Post on 10-Nov-2018
Recorda…
Dadas duas grandezas x e y, diz-se que y é diretamente proporcional a x:
se x 0 e y 0 e o quociente entre dois quaisquer valores correspondentes for constante.
Esse número chama-se constante de proporcionalidade.
se x = 0 também y = 0.
Exemplo:
x 0 1 2 3 4
y 0 3 6 9 12
y
x
3= 3
1
6= 3
2
9= 3
3
12= 3
4
x e y são diretamente proporcionais e a constante de proporcionalidade é 3.
Recorda…
Quando duas grandezas são diretamente proporcionais, os pontos do gráfico encontram-se sobre uma reta que passa pela origem do referencial.
É uma função?
Sim, porque a cada valor de x corresponde um único valor de y.
Função de proporcionalidade direta
y= 3
x
y= k
xem que k é a constante de proporcionalidade
y
= k y = k xx
expressão algébrica de uma função de proporcionalidade direta
x 0 1 2 3 4
y 0 3 6 9 12
Função de proporcionalidade direta
Toda a função f que se pode representar por
y = k x, com k ≠ 0
ou, com o mesmo significado
f(x) = k x, com k ≠ 0
traduz uma situação de proporcionalidade direta em que:
k é a constante de proporcionalidade; k é a imagem de 1 por meio de f: f (1) = k.
O seu gráfico é um conjunto de pontos situados sobre uma reta que passa pela origem do referencial.
Função de proporcionalidade direta
Exemplo:
A função definida por y = 2x é uma função de proporcionalidade direta.
A constante de proporcionalidade é 2.
Função afim
Exemplos: y = 2x + 1 y = - x + 5 y = - 0,5 x
Chama-se função afim a toda a função definida por uma expressão algébrica do tipo f(x) = a x + b. A a chama-se coeficiente e a b termo independente. O gráfico de uma função afim é uma reta não vertical que interseta o eixo dos y’s no ponto (0,b).
Função afim
Casos particulares da função afim:
Função linear (b = 0)
Expressão analítica f(x) = a x , com a ≠ 0.
O gráfico é uma reta não vertical que passa pela origem.
a = f(1)
Função constante (a = 0)
Expressão analítica f(x) = b.
O gráfico é uma reta horizontal.
Função afim
Função constante
Expressão analítica y = b.
O gráfico é uma reta paralela ao eixo das abcissas, ou seja, uma reta horizontal. 4y
1y
2y
Conforme o valor de a, a função pode ser crescente (a>0), decrescente (a<0) ou constante (a=0)
O gráfico de uma função f(x) = ax+b é constituido por pontos que estão sobre uma reta, de equação y = ax + b, que interseta o eixo das ordenadas no ponto (0,b). A a chama-se declive da reta e a b a ordenada na origem.
a = 2 a = - 2 a = 0
Declive e inclinação da reta
Conclusão:
Quanto maior for o valor absoluto de a, mais inclinada está a reta (mais
perto está da posição vertical).
Considera a reta de equação y = 2x + 3.
O declive desta reta é 2.
Isto significa que sempre que x aumenta
uma unidade, o y aumenta duas unidades.
+1
+1
+2
+2
Considera a reta de equação y = - 3x + 6.
O declive desta reta é - 3. isto significa
que sempre que x aumenta uma unidade,
o y diminui três unidades.
Conclusão:
Sempre que x aumenta uma unidade, o declive indica quantas
unidades o y aumenta (quando a > 0) ou diminui (quando a < 0).
+1
+1
+1
- 3
- 3
- 3
Como determinar o declive de uma reta não vertical?
Se a reta passa pela origem do referencial e pelo ponto ,
então o declive é dado por:
, com .
Se a reta não passa pela origem mas contém os pontos e
, então o declive é dado por:
, com
Exemplo
r
s
2
1
-1
3
Equação da reta r:
Como passa na origem, é do tipo .
Como contém o ponto (2,1) temos que .
Logo,
r:
Equação da reta s:
Como não passa na origem, é do tipo .
Como contém os pontos (2,1) 3 (-1,3) temos que .
Assim, s: .
Para determinar o valor de basta substituir e pelas coordenadas de um ponto da reta:
Logo,
s:
Relação entre declive e paralelismo das retas
Considerem-se as três funções seguintes:
y = 2x ; y = 2x + 3 ; y = 2x − 2
Para representar as retas é necessário conhecer dois pontos. Para tal é útil
trabalhar com tabelas para ajudar a determinar os pontos necessários.
Os gráficos destas três funções são
retas paralelas (têm a mesma
inclinação relativamente ao eixo
horizontal) – o declive das três retas
é igual a 2 porque a = 2 .
O que varia nestes gráficos é o
ponto de interseção de cada reta
com o eixo vertical.
Duas retas são paralelas se e só se tiverem o mesmo declive