Post on 26-Aug-2020
Faculdade de Engenharia
Guias de Onda e Cavidades
OE - MIEEC 2014/2015
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Guias
Propagação guiada
z
y
dieléctrico 2
dieléctrico 2
guia metálico
y
z
dieléctrico 1
guia dieléctrico
21 nn
ci
estudo dos guias de onda
equações de Maxwell
condições fronteira0
0
H
E
EjH
HjE
0
022
22
HH
EE
campos harmónicos meios LHI
reflexão interna total
0,0 vJ
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Guias de onda cilíndricos
x
y
z
podem estar limitados por condutor ideal
propagação segundo +z
,
secção transversal não varia com z
guias preenchidos com meio sem perdas
comprimento infinito
zeyxHzyxH ,,, 0
zeyxEzyxE ,,, 0
onda não uniforme
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Guias de onda cilíndricos – determinação dos campos
x
y
z
zeyxHzyxH ,,, 0
zeyxEzyxE ,,, 0
0
022
22
HH
EE
0
00202
0202
HhH
EhE
xy
xy
222 h
2
2
2
22
yxxy
2 eqs. vectoriais6 eqs. escalares
00
00
00
02020202
02020202
02020202
zzxyzzxy
yyxyyyxy
xxxyxxxy
HhHEhE
HhHEhE
HhHEhE
não independentes
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Guias de onda cilíndricos – componentes transversais
x
y
z HjE EjH
000
000
000
zxy
yxz
xyz
Hjy
Ex
E
HjEx
E
HjEy
E
000
000
000
zxy
yxz
xyz
Ejy
Hx
H
EjHx
H
EjHy
H
zeyxHH ,0
zeyxEE ,0
xHj
yE
hE
yHj
xE
hE
xEj
yH
hH
yEj
xH
hH
zzy
zzx
zzy
zzx
00
20
00
20
00
20
00
20
1
1
1
1
componentes transversais à custadas componentes longitudinais
se 0h
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Determinação dos campos no interior do guia
x
y
z
xHj
yE
hE
yHj
xE
hE
xEj
yH
hH
yEj
xH
hH
zzy
zzx
zzy
zzx
00
20
00
20
00
20
00
20
1
1
1
1
se 0h
2. determinar
0
00202
0202
zzxy
zzxy
HhH
EhE 222 h
1. resolver
3. obter
z
z
eyxHzyxH
eyxEzyxE
,,,
,,,0
0
aplicação de condições fronteira
Nota
ondas TE
ondas TEM
ondas TM
0e0 00 zz HE
0e0 00 zz EH
0e0 00 zz EH
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Frequência de corte
x
y
z 222 h
frequência de corte
12
2
h
22 h
2hfc
12
ffc
zeyxHzyxH ,,, 0
zeyxEzyxE ,,, 0
cff
cff j
modo evanescente
modo em propagação
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Características dos modos em propagação
x
y
z
cff j
12
ffc
modo em propagação:
constante de fase
m
cm f
f ,12
comprimento de onda m
m
c
m
ff
2,
12
2
se 0cf m
constante de fase num meioinfinito de parâmetros ,
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Características dos modos em propagação
x
y
z
cff j
12
ffc
modo em propagação:
velocidade de fase
2
1
ffc
mvelocidade de grupo
fv
se 0cf mf vv
velocidade de fase num meioinfinito de parâmetros ,
1,
12
m
c
mf v
ff
vv
se guia preenchido com ar, cvm
cv f
2
1
ffvv c
mg
se 0cf mg vv
ddvg
1
2mgf vvv
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Impedância de onda
x
y
z ondas TEM propagando-se segundo +z num meio ilimitado com
HzE
EzH
ˆ
ˆ1
ondas propagando-se segundo +z num guia
HzZE
EzZ
H
ˆ
ˆ1
:TEouTEMondas
TMouTEMondas :
yHxHZzEyExE
yExEZ
zHyHxH
xyzyx
xyzyx
ˆˆˆˆˆ
ˆˆ1ˆˆˆ
0zH
0zE
ondas TM ou TEM
ondas TE ou TEM
impedância de onda x
y
y
x
HE
HE
Z
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Potência média propagada
x
y
z
potência média
x
y
y
x
HE
HE
Z
A
medmed AdSP
zdAAd ˆ
*21 HESmed Re
A
xyyxmed dAHEHE **21
ReP
Ayxmed dAEE
Z221
21P Re
Ayx dAHHZ
22
21
Re
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Energia média armazenada e velocidade de transporte de energia
x
y
z
energia média armazenada por unidade de comprimento
A
medmmedemed dAwwW ,,'
222, 4
*4 zyxmede EEEEEw
222, 4
*4 zyxmedm HHHHHw
med
meden W
v'
Pvelocidade de transporte de energia
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Ondas TEM
x
y
z ondas TEM 0 zz HE
xHj
yE
hE
yHj
xE
hE
xEj
yH
hH
yEj
xH
hH
zzy
zzx
zzy
zzx
00
20
00
20
00
20
00
20
1
1
1
1
02 h2
hfc
mgf
m
m
vvv
j
12
ffc
2
1
ffc
m
usar equações de Maxwell
m
0
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Ondas TEM – impedância de onda
x
y
z
ondas TEM: 0 zz HE
equações de Maxwell:
000
00
00
yE
xE
HjE
HjE
xy
yx
xy
000
00
00
yH
xH
EjH
EjH
xy
yx
xy
HjE
EjH
jZTEM
x
y
y
x
HE
HEZ
j
j
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Ondas TM – impedância de onda
x
y
z ondas TM 0e0 00 zz EH 00202 zzxy EhE
yE
hE
xE
hE
xE
hjH
yE
hjH
zy
zx
zy
zx
0
20
0
20
0
20
0
20
x
y
y
x
HE
HE
Z
jZTM 1
2
ffj c
12
ffc
Ayxmed dAEE
Z221
21P Re
modos evanescentes cff TMZ é imaginário 0P med
cff modos em propagação 21 ffZ cTM (real e inferior a )
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Ondas TE – impedância de onda
x
y
z ondas TE 0e0 00 zz HE
x
y
y
x
HE
HE
Z
00202 zzxy HhH
xH
hjE
yH
hjE
yH
hH
xH
hH
zy
zx
zy
zx
0
20
0
20
0
20
0
20
jZTE
12
ff
j
c
modos evanescentes cff TEZ é imaginário 0P med
cff modos em propagação (real e superior a )
12
ffc
Ayxmed dAEE
Z221
21P Re
21 ffZ cTE
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Impedância de onda vs frequência
x
y
z
1
Z
região evanescente
cff
2 1
21 ffZ cTE
21 ffZ cTM
TEMZ
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Guias de placas paralelas
guia preenchido com material sem perdas
b
y
z
x
W
,
placas condutoras ideais
comprimento infinito propagação segundo +z
bW 0x
variação dos campos com x é desprezável
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Guias metálicos – condições fronteira
guias metálicos limitados por condutores ideais
0condcond BE
contínuotanE contínuonormBe
condições fronteira
HB
0normtan HE junto aos condutores
b
y
z
x
W
0 zx EE
0yHbyy e0em
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Guias de placas paralelas – determinação dos campos
b
y
z
x
W
xHj
yE
hE
yHj
xE
hE
xEj
yH
hH
yEj
xH
hH
zzy
zzx
zzy
zzx
00
20
00
20
00
20
00
20
1
1
1
1
(se )0h2. determinar
0
00202
0202
zzxy
zzxy
HhH
EhE
222 h
1. resolver
0x
0
0
022
02
022
02
zz
zz
Hhdy
Hd
