energia potenciale tomadacomozeroquandoo projetil atingeo soloesuaalturainicial acimadosolofor chamadade M , entaosuaenergiapotencialinicial e
1,>�?9<;�M-�\�]�X� Y��^��$�� " �F�Q')� ���G�#��� $�Y�%(')! * J�(c) Imediatamenteantesdeatingir o soloa energia po-tencial e zeroe a energia cineticapodeserescritaco-mo sendo +/._�`9B@��. ��� , onde @�. e a velocidadedoprojetil. A energiamecanicaeconservadaduranteo voodoprojetil demodoque +<.8�?9B@ �. ���A�T+-,a2�0, dondetiramosfacilmenteque
@�. � b ����+/,�2c1,��9� b ��de��� �X� !f2c�X� $�Y���%R'J! *hg�X� Y ! �i')��$ m/s�
Osvaloresde +-,kj7+/.6ja1, e �. dependemtodosdamas-sado projetil, porema velocidadefinal @�. naodependeda massase a resistenciado ar puderser consideradadesprezıvel.Observe queo tal angulode Y�')K naofoi usadoparana-da! Talvezsejapor isto queesteexercıcio ja naomaisaparec¸a nasedicoessubsequentesdo livro...
E 8-12 (8-17/6� )Umaboladegudede � g e disparadaverticalmentepa-ra cimapor umaespingardademola. A moladeve sercomprimidade " cm paraquea boladegudeapenasal-canceum alvo situadoa ��! m dedistancia. (a) Quala
variacao da energia potencialgravitacionalda bola degudeduranteasubida?(b) Qualaconstantedamola?� (a) Nesteproblemaa energia potencialpossuidoistermos:energiapotencialelasticadamolaeenergiapo-tencialgravitacional.Considereo zerodaenergia potencialgravitacionalco-mosendoaposicaodaboladegudequandoamolaestacomprimida.Entao,aenergiapotencialgravitacionaldaboladegudequandoelaesta no topoda orbita (i.e. nopontomaisalto) e GlE�?9<;XM , ondeM e aalturadopon-to maiselevado.Tal alturae M/�#��!f2W!6� ! "E����!6� ! " m.Portanto
Glm�D���&%R'J!�n * �F��$�� " �F����!�� !�" �0�#!�� $�Y�" J�(b) Comoa energia mecanicae conservada,a energiada mola comprimidadeve ser a mesmaque a ener-gia potencialgravitacional no topo do voo. Ou seja,�X ��)���o�p9/;�M��[Gl , onde � e a constanteda mola.Portanto,
��� �� l � � ����!�� $�Y�" ���!�� !�"�� � �?I�!����� N/m �Observeque
I !����� N/m qTI��e'A%(')! � N/m �TI6�H' N/cmjquee a respostaoferecidapelolivro-texto.
E 8-13 (8-5/6� )Umabolademassa9 esta presaa extremidadedeumabarrade comprimentoU e massadesprezıvel. A outraextremidadeda barrae articulada,de modoquea bo-la podedescrever um cırculo planovertical. A barraemantidana posicao horizontal,comona Fig. 8-26, atereceberum impulso parabaixo suficienteparachegaraopontomaisalto do cırculo comvelocidadezero. (a)Quala variacaodaenergia potencialdabola? (b) Qualavelocidadeinicial dabola?� (a) Tomeo zeroda energia potencialcomosendoopontomaisbaixoatingidopelabola. Comoa bolaestainicialmentea umadistanciavertical U acimado pon-to maisbaixo,a energia potencialinicial e 0,r�\9<;XU ,sendoa energiapotencialfinal dadapor 1.s�?9<;��]��Ur� .A variacaodaenergiapotenciale,portanto,t ��_1.Euv0,N�T�P9<;XU(uR9<;�Uv�T9/;XUf�(b) A energia cinetica final e zero. Chamemosde+/,o�w9B@������ a energia cinetica inicial, onde @ e avelocidadeinicial procurada. A barranao faz traba-lho algum e a forca da gravidade e conservativa, de
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modoquea energia mecanicae conservada. Isto sig-nifica que
t +x�yu t ou, em outraspalavras, queuz9B@������A�iuz9<;XU demodoquetemos
@&� C �P;�Uz�P 8-17 (8-21/6� )
Umamolapodesercomprimida� cm por umaforca de� ��! N. Um bloco de '�� kg de massae liberadoa par-tir do repousodo alto deum planoinclinadosematritocuja inclinacao e I�! K . (Fig. 8-30). O bloco comprimea mola �X�� cm antesdeparar. (a) Quala distanciatotalpercorridapeloblocoate parar?(b) Quala velocidadedobloconomomentoemquesechocacoma mola?� A informacaodadanaprimeirafrasenospermitecal-culara constantedamola:
���|{ � � �P!!6� !�� �i'�� I �s%R'J!�} N/m �(a) Considereagorao blocodeslizandoparabaixo. Seele parte do repousoa uma altura M acimado pontoondeele paramomentaneamente,suaenergia cineticae zero e sua energia potencialgravitacional inicial e9<;XM , onde 9 e a massado bloco. Tomamoso zeroda energia potencialgravitacionalcomosendoo pontoondeo blocopara. Tomamostambema energia poten-cial inicial armazenadanamolacomosendozero. Su-ponhaqueo bloco comprimaa mola uma distancia antesde pararmomentaneamente.Nestecasoa ener-gia cineticafinal e zero,a energia potencialgravitacio-nal final e zero, e a energia potencialfinal da mola e�� ������ . O planoinclinadonaotematrito e a forca nor-mal que ele exercesobreo bloco nao efetuatrabalho(pois e perpendiculara direcaodo movimento),demo-do quea energia mecanicae conservada. Isto significaque 9<;XM-���� � ��� , dondetiramosque
M/� �X ���P9<; � �k'�� I �s%(')! } �^��!6� !���� �Q����k')���F��$6� "�� �T!6�H'P��Y m �Seo blocoviajasseumadistancia~ peloplanoinclinadoabaixo,entao ~ sen I�! Kz�#M , demodoque
~3� Msen I�! K � !6�H'P��Y
senI ! K �T!6� I�� m �(b) Imediatamenteantesde tocar a mola o bloco dis-ta !6� !���� m do pontoondeira estarem repouso,e as-sim esta a umadistanciaverticalde ��!6� !���� � sen I�!�K8�!�� ! ����� m acimada suaposicao final. A energia po-tencial e entao 9/;�M6�A���Q'����F��$�� " �F��!6� !�� ��� ����I����I J.
Por outro lado, suaenergia potencialinicial e 9<;XM?��k')� �^��$6� "��^��!��e'���Y��f����!6� � J. A diferenca entreestedoisvaloresfornecesuaenergiacineticafinal: +<.5�T��!���zuI6� ��IE�\'��X� � J.Suavelocidadefinal e,portanto,
@&� b ��+/.9 � b �6�Q'��X� � �'�� �i' �� m/s�
P 8-21 (8-??/6� )Umabalademorteirode � kg edisparadaparacimacomumavelocidadeinicial de 'J! ! m/se um angulode I�Y�Kemrelacao a horizontal. (a) Quala energia cineticadabalano momentodo disparo?(b) Qual e a variacaonaenergia potencialdabalaate o momentoemqueatingeo pontomaisaltodatrajetoria?(c) Qualaalturaatingidapelabala?� (a) Seja9 amassadabalae @P� suavelocidadeinicial.A energiacineticainicial e entao
+ , � '� 9B@ �� � '� ��� �^�k'J!�!�� � �#�X��&%(')! } J�(b) Tomeo zerodaenergiapotencialgravitacionalcomosendoo pontodetiro echamede 1. aenergiapotencialno topodatrajetoria. 1. coincideentaocoma variacaodaenergiapotencialdesteo instantedotiro ateo instan-te emqueo topodatrajetoria e alcancada.Nestepontoa velocidadedabalae horizontale temo mesmovalorquetinhano inıcio: @��-�_@P�>�F� �X��� , onde ��� e o angulodetiro. A energiacineticano topoe
+ . � '� 9B@ �� � '� 9<@ �� �F� � � �)� �Comoa energiamecanicaeconservada
'� 9<@ �� �_ . 2 '� 9B@ �� �^� � � �����Portanto
1. � '� 9B@ �� �Q'fu��^��� � � � �� '� 9B@ �� sen� � �� '� �]���^�k'J! ! � � sen� I�Y K� ��� "&%(')! * J�
(c) A energia potencialno topo da trajetoria e tambemdadapor 1.c��9<;XM , onde M e a altura (desnıvel) do
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topo em relacao ao pontode tiro. Resolvendopara M ,encontramos:
M/� 1.9<; � �X� "�%R'J! *�]���F��$�� " � �\'JS ! m �P 8-23 (8-23/6� )
A cordadaFig. 8-31tem U4�O')��! cm decomprimentoe a distancia � ate o pino fixo � e de ��� cm. Quandoa bolae liberadaemrepousonaposicao indicadanafi-gura,descrevea trajetoria indicadapelalinha tracejada.Qual e a velocidadeda bola (a) quandoesta passandopelopontomaisbaixoda trajetoria e (b) quandochegaaopontomaisalto datrajetoria depoisquea cordatocao pino?� Chamede � o pontomaisbaixo quea bola atingee de � o pontomaisalto da trajetoria apos a bola to-car no pino. Escolhaum sistemasde coordenadacomo eixo Z originando-seno ponto � e apontandoparaci-ma. A energia inicial da bola de massa9 no campogravitacionaldaTerraantesdesersoltavale �\�?9<;�U .Conservacaodaenergiafornece-nosentaoumaequac¸aoparaa velocidade@ dabolaemqualquerlugarespecifi-cadopelacoordenadaZ :
�\��9<;XUW� '� 9B@ � 2W9<;�Z��(a) Com Z��o�_! em 9<;XUc�p�� 9<@��� 2o9/;�Z�� , obtemosfacilmenteque
@ � � C �P;�Uv� C �]���F��$�� " �F�Q' � � �G�TY6� " m/s�(b) Importanteaquieperceberqueo tal pontomaisaltodatrajetoria depoisquea cordatocao pinonaoeopon-to U�u&� (comoafiguraparecequererindicar)massimoponto Z��o�#�6��UBu<��� , poisabolatemenergiasuficienteparachegarate ele! E nestedetalhezitoquemorao pe-rigo... :-) SubstituindoZ�� em 9<;�Uo� �� 9B@��� 2o9<;�Z�� ,obtemosentaofacilmenteque
@��o� C ��;������Eu�U���� C ����$6� "��^d ����!��������>u4'��� g� �X� Y m/s�
Qual a razao desteultimo valor sera metadedo ante-rior?...
P 8-25 (8-25/6� )Deixa-secair umblocode � kg deumaalturade Y�! cmsobreumamolacujaconstantee ���i'J$ S�! N/m (Fig.8-32). Determineacompressaomaximadamola.
� Seja 9 a massado bloco, M a alturada quedae acompressaodamola. Tomeo zerodaenergia potencialcomosendoaposicaoinicial dobloco.O blococaiumadistanciaM�2E esuaenergiapotencialgravitacionalfinale uz9/;���M�24 �� . Valorespositivosde indicamter ha-vido compressao damola. A energia potencialdamolae inicialmentezeroe �� � ��� nofinal. A energiacineticae zerotantono inıcio quantono fim. Comoa energia econservada,temos
!8�\uz9/;����|2o ��>2 '� �� � �As solucoesdestaequac¸aoquadraticasao
� 9<;E� C ��9/;�� � 2o��9/;�M���� ')$�� Sf� C �Q')$�� S � � 2c���k'J$6� S��^�]��"�Y��')$�S !
quefornecedoisvalorespara : !6�H')! m ou uf!6� ! "�! m.Comoprocuramosumacompressao,o valor desejadoe!6�H')! m.
P 8-27 (8-27/6� )Duascriancasestao competindoparaver quemconse-gueacertarnumapequenacaixacom umabola de gu-le disparadapor umaespigardademolacolocadasobreumamesa.A distanciahorizontalentreabordadamesae a caixae de ��� � m (Fig. 8-34).Joaocomprimea mola' �H' cmeabolacai ��� cmantesdoalvo. DequandodeveMariacomprimira molaparaacertarnacaixa?� A distanciaque a bola de gudeviaja e determina-da pelasuavelocidadeinicial, quee determinadapelacompressaodamola.Seja M a alturadamesae a distanciahorizontalate opontoondea bola de gudeaterrisa. Entao ���@P�)� eM���;�� � ��� , onde @P� e a velocidadeinicial da bola degudee � e o tempoqueelapermanecenoar. A segundaequac¸aofornece
�0� C � M���; demodoque <�T � C � M���;��A distanciaate o ponto de aterrisageme diretamenteproporcionala velocidadeinicial pois O�[@ � � . Seja@ � � avelocidadeinicial doprimeirotiro e � adistanciahorizontalateseupontodeaterrisagem;seja@P� � avelo-cidadeinicial dosegundotiro e � adistanciahorizontalateseupontodeaterrisagem.Entao
@ � � � � � @ � � �http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina5 de11
LISTA 2 - Prof.JasonGallas,IF–UFRGS 10deNovembrode2003, as10:23
Quandoa mola e comprimidaa energia potencial e��~F���P� , onde ~ e a compressao. Quandoa boladegudeperdecontatoda molaa energia potenciale zeroe suaenergia cineticae 9B@��� ��� . Comoa energia mecanicaeconservada,temos
'� 9B@ �� � '� ��~ � jdemodoqueavelocidadeinicial daboladegudeedire-tamenteproporcionalacompressaooriginaldamola.Se~ � for a compressaodo primeirotiro e ~ � a do segundo,entao @P� � ��� ~ � ��~ � �¡@P� � . Combinandoisto como resul-tadoanteriorencontramos~ � �¢�� � �� � �£~ � . Tomandoagora � ����� ��!�u4!6� ���(��' � $ I m, ~ � �¢'��e'J! cm, e � �#��� � m, encontramosacompressao ~ � desejada:
~ � �¥¤ �X���! m'�� $�I m ¦ �Q'��e'J! cm�1�\'����� cm�
P 8-31 (8-26/6� )Tarzan,quepesaS "�" N, decideusarum cipo de 'J" mdecomprimentoparaatravessarumabismo(Fig. 8-36).Do pontodepartidaateo pontomaisbaixodatrajetoria,desce I��� m. O cipo e capazde resitir a uma forcamaximade $���! N. Tarzanconseguechegaraooutrola-do?� Chamandode 9 a massado Tarzane de @ a suave-locidadenopontomaisbaixotemosque
'� 9B@ � �T9/;�M>jonde M e a altura que Tarzandesce. Destaexpressaotiramosque
@ � �T��;�M-������I6� � �£;&�TS�� Y�;��Poroutro lado,no pontomaisbaixotemos,dasegundalei de Newton, quea forca centrıpetaesta relacionadacoma tensaonocipo atravesdaequac¸ao
9 @��§ ��¨�uR9/;�jonde
§e o raiodatrajetoria. Portanto,temosque
¨T�T9/;E2v9 @��§ � 9/;A2 S6� Y 9/;§� S�" " ¤ '�2 S6� Y'J"3¦� $�I��X� S N �
Como ¨`©�$���! N, vemosqueTarzanconsegueatra-vessar, porem estirandoo cipo muito perto do limitemaximoqueeleaguenta!
