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UNIDADE I – GRAVITAÇÃO NEWTONIANA
AULA 1 – FUNDAMENTOS DA GRAVITAÇÃO NEWTONIANA
OBJETIVOS:
Ao final desta aula, o aluno deverá:
� ter uma visão qualitativa de como a força gravitacional atua entre os
corpos;
� ser capaz de descrever matematicamente a interação gravitacional entre
duas distribuições de massa.
1 INTRODUÇÃO
Percebemos o tempo todo que as propriedades do universo à nossa volta se
alteram constantemente: o vento sopra, a chuva cai, os dias sucedem as noites etc.
As mudanças que percebemos à nossa volta resultam da interação dos diferentes
componentes do meio que nos circunda. A radiação proveniente do Sol colabora na
produção de movimentos de massas de ar; vapor d'água em suspensão na
atmosfera se condensa ao encontrar uma frente de ar mais fria; a Terra, enquanto
gira em torno do seu eixo, expõe faces diferentes ao Sol.
As interações entre quaisquer corpos ou partículas no universo podem ser de
diversas naturezas. O que mantém a Terra fixa em sua órbita em torno do Sol é um
tipo de interação; aquilo que permite que as moléculas de água presentes numa
nuvem se condensem é outro tipo de interação. Essas diferentes interações
possuem mecanismos distintos e atuam de forma diferente em cada tipo de corpo
ou partícula.
Por mais que possamos imaginar formas distintas em que dois corpos
possam interagir, e em que pese que tais interações pareçam de fato
completamente distintas, somente quatro diferentes interações fundamentais
existem na natureza. Ou seja, todas as interações que observamos no universo são
expressão de uma dessas quatro interações, ou de uma combinação delas. O
movimento das massas de ar, o ciclo das chuvas, o movimento aparente dos astros
no céu, todos esses fenômenos podem ser descritos mediante esse conjunto de
quatro interações fundamentais.
Uma dessas quatro interações fundamentais é a gravitação, assunto da
presente aula.
2 A LEI DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL
Estamos todos acostumados à ideia de que os corpos “caem para baixo”:
quando um objeto qualquer é liberado do repouso a certa altura do solo, ele
naturalmente irá se deslocar em direção ao solo, em linha reta. A essa tendência
natural de os corpos “caírem” em direção ao solo, como que atraídos pela Terra,
chamamos gravitação.
Diferentes explicações para o fenômeno da gravitação surgiram em
diferentes culturas ao longo da história. No entanto, até meados do século XVII, o
poder das teorias correntes de realizar previsões (por exemplo, o tempo de queda
de um corpo a partir de determinada altura) era bastante limitado, pela ausência
de uma fundamentação matemática.
Em 5 de julho de 1687, o filósofo natural Sir Isaac Newton publicou o livro
Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, no qual expôs um conjunto de teorias
que se tornaram a base da mecânica clássica. Nesse livro, Newton propôs uma
teoria para a gravitação, a qual não apenas era matematicamente elaborada
(permitindo, portanto, que se realizassem previsões numa escala até então
impossível), mas também capaz de descrever o movimento inclusive dos corpos
celestes.
A teoria de Newton
para a gravitação propõe
que, entre quaisquer
partículas dotadas de
massa, existe uma força
gravitacional atrativa –
uma força que tende a
aproximar esses corpos.
Para Newton, portanto, um
corpo na superfície da Terra
é atraído pela Terra assim
como a Terra é atraída por
esse corpo. Porém, a teoria de Newton não se limita a corpos na superfície da
Terra: um pássaro que voa a grande altitude também sente o efeito da força
gravitacional produzida pela Terra sobre ele. Como nas proximidades da Terra não
existe um limite para a atuação da força gravitacional (ou seja, não importa o quão
acima do solo ainda sentimos o efeito da força gravitacional), então esse efeito
também deve ser sentido por um corpo tão longe da Terra quanto, por exemplo, a
Lua ou o Sol. Com esse raciocínio, Newton propôs que a força que nos atrai para o
Isaac Newton: um dos
maiores cientistas de todos os
tempos, o inglês Isaac Newton
não somente produziu as
bases da mecânica clássica,
como também foi um grande
matemático, tendo sido um
dos pais do cálculo diferencial
e integral.
Figura 1.1: Sir Isaac Newton Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro: Sir_Isaac_Newton_by_Sir_Godfrey_Kneller,_Bt.jpg
solo é da mesma natureza que a força que mantém a Lua girando em torno da
Terra, e mantém todos os planetas girando em torno do Sol. Por isso, a lei da
gravitação de Newton é chamada de lei da gravitação universal, pois vale para
quaisquer dois corpos no universo.
A lei da gravitação universal de Newton diz que:
Quaisquer duas partículas se atraem mutuamente com uma força que é
diretamente proporcional ao produto das suas massas e inversamente proporcional
ao quadrado da distância que as separa.
No enunciado da lei da gravitação de Newton, aparece a palavra partícula.
Uma partícula é um elemento físico sem dimensão, ou seja, infinitamente pequeno.
Não existem na natureza corpos infinitamente pequenos: uma partícula é uma
aproximação que permite simplificarmos diversos problemas físicos. Se quisermos
calcular a força gravitacional entre dois grãos de areia, separados por uma grande
distância, podemos considerar que esses grãos de areia, por serem muito menores
que a distância que os separa, são partículas, ou seja, infinitamente pequenos.