Ehdy
Ed
dydE
hE
dydH
hjE
dydH
hH
dydE
hjH
zy
zx
zy
zx
0
20
0
20
0
20
0
20
ondas TE
ondas TEM
ondas TM
0e0 00 zz HE
0e0 00 zz EH
0e0 00 zz EH
z
z
eyxHzyxH
eyxEzyxE
,,,
,,,0
0
0x
NOTA: ondas TEM h=0
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Ondas TEM
b
y
z
x
W
ondas TEM 0e0 00 zz EH
equações de Maxwell:
000
00
00
yE
xE
HjE
HjE
xy
yx
xy
000
00
00
yH
xH
EjH
EjH
xy
yx
xy
HjE EjH
e 0hmétodo anteriornão funciona
0 x
000
dy
dHdy
dE xx 0xE 0
xHe são constantes
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Ondas TEM
b
y
z
x
W
0xE 0
xHe são constantes0)()0( 00 bEE xx
00yx HZE
00 yH
00xy HZE
0yE
TEMZ
constante
00 xE
yEE ˆ00
condições fronteira
0 zx EE0yH
byy e0em
impedância de onda
x
y
y
x
HE
HEZ
xEH ˆ00
ZE
H yx
00
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Ondas TM – componente longitudinal
b
y
z
x
W
solução geral:
0e0 00 zz EH 0022
02
zz Eh
dyEd
hyBhyAyE z cossin0
000 zE
0B
,3,2,1, nb
nh
0sin bhA
bynAE
nb
nh
nz
sin
,2,1,
0
ondas TM
condições fronteira
0 zx EE0yH
byy e0em
00 bEz
hyAyEz sin0
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Ondas TM – componentes transversais
b
y
z
x
W
bynAE
nb
nh
nz
sin
,3,2,1,
0
dydE
hE
dydH
hjE
dydH
hH
dydE
hjH
zy
zx
zy
zx
0
20
0
20
0
20
0
20
bynA
nbE
bynA
nbjH
ny
nx
cos
cos
0
0
0
0
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Ondas TM – modo TMn
b
y
z
x
W
modo TMn
bynA
nbE
bynA
nbjH
bynAE
ny
nx
nz
cos
cos
sin
0
0
0
,3,2,1, nb
nh
Nota:modo TMn para n=0é modo TEM
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y/b
Ez0 /A
n
n=1
n=2
n=3
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Ondas TE – componente longitudinal
b
y
z
x
W
ondas TE 0e0 00 zz HE 0022
02
zz Hh
dyHd
hyBhyAyH z cossin0
nota: não existe condição fronteira para 0zH
é necessário determinar as componentes transversaispara se poder aplicar as condições fronteira
condições fronteira
0 zx EE0yH
byy e0em
solução geral:
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Ondas TE – componentes transversais
b
y
z
x
W
hyBhyAyH z cossin0
dydE
hE
dydH
hjE
dydH
hH
dydE
hjH
zy
zx
zy
zx
0
20
0
20
0
20
0
20
0
0
hyBhyAh
jE
hyBhyAh
H
x
y
sincos
sincos
0
0
condições fronteira0 zx EE
0yHbyy e0em
000 00 yx HE
0sin hb,3,2,1, nb
nh
0A
hyBh
jE
hyBh
H
hyBH
x
y
z
sin
sin
cos
0
0
0
000 bHbE yx
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Ondas TE – modo TEn
b
y
z
x
W
bynB
nbjE
bynB
nbH
bynBH
nx
ny
nz
sin
sin
cos
0
0
0
modo TEn
,3,2,1, nb
nh
Nota:Não existe modo TE0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y/b
Ez0 /A
n
n=1
n=2n=3
nz BH 0
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Guias de placas paralelas – frequência de corte
b
y
z
x
W
2hf c
0TEM h
,3,2,1,TETM, nb
nh
0TEM cf
b
nfc 2TETM,
modo dominante modo com menor frequência de corte
guias de placas paralelas modo dominante é o modo TEM
para uma dada frequência f só se propagam os modos com ffc
como , modo TEM está sempre presente 0TEM cf
aumento de f mais modos se podem propagar
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A componente longitudinal do campo eléctrico de uma onda TM de frequência 15 GHz que se propaga num guia preenchido com um material dieléctrico de parâmetros é dada por
Exercício
00 4,
Determinea) o parâmetro característico ;b) a frequência de corte;c) a constante de propagação;d) os fasores dos campos eléctrico e magnético;e) o vector médio de Poynting ;f) a impedância de onda.
h
V/m100sin50 zz eyE
formulário:
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Exercício
Um guia de placas paralelas com b = 1 cm está preenchido com ar. Determine
a) que modos se propagam se a frequência de operação for f = 35 GHz;
b) a frequência de operação máxima para que o guia esteja em regime monomodo.
formulário
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Exercício
Para o modo TEM num guia de placas paralelas, determine
formulário
a) as expressões para as densidades superficiais de carga e de corrente nas placas;
b) a corrente que circula na placa superior e a diferença de potencial entre as duas placas.
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Resolução de exercício – densidade de carga nas placas
b
y
z
x
W
xE
H
yEE
ˆ
ˆ
00
00
j xeEH
yeEE
zj
zj
ˆ
ˆ
0
0
21ˆ DDans
1
2
na
02 D
yeED zj ˆ01
densidade de carga nas placas:
placa superior:
yan ˆˆ
interior do guia:
zjs eEby 0
02 D
yeED zj ˆ01
placa inferior:
yan ˆˆ
zjs eEy 00
1
2
na
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Resolução de exercício – densidade de corrente nas placas
b
y
z
x
W
xeEH
yeEE
zj
zj
ˆ
ˆ
0
0
1
2
na
densidade de corrente nas placas:
placa superior:
yan ˆˆ
interior do guia:
placa inferior:
yan ˆˆ 1
2
na
21ˆ HHaJ ns
02 H
xeEH zj ˆ01
zeEbyJ zjs ˆ0
02 H
xeEH zj ˆ01
zeEyJ zjs ˆ0 0
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Resolução de exercício – tensão e corrente nas placas
b
y
z
x
W
tensão entre as placas: zjebE 0
2
1
12
P
P
ldEVV
corrente na placa superior:
A
sdJI
zjeEW
0
xeEH
yeEE
zj
zj
ˆ
ˆ
0
0
interior do guia:
zeEbyJ zjs ˆ0
zjy eEE 0
b
ydyEzV0
corrente
tensão
W
s zdxJzI ˆ
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Nota – equações das linha de transmissão
b
y
z
x
W
zjebEzV 0
zjeEWzI
0 zj
zj
eEWjdzdI
ebEjdzdV
0
0
VbWj
dzdI
IW
bjdzdV
H/mW
bL
F/mbWC
VCjdzdI
ILjdzdV
0
0
22
2
22
2
LCIdz
Id
LCVdz
Vd
eqs. para V e I numa linhade transmissão sem perdas
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Guias rectangulares
guia preenchido com material sem perdas ,
placas condutoras ideais
comprimento infinito propagação segundo +z
b
y z
x a
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Guias rectangulares – condições fronteira
0condcond BE
contínuotanE contínuonormBe
condições fronteira
HB
0normtan HE junto aos condutores
b
y z
x a
axxHEE
byyHEE
xzy