P 8-32 (8-29/6� )Na Fig. 8-31mostrequesea bolafizer umavolta com-pletaem torno do pino, entao �#ªpI Ur��� . (Sugestao:A bolaaindadeve estarsemovendoquandochegaraopontomaisalto datrajetoria. Voce saberiaexplicar porque?)� Antesdemaisnada,esteproblemaeumacontinuac¸aodoproblema8-23.Releia-oantesdecontinuar.Useconservacaoda energia. A energia mecanicadeveseramesmanotopodaoscilacaoquantoo erano inıciodo movimento. A segundalei deNewton fornecea ve-locidade(energia cinetica)no topo. No topo a tensao¨ nacordae a forca dagravidadeapontamambasparabaixo,emdirecaoaocentrodo cırculo. Notequeo raiodo cırculo e =A�#U�u�� , demodoquetemos
¨v2v9/;��T9 @��U�u�� jonde @ e a velocidadee 9 e a massada bola. Quan-do a bola passapelo ponto mais alto (com a menorvelocidadepossıvel) a tensao e zero. Portanto,9<;4�9B@��)�X��U�uR��� e temosque @�� C ;���U�u���� .Tome o zero da energia potencialgravitacional comosendono pontomaisbaixodaoscilacao. Entaoa ener-gia potencialinicial e 9<;�U . A energia cineticainiciale ! pois a bola partedo repouso.A energia potencialfinal, no topo da oscilacao, e 9<;X�6��U�u���� e a energiacineticafinal e 9<@��)���8�T9<;���U�u����«��� . O princıpio daconservacaodaenergiafornece-nos
9/;XUv�?9<;�����URu����¬2 '� 9/;���URu����^�Destaexpressaoobtemossemproblemasque
�&� I� Uf�Se � for maiordoque I Ur��� , demodoqueo pontomaisaltodatrajetoriaficamaisabaixo,entaoavelocidadedabolae maioraoalcancar tal pontoe podeultrapassa-lo.Se � for menora bolanaopodedara volta. Portantoovalor I Ur��� e um limite maisbaixo.
P 8-35 (8-33 /6� )Umacorrenteemantidasobreumamesasematritocomum quartodeseucomprimentopenduradoparafora da
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mesa,comona Fig. 8-37. Sea correntetem um com-primento U e umamassa9 , qualo trabalhonecessarioparapuxa-latotalmenteparacimadamesa?� O trabalhonecessario e igual a variacao da energiapotencialgravitacionala medidaque a correntee pu-xadaparacima da mesa. Considerea energia poten-cial como sendozero quandotoda a correnteestiversobrea mesa. Divida a parte penduradada correntenum numero grandede segmentosinfinitesimais,ca-da um com comprimento��Z . A massade um tal seg-mento e �]®T�PU��k��Z e a energia potencialdo segmen-to a umadistancia Z abaixodo topo da mesae �X[�u8��9¯�PUr�£;�Z5� Z . A energiapotencialtotal e
_�\u 9 U ;z°o±6² }� ZX��Z � u '� 9 U ;�¤ U Yf¦ �� u 'I�� 9<;XUf�
O trabalhonecessario parapuxara correnteparacimadamesae,portanto,u³��?9/;XUr��I � .P 8-37 (8-35 /6� )
Um menino esta sentadono alto de um monte he-misferico de gelo (iglu!) (Fig. 8-39). Ele recebeumpequenıssimoempurraoecomecaaescorregarparabai-xo. Mostreque,seo atrito com o gelo puderserdes-prezado,eleperdeo contatocomo gelonumpontocujaaltura e � § �PI . (Sugestao: A forca normaldesapareceno momentoemqueo meninoperdeo contatocomoogelo.)� Chamede ´ a forca normalexercidapelo gelo nomeninoe desenheo diagramade forcasqueatuamnomenino. Chamandode � o anguloentrea vertical e oraioquepassapelaposicaodomeninotemosqueaforcaqueapontaradialmenteparadentroe 9<;��^���X�1u�´ que,deacordocoma segundalei deNewton, deve seriguala forcacentrıpeta9B@���� § , onde@ eavelocidadedome-nino. No pontoemqueo meninosedesprendedo gelotemosp�T! , demodoque
;��F� �X�s� @ �§ �Precisamosagoradeterminara velocidade@ . Tomandoa energiapotencialcomozeroquandoo meninoesta notopodo iglu, teremospara ���� � aexpressao
���� ����uz9<; § �Q'µu��^���X� �h�O meninoiniciaseumovimenodorepousoesuaenergiacineticanahoraquesedesprendevale 9B@������ . Portan-to, a conservacaodaenergianosfornece!���9<@������mu
9<; § �k'µuR�F� �X� � , ouseja,
@ � ����; § �Q'µuR�F� �X���h�Substituindoesteresultadona expressaoacima,obtidadaforca centrıpeta,temos
;��^���X�5�#�P;��k'µuR�F� �X� �^jou,emoutraspalavras,que
�^���X�5� �I �A alturado meninoacimado planohorizontalquandosedesprendee
§ �F� �X�5� �I § �
8.2.2 Usandoa Curva deEnergia Potencial
P 8-39 (8-37/6� )A energiapotencialdeumamoleculadiatomica(H � ouO� , porexemplo)edadapor
_� �= � � u �=P¶onde = e a distancia entre os atomosque formam amoleculae � e � saoconstantespositivas.Estaenergiapotencialsedevea forcaquemantemosatomosunidos.(a) Calculea distanciadeequilıbrio, isto e, a distanciaentreos atomosparaa quala forca a queestaosubme-tidose zero.Verifiquesea forca e repulsiva (osatomostendema seseparar)ouatrativa (osatomostendema seaproximar)sea distanciaentreelese (b) menore (c)maiordoquea distanciadeequilıbrio.� (a) A forca e radial (ao longo a line que une osatomos)e e dadapeladerivadade emrelacaoa = :
{ ��u �X� = � '����= � * u S��=P· �A separac¸ao = � deequilıbrio e a separac¸ao paraa qualtemos{ ��= � �1�T! , ouseja,paraaqual
'�����u�S��5= ¶� �#!��Portantoaseparac¸aodeequilıbrio e dadapor
= � �i�]���E�P�s� � ² ¶ �i'��e')�6���m���s� � ² ¶ �http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina7 de11
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(b) A derivadada forca em relacao a = , computadanaseparac¸aodeequilıbrio vale
� {� = � u '��³¸�'JI �= � }� 2 Y����=P¹�� u �k')��S��4u(Y����5= ¶K �= � }�� u �����= � }� j
ondeusamoso fatoque,do item anterior, sabemosque= ¶� �����E�P� . A derivadae negativa, de modo que aforca e positiva se = for um poucomenorque = � , indi-candoumaforcaderepulsao.(c) Se = for um poucomaiorque = � a forca e negativa,indicandoquea forca e deatracao.
8.2.3 Conservacaoda Energia
8.2.4 Trabalho Executadopor ForcasdeAtrito
E 8-45 (8-48/6� )Aproximadamente��� �<%4'J! ¶ kg de aguacaempor se-gundonascataratasdeNiagaraapartirdeumaalturade��! m. (a) Qual a energia potencialperdidapor segun-do pelaaguaquecai? (b) Qualseriaa potenciageradapor umausinahidreletricase toda a energia potencialda aguafosseconvertidaem energia eletrica? (c) Seacompanhiadeenergiaeletricavendesseessaenergiape-lo preco industrialde ' centavo dedolar por quilowatt-hora,qualseriaasuareceitaanual?� (a) O decrescimona energia potencialgravitacionalpor segundoe
�]�X��&%(')! ¶ �F��$6� "��^����! �1�#�X���s%(')!�º J�(b) A potenciaseria
���D������5%R'J! º J�^�Q' s�1���X���5%(')! º W �(c) Comoa energiatotal geradaemumanoe
�\�?�E��� ���X���s%R'J! ¶ kW �^�k' ano�^��"���S�! h/ano�� �X� Y&%R'J! � � kW ¸ h jo custoanualseria
����� Y�%R'J! � � �^��!6� !6')�0���X� Y&%�')! ¹ dolaresjouseja,�PY�! milhoesdedolares.
E 8-50 (8-??/6� )Um meninode ��' kg sobe,com velocidadeconstante,por umacordade S m em ')! s. (a) Qualo aumentodaenergia potencialgravitacionaldo menino?(b) Qual apotenciadesenvolvidapelomeninoduranteasubida?� (a) t ��?9<;�M-�\�]�X')�F��$6� "��^��S��0�TI6� !�%R'J! * J�(b)
�_� t � � I�! !�!')! �?I !�! W �
E 8-51 (8-??/6� )Umamulherde ��� kg sobecorrendoumlancedeescadade Y6�� m dealturaem I��� s. Quala potenciadesenvol-vidapelamulher?�
�i� �]�����F��$6� "��I6� � �#S�$ I W �
E 8-55 (8-??/6� )Um nadadorse deslocana aguacom uma velocidademediade !6� � � m/s.A forcamediadearrastoqueseopoeaessemovimentoede '�')! N. Qualapotenciamediade-senvolvidapelonadador?� Paranadacom velocidadeconstanteo nadadortemquenadarcontraa aguacomumaforca de ' 'J! N. Emrelacao a ele, a aguapassaa !6� � � m/s no sentidodosseuspes,nomesmosentidoquesuaforca. Suapotenciae
�i�?»4¸^¼(� {8½ �i�k'�')! �^��!����� �G�#�PY W �
E 8-64 (8-43/6� )Um ursode � � kg escorrega parabaixo num troco dearvore a partir do repouso.O tronco tem ')� m de al-turae a velocidadedo ursoaochegaraochao e de �X� Sm/s. (a) Quala variacaodaenergia potencialdo urso?(b) Qualaenergiacineticadoursonomomentoemquechegaaochao?(c) Qualaforcamediadeatritoqueagiusobreo ursodurantea descida?
