VetoresProduto internoProduto vetorial

Produto misto

Geometria Analıtica: Vetores e Aplicacoes

Prof. Angelo Aliano Filho

Universidade Tecnologica Federal do Parana

11 de Marco de 2019

Prof. Angelo Aliano Filho Geometria Analıtica

VetoresProduto internoProduto vetorial

Produto misto

Sumario

1 Vetores

2 Produto interno

3 Produto vetorial

4 Produto misto

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Produto misto

Sumario

1 Vetores

2 Produto interno

3 Produto vetorial

4 Produto misto

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Produto misto

Vetores

Definicao

Entes matematicos com modulo, direcao e sentido

Usados para descrever fenomenos fısicos que envolverdirecao e sentido, como forca e velocidade

Podem ser representados geometricamente por flechas emduas ou tres dimensoes

Representados por letras em negrito: u, v, w, etc...

Dois vetores sao iguais quando tem o mesmo modulo,direcao e sentido

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Vetores

Definicao

Se v e w sao vetores, entao a soma v + w e um novo vetor, deponto inicial em no inıcio de v e ponto final no ponto final emw.

Figura: Soma de vetores geometricamente

A propriedade v + w = w + v e valida aqui.Prof. Angelo Aliano Filho Geometria Analıtica

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Vetores

Definicao

Se v e um vetor e k um escalar, entao o multiplo escalar kv edefinido como um novo vetor cujo comprimento e |k| vezes ocomprimento de v e cuja direcao e a mesma de v se k > 0 eoposta se k < 0. Nos definimos kv = 0 se k = 0 ou v = 0

Figura: Vetores e seus multiplos escalares

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Vetores

Definicao

Subtracao de vetores e definida do seguinte modo. A diferencav −w pode ser calculada por

v −w = v + (−1)w

Figura: Calculo da diferenca de vetores

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Vetores

Representacao de vetores em coordenadas

Vetores podem estar tanto no espaco 2-D ou 3-D. Pararepresenta-los, usamos o conceito de coordenada isto e,

v = (v1, v2)T ∈ R2,

se v e bidimensional e

v = (v1, v2, v3)T ∈ R3,

se v e tridimensional. Os numeros v1, v2 e v3 sao ascoordenadas de v.

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Vetores

Figura: Coordenadas de vetores em duas e tres dimensoes

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Vetores

Alguns vetores e suas coordenadas. Observe bem a animacao:

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Vetores

Operacoes aritmeticas com vetores

Se v = (v1, v2)T ∈ R2 e w = (w1, w2)T ∈ R2, entao valem asseguintes propriedades:

1 v ±w = (v1 ± w1, v2 ± w2)T

2 kv = (kv1, kv2)T

Se v = (v1, v2, v3)T ∈ R3 e w = (w1, w2, w3)T ∈ R3, entao valemas seguintes propriedades:

1 v ±w = (v1 ± w1, v2 ± w2, v3 ± w3)T

2 kv = (kv1, kv2, kv3)T

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Vetores

Figura: Representacao geometrica das propriedades anteriores

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Vetores

Exemplo

Sendo v = (−2, 0)T e w = (3, 5)T , esboce-os, e calcule (i) v + we (ii) w − 2v, esbocando-os tambem.

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Vetores

Vetores com ponto inicial diferente da origem

Se P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2) e um segmento orientado, para

calcular as coordenadas do vetor−−−→P1P2 e dada por:

−−−→P1P2 =

−−→OP2 −

−−→OP1 = (x2, y2)− (x1, y1) = (x2 − x1, y2 − y1).

