Grandezas e Medidas

Professora Ms. Carolina França

Professor Ms. Fabio Menezes

Professor Doutor Leo Akio Yokoyama

O que é grandeza?

• É a característica física que pode ser qualitativamente distinguida e quantitativamente determinada (pode ser expresso por um número).

• Exemplos:– Tempo é diferente de

– Comprimento

– Volume

– Massa

– Velocidade

– área

O que é medir? O que é medida? O que medimos? Como?

• O que é medir?

– É a ação de comparar.

• Comparar o que?

– Comparar medidas de mesma grandeza

• Como fazer isso?

– É necessário eleger-se uma unidade padrão.

• O que é medida?

– É a noção de tamanho de uma grandeza

Vídeos

• O Metro: Ep01 – 12:45, 18:10, 26:27, 42:50, 54:53

• O Quilo: Ep02 – 19:00, 25:26, 39:55

A ideia de Grandezas e Medidas

GRANDEZA UNIDADE DE MEDIDA INSTRUMENTOS USADOS

Comprimento Metro, polegada, jardas,... Régua, fita métrica, trena,

Tempo Dia, segundo Cronômetro, ampulheta, Relógio de água, Relógio de Sol

Massa Quilograma, arroba Balança de 2 pratos, balança de água

Volume Litro, metro cúbico Recipientes com marcações

Área Metro quadrado Trena, régua

Ângulo Graus, radiano Transferidor

Temperatura Graus Celsius, Kelvin Termômetro

Por onde iniciar o trabalho com a noção de medidas?

Por meio da vivência de experiências relatadas por expressões tais como: “é perto”, “está muito quente”, “é alto”, “está pesado”, etc., em que está embutida a ideia de comparação, mas ainda não aparece a unidade de medida.

(LORENZATO, 2008)

Por onde iniciar o trabalho com a noção de medidas?

GRANDEZA Primeiras noções Atividades

Comprimento Mais alto, mais longe, maior, menor Colocar em ordem crianças, barras de cuisinaire.

Tempo Ontem, hoje, amanhã, Manhã, tarde, noiteAntes, depois, agoraDaqui 10 minutos, Ficaremos meia hora

Calendário, cronograma do dia, observação do relógio de ponteiro.

Massa Mais pesado, mais leve Balança de 2 pratos, balança de garrafa pet

Volume Onde cabe mais? 2 caixas de capacidades diferentes. Experimento Piaget

Ângulo Uma volta, meia volta, 90º graus Encontrar 90º no ambiente

Temperatura Mais frio, mais quente Balde de água fria, balde de água morna, balde de temperatura ambiente.

Comprimento: Comparação de altura

Massa: Balança de 2 pratos

Qual a relação entre grandeza e medida?

• Medir é uma atividade mais comum do que parece. Ao olhar no relógio, por exemplo, o que se vê no mostrador é o resultado de uma medição de tempo. Ao comprar um quilograma de carne no açougue ou abastecer o carro no posto de gasolina, também se está fazendo medições.

• Existe uma variedade de coisas diferentes que podem ser medidas sob vários aspectos. Por exemplo, imagine uma lata, dessas que são usadas para refrigerante. É possível medir a sua altura (grandeza comprimento), medir o quanto ela "pesa" (grandeza massa) e pode-se ainda medir quanto líquido ela pode comportar (grandeza volume). Cada um desses aspectos implica numa grandeza física diferente.

Nós medimos grandezas!• Para determinar o valor numérico de uma grandeza, é

necessário que se disponha de outra grandeza de mesmanatureza, definida e adotada por acordo, para fazer acomparação com a primeira.

• Para saber a altura daquela lata, por exemplo, é precisoadotar um comprimento definido para ser usado comounidade de medida. Para o comprimento, a unidade demedida definida pelo Sistema Internacional de Unidades –SI, é o Metro, seus múltiplos e submúltiplos.

• O Metro é definido como sendo o comprimento do trajetopercorrido pela luz no vácuo, durante um intervalo detempo de 1/299.792.458 de segundo.

Outras atividades• Comparar medidas, conhecer instrumentos

• Mostrar a história da matemática, as diversas unidades de medida que já foram utilizadas pelo homem e mostrar a necessidade de uma unidade de medida.