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� (a) Considereaenergiapotencialgravitacionalinicialcomosendo0,��\! . Entaoa energia potencialgravita-cionalfinal e �.5�iuz9<;XU , ondeU eo comprimentodaarvore.A variacaoe,portanto,
1.Euv0,>�\uz9/;XU � u8�]�����F��$6� "��^�Q'����� u3��� $�Y&%R'J! * J�
(b) A energiacineticae
+�� '� 9<@ � � '� ����� �^�]�X� S � � �TI�$�� J�(c) De acordocom a Eq. 8-26, a variacao da energiamecanica e igual a u3¾�U , onde ¾ e a forca de atritomedia.Portanto
¾B�iu t +¿2 t U ��u I�$��³u���$�Y !')� ���X'J! N �P 8-66 (8-51/6� )
Um bloco de I6� � kg e empurradoa partir do repousoporumamolacomprimidacujaconstantedemolae S�Y�!N/m (Fig. 8-45). Depoisquea mola seencontratotal-menterelaxada,o bloco viaja por umasuperfıcie hori-zontalcom um coeficientede atrito dinamicode !����� ,percorrendoumadistanciade ��� " m antesdeparar. (a)Quala energia mecanicadissipadapelaforca deatrito?(b) Qual a energia cineticamaximapossuıdapelo blo-co? (c) De quantofoi comprimidaa mola antesqueoblocofosseliberado?� (a) A magnitudedaforcadefriccaoe ¾B�?À>Á�´ , ondeÀ>Á e o coeficientedeatrito dinamicoe ´ e a forca nor-mal dasuperfıciesobreo bloco. As unicasforcasverti-caisatuantesno blocosaoa forca normal,paracima,ea forca dagravidade,parabaixo. Comoa componenteverticaldaacelerac¸aodo blocoe zero,a segundalei deNewtonnosdiz que ´p�?9<; , onde9 eamassadoblo-co. Portanto¾Â��À>Á�9<; . A energiamecanicadissipadae dadapor
t �[��¾�~Ã�¥À Á 9<;�~ , onde ~ e a distanciaqueo blocoandaantesdeparar. Seuvalor et �D�i��!����� �^��I6� � �^��$�� " �^�£��� " �0�?S S�� "�" J�(b) O bloco tem suaenergia cinetica maxima quandoperdecontatocoma molae entranapartedasuperfıcieondeafriccaoatua.A energiacineticamaximae igual aenergia mecanicadissipadapelafriccao,ou seja, S�S6� " "J.(c) A energia queaparececomoenergia cineticaesta-va ariginalmentearmazenadacomo energia potencial
elastica,damolacomprimida.Portantot �¥���� ��)��� ,
onde� e aconstantedamolae eacompressao.Logo,
B� b � t �� � b �6��S S�� "�" �S�Y ! �#!�� Y�� � m qTY S cm�
P 8-69 (8-55/6� )Dois montesnevadostem altitudesde "���! m e ����! memrelacaoaovalequeossepara(Fig. 8-47). Umapis-ta de esquivai do alto do montemaior ate o alto domontemenor, passandopelo vale. O comprimentoto-tal da pista e I��� km e a inclinacao media e I�! K . (a)Um esquiadorpartedorepousonoaltodomontemaior.Com que velovidadechegara ao alto do montemenorsemseimpulsionarcomosbastoes?Ignoreo atrito. (b)Qual deve seraproximadamenteo coeficientede atritodinamicoentrea neve e osesquisparaqueo esquiadorpareexatamentenoaltodopicomenor?� (a) Tomeo zerodaenergiapotencialgravitacionalco-moestandono valeentreosdoispicos.Entaoa energiapotenciale , �T9/;�M , , onde9 e amassadoesquiadore M , e a alturado pico maisalto. A energia potencialfinal e . �D9/;�M . , onde M . e a alturado pico menor.Inicialmenteo esquiadortemenergia cinetica + , �Ä! .Escrevamosaenergiacineticafinal como + . �T9<@��)��� ,onde@ e avelocidadedoesquiadorno topodopicome-nor. A forca normalda superfıcie dosmontessobreoesquiadornaofaztrabalho(poiseperpendicularaomo-vimento)eo atritoedesprezıvel, demodoqueaenergiamecanicae conservada: 0,�24+-,��D�.m24+/. , ou seja,9<;�M6,>�?9/;�M�.³2W9B@������ , dondetiramos
@��iŠ��;���M , u�M . �1� C ����$�� " �^��" ��!3uv����! �0��Y Y ms�
(b) Comosabemosdo estudode objetosquedeslizamem planosinclinados,a forca normalda superfıcie in-clinada dos montesno esquiadore dada por ´ �9<;o�^���X� , onde� e o angulodasuperfıcie inclinadaemrelacaoa horizontal,I ! K paracadaumadassuperfıciesemquestao. A magnitudedaforca deatrito e dadapor¾Æ��À>ÁP´���À>Á�9/;4�^� ��� . A energiamecanicadissipa-dapelaforca deatrito e ¾�~m�_À>Á�9<;�~Â�^� ��� , onde~ e ocomprimentototal do trajeto.Comoo esquiadoratingeo topodomontemaisbaixosemenergiacinetica,aener-giamecanicadissipadapeloatrito e igual adiferencadeenergia potencialentreos pontosinicial e final da tra-jetoria. Ouseja,
À>Á�9/;�~<�F� �X�5�T9/;���M�,�u�M�.��hjhttp://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina9 de11
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dondetiramosÀ>Á :À>ÁÇ� M�,�u�M�.~B�F� �X�
� " ��!³uv����!��I6� �&%R'J! * �&�^���&I ! K �#!�� !�I�S6�
P 8-74 (8-??/6� )Umadeterminadamolanao obedecea lei deHooke. Aforca (em newtons) que ela exercequandodistendidade umadistancia (em metros)e de ���X� "� <2�I "�� Y� �� ,no sentidoopostoaodadistensao. (a) Calculeo traba-lho necessario paradistendera molade v��!6� � m ate \�`' � ! m. (b) Com umadasextremidadesda molamantidafixa, uma partıcula de �X�e'�� kg e presaa ou-tra extremidadee a molae distendidadeumadistancia c�È' � ! . Em seguida,a partıcula e liberadasemvelo-cidadeinicial. Calculesuavelocidadeno instanteemque a distensao da mola diminuiu para ��w!6� � m.(c) A forca exercidapelamola e conservativa ou nao-conservativa?Expliquesuaresposta.� (a) Paradistendera molaaplica-seumaforca, igualemmagnitudeaforcadamolaporemnosentidooposto.Comoa umadistensaono sentidopositivo de exerceumaforcanosentidonegativode , aforcaaplicadatemqueser { �\� �X� "� &24I "�� Y� �� , no sentidopositivo de .O trabalhoqueelarealizae
É � ° �aÊ �� Ê Ë ������� "� s2vI "�� Y� � �Q� � Ì ����� "� � 2 I�"�� YI *hÍ �hÊ �� Ê Ë �?I�' � ! J�
(b) A mola faz I�' J de trabalhoe estedeve sero au-mentodaenergia cineticadapartıcula. Suavelocidadee entao
@�� b ��+9 � b �6��I�' � !���X�e'�� �T�X� I � m/s�(c) A forca e conservativa pois o trabalhoque ela fazquandoa partıculavai deum ponto � paraoutropon-to � dependeapenasde � e � , nao dosdetalhesdomovimentoentre � e � .P 8-79 (8-61/6� )
UmapedradepesoÎ e jogadaverticalmenteparacimacomvelocidadeinicial @ � . Seumaforcaconstante¾ de-vido a resistenciadoaragesobreapedradurantetodoo
percurso,(a) mostrequea alturamaximaatingidapelapedraedadapor
M/� @����P;��k'�2o¾��Pγ� �(b) Mostrequea velocidadedapedraaochegaraosoloedadapor
@��?@ ��¤ ÎTuW¾Î42c¾r¦ � ² � �� (a) Seja M a altura maxima alcancada. A energiamecanicadissipadanoarquandoapedrasobeateaaltu-ra M e,deacordocomaEq.8-26,
t �\�\u3¾�M . Sabemosque t �\�D��+ . 24 . �Nu���+ , 24 , �hjonde + , e + . saoasenergiascineticasinicial e final, e , e . saoasenergiaspoetenciaisinicial efinal. Esco-lha a energia comosendozerono pontodelancamentoda pedra. A energia cineticainicial e +-,m�Ä9B@��� ��� , aenergiapotencialinicial e 0,1��! , a energiacineticafi-nal e +/.��:! e a energia potencialfinal e 1.��:γM .Portantou3¾�M-��γM-u(9B@��K ��� , dondetiramos
M<� 9<@ ���6��Îo24¾�� � Îf@ ����;���Îo24¾�� � @ ���P;��k'�2o¾��Pγ� jondesubstituimos9 por Îm�); e dividimosnumeradoredenominadorpor Î .(b) Note quea forca do ar e parabaixo quandoa pe-dra sobee paracima quandoela desce.Ela e sempreopostaao sentidoda velocidade. A energia dissipadaduranteo trajetono ar todo e
t �V�¢u3� ¾�M . A ener-gia cineticafinal e + . �O9<@��)��� , onde @ e a velocida-de da pedrano instantequeantecedesuacolisao como solo. A energia potencialfinal e �.o��! . Portantou3� ¾�M��?9B@������6uf9B@��� ��� . Substituindonestaexpressaoaexpressaoencontradaacimapara M temos
u ��¾�@�����;��Q'�2c¾���γ� � '� 9B@ � u '� 9B@ �� �Desteresultadoobtemos
@ � ��@ �� u ��¾�@���9<;��Q'�2c¾���γ� � @ �� u � ¾�@���Î5�k'r2o¾��Pγ�� @ �� ¤ 'zu � ¾Îc2c¾r¦
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� @ �� ¤ Î?uW¾Îc2c¾ ¦ jdeondeobtemoso resultadofinal procurado:
@&�T@P��¤ Î?uW¾Îc2c¾µ¦ � ² � �Percebaquepara ¾?�¥! ambosresultadosreduzem-seaoqueja conheciamos,comonaopodeiadeixardeser.
8.2.5 Massae Energia
E 8-92 (8-??/6� )(a) Qual a energia em Joulesequivalentea umamassade 'J!�� g? (b) Durantequantosanosestaenergia aten-deriaasnecessidadesde umafamılia queconsomeemmedia ' kW?� (a) Usamosa formula �i�?9BÏF� :�i�D��!6�H')! � �^����� $ $�"s%(')! ¹ � � �T$6�H'P�5%(')! �kË J�(b) Usamosagora�D�?�E� , onde� eataxadeconsumodeenergiae � e o tempo.Portanto,
�1� �� � $��e'��5%(')! �kË'A%R'J! *
� $��e'��5%R'J! � � segundos
� �X� $�'E%R'J! Ë anos!
P 8-96 (8-??/6� )Os EstadosUnidos produziramcercade �X� I�'B%�')! � �kW ¸ h deenergia eletricaem1983. Quala massaequi-valentea estaenergia?
� Para determinartal massa,usamosa relacao �Ð�9ÃÏ � , onde Ï5�D��� $ $�"�%o'J! ¹ m/se a velocidadeda luz.PrimeiroprecisamosconverterkW ¸ h paraJoules:
��� I6'³%R'J!�� � kW ¸ h � �X� I�'E%R'J!�� � �Q'J! * W �^��I�S�! ! s�� "�� I �s%R'J!�� ¹ J�Portanto
9:� �Ï � � "6� I��5%R'J! � ¹�]�X� $�$�"s%R'J! ¹ � � �#$ ��� � kg �
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ExercıciosResolvidosdeDinamica Classica
JasonAlfr edoCarlson Gallas,professortitular de fısicateorica,
Doutor em Fısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do SulInstituto de Fısica
MateriaparaaQUARTA prova. Numerac¸aoconformeaquarta edicaodo livro“FundamentosdeFısica”,Halliday, ResnickeWalker.
Estaeoutraslistasencontram-seem:http://www.if.ufrgs.br/� jgallas
Conteudo
9 SistemasdePart ıculas 29.1 Questoes. . . . . . . . . . . . . . . . . 29.2 Problemase Exercıcios . . . . . . . . . 2
9.2.1 O CentrodeMassa . . . . . . . 2
9.2.2 O MomentoLinear . . . . . . . 59.2.3 ConservacaodoMomentoLinear 69.2.4 Sistemasde Massa Variavel:
Um Foguete. . . . . . . . . . . 89.2.5 Sistemasde Partıculas: Varia-
coesnaEnergiaCinetica . . . . 8
Comentarios/Sugestoese Erros:favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br
(listam2.tex)
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9 SistemasdePart ıculas
9.1 Questoes
Q 9-2
Quala localizacaodo centrodemassadaatmosferadaTerra?�
9.2 Problemase Exercıcios
9.2.1 O Centro deMassa
E 9-1 (9-1/6� edicao)
(a) A quedistanciao centrodemassado sistemaTerra-Lua se encontrado centroda Terra? (Use os valoresdasmassasda Terra e da Lua e da distanciaentreosdoisastrosqueaparecemno ApendiceC.) (b) Expressearespostadoitem(a)comoumafracaodoraiodaTerra.� (a) Escolhaa origem no centroda Terra. Entao adistancia����� docentrodemassadosistemaTerra-Luae dadapor
����� �� ����� ��������onde �� e a massadaLua, ��� e a massada Terra,a��� e a separac¸aomediaentreTerrae Lua. Taisvaloresencontram-senoApendiceC. Emnumerostemos,
����� ����� ��� �"!�#�$%$'&'�(�)�+* �"!�#�,�&��� ��� �-!�# $%$ �/. � 021 �-!�# $43 5 � � 5 �-!�#�6 m
�(b) O raiodaTerrae 7 � �)� �8�9�:!�# 6 m, demodoquetemos ����7 � 5 � � 5 �"!�# 6�;� ���9�"!�# 6 #;�+�<�)�E 9-3 (9-3/6� )
(a)QuaissaoascoordenadasdocentrodemassadastrespartıculasqueaparecemnaFig. 9-22? (b) O queacon-tececomo centrodemassaquandoamassadapartıculadecimaaumentagradualmente?
� (a) Sejam�>=@? �4A ?B& �(# � #2& , �>= $ �4A $ & �C! � *�& e�(=ED �CA D�& �F* � !�& ascoordenadas(em metros)dastres
partıculascujasrespectivasmassasdesignamospor � ? ,� $ e � D . Entaoa coordenada=
docentrodemassae= �� � ? = ? ��� $ = $ ��� D = D� ? ��� $ �G� D # � �(1;� #8&B�H!2� #8& � � 5 � #2&'�I*J� #2&�)� # � 1;� # � 5 � # !��K! m
�enquantoquea coordenadaA e
A ��� � ? A ? ��� $ A $ �G� D A D� ? ��� $ ��� D # � �I1)� #2&B�F*J� #2& � � 5 � #8&B�H!2� #8&�;� # � 1)� # � 5 � # !2� � m
�(b) A medidaqueamassadapartıculadecimaeaumen-tadao centrode massadesloca-seem direcaoa aquelapartıcula.No limite, quandoapartıculadecimafor mui-to maismassiva queasoutras,o centrodemassacoin-cidiracoma posicaodela.
E 9-12L (9-9/6� )Uma lata em forma de cilindro reto de massaM , al-tura N e densidadeuniformeesta cheiade refrigerante(Fig.9-30).A massatotaldorefrigerantee � . Fazemospequenosfuros na basee na tampada lata paradrenaro conteudo e medimoso valor de O , a distanciaverti-cal entreo centrodemassae a basedalata,paravariassituacoes. Qual e o valor de O para(a) a lata cheiae(b) a latavazia? (c) O queacontececom O enquantoalataesta sendoesvaziada?(d) Se
=e a alturado lıquido
querestaemum determinadoinstante,determineo va-lor de
=(emfuncaode M , N e � ) nomomentoemque
o centrodemassaseencontrao maisproximo possıveldabasedalata.� (a) Comoa lata e uniformeseucentrodemassaestalocalizadono seucentrogeometrico, a uma distanciaN�P * acimada suabase. O centrode massado refri-geranteesta no seucentrogeometrico,a umadistancia= P * acimadabasedalata. Quandoa lataesta cheiatalposicaocoincidecom NQP * . Portantoo centrodemassada latae como refrigerantequeelacontemesta a umadistancia
OR M � NQP *2& �G� � NQP *�&M �G� N *acimadabase,sobreo eixodocilindro.
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(b) Consideramosagoraa lata sozinha. O centrodemassaesta em NQP * acimadabase,sobreo eixo do ci-lindro.(c) A medidaque
=decresceo centrode massado re-
frigerantenalataprimeiramentediminui, depoiscresceate NQP * novamente.(d) Quandoa superfıcie superiordo refrigeranteesta aumadistancia
=acimada baseda lata a massado fre-
frigerantena lata e ��S �(= PTN & � , onde � e a massaquandoa lataestacheia(
= UN ). O centrodemassadorefrigeranteapenasesta a umadistancia
= P * dabasedalata.Logo
O M � N�P *�& ����S �>= P *2&M ��� S M � N�P *�& � �>= PTN & � �(= P *�&M ��� = PTN MVN $ ��� =E$*)� MVN �G� =W& �
Encontramosa posicao maisbaixado centrode massadalatacomrefrigeranteigualandoazeroaderivadade Oemrelacaoa
=e resolvendoemrelacaoa
=. A derivada
e dadaporX OX = * � =*)� MVNZY � =[& Y � MVN $ ��� =W$�& �*;� MVN ��� =[& $ � $�=E$ � * M � N = YGM � N $*)� MVN ��� =[& $ �A solucaode � $B=E$ � * M � N = YGM � N $ # e= MVN� \ Y ! �^] ! � �M`_ �Usamosasolucaopositivapois
=e positivo.
Substituindo-seagorao valor de=
ne expressao de Oacima,ouseja,em
OQ MVN $ ��� =E$*;� MVN �G� =W& �e simplificando,encontramosfinalmenteque
OQ NaM� b ] ! � �M Y !�c��
E 9-14 (9-11/6� )Um velhoGalaxycomumamassade
* 5 #2# kg esta via-jandoporumaestradaretaa
1�#km/h. Ele eseguidopor
um Escortcom uma massade!���#�#
kg viajandoa�2#
km/h. Qual a velocidadedo centrode massadosdoiscarros?� Sejam��d e e d a massae a velocidadedo Galaxye��f e e f a massae velocidadedo Escort. Entao,con-forme a Eq. (9-19),a velocidadedo centrode massaedadapor
e<�� � d e d �G� f e f��d:�G��f �F* 5 #2#2&'�(1�#8& � �H!���#2#2&B�I��#8&* 5 #2# � !��2#�# �<* km/h
�Notequeasduasvelocidadesestaono mesmosentido,demodoqueambostermosnonumeradortemo mesmosinal. As unidadesusadasnao saodo SistemaInterna-cional.