Figura: Coordenada de vetores com ponto inicial fora da origem

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Vetores

Propriedades (versao 3-D)

Valem as seguintes propriedades para vetores:

1 u + v = v + u

2 (u + v) + w = u + (v + w)

3 u + 0 = 0 + u

4 u + (−u) = 0

5 k(lu) = (lk)u

6 k(u + v) = ku + kv

7 (k + l)u = ku + lu

8 1u = u

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Vetores

Norma de um vetor

E a distancia entre o ponto inicial e final do vetor. Suponha quev = (v1, · · · , vn)T ∈ Rn, entao sua norma e calculada por:

‖v‖ =

√√√√ n∑i=1

v2i

Figura: Norma de um vetor 3-D

Atencao: A propriedade

‖kv‖ = |k|‖v‖

e sempre valida.

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Vetores

Vetores unitarios

Por definicao:i = (1, 0), j = (0, 1)

no espaco R2 e

i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1)

no espaco R3

Qualquer vetor v = (v1, v2, v3) pode ser representado em termosdos vetores unitarios, i.e.,

v = v1i + v2j + v3k

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Vetores

Normalizando um vetor

E comum em aplicacoes querermos um vetor u com norma 1, namesma direcao e sentido de v. Isto pode ser feito da seguinteforma:

u =1

‖v‖v.

Exemplo

Normalize o vetor v = 2i + 2j− k.

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Sumario

1 Vetores

2 Produto interno

3 Produto vetorial

4 Produto misto

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Produto misto

Produto interno

Definicao

Sejam u = (u1, · · · , un) e v = (v1, · · · , vn) vetores do Rn. Oproduto interno de u e v e definido como:

u · v =

n∑i=1

ui · vi = u1 · v1 + · · ·+ un · vn.

O resultado do produto interno e um escalar.

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Produto interno

Propriedades

Valem as seguintes propriedades para o produto interno:

1 u · v = v · u2 u · (v + w) = u · v + u ·w3 k(u · v) = (ku) · v = u · (kv)

4 u · u = ‖u‖25 u · 0 = 0

Observacao:

‖u‖ =√

u · u

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Produto interno

O proximo teorema ensina-nos a como calcular angulo devetores.

Teorema

Se u e v sao nao nulos e θ o angulo entre eles, entao:

cos θ =u · v‖u‖ · ‖v‖

Exemplo

Determine o angulo entre u = i− 2j + 2k e v1 = −3i + 6j + 2k eentre v2 = 2i + 7j + 6k.

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Produto misto

Produto interno

O proximo teorema ensina-nos a como calcular angulo devetores.

Teorema

Se u e v sao nao nulos e θ o angulo entre eles, entao:

cos θ =u · v‖u‖ · ‖v‖

Exemplo

Determine o angulo entre u = i− 2j + 2k e v1 = −3i + 6j + 2k eentre v2 = 2i + 7j + 6k.

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Produto interno

Propriedade

Se u · v = 0, entao u e perpendicular a v

Figura: Sinal do produto interno

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Angulos diretores

Angulos diretores

Sao angulos que determinam as direcoes de um vetor. Veja afigura abaixo. Sendo v = (v1, v2, v3), tais angulos satisfazem asrelacoes:

cosα =v1

‖v‖ , cosβ =v2

‖v‖ , cos γ =v3

‖v‖

Figura: Cossenos diretores de um vetor

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Angulos diretores

Exercıcio

Mostre que os cossenos diretores de um vetor satisfazem

cos2 α+ cos2 β + cos2 γ = 1

Exemplo

Determine os angulos entre adiagonal e os lados de um cubode lado a.

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Decomposicao de vetores

Decomposicao de vetores

Seja v um vetor, e1 e e2 vetores unitario ortogonais. Queremosescrever v = w1 + w2 onde w1 e w2 tem a mesma direcao de e1

e e2.

Figura: Decomposicao ortogonal de um vetor

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Decomposicao de vetores

Formulas de decomposicao

Qualquer vetor v pode ser decomposto em uma soma demultiplos de vetores unitarios e ortogonais e1 e e2 do seguintemodo:

v = (v · e1)e1 + (v · e2)e2.

(v · e1)e1 e (v · e2)e2 sao vetores componentes e v · e1 e v · e2

sao as componentes escalares

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Decomposicao de vetores

Exemplo

Seja v = (2, 3), e1 = (1/√

2, 1/√

2) e e2 = (1/√

2,−1/√

2).Determine as componentes de v ao longo de e1 e e2.

