Post on 21-Jul-2020
Fundamentos de Matemática
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 9
27 de janeiro de 2014
Aula 9 Fundamentos de Matemática 1
O Problema dos Peixes Voadores
Aula 9 Fundamentos de Matemática 2
Problema formulado originalmente porJohn Conway.
Adaptação do contexto sugerida porCarlos Tomei.
Aula 9 Fundamentos de Matemática 3
O cenário
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Aula 9 Fundamentos de Matemática 4
O cenário
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Aula 9 Fundamentos de Matemática 5
O cenário
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Aula 9 Fundamentos de Matemática 6
O cenário
0
Aula 9 Fundamentos de Matemática 7
O cenário
0
Aula 9 Fundamentos de Matemática 8
Colocando um peixe no nível 1
0
1
Aula 9 Fundamentos de Matemática 9
Colocando um peixe no nível 1
0
1
Aula 9 Fundamentos de Matemática 10
Colocando um peixe no nível 1
0
1
Aula 9 Fundamentos de Matemática 11
Colocando um peixe no nível 2
0
1
2
Aula 9 Fundamentos de Matemática 12
Colocando um peixe no nível 2
0
1
2
Aula 9 Fundamentos de Matemática 13
Colocando um peixe no nível 2
0
1
2
Aula 9 Fundamentos de Matemática 14
Colocando um peixe no nível 2
0
1
2
Aula 9 Fundamentos de Matemática 15
Colocando um peixe no nível 2
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1
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Aula 9 Fundamentos de Matemática 16
Colocando um peixe no nível 3
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1
2
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Aula 9 Fundamentos de Matemática 17
Colocando um peixe no nível 3
0
1
2
3
Aula 9 Fundamentos de Matemática 18
Colocando um peixe no nível 3
0
1
2
3
Aula 9 Fundamentos de Matemática 19
Colocando um peixe no nível 3
0
1
2
3
Aula 9 Fundamentos de Matemática 20
Colocando um peixe no nível 3
0
1
2
3
Aula 9 Fundamentos de Matemática 21
Colocando um peixe no nível 4
0
1
2
3
4
Aula 9 Fundamentos de Matemática 22
Colocando um peixe no nível 4
0
1
2
3
4
Aula 9 Fundamentos de Matemática 23
Colocando um peixe no nível 4
0
1
2
3
4
Aula 9 Fundamentos de Matemática 24
Colocando um peixe no nível 4
0
1
2
3
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Aula 9 Fundamentos de Matemática 25
Colocando um peixe no nível 4
0
1
2
3
4
Aula 9 Fundamentos de Matemática 26
Colocando um peixe no nível 4
0
1
2
3
4
Aula 9 Fundamentos de Matemática 27
Colocando um peixe no nível 4
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Aula 9 Fundamentos de Matemática 28
Colocando um peixe no nível 5
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5
Aula 9 Fundamentos de Matemática 29
Colocando um peixe no nível 5: não é possível!
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Aula 9 Fundamentos de Matemática 30
Como provar?
