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UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHO CENTRO DE CINCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
CURSO DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA DE ELETRICIDADE
FLUXO DE POTNCIA TIMO COM RESTRIES DA CURVA DE
CAPABILIDADE DO GERADOR SNCRONO
DIONICIO ZCIMO AUPARI HUATUCO
So Lus - MA, Brasil
FEVEREIRO 2006
FLUXO DE POTNCIA TIMO COM RESTRIES DA CURVA DE
CAPABILIDADE DO GERADOR SNCRONO
Dissertao de Mestrado submetida Coordenao do Curso de Ps-Graduao
em Engenharia de Eletricidade da UFMA como parte dos requisitos para
obteno ao ttulo de Mestre em Engenharia Eltrica
na rea de Sistemas de Energia.
Por
DIONICIO ZCIMO AUPARI HUATUCO
FEVEREIRO, 2006
FLUXO DE POTNCIA TIMO COM RESTRIES DA CURVA DE
CAPABILIDADE DO GERADOR SNCRONO
DIONICIO ZCIMO AUPARI HUATUCO
DISSERTAO APROVADA EM 17/02/ 2006
Prof. Dr. Vicente Leonardo Paucar Casas UFMA
(Orientador)
Prof. Dr. Ubiratan Holanda Bezerra UFPA
(Membro da Banca Examinadora)
Prof. Dr. Osvaldo Ronald Saavedra Mndez UFMA
(Membro da Banca Examinadora)
FLUXO DE POTNCIA TIMO COM RESTRIES DA CURVA DE
CAPABILIDADE DO GERADOR SNCRONO
MESTRADO
rea de Concentrao: SISTEMAS DE ENERGIA ELTRICA
DIONICIO ZCIMO AUPARI HUATUCO
Orientador: Prof. Dr. Vicente Leonardo Paucar Casas
Curso de Ps-Graduao
em Engenharia de Eletricidade da
Universidade Federal do Maranho
Dedico este trabalho a
toda minha famlia.
Em especial a
minha me Melecia.
AGRADECIMENTOS
A Deus, que permitiu alcanar meus objetivos.
Ao Prof. Dr. Vicente Leonardo Paucar Casas pela orientao, apoio, incentivo e
amizade, cruciais para o desenvolvimento deste trabalho.
minha me Melecia Huatuco Huaman e meu irmo Leonardo aupari
Huatuco, fontes de inspirao e exemplos de constante superao, pelo carinho e
preocupao mostrados ao longo destes anos.
Aos meus filhos Jonathan, Karen e Zoraya pelo contnuo carinho expressado no
decorrer destes anos.
A meus colegas Marcos Julio Rider Flores e Manfred Bedriana Arons pela
amizade e fundamental apoio no desenvolvimento deste trabalho.
Ao grupo de professores do curso: PhD. Maria da Guia da Silva, Dr. Osvaldo
Ronald Saavedra Mndez e Dr. Jos Eduardo Onoda Pessanha, pela orientao e apoio.
A Magaly Echegaray Diaz pelo carinho e compreenso durante a realizao do
curso de Ps-Graduao.
Aos meus colegas peruanos do laboratrio: Juan Carlos, Juan Mauricio, Carlos,
Miriam, Sergio, Yuri, Alex e Romel, e aos meus colegas brasileiros Clissianne,
Irlandino, Osvaldo e Ricardo; a todos do GSP (Grupo de Sistemas de Potncia) e do
curso de Ps-Graduao, que com sua amizade fizeram da minha permanncia em So
Lus uma lembrana inesquecvel.
Ao CNPq (Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientfico e Tecnolgico) e
ELETRONORTE pelo financiamento de projetos de pesquisa que permitiram melhorar
a infra-estrutura computacional utilizada no presente trabalho.
RESUMO
Neste trabalho, apresentam-se as equaes dos limites de operao da mquina
sncrona que constituem a chamada curva de capabilidade. A partir dessas equaes
matemticas, deduzidas de cada um dos limites, obtido computacionalmente o grfico
da curva de operao que define a regio de operao da mquina sncrona para que
seus enrolamentos no se deteriorem nem que a mquina perca estabilidade em regime
permanente. Essas equaes esto sendo includas nas restries de um fluxo de
potncia timo (FPO). Na literatura tcnica, no h relatrios sobre as equaes
mencionadas nem sobre a sua utilizao em programas de FPO que considerem os
limites reais de operao da mquina sncrona. Considera-se que a capacidade de
gerao das potncias ativa e reativa de um gerador sncrono est limitada pela curva de
capabilidade completa considerando todos os seus limites e o objetivo principal deste
trabalho de pesquisa tem sido a implementao desses limites num FPO. O fluxo de
potncia timo considerado tem sido modelado como um problema de programao
no-linear com uma funo objetivo para minimizar o custo total de gerao da potncia
ativa, sujeita a um conjunto de restries tcnicas e econmicas. A soluo do FPO
proposta foi obtida com as funes de otimizao do MATLAB. A metodologia
proposta foi aplicada com sucesso aos sistemas teste WSCC3 de 3 geradores e New
England de 10 geradores, comprovando que os custos de operao so maiores
comparados com os resultados de programas FPO convencionais que utilizam limites
aproximados da curva de capabilidade.
