UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS DE SINOP

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

Funções Logarítmicas

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

CÁLCULO I

Funções Logarítmicas

1.Função logarítmica natural

2.Propriedades das funções logarítmicas

3.Resolução de equações exponenciais e logarítmicas

4.Aplicações

3

Função logaritmo natural

A função logaritmo natural, representada porln x, se define como

ln x = b se e somente se eb = x.

ln x se lê como “ele-ene de x” ou como “log natural de x”.

1. Função logaritmo natural

4

Esta definição implica que a função logaritmonatural e a função exponencial natural são inversasuma da outra. Assim, toda equação logarítmica podeescrever-se em uma forma exponencial, e vice-versa.

Forma logarítmica ln 1 = 0 ln e = 1 ln 2 ≈ 0,693

Forma exponencial e0 = 1 e1 = e e0,693 ≈ 2

1. Função logaritmo natural

5

Como as funções f(x) = ex e g(x) = ln x sãoinversas uma da outra, seus gráficos são reflexões um do outro em relação à reta y = x. A figura acimailustra esta propriedade reflexiva.

1. Função logaritmo natural

6

Note que o domínio da função logaritmo natural é o conjunto dos números reais positivos – ln x não édefinida para zero nem para números negativos.

1. Função logaritmo natural

7

1. Função logaritmo natural

Domínio: (0, ∞) ln x → ∞ quando x → ∞

Imagem: (-∞, ∞) ln x → -∞ quando x → 0+

Intercepto: (1, 0) Contínua

Sempre crescente Um a um

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Exemplo 1: Esboce os gráficos das seguintes funções

1. Função logaritmo natural

1,0990,9160,6930,4050-0,693ln (x+1)

21,510,50-0,5X

( ) ln( 1)f x x= +

Domínio: x + 1 > 0 ⇒ x > -1

9

Exemplo 1: Esboce os gráficos das seguintes funções

1. Função logaritmo natural

2,1971,8331,3860,8110-1,3862ln (x-2)

54,543,532,5x

( ) 2ln( 2)f x x= −

Domínio: x - 2 > 0 ⇒ x > 2

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Propriedades inversas dos logaritmos e dos expoentes

1. ln ex = x2. eln x = x

2. Propriedades das funções logarítmicas

Exemplo 2: Simplifique as expressões seguintes

2 2

ln3 ln ln3

ln Como ln , decorre que ln 2Como , decorre que 3

x

x x x

e e x ee e x e x

= =

= =

11

Propriedades dos logaritmos

2. Propriedades das funções logarítmicas

ln( ) ln ln

ln ln ln

ln lnn

xy x y

x x yy

x n x

= +

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠=

12

Exemplo 3: Aplique as propriedades dos logaritmos para escrever cada expressão como uma soma, diferença ou múltiplo de logaritmos. (Suponha x > 0 e y > 0).

2. Propriedades das funções logarítmicas

( ) ( )1

2 2 22

22 3 2 3

3

2 3

10. ln ln10 ln99

1. ln 1 ln 1 ln 12

. ln ln( ) ln5 ln ln ln55

. ln ln ln6 ln (ln6 ln )6

ln ln6 ln 2ln ln6 3ln

a

b x x x

xyc xy x y

xd x y x yy

x y x y

⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

+ = + = +

= − = + −

⎛ ⎞= − = − + =⎜ ⎟

⎝ ⎠= − − = − −

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Exemplo 4: Aplique as propriedades dos logaritmos para escrever cada expressão como o logaritmo de uma grandeza única. (Suponha x > 0 e y > 0)

2. Propriedades das funções logarítmicas

2 2

3

2

3

. ln 2ln ln ln ln( )

. ln( 1) ln( 2) 3ln ln[( 1)( 2)] ln

3 2 ln

a x y x y xy

b x x xx x x

x xx

+ = + =

+ + + −

= + + −

+ +=

14

Exemplo 5: Resolva as equações seguintes

3. Resolução de equações exponenciais e logarítmicas

5ln ln5

ln5

x

x

ee

x

=

==

0,1

0,1

0,1

0,1

10 3 143 4

43

4ln ln3

40,1 ln3410ln3

t

t

t

t

ee

e

e

t

t

+ =

=

=

=

=

=

15

Exemplo 6: Resolva as equações seguintes

3. Resolução de equações exponenciais e logarítmicas

ln 5

5

ln 5x

xe ex e

=

=

=2

2

2

2

ln 2

2 2

3 2ln 72ln 4ln 2

x

xx

x

e ex ex e

+ =

=

=

=

== ±

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Exemplo 7: Uma pessoa deposita P reais em uma conta cuja taxa anual de juro é r, composto continuamente. Em quanto tempo a quantia depositada duplicará?

O montante na conta após t anos é

Assim, o montante terá duplicado quando A = 2P. Para achar o “tempo de duplicação”, devemos resolver estaequação em relação a t.

4. Aplicações

rtA Pe=

17

4. Aplicações

2

rtA Pe

P

=

P=

2ln ln2

ln21ln2

rt

rt

rt

ee

ert

tr

=

==

=