Matematicamente, a lei da gravitação de Newton pode ser expressa como:
� = � ������ 1.1
Nessa equação, � é o módulo da força gravitacional, �� e �� são as massas
das partículas, � é a distância entre elas e � é uma constante, chamada constante
gravitacional. A constante gravitacional tem o seguinte valor:
� = 6,67 × 10��� N⋅m2/kg2 1.2
A equação 1.1 nos dá o módulo da força gravitacional que atua entre dois
corpos. Forças, sendo grandezas vetoriais, precisam de um módulo, uma direção e
um sentido para serem totalmente especificadas. A direção da força gravitacional
que atua entre dois corpos é a direção da reta que passa pelas duas partículas, ou
seja, a força se dá na linha reta que une as duas partículas. O sentido dessa força é
sempre atrativo: a força gravitacional que a Terra aplica sobre você tem sentido de
cima para baixo, pois ela o atrai; a força gravitacional que você aplica sobre a Terra
tem sentido de baixo para cima, pois você a atrai.
A figura 1.2 mostra dois corpos, 1 e 2, separados entre si por uma distância
�. O corpo 1 possui uma massa igual a �� e sofre uma força gravitacional devido ao
corpo 2. O corpo 2 possui uma massa igual a �� e sofre uma força gravitacional
devido ao corpo 1. Se conhecemos os valores de ��, �� e �, podemos calcular os
módulos dessas forças usando a equação 1.1. Usando a equação 1.1, encontramos
que a força ��� que atua no corpo 1 devido ao corpo 2 possui um módulo igual a:
��� = � ������
Da mesma forma, o módulo da força ��� que atua no corpo 2 devido ao corpo 1 fica:
��� = � ������
Com isso, percebemos que as forças gravitacionais que um corpo aplica
sobre o outro são exatamente iguais em módulo. A diferença entre essas forças
está no sentido. A figura 1.3 mostra os vetores que representam as forças ��� e ���. Veja que, embora o comprimento dos vetores seja o mesmo, seus sentidos são
opostos.
Embora a lei da
gravitação universal tenha
sido enunciada como
atuando entre duas
partículas, podemos
estender a aplicação dessa
lei para corpos extensos. No
entanto, para corpos
Figura 1.3: Forças gravitacionais que atuam sobre os corpos 1 e 2.
Figura 1.2: Dois corpos, 1 e 2, separados por uma distância �.
Centro de massa: um ponto no espaço, associado a um
corpo, que se comporta para um observador externo como se
toda a massa do corpo estivesse concentrada naquele ponto.
Uma maneira simples de “enxergar” o centro de massa de um
corpo é imaginá-lo girando ao ser jogado para o alto: o corpo
irá girar em torno de um ponto, que corresponde ao seu
centro de massa. O conceito de centro de massa é
aprofundado na disciplina Física I.
extensos, a distância � que aparece na equação 1.1 é a distância que separa seus centros de massa. O exemplo 1 ilustra o cálculo do módulo da força gravitacional
envolvendo um corpo extenso.
Exemplo 1:
A massa da Terra é de 5,98 × 10�� kg e seu raio médio é de 6.357.000 m. Qual o
módulo da força gravitacional que a Terra aplica sobre um corpo de 5 kg situado em
sua superfície?
Resolução:
O centro de massa da Terra está situado aproximadamente no seu centro
geométrico. Portanto, um corpo na superfície da Terra está a uma distância � de aproximadamente 6.357.000 m do seu centro. Sendo assim, o módulo da força
gravitacional que atua nesse corpo, devido à Terra, será
� = � ������
� = 6,67 × 10���N ⋅ m�/kg� �5,98 × 10�� kg� × �5 kg��6.357.000 m��
� = 49,4 N
Perceba que o módulo da força que o corpo de 5 kg aplica sobre a Terra é o mesmo: 49,4 N.
3 A GRAVIDADE PERTO DA SUPERFÍCIE DA TERRA
Considere um certo planeta X, esférico e homogêneo, com massa ! e raio ". Considere que um certo corpo com massa � se encontre ligeiramente acima da
superfície desse planeta (digamos, alguns metros acima do solo). Pela lei da
gravitação universal, a força gravitacional � que o planeta X produz sobre esse corpo tem um módulo igual a:
� = � � !��
onde ! é a massa do planeta e � é a distância do corpo de massa � ao centro do
planeta. Como o corpo está próximo à superfície do planeta, então sua distância ao
centro do planeta é aproximadamente igual ao raio " do planeta, e assim:
� = � � !"� 1.3
Pela segunda lei de Newton, a força � produz uma aceleração #, cujo módulo
é dado por:
$ = �� 1.4
Substituindo a equação 1.4 na equação 1.3, obtemos:
$ = � �!"��
$ = � !"� 1.5
Esse resultado nos mostra que a aceleração que um corpo sofre devido à
força gravitacional (chamada aceleração gravitacional) produzida por um planeta,
próximo à sua superfície, só depende da massa e do raio do planeta. Isso significa
que todos os corpos na superfície de um planeta sofrem a mesma aceleração
gravitacional.
A equação 1.5 pode ser resolvida para qualquer planeta. Para calcularmos a
aceleração gravitacional na superfície da Terra, usamos os valores da massa e do
raio médio da Terra e obtemos:
$ = � !"�
$ = 6,67 × 10���N ⋅ m�/kg� 5,98 × 10�� kg�6.357.000 m��
$ = 9,87 m/s�
O resultado acima é muito próximo ao valor da aceleração gravitacional & medido a nível da superfície terrestre, que é de 9,83 m/s2. As diferenças se devem
ao fato de que a Terra não é uma esfera perfeita e sua massa não é
homogeneamente distribuída no seu interior.
