Post on 27-Sep-2018
Guia Mangá
ÁLGebra Linear
Shin Takahashi, iroha inoue e
Trend-Pro Co., Ltd.
novatec
The Manga Guide to Linear Algebra is a translation of the Japanese original, Manga de wakaru senkeidaisuu, published by Ohmsha, Ltd. of Tokyo, Japan, © 2008 by Shin Takahashi and TRENDPRO Co., Ltd. The English edition is co-published by No Starch Press, Inc. and Ohmsha, Ltd. Portuguese-language rights arranged with Ohmsha, Ltd. and No Starch Press, Inc. for Guia Mangá Álgebra Linear ISBN 978-85-7522-293-5, published by Novatec Editora Ltda.Edição original em japonês Manga de wakaru senkeidaisuu, publicado pela Ohmsha, Ltd., de Tóquio, Japão, © 2008 por Shin Takahashi e TRENDPRO Co., Ltd. Edição em inglês The Manga Guide to Linear Algebra, copublicação da No Starch Press, Inc. e Ohmsha, Ltd. Direitos para a edição em português acordados com a Ohmsha, Ltd. e No Starch Press, Inc. para Guia Mangá Álgebra Linear ISBN 978-85-7522-293-5, publicado pela Novatec Editora Ltda.
Copyright © 2012 da Novatec Editora Ltda.
Todos os direitos reservados e protegidos pela Lei 9.610, de 19/02/1998. É proibida a reprodução desta obra, mesmo parcial, por qualquer processo, sem prévia autorização, por escrito, do autor e da editora.
Editor: Rubens PratesIlustração: Iroha InoueTradução: Rafael ZanolliRevisão gramatical: Patrizia ZagniEditoração eletrônica: Carolina Kuwabata
ISBN: 978-85-7522-293-5
Histórico de impressões:Dezembro/2012 Primeira edição
Novatec Editora Ltda.Rua Luís Antônio dos Santos 11002460-000 – São Paulo, SP – BrasilTel.: +55 11 2959-6529Fax: +55 11 2950-8869E-mail: novatec@novatec.com.brSite: www.novatec.com.brTwitter: twitter.com/novateceditoraFacebook: facebook.com/novatecLinkedIn: linkedin.com/in/novatec
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Takahashi, Shin Guia mangá álgebra linear / Shin Takahashi, Iroha Inoue, Trend-pro Co ; [tradução Rafael Zanolli]. -- São Paulo : Novatec Editora, 2012. -- (The manga guide)
Título original: The manga guide to linear algebra. ISBN 978-85-7522-293-5
1. Álgebra linear - Histórias em quadrinhos 2. Histórias em quadrinhos I. Inoue, Iroha. II. Trend-pro Co.. III. Título. IV. Série.
12-07743 CDD-512.5
Índices para catálogo sistemático:
1. Álgebra linear : Matemática : Histórias em quadrinhos 512.5
OG20121126
Sumário
Prefácio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
Prólogo Que comece o treinamento! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 O que é álgebra linear? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Uma visão geral de álgebra linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Noções fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Sistemas numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Implicação e equivalência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Proposições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Implicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Equivalência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Teoria dos conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Símbolos de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Imagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Domínio e intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Funções sobrejetoras e injetoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Funções inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Transformações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Combinações e permutações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Nem todas as “regras para ordenamento” são funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3 Introdução às matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
O que é uma matriz? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66Cálculos com matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Multiplicação escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Multiplicação de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Matrizes especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Matrizes zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
viii Sumário
Matrizes transpostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Matrizes simétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Matrizes triangulares superiores e inferiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Matrizes diagonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Matrizes identidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4 Mais matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Matrizes inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Cálculo de matrizes inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Cálculo de determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Cálculo de matrizes inversas utilizando cofatores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Mij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108Cij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109Cálculo de matrizes inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Uso de determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111Resolução de sistemas lineares com a regra de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5 Introdução aos vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
O que são vetores? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Cálculos com vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125Interpretações geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6 Mais vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Independência linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140Dimensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Subespaços . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150Base e dimensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7 Transformações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
O que é uma transformação linear? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166Por que estudamos transformações lineares? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173Transformações especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
Dimensionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179Rotação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180Translação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182Projeção 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
Sumário ix
Algumas dicas preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188Núcleo, imagem e o teorema da dimensão para transformações lineares . . . . 189Posto matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Cálculo do posto de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196A relação entre transformações lineares e matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8 Autovalores e autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
O que são autovalores e autovetores? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211Cálculo de autovalores e autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216Cálculo da potência p de uma matriz n×n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219Multiplicidade e diagonalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
Uma matriz diagonalizável com um autovalor de multiplicidade 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Uma matriz não diagonalizável com um autovalor real de multiplicidade 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Epílogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
Recursos online . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
Os apêndices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243Atualizações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
Índice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
PrólogoQue comece o treinamento!
