Geometria

Triângulos

Robson Ricardo de Araujo

robcardo@ig.com.br

Triângulos

Triângulos são figuras que possuem três pontos não-colineares ligados por segmentos de reta.

Os pontos são chamados de vértices e os segmentos de lados do triângulo.

A

BC

Condição de existência

Para que saibamos se três segmentos de medidas a, b e c podem formar um triângulo é preciso que a soma de

quaisquer dois destes segmentos seja maior que a medida do terceiro lado, ou seja,

a < b + c b < a + c c < a + b

ab

c

Ângulos internos

Todo triângulo ABC tem três ângulos internos, formados nos vértices A, B e C.

Classificação por ângulos

Quanto aos ângulos, podemos classificar os triângulos da seguinte maneira:

Retângulo: possui um ângulo interno de 90º.

Acutângulo: possui todos os seus ângulos internos menores do que 90º.

Obtusângulo: possui um ângulo interno maior do que 90º.

Soma dos ângulos internos

Teorema do Ângulo Interno

A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º.

Exemplo

EXEMPLO 9:

Os ângulos internos de um triângulo mede x + 5º,

8x – 10º e 50º. Qual é a medida de cada ângulo?

Ângulos externos

Ângulo externo de um triângulo é todo ângulo suplementar aos seus ângulos internos.

Na figura acima, os ângulos marcados em vermelho são os ângulos externos do triângulo.

Soma dos ângulos internos

Teorema do Ângulo Externo

A medida de um ângulo externo de um triângulo é a soma da medida dos ângulos

internos não-adjacentes.

Na figura acima, a soma das medidas dos ângulos rosas é igual à medida do ângulo verde.

Exemplo

EXEMPLO 10:

Determine o valor de x na figura abaixo e classifique o triângulo quanto aos ângulos.

Classificação por lados

Quanto aos lados, podemos classificar os triângulos da seguinte maneira:

Equilátero: tem os três lados de mesma medida.

Isósceles: possui dois lados de mesma medida, sendo que o lado de medida diferente chama-se base.

Escaleno: possui os três lados de medidas distintas.

Propriedades importantes

Teorema do Triângulo Isósceles

Os ângulos da base de um triângulo isósceles têm mesma medida.

Propriedades importantes

Num triângulo equilátero, todos os ângulos medem 60º.

Pontos notáveis do triângulo

Há três tipos de segmentos e uma reta relacionada com os triângulos que

muito nos chamam a atenção. São eles:

Mediana, bissetriz, altura e mediatriz.

Contribuindo para a magia da Matemática, algumas intersecções

relacionadas aos casos acima recebem nomes especiais por serem

especiais.

Baricentro, incentro, ortocentro e

circuncentro.

Mediana

Mediana é o segmento que une um vértice do triângulo

com o ponto médio do seu lado oposto.

CM é mediana relativa ao lado AB do triângulo, pois

AM = MB

Baricentro

O encontro das três medianas de um triângulo se dá em

um único ponto, chamado baricentro.

Bissetriz

Bissetriz é o segmento que une um vértice do triângulo

com o seu lado oposto sendo bissetriz (como já definimos

na primeira aula) do ângulo do vértice.

Incentro

O encontro das três bissetrizes de um triângulo se dá em

um único ponto, chamado incentro.

I representa o incentro do triângulo acima.

(repare na circunferência dentro do triângulo. Podemos voltar a esse assunto em outra aula mais oportuna).

Altura

Altura é o segmento que une um vértice do triângulo com

o seu lado oposto sendo perpendicular a ele.

h é a altura do triângulo em relação à base b.

Ortocentro

O encontro das três alturas de um triângulo se dá em um

único ponto, chamado ortocentro.

Mediatriz

Mediatriz é a reta que intercepta algum lado do triângulo

em seu ponto médio perpendicularmente.

mediatriz

Circuncentro

O encontro das três mediatrizes de um triângulo se dá em

um único ponto, chamado circuncentro.

O é o circuncentro do triângulo, cujas mediatrizes estão também indicadas.

Resumo

Baricentro Medianas

Incentro Bissetrizes

Ortocentro Alturas

Circuncentro Mediatrizes

Substitua a acima pela frase “é o único ponto de encontro das”

Mediatriz

Mediatriz é a reta que intercepta algum lado do triângulo

em seu ponto médio perpendicularmente.

mediatriz

Observações

Fique atento!!!

Observação 1

Num triângulo isósceles, a mediana, a bissetriz, a altura

e a mediatriz em relação à base coincidem.

- PS é mediana, bissetriz, altura e mediatriz em relação ao lado QR.

Além disso, já sabiamos que

-PR = PQ, por definição;

-Q e R são ângulos congruentes.

Observação 2

Num triângulo equilátero, a mediana, a bissetriz, a

altura e a mediatriz em relação ao mesmo lado

coincidem. Portanto, o baricentro, o incentro, ortocentro e

o circuncentro coincidem

- Os segmentos que se interceptam em C são a mediana, a bissetriz, a altura e a mediatriz de cada lado coincidindo-se.

-C é ponto de encontro do baricentro, do incentro, do ortocentro e do circuncentro.

Jà sabíamos que:

-Seus ângulos internos medem 60º;

-Seus lados são iguais, por definição.

C

Observação 3

O baricentro de um triângulo cria uma proporção de 1:3

sobre cada mediana que a forma.

Sendo G o baricentro do triângulo acima, temos:

AG = 2.GN;

BG = 2.GP;

CG = 2.GM;

Robson Ricardo de Araujo

robcardo@ig.com.br

Valeu, galera!

A Matemática não é algo mágico e ameaçadoramente estranho,

mas sim um corpo de conhecimento naturalmente

desenvolvido por pessoas durante um período de 5000

anos.

Frank Swetz