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Modelagem e Simulação de Eventos Discretos – Chwif e Medina (2006) Slide 1
Prof. Afonso C. Medina
Prof. Leonardo Chwif
Anexo III
Páginas 219-226Este material é disponibilizado para uso exclusivo de docentes que adotam o livro Modelagem e Simulação de Eventos Discretos em suas disciplinas. O material pode (e deve) ser editado pelo professor.
Pedimos apenas que seja sempre citada a fonte original de consulta.
Verifique sempre a atualização deste material no site www.livrosimulacao.eng.br
Divirta-se!
Versão 0.2 14/05/06
Geração de Números Aleatórios
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Brincando com Números
1. Cada estudante deve anotar um número entre 0 e 9 em um pedaço de papel.
2. Qual o número que mais ocorreu?
É fácil gerar números aleatórios de cabeça?
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Deu...
7“Geradores de números aleatórios não devem ser escolhidos aleatoriamente”(Ronald Knuth)
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Geração de Números Aleatórios
� Um número é aleatório pode representar decisões arbitrárias ou servir como entrada para geração de tempos segundo várias distribuições.
� Como produzir números aleatórios ?Dispositivos físicos (Ex. dados, roleta, moeda etc.)
Tabela de números aleatórios (livros)
Processos matemáticos
� No Excel: “=ALEATORIO()” (gera um número aleatório maior ou igual a 0 e menor do que 1)
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Geração de Números Aleatórios
G F
Gerador de número aleatório
Função de repartição:Exponencial, Normal,
etc
Tempos segundo as
distribuições
T1
T2
T3
Tn
...
...
G F
Gerador de número aleatório
Função de repartição:Exponencial, Normal,
etc
Tempos segundo as
distribuições
T1
T2
T3
Tn
...
...
� Sorteia-se um número aleatório uniformemente distribuído entre 0 e 1.
� Utilizando-se a função repartição da distribuição de probabilidade desejada, transforma-se o número aleatório uniformemente distribuído em um valor segundo a distribuição probabilística desejada.
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Método do Meio Quadrado
� Von Neumann (1946)
r1 = 76 => 762 = 5776
r2 = 77 => 772 = 5929
r3 = 92….
� Seqüência gerada (76,77,92,46,11,12,14, …)
� Quando resultar em 0, deve-se utilizar outra semente.
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Método da Congruência (LCG)
xo é a semente do número aleatório
“mod” é a função módulo = mostra o resto da divisão inteira. Ex.: 10 mod 6 = 4
mcaxx ii mod)(1 +=+
gera números inteiros entre 0 e m-1
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Passo 1:Passo 1:Passo 1:Passo 1: Escolher os valores a, c e M. Usualmente, M é escolhido o maior possível.
Passo 2:Passo 2:Passo 2:Passo 2: Escolher a semente r0, tal que: .1 0 Mr ≤≤
Passo 3:Passo 3:Passo 3:Passo 3: Calcular o próximo número aleatório pela expressão:
Mcrar mod)( 01 +⋅=
onde: yxmod é o módulo da divisão de x por y (por exemplo:
46mod10 = ).
Passo 4:Passo 4:Passo 4:Passo 4: Substitua 0r por 1r e volte ao passo anterior, de modo a
construir a seqüência de números aleatórios desejada.
Método da Congruência (LCG)
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Gerar números aleatórios pelo método da congruência, com a = 9, c = 1, m =17 e xo = 7.
n xn y=9xn+1 y mod 17 xn+1/17
0 Xo=7 9*7+1=64 13 13/17 = 0.7647
1 X1=13 118 16 16/17 = 0.9412
2 X2=16 145 9 0.5294
3 X3=9 82 14 0.8235
4 X4=14 127 8 0.4706
números pseudo-aleatórios inteiros entre 0 e 16 (=17-1)
números pseudo-aleatórios inteiros entre 0 e 1
Exemplo
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Método da Transformada Inversa
Passo 1:Passo 1:Passo 1:Passo 1: Obtenha a função de repartição da variável aleatória através da expressão (Apêndice I):
∫ ∞−=x
dxxfxF )()(
Passo 2:Passo 2:Passo 2:Passo 2: Gere um número aleatório r entre 0 e 1.
Passo 3:Passo 3:Passo 3:Passo 3: Faça F(x)=r e resolva em x. A variável x é uma variável aleatória cuja distribuição é dada pela função densidade de probabilidade f(x).
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Simulação de Monte Carlo
John von Neumann (1946) - Los Alamos National Laboratory