4 O PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO
Assim como a Terra exerce uma força gravitacional sobre nós, também a
Lua, o Sol e todos os corpos celestes o fazem. A intensidade dessa força irá
depender, conforme diz a lei da gravitação universal, das massas dos corpos e das
distâncias que os separam. Sendo assim, a qualquer instante de tempo nosso corpo
sente a atuação de todas essas forças, simultaneamente. Podemos determinar a
força líquida que atua sobre nós através da resultante de todas essas forças, ou
seja, da soma vetorial de todas as forças. Esse princípio geral, que diz que
podemos determinar o efeito líquido de um conjunto de forças pela soma de todas
as forças individuais, chama-se princípio de superposição.
Se um corpo está sujeito a um conjunto de ' forças gravitacionais (��, ��, , �(,... �)), a força gravitacional líquida � sentida pelo corpo será dada por:
� = �* + �, + �- + ⋯ + �/
� = 0 �1/
12*
1.6
Imagine, por um momento, que fosse possível cortar a Terra ao meio,
separando-a em dois hemisférios iguais, e afastá-los um do outro por uma distância
de 1 milímetro. Não perceberíamos, na prática, diferença nenhuma na Terra se a
observássemos do espaço, pois essa separação seria tão pequena a ponto de ser
imperceptível. Agora que a Terra seria composta de duas partes distintas,
perceberíamos alguma diferença na força gravitacional que atua sobre nós? É claro
que não. Isso significa que, se somássemos a força gravitacional aplicada por cada
um dos dois hemisférios da Terra sobre nós, encontraríamos uma força resultante
que corresponde à força líquida que sentimos devido à Terra inteira. Sendo assim,
podemos pensar que a força gravitacional que a Terra aplica sobre nós é a
resultante das forças gravitacionais que cada porção da massa da Terra aplica
individualmente sobre nós. Se dividirmos a Terra em ' porções de massa, cada
uma dessas ' porções de massa aplica sobre nós uma força �), e a resultante dessas forças será
� = 0 �1/
12*
1.7
Mas a Terra é um corpo contínuo: não existe um número definido de porções
de massa que a compõem. Se a dividimos em um conjunto muito grande de
porções de massa, ainda assim cada um desses pedaços pode novamente ser
subdividido. Se a dividirmos em um número arbitrariamente grande de porções de
massa, cada elemento de massa terá uma massa cada vez menor. Conforme nos
aproximamos da situação em que dividimos a Terra em um número infinito de
porções de massa, cada elemento de massa terá uma massa cada vez mais
próxima de zero, ou seja, estaremos dividindo a Terra em elementos infinitesimais
de massa 3�, cada um aplicando sobre nós uma força infinitesimal 3�. A resultante desse número muito grande de forças individuais será a integral sobre todos esses
elementos infinitesimais de força:
� = 4 3� 1.8
A equação acima nos permite calcular a força gravitacional entre quaisquer
corpos extensos. Geralmente esse cálculo só é simples para distribuições simétricas
de massa, no qual podemos expressar 3� em termos da geometria do corpo.
Exemplo 2:
Um astronauta de 70 kg está situado a meio caminho da distância que
separa os centros da Terra da Lua. Se essa distância é de 380.000.000 m e se as
massas da Terra e da Lua são de 5,98×1024 kg e de 7,35×1022 kg respectivamente,
qual a força gravitacional líquida sentida pelo astronauta?
Resolução:
O astronauta está sofrendo uma força gravitacional 56 devida à Terra, cujo módulo é dado por:
�6 = � ������
�6 = 6,67 × 10���N ⋅ m�/kg� �5,98 × 10��kg� × �70 kg��190000000 m��
�6 = 0,77 N
e outra, �L, devida à Lua, cujo módulo é dado por:
�8 = � ������
�8 = 6,67 × 10���N ⋅ m�/kg� �7,35 × 10��kg� × �70 kg��190000000 m��
�8 = 0,095 N
Essas duas forças apontam em sentidos diferentes. Portanto, a força
gravitacional líquida que atua sobre o astronauta terá um módulo � que será igual à diferença entre os módulos das forças gravitacionais devidas à Terra e à Lua:
� = �6 − �8
� = 0,675 N
Ou seja, na metade da distância Terra-Lua, a força gravitacional da Terra
atuando sobre um corpo é muito mais intensa do que a da Lua.
5 ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL
A força gravitacional é uma força conservativa. Isso significa que o trabalho
realizado pela força gravitacional para mover um corpo entre dois pontos quaisquer
não depende do caminho percorrido por esse corpo, mas somente dos pontos inicial
e final do percurso. Como a
força gravitacional é uma
força conservativa, é
possível definir uma energia
potencial associada a essa
força. É o que faremos a
seguir.
Considere duas partículas, de massas � e !, separadas entre si por uma
distância � e em repouso. Se elas estiverem sujeitas somente à força gravitacional
que uma produz sobre a outra, não poderão permanecer em repouso: vão cair uma
em direção à outra. Conforme caem, se tornam cada vez mais velozes. O aumento
da rapidez das partículas está associado a um aumento da energia associada ao seu
movimento: quanto mais velozes, maior energia cinética possuem. Se as
partículas em questão estão aumentando sua energia cinética, de onde vem essa
energia? De alguma forma, essa energia estava “armazenada” no sistema mesmo
quando as partículas estavam em repouso. Essa energia “armazenada” no sistema
é a energia potencial do sistema. Matematicamente, a energia potencial U
armazenada em um sistema de duas partículas vale
: = −� ����� , 1.9
onde �� e �� são as massas das partículas e � é a distância que as separa. Segundo essa definição, a energia potencial gravitacional é sempre negativa. Além
disso, quanto mais distantes estiverem as partículas entre si, maior a energia
Trabalho: de maneira simples, pode-se dizer que o trabalho
realizado por uma força é a energia transferida para (ou pelo)
objeto devido à atuação dessa força. O conceito de trabalho
realizado por uma força é explorado na disciplina de Física I.
potencial gravitacional do
sistema formado pelas
duas partículas. O maior
valor possível para a
energia potencial
gravitacional : é zero, e esse máximo valor ocorre quando � tende a infinito.