yzx
e0em0
e0em0000
000
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Guias rectangulares – determinação dos campos
xHj
yE
hE
yHj
xE
hE
xEj
yH
hH
yEj
xH
hH
zzy
zzx
zzy
zzx
00
20
00
20
00
20
00
20
1
1
1
1
(se )0h2. determinar
0
00202
0202
zzxy
zzxy
HhH
EhE 222 h
1. resolver
z
z
eyxHzyxH
eyxEzyxE
,,,
,,,0
0
b
y z
x a
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Ondas TEM
b
y z
x a
000 zz HE HE e estão no plano xy
SP
SdtEIldH int
0 H
Hlinhas de são percursos fechadosna secção transversal do guia
0cond H
linhas de são fechadasH
corrente nointerior do guia
superfície limitada por P0int I
fluxo de através de S é nuloE
não existem ondas TEM em guias rectangulares
0P
ldH 0H 0E
não existem ondas TEM em guias com apenas um condutor metálico
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Ondas TM e TE – determinação das componentes longitudinais
b
y z
x a
0
00202
0202
zzxy
zzxy
HhH
EhE
resolver
022 hxy
yx,
2
2
2
22
yxxy
022
2
2
2
h
yx
yYxXyx ,método da separação das variáveis
022
2
2
2
XYhdy
YdXdx
XdY
011 22
2
2
2
hdy
YdYdx
XdX
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Método da separação das variáveis
b
y z
x a
011 22
2
2
2
hdy
yYdyYdx
xXdxX
função de x função de y
equação anterior é satisfeita apenas quando
constante12
2
dx
xXdxX
constante12
2
dy
yYdyY
22
21xk
dxxXd
xX
22
21yk
dyyYd
yY
0222 hkk yx222yx kkh
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Método da separação das variáveis
b
y z
x a
22
21xk
dxxXd
xX
22
21yk
dyyYd
yY
222yx kkh
22
21xk
dxxXd
xX
22
21yk
dyyYd
yY
022
2
xXkdx
xXdx
022
2
yYkdy
yYdy
xkBxkAxX xx cossin
ykDykCyY yy cossin
solução geral de é:
yYxXyx ,
022
2
2
2
h
yx
ykDykCxkBxkAyx yyxx cossincossin,
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Ondas TM – componente longitudinal
b
y z
x a
ondas TM 00 zH 00202 zzxy EhE
ykDykCxkBxkAE yyxxz cossincossin0
xX yY
condições fronteira
byyaxxEz
e0e0em00
0,00 yEz
0,0 bxEz 0,0 yaEz
0B
xkAxX xsin
inteiro, ma
mkx
inteiro, nb
nk y
00,0 xEz
0D
ykCyY ysin
byn
axmEE mnz
sinsin,00
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Ondas TM – componentes transversais
b
y z
x a
byn
axmEE mnz
sinsin,00
yE
hE
xE
hE
xE
hjH
yE
hjH
zy
zx
zy
zx
0
20
0
20
0
20
0
20
00,2
00,2
00,2
00,2
sin cos
cos sin
cos sin
sin cos
x mn
y mn
x mn
y mn
j n m x n yH Eh b a b
j m m x n yH Eh a a b
m m x n yE Eh a a b
n m x n yE Eh b a b
22
bn
am 222
yx kkh
estas componentes satisfazem as condiçõesfronteira para as componentes transversais
axxHE
byyHE
xy
yx
e0em0
e0em000
00
nota
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Modo TMmn
b
y z
x a
byn
axmEE mnz
sinsin,00
00,2
00,2
00,2
00,2
sin cos
cos sin
cos sin
sin cos
x mn
y mn
x mn
y mn
j n m x n yH Eh b a b
j m m x n yH Eh a a b
m m x n yE Eh a a b
n m x n yE Eh b a b
222
bn
amh
notas
2.
0h 00 nm ou1.
00 nm ou 0 HE
11 nm e
0nm
Faculdade de Engenharia
Guias
Modo TEmn
b
y z
x a
222
bn
amh
notas
2.
0h 00 nm ou1.
00 nm ou
00, cos cosz mn
m x n yH Ha b
0
0,2
00,2
00,2
00,2
sin cos
cos sin
cos sin
sin cos
x mn
y mn
x mn
y mn
m m x n yH Hh a a b
n m x n yH Hh b a bj n m x n yE Hh b a bj m m x n yE Hh a a b
é possível ter
0 nm
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Guias
Guias rectangulares – frequência de corte
2hf c
modo dominante nos guias rectangulares é o modo TE10
22
TETM,
bn
amh 22
21
bn
amf c
b
y z
x a
modos TMmn 11 nm e modo TMmn dominante é o modo TM11
modos TEmn se modo TEmn dominante é o modo TE1000 nm ou ba
1110 TMcTEc ff
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Guias circulares
guia preenchido com material sem perdas ,
superfície condutora ideal
comprimento infinito propagação segundo +z
z
a
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Guias circulares – condições fronteira
0condcond BE
contínuotanE contínuonormBe
condições fronteira
HB
0normtan HE junto ao condutor
coordenadas cilíndricas zzr ezEErEE
ˆˆˆ 000
zzr ezHHrHH
ˆˆˆ 000
z
a
arHEE rz em0000
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Guias
Guias circulares – determinação dos campos
(se )0h2. determinar
222 h
1. resolver
z
z
erHzrH
erEzrE
,,,
,,,0
0
0
00202
0202
zzr
zzr
HhH
EhE
2
2
22 11
rr
rrrr
z
a
rHjE
rhE
Hr
jr
Eh
E
rEjH
rhH
Er
jr
Hh
H
zz
zzr
zz
zzr
00
20
00
20
00
20
00
20
1
1
1
1
Notanão se propagam ondas TEMem guias circulares
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Guias
Ondas TM e TE – determinação das componentes longitudinais
resolver
022 hr
,r
método da separaçãodas variáveis
0
00202
0202
zzr
zzr
HhH
EhE
2
2
22 11
rr
rrrr
z
a
011 22
2
2
h
rrr
rr
rRr,
2
222
2
22 1
ddrh
drrdR
rRr
drrRd
rRr
022
2
22
2
rRhd
dr
rRdr
rdRrdr
rRd
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Guias
Método da separação das variáveis
função de r função de
equação anterior é satisfeita apenas quando
constante12
2
dd
2
222
2
22 1
ddrh
drrdR
rRr
drrRd
rRr
constante22
2
22
rhdr
rdRrR
rdr
rRdrR
r
22
2
-1
kd
d
222
2
22
k rhdr
rdRrR
rdr
rRdrR
r
z
a
Faculdade de Engenharia
Guias
Método da separação das variáveis
22
2
-1
kd
d
022
2
kd
d
kBkA cossin
z
a
2
kkkkkk
cos2cossin2sin
inteiro, nnk
nBnA cossin nB cos
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Guias
Equação diferencial de Bessel
z
a
inteiro, nnk
222
2
22
krhdr
rdRrR
rdr
rRdrR
r
222
2
22
nrhdr
rdRrR
rdr
rRdrR
r
equação diferencial de Bessel 02222
22 rRnrh
drrdRr
drrRdr
hrNDhrJCrR nn soluçao geral:
funções de Besselde 1ª espécie
funções de Besselde 2ª espécie
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Guias
Funções de Bessel de 1ª espécie
z
a
para n inteiro
0
2
2
2)!(!)1()(
mmn
mnm
n nmmxxJ
0 2 4 6 8 10 12
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
J0 (x)
J1 (x)J2 (x)
J3 (x) 100
000
n
n
JnJn
notas
2. funções oscilatórias,de amplitude decrescentee com zeros não periódicos
1.