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Aula 9 Fundamentos de Matemática 31
Definindo uma grade de energia
0
1
2
3
4
5x0
Aula 9 Fundamentos de Matemática 32
Definindo uma grade de energia
0
1
2
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5x0 x1
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Definindo uma grade de energia
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5x0 x1 x2
Aula 9 Fundamentos de Matemática 34
Definindo uma grade de energia
0
1
2
3
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5x0 x1 x2 x3
Aula 9 Fundamentos de Matemática 35
Definindo uma grade de energia
0
1
2
3
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5x0x1 x1 x2 x3
Aula 9 Fundamentos de Matemática 36
Definindo uma grade de energia
0
1
2
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5x0x1x2 x1 x2 x3
Aula 9 Fundamentos de Matemática 37
Definindo uma grade de energia
0
1
2
3
4
5x0x1x2x3 x1 x2 x3
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Definindo uma grade de energia
0
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2
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5x0x1x2x3 x1 x2 x3
x4 x3 x1 x2x2 x4x3
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Definindo uma grade de energia
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5x0x1x2x3 x1 x2 x3
x4 x3 x1 x2x2 x4x3
x5 x4 x2 x3x3 x5x4
Aula 9 Fundamentos de Matemática 40
Definindo uma grade de energia
0
1
2
3
4
5x0x1x2x3 x1 x2 x3
x4 x3 x1 x2x2 x4x3
x5 x4 x2 x3x3 x5x4
x6 x5 x3 x4x4 x6x5
Aula 9 Fundamentos de Matemática 41
Definindo uma grade de energia
0
1
2
3
4
5x0x1x2x3 x1 x2 x3
x4 x3 x1 x2x2 x4x3
x5 x4 x2 x3x3 x5x4
x6 x5 x3 x4x4 x6x5
x7 x6 x4 x5x5 x7x6
Aula 9 Fundamentos de Matemática 42
Definindo uma grade de energia
0
1
2
3
4
5x0x1x2x3 x1 x2 x3
x4 x3 x1 x2x2 x4x3
x5 x4 x2 x3x3 x5x4
x6 x5 x3 x4x4 x6x5
x7 x6 x4 x5x5 x7x6
x8 x7 x5 x6x6 x8x7
Aula 9 Fundamentos de Matemática 43
Definindo uma grade de energia
0
1
2
3
4
5x0x1x2x3 x1 x2 x3
x4 x3 x1 x2x2 x4x3
x5 x4 x2 x3x3 x5x4
x6 x5 x3 x4x4 x6x5
x7 x6 x4 x5x5 x7x6
x8 x7 x5 x6x6 x8x7
x9 x8 x6 x7x7 x9x8
Aula 9 Fundamentos de Matemática 44
Definindo uma grade de energia
0
1
2
3
4
5x0x1x2x3 x1 x2 x3
x4 x3 x1 x2x2 x4x3
x5 x4 x2 x3x3 x5x4
x6 x5 x3 x4x4 x6x5
x7 x6 x4 x5x5 x7x6
x8 x7 x5 x6x6 x8x7
x9 x8 x6 x7x7 x9x8
x10 x9 x7 x8x8 x10x9
Aula 9 Fundamentos de Matemática 45
Definindo uma grade de energia
0
1
2
3
4
5x0x1x2x3 x1 x2 x3
x4 x3 x1 x2x2 x4x3
x5 x4 x2 x3x3 x5x4
x6 x5 x3 x4x4 x6x5
x7 x6 x4 x5x5 x7x6
x8 x7 x5 x6x6 x8x7
x9 x8 x6 x7x7 x9x8
x10 x9 x7 x8x8 x10x9
x11 x10 x8 x9x9 x11x10
Aula 9 Fundamentos de Matemática 46
Definindo uma grade de energia
0
1
2
3
4
5x0x1x2x3 x1 x2 x3
x4 x3 x1 x2x2 x4x3
x5 x4 x2 x3x3 x5x4
x6 x5 x3 x4x4 x6x5
x7 x6 x4 x5x5 x7x6
x8 x7 x5 x6x6 x8x7
x9 x8 x6 x7x7 x9x8
x10 x9 x7 x8x8 x10x9
x11 x10 x8 x9x9 x11x10
x12 x11 x9 x10x10 x12x11
Aula 9 Fundamentos de Matemática 47
Definindo uma grade de energia
0
1
2
3
4
5x0x1x2x3 x1 x2 x3
x4 x3 x1 x2x2 x4x3
x5 x4 x2 x3x3 x5x4
x6 x5 x3 x4x4 x6x5
x7 x6 x4 x5x5 x7x6
x8 x7 x5 x6x6 x8x7
x9 x8 x6 x7x7 x9x8
x10 x9 x7 x8x8 x10x9