ABSTRACT
This work presents the equations of operation limits of the synchronous machine
that constitute the so called capability curve. From these mathematical equations,
deduced from each one of these limits, the graphic of the operation curve is
computationally generated, defining the operation region of the synchronous machine so
that their windings do not itself deteriorate nor the machine loses stability in steady
state. These equations are being included or implemented in the constraints of an
optimal power flow (OPF). Actually these mentioned equations, neither have not been
published on technical bibliography nor have these equations been used in OPF
programs that consider the real operation limits of the synchronous machine. It is
considered that the generation capacity of the active and reactive powers of a
synchronous generator is limited by the complete capability curve, considering all its
limits, and the principal target of this research work is the implementation of these
limits in an OPF. The considered optimal power flow have been modeled as a nonlinear
programming problem with an objective function that minimizes the total cost of
generation of the active power, subject to a set of technical and economic constraints.
The solution of the proposed OPF was obtained with the MATLAB optimization
functions. The proposed methodology has been successfully applied on the WSCC3 of 3
generator systems as well as on the New England 10 generators system, verifying that
the operation costs are higher compared with the results of conventional OPFs
programs that use capability curve approximated limits.
ix
SUMRIO
Lista de Tabelas xii
Lista de Figuras xiv
Abreviaturas e Smbolos xvii
1. INTRODUO 1
1.1. Generalidades ..................................................................................................... 1
1.2. Formulao do problema .................................................................................... 2
1.3. Objetivos............................................................................................................. 3
1.4. Justificativa ......................................................................................................... 4
1.5. Metodologia........................................................................................................ 5
1.6. Estrutura do trabalho .......................................................................................... 5
2. CURVA DE CAPABILIDADE DO GERADOR SNCRONO 7
2.1. Introduo........................................................................................................... 7
2.2. A curva de capabilidade do gerador sncrono .................................................... 8
2.3. Limites da curva de capabilidade do gerador sncrono......................................... 9
2.3.1. Potncia ativa e reativa............................................................................... 10
2.3.2. Limite trmico do enrolamento do campo........................................... 12
2.3.3. Limite da potncia mecnica da mquina primria .............................. 14
2.3.4. Limite trmico do enrolamento de armadura....................................... 14
x
2.3.5. Limite de estabilidade permanente terico e prtico ............................ 14
2.3.6. Limite mnimo da corrente de excitao............................................... 17
2.4. Curva de capabilidade completa do gerador sncrono...................................... 17
3. INCLUSO DA CURVA DE CAPABILIDADE COMPLETA NO FLUXO
DE POTNCIA TIMO 21
3.1. Introduo......................................................................................................... 21
3.2. Fluxo de potncia timo .................................................................................. 22
3.2.1. Desenvolvimentos de fluxo de potncia timo......................................... 22
3.2.2. Formulao do modelo de FPO ................................................................ 25
3.2.3. Mtodos de soluo do FPO ..................................................................... 27
3.2.4. Desafios do FPO ....................................................................................... 29
3.3. Equaes da curva de capabilidade no FPO ......................................... 31
3.3.1. Funo objetivo..........................................................................................31 3.3.2. Restries da curva de capabilidade completa..........................................31
4. APLICAO A SISTEMAS TESTE E RESULTADOS....................................... 33
4.1.Introduo...................................................................................................... 363
4.2. Sistema WSCC3 de 3 geradores..................................................................... 36
4.3. Sistema New England de 10 geradores.........................................................55
5. CONCLUSES 59
5.1. Concluses........................................................................................................ 59
5.2. Contribuies .................................................................................................... 60
5.3. Trabalhos Futuros ............................................................................................. 61
xi
Apndices 62
A. Dados dos sistemas teste................................................................................... 63
A.1 Nomenclatura........................................................................................ 63
A.2 Sistema WSCC3 de 3 geradores 9 barras ............................................. 64
A.3 Sistema New England 10 geradores 39 barras...................................... 65
Referncias bibliogrficas 68
xii
LISTA DE TABELAS
Tabela 4.1: Resultados do fluxo de potncia timo com a curva de capabilidade
completa para o sistema teste WSCC3 de 3 geradores 9 barras.....................38
Tabela 4.2: Resultados do fluxo de potncia timo para os trs casos de curva de
capabilidade para o sistema teste WSCC3 de 3 geradores 9 barras (caso
base)...................................................................................................................42
Tabela 4.3: Resultados do fluxo de potncia timo para os trs casos de curva de
capabilidade para o sistema teste WSCC3 de 3 geradores 9 barras (caso
sobrecarregamento em 50% da potncia ativa).................................................43
Tabela 4.4: Resultados do fluxo de potncia timo para os trs casos de curva de
capabilidade para o sistema teste WSCC3 de 3 geradores 9 barras (caso com
potncia reativa negativa)..................................................................................47
Tabela 4.5: Resultados do fluxo de potncia timo para os trs casos de curva de
capabilidade para o sistema teste WSCC3 de 3 geradores 9 barras (caso
sobrecarregamento em 150% da potncia reativa)............................................51
Tabela 4.6: Resultados obtidos (funo objetivo) do fluxo de potncia timo para os