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Guias
Zeros das funções de Bessel de 1ª espécie
z
a
0 2 4 6 8 10 12
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
J0 (x)J1 (x)
J2 (x)J3 (x)
xJ o xJ1 xJ 2 xJ 3zero
1 2.4048 3.8317 5.1336 6.3802
2 5.5201 7.0156 8.4172 9.7610
3 8.6537 10.1735 11.6198 13.0152
4 11.7915 13.3237 14.7960 16.2235
5 14.9309 16.4706 17.9598 19.4094
zeros das funções de Bessel de 1ª espécie
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Derivadas das funções de Bessel de 1ª espécie
z
a
notafunções oscilatórias,de amplitude decrescentee com zeros não periódicos
xJxJxJ nnn 1121'
0 2 4 6 8 10 12-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
)('1 xJ
)('2 xJ
)('3 xJ
)('0 xJ
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Zeros das derivadas das funções de Bessel de 1ª espécie
z
a
zeros das derivadas das funções de Bessel de 1ª espécie
0 2 4 6 8 10 12-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
xJ o' xJ 1' xJ 2' xJ 3'zero
1 3.8317 1.8412 3.0542 4.2012
2 7.0156 5.3314 6.7061 8.0152
3 10.1735 8.5363 9.9695 11.3459
4 13.3237 11.7060 13.1704 14.5858
5 16.4706 14.8636 16.3475 17.7887
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Guias
Funções de Bessel de 2ª espécie
z
a
notas
1. funções oscilatórias,de amplitude decrescentee com zeros não periódicos
)sin()()cos()(
lim)(p
xJpxJxN pp
npn
0 2 4 6 8 10 12-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
)(0 xN
)(1 xN
)(2 xN
)(3 xN 2. tomam valores infinitos
quando x=0
hrNDhrJCrR nn
0D quando região de interesseincluir a origem
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Guias
Guias circulares – solução da equação de onda
z
a
nota
ondas TM
hrJCrR n
022 hr
rRr,
nB cos
nhrJCrRr nn cos, ,0 rEz
ondas TE ,0 rH z
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Guias
Modo TMnp – componente longitudinal
ondas TM 00 zH
condições fronteira
z
a
arHEE rz em0000
0,0 arE z
e nhrJCE nnz cos0
0haJ n
xJ o xJ1 xJ 2 xJ 3zero
1 2.4048 3.8317 5.1336 6.3802
2 5.5201 7.0156 8.4172 9.7610
3 8.6537 10.1735 11.6198 13.0152
4 11.7915 13.3237 14.7960 16.2235
5 14.9309 16.4706 17.9598 19.4094
;6537.8;5201.5;4048.20a
ha
ha
hn
;1735.10;0156.7;8317.31a
ha
ha
hn
aJp
hh nTM np
dezeroésimo
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Modos TMnp – componentes transversais
condições fronteira
z
a
arHEE rz em0000
nhrJCE nnz cos0
0
20
0
20
0
20
0
20
z
zr
z
zr
Erh
E
rE
hE
rE
hjH
Erh
jH
nhrJCrhnE
nhrJCh
E
nhrJCh
jH
nhrJCrhnjH
nn
nnr
nn
nnr
sin
cos'
cos'
sin
20
0
0
20
estas componentes satisfazem as condiçõesfronteira para as componentes transversais
nota
aJphh n
TM np
dezeroésimo
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Modos TMnp – frequência de corte
z
a
aJph n
TM np
dezeroésimo
2np
np
TMTMc
hf
aJp n
2dezeroésimo
xJ o xJ1 xJ 2 xJ 3zero
1 2.4048 3.8317 5.1336 6.3802
2 5.5201 7.0156 8.4172 9.7610
3 8.6537 10.1735 11.6198 13.0152
4 11.7915 13.3237 14.7960 16.2235
5 14.9309 16.4706 17.9598 19.4094
menor zero de 2.4048 (n=0, p=1)nJ
a
f TMc 24048.2
01
modo TM dominante modo TM01
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Modo TEnp
ondas TE 00 zE
condições fronteira
z
a
arHEE rz em0000
e nhrJCH nnz cos0
rH
hjE
Hrh
jE
Hrh
H
rH
hH
z
zr
z
zr
0
20
0
20
0
20
0
20
nhrJCh
jE
nhrJCrhnjE
nhrJCrhnH
nhrJCh
H
nn
nnr
nn
nnr
cos'
sin
sin
cos'
0
20
20
0
0' haJ n
aJphh n
TEnp
'dezeroésimo
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Guias
Modos TEnp – frequência de corte
z
a
2np
np
TETEc
hf
aJp n
2dezeroésimo /
menor zero de 1.8412 (n=1, p=1)/nJ
modo TE dominante modo TE11
aJphh n
TEnp
'dezeroésimo
xJ o' xJ 1' xJ 2' xJ 3'zero
1 3.8317 1.8412 3.0542 4.2012
2 7.0156 5.3314 6.7061 8.0152
3 10.1735 8.5363 9.9695 11.3459
4 13.3237 11.7060 13.1704 14.5858
5 16.4706 14.8636 16.3475 17.7887
a
f TEc 28412.1
11
0111 TMcTEc ff modo dominante nos guiascirculares é o modo TE11
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Guias
Cavidades rectangulares
b
y z
x a
guias rectangulares
z0
zjeyxEzyxE ,,, 0
zjeyxHzyxH ,,, 0
cavidades rectangulares
a
b d
x
zy
placas condutorasnas extremidades
z0 d
zjzj eyxEeyxEzyxE ,,,, ,0,0
zjzj eyxHeyxHzyxH ,,,, ,0,0
Faculdade de Engenharia
Guias
Cavidades rectangulares
a
b d
x
zy
zjzj eyxEeyxEzyxE ,,,, ,0,0
zjzj eyxHeyxHzyxH ,,,, ,0,0
nas expressões de (guias rectangulares) yxE ,0
yxH ,0
j
yxH
yxE
,
,,0
,0
j
yxH
yxE
,
,,0
,0
0normaltan HEcondições fronteira em z=0 e z=d
0 zyx HEE em z=0 e z=d
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Guias
Ondas TM
a
b d
x
zy
0 zyx HEE em z=0 e z=d
byn
axmeEeEE zj
mnzj
mnz sinsin,0,0
zjzj eyxEeyxEzyxE ,,,, ,0,0
zjzj eyxHeyxHzyxH ,,,, ,0,0
byn
axm
ameEeE
hjE zj
mnzj
mnx sincos,0,02
byn
axm
bneEeE
hjE zj
mnzj
mny cossin,0,02
byn
axm
bneEeE
hjH zj
mnzj
mnx cossin,0,02
byn
axm
ameEeE
hjH zj
mnzj
mny sincos,0,02
20,0,0 EEE mnmn
inteiro, pdp
byn
axmEE mnz
sinsin,00
modo TM em guia rectangular:
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Guias
Modo TMmnp
a
b d
x
zy
0p
dzp
byn
axmEE z
cossinsin0
dzp
byn
axm
dp
amE
hE x
sinsincos102
dzp
byn
axm
dp
bnE
hE y
sincossin102
dzp
byn
axm
bnE
hjH x
coscossin02
dzp
byn
axm
amE
hjH y
cossincos02
11 nm e
22
bn
amh
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Guias
Modo TEmnp
a
b d
x
zy
1p
0ou0 nm
22
bn
amh
dzp
byn
axmHH z
sincoscos0
dzp
byn
axm
bnH
hjE x
sinsincos02
dzp
byn
axm
amH
hjE y
sincossin02
dzp
byn
axm
dp
amH
hH x
coscossin102
dzp
byn
axm
dp
bnH
hH y
cossincos102
Faculdade de Engenharia
Guias
Frequência de ressonância
2222222 hhh
222 bnamh
dp
2221
dp