x11 x10 x8 x9x9 x11x10
x12 x11 x9 x10x10 x12x11
x13 x12 x10 x11x11 x13x12
Aula 9 Fundamentos de Matemática 48
Definindo uma grade de energia
0
1
2
3
4
5x0x1x2x3 x1 x2 x3
x4 x3 x1 x2x2 x4x3
x5 x4 x2 x3x3 x5x4
x6 x5 x3 x4x4 x6x5
x7 x6 x4 x5x5 x7x6
x8 x7 x5 x6x6 x8x7
x9 x8 x6 x7x7 x9x8
x10 x9 x7 x8x8 x10x9
x11 x10 x8 x9x9 x11x10
x12 x11 x9 x10x10 x12x11
x13 x12 x10 x11x11 x13x12
x14 x13 x11 x12x12 x14x13
Aula 9 Fundamentos de Matemática 49
A energia deste peixe é x5
0
1
2
3
4
5x0x1x2x3 x1 x2 x3
x4 x3 x1 x2x2 x4x3
x5 x4 x2 x3x3 x5x4
x6 x5 x3 x4x4 x6x5
x7 x6 x4 x5x5 x7x6
x8 x7 x5 x6x6 x8x7
x9 x8 x6 x7x7 x9x8
x10 x9 x7 x8x8 x10x9
x11 x10 x8 x9x9 x11x10
x12 x11 x9 x10x10 x12x11
x13 x12 x10 x11x11 x13x12
x14 x13 x11 x12x12 x14x13
Aula 9 Fundamentos de Matemática 50
A energia deste cardume é x5 + x6 + x7
0
1
2
3
4
5x0x1x2x3 x1 x2 x3
x4 x3 x1 x2x2 x4x3
x5 x4 x2 x3x3 x5x4
x6 x5 x3 x4x4 x6x5
x7 x6 x4 x5x5 x7x6
x8 x7 x5 x6x6 x8x7
x9 x8 x6 x7x7 x9x8
x10 x9 x7 x8x8 x10x9
x11 x10 x8 x9x9 x11x10
x12 x11 x9 x10x10 x12x11
x13 x12 x10 x11x11 x13x12
x14 x13 x11 x12x12 x14x13
Aula 9 Fundamentos de Matemática 51
Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn − xn+1 − xn+2
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn+2 − xn+1 − xn
1− x − x2 = 0 ⇒ x =−1−
√5
2ou x =
−1 +√
52
.
Aula 9 Fundamentos de Matemática 52
Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1
xn
xn − xn+1 − xn+2
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn+2 − xn+1 − xn
1− x − x2 = 0 ⇒ x =−1−
√5
2ou x =
−1 +√
52
.
Aula 9 Fundamentos de Matemática 53
Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn − xn+1 − xn+2
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn+2 − xn+1 − xn
1− x − x2 = 0 ⇒ x =−1−
√5
2ou x =
−1 +√
52
.
Aula 9 Fundamentos de Matemática 54
Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn − xn+1 − xn+2
xn+1 xn
xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn+2 − xn+1 − xn
1− x − x2 = 0 ⇒ x =−1−
√5
2ou x =
−1 +√
52
.
Aula 9 Fundamentos de Matemática 55
Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn − xn+1 − xn+2
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn+2 − xn+1 − xn
1− x − x2 = 0 ⇒ x =−1−
√5
2ou x =
−1 +√
52
.
Aula 9 Fundamentos de Matemática 56
Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn − xn+1 − xn+2
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1
xn+2
xn+2 − xn+1 − xn
1− x − x2 = 0 ⇒ x =−1−
√5
2ou x =
−1 +√
52
.
Aula 9 Fundamentos de Matemática 57
Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn − xn+1 − xn+2
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn+2 − xn+1 − xn
1− x − x2 = 0 ⇒ x =−1−
√5
2ou x =
−1 +√
52
.
Aula 9 Fundamentos de Matemática 58
Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn − xn+1 − xn+2
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn+2 − xn+1 − xn
1− x − x2 = 0 ⇒ x =−1−
√5
2ou x =
−1 +√
52
.
Aula 9 Fundamentos de Matemática 59
Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn − xn+1 − xn+2
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn+2 − xn+1 − xn
1− x − x2 = 0 ⇒ x =−1−
√5
2ou x =
−1 +√
52
.