• Comparar a unidade de medida eleita, ou seja, medir! Medir objetos da sala, fora dela. Noção de comprimento na sala, na quadra, na rua, entre estados, entre países.

• Relacionar com conceito de divisão com a pergunta: Quantas vezes cabe?

• Expressar numericamente a comparação.

Atividade Tempo

• Feche os olhos e conte 10 segundos.

• Quando terminar abra os olhos e levante e mão.

Tempo: Relógio de Ponteiro

Tempo: Cronograma do dia

Tempo: Cronograma do dia

Tempo: Ano, mês, semana

Tempo: dia, semana, ano, vida

Atividade: Comprimento

• Cada grupo irá medir o comprimento e a largura de sua mesa utilizando:

– Um lápis;

– O palmo da mão.

• Registrem os resultados das medições.

COMPRIMENTO

• 1) Comparar medidas de comprimento no“olhômetro”– Fila de alunos

– Tamanho do sapato (Vídeo Número do sapato)

– Conhecendo a fita métrica (Vídeo Fita métrica)

• 2) Situação problema para descobrir um padrãode medida– Medir as carteiras com lápis

– fitas métricas (Vídeo medidas de uma toalha)

• 3) Discussões e conclusões

Um é maior que o outro, certo?

Atividade: Área

• Cada grupo irá fazer o seu próprio metro quadrado com jornal, fita crepe, fita métrica e tesoura.

• Estimar a área de uma parte do corredor.

• Estimem qual o máximo de pessoas nessa área do corredor.

Área

• Medida de quanto uma figura plana ocupa o espaço bidimensional

• Unidade de medida:

– Quadrado!

• Atividade: com quadrados de 10 cm de lado, estimar a área da carteira.

• Quantos desses quadrados cabem na carteira?

Vídeo Matemática em Toda Parte II

• Área pelo volume: 2:06

Volume: O LITRO

• Um cubo de 1 decímetro (10 cm) de aresta.

• Define-se assim 1 litro!

• Unidades de medida: mL, L

• Brincadeira: “Tomar vitamina na seringa”

– Com uma seringa de 5 mL, retirar líquido de algum recipiente até a criança atingir 5 mL. (Fiz com Alice)

Quais grandezas são observadas?

Quais grandezas são observadas?

Volume: Vídeo Alice

Massa: O QUILO

• 1 Litro de água desmineralizada no nível do mar;

• temperatura de 4 °C (momento em que a água atinge a sua densidade máxima)

• será redefinida pela Conferência Geral sobre Pesos e Medidas (CGPM) em novembro de 2018!

• Unidades de medida: mg, g, kg

Vídeos:

• Volume e massa nos rótulos

• Medindo objetos estáticos

TEMPO• Milésimos de segundo: base 10• Segundo: Unidade do Sistema Internacional• Minutos: base 60 (seg)• Horas: base 60 (min)• Dias: base 24 (dia 12, noite 12)• Semanas: base 7 (dias)• Meses: base 30 (dias), 4 (semanas)• Bimestres: base 2 (meses)• Trimestres: base 3 (meses)• Semestres: base 6 (meses)• Anos: base 12 (meses)• Décadas: base 10 (anos)• Séculos: base 100 (anos)• Milênios: base 1000 (anos)• Bilhões de anos:

Desafio dos pesos

• Crie pesinhos de pelo menos 1 kg, todos com pesos diferentes, de forma que você consiga pesar objetos de 1 kg até 31 kg.

• Vamos ver qual grupo consegue a menor quantidade de pesinhos.

• Exemplos: – Objeto de 3 kg, poderia ser pesado com 1 e 2 kg.

– Objeto de 4 kg, poderia ser pesado com peso de 4

– Objeto de 5 kg, poderia ser pesado com 4 e 1 kg.

Estimar comprimentos

Comparar massas

Comparar massas

Probabilidade“Probabilidade...

Ah, que maravilha!As chances estão aí

Definidas pela NaturezaCalculadas pelos homens.Dos jogos à física quântica

Quer desvendá-la?Observe!”