UniversidadeHanamichi
Não há nada a temer...
Muitobem!
É agora ou nunca!
Iááááá!
* Clube d
e C
aratê
Hanam
ichi.
*
Ei!
Que comece o treinamento! 3
com licen—
O que temos aqui?
o qu—
TUM-TUM
TUM-TUM
ESTRONDO
Bump
4 Prólogo
Eu...Eu sou um calouro...
Meu nome é Reiji Yurino.
Você por acaso seria Tetsuo Ichinose, o
capitão do clube de Caratê?
Isso mesmo.
quero fazer parte do clube de Caratê!
Não tenho nenhuma experiência, mas acho
que–
Você está falando sério?
Meus alunos acabariam com
você.
Uau... o Martelo da Hanamichi em
pessoa!
Não posso desistir agora!
h-hum...?
REVERÊNCIA
PUXÃO
Que comece o treinamento! 5
Por favor! Eu –
Eu quero ficar mais forte!
...
Hum?
hum...
já não vi seu rosto em algum
lugar? Ahá!
CHACOALHA
CHACOALHA
6 Prólogo
Você não é aquele cara?
Aquele do livro de matemática da minha
irmã?
Ah, você já viu meu livro?
Então é você!
S-sim.
posso não ser o cara mais
forte...
Entendo...
O qu–?
Talvez possa pensar em
deixar você fazer parte do
clube...
Mas sempre fui muito bom com
números.
Por alunos – para alunos
Matemática para todosAutor: Reiji Yurino
humm
Que comece o treinamento! 7
Sério?!
... sob uma condição!
Você tem que ensinar
matemática para minha irmãzinha.
Sério?!
Você tem que ensinar matemática para minha irmãzinha.
Então, se eu der aulas para sua irmã, você
me deixará fazer parte do
clube?
Ela reclamou ontem
mesmo que estava tendo problemas na
aula de álgebra linear...
8 Prólogo
Isso seria aceitável para
você?
Se você tentar dar uma cantada nela...
Mesmo uma só vez...
É claro!
Acho que devo lhe dar um conselho
de amigo...
Eu... nem pensaria nisso!
Não vamos pegar leve
com você, viu?
Estou dentro!É claro!
Vamos começar imediatamente!
Nesse caso...Venha
comigo.
Crack
Snap
3Introdução às matrizes
64 capítulo 3 Introdução às matrizes
Ei!Ei!
Utilizem suas
costas!
Não confie apenas em suas
mãos.
Use sua cintura!
pensei que ele ia desistir logo de cara...
Acho que estava errado.
Yurino!
Ossu!
heheh
Introdução às matrizes 65
Você deve estar realmente cansado
depois de todo esse exercício!
Nossa! Mas... nunca seria capaz de
comer algo tão bonito!
Hehe, não seja bobo!
não sei o que dizer... obrigado!
Demais!
Bom demais!
Obrigada!
Não se preocupe com isso!
Misa, de verdade...obrigado!
Ta -da !
ALEGRIA
NHAM
NHAM
NHAM NHAM
66 capítulo 3 Introdução às matrizes
O que é uma matriz?