E 9-20 (9-15/6� )Um projetil e disparadopor um canhaocomumavelo-cidadeinicial de
*<#m/s. O angulodo disparoe
�2#2gem
relacao a horizontal. Quandochega ao pontomaisal-to da trajetoria, o projetil explodeem dois fragmentosde massasiguais(Fig. 9-33). Um dosfragmentos,cu-ja velocidadeimediatamenteaposaexplosaoezero,caiverticalmente.A quedistanciado canhaoo outro frag-mentoatingeo solo,supondoqueo terrenosejaplanoearesistenciadoarpossaserdesprezada?� Precisamosdeterminarascoordenadasdo pontodeexplosaoe a velocidadedo fragmentoquenaocai retoparabaixo. Tais dadossao as condicoesiniciais paraum problemademovimentodeprojeteis,paradetermi-narondeo segundofragmentoaterrisa.Consideremosprimeiramenteo movimentodo projetiloriginal,ateo instantedaexplosao.Tomemoscomoori-gemo pontodedisparo,como eixo
=tomadohorizontal
e o eixo A vertical,positivo paracima. A componenteA da velocidadee dadapor ehieTj%k�Yml8n e e zeronoinstantede tempo nopeTj%k8P�l- � eTjTP�l & senqrj , onde eTje a velocidadeinicial e qrj e o angulode disparo. Ascoordenadasdopontomaisaltosao= seTjutTnv w eTjyx'z2{JqrjB|En
� e j &C$l senq j x'z2{Jq j �F*<#8&H$0;� 1 sen
��# g x'z2{ �2# g !T���}� m �e
A e j kTn�Y !* l8n $http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina3
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!* e $jl sen$ q j
!* �F*<#8&H$0;� 1 sen$ �2# g ! . � � m
�Comoentao nenhumaforca horizontalatua,a compo-nentehorizontaldo momentoe conservada. Comoumdosfragmentostemvelocidadezeroaposa explosao,omomentodo outrofragmentotemqueserigual aomo-mentodoprojetil originalmentedisparado.A componentehorizontaldavelocidadedo projetil ori-ginal e e j xBz2{)q j . Chamemosde M a massado projetilinicial e de ~)j a velocidadedo fragmentoquesemovehorizontalmenteaposaexplosao.Assimsendo,temos
M�e j xBz8{Jq j M�~;j* �umavezquea massado fragmentoemquestaoe MUP * .Isto significaque~ j * e j xBz2{)q j
*)�F*<#8& xBz8{ ��# g *<# m/s�
Agoraconsidereumprojetil lancadohorizontalmentenoinstantena #
com velocidadede*<#
m/s a partir dopontocomcoordenadas
�>= j �CA j & �C!r���}� � ! . � �8& m. SuacoordenadaA e dadapor A A j Y�l�n $ P * , e quandoele aterrisatemosA # . O tempoate a aterrisagemen��� * A jTP�l e a coordenada
=do pontodeaterrisagem
e = = j � ~;j'nv = j � ~)j ] * A jl !r���}� � *�# ] *;�H! . � �8&0)� 1 . � m
�E 9-21 (9-17/6� )
Doissacosidenticosdeacucarsaoligadosporumacor-dademassadesprezıvel quepassaporumaroldanasematrito, de massadesprezıvel, com . # mm de diametro.Os dois sacosestao no mesmonıvel e cadaum possuioriginalmenteuma massade . #�# g. (a) Determineaposicao horizontaldo centrode massado sistema.(b)Suponhaque
*<#g deacucarsaotransferidosdeumsaco
parao outro,masos sacossao mantidosnasposicoesoriginais. Determinaa nova posicaohorizontaldo cen-tro demassa.(c) Osdoissacossao liberados.Em quedirecao semove o centrode massa?(d) Qual e a suaacelerac¸ao?
� (a) Escolhao centrodo sistemade coordenadasco-mo sendoo centrodaroldana,como eixo
=horizontal
e paraa direitae como eixo A parabaixo. O centrodemassaesta a meiocaminhoentreossacos,em
= # eA Z� , onde � e a distanciavertical desdeo centrodaroldanaate qualquerumdossacos.(b) Suponha
*<#g transferidasdo sacodaesquerdapara
o sacodadireita.O sacodaesquerdatemmassa5 12# g eesta em
=[? �Y * . mm. O sacoa direitatemmassa. *�#g e esta em
= $ � * . mm. A coordenada=
do centrodemassae entao= �� � ?�=@? �G� $ = $� ? �G� $
� 5 1�#8&B� Y * . & � � . *�#2&'� � * . &5 *<# �m. *<# !�� # mm�
A coordenadaA aindae � . O centrodemassaesta a*��
mmdosacomaisleve,aolongodalinhaqueuneosdoiscorpos.(c) Quandosoltos,o sacomaispesadomove-separabai-xo e o sacomaisleve move-separacima,demodoqueo centrodemassa,quedeve permanecermaispertodosacomaispesado,move-separabaixo.(d) Comoossacosestaoconectadospelacorda,quepas-sapelarolsdana,suasacelerac¸oestema mesmamagni-tudemasdirecoesopostas.Se � e a acelerac¸aode � $ ,entao Y�� e a acelerac¸aode � ? . A acelerac¸aodocentrodemassae
� �� � ?T� Y�� & ��� $ �� ? ��� $ ^� � $ Y � ?� ? ��� $ �Precisamosrecorrersegundalei deNewtonparaencon-trar a acelerac¸ao de cadasaco. A forca da gravidade� ? l , para baixo, e a tensao � na corda, para cima,atuamno sacomais leve. A segundalei paratal sacoe � ? l�Y-�UVY � ? � �O sinal negativo apareceno lado direito porque � e aacelerac¸aodo sacomaispesado(queqao e o queesta-mosconsiderando!).As mesmaforcasatuamno sacomaispesadoe paraelea segundalei deNewtonfornece� $ l�Y"�� � $ � �A primeiraequac¸ao fornece-nos�� � ? l �h� ? � quequandosubstituidanasegundaequac¸aoproduz
�� � � $ Y � ?B& l� ? �G� $ �http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina4
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Portanto,substituindonaequac¸aopara � �� , encontra-mosque
�8��� l � � $ Y � ?B&C$� � ? ��� $ & $ �(0)� 12&'� . *<# Y-5 1�#2&C$� 5 12# �/. *<#2& $ #;� #;!�� m/s
$��A acelerac¸aoe parabaixo.
E 9-22 (9-19/6� )Um cachorrode . kg esta emum botede
*<#kg quese
encontraa�
mdamargem(queficaaesquerdanaFig.9-34a).Eleanda
*)� 5 m no barco,emdirecaoa margem,edepoispara.O atritoentreo boteeaaguaedesprezıvel.A quedistanciada margemesta o cachorrodepoisdacaminhada?(Sugestao: Veja a Fig. 9-34b. O cachorrosemove paraa esquerda;o botesedeslocaparaa di-reita; e o centrodemassado sistemacachorro+barco?Sera queelesemove?)� Escolhao eixo
=comosendohorizontal,coma ori-
gemna margem,e apontantoparaa direita na Fig. 9-34a.Seja��� a massadobotee
= �I� suacoordenadaini-cial. Seja��� a massadocachorroe
= ��� suacoordenadainicial. A coordenadadocentrodemassae entao= ��� ��� = �F�W����� = ���� � ��� � �Agora o cachorrocaminhaumadistancia
Xparaa es-
querdado bote. Comoa diferenca entrea coordenadafinal do bote
= �F� e a coordenadafinal do cachorro= ���
eX, ou seja
= ��� Y = ��� X , a coordenadado centrodemassapodetambemserescritacomo= �� ��� = ��������� = ���� � ��� �
� � = ��� ��� � X �G� � = ����������� �Comonenhumaforca horizontalexternaatuano siste-mabote-cachorro,a velocidadedo centrodemassanaopodemudar. Comoo botee o cachorroestavaminicial-menteem repouso,a velocidadedo centrode massaezero. O centrode massapermancena mesmaposicaoe,portanto,asduasexpressoesacimapara
= ��� devemseriguais.Istosignificaque��� = �F�W����� = ��� ��� = ��������� X �G��� = ��� �Isolando-se
= ��� obtemos= ��� ��� = �F�W����� = ��� Y ��� X� � �G� �
�I*�#2&B�I�2& � � . &B�(�8& Y �I*<#8&B�F*J� 5 &*<# �m. �5 � #21 m�
Observe que usamos= �F� = ��� . E estritamentene-
cessario fazer-seisto? Senao for, qual a vantagemdesefaze-lo?...
9.2.2 O Momento Linear
E 9-23 (9-??/6� )Qual o momentolinear de um automovel que pesa!��)� #�#2#
N eesta viajandoa1�1
km/h?� A “moral” desteproblemae cuidarcomasunidadesempregadas:
� � e !��2#�#2#0;� 1 1�1��"!�# D�2��#2# ���2*�1)! kg m/s�nadirecaodomovimento.
E 9-24 (9-21/6� )Suponhaquesuamassae de
1�#kg. Com queveloci-
dadeteriaquecorrerparater o mesmomomentolinearqueumautomovel de
!���#2#kg viajandoa
!��+*km/h?� Chamandode ��� e e � amassae avelocidadedocar-
ro, ede � e e a“sua” massaevelocidadetemos,gracasaconservacaodomomentolinear,
e ��� e �� �C!���#2#2&'�H!��+*��-!�# D &�(1�#8&B�I����#2#2& �)� �8� m/s�
Poderıamostambemdeixara respostaemkm/h:
e� � � e �� �H!���#�#8&B�C!��+*�&1�# * 5 km/h�
Percebaa importanciade forneceras unidadesao darsuaresposta.Esteultimo valornaoestanoSI, claro.
E 9-25 (9-20/6� )ComquevelocidadedeveviajarumVolkswagende
1)!��kg (a) parater o mesmomomentolinear que um Ca-dillac de
*<� . # kg viajandoa!��
km/h e (b) parater amesmaenergiacinetica?� (a) O momentosera o mesmose �:� e � � ��e<� ,dondetiramosque
e � � ���� e � *<� . #1)!�� �H!��2& . !�� 0�� km/h�
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(b) Desconsiderandoo fator! P * , igualdadede energia
cinaticaimplica termos� � e $� � � e $� , ouseja,
e � ] � �� � e � ] *�� . #1;!�� �C!��2& *<1;� 12� km/h�
E 9-26 (9-??/6� )Qual o momentolinear de um eletronviajandoa umavelocidadede
#)� 0�02�( *J� 08���-!�# , m/s)?� Comoa velocidadedo eletronnaoe demodoalgum
pequenacomparadacom a velocidade�
da luz, faz-senecessario aquiusara equac¸ao relativisticaparao mo-mentolinear, conformedadapelaEq.9-24:� � e� ! YV�u�� �
�(0;��!2!��-!�#J� Du? &'�I*J� 08����!�#2,'&� ! Y �(#;� 0202& $
!�� 0)!T�9�"!�# �W$ ?kg �m/s
�Semo fatorrelativısticoterıamosachado�E� �I0)�K!�!o�-!�# � D�? &B�I*)� 0����-!�# , &
*)�+�<# . �"!�# �[$4$ kg �m/s�ouseja,umvalor
�9� ! PJ� ! Y �I#)� 0�08& $ & vezesmenor:� � �E� �9.2.3 Conservacaodo Momento Linear
E 9-33 (9-27/6� )Um homemde
!�#�#kg,depeemumasuperfıciedeatrito
desprezıvel, da um chuteemumapedrade#)�}�T#
kg, fa-zendocomqueelaadquiraumavelocidadede
�;� 02#m/s.
Qualavelocidadedohomemdepoisdochute?�Comonenhumaforca comcomponentehorizontalatuano sistemahomem-pedra,o momentototal e conserva-do. Comotantoo homemcomoapedraestaoemrepou-so no inıcio, o momentototal e zeroantesbemcomodepoisdochute,ouseja�R e �����¡ e ¡ # �
ondeo subındice � refere-sea pedrae o subındice Orefere-seaohomem.Destaexpressaovemosque
e ¡ �Y � e � ¡ Y �I#)�}�T#2&'�(�;� 02#2&!�#2# Y #;� #8*2� m/s�
ondeo sinal negativo indicaqueo homemmove-senosentidoopostoaodapedra.Notequeo sentidodapedrafoi implicitamentetomadocomopositivo. Note aindaquearazaodasmassascoincidecoma razaodospesos.
E 9-36 (9-29/6� )Umhomemde
� . kg estaviajandoemumacarrocaa*J� �
m/s. Ele saltaparafora dacarroca demodoa ficar comvelocidadehorizontalzero. Qual a variacao resultantenavelocidadedacarroca?� O momentolinear total do sistemahome-carroc¸a econservadopois nao atuamforcas externascom com-ponenteshorizontaisno sistema. Chamemosde � � amassada carroca, e a suavelocidadeinicial, e e � suavelocidadefinal (aposo homemhaverpuladofora). Se-ja � ¡ a massado homem. Suavelocidadeinicial e amesmadacarroca esuavelocidadefinal e zero.Portan-to a conservacaodomomentonosfornece� � ¡ �G� � & e � � e � �deondetiramosavelocidadefinal dacarroca:
e � e � ��¡������ &��� �F*J� �2&B��� .�� ��08&�20 �)�}� m/s
�A velocidadeda carroca aumentapor
�;�+� Y *)� � ¢5 � 5m/s. De modoa reduzirsuavelocidadeo homemfazcom que a carroca puxe-o para tras, de modo que acarroca sejaimpulsionadaparaa frente.
E 9-38 (9-33/6� )O ultimo estagiodeum fogueteesta viajandocomumavelocidadede
�T�2#�#m/s. Esteultimo estagio e feito de
duaspartespresaspor umatrava: um tanquede com-bustıvel com umamassade
*�0�#kg e uma capsulade
instrumentoscomumamassade! . # kg. Quandoa tra-
va e acionada,uma mola comprimidafaz com que asduaspartesseseparemcomumavelocidaderelativa de0;!�#
m/s. (a) Qual a velocidadedasduaspartesdepois
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queelasseseparam?Suponhaquetodasasvelocida-destemamesmadirecao. (b) Calculeaenergiacineticatotal dasduaspartesantese depoisde sesepararemeexpliqueadiferenca (sehouver).� (a) Suponhaquenenhumaforca externaatueno site-macompostopelasduaspartesnoultimoestagio.Omo-mentototal do sistemae conservado. Seja ��£ a massadotanquee ��� amassadacapsula.Inicialmenteambasestaoviajandocomamesmavelocidadee . Aposatravaseracionada,� £ tem umavelocidadee £ enquantoque��� tem umavelocidadee � . Conservacaodo momentofornece-nos� � £ �/��� & e¤ � £ e £ ����� e � �Aposatravasersolta,acapsula(quetemmenosmassa)viaja commaiorvelocidadeepodemosescrever
e � Ue £¥� e S�¦�§ �onde e S�¦�§ e a velocidaderelativa. Substituindoestaex-pressao na equac¸ao da conservacao do momentoobte-mos � �Q£@�G� � & e¤ ��£ e £¥��� � e � �G� � e S�¦�§ �demodoque
e � � ��£@��� � & e�Y � � e S%¦�§� £ ����� e�Y � £� £ �G��� e S�¦�§ �T��#2# Y ! . #*<02# � ! . # �I0)!�#8& ��*<0�# m/s
�A velocidadefinal dacapsulae
e � Ue £ � e S�¦�§ ��*<0�# � 0)!�# 12*�#�# m/s�
(b) A energiacineticatotalantesdasolturadatrava e¨ � !* � ��£@��� � & e $ !* �I*<02# � ! . #2&'�F�<��#�#8& $ !2� *8��!o�-!�# ? j J
�A energiacineticatotalaposa solturadatrava e¨ � !* � £ e $£ � !* ��� e $�
!* �I*�0�#E�F�<*�0�#8& $ � !* �H! . #2&'�(12*�#�#8& $
!��+*2� . �"!�# ? j J�
A energiacineticatotalaumentoulevemente.Istodeve-seaconversaodaenergiapotencialelasticaarmazenadanatrava(molacomprimida)emenergiacineticadaspar-tesdo foguete.