Aula 9 Fundamentos de Matemática 60
Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn − xn+1 − xn+2
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn+2 − xn+1 − xn
1− x − x2 = 0 ⇒ x =−1−
√5
2ou x =
−1 +√
52
.
Aula 9 Fundamentos de Matemática 61
Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn(1− x − x2)
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn(x2 − x − 1)
1− x − x2 = 0 ⇒ x =−1−
√5
2ou x =
−1 +√
52
.
Aula 9 Fundamentos de Matemática 62
Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn(1− x − x2)
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn(x2 − x − 1)
1− x − x2 = 0 ⇒ x =−1−
√5
2ou x =
−1 +√
52
.
Aula 9 Fundamentos de Matemática 63
Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn(1− x − x2)
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn(x2 − x − 1)
1− x − x2 = 0 ⇒ x =−1−
√5
2ou x =
−1 +√
52
.
Aula 9 Fundamentos de Matemática 64
Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn(1− x − x2)
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn(x2 − x − 1)
1− x − x2 = 0 ⇒ x =−1−
√5
2ou x =
−1 +√
52
.
Aula 9 Fundamentos de Matemática 65
Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn(1− x − x2)
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn(x2 − x − 1)
x =−1 +
√5
2é > 0 e < 1.
Aula 9 Fundamentos de Matemática 66
Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn(1− x − x2)
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn(x2 − x − 1)
xn(1− x − x2) = 0
Aula 9 Fundamentos de Matemática 67
Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn(1− x − x2)
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn(x2 − x − 1)
−xn < 0
Aula 9 Fundamentos de Matemática 68
Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn(1− x − x2)
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn(x2 − x − 1)
xn(x2 − x − 1)= xn(1− x − x − 1)= −2 xn+1 < 0
Aula 9 Fundamentos de Matemática 69
Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn(1− x − x2)
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn(x2 − x − 1)
xn(x2 − x − 1)= xn(1− x − x − 1)= −2 xn+1 < 0
Aula 9 Fundamentos de Matemática 70
Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn(1− x − x2)
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn(x2 − x − 1)
xn(x2 − x − 1)= xn(1− x − x − 1)= −2 xn+1 < 0
Aula 9 Fundamentos de Matemática 71
Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn(1− x − x2)
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn(x2 − x − 1)
Moral: em cada jogada, a energia de um cardume nunca aumenta!
Aula 9 Fundamentos de Matemática 72
Qual é a energia de todo o oceano?
0
1
2
3
4
5
x8 x7 x5 x6x6 x8x7
x9 x8 x6 x7x7 x9x8
x10 x9 x7 x8x8 x10x9
x11 x10 x8 x9x9 x11x10
x12 x11 x9 x10x10 x12x11
x13 x12 x10 x11x11 x13x12
x14 x13 x11 x12x12 x14x13
Aula 9 Fundamentos de Matemática 73
Qual é a energia de todo o oceano?
x5 + x6 + x7 + · · ·
+
2 ·(
x6 + x7 + x8 + · · ·)
+
2 ·(
x7 + x8 + x9 + · · ·)
+
...
Aula 9 Fundamentos de Matemática 74
Qual é a energia de todo o oceano?
x5 ·(
1 + x + x2 + · · ·)
+
2 x6 ·(
1 + x + x2 + · · ·)
+
2 x7 ·(
1 + x + x2 + · · ·)
+
...
Aula 9 Fundamentos de Matemática 75
Qual é a energia de todo o oceano?
x5 · 11− x+
2 x6 · 11− x+
2 x7 · 11− x+
...