6 VELOCIDADE DE ESCAPE
Suponha que você está de pé na superfície da Terra, com um pequeno
objeto nas mãos. Se você jogar esse objeto para cima, ele vai subir até uma certa
altura máxima e retornar, puxado pela força gravitacional terrestre. A altura
máxima que o objeto vai subir depende da velocidade inicial que você fornecer ao
objeto: quanto maior essa velocidade inicial, mais alto irá subir o objeto antes de
retornar.
Durante a subida, o objeto que você lançou se torna cada vez mais lento.
Sendo assim, sua energia cinética é cada vez menor. Por outro lado, quanto mais
distante o objeto estiver da Terra, maior será a energia potencial associada ao
sistema objeto-Terra. Isso significa que, durante a subida, a energia cinética do
objeto se converte em energia potencial gravitacional. A máxima altura atingida
pelo objeto é aquele ponto no qual toda a energia cinética que o objeto possuía no
lançamento se transformou em energia potencial gravitacional armazenada no
sistema objeto-Terra.
Agora, imagine que você lançou o objeto para cima com uma velocidade tão
alta que o objeto, para converter toda sua energia cinética em energia potencial
gravitacional, vai precisar subir uma altura infinita. Nessa situação, o objeto vai
subir indefinidamente, cada vez mais lentamente, mas jamais atingindo de fato o
repouso. Vamos analisar cuidadosamente o que acontece com a energia do corpo
nesse processo:
No instante em que o objeto é lançado, sua energia cinética ; vale:
; = 12 �<�, 1.10
onde < é sua velocidade inicial e � é sua massa. Sua energia potencial : vale:
Energia cinética: a energia cinética ; é uma forma de
energia associada ao movimento dos corpos. Se um corpo de
massa � está se movendo com uma velocidade <, sua energia cinética vale ; = �� �<�. O conceito de energia cinética é explorado na disciplina Física I.
= = −> ?@A ,
em que � é a massa do objeto, ! é a massa da Terra e " é seu raio. Perceba que a energia potencial gravitacional do objeto durante o lançamento não é zero, pois
ele está a uma distância " do centro da Terra. No infinito, o objeto terá convertido toda sua energia cinética em energia
potencial gravitacional. Portanto, sua energia cinética ; será zero. Da mesma
forma, a energia potencial gravitacional : do sistema será zero, já que � é infinito. Portanto, no infinito,
; = 0
: = 0
Se houve total conversão de energia cinética em energia potencial, então, se
somarmos a variação Δ; da energia cinética do objeto com a variação Δ: da energia potencial gravitacional do sistema, vamos obter zero:
Δ; + Δ: = 0 1.11
0 − 12 �<� + C0 − D−� !�" EF = 0
12 <� − � !" = 0 1.12
A equação 1.12 nos permite descobrir qual a velocidade mínima com que
precisamos lançar o objeto para que ele suba indefinidamente, convertendo toda
sua energia cinética em energia potencial somente a uma altura infinita. Para isso,
vamos isolar < na equação 1.12:
12 <� = � !"
< = G2�!"
1.13
Essa velocidade obtida na equação 1.13 é a chamada velocidade de escape,
e corresponde à mínima velocidade necessária para que o objeto lançado escape da
atração gravitacional terrestre. Podemos falar em velocidade de escape para
qualquer planeta ou corpo celeste; por exemplo, existe uma velocidade de escape
para a Lua, para Marte, para Plutão etc.
Perceba que a velocidade de escape só depende da massa e do raio do
planeta. Calculando a velocidade de escape na Terra usando a equação 1.13,
usando os valores da massa e do raio terrestre, obtemos:
< = G2 × �6,67 × 10���N ⋅ m�/kg�� × �5,98 × 10��kg�6.357.000 m
< = 11202 m/s = 11,2 km/s
A velocidade de escape na Terra, portanto, é de 11,2 km/s. Qualquer objeto
lançado com uma
velocidade mais baixa
do que essa irá
eventualmente cair de
volta em sua superfície.
ATIVIDADES
No ano de 2008, a emissora estadunidense ABC lançou uma minissérie de
TV, em dois episódios, intitulada Impact (Impacto, em português). A trama dessa
série gira em torno de uma catástrofe iminente: um fragmento de uma anã marrom
(ver aulas 17 e 18) atinge a Lua, arrancando parte de sua massa, alojando-se no
seu interior e alterando sua órbita. Tal fragmento é duas vezes mais massivo do
que a Terra. Você pode obter mais informações sobre esta minissérie em
http://www.imdb.com/title/tt1227637/. Com base no que você aprendeu nesta
aula, analise os seguintes acontecimentos que ocorreram na minissérie:
1) Os astrônomos demonstraram que a órbita da Lua se tornou instável. No
intervalo de um mês, a Lua se aproxima muito da Terra e se afasta
muito dela, produzindo efeitos gravitacionais gigantescos na superfície
desta. Algumas pessoas chegam a flutuar na superfície terrestre durante
algumas horas em que a Lua está mais próxima de nós. Mais grave do
que isso, verificou-se que a Lua irá colidir com a Terra em 39 dias. Se as
massas da Terra e da Lua são, respectivamente, 7 × 10�� e 6 × 10�� kg (antes da colisão), calcule a distância a que a Lua deveria se aproximar
Atenção: em todos os cálculos que realizamos para obtermos
a velocidade de escape, desconsideramos um aspecto muito
importante da Terra: sua atmosfera. Na prática, um objeto
lançado para cima está sujeito a uma força de arraste devido
ao ar.
da Terra para produzir a levitação das pessoas na superfície desta.