Leo Akio Yokoyama

Jogo “injusto” de dados

• Material: 1 dado

• Regras:– A professora elege 3 alunos para escolherem números

de 1 a 6.

– Feita a escolha de cada um dos alunos, a professora mais outras 2 pessoas ficam com os 3 números restantes.

– Joga-se o dado e marca-se um ponto correspondente à pessoa ou ao grupo, para cada número que sai.

– Vence quem chegar a 5 pontos.

Jogo “injusto” de dados

• Objetivos:

– 1) Fazer os alunos perceberem o jogo injusto

– 2) Justificar por que o jogo é injusto. É possível que eles justifiquem comparando as chances de cada um.

– 3) Como quantificar essa maior chance do grupo?

Jogo: Corrida de cavalosCavalo Premiação

1 R$ 100,00

2 R$ 50,00

3 R$ 20,00

4 R$ 1,00

5 R$ 0,10

6 Abraço

7 Aperto de mão

8 Abraço

9 R$ 0,10

10 R$ 1,00

11 R$ 20,00

12 R$ 50,00

13 R$ 100,00

Jogo: Corrida de cavalos

• Material: 2 dados para cada grupo de alunos, folha impressa

• Regras: – Há 13 cavalos numerados de 1 a 13;

– Cada aluno irá apostar em um único cavalo, a partir da tabela de premiação;

– Jogam-se os 2 dados (qualquer aluno);

– O cavalo que avança é o de número igual à soma dos dados.

– Vence aquele cavalo que chegar à Reta Final

Jogo: Corrida de cavalos

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

RETA FINAL

Jogo: Corrida de cavalos

Comparação de Probabilidades

• Cite eventos que tem probabilidade 0. Ou seja, um evento impossível.

• Cite eventos que tem probabilidade 1 ou 100% de chance de ocorrer. Ou seja, um evento certo.

Comparação de Probabilidades

• Cite eventos que tem probabilidade próxima de 50%?

• Cite eventos que tem probabilidade abaixo de 30%? Ou seja, pouco provável?

• Cite eventos que tem probabilidade acima de 70%? Ou seja, muito provável?

Jogo “não justo”

• Três alunos escolhem entre as cores: amarela,vermelha e azul.

• Em seguida a professora mostra a roleta.

• Gira-se a roleta várias vezes até algum aluno chegar a10 pontos.

• O que farão os alunos?

Gráfico relacionado ao experimento

• Observando a roleta, qual gráfico poderia melhorrepresentar o que se espera em termos deresultado?

Atividade EMAIS

Experimento: Cara ou Coroa

• Pegue uma moeda, papel e lápis

• Dobre ao meio o papel;

• Em um dos lados, crie uma sequência aleatória de caras e coroas em um papel.

• Jogue a moeda 20 vezes e, no outro lado, anote a sequência de caras e coroas que saíram.

• “A aleatoriedade não vê passado.” (Leo Akio)

Jogo: Purrinha

• Material: Palitos de fósforo

• Regras:– Em duplas, cada aluno fica com 3 palitos.

– Escolhe-se uma ordem de fala. Cada aluno escolhe se coloca 0, 1, 2 ou 3 palitos na mão fechada.

– Cada aluno “chuta” a soma dos palitos das mãos (sua e do adversário).

– Quem acerta retira 1 palito dos seus.

– Vence quem ficar sem palitos.

Situação de Comparação de probabilidades

• Digamos que a criança prefira bala de morango à bala de menta.

• Em um saco A há 5 balas de morango e 4 de menta. Em outro saco B há 5 balas de menta e 4 de morango.

• Ela só pode pegar 1 bala em um dos sacos.

• Qual saco ela escolhe para pegar 1 bala?

Situação de Comparação de probabilidades

• A Caixa 1 tem 2 fichas pretas e 4 fichasbrancas. A Caixa 2 tem uma ficha preta e 2fichas brancas. Retira-se uma ficha de cadacaixa. De que caixa é mais provável obter umaficha branca?

Situação do cotidiano escolar

• Sorteando-se o ajudante do dia: Antes do sorteio,pergunta-se que criança tem mais chance de sersorteada.