Ah...Eu me sinto bem melhor agora.
Você está pronta para começar?
Claro, por que
não!
Nós vamos falar sobre
matrizes hoje.
gostaria muito de ir com calma
nesse caso, já que elas aparecem na maioria dos assuntos em
álgebra.
não acho que você terá nenhum problema com o básico desta vez
também.
Mas falarei brevemente sobre matrizes inversas
perto do fim e elas podem ser um pouco complicadas.
Ok!
Uma matriz é uma série de números organizada em m
linhas e n colunas, e colocada entre parênteses desta
forma.
Noções fundamentais
Matrizes Vetor
Diagrama do curso
Básic
oPre
ipal
Linha 1
Linha 2
Linha M
Coluna 1
Coluna 2
Coluna n
Esses são os chamados subscritos.
Transformações lineares
Autovalores e autovetores
O que é uma matriz? 67
Uma matriz com m linhas e n colunas é chamada de uma "matriz m por n".
Ah!
Os itens dentro de uma matriz são chamados
de seus elementos.
destaquei os elementos (2, 1) destas três matrizes para você! Entendi.
Uma matriz que tem um mesmo número de linhas e colunas é chamada de matriz
quadrada.
Hã-hã...
Matriz 2×3 Matriz 4×1 Matriz m ×n
ElementoLinha 1
Linha 1 Linha 1
Linha 2
Linha 2
Linha 3
Linha 4
Linha 2
Linha m
col 1
col 2
col 3
col 1
col 1
col 2
col n
Os elementos marcados em cinza nessa matriz são parte do que é
chamado de sua diagonal principal.
Matriz quadrada com duas linhas
Matriz quadrada com n linhas
68 capítulo 3 Introdução às matrizes
Hum... matrizes não são tão empolgantes
como elas parecem no cinema.
É. São só números, nenhum Keanu...*
Empolgantes ou não, matrizes são muito
úteis!
Por quê?
Bem, essas são algumas das vantagens.
Então as pessoas as utilizam por
que elas são práticas, é?
Sim.
hUm...
• Elas são ótimas para escrever sistemas lineares de modo mais compacto.
• Como permitem sistemas mais compactos, também ajudam a tornar textos matemáticos mais compactos.
• E ajudam professores a escrever mais rápido na lousa durante as aulas.
* N.T.: Aqui, os personagens se referem ao filme Matrix (1999), protagonizado por Keanu Reeves. A palavra "matrix", em inglês, é traduzida como "matriz", em português.
O que é uma matriz? 69
Em vez de escrever este sistema linear
desta forma...
Poderíamos escrevê-lo assim, utilizando matrizes.
Realmente parece bem
mais simples!
Exatamente!
Então isto... Se torna isto?
Nada mal!
escrevendo sistemas de equações como matrizes
se escreve
x1
x2
xn
b1
b2
bm
a11
a21
am1
a12
a22
am2
a1n
a2n
amn
=
se escreve
x1
x2
xn
a11
a21
am1
a12
a22
am2
a1n
a2n
amn
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
•
•
RABISCA
RABISCA
70 capítulo 3 Introdução às matrizes
Cálculos com matrizes
Agora, vamos dar uma olhada
em alguns cálculos.
Os quatro operadores relevantes são:
• adição
• subtração
• multiplicação escalar
• multiplicação de matrizes
Note que a adição e asubtração funcionam
apenas com matrizes que têm as mesmas dimensões.