Discuta se existe essa possibilidade.
2) A Lua, exceto pelo pedaço perdido da superfície durante a colisão,
mantém seu formato inalterado. Calcule a intensidade da aceleração
gravitacional na superfície da Lua após a colisão com o fragmento de anã
marrom, sabendo que seu raio é de aproximadamente 1700 km. Discuta
se a manutenção de seu formato é fisicamente admissível.
3) Se a Lua, após colidir com o fragmento, se tornou mais massiva do que a
Terra, calcule a nova posição do centro de massa do sistema Terra-Lua,
sabendo que a distância média entre elas é de 3,7 × 10H km. Avalie, com
base nisso, a afirmação contida na minissérie que a Lua passou a orbitar
em torno da Terra, após a colisão, numa órbita mais curta.
4) A solução encontrada pelos cientistas e pelos governos mundiais para
salvar a Terra foi ejetar o fragmento do interior da Lua, usando um
dispositivo eletromagnético construído na Lua. Se esse dispositivo fosse
acionado, qual corpo seria ejetado, a Lua ou o fragmento?
RESUMO
Nesta aula, você aprendeu:
� Os fundamentos da gravitação newtoniana.
� Os conceitos de energia potencial gravitacional e de velocidade de
escape.
REFERÊNCIAS
MORAIS, Antônio Manuel Alves. Gravitação e cosmologia. São Paulo: Livraria da
Física, 2009.
NUSSENZVEIG, Hersch Moysés. Curso de Física Básica; v.1 – Mecânica. 4.ed.
São Paulo: Blucher, 2002.
AULA 2 – O EXPERIMENTO DE SCHIEHALLION
OBJETIVOS:
Ao final desta aula, o aluno deverá:
� ter se familiarizado com o ferramental matemático envolvido na lei da
gravitação universal;
� ter entendido os princípios e limitações do experimento de Schehallion.
1 INTRODUÇÃO
Em 1774, o astrônomo inglês Nevil Maskelyne conduziu um dos primeiros
experimentos visando medir a densidade da Terra. Seu experimento consistia em
medir a deflexão de um pêndulo nas proximidades de uma montanha, devido à
força gravitacional que a montanha produz sobre o pêndulo. Conhecendo-se a
massa da montanha, acreditava Maskelyne, podia-se determinar a densidade da
Terra. Maskeline realizou o experimento nas proximidades da montanha
Schiehallion, na Escócia – daí o nome do experimento.
Figura 2.1: A montanha Schiehallion, em Perthshire, Escócia. Fonte: en.wikipedia.org/wiki/File:Schiehallion_01.jpg
2 DESCRIÇÃO MATEMÁTICA DO EXPERIMENTO
A figura 2.2 mostra
um pêndulo simples, de
massa �, próximo à
superfície da Terra. Se o
pêndulo está sujeito
somente à força
gravitacional �6 da Terra, e se a Terra for uma esfera de
massa !6 e raio ", o
módulo da força
gravitacional que atua sobre
o pêndulo, de acordo com a
lei da gravitação universal,
vale:
5I = >@?IA,
A figura 2.3 mostra o mesmo pêndulo, porém agora próximo a uma
montanha de massa !J. Se o centro de massa da montanha se encontra a uma
distância 3 do pêndulo, então o módulo da força gravitacional que atua sobre o
pêndulo devido à montanha vale:
Figura 2.2: Um pêndulo em repouso próximo à superfície terrestre.
Nevil Maskelyne: astrônomo
britânico, viveu entre o final
do século XVIII e o início do
século XIX. Seu trabalho mais
importante foi desenvolver
uma metodologia para medir a
densidade da Terra.
Figura 1.2: Nevil Maskelyne. Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Maskelyne_Nevil.jpg
�J = ��!J3�
As massas da montanha e da Terra podem ser expressas em termos do seu
volume e de sua densidade:
!6 = K6L6
!J = KJLJ
Com isso, obtemos:
�6 = ��"� K6L6 2.1
�J = ��3� KJLJ 2.2
Ainda na figura 2.3, vemos que a presença da montanha deflete o pêndulo,
devido à força gravitacional que a montanha aplica sobre o pêndulo. A figura 2.4
mostra uma visão mais detalhada do pêndulo nessa situação. �6 e �J são as forças gravitacionais que atuam sobre o pêndulo devido à Terra e à montanha,
respectivamente, M é a tensão na corda (a força necessária para manter o pêndulo
no lugar) e N é o ângulo de deflexão do pêndulo. Se o pêndulo está parado, então a
Figura 2.3: Um pêndulo em repouso próximo à superfície terrestre, sofrendo os efeitos gravitacionais de uma montanha próxima.
força resultante que atua sobre o pêndulo é zero e, de acordo com a segunda lei de
Newton,
�6 = O cos N 2.3
�J = O sen N 2.4
Usando as equações 2.3 e 2.4, podemos calcular a razão �J/�6:
�J�6 = O sen NO cos N
�J�6 = tan N 2.5
Substituindo na equação 2.5 as equações 2.1 e 2.2, obtemos:
tan N = ��3� KJLJ��"� K6L6
tan N = "�KJLJ3�K6L6 2.6
Reorganizando a equação 2.6, obtemos:
Figura 2.4: Um pêndulo em repouso, sob ação das forças gravitacionais da Terra e da montanha.