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Projecoes

Definicao

O vetor de componentes ao longo de e1 e e2 e chamado de projecaoortogonal de v em e1 e e2, denotado por

proje1v = (v · e1)e1 e proje2

v = (v · e2)e2.

Em geral, projetar v em um vetor nao unitario b e utilizar asformulas anteriores normalizando-se b, i.e.,

projbv =

(v · b

‖b‖

)(b

‖b‖

),

ou, alternativamente,

projbv =(v · b)

‖b‖2 b.

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Projecoes

Figura: Projecoes ortogonais

O vetor

v − projbv

e a componente ortogonal de v em b

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Projecoes

Exemplo

Determine a projecao ortogonal de v = i + j + k em b = 2i + 2j.Em seguida, determine a componente ortogonal de v em b.

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Sumario

1 Vetores

2 Produto interno

3 Produto vetorial

4 Produto misto

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Produto vetorial

Definicao

Se u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) sao ambos do R3, entao oproduto vetorial entre eles e definido por:

u× v =

∣∣∣∣∣∣i j ku1 u2 u3

v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣= (u2v3 − u3v2)i− (u1v3 − u3v1)j + (u1v2 − u2v1)k

Repare que o resultado e um novo vetor!

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Produto vetorial

Exemplo

Sejam u = (1, 2,−2) e v = (3, 0, 1), calcule (a) u×v e (b) v×u.

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Propriedade algebricas

1 u× v = −(v × u)

2 u× (v + w) = u× v + u×w

3 (u + v)×w = (u×w) + (v ×w)

4 k(u× v) = (ku)× v = u× (kv)

5 u× 0 = 0

6 u× u = 0

7 i× j = k, etc...

Vale a propriedade comutativa

(u× v)×w = u× (v ×w)?

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Produto vetorial

Teorema - importante propriedade

Se u e v sao vetores do R3 entao:

u · (u× v) = 0 (u× v e ortogonal a u)

v · (u× v) = 0 (u× v e ortogonal a v)

Exemplo

Determine um vetor que e ortogonal a u = (2,−1, 3) ev = (−7, 2,−1).

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Produto vetorial

Teorema - importante propriedade

Se u e v sao vetores do R3 entao:

u · (u× v) = 0 (u× v e ortogonal a u)

v · (u× v) = 0 (u× v e ortogonal a v)

Exemplo

Determine um vetor que e ortogonal a u = (2,−1, 3) ev = (−7, 2,−1).

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Teorema - outra importante propriedade

Sejam u e v sao vetores do R3 e θ o angulo entre eles. Entao:

1 ‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖ sin θ.

2 ‖u× v‖ e a area do paralelogramo cujos os lados sao u e v.

3 u× v = 0 se, e somente se, u e multiplo escalar de v.

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Produto vetorial

Exemplo

Determine a area do triangulo de vertices P1 = (2, 2, 0),P2 = (−1, 0, 2) e P3 = (0, 4, 3).

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Sumario

1 Vetores

2 Produto interno

3 Produto vetorial

4 Produto misto

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Produto misto

Definicao

Sendo u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) e w = (w1, w2, w3) do R3,entao o numero

u · (v ×w)

e chamado de produto misto. Ele e equivalente ao calculo:

u · (v ×w) =

∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3

v1 v2 v3

w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣ .

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Produto misto

Interpretacao geometrica

Sendo u, v e w nao nulos do R3.

O volume do paralelepıpedo cujas arestas sao u, v e w ecalculado por:

V = |u · (v ×w)|u · (v ×w) = 0 se, e somente se, u, v e w estao no mesmoplano.

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Propriedades algebricas

1 u · (v ×w) = w · (u× v) = v · (w × u)

2 u · (v ×w) = (u× v) ·w(isto e, o produto escalar e vetorial, sao, aqui, comutativos)

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