bn
am
mnp
222
21
dp
bn
amf mnp
a
b d
x
zy
frequências permitidas no interior da cavidade
modo dominante modo com frequência de ressonância mais baixa
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Guias
Modo dominante em cavidades rectangulares
a
b d
x
zy
0m 0n 0p
2211011
21
baf
101011 ff ba
2210111
21
daf
( para
modos frequência de ressonância mais baixa
TM não não sim
TE
sim não
não
)
não sim
modo dominante
db modo TM110 se
modo TE101 se bd
db 110101 ff modos TM110 e TE101 ficammodos degenerados
se
222
21
dp
bn
amf mnp
Faculdade de Engenharia
Guias
Cavidades circulares
guias circulares
z0
cavidades circularesplacas condutorasnas extremidades
z0 d
z
a
zjzj erEerEzrE ,,,, ,0,0
zjzj erHerHzrH ,,,, ,0,0
zjerEzrE ,,, 0
zjerHzrH ,,, 0
ad
z
Faculdade de Engenharia
Guias
Cavidades circulares
nas expressões de (guias circulares) ,0 rE ,0 rH
j
,
,,0
,0
rH
rE
j
0normaltan HEcondições fronteira em z=0 e z=d
em z=0 e z=d
,
,,0
,0
rH
rE
zjzj erEerEzrE ,,,, ,0,0
zjzj erHerHzrH ,,,, ,0,0
0 zr HEE
ad
z
Faculdade de Engenharia
Guias
Ondas TM
em z=0 e z=d
zjzj erEerEzrE ,,,, ,0,0
zjzj erHerHzrH ,,,, ,0,0
0 zr HEE
nhrJeEeEE nzj
npzj
npz cos,0,0
nhrJeEeEhjE n
zjnp
zjnpr cos',0,0
nhrJeEeE
rhnjE n
zjnp
zjnp sin,0,02
nhrJeEeErhnjH n
zjnp
zjnpr sin,0,02
nhrJeEeE
hjH n
zjnp
zjnp cos',0,0
20,0,0 EEE npnp
inteiro, qd
q
ad
z
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Modo TMnpq
dzqnhrJEE nz
coscos0
dzqnhrJ
dqE
hE nr
sincos'10
dzqnhrJ
dqE
rhnE n
sinsin02
dzqnhrJE
rhnjH nr
cossin02
dzqnhrJE
hjH n
coscos'0
0n 1p
aJp
hh nnpTM
dezeroésimo
0q
e
ad
z
Faculdade de Engenharia
Guias
Modo TEnpq
0n 1p
1q
dzqnhrJHH nz
sincos0
dzqnhrJH
rhnjE nr
sinsin02
dzqnhrJH
hjE n
sincos'0
dzqnhrJH
dq
hH nr
coscos'1
0
dzqnhrJH
dq
rhnH n
cossin02
aJp
hh nnpTE
'dezeroésimo
ad
z
e
Faculdade de Engenharia
Guias
Cavidades circulares – frequência de ressonância
222 h j
22
h
2
21
dqh
inteiro, qd
q
0qa
Jp ndezeroésimo
aTM
4048.2010
1qa
Jp n'dezeroésimo 22
111
8412.11
daTE
modos q h menor zero frequência de ressonância mais baixa
TM 2.4048
TE 1.8412
ad
z
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Exercício
Um guia rectangular com dimensões a = 5 cm e b =2 cm está preenchido com um dieléctrico com .
Determine
a) banda de frequências para operação em regime monomodo;
b) os modos que se podem propagar se f = 7GHz.
formulário
25.2r
Faculdade de Engenharia
Guias
Exercício
formulário
Faculdade de Engenharia
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Exercício
Um guia de onda circular está preenchido com um material não magnético e opera a 10 GHz. Sabendo que a
frequência de corte mais baixa do guia é 25% inferior a f e que a velocidade de fase do modo correspondente
é igual a , determine o diâmetro do guia e a permitividade relativa do material que o preenche.
formulário
32c
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Exercício
Um guia de onda circular de raio 2 cm está preenchido com um dieléctrico com .
a) Determine os modos TM que se podem propagar neste guia quando a frequência de operação é 10 GHz.
b) Sabendo que neste guia apenas se propaga um modo do tipo TM, e que o modo TM seguinte sofre uma
atenuação de 100 Np/m, determine a frequência de operação.
formulário
25.2r
Faculdade de Engenharia
Guias
Exercício
formulário
análise anterior
0p1m 1n
ba
modos TMmnp
modos TEmnp 1p0ou0 nm
Faculdade de Engenharia
Guias
Exercício
formulário
análise anterior
0p1m 1n
ba
modos TMmnp
modos TEmnp 1p0ou0 nm
Faculdade de Engenharia
Guias
Exercício
Uma cavidade cilíndrica circular tem raio a e comprimento d. Qual deverá ser a relação entre a e d para que
a) os modos TM e TE dominantes sejam degenerados;
b) o modo dominante seja um modo TE.
formulário
análise anterior
modo TM dominante modo TM010 modo TE dominante modo TE111
aTM4048.2
010
22
111
8412.11
daTE
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Exercício
Uma cavidade cilíndrica circular tem um comprimento igual ao seu diâmetro e está preenchida com ar.
Sabendo que o modo dominante oscila à frequência de 4 GHz, determine as dimensões da cavidade.
formulário
análise anterior
modo TM dominante modo TM010 modo TE dominante modo TE111
aTM4048.2
010
22
111
8412.11
daTE
Faculdade de Engenharia
Guias
Guias dieléctricos planares
materiais sem perdas 0
comprimento infinito propagação segundo +z
W
z
y
x
b
2n
1n
2n
21 nn
bW 0x
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Guias
Guias dieléctricos planares – condições fronteira
condições fronteira:
W
z
y
x
b
2n
1n
2n
0s
0sJ
sn
sn
n
n
JHHa
DDa
BBa
EEa
21
21
21
21
ˆ
ˆ0ˆ0ˆ
dieléctricos:
contínuosecontínuose
xz
xz
HHEE
2em by
contínuacontínuacontínua
contínua
tan
tan
HDBE
normal
normal
Faculdade de Engenharia
Guias
Guias dieléctricos planares – determinação dos campos
(se )0h2. determinar
222 h
1. resolver
z
z
eyxHzyxH
eyxEzyxE
,,,
,,,0
0
0
0
022
02
022
02
zz
zz
Hhdy
Hd
Ehdy
Ed
W
z
y
x
b
2n
1n
2n
dydE
hE
dydH
hjE
dydH
hH
dydE
hjH
zy
zx
zy
zx
0
20
0
20
0
20
0
20
2meio,
1meio,2
22
2
12
2
nc
nch
21h
22h
0x
Faculdade de Engenharia
Guias
Ondas TM e TE – determinação das componentes longitudinais
0
0
022
02
022
02
zz
zz
Hhdy
Hd
Ehdy
Ed
W
z
y
x
b
2n
1n
2n
2meio,1meio,
22
212
hhh
resolver
022
2
hdyd
solução geral: 02 h
jh
realh hyBhyA cossin
02 h yy DeCe
meio 1
meio 2
real1h
jh 222
2 h
2
222
2
122
1
nc
nc
h
21
22
21
2
hnnc
Faculdade de Engenharia
Guias
Valores limites da constante de fase
W
z
y
x
b
2n
1n
2n
modos em propagação j
212
22
211
221
cn
cnh
21
2
1 hnc
22
2
n
c
21 nc
nc
1n
c
2nc
21 nn
Faculdade de Engenharia