quatro casos de carregamento para o sistema teste WSCC3............................55
xiii
Tabela 4.7: Resultados do fluxo de potncia timo com a curva de capabilidade
completa para o sistema teste New England de 10 geradores 39 barras........56
Tabela 4.8: Resultados do fluxo de potncia timo para os trs casos de curva de
capabilidade aplicados ao sistema teste New England de 10 geradores 39
barras.................................................................................................................57
xiv
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1: Diagrama fasorial em regime permanente da mquina sncrona de plos
salientes ........................................................................................................11
Figura 2.2: Limaon de Pascal para diferentes tenses no terminal do gerador em
p.u......................................................................................................................13
Figura 2.3: Limites da curva de capabilidade do gerador sncrono em regime
permanente .......................................................................................................19
Figura 2.4: Curva de Capabilidade completa do gerador sncrono em regime
permanente........................................................................................................20
Figura 4.1: Limites de gerao do gerador sncrono para condio de operao 1 ...34
Figura 4.2: Curva de capabilidade aproximada do gerador sncrono para condio de
operao 2......................................................................................................... 35
Figura 4.3: Curva de capabilidade completa do gerador sncrono para condio de
operao 3.. .......................................................................................................35
Figura 4.4: Diagrama unifilar e dados para fluxo de carga do sistema de teste
WSCC3 de 3 geradores 9 barras. [ANDE77], [BEDR03]..............................36
xv
Figura 4.5: Resultados do fluxo de potncia timo do sistema WSCC3 de 3 geradores
9 barras...........................................................................................................37
Figura 4.6: Ponto de operao do gerador 1. Caso base ............................................39
Figura 4.7: Ponto de operao do gerador 2. Caso base ............................................40
Figura 4.8: Ponto de operao do gerador 3. Caso base ............................................41
Figura 4.9: Perfil de tenses para os trs casos propostos e para o sistema teste
WSCC3 de 3 geradores 9 barras (caso sobrecarregado em 50% da potncia
ativa)..................................................................................................................43
Figura 4.10: Ponto de operao do gerador 1. Caso sobrecarregamento da potncia
ativa ..................................................................................................................44
Figura 4.11: Ponto de operao do gerador 2. Caso sobrecarregamento da potncia
ativa ..................................................................................................................45
Figura 4.12: Ponto de operao do gerador 3. Caso sobrecarregamento da potncia
ativa ..................................................................................................................46
Figura 4.13: Ponto de operao do gerador 1 . Caso com potncia reativa
negativa..............................................................................................................48
xvi
Figura 4.14: Ponto de operao do gerador 2 . Caso com potncia reativa
negativa..............................................................................................................49
Figura 4.15: Ponto de operao do gerador 3 . Caso com potncia reativa
negativa..............................................................................................................50
Figura 4.16: Ponto de operao do gerador 1. Caso sobrecarregamento da potncia
reativa................................................................................................................52
Figura 4.17: Ponto de operao do gerador 2. Caso sobrecarregamento da potncia
reativa................................................................................................................53
Figura 4.18: Ponto de operao do gerador 3. Caso sobrecarregamento da potncia
reativa................................................................................................................54
Figura 4.19: Perfil de tenses para os trs casos de curvas de capabilidade aplicados
ao sistema teste New England de 10 geradores 39
barras.................................................................................................................58
xvii
ABREVIATURAS E SMBOLOS
ANEEL Agncia Nacional de Energia Eltrica
CCEE Cmara de Comercializao de Energia Eltrica
DC Direct current
FP Fluxo de potncia
FPO Fluxo de potncia timo
GRG Gradiente reduzido generalizado
LAP Lagrangeano Aumentado Projetado
MAE Mercado Atacadista de Energia
MPI Mtodos de pontos interiores
MATLAB Matrix laboratory
ng Nmero total de geradores
ONS Operador Nacional do Sistema Eltrico
PIM Programao linear inteira mista
PL Programao linear
PNL Programao no linear
PQ Programao quadrtica
PQS Programao quadrtica seqencial
PSERC Power Systems Engineering Research Center
SEE Sistemas de energia eltrica
SEP Sistema eltrico de potncia
WSCC3 Sistema teste Western System Coordinating Council de 3
geradores
d Eixo direto
ngulo de potncia
Ea Tenso induzida interna do gerador
fp Fator de potncia
Xd Reatncia sncrona em eixo direto
Xd Reatncia transitria em eixo direto
Xq Reatncia sncrona em eixo de quadratura
Ia Corrente de armadura do gerador
xviii
Iad Componente retangular no eixo direto da corrente de armadura do
gerador
Iaq Componente retangular no eixo de quadratura da corrente de
armadura do gerador
IaMAX Corrente de armadura mxima do gerador
PmecMAX Potncia mecnica mxima
q Eixo em quadratura
SgNOM Potncia aparente nominal
V Magnitude da tenso terminal do gerador
1
1. INTRODUO 1. Figura Nvel 1 1. 1
1.1. Generalidades
A histria da pesquisa do fluxo de potncia timo (FPO) pode-se caracterizar
como a aplicao de grandes progressos dos mtodos de otimizao dos anos 60s. O
FPO constitui um problema de otimizao no-linear esttico que estima os ajustes
timos das variveis eltricas em um sistema de potncia com os dados de carga e
parmetros do sistema.
O progresso dos mtodos numricos manifesta-se com as solues de problemas
maiores e mais complexos em um marco de tempo mais rpido. Historicamente a
soluo do despacho econmico pelo mtodo dos custos incrementais iguais foi um
precursor do FPO. Com a aplicao do FPO, a utilizao do despacho econmico
clssico tornou-se menor, no qual s eram consideradas as geraes de potncia ativa
e as restries de igualdade do balano de energia eltrica. Posteriormente foram
consideradas restries de desigualdade e de segurana nos algoritmos.