1
3
5
2
4
6
6
4
2
5
3
1
1 + 6
3 + 4
5 + 2
2 + 5
4 + 3
6 + 1
1
3
5
2
4
6
6
4
2
5
3
1
+
Exemplos
1 + 6
3 + 4
5 + 2
2 + 5
4 + 3
6 + 1
1
3
5
2
4
6
6
4
2
5
3
1
7
7
7
7
7
7
+ = =
(10, 10) + (−3, −6) = (10 + (−3), 10 + (−6)) = (7, 4)
10
10
7
4
−3
−6
10 + (−3)
10 + (−6)+ = =
•
•
•
Vamos somar a matriz 3×2
A esta matriz 3×2
Ou seja,
Os elementos seriamsomados elemento aelemento desta forma:
Adição
Exemplos
Cálculos com matrizes 71
Subtração
1
3
5
2
4
6
6
4
2
5
3
1
1 − 6
3 − 4
5 − 2
2 − 5
4 − 3
6 − 1
1
3
5
2
4
6
6
4
2
5
3
1
−
Exemplos
1 − 6
3 − 4
5 − 2
2 − 5
4 − 3
6 − 1
1
3
5
2
4
6
6
4
2
5
3
1
−5
−1
3
−3
1
5
− = =
(10, 10) − (−3, −6) = (10 − (−3), 10 − (−6)) = (13, 16)
10
10
13
16
−3
−6
10 − (−3)
10 − (−6)− = =
•
•
•
Vamos subtrair a matriz 3×2
Desta matriz 3×2
Ou seja:
De modo semelhante, oselementos seriam subtraídoselemento a elementodesta forma:
Subtração
Exemplos
72 capítulo 3 Introdução às matrizes
Multiplicação escalar
10 · 1
10 · 3
10 · 5
10 · 2
10 · 4
10 · 6
Exemplos
10
30
50
20
40
60
= =•
•
•
1
3
5
2
4
6
1
3
5
2
4
6
10
1
3
5
2
4
6
10
10 · 1
10 · 3
10 · 5
10 · 2
10 · 4
10 · 6
2 (3, 1) = (2 · 3, 2 · 1) = (6, 2)
23
1
6
2
2 · 3
2 · 1= =
Vamos multiplicar a matriz 3×2
Por 10. Ou seja,
Os elementos seriam, cadaum, multiplicados por 10desta forma:
Exemplos
Multiplicação escalar
Cálculos com matrizes 73
Multiplicação de matrizes
Exemplo
1x1 + 2x2
3x1 + 4x2
5x1 + 6x2
1y1 + 2y2
3y1 + 4y2
5y1 + 6y2
=
1
3
5
2
4
6
x1
x2
y1
y2
•
O produto
Pode ser derivado separando-se temporariamente as
duas colunas e , que formam os dois produtos
e, depois, reunindo-se as colunas resultantes:
1
3
5
2
4
6
x1
x2
y1
y2
=
1x1 + 2x2
3x1 + 4x2
5x1 + 6x2
1y1 + 2y2
3y1 + 4y2
5y1 + 6y2
x1
x2
y1
y2
1
3
5
2
4
6
x1
x2
=
1x1 + 2x2
3x1 + 4x2
5x1 + 6x2
1
3
5
2
4
6
y1
y2
=
1y1 + 2y2
3y1 + 4y2
5y1 + 6y2
e
1x1 + 2x2
3x1 + 4x2
5x1 + 6x2
1y1 + 2y2
3y1 + 4y2
5y1 + 6y2
Tem mais!
Exemplo
Multiplicação de matrizes
8Autovalores e autovetores
z
x
y
vezes 4pa
ra trá
s
vezes 4
206 Capítulo 8 Autovalores e autovetores
E Jumonji, da Universidade
Nanhou!
Yurino, da Universidade Hanamichi!
Prontos!
Ele parece durão.
Vou ter que dar tudo
que tenho.
Comecem!
ENCARA
Gah...
Ungh...
Eu tenho que vencer
isso!
Tenho que mostrar para eles como
posso ser forte!
Já chega!
Seyaaaa
PAFF
SP AF
ARREPIO
P U FF
iááááá
Pow
208 Capítulo 8 Autovalores e autovetores
Universidade Nanhou!
Muito... obrigado... Droga...
Boa luta.
Autovalores e autovetores 209
Sinto muito sobre a luta...
É...
Meu irmão disse que você lutou bem, no entanto.
Sério?
Não se preocupe com
isso.
Você se sairá melhor da
próxima vez.