K6 = "�LJ3�L6 KJ 1tan N 2.7
Se conhecermos os volumes da Terra e da montanha, e formos capazes de
estimar a densidade da montanha pelo tipo de rocha que a forma, então basta
medirmos o ângulo de deflexão N do pêndulo para determinarmos a densidade da
Terra, usando a equação 2.7.
3 REALIZAÇÃO DO EXPERIMENTO
Você vai agora realizar um cálculo da estimativa da Terra, usando uma
“simulação” do experimento de Schiehallion e os dados da seção 2. Siga os
seguintes passos:
1) Suponha que dados cartográficos mostrem que a montanha Schiehallion
é aproximadamente um cone com 700 m de altura e 2500 m de
diâmetro da base (essa aproximação é bastante grosseira: no
experimento original, foi feita uma análise topográfica bem mais
detalhada). Determine o volume estimado da montanha, usando
geometria espacial.
2) Supondo que a Terra é uma esfera perfeita e que seu raio seja de 6371
km, determine o volume da Terra.
3) Supondo que o pêndulo foi colocado a 1800 m do centro de massa da
montanha e que a deflexão observada foi de 0,0032 graus, e supondo
que geólogos demonstraram que as rochas que compõem a montanha
possuem densidade média de 2500 kg/m3, determine a densidade da
Terra pela equação 2.7.
4) Estimativas modernas indicam que a densidade da Terra é de 5500
kg/m3. Compare com esse valor o que você encontrou, a partir desse
experimento simulado. Se houve discordância entre os valores, analise
quais são as possíveis fontes dessa diferença.
RESUMO
Nesta aula, você viu:
� O experimento de Schiehallion, um dos primeiros experimentos
visando determinar a densidade da Terra.
� Uma aplicação direta da lei da gravitação universal.
REFERÊNCIAS
STILLITTO, RICHARD M. Maskelyne on Schiehallion or one man' s geophysical
year. Disponível em http://www.sillittopages.co.uk/schie/schie57.html. Acesso em:
23 maio 2011.
AULA 3 – AS LEIS DE KEPLER
OBJETIVOS:
Ao final desta aula, o aluno deverá:
� ser capaz de entender as relações entre aspectos orbitais dos planetas em
torno do Sol e dos satélites em torno dos planetas;
� ser capaz de fazer previsões matemáticas simples sobre o movimento dos
corpos celestes.
1 INTRODUÇÃO
Em 1609,
Johannes Kepler
publicou um livro
intitulado Astronomia
Nova, no qual apresenta
um conjunto de leis que
descrevem o movimento
aparente da Lua e dos
planetas no céu.
Analisando dados de
posição de astros
coletados durante décadas
pelo astrônomo dinamarquês Tycho Brahe, Kepler percebeu que o comportamento
dos planetas e da Lua podiam ser descritos por um conjunto de leis matemáticas
bastante simples e universais. As três leis do movimento planetário elaboradas por
Kepler, conhecidas como leis de Kepler, são leis empíricas, ou seja, nasceram da
observação e não embasadas em uma teoria mais fundamental que a sustentava.
Posteriormente, verificou-se que as leis de Kepler são compatíveis com a lei da
gravitação universal e com a mecânica newtoniana. Porém, sua publicação ocorreu
cerca de 80 anos antes da publicação das leis da mecânica e da gravitação
universal por Isaac Newton.
As três leis de Kepler são a lei das órbitas elípticas, a lei das áreas e a lei
dos tempos. Veremos cada uma delas em separado a seguir.
Johannes Kepler: matemático,
astrônomo e astrólogo alemão,
foi um dos maiores cientistas de
todos os tempos. Sua obra
forneceu as bases para a lei da
gravitação universal de Isaac
Newton.
Figura 3.1: Johannes Kepler Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler
2 A LEI DAS ÓRBITAS ELÍPTICAS
Até o início do século XVII, a visão amplamente defendida sobre o
movimento planetário consistia em atribuir a cada planeta (e, ainda, ao Sol e à
Lua) uma esfera de cristal, oca, sobre a qual o corpo celeste estaria, de alguma
forma, conectado. Essas esferas seriam todas concêntricas, e a Terra estaria no
centro delas. O movimento aparente dos astros no céu seria devido, segundo essa
teoria, pela rotação dessas esferas de cristal, que “carregariam” os planetas
consigo em seu giro. De acordo com essa teoria, todos os astros se moviam em
torno da Terra, inclusive o Sol. Além disso, a órbita de todos os corpos celestes em
torno da Terra seriam círculos, com diferentes raios. Esse modelo permitia prever o
movimento dos astros no céu com alguma precisão, mas havia muitas
discrepâncias. Como a localização precisa dos astros no céu era de extrema
importância na época, entre outros motivos pelo auxílio à navegação, era
importante melhorar a qualidade dessas previsões.
Ao longo dos anos, conforme seu trabalho progredia, Kepler percebeu que a
melhoria no poder de previsão da posição dos astros exigia uma nova teoria do
movimento dos astros, na qual as suposições antigas fossem substituídas.