E 9-39 (9-39/6� )Uma caldeira explode, partindo-seem tres pedac¸os.Dois pedac¸os, de massasiguais,sao arremessadosemtrajetoriasperpendicularesentresi, coma mesmavelo-cidadede
��#m/s. O terceiropedac¸o tem uma massa
tresvezesa deum dosoutrospedac¸os. Qualo modulo,direcao e sentidode sua velocidadelogo apos a ex-plosao?� Suponhaquenaohajaforcaexternaatuando,demodoqueo momentolineardosistemadetrespecassejacon-servado.Comoo momentumantesdaexplosaoerazero,eletambemo eaposaexplosao.Istosignificaqueo ve-tor velocidadedostrespedac¸osestaotodosnummesmoplano.EscolhaumsistemadecoordenadasXY, como eixover-tical sendoo eixo A , positivo paracima. A partir daorigemdestediagrama,desenhenadirecaonegativadoeixo X o vetor
� ��© , correspondenteao momentodaparıculamaispesada.Osdoisoutrosmomentossaore-presentadospor vetores�Qª apontandonum angulo q ?noprimeiroquadrantee q $ noquartoquadrante,demo-doque q ? � q $ 02#2g (condicaodoproblema).Comoa componenteverticaldo momentodeve conser-var-se,temoscomasconvencoesacima,que� e senq ? Y � e senq $ # �onde e e a velocidadedos pedac¸os menores. Portan-to devemosnecessariamenteter que q ? «q $ e, comoq ? � q $ 02#2g , temosque q ? �q $ s5 . g .Conservacaodacomponente
=domomentoproduz� � ~� * � e¬xBz8{Jq ? �
Consequentemente,a velocidade~ dopedac¸o maiore
~� *� exBz8{Jq ? *� �(�2#2& x'z2{�5 . g ! 5 m/s�no sentidonegativo do eixo
=. O anguloentreo vetor
velocidadedopedac¸o maiorequalquerumdospedac¸osmenorese !�1�# g Y"5 . g !�� . g �
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9.2.4 SistemasdeMassaVari avel: Um Foguete
E 9-48 (9-41/6� )Uma sondaespacialde
�2#�02#kg, viajandoparaJupiter
comumavelocidadede!�# . m/semrelacaoaoSol,acio-
nao motor, ejetando1�#
kg degasescomumavelocidadede* . � m/s emrelacao a sonda.Supondoqueosgases
saoejetadosno sentidoopostoaodo movimentoinicialdasonda,quala suavelocidadefinal?� Ignorea forcagravitacionaldeJupitere usea Eq.(9-47) do livro texto. Se e � e a velocidadeinicial, M � e amassainicial, e � e velocidadefinal, M � eamassafinal,e ® e avelocidadedogasdeexaustao,entao
e � se � � ®�¯�° M �M � �NesteproblematemosM � ��#20�# kg e M � ��#�02# Y1�# ��#;!�# kg. Portanto
e � !�# .±� * . � ¯K° b ��#�02#��#)!�# c !�#21 m/s�
E 9-49 (9-43/6� )Um fogueteemrepousono espac¸o, emumaregiaoemquea forca gravitacionale desprezıvel, temumamassade*)� .2. �9!�#�² kg,daqual
!�� 1)!��9!�#�²kg saocombustıvel.
O consumodecombustıvel do motor e de 5 1�# kg/se avelocidadedeescapamentodosgasesede
�)�+*2�km/s.O
motor e acionadodurante* . # s. (a) Determineo em-
puxodo foguete.(b) Quale a massado foguetedepoisqueo motor e desligado?(c) Qual e a velocidadefinaldo foguete?� (a) Comoseve no texto logo abaixoda Eq. 9-46,oempuxodofogueteedadopor ³�U7´® , onde7 eataxade consumode combustıvel e ® e a velocidadedo gasexaustado.No presenteproblematemos7µ�5 1�# kg e®� �)�+*2���"!�# D m/s,demodoque³�^7´®Q � 5 1�#8&B�(�;� *8���-!�# D & !�� . ���"!�# 6 N
�(b) A massa do combustıvel ejetado e dada porM � g � � �7�¶�n , onde¶�n eo intervalodetempodaquei-madecombustıvel. PortantoM � g � � � 5 1�#8&B�I* . #8& !��+*<# �"!�# ² kg
�
A massado fogueteaposa queimae
M � ·M � YGM � g � � �I*)� .2. Y !2� *�#2&�-!�# ² !�� � . �"!�# ² kg
�(c) Comoa velocidadeinicial e zero,a velocidadefinaledadapor
e � ®¸¯K° M �M � �(�)�+*2���"!�# D & ¯K° b *J� .�. �-!�# ²!�� � . �-!�# ² c *J� #�1 �-!�# D
m/s�
E 9-56 (9-47/6� )Duaslongasbarcac¸asestaoviajandonamesmadirecaoe no mesmosentidoem aguastranquilas; uma comuma velocidadede
!�#km/h, a outro com velocidade
de*�#
km/h. Quandoestao passandouma pela outra,operariosjogamcarvaodamaislentaparaamaisrapida,a razaode
!�#�#2#kg por minuto; vejaa Fig. 9-38. Qual
a forca adicionalquedeve serfornecidapelosmotoresdasduasbarcac¸asparaquecontinuema viajar com asmesmasvelocidades?Suponhaquea transferenciadecarvaosedaperpendicularmenteadirecaodemovimen-to dabarcac¸a maislentae quea forca deatrito entreasembarcac¸oese a aguanaodependedoseupeso.�9.2.5 SistemasdePart ıculas: Variacoesna Energia
Cinetica
E 9-60 (9-55/6� )Umamulherde .2. kg seagachaedepoissaltaparacimanavertical. Na posicaoagachada,seucentrodemassaesta 5 # cm acimado piso; quandoseuspesdeixamochao,o centrode massaesta
02#cm acimado piso; no
pontomaisaltodosalto,esta!r*<#
cmacimadopiso. (a)Qual a forca mediaexercidasobrea mulherpelo piso,enquantoha contatoentreambos?(b) Quala velocida-demaximaatingidapelamulher?�
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina8
LISTA 2 - Prof.JasonGallas,IF–UFRGS 30deOutubrode2003, as10:17
ExercıciosResolvidosdeDinamica Classica
JasonAlfr edoCarlson Gallas,professortitular de fısicateorica,
Doutor em Fısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do SulInstituto de Fısica
MateriaparaaQUARTA prova. Numerac¸aoconformeaquarta edicaodo livro“FundamentosdeFısica”,Halliday, ResnickeWalker.
Estaeoutraslistasencontram-seem: http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas
Conteudo
10 Colisoes 210.1 Questoes. . . . . . . . . . . . . . . . . 210.2 Problemase Exercıcios . . . . . . . . . 2
10.2.1 Impulsoe MomentoLinear. . . 2
10.2.2 ColisoesElasticasemUmaDi-mensao . . . . . . . . . . . . . 4
10.2.3 Colisoes Inelasticas em UmaDimensao . . . . . . . . . . . . 6
10.2.4 ColisoesemDuasDimensoes . 710.2.5 ProblemasAdicionais . . . . . 7
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10 Colisoes
10.1 Questoes
Q 10-1
Expliquecomoaconservacaodeenergiaseaplicaaumabolaquicandonumaparede.�
10.2 ProblemaseExercıcios
10.2.1 Impulso e Momento Linear
E 10-3 (10-1/6� edicao)
Um taco de sinucaatinge uma bola, exercendoumaforca mediade ��� N em um intervalo de ��� ms. Seabola tivessemassade ����� kg, quevelocidadeela teriaaposo impacto?� Se for a magnitudedaforca mediaentaoa magni-tudedo impulsoe ���� ���� , onde ��� e o intervalo detempoduranteo quala forca e exercida(vejaEq.10-8).Esteimpulso iguala a magnitudeda troca de momen-tumdabolaecomoabolaesta inicialmenteemrepouso,igualaa magnitude��� do momentofinal. Resolvendoa euqac¸ao ���������� para� encontramos
��� ����� � � ����� � ����� ���"!$#������� �%"��� m/s�E 10-9 (10-5/6� )
Umaforcacomvalormediode �&���� N eaplicadaaumaboladeaco de �� '�� kg, quesedeslocaa �(' m/s,emumacolisao quedura *) ms. Sea forca estivesseno senti-do opostoao da velocidadeinicial da bola, encontreavelocidadefinal dabola.� Considerea direcao inicial do movimentocomopo-sitiva e chamede a magnitudedaforca media, ��� aduracao da forca, � a massada bola, ��+ a velocidadeinicial da bola, ��, a velocidadefinal da bola. Entao aforca atuanadirecaonegativa e o teoremado impulso-momentofornece- ����.�/�0� , - ��� + �
Resolvendopara� , obtemos
� , � � + - ��1��� �(' - � �&����*� � *)2� ��� !3# ��� '�� � -54 ) m/s�
A velocidadefinal dabolae 4 ) m/s.
P 10-12 (10-9/6� )Um carrode ��'���� kg, deslocando-sea �� 6 m/s,esta ini-cialmenteviajandoparao norte,no sentidopositivo doeixo 7 . Aposcompletarumacurva a direitade 8���9 parao sentidopositivo do eixo : em ';� 4 s,o distraidomoto-rista investeparacimadeumaarvore,queparao carroem 6���� ms. Em notacao de vetoresunitarios,qual e oimpulsosobreo carro(a) durantea curva e (b) durantea colisao? Qual a intensidadeda forca mediaqueagesobreo carro(c) durantea colisao?(e) Quale o anguloentrea forca mediaem(c) e o sentidopositivo do eixo: ?� (a) O momentoinicial docarroe< + �=��>?� � ��'������ � �"� 6��A@B� � )C'���� kg Dm/s�A@eo momentofinal e
� )E'���� kg Dm/s�GF . O impulsoqueneleatuae igual a variacaodemomento:H � < , - < +I� � )E'���� kg Dm/s� � F - @C�J�(b) O momentoinicial do carroe < + � � )C'���� kg Dm/s�KFe o momentofinal e < , �L� . O impulsoatuandosobreelee H � < , - < +I� - � )C'���� kg Dm/s�KF(c) A forca mediaqueatuanocarroe
M �JN � � <��� � H���
� � )C'���� kg Dm/s� � F - @E�'O� 4� � � 4 ��� N � � F - @C�esuamagnitudee �PN � � � 4 ��� N �RQ 2�S�6���� N.(d) A forca mediae
M �PN � H���
� � - )E'���� kg Dm/s�GF6������?�&� !3#http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina2 de7
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� � - "�T�2� ����U N �VFe suamagnitudee
M �PN �%"�T�W�?�&� U N.(e) A forca media e dadaacima em notacao vetorialunitaria. Suascomponentes: e 7 tem magnitudesiguais. A componente: e positiva e a componente7e negativa, de modoquea forca esta a '*� 9 abaixodoeixo : .P 10-13 (10-??/6� )
A forca sobreum objetode ��� kg aumentauniforme-mentedezeroa ��� N em ' s. Quale a velocidadefinaldoobjetoseelepartiudo repouso?� Tomeamagnitudedaforcacomosendo X�SY5� , on-de Y eumaconstantedeproporcionalidade.A condicaoque Z�S��� N quando���/' sconduzaYS� � ��� N �R[ � ' s�\�X�C"��� N/s�A magnitudedo impulsoexercidonoobjetoe
�]� ^ U_ %`��.� ^ U_ Y5�V`��a� � Y5�GbOccc U_� � � �C"����� � '*� b� ����� N D s�A magnitudedesteimpulso e igual a magnitudedavariacaodo momentodo objetoou, comoo objetopar-tiu do repouso,e igual magnitudedo momentofinal:�]�=��� , . Portanto
� , � �� � �&������ �X�&� m/s�P 10-14 (10-13/6� )
Uma armade ar comprimidoatira dezchumbinhosde g por segundocom umavelocidadede ����� m/s, quesao detidospor uma parederıgida. (a) Qual e o mo-mentolineardecadachumbinho?(b) Qual e a energiacineticadecadaum? (c) Quale a forca mediaexercidapelo fluxo de chumbinhossobrea parede?(d) Seca-dachumbinhopermaneceremcontatocomaparedepor�� 4 ms,qualsera a forca mediaexercidasobrea paredeporcadaum delesenquantoestiveremcontato?(e)Porqueestaforca e taodiferentedaforcaem(c)?� (a) Se � for a massadumchumbinhoe � for suave-locidadequandoele atingea parede,entaoo momentoe d �/����� � �� ��� !3# � � ���������Z� kg Dm/se
nadirecaodaparede.(b) A energiacineticadumchumbinhoe
f � � �0�gbB� � � �� ��� !3# � � �������Kb5�S���� J�(c) A forcanaparedeedadapelataxanaqualo momen-to e transferidodoschumbinhosparaa parede.Comoos chumbinhosnao voltam paratras,cadachumbinhotransfere
d �h��� � kg Dm/s. Se ��i chumbinhoscolidemnumtempo ��� entaoa taxamediacomqueo momentoe transferidoe
�PN �d ��i�1� � � ��� ��� � �&���.�Z�&� N �
A forca na paredetem a direcao da velocidadeinicialdoschumbinhos.(d) Se �1� e o intervalo de tempoparaum chumbinhoserfreadopelaparede,entaoa forca mediaexercidanaparedeporchumbinhoe
�PN �d��� � ��� ��;� 4 � ��� !3# �j� 4�4�4 � 4�4 N �
A forca tema direcaodavelocidadeinicial do chumbi-nho.(e) Na parte(d) a forca foi mediadaduranteo interva-lo emqueumchumbinhoestaemcontatocomaparede,enquantonaparte(c) elafoi mediadaduranteo intervalodetemponoqualmuitoschumbinhosatingemaparede.Na maior partedo temponenhumchumbinhoesta emcontatocom a parede,de modoquea forca medianaparte(c) e muitomenorquea mediaem(d).