Eu sei disso!
Desculpe-me! Você está
totalmente certa!
Ficar chateado não ajudará em
nada.
210 Capítulo 8 Autovalores e autovetores
De qualquer modo... hoje é
nossa última aula.
pensei em trabalharmos com
autovalores e autovetores.
Ok. Estou pronta para qualquer coisa!
Estudar autovalores e autovetores vem a calhar quando trabalhamos com
Física e Estatística, por exemplo.
Eles também tornam problemas deste tipo
muito mais fáceis.
Encontrar a potência p de
uma matriz n×n.
É um tópico bastante abstrato, mas vou tentar ser o mais
concreto possível.
Eu agradeço!
Noções fundamentais
Matrizes Vetores
Transformações lineares
Autovalores e autovetores
Básic
oPrep
O que são autovalores e autovetores? 211
O que são autovalores e autovetores?
O que você me diz de começarmos com alguns problemas? Claro!
Hum...
Dessa forma?
Passou perto!
Hum, assim?
Exatamente!
Então... a resposta pode ser expressa
utilizando-se múltiplos dos dois vetores
originais?
Ok, primeiro problema:Encontre a imagem de
utilizando atransformação
linear determinadapela matriz 2×2
3
1
1
2c1 + c2
82
−31
(onde c1 e c2 são
números reais.)
212 Capítulo 8 Autovalores e autovetores
Desta forma.
Oh...
I�o mesmo!A�im, você poderia
dizer que a transformaçãolinear igual à matriz
8
2
−3
1
... transforma todos ospontos no plano x1x2...
Dessa forma?
Correto!
Então essa solução também pode ser
expressa com múltiplos...
Hum
Vamos avançar para outro problema...
Encontre a imagem de utilizando
(onde c1 , c2 e c3 são números reais.)
c1 + c2 + c3
1
0
0
0
1
0
0
0
1
4
0
0
0
2
0
0
0
−1
a transformação lineardeterminada pela matriz 3×3
O que são autovalores e autovetores? 213
214 Capítulo 8 Autovalores e autovetores
4
0
0
0
2
0
0
0
−1
... transforma todosos pontos no espaço
x1 x2 x3 ...
Logo vocêpoderia dizer que a
transformação linearigual à matriz
Desta forma.
Entendi!
4
0
0
0
2
0
0
0
−1
... transforma todosos pontos no espaço
x1 x2 x3 ...
Logo vocêpoderia dizer que a
transformação linearigual à matriz
Vezes 4Ol
hand
o
para
trá
s
Vezes 2
considerando aqueles
exemplos.
Autovalores e autovetores
a11
a21
an1
a12
a22
an2
a1n
a2n
ann
x1
x2
xn x1
x2
xn
x1
x2
xn
Se a imagem de um vetor por meio da transformação linear determinada pela matriz
é igual a λ , λ é chamado de um autovalor da matriz
e é chamado de um autovetor correspondente ao autovalor λ.
O vetor zero não pode nunca ser um autovetor.
Rn Rn
x1
x2
xn
λ
x1
x2
xn
Então os dois exemplos poderiam
ser resumidos desta forma?
Exatamente!Em geral, você nunca pode encontrar mais do que n
autovalores e autovetores diferentes para qualquer
matriz n×n.Ah...
ores e autove
tores
Vamos dar uma olhada na
definição...
Matriz
Autovalor
Autovetor
4
0
0
0
2
0
0
0
−1
8
2
−3
1
λ = 7, 2 λ = 4, 2, −1
O vetorco�espondente
a λ = 7
3
1
O vetorco�espondente
a λ = 2
1
2
O vetorco�espondente
a λ = 4
100
O vetorco�espondente
a λ = 2
010
O vetorco�espondente
a λ = 1
001
E aí, esperando
há muito tempo?
Reij—
ÁÁÁI!
Essa voz!
Ah, não seja assim!
Parem com isso! Deixem-me
ir!
Nós só queremos conhecê-la
melhor.
Misa!