Nas referncias [CARP93] e [SALG90] apresenta-se uma classificao dos
algoritmos para resolver o FPO baseado na estrutura da soluo juntamente com uma
comparao numrica dos resultados.
Embora existam avanos notveis, o fluxo de potncia timo ainda
considerado um problema matemtico difcil. Segundo alguns pesquisadores, em
relao ao FPO em tempo real, ainda no esto disponveis metodologias eficientes,
pois na maior parte com os algoritmos atuais no possvel obter solues confiveis e
rpidas. Mesmo assim, atualmente, o problema do FPO est sendo aplicado aos sistemas
eltricos de potncia que operam em ambiente desregulamentado.
Tambm, tem-se que desenvolver a curva de capabilidade da mquina sncrona
usando as equaes deduzidas previamente para seus limites de operao sem que os
2
enrolamentos fiquem deteriorados nem a mquina perca estabilidade em regime
permanente.Este modelo da curva de capabilidade de mquinas sncronas vlido para
geradores de plos salientes e aqueles de plos lisos, podendo tambm operar como
motor.
Apresenta-se neste trabalho uma representao matemtica exata dos limites da
curva de capabilidade, onde se consideram os limites nas correntes do rotor e da
armadura, limite da potncia mecnica da mquina primria, o limite de estabilidade
permanente terico e prtico, e o limite de sub-excitao. Com isto, vai-se incluir uma
representao detalhada do modelo da mquina sncrona em estado permanente em uma
formulao de FPO.
Conseqentemente, os geradores podero trabalhar com margens mais amplas,
perto de seus limites, oferecendo maiores faixas para as potncias ativa e reativa geradas
sem a perda da estabilidade. Assim, a curva de capabilidade dos geradores deve ser
includa no FPO com a funo objetivo para minimizar os custos dessas potncias
geradas.
1.2. Formulao do problema
Devido s formulaes convencionais do fluxo de potncia timo (FPO)
basearem-se somente na modelagem conhecida de fluxo de potncia, onde os geradores
so modelados como barras PV e conseqentemente conduzir a resultados distantes da
realidade; e tambm por razes de segurana os fabricantes indicarem limites
pessimistas da capacidade da mquina sncrona, foi necessria uma representao mais
realista da mquina, pois este elemento de grande importncia para a anlise do
sistema de potncia, especialmente em condies de sobrecarregamento.
Para isso, as curvas de capabilidade so obtidas utilizando-se os valores reais
dos parmetros da mquina sncrona, tais como reatncia em eixo direto (Xd), reatncia
em eixo de quadratura (Xq), reatncia transitria em eixo direto (Xd), potncia nominal
(MVA), tenso nominal (kV) e fator de potncia da mquina (fp). Alm disso, esses
limites da curva de capabilidade foram deduzidos levando em conta expresses da
potncia ativa e reativa, algumas identidades trigonomtricas e, mais importante ainda, a
metodologia da construo geomtrica proposta pelos fabricantes e pesquisadores
3
[ZAWO01] [GOVE65]. Tambm, para obter o grfico da curva completa de operao,
utilizou-se como ferramenta um programa computacional desenvolvido na linguagem
de programao do MATLAB, para que, conseqentemente nesta curva de
capabilidade, possam-se examinar suas regies e seus limites.
Finalmente, fazer a incluso destes limites de operao da mquina nas
restries do fluxo de potncia timo para sua conseguinte aplicao a dois sistemas
teste: sistema WSCC3 de 3 geradores e o sistema New England de 10 geradores. No
primeiro sistema, o teste fez-se com carga base, sobrecarregando em potncia ativa e
com potncia reativa negativa. J no segundo sistema teste, utilizou-se somente o
carregamento base.
Os resultados so comparados com resultados de outros FPO convencionais que
usam somente alguns limites da curva de capabilidade.
1.3. Objetivos
O objetivo geral propor um mtodo prtico para resolver o problema do fluxo
de potncia timo (FPO) num sistema eltrico de potncia (SEP), levando em conta as
variveis de controle, tais como a potncia ativa e reativa, controle de tenso nas barras,
com a finalidade de minimizar custos de gerao da potncia ativa e as perdas nas linhas
de transmisso.
Um dos objetivos especficos mais relevantes deste trabalho a incluso no FPO
das novas restries de potncia ativa e reativa, isto , os limites mximo e mnimo dos
geradores no sero aqueles aproximados, geralmente utilizados na literatura; sero
mais exatos e de acordo com as restries completas da curva de capabilidade da
mquina sncrona. A proposta usar melhores restries que resultam da curva de
capabilidade, com todos seus limites de operao que podero ser aplicados a sistemas
testes que tenham geradores hidrulicos e trmicos.
A soluo do fluxo de potncia timo permite conhecer o estado de operao,
em regime permanente, do sistema de potncia e tambm considerar situaes futuras
do SEP. Para obter essa soluo, so utilizados diversos mtodos clssicos tais como o
4
mtodo de Newton, gradiente, programao linear, etc. Atualmente, o FPO uma
ferramenta importante para a operao adequada do sistema de potncia.
No FPO, para atender uma determinada demanda total de um SEP, as potncias
ativas e reativas geradas devem ser pr-especificadas para cada gerador, sendo o custo
associado com essa gerao um indicador da quantidade de potncia ativa que deve ser
gerada (despacho econmico clssico); j o custo pelo fornecimento de potncia reativa
tem pouca ateno, embora, atualmente, exista uma maior pesquisa no desenvolvimento
de novas metodologias, a fim de se determinar uma remunerao apropriada da potncia
reativa dos geradores [GIL00].