Guias
Determinação das componentes longitudinais
W
z
y
x
b
2n
1n
2n
yhByhA 11 cossin
yy DeCe
meio 1
meio 2
ondas TM 0zE
ondas TE 0zH
condições fronteira
2 emcontínuose byHE zz
2,
2,cossin
2,
11
byDe
byyhByhA
byCe
y
y
y
decaimento exponencial no meio 2
2 emcontínua by
2cos
2sin
2cos
2sin
112
112
bhBbhADe
bhBbhACe
b
b
Faculdade de Engenharia
Guias
Determinação das componentes longitudinais
W
z
y
x
b
2n
1n
2n
2cos
2sin
2cos
2sin
112
112
bhBbhADe
bhBbhACe
b
b
211
211
2cos
2sin
2cos
2sin
b
b
ebhBbhAD
ebhBbhAC
2,
2cos
2sin
2,cossin
2,
2cos
2sin
211
11
211
byebhBbhA
byyhByhA
byebhBbhA
yby
by
2,
2,cossin
2,
11
byDe
byyhByhA
byCe
y
y
y
Faculdade de Engenharia
Guias
Modos pares e ímpares
W
z
y
x
b
2n
1n
2n
2,
2cos
2sin
2,cossin
2,
2cos
2sin
211
11
211
byebhBbhA
byyhByhA
byebhBbhA
yby
by
ondas TM 0zE
ondas TE 0zH
modos pares
2,
2cos
2,cos
2,
2cos
21
1
21
par
byebhB
byyhB
byebhB
by
by
modos ímpares
2,
2sin
2,sin
2,
2sin
21
1
21
ímpar
byebhA
byyhA
byebhA
by
by
0A 0B
ondas TM ímpares ímpar0 zE
ondas TM pares par0 zE
ondas TE ímpares ímpar0 zH
ondas TE pares par0 zH
Faculdade de Engenharia
Guias
Modos TM pares
W
z
y
x
b
2n
1n
2n
2,
2cos
2,cos
2,
2cos
21
1
21
par
byebhB
byyhB
byebhB
by
by
ondas TM pares par0 zEe00 zH
dydE
hE
dydH
hjE
dydH
hH
dydE
hjH
zy
zx
zy
zx
0
20
0
20
0
20
0
20
0
0
2,
2cos
2,sin
2,
2cos
212
11
1
212
0
byebhBj
byyhBh
j
byebhBj
H
by
by
x
2,
2cos
2,sin
2,
2cos
21
11
21
0
byebhBj
byyhBhj
byebhBj
E
by
by
y
condições fronteira 2 emcontínuo byH x
2sin
2cos 1
1
112 bhBh
jbhBj
Faculdade de Engenharia
Guias
Modos TM pares – relação característica
W
z
y
x
b
2n
1n
2n
2sin
2cos 1
1
112 bhBh
jbhBj
2cot 1
1
21
bhh
rrn
1se r
r
2cot 1
2
1
21
bhnnh
21
22
21
2
hnnc
2
cot 11
21
22
21
22
2
1 bhhhnn
cnn
relação característica
permite obter o valor característico h1 emfunção do guia e da frequência
Faculdade de Engenharia
Guias
Modos TM pares – soluções da equação característica
W
z
y
x
b
2n
1n
2n
2
cot 11
21
22
21
22
2
1 bhhhnncn
n
relação característica
BxxxA cot22
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
equação do tipo:
apenas 3 soluções!(no caso representado) notas
2. a cada solução correspondeum modo em propagação
1. soluções em número finito
3. número de modos em propagaçãoaumenta com a frequência
Faculdade de Engenharia
Guias
Modos TM pares – exemplo
W
z
y
x
b
2n
1n
2n cmb
GHzf
24
25
01
02
21
1
2
nn
3.3051,1 h
2.8713,1 h
2.6062,1 h
1121
2
01.0cot3
5004 hhh
Faculdade de Engenharia
Guias
-0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Modo TM1 par – exemplo
W
z
y
x
b
2n
1n
2n cmb
GHzf
24
25
01
02
21
1
2
nn 3.3051,1 h 8541
21
22
21
2
hnnc
BEz0
2,
2cos
2,cos
2,
2cos
21
1
21
0
byebhB
byyhB
byebhB
Eby
by
z
dieléctrico interior
decaimento exponencialno meio 2
y
Faculdade de Engenharia
Guias
Modos pares TM1, TM2 e TM3 – exemplo
W
z
y
x
b
2n
1n
2n
cmb
GHzf
24
25
01
02
2.8713,1 h
2.6062,1 h exemplo
8541
BEz0
BEz0
BEz0
modo TM1
modo TM2
modo TM3
3.3051,1 h
2523
5.6742
taxa de decaimentodiminui com o aumento da ordemdo modo
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Variação do modos TM1 par com a frequência– exemplo
W
z
y
x
b
2n
1n
2n
cmb 24 01
02
3121,1 h
3.3051,1 hexemplo
5.1201
BEz0modo TM1
2641,1 h
2.36141
8541
frequência de corte
modo TM1
modo TM1
GHz8f
GHz25f
GHz100f
BEz0
BEz0
taxa de decaimentodiminui com a diminuição da frequência
0 onda não confinada ao guiase
Faculdade de Engenharia
Guias
Modos TM par – frequência de corte
W
z
y
x
b
2n
1n
2n
condição de corte: 0
2
222
n
c 0
2
22
n
c
22
21
221 nn
ch
2
122
1
n
ch
22
211 nn
ch
2cot 1
2
1
21
bhnnh 0
2cot 1
bh0 ,2,1,21
21
nnbh
,2,1,21
22
21
nnnb
cnf parTMc
Faculdade de Engenharia
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Modos TM par – modo dominante
W
z
y
x
b
2n
1n
2n
,2,1,21
22
21
nnnb
cnf parTMc
frequência de corte aumenta à medidaque a largura do guia diminui
modo TM par dominante modo TM1 par
22
2121 nnb
cf parTMc
modo TM par seguinte modo TM2 par
22
212
32 nnb
cf parTMc
propagação de apenas um modo TM par se
ff parTMc 2
22
212
3
nnf
cb
Faculdade de Engenharia
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Frequência de corte dos modos TM par – exemplo
W
z
y
x
b
2n
1n
2n
,2,1,21
22
21
nnnb
cnf parTMc
cmb
GHzf
24
25
01
02
GHz3.41
parTMcf
GHz7.213
parTMcf
GHz132
parTMcf
GHz3.304
parTMcf
modos em propagação
Faculdade de Engenharia
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Guias dieléctricos planares – resumo
W
z
y
x
b
2n
1n
2n
2cot 1
1
2
1
2 bhhnn
22
21
21
nnb
cnfc
2cot 1
1bh
h
2tan 1
1
2
1
2 bhhnn
22
21
1
nnb
cnfc
2tan 1
1bh
h
MODOS RELAÇÃO CARACTERÍSTICA
FREQUÊNCIA DE CORTE
PARES
TM
TE
ÍMPARES
TM
TE
21
22
21
2
hnnc
,2,1n
Faculdade de Engenharia
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Guias dieléctricos planares – modos dominantes
W
z
y
x
b
2n
1n
2n
TM1 ímpar TM1 par TM2 ímpar 1º 2º 3º
…
22
21
21
nnb
cnfc
22
21
1
nnb
cnfc
,2,1n
modos pares
modos ímpares
TE1 ímpar TE1 par TE2 ímpar
modos dominantes 0cf
estão sempre presentes
22
212 nnb
cfc
regime “monomodo”: 22
212 nnb
cf
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Guias dieléctricos planares – regime monomodo
W
z
y
x
b
2n
1n
2n regime “monomodo”: 2
2212 nnb
cf
exemplo
cm221
1
2
bnn
GHz33.4f
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Guias dieléctricos planares – reflexão interna total
W
z
y
x
b
2n
1n
2n
n1
n2
n2
i
z
ar
21 nn
cossin 1ni
1
21sinnnreflexão interna total
1
2sinnn
2
1
21cos
nn
22
21sin nni
notas
1. abertura numérica (NA)
2. ângulo de aceitação
22
21 nn
NAA1sin