• Retira-se então o papel com o nome da criançasorteada, colocando o papel com seu nome em outrolocal. No outro dia, faz-se novamente o sorteio.Pergunta-se então à sala se é possível sair o nome docolega do dia anterior. As crianças devem perceber quecomo o papel não está mais no saco, é impossível queele seja sorteado.

• No dia do aniversário da criança, pode-se colocar doisou mais papeis com o seu nome dentro do saco eassim, perguntar se ela tem a mesma chance de sersorteada em relação às demais.

Curiosidade: Paradoxo?

• Você acha que a probabilidade de ter duas pessoasque fazem aniversário no mesmo dia, aqui nesta sala,é grande, média ou pequena?

• A partir de 23 pessoas, a probabilidade de ter 2pessoas na mesma sala que fazem aniversário nomesmo dia é maior que 50%.

Estatística“O raciocínio estatístico será um dia tão necessário à cidadania

eficaz como a capacidade de ler e escrever”. (H.G.Wells)

ESTATÍSTICA

“O raciocínio estatístico será um dia tão necessário à cidadania eficaz como a

capacidade de ler e escrever”. (H.G.Wells)

Coleta de dados• Em qualquer nível de ensino e, em especial, nos Anos

Iniciais e na Educação Infantil, o tema para um projeto deinvestigação estatística deve ser algo relevante, quedesperte o interesse e tenha significado para os alunos.

• Um possível tema tem como objetivo recolher opiniões dosalunos sobre a merenda a eles oferecida.

• Responda a pergunta: “O que você acha da merenda?”• Marque uma das alternativas representadas por símbolos,

conforme mostra a figura:

• As “carinhas” significavam, respectivamente, merenda boa,merenda ruim, merenda ótima.

Coleta de dados: crianças leitoras

• Fonte: O ENSINO DE ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE NA EDUCAÇÃO BÁSICA: ATIVIDADES E PROJETOS GERADOS A PARTIR DE PESQUISAS DE MESTRADOPROFISSIONAL

• ANTONIO CARLOS DE SOUZA*LEANDRO DE OLIVEIRA SOUZA**LUZINETE DE OLIVEIRA MENDONÇA***CELI ESPASANDIN LOPES****

Coleta de dados: crianças não leitoras

• Fonte: O ENSINO DE ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE NA EDUCAÇÃO BÁSICA: ATIVIDADES E PROJETOS GERADOS A PARTIR DE PESQUISAS DE MESTRADOPROFISSIONAL

• ANTONIO CARLOS DE SOUZA*LEANDRO DE OLIVEIRA SOUZA**LUZINETE DE OLIVEIRA MENDONÇA***CELI ESPASANDIN LOPES****

Criação de gráficos

Criação de gráficos

Importância da apresentação de gráficos

• É fundamental que haja muito cuidado na apresentação dos dados, tanto na forma de gráficos, quanto de tabelas. Além disso, deve-se fazer uma interpretação criteriosa daquilo que é apresentado.

Tipos de gráficos: Pizza ou setores

Tipos de gráficos: Pizza

Tipos de gráficos: Pizza

Tipos de gráficos: Pizza

Tipos de gráficos: Pizza

Tipos de gráficos: Linha

Importância da interpretação de gráficos

• Para interpretar um gráfico é fundamental que se analise a informação numérica proposta nele para não se deixar enganar por sua aparência geral. Os gráficos podem ser usados para evidenciar ou ocultar a origem e validade das informações.

Elementos de um gráfico• Título, cabeçalho, corpo, fonte.

• No título é preciso informar a época à qual serefere, o local onde ocorreu o evento e ofenômeno que é descrito.

• No cabeçalho especifica-se o conteúdo dascolunas, ou seja, os descritores.

• No corpo são apresentadas as informações.

• A fonte indica a pessoa ou entidade responsávelpelo levantamento dos dados.

Texto

• “COMO MENTIR COM ESTATÍSTICAS”

• Por DARREL HUFF

• Ilustrado por Irving Geis

• Capítulo 5: Gráficos Malucos

Gráficos enganosos

A estatística a serviço do ...