Outro objetivo especfico do presente desenvolvimento a comparao dos
resultados de trs casos diferentes para os limites das variveis da curva de
capabilidade: potncias ativa e reativa geradas. Sendo o primeiro com limites mximo e
mnimo (FPO clssico); o segundo uma regio com trs limites e o terceiro, a curva de
capabilidade completa proposta com seus cinco limites.
1.4. Justificativa
At agora nos problemas do FPO no se consideram os limites reais de operao
dos geradores, porm, com a incluso de todos esses limites propostos neste trabalho, a
otimizao do FPO pode ser melhorada, ainda mais quando nesse FPO a funo
objetivo igual ao custo total de gerao da potncia ativa.
A curva e as equaes desenvolvidas no presente trabalho tambm podem
contribuir nos sistemas eltricos de superviso e de controle para o desenvolvimento de
um grande nmero de ferramentas de apoio operao, a partir do tratamento adequado
das mesmas.
O uso das curvas de capabilidade que resultam das equaes reais para os limites
de estabilidade da mquina sncrona sero aos poucos incorporadas para a operao do
sistema eltrico, e nas anlises mais imediatas que so feitas nos estudos da fase de
planejamento da operao para horizontes de tempo mais longos [MACH04].
Alm disso, a visualizao do ponto de operao em conjunto com a curva de
capabilidade passa a ser de grande utilidade toda vez que permite a preveno de
5
possveis violaes nos limites de absoro de potncia reativa nas unidades geradoras e
possveis insucessos.
O FPO, como muitos outros programas no-lineares, s vezes propenso a um
mau condicionamento e a uma convergncia difcil, por isso recomenda-se que a
pesquisa futura nos aspectos de programao de FPO deva ser focada nessas
dificuldades bsicas. E a soluo encontra-se em nossa habilidade de resolver vrios
problemas de engenharia que evitam a utilizao de muitos artifcios matemticos.
1.5. Metodologia
Em relao metodologia de trabalho, a pesquisa foi desenvolvida no
laboratrio de sistemas de potncia do Departamento de Engenharia de Eletricidade da
UFMA, baseada em tcnicas de anlise e sntese.
Fez-se uma pesquisa bibliogrfica dos diferentes enfoques e dos mtodos de
resoluo do FPO publicados nos ltimos 40 anos com a finalidade de escolher o
mtodo ou tcnica j desenvolvida mais conveniente para o estudo a ser feito.
Tambm se procurou a bibliografia para conhecer melhor a operao do gerador
sncrono nas proximidades dos limites de estabilidade e os mtodos para traar as
curvas de capabilidade, usando as equaes matemticas que foram desenvolvidas com
os parmetros reais de uma mquina em operao [NAGY70], [NILS94].
Finalmente, foram includas essas equaes dos limites da curva de capabilidade
da mquina sncrona nas restries do FPO e tambm foi includa na funo objetivo o
custo total da potncia ativa gerada.
1.6. Estrutura do trabalho
O desenvolvimento do trabalho comea no Captulo 2, com a deduo,
representao e apresentao dos limites da curva de capabilidade, considerado o mais
importante desta dissertao, e utilizando como ferramenta de programao o
MATLAB.
6
No captulo 3, so apresentados os conceitos associados s metodologias do
FPO, mtodos de soluo existentes e desafios dele, para logo incluir os limites da
curva de operao da mquina sncrona no FPO.
No captulo 4, com a inteno de validar esta nova metodologia, utilizou-se dois
sistemas testes: WSCC3 de 3 geradores e New England de 10 geradores. So
apresentados os resultados e logo comparados com os resultados de outros FPO
convencionais que usam s alguns dos limites de operao dos geradores.
No captulo 5, apresentam-se as concluses e contribuies do presente trabalho,
assim como possveis trabalhos futuros.
7
2. CURVA DE CAPABILIDADE DO GERADOR SNCRONO
2. Figura Nvel 1 2. 1
2.1. Introduo
A curva de capabilidade da mquina sncrona de plos salientes uma regio
onde ela deve operar sem que seus enrolamentos fiquem deteriorados. Antigamente, a
curva de capabilidade chamava-se diagrama de operao P-Q ou carta de capacidade e
tinha somente uma construo geomtrica, existindo informao bibliogrfica desses
mtodos nas referencias [GOVE65], [WALK52], [IEEE90]; porm essa forma da
construo complexa e muito laboriosa.
Neste capitulo ser desenvolvido um conjunto de equaes algbricas para os
principais limites da curva de capabilidade da mquina sncrona para o qual se usam as
expresses da potncia ativa e reativa, conhecidas nas disciplinas de engenharia eltrica.
Tambm os parmetros da mquina sncrona hidrulica ou trmica, sejam de plos
salientes ou rotor cilndrico, e algumas identidades trigonomtricas. D-se uma especial
importncia deduo e ao estudo dos limites de estabilidade terico e prtico em
estado estvel da mquina com a finalidade de verificar os limites permissveis de
gerao das potncias ativa e reativa. Estas equaes ainda no foram desenvolvidas e
no foram apresentadas na literatura. Desse modo, a contribuio deste trabalho foi
desenvolver essas equaes matemticas dos limites reais que constituem a curva de
capabilidade da mquina sncrona, sendo incorporadas ao FPO.