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Reflexão interna total – modos permitidos
W
z
y
x
b
2n
1n
2n
A
B
C
1n
2nfrentes de onda
C mesmo após a reflexão
A e C estão na mesma frente de onda
2demúltiplo AC
BCAB lklkAC 11
propagação ao longo de distância l onda adquire fase
em cada reflexão onda adquire fase
BCAB llkA 12
lk1 lnc 1
nllnc BCAB 221
Faculdade de Engenharia
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Reflexão interna total – modos permitidos
W
z
y
x
b
2n
1n
2n
A
B
C
1n
2n
cosBClb cosblBC
2cosBCAB ll
2coscos
b
12coscos
bll BCAB cos2b
b
nllnc BCAB 221 nbn
c cos1
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Reflexão interna total – fase do coeficiente de reflexão
A
B
C
1n
2n
b
incidência oblíqua:
ti
ti
nnnn
coscoscoscos
21
21
it
it
nnnn
coscoscoscos
21
21||
1sincos2
2
1
nnjt
2
222
11
22
2211
sincos
sincos
nnjn
nnjn
2
222
1122
22
2211
22
||sincos
sincos
nnjnn
nnjnn
cossin
tan21
22
2211
nnn
cos
sintan2 2
2
22
22111
|| nnnn
nota
z
y
polarização xEE x ˆ 0zE onda TE
polarização || xHH x ˆ 0zH onda TM
TE
TM
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Reflexão interna total – equação para os modos permitidos
A
B
C
1n
2n
b
cossin
tan21
22
2211
nnn
TE
cos
sintan2 2
2
22
22111
nnnn
TM
z
y nbn
c cos1 ,2,1n
TEmodos,
cossin
tan2cos1
22
2211
1
nn
nnbn
c
TMmodos,1cos
sintan2cos 2
2
22
22111
1
n
nnnn
bnc
só se propagam os modosque satisfazem estas equações
Faculdade de Engenharia
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Reflexão interna total – equações características
A
B
C
1n
2n
b z
y
TEmodos,
cossin
tan2cos1
22
2211
1
nn
nnbn
c
TMmodos,1cos
sintan2cos 2
2
22
22111
1
n
nnnn
bnc
óptica geométrica:
análise modal:
2cot 1
1
2
1
221
22
21
2 bhhnnhnn
c
2cot 1
121
22
21
2 bhhhnnc
2tan 1
1
2
1
221
22
21
2 bhhnnhnn
c
2tan 1
121
22
21
2 bhhhnnc
,2,1n
modos TM pares
modos TE pares
modos TM ímpares
modos TE ímparesEstes resultados serão equivalentes?
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z
y
Equivalência entre as duas abordagens – modos TE
2cot 1
1bhh
2tan 1
1bhh
TE pares
TE ímpares
nn
nnbn
c
cossin
tan2cos1
22
2211
1
óptica geométrica
análise modal( no núcleo )
modos TE ímpares:
zjx eyhA
hjE 1
1
0 cos
zyhjzyhjx eeA
hjE 11
1
0
2
2cos
jj ee
zync
zyh
sincos11
sin
cos
1
11
nc
nc
h
n
hcn
bh
1
22
21
1 tan2
modos TE pares:
zjx eyhB
hjE 1
1
0 sin
zyhjzyhj eeBh
j 11
1
0
2 válida para todos os modos TE
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Reflexão interna total – equivalência entre as duas abordagens
2cot 1
1bhh
2tan 1
1bhh
pares
ímpares
n
nnn
bnc
cossin
tan2cos1
22
2211
1
óptica geométrica
análise modalmodos TE
n
h
nc
bh
1
2
22
11 tan2
nh
bh
1
11 tan2
2
222
n
c
22tan 1
1bhnh
12,cot2,tan
2tan
mnmn
n
ímpar,
2cot
par,2
tan
11
11
nbhh
nbhh
equação obtida usando óptica geométrica é equivalenteàs equações caracteristicas da análise modal
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Distorção intermodal
n1
n2
n2
2
11ffv c
g análise modal diferentes modos propagam-se com velocidades diferentes
propagam-se no meio 1 comvelocidade 1ncv
óptica geométrica modos representados por vectores que indicama direcção de propagação de ondas planas
distância menora percorrer
distância maiora percorrer
tempos diferentes vlt
componentes do sinal propagadas nos diferentes modossão recebidas em instantes de tempo diferentes
distorção do sinal
distorção
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Guias com índice de refracção gradual
n1
n2
n2
y
n n1 n2
“step-index”
n1
n2
n2
y
n n1 n2
“graded-index”
ncv velocidade é menor na região central
distância e velocidade menores distância e velocidade maiorestempos (aproximadamente) iguais
diminui a distorção
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Guias dieléctricos circulares – fibras ópticas
z
n1 a
n2
materiais sem perdas
comprimento infinito propagação segundo +z
geometria circular coordenadas cilíndricas
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Guias dieléctricos circulares – condições fronteira
z
n1 a
n2
contínuotanE contínuotanHe
condições fronteira
arHH
arEE
z
z
emcontínuose
emcontínuose00
00
coordenadas cilíndricas
zzr ezEErEE
ˆˆˆ 000
zzr ezHHrHH
ˆˆˆ 000
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Guias dieléctricos circulares – condições fronteira
z
n1 a
n2
(se )0h2. determinar
222 h
1. resolver
0
00202
0202
zzr
zzr
HhH
EhE
2
2
22 11
rr
rrrr
rHjE
rhE
Hr
jr
Eh
E
rEjH
rhH
Er
jr
Hh
H
zz
zzr
zz
zzr
00
20
00
20
00
20
00
20
1
1
1
1
arnc
arnch
,
,2
22
2
12
2
21h
22h
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Guias dieléctricos circulares – equação de onda
z
n1 a
n2
resolver
0
00202
0202
zzr
zzr
HhH
EhE
arharhh
,,
22
212022 hr
rRr,
jnAe
02222
22 rRnrh
drrdRr
drrRdr equação diferencial de Bessel
solução geral: hrJArR n (se região de interesse incluir a origem) 02 h realh
02 h jh rCKrIBrR nn
funções de Besselde 1ª espécie
funções de Besselmodificadas de1ª espécie
funções de Besselmodificadas de2ª espécie
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Funções de Bessel modificadas de 1ª espécie
z
n1 a
n2
para n inteiro
0
2
!!2
k
kn
nn
n knkxjxJjxI
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
2
4
6
8
10
12
x
0I
1I
2I
3I
xInxlim
não deve fazer parte da
solução quando a região de
interesse incluir o infinito
nI
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
2
4
6
8
10
12
x
Funções de Bessel modificadas de 2ª espécie
z
n1 a
n2
para n inteiro
0K
1K
2K
3K
xKnx 0
lim
não deve fazer parte da
solução quando a região de
interesse incluir a origem
nK
xIxIp