Enquanto analisava a órbita de Marte, planeta para o qual dispunha dos melhores
dados, Kepler percebeu que seu movimento descrevia, em vez de um círculo em
torno da Terra, uma elipse, com o Sol em um dos seus focos. Com isso, Kepler
formulou a primeira das suas leis do movimento planetário:
Primeira lei de Kepler – lei das órbitas: os planetas se movem em
órbitas elípticas, com o Sol em um dos focos.
A figura 3.2 ilustra a órbita de um planeta em torno do Sol, segundo a
primeira lei de Kepler. Note o formato elíptico da órbita e a posição do Sol. Nessa
figura, estão mostrados dois parâmetros importantes da órbita dos planetas: o
semi-eixo maior $ (que corresponde à maior distância que separa o centro da elipse
da periferia da elipse) e o semi-eixo menor V (que corresponde à menor distância
que separa o centro da elipse de sua periferia). Podemos caracterizar o quanto a
órbita de um planeta é “achatada” através da excentricidade W da órbita:
W = G1 − V$
3.1
Pela definição de excentricidade, uma órbita quase circular possui V X $, correspondendo a W = 0; uma órbita muito “achatada” tem V Y $, e então W X 1. Possuindo órbitas elípticas, os planetas apresentam distâncias variáveis em relação
ao Sol. A mínima distância que um planeta assume em relação ao Sol é chamada
periélio; a máxima distância é chamada afélio.
3 A LEI DAS ÁREAS
Além de propor que as órbitas dos planetas em torno do Sol fossem
elípticas, e não circulares, Kepler percebeu que as velocidades dos planetas em sua
órbita não eram constantes: quanto mais próximos do Sol, mais rapidamente os
planetas se movem. Porém, existe um parâmetro orbital que se mantém inalterado
durante o movimento de um planeta: uma reta imaginária que liga o Sol ao planeta
varre sempre a mesma fração da área de sua órbita por unidade de tempo. Essa é
a segunda das leis de Kepler do movimento planetário:
Segunda lei de Kepler – lei das áreas: uma linha que conecta o Sol a um
planeta varre áreas iguais no plano da órbita do planeta em intervalos de tempo
iguais.
A figura 3.3 ilustra a lei das áreas. Os trechos A e B da órbita do planeta são
percorridos durante um mesmo intervalo de tempo. Nessa figura podemos ver que,
Figura 3.2: A primeira lei de Kepler (lei das órbitas) ilustrada para um planeta hipotético em torno do Sol.
embora o planeta tenha percorrido uma distância maior no trecho A, quando se
encontrava mais próximo do Sol, a área varrida pelo seu movimento no trecho A
(em cinza) é igual à área varrida no trecho B.
4 A LEI DOS TEMPOS
Kepler percebeu, finalmente, uma correlação entre o período orbital O de um
planeta – ou seja, o tempo necessário para que o planeta dê uma volta completa
em torno do Sol – com o semi-eixo maior da sua órbita, $: quanto maior o valor de
$, mais tempo o planeta leva para percorrer totalmente sua órbita. Esse resultado
não chega a ser surpreendente pois, quanto maior o semi-eixo maior da órbita de
um planeta, para V fixo, mais extensa deve ser a distância a ser percorrida pelo
planeta e, consequentemente, mais tempo o planeta leva para percorrê-la. No
entanto, Kepler não apenas mostrou a relação matemática exata entre ambos como
mostrou, também, que essa relação vale para qualquer planeta. O enunciado da
terceira lei de Kepler é:
Terceira lei de Kepler – lei dos tempos: o quadrado do período orbital de
um planeta é proporcional ao cubo do semi-eixo maior de sua órbita, sendo a
constante de proporcionalidade igual para todos.
Figura 3.3: A segunda lei de Kepler (lei das áreas) ilustrada para um planeta hipotético em torno do Sol.
A constante de proporcionalidade que aparece na terceira lei de Kepler está
relacionada com a massa do Sol. Matematicamente, a lei dos tempos assume a
forma:
O� = C4Z��!F $( , 3.2
onde ! é a massa do Sol e � é a constante gravitacional. A terceira lei de Kepler, tal como expressa na relação 3.2 e como proposta
por Kepler, contém uma pequena incorreção: de fato, a constante de
proporcionalidade entre o quadrado do período e o cubo do semi-eixo maior não é a
mesma para todos os planetas, pois depende não somente da massa do Sol, mas
da massa combinada do Sol e do planeta em questão. Porém, como a massa do Sol
é muito maior do que a massa de qualquer planeta individual, a expressão 3.2 é
uma excelente aproximação.
As três leis de Kepler permitem descrever o movimento de planetas em
torno do Sol e também dos satélites em torno dos seus respectivos planetas. O
poder de previsão da posição aparente dos astros no céu, após a elaboração dessas
leis por Kepler, sofreu uma melhora significativa. Na aula 4, para ilustrar o poder
das leis de Kepler, vamos verificar a validade das segunda e da terceira leis para
um dos planetas do sistema solar.
ATIVIDADES
Revise o conteúdo da aula de hoje, com atenção. Você precisará dominar
esse conteúdo para a aula 4.
RESUMO
Nesta aula, você viu:
� As três leis de Kepler do movimento planetário.
REFERÊNCIAS
FERRIS, Timothy. Coming of age in the Milky Way perennial ed. New York:
HarperCollins, 2003.
BASSALO, José Maria Filardo. Nascimentos da Física (3500 a.C. – 1900 a.D.)
Belém: EDUFPA, 1996.