Eixo y (vertical) truncado

• No lado esquerdo, restringimos o eixo y na faixa de 3,140% a 3,154%. Dessa forma, parece que as taxas de juros estão subindo rapidamente! À primeira vista, o tamanho das barras significam que as taxas em 2012 são várias vezes superiores às de 2008. Mas ao exibir os dados com um eixo-y começando em zero conta uma história mais precisa, onde as taxas de juros estão praticamente estáticas.

Este gráfico da Globo News foi além: colocou um eixo y começando em 4% sem deixar isso claro, e ainda errou a última

barra, fazendo 5,91% parecer maior que 6,50%.

Gráficos cumulativos

• Muitas pessoas optam por criar gráficoscumulativos usando dados como número deusuários, receita, downloads ou outrasmétricas importantes. Por exemplo, em vez demostrar um gráfico da receita trimestral, aempresa pode optar pela receita acumuladaaté hoje. Seria algo assim:

Não dá para tirar muita informação deste gráfico. Ele se move para cima e para a direita, então tudo deve estar indo bem!

Mas o gráfico não-cumulativo mostra um cenário diferente...Agora as coisas estão muito mais claras. As receitas diminuíram ao longo dos últimos

dez anos! Se examinarmos o gráfico cumulativo, é possível dizer que a inclinação diminui à medida que o tempo passa, indicando que a receita caiu. No entanto, isto

não é imediatamente óbvio, e o gráfico é extremamente enganoso.

Há muitos casos reais de gráficos cumulativos que fazem uma situação parecer muito mais positiva do que é. Um exemplo proeminente é este gráfico cumulativo da Apple

com as vendas do iPhone. O Quartz fez uma versão mais sincera, mostrando as vendas em cada trimestre, que caem após o lançamento de cada iPhone:

Gráficos diferentes

Gráficos diferentes

Gráficos diferentes

Gráficos diferentes

Gráficos diferentes

Gráficos diferentes

Gráficos diferentes

Gráficos diferentes

Gráficos diferentes

Gráficos diferentes

Gráficos diferentes

Gráficos engraçados

Gráficos engraçados

Gráficos engraçados

Gráficos engraçados

Gráficos engraçados

Gráficos engraçados

Gráficos engraçados

Gráficos engraçados

Gráficos engraçados

Gráficos engraçados

Gráficos engraçados

Gráficos engraçados

Gráficos engraçados

Gráficos engraçados

Gráficos engraçados

Humor Estatístico

Humor Estatístico

Humor Estatístico

ÁLGEBRA

O que é Álgebra?

De origem árabe (al-jabr), também possui comosignificado: “ciência que generaliza as questõesnuméricas calculando as grandezasrepresentadas por letras.”

O que é Álgebra?

“... um processo no qual os alunos generalizamideias matemáticas de um conjunto particularde exemplos, estabelecem generalizações pormeio do discurso de argumentação, eexpressam-nas, cada vez mais, em caminhosformais e apropriados à sua idade”

BLANTON, M.; KAPUT, J. Characterizing a classroom practice thatpromotes algebraic reasoning. Journal for Research in MathematicsEducation, Boston, v. 36, n. 5, p. 412–446, 2005.

Álgebra na Ed. Inf. e Anos Iniciais

• Pensamento funcional: Percepção de

• Ordem, padrões, sequências, regularidade, regras de formação, generalização.

• Pensamento relacional (equivalências)

• A+B = B+A? axb = bxa? A-B=B-A? A:B=B:A?

• operação com incógnitas;

O que se trabalha em Álgebra?

• operação com incógnitas;

• pensamento com variáveis e suas relações;

• estruturas algébricas.

CARRAHER, D. W.; SCHLIEMANN, A. D. In: LERMAN, S. Encyclopedia of

Mathematics Education. New York: Springer, 2014. p. 193-196.

O que se trabalha em Álgebra?

