Geometria ao modo do Xadrezpor Luıs Gustavo Mendes e Eduardo Fischer - UFRGS

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Xadrez e Ensino de GeometriaEduardo Medeiros, Presidente da ConfederaçãoGaúcha de Xadrez, nos propôs o tema:

Como o ensino de Xadrez pode auxiliar o ensino deGeometria ?

Antes de formular nossa Resposta, tratemos primeirodo que vem a ser oEnsino de Geometria.

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Ensino de GeometriaAfirmamos:

o Ensino de Geometrianão ensina nadase não ensinarademonstraros fatos e propriedades que propõe.

Fórmulas e fatos bonitos não tem relevância nenhumanaformação intelectualde uma pessoa se não estãoacompanhados de umajustificaçãode como sãoobtidos, ou seja, de umargumentoque nos convençada verdade do fato.

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Ao modo da GeometriaO que tem a ver ademonstração, aprovacom aGeometria ?

É que a Geometria funciona assim:

• parte-se de axiomas, premissas simples,• aplica-se um raciocínio lógicamente correto,• chega-se em fatos e propriedades não tão simples.

Esse trajeto é umademonstração!Mudando-se os axiomas iniciais muda-se aGeometria: Euclidiana, Hiperbólica, Projetiva .

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ExemplosAté o século XVIII o standard de rigor científico era aapresentação de uma argumentoao modo daGeometria.

Tal era a hegemonia da Geometria, que podemos citardois exemplos surpreendentes:

Napier, o criador dos logaritmos no século XVI,escreveu um Tratado onde deu uma prova ao modo daGeometria de que o Papa de sua época era oAnticristo.

A Ética de Spinoza foi escrita ao modo da Geometria.

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HojeMas, por incrível que pareça, hoje em dia, aqui noBrasil, ademonstração não está presenteno Ensino deGeometria.

Ou seja, o que antes era um paradigma de rigorintelectual hoje não é sequer apresentado às pessoasem formação.

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O XadrezEm quê o Xadrez se parece à Geometria ?

O Xadrez tem um método claro:

• as peças tem movimentos simples e bemdefinidos

• os jogadores têm informação total e com basenela produzem estratégias

• a composição desses movimentos, segundo aestratégia, produz configurações complexas.

E no Xadrez se pode propôr problemas relevantes depelo menos 3 tipos:

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O Xadrez• I- compondo movimentossimples obter um

movimento complicado(ex. chegar em tal casa com tal peça),

• II- só com peças tais e taisobter umaconfiguração específica(ex., dar um mate só com tais e tais peças).

• III- em no máximo tantas jogadasobter umaconfiguração específica(ex. dar um mate em tantas jogadas).

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Objetivo desta ExposiçãoNosso objetivo éprovar4 fatos relevantes daGeometria Euclidiana planaao modo do xadrez, ouseja apresentados no estilo dos problemas I, II e III.

O último fato será generalizado na GeometriaEuclidianan-dimensional.

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Movimentos da GeometriaLidaremos nessa palestra apenas com os seguintesmovimentos do plano Euclidiano(e com acomposição de um número qualquer deles)

• Identidade(deixar cada ponto do plano onde está),

• Reflexãoem uma reta(os pontos de um semiplano passam para o outro),

• Rotaçãode ângulo orientadoα em torno de umponto,

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Movimentos da Geometria• Translação

(tudo se desloca segundo um vetorV )• Anti-Translação

(exatamente o movimento do Cavalo no Xadrez !)

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Ilustro

P T ( P )

T ( P )

P

P

T ( P )

P

T ( P )

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Movimentos da GeometriaEsses movimentos são chamados demovimentosrígidosou deisometriasdo plano porpreservaremtamanhos, distâncias e ângulos (não-orientados).

Note que acomposiçãode um número qualquer demovimentos rígidos é um movimento rígido.

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Princípio de FermatProblema 1:

Dados dois pontosP1, P2 num mesmo semiplanorelativo a uma retar, prove que existe um pontoR ∈ r tal que a soma de distâncias

P1 R + R P2

é a menor possível.

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Princípio de Fermat

P 1

P 2

Rr

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SoluçãoArgumentaremos usandoapenas o efeito dasReflexõesem retas.

Considere os ângulosα eβ formados em umRqualquer, como na Figura.

P 1

P 2

Rr

αβ

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SoluçãoFaça a Reflexão na retar, denotada porT .

P 1

P 2

Rr

α

T( )β

β

T( )α

T( )P 1

T( )P 2

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SoluçãoComoT (R) = R então

P1 R + R P2 = P1 R + R T (P2) =

= T (P1) R + R P2.