Conseqentemente, agora se pode fazer a construo da curva de capabilidade
da mquina sncrona com todos seus limites usando suas verdadeiras equaes
deduzidas previamente, para sua conseguinte visualizao, obtendo-se seu grfico
automaticamente no computador em forma fcil, eficiente e direto. As dedues so
8
tambm vlidas para a operao da mquina sncrona como motor em regime
permanente.
Neste trabalho, no so considerados outros limites porque na maioria dos casos
ficam fora da regio de operao, sendo, ainda assim, providos e recomendados pelos
fabricantes. Alguns deles so: limites de tenso mxima e mnima nos terminais do
gerador, limite de rel de corrente sub-excitado, limites de tenso mxima e mnima dos
servios ancilares e limites de Volts/Hz no regulador de tenso [ADIB94]. Tem-se
tambm o limite de aquecimento final do ncleo provocado pelas correntes parasitas,
que so induzidas pelo sistema nas partes de ao da armadura [MECR91], [ZAWO01].
2.2. A curva de capabilidade do gerador sncrono
Pode-se definir a curva de capabilidade como um conjunto de limites fsicos, os
quais definem a regio de operao do gerador sncrono. Os limites operacionais
representam principalmente os limites fsicos impostos pelo fabricante para manter o
funcionamento adequado da mquina sncrona [HEFF52]., embora existam outros
limites que foram adicionados como conseqncia de novos controladores e para
procurar condies especficas de operao.
No planejamento e operao dos sistemas eltricos de potncia, distintos
componentes so modelados em diferentes maneiras visando realizar diversos tipos de
anlise, como por exemplo: anlise esttica, anlise dinmica de estabilidade transitria,
anlise dinmica de estabilidade permanente, anlise eletromagntica, entre outros. Em
particular para anlise dinmica eletromecnica, os modelos dos geradores sncronos
so determinados basicamente pelas equaes diferenciais do comportamento dinmico
da mquina e seus controladores, e as condies iniciais impostas pelas equaes
algbricas que representam a interao dos geradores com a rede eltrica de transmisso
e cargas. Neste caso, necessrio ressaltar que o comportamento dinmico deve ser
mantido entre limites operacionais o qual corresponde a adicionar restries em diversas
variveis das equaes do sistema. Como conseqncia disso, a modelagem para anlise
esttica prope uma relaxao do monitoramento dos limites operacionais no
comportamento dinmico, focalizando o problema para o comportamento de estado
9
estvel ou quase estacionrio; assim, o grau de complexidade do problema diminudo
facilitando o seu uso nos problemas da operao e planejamento.
Usando a teoria de dois eixos aplicada numa mquina sncrona de plos
salientes foi possvel deduzir as equaes que representam os limites da curva de
operao da mquina sncrona no modo gerador, enfatizando que possvel completar o
diagrama de operao no modo motor de forma fcil, pois esta curva simtrica com
relao ao eixo horizontal.
Agora para a deduo e a diagramao dos limites propostos ,usam-se somente
os parmetros bsicos de projeto de mquinas sncronas, tais como: reatncia no eixo
direto (Xd), reatncia no eixo de quadratura (Xq), reatncia transitria no eixo direto
(Xd), tenso nos terminais do gerador (V), potncia aparente nominal (SgNOM), potncia
mecnica mxima dada pela mquina primria (PmecMAX) e fator de potncia da mquina
sncrona (fp).
2.3. Limites da curva de capabilidade do gerador sncrono
Nesta seo sero apresentadas as principais caractersticas da curva de
capabilidade bem como a formao das equaes algbricas e trigonomtricas dos
limites operacionais que constituem a curva de capabilidade.
A anlise do presente trabalho est restrita ao modo de operao da mquina
sncrona no regime permanente com condies definidas pelas seguintes suposies:
a) Toda variao no carregamento tem um intervalo de tempo muito pequeno,
ento qualquer perturbao pequena e desprezvel.
b) Em todos os casos a mquina sncrona est operando em paralelo com um
sistema eltrico de grande porte, isto , conectada numa barra infinita com tenso
constante e sem afeito pelas mudanas de carregamento na mquina em operao.
c) Pode-se ignorar a saturao magntica, justificando-se porque um dos
problemas mais importantes da mquina sncrona, tal como a estabilidade, usualmente
est relacionada com uma baixa excitao (sem saturao).
10
d) Os limites associados tenso nos terminais do gerador esto sendo levados
em conta quando realizado o controle de tenso em barras.
e) Os limitadores de mnima excitao no so considerados devido sua anlise
depender exclusivamente do tipo de regulador de tenso que possui a mquina sncrona
e ao ajuste de parmetros. Isto pode ser importante quando o gerador exigido a
trabalhar freqentemente na regio de sub-excitao.
Ento, a curva de capabilidade associada com o conjunto de limites fsicos dos
distintos dispositivos do gerador sncrono e eles definem a regio de operao para uma
anlise esttica. Nas prximas sees, so apresentados os principais limites da curva de
capabilidade do gerador sncrono que se consideraram neste trabalho.