Parece que cheguei um
pouco cedo...
tenho que fazer
alguma coisa...
mas... E se acontecer tudo de novo?
E rápido!
Aqueles idiotas...
Em meu primeiro encontro com Yuki, minha
namorada no ensino fundamental...
Ei, me soltem!
já tenho um encontro.
Nós só queremos bater
um papo...
Yuki!
TREMENDO
!
Aqueles idiotas...
tenho que fazer
alguma coisa!
Você... pare com isso!
Hã... quem é você?
Ugh?
Hora de ir!
Me solta!
Vocês aí!
CHUTE
Crash
Fala sério! Um
chute? Que fracote...
Haha
Parem. Não conseguem ver
que ela não quer ir com
vocês?
Caramba, quem é agora? ah, não!
V-você é...
O lendário líder do clube de
caratê Hanamichi.
“O martelo Hanamichi!”
Em carne e osso.
Mexer com esse cara é suicídio!
Vamos dar o fora daqui!
O-obrigada!
Não se preocupe com
isso... Mas acho que seu
namorado precisa de cuidados médicos...
Ungh...
Martelo Hanamichi?
GEMIDO...
Epílogo 235
Escute... eu estou feliz de você ter tentado me defender,
mas...
Isso simplesmente
não foi suficiente.
eu...... não acho que posso mais sair
com você.
...
Isso simplesmente
não foi suficiente.
Não desta vez!
Vou mostrar para eles–
Estou muito mais forte
agora–
Vem cá, docinho...
Socorro!
Desta vez vai ser diferente!
SOLTEM-nA!
Yank
O qu–?
Venha, vamos embora.
Reiji!
Ei! Pode parar aí mesmo.
Quem você pensa que
é?
Fiquem longe dela, todos
vocês!
Haha, olha só! Ele pensa que é um
herói!
Vamos pegá-lo!
POF
!
SPLAF
Corre!
Tenha cuidado, Reiji!
Uff!
Seu pequeno...
Parem com isso!
Por favor!
Me solta!
Teimoso, hein?
Já chega!
TUMP
AGARRA
SPAF
Atacando minha irmãzinha, é?
Tetsuo!
Sensei?
não gosto de violência
excessiva... mas, ao atacarem Misa,
vocês não me deram escolha...
É o Ichinose!
O Martelo Hanamichi!
Manhê!
Corre!
Ele apagou!
Crack
Epílogo 239
Reiji?
Reiji, acorde!
Reiji!
Você está bem!
Opa!
Yurino... Misa me
contou o que aconteceu.
Obrigado!
Hum... Sem problema.
Mas não mereço seu
agradecimento...
240 Epílogo
não pude ajudar Misa... não pude
ajudar nem a mim mesmo...
não mudei nada! Continuo sendo um
fracote!
Bem, você pode não ser ainda um
faixa preta...
Mas certamente não é nenhum
fracote.
Colocar a segurança de Misa antes de
sua própria mostra grande coragem.
Você deveria estar
orgulhoso!
Reiji!
Ele está certo.
não sei o que dizer... Obrigada!
Misa...
Mas–Esse tipo de coragem é
admirável, ainda que a luta em si tenha
sido desnecessária.
Epílogo 241
Obrigada por tudo!
Ah...
Mas o qu–?
pensei ter sido bastante claro sobre as regras...
Hã?! Eu, ah...
Hehe...Bem, acho que tudo bem... a Misa não é mais uma criança.
Obrigado, sensei...
A propósito, será que você poderia me fazer outro
favor?
C-claro!
242 Epílogo
Matemática, quer dizer.
também gostaria que você me ensinasse.
Quê?
Ele bem que poderia usar a ajuda, estando
em seu sexto ano e tudo o mais.
Se ele não se formar logo...
Então, o que me
diz?
Isso também
significaria muito para
mim.
Claro! Com
certeza!
Ótimo! Vamos
começar com contas
de mais e de menos,
então!
Hum... contas de mais e de menos?
Parece que vocês vão precisar de
mais almoços!