Note agora que soma

P1 R + R T (P2)

é minimizada quando

P1 , R, T (P2)

são colineares.

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SoluçãoTambém

T (P1) R + R P2.

é minimizada exatamente quandoT (P1) , R, P2 sãocolineares.

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SoluçãoOu seja, quando os ângulos

β + T (β) e α + T (α)

sãoopostos pelo vértice.

P 1

P 2

Rr

α

T( )P 2

T( )P 1

T( )β

β

T( )α

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SoluçãoLogo

β + T (β) ≡ α + T (α).

Masα ≡ T (α) e β ≡ T (β).

Logo2β ≡ 2α e α ≡ β.

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Solução

Solução:O pontoR é o ponto onde o ângulo deincidência é igual ao ângulo refletido.

P 1

P 2

rR

α α

Isso é o que a luz faz ao refletir numa superfície !

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Ponto de FermatProblema 2Dado um triângulo∆ABC determine opontoP ∈ ∆ que minimiza:

PA + PC + PB.

Esse ponto é chamadoponto de Fermat.

Como veremos a seguir, ese pontonão éem geral oconhecidobaricentro.

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SoluçãoA solução dependeráapenas do uso de Rotações.

Faça a rotação emC de ângulo+60, denotada porT .Note que o triângulo∆CPT (P ) éequilátero.

C

B

A

P

T(P)

T(A)

T(B)

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SoluçãoEntão

AP + CP + BP =

= T (A)T (P ) + T (P )P + PB

C

B

AT(A)

T(P)

P

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SoluçãoMas essa soma é minimizada quando os pontosT (A), T (P ), P, B são colineares !

C

B

AT(A)

T(P)

P

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Solução

Ora,T (A), T (P ), P colineares e CT (P )P = 60

implicam que T (A)T (P )C = 120.

C

B

AT(A)

T(P)

P

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Solução

E tambémT (P ), P, B colineares e T (P )PC = 60

implicam queCPB = 120.

C

B

AT(A)

T(P)

P

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SoluçãoSolução:O Ponto de Fermat é onde as retasPA, PB, PC formando três angulos iguais, de120graus.

P

α

αα

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Fermat e BaricentroO Baricentroé o ponto onde as três medianas de umtriângulo se encontram.

É fácil de ver que num triângulo Equilátero Baricentroe ponto de Fermat são o mesmo ponto.

Mas a posição do Baricentro é exatamente a1

3de cada

mediana, portanto num triângulo isósceles mais alto obaricentro estará mais alto:

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Fermat e Baricentro

B

B

Não poderá coincidir com o Fermat, pois assemi-retas que formam angulos de120 não passarãopelos vértices !

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Teorema de BonaparteSeja um∆ABC qualquer. Levante em seus ladostriângulos equiláteros∆1, ∆2, ∆3, cujos BaricentrossãoB1, B2, B3.

B 2B 1

B 3A

B

C

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Teorema de BonaparteProblema 3

Teorema(de Napoleão Bonaparte):∆B1B2B3 é um triânguloEquilátero.

Provaremos isso usandoapenas Rotaçõesem pontosbem escolhidos.Por isso precisamos ver o que resulta quandocompomos as Rotações.

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Composição de RotaçõesQuando compomos Rotações nummesmo pontoobtemos uma nova rotação no ponto:

RP, β ◦ RP, α = RP, α+β,

ondeα, β são ângulos orientados.

Mas o que acontece se os pontos onde fazemos duasRotações são pontos diferentes ?

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Rotações são duas reflexõesPara entendermos o que acontece, primeiro devemosnos convencer de que umaRα,P pode ser decompostacomo:

RP ,α = Tr2◦ Tr1

, se r2 ∩ r1 = P , r1Pr2 =α

2.

P

P 1

r 2

r 1

P 2

α / 2

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Rotações em pontos diferentes

RQ, β ◦ RP, α = RX, α+β −360 = RX, α+β

X

Q P

α /2β /2

(α+ β ) /2 − 180

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Pode dar uma translaçãoSe houvesseparalelismodas retas,não existiriaX.

X

Q P

α /2β /2

(α+ β ) /2 − 180

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SoluçãoEsse Paralelismo surge quandoα+β

2= 180.

Q P

β /2 α /2

V

Nesse casoRQ,β ◦ RP,α é umaTranslaçãoporV .

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Prova do TeoremaConsidere o pontoX ∈ ∆3 que forma um triânguloequilátero comB1 eB2.Queremos provarqueX = B3.