MORAIS, Antônio Manuel Alves. Gravitação e cosmologia. São Paulo: Livraria da
Física, 2009.
AULA 4 – LEIS DE KEPLER APLICADAS
OBJETIVOS:
Ao final desta aula prática, o aluno deverá:
� ser capaz de aplicar as leis de Kepler ao movimento de um planeta;
� ter verificado a validade das leis de Kepler para o planeta Marte.
1 INTRODUÇÃO
Johannes Kepler, para desenvolver suas leis do movimento planetário,
utilizou-se de medidas extensivas da posição aparente dos planetas no céu. Quando
iniciarmos o estudo da astronomia esférica, na aula 9, vamos ver alguns métodos
que nos permitem localizar os astros no céu e uns em relação aos outros. Assim,
para verificarmos a validade das leis de Kepler, na aula de hoje, não vamos utilizar
dados de posição aparente dos planetas como as utilizadas por Kepler. Em lugar
disso, vamos utilizar um mapa mostrando a posição do planeta Marte em relação
ao Sol, ao longo de sua órbita, em diferentes datas.
2 DADOS DO PLANETA MARTE
A figura 4.1 mostra a posição do planeta Marte, em sua órbita em torno do
Sol, em treze datas distintas, obtidas a partir do simulador Planetarium. A posição
do planeta está representada por círculos pretos; a posição do Sol está mostrada
como um círculo amarelo. A posição indicada como “1” é a posição de Marte à
meia-noite do dia 1º de janeiro de 2009; todas as posições seguintes
correspondem a intervalos de 56 dias a partir desse ponto.
Sobreposta nas posições de Marte e do Sol na figura 4.1, há uma grade
quadrada. A medida do lado de cada um dos quadrados dessa grade corresponde a
1,37 × 10�[ km.
3 ANÁLISE DOS DADOS
Você vai agora verificar que os dados da posição de Marte, como indicados
na figura 4.1, são compatíveis com as três leis de Kepler. Para isso, siga os
seguintes passos:
1) Verifique qualitativamente a primeira lei de Kepler:
a. Meça a distância entre Marte e o Sol, em quilômetros, para cada
uma das posições mostradas no diagrama acima. Para isso, use
as distâncias horizontais e verticais entre o Sol e Marte, usando a
grade, e aplique o teorema de Pitágoras.
b. Verifique que a distância entre Marte e o Sol muda ao longo do
tempo, e que existe uma região da órbita em que Marte está
sistematicamente mais próximo do Sol e outra, em que Marte
está sistematicamente mais distante.
Figura 4.1: Posições do planeta Marte em sua órbita, em diferentes datas.
c. Faça uma estimativa (e marque sobre o diagrama) do ponto em
que Marte e o Sol estão mais próximos entre si. Esse ponto é
chamado periélio. Estime também o ponto em que ambos estão
mais distantes. Esse ponto é chamado afélio. O periélio e o afélio
devem se situar em posições opostas na figura.
d. Meça a distância entre o ponto de periélio e o ponto de afélio,
usando a grade. A metade dessa distância é o semi-eixo maior $ da órbita de Marte. Calcule esse valor.
e. Meça a largura da órbita de Marte perpendicularmente à linha que
une o periélio e o afélio. A metade dessa distância é o semi-eixo
menor V da órbita de Marte. Calcule esse valor. f. Verifique que $ e V não são iguais. Com isso, você mostra que a
órbita de Marte não é circular. A existência de um ponto de
máxima aproximação entre Marte e o Sol (periélio), juntamente
com a informação de que a órbita de Marte não é circular, é
incompatível com uma órbita circular cujo Sol ocupe seu centro,
mas plenamente compatível com uma órbita elíptica, com o Sol
ocupando um dos focos.
2) Verifique quantitativamente a segunda lei de Kepler:
a. Tome os dois pontos da órbita de Marte mais próximos do afélio.
Trace uma linha desde o Sol até cada um desses pontos. Meça a
área varrida pela órbita de Marte durante seu deslocamento entre
esses dois pontos, contando o número aproximado de quadrados
englobados por essas retas. Represente essa área pela letra A.
b. Tome os dois pontos da órbita de Marte mais próximos do
periélio. Meça a área varrida pela órbita de Marte durante seu
deslocamento entre esses dois pontos, da mesma forma como no
item acima. Represente essa área pela letra B.
c. Verifique que os pontos do afélio são mais próximos entre si do
que os pontos do periélio. Com isso, demonstra-se que a
velocidade orbital de Marte é maior quanto mais próximo do Sol
ele se encontra.
d. Verifique que A e B são semelhantes. Com isso, demonstra-se que
a lei das áreas se aplica a esses dados.
3) Verifique quantitativamente a terceira lei de Kepler:
a. Faça uma estimativa do período orbital O de Marte, utilizando os dados da figura 4.1, lembrando que os pontos estão separados no
tempo por 56 dias.
b. Sabendo que a massa do Sol é de aproximadamente 2 × 10([ kg e que � = 6,67 × 10��� N⋅m2/kg2 e, usando o valor do semi-eixo maior
de Marte obtido no item (1), calcule o valor de O previsto pela equação 3.1.
c. Compare o valor que você estimou para O com o valor obtido
usando a equação 3.1. Verifique que os valores são semelhantes,
o que demonstra a validade da terceira lei de Kepler para esses
dados.
RESUMO
Nesta aula, você viu:
� Uma aplicação das leis de Kepler do movimento planetário.
� A verificação de que o movimento do planeta Marte é compatível com
as leis de Kepler.