Gerência Financeira das Reservas Técnicas

Fonteira Eficiente

Definição

É o segmento, na linha de combinação, constituído por todas as carteiras de investimentos atraentes para um investidor racional, ou seja, aquele que avalia a relação risco/retorno em suas decisões.

De outro modo, na fronteira eficiente, é possível selecionar uma carteira que apresenta, para um dado nível de risco, o maior retorno possível.

As alternativas de investimento que atendem a essa orientação foram denominadas por Markowitz de eficientes.

A escolha da melhor carteira é determinada pela postura do investidor em relação ao dilema risco/retorno presente na avaliação de investimentos.

Exemplo Considere uma carteira composta por duas

ações A e B com os seguintes dados: Retorno esperado dos retornos da ação A: 20% Retorno esperado dos retornos da ação B: 12% Desvio-padrão dos retornos da ação A: 36% Desvio-padrão dos retornos da ação B: 22% Correlação entre os retornos das ações A e B:

0,20

%A %B retorno C risco C0,00 1,00 12,00% 22,00%0,10 0,90 12,80% 20,82%0,15 0,85 13,20% 20,48%0,20 0,80 13,60% 20,30%

0,2225 0,7775 13,78% 20,29%0,25 0,75 14,00% 20,31%0,30 0,70 14,40% 20,50%0,45 0,55 15,60% 22,07%0,50 0,50 16,00% 22,90%0,75 0,25 18,00% 28,61%0,90 0,10 19,20% 32,91%1,00 0,00 20,00% 36,00%

carteira de var. mín. 22,25% 77,75% 13,78% 20,29%

Linha de Combinação

20,29%

0%

5%

10%

15%

20%

25%

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40%

Risco (desvio-padrão) da carteira

Ret

orn

o e

sper

ado

da

cart

eira

Considerações para carteiras com mais de dois ativos Quando temos mais de dois ativos,

podemos formar carteiras com combinações de apenas 1 ativo, de 2 ativos, ..., de (n-1) ativos e de n ativos.

Para cada uma delas, pode-se ainda alocar diferentes proporções, de modo que teremos uma infinidade de carteiras possíveis.

Neste caso, a fronteira eficiente será descrita pelo segmento MN a seguir:

Considerações para carteiras com mais de dois ativos

**

**

*

*

*

*

* M

* N

Desvio-padrão dos retornos

Retorno esperado

Considerações para carteiras com mais de dois ativos As preferências de dois investidores A e

B diante de carteiras dispostas na fronteira eficiente são dadas por suas respectivas curvas de indiferença.

As curvas de indiferença refletem as diferentes posturas perante o risco.

Considerações para carteiras com mais de dois ativos

**

**

*

*

*

*

* M

* N

Desvio-padrão dos retornos

Retorno esperado

**

Investidor B

Investidor A

Considerações para carteiras com mais de dois ativos Neste exemplo, diante do mesmo

conjunto de oportunidades, o investidor A seleciona uma carteira de ativos de menor risco que B.

Assim, como A tem maior aversão ao risco, o retorno prometido para A é menor que o esperado por B.

Considerações para carteiras com mais de dois ativos Na prática, o cálculo da fronteira eficiente

neste caso é realizado por meio de softwares financeiros.

Podemos obter uma carteira da fronteira eficiente para um dado retorno esperado por meio dos seguintes métodos:

Multiplicadores de Lagrange Solver (excel)

Considerações para carteiras com mais de dois ativos Para o exemplo abaixo, calcule o risco

da carteira da fronteira eficiente sabendo que a taxa de retorno esperada para esta carteira é de 6%:

Estados da natureza

Probabilidade

Ação A Ação B Ação C

Favorável 0,25 12,59%

17,23% 18,22%

Estável 0,50 0,38% 1,04% 4,60%

Desfavorável 0,25 -8,66%

-11,57%

-13,18%

Considerações para carteiras com mais de dois ativos Multiplicadores de Lagrange

Função objetivo (função a ser minimizada)

Restrições

Substituindo por , vem:

3,2323,1312,12123

23

22

22

21

21

2 222 WWWWWWWWWc

3

1

3

1

1

)()(

ii

iiic

W

REWRE

3,22123,12112,12123

221

22

22

21

21

2 )1(2)1(22)1( WWWWWWWWWWWWc

)1( 21 WW 3W

Considerações para carteiras com mais de dois ativos Multiplicadores de Lagrange

Logo, temos:

Devemos derivar as funções f e g em relação às variáveis X1 e X2:

)()(),(),(3

121

221 i

iicc REXREXXgeXXf

)()(

)()(

22)(2)2(2

22)(2)2(2

322

311

233,23,23,12,1

2313,2

23

222

2

233,13,23,12,1

2323,1

23

211

1

REREW

g

REREW

g

WWW

f

WWW

f

Considerações para carteiras com mais de dois ativos Multiplicadores de Lagrange

Assim, para minimizar f, devemos resolver o sistema abaixo:

0)()()()()()(

0))()((22)(2)2(2

0))()((22)(2)2(2

323132211

32233,23,23,12,1

2313,2

23

222

31233,13,23,12,1

2323,1

23

211

REWREWREREWREWRE

REREWW

REREWW

c

Considerações para carteiras com mais de dois ativos Multiplicadores de Lagrange

Achando os valores para o exemplo:

Estados da natureza Probabilidade Ação A Ação B Ação CFavorável 0,25 12,59% 17,23% 18,22%Estável 0,50 0,38% 1,04% 4,60%Desfavorável 0,25 -8,66% -11,57% -13,18%

Retorno Médio 1,17% 1,94% 3,56%Variância 0,0057 0,0104 0,0124Desvio-padrão 7,55% 10,22% 11,15%

Matriz de covariânciaAção A Ação B Ação C

Ação A 0,00571 0,00772 0,00826Ação B 0,00772 0,01045 0,01121Ação C 0,00826 0,01121 0,01243

Considerações para carteiras com mais de dois ativos Multiplicadores de Lagrange

Montando o sistema sujeito à restrição de uma taxa de retorno de 6% e resolvendo-o, temos:

A variância da carteira é 0,0076 e o risco (desvio-padrão), 8,7%

%43535,4

%73232,7

%39797,3

229266,0

0244,00163,00239,0

0024,00163,00009,00014,0

0083,00239,00014,00032,0

3

2

1

21

21

21

ouW

ouW

ouW

WW

WW

WW

Considerações para carteiras com mais de dois ativos Solver

Considerações para carteiras com mais de dois ativos Solver

No campo “Definir célula de destino”, escolher a célula onde consta a fórmula a ser minimizada.

No campo “Células variáveis”, escolher as células onde constam as posições investidas em cada ativo (W1 e W2).

No campo de restriçoes, deve-se colocar a restrição inicial do problema que era de o retorno esperado ser 6%.

Considerações para carteiras com mais de dois ativos

Solver Para estes valores, foi encontrado:

W1 3,97  

W2 -7,34  

W3 4,37  

retorno da carteira 0,059999984 0,06

variância da carteira 0,007625247  

Considerações para carteiras com mais de dois ativos

Podemos ainda resolver este problema utilizando a restrição sem venda a descoberto, o que implica que cada Wi deve ser maior ou igual a zero.

Neste caso, uma solução analítica é mais complexa, pois precisaremos de programação matemática para resolução do problema.

Para este mesmo problema, utilize a ferramenta solver do excel com estas restrições.