Post on 23-Dec-2015
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EXAME N. 1 - GABARITO - PROVA 1
01 FALSO OU VERDADEIRO Classi�que as a�rmações abaixo em falso (F) ou verdadeiro (V), jus-
ti�cando a resposta.
(a) (F) Se an =1
2n� 7 ; então sup (an) + inf (an) = �1:
(b) (F) A sequência de termo geral an = (�1)n + (2n + 3n)1=n converge para 3:
(c) (V) Se an > 0; 8n; e limn!1
�1
nan
�= 0 então
1Pn=1
an diverge.
(d) (F) Se a sequência (�1)nan é convergente, então lim an = 0:
::::::::::::::::::JUSTIFICATIVAS
(a) A sequência (an) converge para zero e seus primeiros termos são:
�15; � 1
3; �1 ; 1 ; 1
3;1
5; : : : # 0:
Vemos que sup (an) = 1 e inf (an) = �1, de onde resulta que sup (an) + inf (an) = 0:
(b) Temos que
an = (�1)n + (2n + 3n)1=n = (�1)n + 3��2
3
�n+ 1
�1=n;
de onde segue que ��������a2n = 1 + 3
h�23
�2n+ 1i1=2n
! 1 + 3 = 4
a2n�1 = �1 + 3h�23
�2n+ 1
i1=2n! �1 + 3 = 2:
Como lim a2n 6= lim a2n�1, deduzimos que a sequência (an) é divergente.
(c) Olhando a hipótese limn!1
�1
nan
�= 0 sob a forma
limn!1
�1=n
an
�= 0
vemos que a sequência (an) torna-se, a partir de certa ordem, maior do que 1=n e como a sérieP1=n é
divergente, então a sériePan também diverge, por comparação.
(d) A sequência an = (�1)n é divergente e, contudo, a sequência bn = (�1)n an converge para 1:
02 CALCULANDO SOMAS INFINITAS Em cada caso, calcule o valor da soma da série:
(a)1Xn=3
22n�1 cos(n� + �3 )
6n�1(b)
1Xn=2
�1np2� 1
n+1p2
�:
::::::::::SOLUÇÃO
(a) Trata-se de uma série geométrica e para colocá-la na forma padrão, usamos a relação
cos(n� + �3 ) = cos (n�) cos (�=3) =
12 (�1)
n
e chegamos a:
1Xn=3
22n�1 cos(n� + �3 )
6n�1=
1Xn=3
22n�2 (�1)n
6n�1=
1Xn=3
4n�1 (�1)n
6n�1(faça n� 2 = k)
=1Xk=1
4k+1 (�1)k+2
6k+1=
1Xk=1
42 � 4k�1 (�1)k�1 � (�1)62 � 6k�1
= �1636
1Xk=1
��46
�k�1= �4
9
1Xk=1
��23
�k�1= �4
9� 1
1 + 23
=�415
(b) Trata-se de uma série de encaixe e se designarmos bn =1np2, teremos
b2 = 1=p2 e lim bn = lim
�2�1=n
�= 1:
Assim,1Xn=2
�1np2� 1
n+1p2
�=
1Xn=2
(bn � bn+1) = b2 � lim bn =1p2� 1.
03 TESTANDO A CONVERGÊNCIA Investigue a convergência ou divergência das séries:
(a)1Xn=1
�(�1)nn3
+
�1� 3
n
�n�(b)
1Xn=1
(n!)2
(3n)!
(c)1Xn=1
5p4n3
5p2n3 + 6n
(d)1Xn=1
(�1)n5nn2 + 2
:
::::::::::SOLUÇÃO
(a) Série Divergente (Critério do n-ésimo Termo)
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Conforme vimos em sala de aula,
lim
�1� 3
n
�n=
13pe
e lim(�1)nn3
= 0
e, sendo assim,
lim an = lim
�(�1)nn3
+
�1� 3
n
�n�= lim
(�1)nn3
+ lim
�1� 3
n
�n= 0 + 1= 3
pe = 1= 3
pe 6= 0:
(b) Série Convergente (Critério da Razão)
Temos que an =(n!)2
(3n)!, de modo que
L = lim
����an+1an
���� = lim [(n+ 1)!]2(3n+ 3)!� (3n)!(n!)2
= lim
�(n+ 1)! (n+ 1)!
n!n!� (3n)!
(3n+ 3) (3n+ 2) (3n+ 1) (3n)!
�= lim
"(n+ 1)2
(3n+ 3) (3n+ 2) (3n+ 1)
#= 0 < 1:
(c) Série Divergente (Critério do n-ésimo Termo)
Temos que an =5p4n3
5p2n3 + 6n
e, portanto,
lim an = limn3=5 � 5
p4
n3=5 � 5p2 + 6=n2
= lim5p4
5p2 + 6=n2
=5p4
5p26= 0:
Neste caso, a divergência da série pode, também, ser comprovada pelo Critério da Comparação.
(d) Série Convergente (Critério de Leibniz)
Seja bn =5n
n2 + 2e consideremos a função extensão f (x) =
5x
x2 + 2. Temos:
� lim bn = lim5n
n2 + 2= 0:
� O decrescimento da sequência (bn) será estabelecido pelo sinal da derivada de f (x). Temos
f 0 (x) =5�x2 + 2
�� 5x (2x)
(x2 + 2)2=�5x2 + 10(x2 + 2)2
< 0; para x � 3:
Assim, a sequência (bn) torna-se decrescente a partir do terceiro termo. Trata-se de uma série alternada,
nas condições do Critério de Leibniz, sendo, portanto, convergente.
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