P 10-26 (10-15/6� )Umaespac¸onave e separadaemduaspartesdetonando-seasligacoesexplosivasqueasmantinhamjuntas. Asmassasdaspartessao �&���� e �&k���� kg; o modulodo im-pulsosobrecadaparteede 6���� N D s. Comquevelocida-derelativaasduaspartesseseparam?� Consideremosprimeiro a partemais leve. Suponhaqueo impulsotenhamagnitude� eestejanosentidopo-sitivo. Seja�ml , ��l amassaeavelocidadedapartemaisleve aposasligacoesexplodirem. Suponhaqueambasaspartesestao em repousoantesda explosao. Entao,n �/� l � l , demodoque
� l � ��ml � 6�����C���� �S����� m/s�http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina3 de7
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O impulsonapartemaispesadatema mesmamagnitu-de masno sentidooposto,de modoque - �%�h� b � b ,onde � b , � b sao a massae a velocidadeda partemaispesada.Portanto
� b � - �� b � - 6�����&k���� � - ��T� 4 ) m/s�A velocidaderelativadaspartesaposa explosaoe
����� - � - ��T� 4 )��V�=�;� 'O�C) m/s�P 10-28 (10-38/6� )
A espac¸onave Voyager 2 (de massa� e velocidade�relativaaoSol)aproxima-sedoplanetaJupiter(demas-san
e velocidadeo relativa ao Sol) como mostraaFig. 10-33. A espac¸onave rodeiao planetae partenosentidooposto.Quale a suavelocidade,emrelacaoaoSol,aposesteencontrocomefeitoestilingue?Conside-ra �p�q�C km/s e or�q��6 km/s (a velocidadeorbitaldeJupiter). A massadeJupiter e muito maiordo queadaespac¸onave;
nts � . (Parainformacoesadicionais,veja“The slingshoteffect: explanationandanalogies”,de Albert A. Bartlett e CharlesW. Hord, The PhysicsTeacher, novembrode1985.)� Considereo encontronumsistemadereferenciafixoem Jupiter. Quandoeventuaisperdasdeenergia foremdesprezıveis, o encontropodeser pensadocomo umacolisao elasticana qual a espac¸onave emerge da “co-lisao” comumavelocidadedemesmamagnitudequeavelocidadequepossuiaantesdo encontro.Comoa ve-locidadeinicial daespac¸onavee
� + �/�2u�oj�Z�&5u=��6��=�� km/s
medidaapartirdeJupiter, elaseafastaradeJupitercom� , ���� km/s. Passandoparao sistemaoriginal dere-ferencianoqualo Solesta emrepouso,tal velocidadeedadapor
�*v, �/��,wu�oj�S��5u=��6��S6�k km/s�10.2.2 ColisoesElasticasemUma Dimensao
E 10-29 (10-35/6� )OsblocosdaFig. 10-34deslizamsematrito. (a) Qualea velocidade> do bloco de ��� 4 kg aposa colisao? (b)
Suponhaqueavelocidadeinicial doblocode "� ' kg se-ja opostaa exibida. Aposa colisao,a velocidade> doblocode ��� 4 kg podeestarnosentidoilustrado?� (a) Seja � l , � lK+ e � lR, a massae a velocidadeiniciale final do bloco a esquerda,e � b , � b + e � b , ascorres-pondentesgrandezasdo blocoa direita. O momentodosistemacompostopelosdois blocose conservado, demodoque
�mlx��lK+Ouy� b � b +z�/�]lP��lK,wuy� b � b ,Oedondetiramosque
��lR, � �mlx��lK+3u{� b � b + - � b � b ,� l� �� �5u "� '��� 45| "��� - 'O� 8*}B�X��� 8 m/s�O blococontinuaandandoparaa direitaaposa colisao.(b) Paraverseacolisaoe inelastica,comparamososva-loresdaenergiacineticatotal antese depoisdacolisao.A energiacineticatotal ANTES dacolisaoef + � � � l � blG+ u � � b � bb +� � � ��� 4 � � �� ��� b u � � � 'g� � "����� b �=6����) J�A energiacineticatotal DEPOIS dacolisaoef , � � � l � blR, u � � b � bb ,
� � � ��� 4 � � ��� 8�� b u � � "� '*� � 'O� 8*� b �=6;���~) J�Como
f + � f , , vemosquea colisaoeelastica,(c) Agora � b + � - "��� m/se
��lR, � �]lP��lG+$uy� b � b + - � b � b ,� l� �"���5u � '� � | - � � - ';� 8 } � - �"� 4 m/s�Comoo sinal indica,a velocidadedeve opor-seaosen-tido mostrado.
E 10-33 (10-37/6� )Um carrode 6�'�� g demassa,deslocando-seemum tri-lho dear linearsematrito, a umavelocidadeinicial de��� m/s, atingeum segundocarrode massadesconhe-cida, inicialmenteem repouso. A colisao entreeleseelastica.Aposa mesma,o primeirocarrocontinuaemseusentidooriginal a �� 4�4 m/s. (a) Qual e a massadosegundocarro?(b) Qual e a suavelocidadeaposo im-pacto? (c) Qual a velocidadedo centrode massadosistemaformadopelosdoiscarrinhos?
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� (a) Seja� l , � lK+ , � lR, a massae asvelocidadesiniciale final do carroqueoriginalmentesemove. Seja � b e� b , a massae a velocidadefinal do carrooriginalmenteparado( � b + ��� . Entao, de acordocom a Eq. 10-18,temos
��lR,1� �]l - � b� l u{� b ��lG+R�Destaexpressaoobtemospara� b :� b � � lK+ - � lR,��lR,�u{��lK+ � l� ��� - �� 4�4��� 5u��� 4�4 � 6�'*� g�\�=8�8 g �(b) A velocidadedosegundocarroedadapor
� b , � E�ml� l u{� b � lG+ � � �;� 6�'������ 6�'*��u��� ��8�8 � ������� ��� 8 m/s�(c) A velocidadedocentrodemassadosistemaformadopelosdoiscarrinhossatisfaza equac¸ao� � � � l uy� b �G���z����� l � lK+ u{� b � b + �Lembrandoque � b + �/� , temos
���z��� � l � lK+�ml.uy� b �� 6�'*��� � ������6�'��5u�8�8 �=�� 8�6 m/s�
Observequeusamosgramasemvezdekilogramas.
E 10-34 (10-41/6� )Um corpode "� � kg demassacolideelasticamentecomoutro em repousoe continuaa deslocar-se no sentidooriginal comum quartodesuavelocidadeoriginal. (a)Qual e a massado corpoatingido? (b) Qual a veloci-dadedocentrodemassadosistemaformadopelosdoiscorpossea velocidadeinicial docorpode "� � kg erade';� � m/s?� (a) Sejam� l , � lG+ , � lR, amassaeasvelocidadesantese depoisdacolisaodo corpoquesemove originalmen-te. Sejam� b e � b , amassaeavolcidadefinal docorpooriginalmenteemrepouso.De acordocoma Eq.10-18temos
��lR,1� � l - � b� l u{� b ��lG+R�Resolvendopara� b obtemos,para��lK,1�=��lK+�[E' ,
� b � ��lK+ - ��lK,� lR, u{� lG+ � l � � - �E[C'�C[C'Bu=� � � l �
� 6 � � "� �����X��� kg �(b) A velocidadedocentrodemassadosistemformadopelosdoiscorpossatisfazaequac¸ao� � � �ml�u{� b ��� �z� ���mlP��lK+Ou{� b � b +R�Resolvendopara� ��� com � b +z�S� encontramos
������� �mlx��lK+� l u{� b �� � �*� � 'O� �*�"� �Bu/��� �=� � m/s�
E 10-37 (10-43/6� )Duasesferasdetitanioseaproximamfrontalmentecomvelocidadesdemesmomoduloecolidemelasticamente.Aposa colisao,umadasesferas,cujamassae de 6���� g,permaneceemrepouso.Qualeamassadaoutraesfera?� Seja �]l , ��lK+ , ��lK, a massae asvelocidadesantesedepoisdacolisaodeumadaspartıculase � b , � b + , � b , amassaeasvelocidadesantesedepoisdacolisao,daou-trapartıcula.Entao,deacordocomaEq.10-28,temos
� lR, � �]l - � b� l uy� b � lK+ u E� b� l u{� b � b + �Suponhaqueaesfera� estejaviajandooriginalmentenosentidopositivo efiqueparadaaposacolisao.A esferaesta viajandooriginalmenteno sentidonegativo. Subs-tituindo ��lK+���� , � b +�� - � e ��lK,���� na expressaoacima,obtemos���/�ml - 6�� b . Ou seja,
� b � � l6 � 6���� g6 �X����� g �E 10-40� (10-??/6� )
ATENCAO: ESTE PROBLEMA FOI MAL TRADUZIDO
NO LIVRO TEXTO. USE A TRADUCAO QUE SEGUE:Um elevadoresta deslocando-separacimanumpoco a4 ft/s ( ��� k�6 m/s). No instanteem queo elevadorestaa 4 � ft ( ��k;� 4 m) do topo, larga-seumabolado topodopoco. A bola quicaelasticamentedo teto do elevador.(a) A quealturaela podeelevar-seem relacao ao topodo poco? (b) Faca o mesmoproblemasupondoqueoelevadorestejadescendoa 4 ft/s ( ��� k�6 m/s). (Dica: avelocidadedabolaemrelacaoaoelevadoremeramenterevertidapelacolisao.)Nota: no sistemadeunidadesemquestao,a acelerac¸aodagravidadevale ���/6* ft/sb .� (a)
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10.2.3 ColisoesInelasticasemUma Dimensao
E 10-41 (10-23/6� )Acredita-seque a Cratera do Meteoro, no Arizona(Fig. 10.1),tenhasidoformadapeloimpactodeumme-teorocoma Terraha cercade20.000anos.Estima-seamassado meteoroem ������� l _ kg e suavelocidadeem)����� m/s.Quevelocidadeummeteoroassimtransmiti-ria aTerranumacolisaofrontal?� Seja��� amassadometeoroe ��� amassadaTerra.Seja ��� a velocidadedo meteoroimediatamenteantesda colisao e � a velocidadeda Terra (com o meteoro)aposa colisao. O momentodo sistemaTerra-meteoroeconservadodurantea colisao. Portanto,no sistemadereferenciaTerraantesdacolisaotemos
� � � � � � � � uy� � ���3edemodoqueencontramospara���� � � � �����uy��� � � )������� � ��� ��� l _ ��"� 8�k��?�&� b U u���� ��� l _� 4 �?�&� ! l�l m/s�
Paraficar maisfacil de imaginaro quesejaestavelo-cidadenoteque,como 6 4 ����E'��m6 4 ������6;�&��6 4 ����� ,temos
4 �?�&� ! l�l m/s � 4 �?�&� ! l�l � 6�&��6 4 �����*� m/ano
� �� ����&k�8 m/ano
� ��� k�8 mm/ano�E umavelocidadeMUITO difıcil desemedir, nao?...
E 10-42 (10-21/6� )Um treno emformadecaixade 4 kg estadeslocando-sesobreo geloa umavelocidadede 8 m/s,quandoumpa-cotede �& kg e largadodecimaparadentrodele.Quale a novavelocidadedotreno?� Precisamosconsiderarapenasacomponentehorizon-tal domomentodotreno edopacote.Seja�0� , �E� amas-sae a velocidadeinicial do treno. Seja ��� , a massadopacotee � velocidadefinal do conjuntotreno u pacote.A componentehorizontaldo momentodesteconjuntoconserva-sedemodoque
�����E�V� � ����u{�������3e
deondetiramos
��� �E���������u{��� �� 8� ��� � 4 � ���4 u/�C �S6 m/s�
P 10-53 (10-29/6� )Umvagaodecargade 6*� t colidecomumcarrinhoauxi-liar queestaemrepouso.Elesseuneme *)�� daenergiacineticainicial edissipadaemcalor, som,vibracoes,etc.Encontreo pesodocarrinhoauxiliar.� Seja� N e � N amassaeavelocidadeinicial dovagao,�]� a massado carrinhoauxiliar e � a velocidadefi-nal dosdois, depoisde grudarem-se.Conservacao domomentototal do sistemaformado pelos dois carrosfornece-nos� N � N � � � N u{� � ��� dondetiramos
��� � N � N� N u{�]� �A energia cinetica inicial do sistemae
f + ��� N � bN [�enquantoquea energiacineticafinal ef , � � � � N uy� � ��� b
� � � � N uy�]�x�� � N � N � b� � N uy� � � b� � � bN � bN� N u{��� �
Como �)�� daenergiacineticaoriginal eperdida,temosf , �=�;��)�6 f + , ouseja,
� � bN � bN� N uy� � �S��~)E6 � � N � bN eque,simplificada,fornece-nos� N [ � � N u�� � � �¡�;��)�6 .Resolvendopara� � encontramos
� � � ����)��~)E6 � N �=�;� 6g)C� N � � �� 6*)�� � 6*���� �C"� 8�� toneladas� �C"� 8����?�&� # kg �A razaodasmassase, obviamente,a mesmarazaodospesose,chamandode
� N o pesodo vagao,temosqueopeso
�docarrinhoauxiliar e� �=�;� 6g) � N � � �� 6*)�� � 6����?�&� # � � 8;� k*�� �& 4 � 8;��� ��� # N �
Observequeo resultadofinal naodependedasvelocida-desemjogo.
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10.2.4 ColisoesemDuasDimensoes
E 10-63 (10-49/6� )Em um jogo de sinuca,a bola brancaatingeoutraini-cialmenteemrepouso.Aposacolisao,abrancadesloca-sea 6;� � m/saolongodeumaretaemangulode ��9 coma suadirecaooriginaldemovimento,eo modulodave-locidadeda segundabola e de m/s. Encontre(a) oanguloentrea direcaodemovimentodasegundabolaea direcaodemovimentooriginal dabolabrancae (b) avelocidadeoriginal dabranca.(c) A energia cineticaseconserva?� (a) Usea Fig. 10-20do livro texto e considerea bo-la brancacomosendoa massa�ml e a outrabolacomosendoamassa� b . Conservacaodascomponentes: e 7do momentototal do sistemaformadopelasduasbolasnosforneceduasequac¸oes,respectivamente:����lG+t� ����lK,\¢J£�¤¥�l\uy��� b ,\¢J£*¤"¥ b� � - ����lK, sen¥�l.u{�0� b , sen¥ b �Observe queasmassapodemsersimplificadasemam-basequac¸oes.Usandoa segundaequac¸aoobtemosque
sen ¥ b � � lR,� b , sen ¥ l � 6;� �� � sen � 9 �S�� 4 � 4 �
Portantoo anguloe ¥ b ��'O�&9 .(b) Resolvendoaprimeriadasequac¸oesdeconservacaoacimapara��lG+ encontramos
� lG+ � � lR, ¢(£�¤"¥ l u{� b , ¢J£�¤¥ b� � 6;� ���"¢J£*¤;� 9 u � "� ���"¢(£�¤"'O� 9 ��'O��)�� m/s�(c) A energiacineticainicial e
f +I� � ��� b+ � � � � ';�~)���� b �Z����� 6�� �A energiacineticafinal e
f , � � �0� blR, u � ��� bb ,� � �S¦ � 6;� ��� b u � � �*� bP§ �Sk�T�(� �Portantoaenergiacineticanaoeconservada.