2.3.1. Potncia ativa e reativa
O diagrama vetorial convencional do gerador sncrono de plos salientes
alimentando uma carga com fator de potncia em atraso mostrado na Figura 2.1, em
que d e q so os eixos, direto e em quadratura, respectivamente, Ea o vetor da tenso
induzida interna do gerador, V o vetor da tenso terminal do gerador, o ngulo
entre a tenso terminal e o eixo em quadratura q (ngulo de potncia) , Xd e Xq so as
reatncias sncrona do eixo direto e em quadratura, o valor da resistncia da armadura
desprezvel; Ia representa a corrente de armadura, Iad e Iaq so as componentes
retangulares no eixo direto e no eixo em quadratura da corrente de armadura do gerador
[ANDE93].
Neste diagrama fasorial, desprezando a resistncia do enrolamento de armadura,
tem-se a equao (2.1) correspondente:
++= addaqqa IjXIjXVE (2.1)
11
Figura 2.1: Diagrama fasorial em regime permanente da mquina sncrona de
plos salientes
Lembrando que SG = PG + jQG = V.Ia* pode-se calcular as potncias ativa e
reativa do gerador sncrono atravs das equaes (2.2).
2.2
2
senXXXXVsen
XVEP
qd
qd
d
a
+= (2.2a)
+
+=
qd
qd
qd
qd
d
a
XXXXV
XXXXV
XVEQ
.22cos
.2cos
22
(2.2b)
Para simplificar, definem-se as variveis:
d
a
XVEm = (2.3)
=
qd
qd
XXXXVs
.2
2
(2.4)
+=
qd
qd
XXXXVn
.2
2
(2.5)
q
XdIad
XqIaq
V
rIa
Ea
Iaq
Ia
d
Iad
12
Substituindo as equaes (2.3), (2.4) e (2.5) nas equaes (2.2) obtm-se as
expresses simplificadas para as potncias de gerao (2.6).
2.. senssenmP += (2.6a)
nsmQ += 2cos.cos. (2.6b)
2.3.2. Limite trmico do enrolamento do campo
O limite trmico determinado pela corrente mxima que pode suportar os
enrolamentos do rotor sem que fiquem deteriorados. Este limite definido como o lugar
geomtrico da tenso induzida mxima (a corrente de campo mxima proporcional
tenso induzida). Para encontrar a equao correspondente, primeiro elevam-se ao
quadrado as equaes (2.6) para logo substituir na expresso da potncia aparente (2.7).
222 QPS += (2.7)
Alm disso, devem-se usar as equivalncias trigonomtricas de ngulo duplo e
ngulo triplo para obter-se:
( ) ( )nsQnmnnsmS +++++= .2cos.2222 (2.8) Agora, para simplificar, faz-se um deslocamento no eixo horizontal:
nsQQ ++= (2.9)
Substituindo (2.7) e (2.9) em (2.8), temos.
cos...2..2 222 smQsmQP ++=+ (2.10)
Definindo
222 QPR += (2.11)
Em que tambm se cumpre:
senRP .= (2.12)
13
cos. RQ = (2.13)
Substituindo (2.11) e (2.13) em (2.10) temos:
( ) cos...2cos...222 smRsmR ++= (2.14) Resolvendo a equao (2.14) obtm-se:
cos..2 smR += (2.15) A equao (2.15) traada na forma polar no plano P-Q o lugar geomtrico da
potncia aparente para um valor constante da corrente de campo, sendo o limite mximo
a curva obtida com a mxima corrente de campo que o enrolamento de campo pode
suportar.
A curva obtida com a equao (2.15) denomina-se Limaon de Pascal e
representa o limite trmico do enrolamento de campo mostrado na Figura 2.2.
-8 -6 -4 -2 0 20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Potncia reativa Q (pu)
Pot
ncia
ativ
a P
(pu)
V = 0.90 pu V = 0.95 pu V = 1.00 pu V = 1.05 pu V = 1.10 pu
R = m + 2 s cos
Figura 2.2: Limaon de Pascal para diferentes tenses no terminal do gerador em p.u.
14
2.3.3. Limite da potncia mecnica da mquina primria
Para o gerador a mxima capacidade da mquina primria fica representada no
plano P-Q com uma reta paralela ao eixo Q e passando pelo ponto PmecMAX (potncia
limite da mquina primria). Normalmente, a potncia mecnica mxima colocada em
funo da SgNOM, e pode ser usado um fator do limite mecnico de acordo com a
expresso:
NOMgMAXmec SkP .= (2.16)
Onde k um fator para encontrar a potncia mecnica mxima.
2.3.4. Limite trmico do enrolamento de armadura
Este limite trmico determinado pela corrente mxima que pode suportar o
enrolamento de armadura. Na literatura, este limite considerado como o lugar
geomtrico para a corrente de armadura mxima constante, o qual corresponde
equao de uma circunferncia com centro na origem de coordenadas no plano Q-P.
( ) 222*. QPIV aMAX += (2.17) 2.3.5. Limite de estabilidade permanente terico e prtico
Os limites anteriores (limite de corrente de armadura, limite de corrente de
campo e limite de potncia mecnica) definem a operao do gerador na regio de
sobre-excitao (gerao de reativos), que a regio que na maioria das vezes opera.
Algumas vezes exigida a operao na regio de sub-excitao (consumo de reativos).
Como conseqncia, devem ser definidos os seguintes limites: o limite de estabilidade
permanente terico e o limite de estabilidade permanente prtico.