xK ppnpn
sin2lim
0lim
xKnx
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Solução da equação de onda
z
n1 a
n2
hrJArR nrealh
jh rCKrIBrR nn
rRr,
jnAe
rlim 0limr
onda guiada real1h
jh 2
arerBKarerhAJ
r jnn
jnn
,,
, 1
21
22
21
2
hnnc
22
22
1
2
1
n
chn
c
21 nc
nc
21 nn
0lim r
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Componentes longitudinais
z
n1 a
n2
rRr,
jnAe
bainha
arerBKarerhAJ
r jnn
jnn
,,
, 1
jnnz
jnnz
erhBJHerhAJE
10
10
núcleo
jn
nz
jnnz
erDKHerCKE
0
0
modos TM 00 zH
modos TE 00 zE
modos HE e EH 0e0 00 zz HE
nota:
modos híbridos
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Componentes transversais – núcleo
z
n1 a
n2
jnnz
jnnz
erhBJHerhAJE
10
10
rHjE
rhE
Hr
jr
Eh
E
rEjH
rhH
Er
jr
Hh
H
zz
zzr
zz
zzr
00
20
00
20
00
20
00
20
1
1
1
1
1hh
jn
nnr erhAJr
nrhBJhjh
H
)()('1
11
1121
0
jnnn erhAJhjrhBJ
rn
hH
)(')(1
111121
0
jn
nnr erhBJr
nrhAJhjh
E
)()('1
10
1121
0
jnnn erhBJhjrhAJ
rn
hE
)(')(1
110121
0
Faculdade de Engenharia
Guias
Componentes transversais – bainha
z
n1 a
n2
rHjE
rhE
Hr
jr
Eh
E
rEjH
rhH
Er
jr
Hh
H
zz
zzr
zz
zzr
00
20
00
20
00
20
00
20
1
1
1
1
jh
jn
nz
jnnz
erDKHerCKE
0
0
jnnnr erCK
rnrDKjH
)()('1 2
20
jnnn erCKjrDK
rnH
)(')(1
220
jnnnr erDK
rnrCKjE
)()('1 0
20
jnnn erDKjrCK
rnE
)(')(1
020
Faculdade de Engenharia
Guias
Aplicação das condições fronteira
z
n1 a
n2
arHH
arEE
z
z
emcontínuose
emcontínuose00
00
0'' 021
1
012
1
aKjDaKanCahJ
hjBahJ
ahnA nnnn
bainha,núcleo,10
jnn
jnn
z erCKerhAJE aCKahAJ nn 1arEz emcontínuo0
01 aCKahAJ nn
de forma semelhante 01 aDKahBJ nn
0'' 221
1
112
1
aKjCaKanDahJ
hjAahJ
ahnB nnnn
Faculdade de Engenharia
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Aplicação das condições fronteira
z
n1 a
n2 0'' 0
211
012
1
aKjDaKanCahJ
hjBahJ
ahnA nnnn
01 aCKahAJ nn
notação matricial
01 aDKahBJ nn
0'' 221
1
112
1
aKjCaKanDahJ
hjAahJ
ahnB nnnn
0
''
''
0000
021
1
012
1
22
121
11
1
1
1
DCBA
aKjaKanahJ
hjahJ
ahn
aKanaKjahJ
ahnahJ
hj
aKahJaKahJ
nnnn
nnnn
nn
nn
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Relação característica
z
n1 a
n2 solução não trivial
0
''
''
0000
021
1
012
1
22
121
11
1
1
1
DCBA
aKjaKanahJ
hjahJ
ahn
aKanaKjahJ
ahnahJ
hj
aKahJaKahJ
nnnn
nnnn
nn
nn
0
''
''
0000
021
1
012
1
22
121
11
1
1
1
aKjaKanahJ
hjahJ
ahn
aKanaKjahJ
ahnahJ
hj
aKahJaKahJ
nnnn
nnnn
nn
nn
2
221
222
11
121
11
12 11
)()('
)()('
)()('
)()('
han
aKaK
nahJh
ahJn
aKaK
ahJhahJ
c n
n
n
n
n
n
n
n relação característica paramodos TM, TE, HE e EH
Faculdade de Engenharia
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Relação característica – modos TM e TE
z
n1 a
n2
para n=0
0
'0'0
0'0'
0000
00
101
0
02
101
1
010
010
DCBA
aKjahJh
j
aKjahJh
jaKahJ
aKahJ
0'' 0
210
1
1
010
CA
aKahJh
aKahJ
0'1'1
0101
010
DB
aKahJh
aKahJ
solução não trivial B=D=0 possível
modos TM
solução não trivial A=C=0 possível
modos TE
0zH 0zE
0)(
)()(
)(
0
122
101
1121
aKaK
nahJh
ahJn
0
)()(
)()(
0
1
101
11
aKaK
ahJhahJ
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Guias
Frequência de corte
z
n1 a
n2
condição de corte 0
0)( 10 ahJ
0)( 11 ahJ
0)( 1 ahJn
)(1
)(1 11
1122
21 ahJ
nahahJ
nn
nn
n modo corte
0 TE0p TM0p
1 HE1p EH1p
2
EHnp
HEnp
notas
1. frequência de corte do modo HE11 =0
2. modos seguintes: TE01 e TM01 (frequência de corte associada ao 1º zero de J0 2.4048)
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Frequência normalizada
z
n1 a
n2
frequência normalizada(parâmetro V)
2221
2 ahV 22
21
2
nnca
2
122
1
n
ch
2
222
n
c
22
21
0
2 nnaV
corte 0 corte1corte ahV
comprimento de onda no vazio
011 cfHE
4048.2e 10101 ahTETM
regime monomodo 4048.2V
regime multimodo 4048.2V
nota
propagação dos modos:
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Constante de fase normalizada versus frequência normalizada
Para uma fibra multimodo com um elevado número de modos, o número de modos M é aproximadamente:
nota
2
2VM
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Exercício
Considere um guia dieléctrico planar constituído por um dieléctrico com permitividade relativa 4 e espessura2 cm que está colocado no ar. Determine a percentagem de potência média propagada no meio 2 para osmodos TM pares em propagação quando a frequência de operação é 25 GHz
formulário:
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Exercício
propagação
22
21
21
nnb
cnfc
,2,1n
cff
modos pares
4.3n
GHz25fcm2
12
2
1
bnn
3,2,1n
propagam-se os modos TM1, TM2 e TM3
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Guias
Exercício
W
z
y
x
b
2n
1n
2n
A
medmed AdSP
*21 HESmed Re
Ayxmed dAEE
Z221
21P Re
00 xE
zjyy eEE 0 0
yy EE
21 ffZ cTM
2meio,
1meio,20
0
2,
2cos
2,sin
2,
2cos
21
11
21
0
byebhBj
byyhBhj
byebhBj
E
by
by
y
Faculdade de Engenharia
Guias
Exercício
W
z
y
x
b
2n
1n
2n
potência no meio 2
2
2
12
2
211
220 sin1
2P
b
b
cmed dyyh
ff
hnBW 2
21
12
211
220
42sin
21
2
b
b
c
hyhy
ff
hnBW
1
12
211
220
2sin
21
2 hbhb
ff
hnBW c
potência no meio 1
2
222
22
122
22
220
2cos1
2P
b
by
bby
cmed dyedyebh
ff
nBW
2cos1
212
2
32
220 bh
ff
nBW c
potência propagada no meio 2 não é nula
Faculdade de Engenharia
Guias
Exercício
W
z
y
x
b
2n
1n
2n
exemplo
percentagem de potência no meio 2:
otalmed
med
t,
2meio,
PP
311
1
12
13
2
12
32
12
2sin
22
cos
2cos
hnbh
nhb
n
bhn
bh
cmb
GHzf
24
25
01
02
modo TM1 par
8541 3.3051,1 h
modo TM2 par2.6062,1 h
5.6742
modo TM3 par2.8713,1 h
2523
%72.0t,
2meio,
PP
otalmed
med %22.5t,
2meio,
PP
otalmed
med %2.56t,
2meio,
PP
otalmed
med
GHz3.41
parTMcf GHz7.213
parTMcf GHz132
parTMcf
ondas menos confinadas ao dieléctrico interiorà medida que o modo se aproxima do corte