10.2.5 ProblemasAdicionais
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ExercıciosResolvidosdeDinamica Classica
JasonAlfr edoCarlson Gallas,professortitular de fısicateorica,
Doutor em Fısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do SulInstituto de Fısica
MateriaparaaQUARTA prova. Numerac¸aoconformeaquarta edicaodo livro“FundamentosdeFısica”,Halliday, ResnickeWalker.
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Conteudo
11 ROTACAO 2
11.1 Questionario . . . . . . . . . . . . . . . 211.2 Exercıciose Problemas. . . . . . . . . 211.3 ProblemasAdicionais . . . . . . . . . . 9
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11 ROTACAO
11.1 Questionario
Q11-3.
O vetorquerepresentaa velocidadeangularderotacaodeumarodaemtornodeum eixo fixo temdeestarne-cessariamentesobreesteeixo?� Sim, o vetor velocidadeangulardefineo eixo derotacao. Mesmoquandoo eixo nao e fixo, o vetorestadirigido ao longo desseeixo, comono casodo movi-mentodeum piao. A velocidadeangularde precessaotambem e um vetor dirigido ao longo da direcao emtornodaqualo eixodopiaoprecessiona.
Q11-8.
Por que e convenienteexpressar� em revolucoesporsegundoaoquadradonaexpressao ������� ���� �� � enaonaexpressao ��������� ?� Porquenaequac¸ao ����� � ���� ���� , � e � � tambemsao quantidadesmensuraveis em revolucoes e revo-lucoespor segundo,respectivamente.Masna equac¸ao��� �!�"� , paraseobtera acelerac¸ao linearemm/s
�, �
deveserexpressaemradianos/s�.
Q11-9.
Um corporıgido podegirar livrementeemtornodeumeixo fixo. E possıvel que a acelerac¸ao angulardestecorposejadiferentede zero,mesmoquea suaveloci-dadeangularsejanula(talvez,instantaneamente)?Qualo equivalentelinear destasituacao? Ilustre ambasassituacoescomexemplos.� Sim. Se o corpo rıgido for submetidoa umadesacelerac¸ao, sua velocidadeangular eventualmentesera nula, e depoiscomecra a crscerno sentidocon-trario. O equivalentelineardessasituacaopodesera deumcorpojogadoverticalmenteparacima;suavelocida-dezeranopontomaisaltodatrajetoriaeeletornaacair.
Q11-13.
Imagineumarodagirandosobreo seueixo e considereum pontoemsuaborda.O pontotemacelerac¸aoradial,quandoa roda gira com velocidadeangularconstan-te? Tem acelerac¸ao tangencial?Quandoela gira com
acelerac¸ao angularconstante,o ponto tem acelerac¸aoradial?Temacelerac¸ao tangencial?Osmodulosdessasacelerac¸oesvariamcomo tempo?� Sim, a acelerac¸ao radial e �$#%�&� � � . A acelerac¸aotangenciale nula nessecaso. Girandocom acelerac¸aoangularconstante,o pontodabordatemacelerac¸ao ra-dial �$#(')+*,�-')��+* � � e acelerac¸ao tangencial���.�&��� ,constante.
Q11-15.
Qualarelacaoentreasvelocidadesangularesdeumpardeengrenagensacopladas,deraiosdiferentes?� Pontosdabordadasengrenagenstemamesmavelo-cidadelinear: � � � � �/� � � � . Assim,a engrenagemquetemo menorraio, tema maiorvelocidadeangular.
Q11-21.
A Fig. 0(021 3245� mostraumabarrade 0 m, sendometadede madeirae metadede metal,fixadapor um eixo noponto O da extremidadede madeira. Uma forca F eaplicadaao pontoa da extremidadede metal. Na Fig.020(163(427 , a barrae fixadapor um eixo em 8 9 naextremi-dadedemetaleamesmaforca eaplicadaaoponto ��9 daextremidadedemadeira.A acelerac¸aoangulare a mes-maparaosdoiscasos?Senao,emquecasoelaemaior?� A densidadedos metaise maior do que das ma-deiras,tal que na situacao (b), o momentode inerciada barraem relacao ao ponto 8 9 e maior do que nocaso (a). Assim, pela relacao :;�=<>� , vem que<@?BADC$�E?FADC/�G<H?BIJC$�E?FIKC . As acelerac¸oes angularesnaosaoiguaisnosdoiscasos,sendo�E?BALC>M/�E?FIKC .11.2 ExercıcioseProblemas
Secao11-2As Vari aveisdeRotacao
11-6P.
Umarodagira comumaacelerac¸aoangular� dadapor���ON2��QP RTS27D � , ondet e o tempo,e a e b sao cons-tantes.Se � � e a velocidadeinicial da roda,deduzaasequac¸oespara(a) a velocidadeangulare (b) o desloca-mentoangularemfuncaodo tempo.
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� (a) Paraobtera velocidadeangular, bastaintegraraacelerac¸aoangulardada:UWVV$XZY �>[\� U �] � Y Q[�^R_���.���`bacR^7� P�d'�+*E�e� � �f�> a Rg7� P(b) O deslocamentoangulare obtidointegrandoa velo-cidadeangular: Ufhh X Y � [ � U �] � Y [
�iRj� � �/� � k�f� Ql4 R^7 aN�m')+*>��� � �f� Ql4 R^7 aN
11-10P.
Umarodatemoito raiosde S2n cm. Esta montadasobreum eixo fixo e gira a 3poq4 rev/s. Voce pretendeatiraruma flechade 35n cm de comprimentoatraves da ro-da,paralelamenteao seueixo, semquea flechacolidacom qualquerraio. Suponhaque tantoa flechaquan-to os raios sejammuito finos; veja a Fig. 0(021 3(r . (a)Qual a velocidademınima que a flechadeve ter? (b)A localizacaodo pontoquevoce mira, entreo eixo e abordada roda, tem importancia? Em casoafirmativo,quala melhorlocalizacao?� (a) O anguloentredoisraiosconsecutivose s�tHN e otemponecessarioparapercorre-loeE� �� � s�tHN4@s ��nmoun�4 s.
A velocidademınimadaflechadeveserentaov �-w � npox35nnpoqn24 �eN\oun m/s.
(b) Nao,seavelocidadeangularpermanececonstante.
11-15E.
O volantedeummotorestagirandoa 3(4poun rad/s.Quan-doo motoredesligado,o volantedesaceleraaumataxaconstanteate pararem 35nmoun s. Calcule(a) a acelerac¸ao
angulardo volante(emrad/s�), (b) o angulopercorrido
(emrad)ateparare(c) o numeroderevolucoescomple-tadaspelovolanteate parar.� (a)Sendo� � �y3(4zoqn rad/s,tem-se�W�e��{R^��E��n
�j� � � � 324zoqn3(npoqn �|0(ox3(4 rad/s� 1
(b) O angulopercorridoe���e��� Rj� �3���y3245n rad.
(c) Parao numeroderevolucoes} , temos}~� �3{s �yS(�poq�(n revolucoes111-23P.
Um disco gira em torno de um eixo fixo, partin-do do repousocom acelerac¸ao angularconstanteatealcancar a rotacaode 0�n rev/s. Depoisdecompletarr2nrevolucoes,suavelocidadeangulare 0�4 rev/s. Calcule(a) a acelerac¸ao angular, (b) o temponecessario paracompletaras r2n revolucoes,(c) o temponecessarioparaalcancaravelocidadeangularde 0�n rev/se(d) o numerode revolucoesdesdeo repousoate a velocidadede 0�nrev/s.� (a) A velocidadeangulardo disco aumentade 0�nrad/spara 0H4 rad/sno intervalonecessarioparacomple-taras r(n revolucoes.� � �/� �� �f3E�i�
�^�/� � R � ��3� ��02oun(N rev/s� 1
(b) O temponecessarioparaas r(n voltase�� �^R���� ��Nm1 � s.
(c) O tempoatealcancar 0�n rad/se [ � ���� ���m1 r�3 s.
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(d) E o numerodevoltasdadasno intervalo e�"� � ��3(� ��N2� revolucoes.
Secao11-5As Vari aveisLinearese Angulares
11-29E.
Umaturbinacom 0(ox35n m dediametroestagirandoa 35n2nrev/min. (a) Qual a velocidadeangularda turbinaemrad/s?(b) Quala velocidadelineardeum pontonasuaborda?(c) Queacelerac¸aoangularconstante(rev/min
�)
aumentaraasuavelocidadepara 0�n2n(n rev/min em r2n s?(d) Quantasrevolucoescompletaraduranteesseinterva-lo de r(n s?� (a)A velocidadeangularemrad/se�g� 'K35n2n2*�'K3@s�*r(n �y35nm1 �(N rad/s.
(b) Qualquerpontodabordadaturbinamove-seavelo-cidade v ���E����'K3(np1 �5N$*L')nm1 r2n2*��0H3z1645r m/s.
(c) A acelerac¸aoangularnecessariae��� �jR�� � � 0�n(n2n R^3(n(n021 n ���2n(n rev/min�.
(d) O numerodovoltasno intervalode 021 n minutoe�"� � � R�� ��35� ��r2n(n rev.
11-34E.
Uma certa moeda de massaM e colocadaa umadistanciaR do centrodo prato de um toca-discos.Ocoeficientedeatritoestaticoe ��� . A velocidadeangulardotoca-discosvai aumentandolentamenteate ��� , quan-do,nesteinstante,amoedaescorregaparaforadoprato.(a)Determine�� emfuncaodasgrandezasM, R,g e ��� .(b) Faca um esboc¸o mostrandoa trajetoria aproximadadamoeda,quandoe projetadaparaforado toca-discos.� (a)A moedaesta soba acaodaforca centrıpeta� �y��� ��� 1Quandoo prato atingea velocidade��� , a forca cen-trıpetae igual amaximaforca deatritoestatico:��� �L� ��� o ���
� o �|� � o ��(b)A moedaeprojetadatangencilamente,seguindoumatrajetoria retilınea.
11-36P.
A turbinadeum motora vaporgira comumavelocida-de angularconstantede 0�4(n rev/min. Quandoo vapore desligado,o atrito nosmancaise a resistenciado arparamaturbinaem 3zoq3 h. (a)Qualaacelerac¸aoangularconstantedaturbina,emrev/min
�, duranteaparada?(b)
Quantasrevolucoesrealizaantesde parar? (c) Qual acomponentetangencialdaacelerac¸aolineardapartıculasituadaa 45n cm do eixo de rotacao, quandoa turbinaestagirandoa �(4 rev/min?(d) Emrelacaoapartıculadoıtem(c), qualo modulodaacelerac¸aolinearresultante?� (a) O intervalo dado correspondea 0�S23 min. Aacelerac¸aoangulare�j� � o ��0(1B0�S2r rev/min
�.
(b) O numerodevoltasateparare��� � �o3(� �e�2�(n(S rev.
(c) Para obter a acelerac¸ao linear tangencialem uni-dadesSI, a acelerac¸ao angulardeve estarexpressaemrad/s
�. Fazendoaconversao,obtemos���|0(1 �(����0�np��P
rad/s�
e � t �y�����y�p1 �p0���0�n � a m/s�.
(d) A velocidadeangular�W���54 rev/min correspondea�z1 ��4 rad/se � r �/� � �i��S(nm1 �m0 m/s�.
Portanto,o modulodaacelerac¸aolinearresultantee�Z��� � �t �W� �r �yS(np1 �p0 m/s�.
11-42P.
Quatropoliasestao conectadaspor duascorreiascon-formemostradonaFig. 0(0 RWS(n . A polia A ( 0�4 cm deraio) e a polia motriz e gira a 0�n rad/s. A B ( 0�n cm deraio) esta conectadaa A pelacorreia 0 . A � [ ( 4poun cmde raio) e concentricaa B e esta rigidamenteligadaaela. A polia C ( 324 cm deraio) esta conectadaa � [ pela
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correia 3 . Calcule(a) a velocidadelinear deum pontona correia 0 , (b) a velocidadeangularda polia B, (c) avelocidadeangulardapolia � [ , (d) a velocidadelineardeum pontonacorreia 3 e (e) a velocidadeangulardapoliaC.� (a) A velocidadelineardequalquerpontodacorreia0 e v � �/� A � A �|0(164 m/s.
(b) A velocidadev � e a velocidadedospontosdabordadapolia � , cujavelocidadeangulare entao� B � v �� B
�|0�4 rad/s.
(c) As polias � e � [ giramemtornodomesmoeixo,demodoque � B’ �/� B �|0�4 rad/s.
(d) A velocidadelineardequalquerpontodacorreia3 ev � �/� B’ � B’ �ynp1��54 m/s.
(e)Ospontosdabordadapolia � temvelocidadelinearv � . Portanto, � C � v �� C
�eSm1 n rad/s.
Secao11-6Energia CineticadeRotacao
11-46P.
A molecula de oxigenio, 8 � , tem massatotal de4z1 S��.0�np� �q� kgeummomentodeinerciade 0(1 �5N �.0�np� a �kg �m� , emrelacaoaoeixo queatravessaperpendicular-mentea linha dejuncaodosdois atomos.Suponhaqueessamoleculatenhaemumgasavelocidadede 45n2n m/se quesuaenergiacineticaderotacaosejadoistercosdaenergiacineticadetranslac cao. Determinesuaveloci-dadeangular.� Comarelacaodadaentreasenergiascineticas,temos�
rot. � 3S � trans.03 <�� � � 3S-� 03%� v ���Introduzindoos valoresde � , < e v , obtemos���rp1��54"�j0�n � � rad/s.
Secao11-7Calculo do Momento de Inercia
11-49E.