B 2B 1

A

B

C

X

60 60

60

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SoluçãoPor absurdo, suporemos queX 6= B3.Note que, pelo que já vimos,

RB2,+120 ◦ RB1,+120 = RX,+240.

Mas seX 6= B3:

RB3,+120 ◦ RX,+240 = TV ,

pois

180 =120 + 240

2.

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SoluçãoChegaremos assim numacontradição, pois:

TV = RB3,+120 ◦ RB2,+120 ◦ RB1,+120

logo

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Solução

(RB3,+120 ◦ RB2,+120 ◦ RB1,+120) (A) =

= (RB3,+120 ◦ RB2,+120) (B) =

= RB3,+120 (C) = A

B 2B 1

A

B

C

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Soluçãoou seja:

TV (A) = A,

e no entanto numa translação tudo se move !

Contradição.

LogoX = B3.

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Reflexões geram os MovimentosConsidere a composição de umnúmero arbitráriodemovimento rígidos, que leva um triângulo∆ABC

num triângulo∆ABC.

A

A

B C

B

C

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Reflexões geram os MovimentosProblema 4:

Leve∆ABC em∆ABC usandoapenas0, 1, 2 ou3Reflexões em retas.

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MediatrizLembro que olugar geométricodos pontos no planoEuclidiano queequidistamde dois pontos fixadosP1, P2 é uma reta.

Ela é chamada demediatrizdo segmento[P1P2] .

A mediatriz éortogonalao segmento[P1P2] e passapeloponto médiodo segmento[P1P2].

m

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SoluçãoTemos direito a fazeraté 3 jogadas, então:

Jogada n. 1:Considerem1 a reta mediatriz de[AA]

(seA = A economizo essa jogada).

Faça a Reflexão emm1, denotadaTm1.

Note queTm1(A) = A.

DenoteTm1(B) = B1.

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Solução

m 1

A

A

B C

B 1

B

C

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SoluçãoJogada n. 2:Considerem2 a mediatriz de[B1B] (seB1 = B, economizo essa jogada).Aplique ao anterior a ReflexãoTm2

.

A

B 1

C

m 2

B

C 2

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SoluçãoÉ importante notar para o que seguirá que

A ∈ m2,

De fato,

AB = AB = AB1,

logo A equidista deB e deB1.LogoTm2

(A) = A, assim como

Tm2(B1) = B

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SoluçãoDenoteC2 = Tm2

(C)

Jogada n.3:Considerem3 a mediatriz de[C2C] (seC2 = C economizo esta jogada). AplicoTm3

aoanterior.

A

C

C 2

Bm 3

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SoluçãoNote que

A ∈ m3 e B ∈ m3.

De fato:

AC = AC = AC2

diz queA ∈ m3 e

BC = BC = BC2

diz queB ∈ m3.

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SoluçãoLogo tereiTm3

(A) = A eTm3(B) = B, bem como:

Tm3(C2) = C

Solução:A composiçãoTm3

◦ Tm2◦ Tm1

levou∆ABC em∆ABC.

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Dimensãon ≥ 3.Nos Espaços Euclidianosn dimensionaisEn ospontostemn coordenadas:

P = (p1, . . . , pn).

Se define a distância entre dois pontosP = (p1, . . . , pn) eQ = (q1, . . . , qn) por:

P Q :=√

(p1 − q1)2 + . . . + (pn − qn)2.

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Dimensãon ≥ 3.Os movimentos Rígidos ou Isometrias são astransformações deEn que preservam as distâncias etamanhos.

Temos intuição do que são esse movimentos emE3,mas certamente não emE4 !Por exemplo, sabemos que podemos mudar de destrosa canhotos se nos refletimos num espelho planodentro deE3.

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E4

Já noE4 existe umaRotaçãoque transforma umdestro num canhoto !Como não posso desenhar em dimensão4, faço umesquema para ilustrar isso:

E 3

E 3

E 2

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Problema 4 GeneralizadoSejamn + 1 pontosA1, . . . , An+1 em posição geral deEn levados emn + 1 pontosA1, . . . , An+1 atráves deuma composição de movimentos rígidos deEn.

Problema 4 geral:Conseguir o mesmo efeito usandono máximon + 1 reflexões em hiper-planos.

A Solução é na linha da que apresentamos, só queagora usando reflexões emhiper-planos mediatrizeseindução emn ∈ N .

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ReferênciaH. S. M. Coxeter, Introduction to geometry, JohnWiley and Sons Inc., 1969.

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