• ...estabelece relações/comparações entre expressões numéricas ou padrões geométricos;

• percebe e tenta expressar as estruturas aritméticas de uma situação-problema;

• produz mais de um modelo aritmético para uma mesma situação-problema; ou, reciprocamente, produz vários significados para uma mesma expressão numérica;

• interpreta uma igualdade como equivalência entre duas grandezas ou entre duas expressões numéricas;

• transforma uma expressão aritmética em outra mais simples; • desenvolve algum tipo de processo de generalização; • percebe e tenta expressar regularidades ou invarianças; • desenvolve/cria uma linguagem mais concisa ou sincopada ao

expressar-se matematicamente...FIORENTINI, D.; FERNANDES, F. L. P.; CRISTOVÃO, E. M. Um estudo das potencialidades pedagógicas dasinvestigações matemáticas no desenvolvimento do pensamento algébrico. In: SEMINÁRIO LUSO-BRASILEIRO DE INVESTIGAÇÕES MATEMÁTICAS NO CURRÍCULO, 2005

Diante de um padrão geométrico, numérico, etc

• Como se dá esse padrão?

• 1) Identificar o padrão

• 2) Determinar o que gera o padrão

• 3) Tentar reproduzir o padrão

• 4) Qual a lógica por trás do padrão?

Reta numérica

• Existe algum padrão?

• Quais?

– Numérico, geométrico?

• Como se dá esse padrão?

Articulação com a Geometria

• A tabuada tem uma regularidade?

• Qual?

• Como deixar claro para o estudante?

– Vídeo tábua de waldorf

Observe

• Há um padrão?

• Qual?

• Qual o próximo?

Sequência

Sequência

Sequência

Sequência

Sequência gráfica

Sequência gráfica

Sequência gráfica

Sequência gráfica

Sequência gráfica

Sequência gráfica

• As sequências gráficas que incorporam tanto noções geométricas como numéricas sãomuito ricas para o trabalho em sala de aula.

Sequência gráfica

• E agora? Qual a 6ª figura?

• E a 7ª?

Sequência gráfica

• Possibilidades para a 7ª figura:

Aproveitando as festas juninas

Referência:

• Borba e Guimarães (Org). Pesquisa eAtividades para o aprendizado matemáticona Educação Infantil e nos Anos Iniciais doEnsino Fundamental. Coleção SBEM, v. 8,2015

Sequência com Música

• C Om J P J P

• C Om J P J P

• OL Ou B N

• C Om J P J P

Sequência com Música

• 1 elefante incomoda muita gente• 2 elefantes incomodam (2x) muito mais• 3 elefantes incomodam muita gente• 4 elefantes incomodam (4x) muito mais• 5 elefantes incomodam muita gente...• ...• 10 elefantes incomodam muita gente• 9 elefantes incomodam (9x) muito menos• 8 elefantes incomodam muita gente• 7 elefantes incomodam (7x) muito menos

Sequência com Música

• Mariana conta 1, Mariana conta 1 é 1 é

• Ana, viva Mariana

• Mariana conta 2, Mariana conta 2 é 1 é 2 é

• Ana, viva Mariana

• ...

• Mariana conta 10, Mariana conta 10 é 1 é 2 é 3 é 4 é 5 é 6 é 7 é 8 é 9 é 10 é

• Ana, viva Mariana

Sequência com Música

• SS BB SS VV

• S B S V

• S B V

Legenda

• S = Soco

• B = Bate

• V = Vira

Sequência com Música

• Boneca de Lata• Minha boneca de lata bateu a cabeça no chão...• levou mais de uma hora pra fazer a arrumação• Desamassa aqui, pra ficar boa...

• Minha boneca de lata bateu o ombro no chão...• Levou mais de duas horas pra fazer a arrumação• Desamassa aqui, desamassa ali, pra ficar boa...

• Minha boneca de lata bateu a mão lá no chão...• Levou mais de três horas pra fazer a arrumação• Desamassa aqui, desamassa ali, desamassa aqui pra ficar boa...

• Costas,, bumbum, joelhos,...

Mágica das Cartas

• 4 Damas

• 4 Ases

• 4 Reis

• 4 Valetes

• História do Hotel de 4 quartos. Cada quartotinha 1 dama, 1 Ás, 1 rei e 1 valete. Mágico mistura as cartas de forma a alocar todos com seus pares.

Mágica das Cartas 2

• Dado um grupo de cartas, um participante escolhe uma carta aleatória.

• O mágico descobrirá a carta!