As massase ascoordenadasdequatropartıculassaoasseguintes: 45n g, ¡�¢3zoqn cm, £¤�¢3poun cm; 3(4 g, ¥��n ,£¤�eN\oun cm; 3(4 g, ��&R^Spoqn cm, £Z�&RjSmoun cm; S(n g, ��|R¦3zoqn cm, £%��Nmoqn cm. Qualo momentodeinerciado conjuntoem relacao (a) ao eixo x, (b) ao eixo y e(c) aoeixo z? (d) Seasrespostaspara(a) e (b) forem,respectivamente,A e B, entao qual a respostapara(c)emfuncaodeA e B?� Esteexercıcio e umaaplicacao do teoremadosei-xos perpendiculares,nao apresentadodentrodo texto.Esteteoremae valido paradistribuicoesdemassacon-tidasnum plano,comoplacasfinas. Aqui temosumadistribuicaodiscretadamassanoplano \£ . Vamosindi-carasmassaspor � i ecoordenadas i e £ i naordememqueaparecemnoenunciado.(a) Momento de inercia em relacao ao eixo : adistanciadaspartıculasaoeixo e medidanoeixo £< x � §
i� i £ �i� � � £ �� � � � £ �� � � P £ �P � � a £ �a� 021 S2n24"�j0�n � a kg � m� 1
(b) Parao calculo do momentode inerciaem relacaoaoeixo £ , a distanciadapartıculaaoeixo e medidaaolongodoeixo :< y � §
i� i �i� � � � � � � � �� � � P �P � � a �a� 4z1 N�4"�j0�n � � kg � m� 1
(c) Parao eixo ¨ , temos< z � §i� i � �i o com � �i �e �i �W£ �i 1
Oscalculosfornecem< z ��021 �Z�j0�np� a kg � m� .(d) Somandoos valoresobtidospara < x e < y, confirma-mosarelacao < z ��< x �f< y oquepodemosidentificarcomoo teoremadoseixosper-pendiculares.
11-51E.
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Duaspartıculas,de massam cadauma, estao ligadasentresi e a um eixo de rotacao em O por dois bastoesdelgadosdecomprimentol emassaM cadaum,confor-memostradonaFig. 020ER©S23 . O conjuntogiraemtornodoeixoderotacaocomvelocidadeangular� . Determi-ne, algebricamente,asexpressoes(a) parao momentodeinerciadoconjuntoemrelacaoa O e (b) paraa ener-gia cineticaderotacaoemrelacaoa O.� (a) O momentode inerciaparao eixo passandopor8 e< O � � w � � � 'J3 w * � � � w �S � � w �0H3 �f��' S w3 * �� 4 � w � � �2� w �S(b) A energiacineticaderotacaoe� � 03 <(� �� 03 � 4 � w � � �S � w � � � �� � 4 3%� � N S � � w � � �11-58P.
(a) Mostre que o momentode inercia de um cilindrosolido, demassaM e raio R, emrelacaoa seueixo cen-tral e igual ao momentode inerciade um aro fino demassaM eraio
� t(ª 3 emrelacaoaseueixocentral.(b)Mostrequeo momentode inerciaI deum corpoqual-querdemassaM emrelacaoa qualquereixo e igual aomomentodeinerciadeumaro equivalenteemrelacaoaesseeixo,seo arotiveramesmamassaM eraiok dadopor « � ª <� 1O raio k do aro equivalente e chamadode raio degiracaodocorpo.� (a) Os momentosde inercia,em relacao aoseixosmencionados,doaroedocilindro sao< A �y� � � e < A � 03 � � � 1Paraqueestesmomentosdeinerciasejamiguais,o arodeve terumcertoraio
� [ :< A � < C
� � [ � � 03 � � �� [ � �ª 3(b) Igualandoosmomentosdeinerciamencionados,te-mos <"�y< A ��� « � 1Do queobtemosdiretamente« � � <� 1Secao11-8Torque
11-64P.
NaFig. 0(0�R¡S(r , o corpoestafixadoaumeixonopontoO. Tresforcassaoaplicadasnasdirecoesmostradasnafigura:nopontoA, a �moun m deO,
� ¬ ��0�n N; nopontoB, a Nmoqn m deO,
� �-0�r N; no pontoC, a Spoun m deO,��® ��0�� N. Qualo torqueresultanteemrelacaoaO?� Calculamoso torqueproduzidopor cadauma das
forcasdadas:: A � � A
�A ¯�°�± N$4 � �y4(rp1642� N �m, anti-horarioo: B � � B
�B ¯�°�± �2n � �yr5N N �m, horarioo: C � � C
�C ¯�°�± 3(n � �|0��p1645n N �m, anti-horario1
Tomando o sentido positivo para fora do plano dapagina,somamosos valoresobtidosacimaparater otorqueresultante:: R � : A R�: B �g: C� 0�3p1 n$� N �m, anti-horario
Secao11-9A SegundaLei deNewtonpara a Rotacao
11-70P.
Umaforca e aplicadatangencialmentea bordade umapolia quetem 0�n cm de raio e momentode inerciade02ounj�¢0�nz�²P kg �m� em relacao ao seueixo. A forcatem modulo variavel com o tempo,segundoa relacao� �enmoq4(n�2��npoqS(n� � , comF emNewtonse t emsegun-dos.A poliaesta inicialmenteemrepouso.Em >��Spoqn
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s, quaissao(a) a suaacelerac¸aoangulare (b) suavelo-cidadeangular?� (a)O torqueatuandosobrea poliano instanteconsi-deradoe:³'�>�eSm1 n�*E�/� � '�>�ySp1 n2*E�enm1 N$3 N �m 1A acelerac¸aoangularnesteinstantee�{'�>�eSm1 n�*E� : < ��N�3 rad/s
� 1(b) Obtemosa velocidadeangularintegrandoa funcao�{'�+* : U V] Y � [ � U �] 'K45n( [ �fS(n5 [ � * Y [�d')+*G� 3(45 � �e0�n5 P�d'�E�eSm1 n�*G� N2��4 rad/s.
11-75P.
Dois blocosidenticos,demassaM cadaum,estaoliga-dospor umacordademassadesprezıvel, quepassaporumapoliaderaioRedemomentodeinerciaI (vejaFig.0(0�R�N�n ). A cordanaodeslizasobreapolia;desconhece-seexistir ou nao atrito entreo bloco e a mesa;nao haatrito no eixo dapolia. Quandoessesistemae liberado,apoliagiradeumangulo� , numtempot, eaacelerac¸aodosblocoseconstante.(a)Qualaacelerac¸aoangulardapolia?(b) Quala acelerac¸aodosdoisblocos?(c) Quaisastensoesnapartesuperiore inferior dacorda?TodasessasrespostasdevemserexpressasemfuncaodeM, I,R, � , g e t.� (a) Seo sistemapartedo repousoe a acelerac¸ao econstante,entao ���y�� � t(3 e��� 3@� � 1(b) Desconsiderandoqualqueratrito, a acelerac¸ao dasmassase a acelerac¸aodospontosdabordadapolia:�%��� � � 35� � � 1(c) Chamemos � a tensao na partevertical da corda.Tomandoo sentidoparabaixo comopositivo, escreve-mos ����Rj´ � ������1
Comaacelerac¸aoobtidaacima,a tensao ´ � e´ � �y� � ��R 3@� � � � 1Aplicandoa segundaLei rotacionalparaa polia ( esco-lhendoo sentidohorariocomopositivo), temos'�´ � Rj´ � * � ��<��`1Tirando ´ � , vem´ � ������R 3(�¢� � � R 35<2�� � 111-77P.
Uma chamine alta, de forma cilındrica, cai se houverumarupturanasuabase.Tratandoa chaminecomoumbastao fino, de alturah, expresse(a) a componentera-dial daacelerac¸aolineardotopodachamine,emfuncaodo angulo � queela fazcoma vertical,e (b) a compo-nentetangencialdessamesmaacelerac¸ao. (c) Em queangulo� a acelerac¸aoe iguala g?� (a) A componenteradial da acelerac¸ao do topo dachamine e � r �µ� ��¶ . Podemosobter � usandooprincıpio da conservacao da energia. Paraum angulo� qualquer, temos� � ¶ 3 � � � ¶ 3�·L¸ ¯ �,� 03 <5� � 1Com <"� � ¶\� t5S , obtemos� � � S5�²'+0cR ·�¸ ¯ �2*¶ oeacelerac¸aoradialdo topoentaoe� r �eS5�²'+0cR ·�¸ ¯ �2*L1(b) Paraobteracomponentetangencialdaacelerac¸aodotopo,usamosagoraasegundaLei naformarotacional:: � <��� � ¶ 3 ¯�°�± � � 0S%� ¶ � �Com ���yS@� ¯�°�± ��t53 ¶ , chegamosaacelerac¸aopedida� t �y� ¶ � S 3 � ¯�°�± �p1(c) A acelerac¸aototal do topoe� � ���5� � '+0.R ·L¸ ¯ �2* � � �N � � ¯�°�± � �p1
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Fazendo �¹� � , e alguma algebra, obtemosumaequac¸ao do segundograu paraa variavel ·L¸ ¯ � , cujaraiz fornece�"�eS(Nm164 � .Secao 11-10 Trabalho, Potencia e Teorema doTrabalho-Energia Cinetica
11-82P.
Umaregua,apoiadano chaoverticalmenteporumadasextremidades,cai. Determinea velocidadedaoutraex-tremidadequandobatenochao,supondoqueo extremoapoiadonao deslize. (Sugestao: considerea reguaco-mo um bastaofino e useo princıpio deconservacaodeenergia.)� Seguindoasugestaodada,temos
� �dw3 � 03 � 0SZ� w � � � � oquefornece�e� � S5�pt w . Portanto,a velocidadedaex-tremidadedaregua,quandobatenochao,ev ��� w �&� S5� w 111-83P.
Um corpo rıgido e compostopor tres hastesfinas,identicas,deigualcomprimentol, soldadasemformadeH (vejaFig. 020�R�N\0 ). O corpogira livrementeemvoltade um eixo horizontalquepassaao longo de umadaspernasdoH. Quandoo planodeH ehorizontal,o corpocai, a partir do repouso.Qual a velocidadeangulardocorpoquandoo planodoH passapelaposicaovertival?� O momentode inerciado corporıgido parao eixomencionadoe<"� 0S � w � � � w � � N S � w � 1Usandoo princıpio daconservacaodaenergia,temosS � � w3 � 03 � N SZ� w � � � � oe, tirandoavelocidadeangular, resulta�g� S3 � � w 111-86P.
Umacascaesfericauniforme,demassaM e raioR, girasobreum eixo vertical,sematrito (vejaFig. 020,RfN�3 ).Uma corda,de massadesprezıvel, passaem volta doequadordaesferaeprendeumpequenocorpodemassam, quepodecair livrementesoba acaodagravidade.Acordaprendeo corpoatravesdeumapoliademomentodeinerciaI eraio r. O atritodapoliaemrelacaoaoeixoenuloea cordanaodeslizanapolia. Qualavelocidadedo corpo,depoisde cair de umaalturah, partindodorepouso?Useo teoremado trabalho-energia.� Seguindoa sugestao do enunciado,o trabalhorea-lizado pelagravidadesobrea massa� e º � � � ¶ .Comoo sistemapartedo repouso,avariacaodaenergiacineticae » � � 03 � v � � 03 <(� �p � 03 < C � �C oonde � p e a velocidadeangularda polia e < C e � C saoo momentode inerciae a velocidadeangularda cascaesferica. A velocidadede � e tambema velocidadeli-neardospontosdabordadapoliaedospontosdoequa-dor dacascaesferica. Entaopodemosexpressarasve-locidadesangularesem termosda velocidadelinear damassa� : � p � v � e � C � v� 1Aposessasconsiderac¸oes,temos,finalmenteº � » �� � ¶ � 03%� v � � 03 < v �� � � 03 � 3S � ���D� v �� �� 03 �z� � <� � � 3S � � v �
Tirandoa velocidadev , obtemosv � � 3 � � ¶� �W<ztH� � �T3(��t5S 1Lembrandoa equac¸aodemovimento v � ��3(� ¶ , pode-mosfacilmentedestacara acelerac¸aodo resultadoobti-do, a qualchegamosseresolvemoso problemausandoasegundaLei.
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11.3 ProblemasAdicionais
11-91.
Uma polia de npox35n m de raio esta montadasobreumeixo horizontalsematrito. Uma corda,de massades-prezıvel, esta enroladaem volta da polia e presaa umcorpode 3poun kg, quedeslizasematrito sobreumasu-perfıcie inclinada de 3(n � com a horizontal, confor-me mostradona Fig. 11-43. O corpodescecom umaacelerac¸aode 3poun m/s
�. Qualo momentodeinerciada
poliaemtornodoeixoderotacao?� Vamosusaraqui a segundaLei, nasformastrans-lacionale rotacional.Tomandoo sentidopositivo parabaixodoplanoinclinadotemos� � ¯�°�± 35n � Rj´�� � ��1Parao movimentodapolia,escrevemos´d� ��<����y< �� 1Trazendo da primeiraparaa segundaequac¸ao,e ex-plicitando < , temos<"��� � �� '�� ¯�°�± 3(n � R^�$*E�ynp1 n245N kg �m� 111-93.
Dois discosdelgados,cadaum de Nmoqn kg de massaeraio de npouN2n m, saoligadosconformemostradonaFig.11-44 paraformar um corpo rıgido. Qual o momen-to deinerciadessecorpoemvolta do eixo A, ortogonalaoplanodosdiscosepassandopelocentrodeumdeles?� Temosaquiumaaplicacaodo teoremadoseixospa-ralelos.O momentodeinerciado conjuntoescrevemoscomo <%�e< � �W< � oonde< � � � � � t53 eo momentodeinerciadodiscopeloqual passao eixo. Paraobtero momento< � do outrodiscoemrelacaoa esseeixo,usamoso teorema:< � � 03%� � � � � 'J3@�5* �
� � 3 � � �Parao corporıgido todotemosentao<"�y< � �f< � ��4 � � � �ySp163 kg �m� 111-96.
Um cilindro uniformede 0�n cmderaioe 3(n kg demas-sa esta montadode forma a girar livrmenteem tornode um eixo horizontalparaleloao seueixo longitudi-nal e distando 4zoun cm deste. (a) Qual o momentodeinerciado cilindro emtornodo eixo derotacao?(b) Seo cilindro partir do repouso,com seueixo alinhadonamesmaalturado eixo derotacao,quala suavelocidadeangularao passarpelo pontomaisbaixo da trajetoria?(Sugestao: useo princıpio deconservacaodaenergia.)� (a) Usamoso teoremadoseixosparalelosparaobtero momentodeinercia:< � < CM � � ¶ �� 03%� � � � �½¼ �3�¾ �� np1B0�4 kg �m�(b) Colocandoo referencialdeenergiapotencialnulanopontomaisbaixopeloqualpassao centrodemassadocilindro, temos ¿ � � � �
� � � 3 � 03 <(� �Resolvendoparaavelocidadeangular, obtemos�f��020(1 N(N rad/s1
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