Aula 9 Fundamentos de Matemática 76
Qual é a energia de todo o oceano?
x5 · 11− x
+ 2 x6 · 11− x
+ 2 x7 · 11− x
+ · · ·
=
x5
1− x+
2 x6
1− x· (1 + x + x2 + · · · )
=
x5
1− x+
2 x6
1− x· 1
1− x
=x5
x2 +2 x6
x2 ·1x2
=
x3 + 2 x2
Aula 9 Fundamentos de Matemática 77
Qual é a energia de todo o oceano?
x5 · 11− x
+ 2 x6 · 11− x
+ 2 x7 · 11− x
+ · · ·
=
x5
1− x+
2 x6
1− x· (1 + x + x2 + · · · )
=
x5
1− x+
2 x6
1− x· 1
1− x
=x5
x2 +2 x6
x2 ·1x2
=
x3 + 2 x2
Aula 9 Fundamentos de Matemática 78
Qual é a energia de todo o oceano?
x5 · 11− x
+ 2 x6 · 11− x
+ 2 x7 · 11− x
+ · · ·
=
x5
1− x+
2 x6
1− x· (1 + x + x2 + · · · )
=
x5
1− x+
2 x6
1− x· 1
1− x
=x5
x2 +2 x6
x2 ·1x2
=
x3 + 2 x2
Aula 9 Fundamentos de Matemática 79
Qual é a energia de todo o oceano?
x5 · 11− x
+ 2 x6 · 11− x
+ 2 x7 · 11− x
+ · · ·
=
x5
1− x+
2 x6
1− x· (1 + x + x2 + · · · )
=
x5
1− x+
2 x6
1− x· 1
1− x
=x5
x2 +2 x6
x2 ·1x2
=
x3 + 2 x2
Aula 9 Fundamentos de Matemática 80
Qual é a energia de todo o oceano?
x5 · 11− x
+ 2 x6 · 11− x
+ 2 x7 · 11− x
+ · · ·
=
x5
1− x+
2 x6
1− x· (1 + x + x2 + · · · )
=
x5
1− x+
2 x6
1− x· 1
1− x
=x5
x2 +2 x6
x2 ·1x2
=
x3 + 2 x2
Aula 9 Fundamentos de Matemática 81
Qual é a energia de todo o oceano?
x3 + 2 x2
=
x · x2 + 2 x2
=
x(1− x) + 2 x2
=
x − x2 + 2 x2
=x + x2
=
x + 1− x
=
1
Aula 9 Fundamentos de Matemática 82
Qual é a energia de todo o oceano?
x3 + 2 x2
=
x · x2 + 2 x2
=
x(1− x) + 2 x2
=
x − x2 + 2 x2
=x + x2
=
x + 1− x
=
1
Aula 9 Fundamentos de Matemática 83
Qual é a energia de todo o oceano?
x3 + 2 x2
=
x · x2 + 2 x2
=
x(1− x) + 2 x2
=
x − x2 + 2 x2
=x + x2
=
x + 1− x
=
1
Aula 9 Fundamentos de Matemática 84
Qual é a energia de todo o oceano?
x3 + 2 x2
=
x · x2 + 2 x2
=
x(1− x) + 2 x2
=
x − x2 + 2 x2
=x + x2
=
x + 1− x
=
1
Aula 9 Fundamentos de Matemática 85
Qual é a energia de todo o oceano?
x3 + 2 x2
=
x · x2 + 2 x2
=
x(1− x) + 2 x2
=
x − x2 + 2 x2
=x + x2
=
x + 1− x
=
1
Aula 9 Fundamentos de Matemática 86
Qual é a energia de todo o oceano?
x3 + 2 x2
=
x · x2 + 2 x2
=
x(1− x) + 2 x2
=
x − x2 + 2 x2
=x + x2
=
x + 1− x
=
1
Aula 9 Fundamentos de Matemática 87
Qual é a energia de todo o oceano?
x3 + 2 x2
=
x · x2 + 2 x2
=
x(1− x) + 2 x2
=
x − x2 + 2 x2
=x + x2
=
x + 1− x
=
1
Aula 9 Fundamentos de Matemática 88
Não é possível colocar um peixe no nível 5!
0
1
2
3
4
5x0
Aula 9 Fundamentos de Matemática 89
Referência:
http://www.cut-the-knot.org/proofs/checker.shtml
Aula 9 Fundamentos de Matemática 90
Seção de Exercícios
Aula 9 Fundamentos de Matemática 91