Anteriormente, a condio terica de estabilidade de regime estvel definia que
o deslocamento angular no ultrapassasse o mximo ngulo imposto para a mxima
potncia ativa. Esta condio foi formulada a partir das equaes de potncia-ngulo
dos geradores. Assim sendo, usam-se as equaes anteriores para obter a potncia ativa
mxima em tais condies.
15
Utilizando-se as equivalncias trigonomtricas de ngulo duplo em funo de
cos na equao (2.6b), tem-se como resultado uma equao quadrtica que, aps ser
resolvida, obtm-se a equao (2.18):
++=ssq
sm
sm
216.4cos 2
2
(2.18)
Utilizando a equao (2.18) e as equaes (2.6) obtm-se a equao (2.19).
( ) ( ) 22222222 2242
smnQsmmnQsmP +++++= (2.19)
Procurando simplificar faz-se a seguinte alterao de varivel:
nQq += (2.20)
A equao (2.20) substituda na equao (2.19) e logo com o objetivo de
encontrar uma expresso para a potncia ativa mxima em funo da potncia reativa Q,
obtm-se a primeira derivada da equao (2.19) sobre q e iguala-se a zero.
02
=dq
dP (2.21)
Obtendo-se:
022242
12 221
2222
=
++
smsmsqmmq (2.22)
Da equao (2.22) isolamos o termo ( sqm22 ) para substituir na equao (2.19) e
logo se obtm:
qsmqsmP
42
222
22
max += (2.23)
Por outro lado, arrumando convenientemente as equaes (2.6), tem-se:
16
qsqsm =
22 ..8 (2.24)
Finalmente, substitui-se a equao (2.24) em (2.23) para encontrar a expresso
da potncia ativa mxima em funo de Q, que dada por (2.25):
( )QnsQnsP
++=3
2max (2.25)
Sendo os limites de Q:
snQsn +
O equivalente da equao (2.25) em funo dos parmetros da mquina dado
por (2.26):
QXV
QXV
P
d
q
+
+
= 2
32
2max (2.26)
Onde a variao de Q :
dq XVQ
XV 22
A expresso matemtica (2.25) ou (2.26), quando traada no sistema de
coordenadas P-Q, representa o limite de estabilidade permanente terico da mquina
sncrona de plos salientes, onde Q o valor que faz que P seja mximo. A curva
resultante assinttica com relao ao limite superior de Q.
Na prtica no aceito o limite terico e para encontrar o limite prtico
necessrio deixar uma margem de estabilidade disponvel em todos os casos igual a
10% ou 20% da potncia ativa nominal [WEED89]. Em conseqncia, o limite de
estabilidade prtico define-se como:
)( minlimlim alnoteorico
itepractico
ite PKPP = (2.27)
17
Em que K tem um valor de 0.1 at 0.2
Para o caso particular da mquina sncrona de rotor cilndrico, esse limite de
estabilidade permanente uma paralela ao eixo vertical e que passa pela interseco
com o eixo horizontal no ponto Q = - V2/Xd.
2.3.6. Limite mnimo da corrente de excitao
Historicamente, este limite foi estudado por Nagy [NAGY70] e basicamente
obtido pelo lugar geomtrico da corrente mnima de excitao evitando a operao
inversa da fonte DC da excitao (corrente negativa). Teoricamente o lugar geomtrico
no plano P-Q corresponde corrente de excitao zero que pode ser construdo
diretamente quando o Limaon de Pascal possuir uma excitao zero ( )0=aE . Pode-se demonstrar que este lugar geomtrico igual circunferncia com raio s e traado entre
as ordenadas V2/Xq e V2/Xd de acordo com a equao (2.28).
( ) 222 snQP =++ (2.28) O raio s zero para uma mquina de rotor cilndrico, onde as reatncias nos eixo
direto e eixo em quadratura so iguais.
Os geradores normalmente no tm proviso para fornecer corrente negativa de
campo.Ento, nestas condies, o sistema no pode reduzir a tenso at zero e
conseqentemente a corrente de campo do gerador, a valores iguais ou menores que
zero; usual limitar a corrente de campo at um valor mnimo de 5% do requerido
carga nominal [NAGY70].
2.4. Curva de capabilidade completa do gerador sncrono
Na seo 2.3, foram apresentados os principais limites operacionais que formam
a tpica curva de capabilidade do gerador sncrono. Com o objetivo de propor uma curva
de capabilidade mais til na anlise esttica, foram escolhidos os seguintes limites:
1) Limite de corrente de campo
2) Limite mximo de potncia mecnica
18
3) Limites de corrente de armadura
4) Limite de estabilidade permanente terico e prtico (estabilidade de estado
estvel).
5) Limite mnimo da corrente de excitao.
Todas as equaes desses limites so levadas a um mesmo sistema de
coordenadas, que resulta na curva de capabilidade do gerador sncrono em regime
permanente mostrada na Figura 2.3. Utilizaram-se os dados da referncia [ANDE93],
tais como: Sg = 247.5 MVA, V = 16.5 kV, Xd = 0.0608 (p.u.), Xd = 0.146 (p.u.), Xq =
0.0969 (p.u.), fp = 0.85 e PmecMAX = 0.9.
Na Figura 2.4, mostra-se a curva de capabilidade completa do gerador sncrono
de plos salientes em regime permanente, com seus 5 limites e o limite terico de
estabilidade. Tambm, mostram-se as coordenadas de cada uma das intersees destes
limites e a regio de operao.
19
Figura 2.3: Limites da curva de capabilidade do gerador sncrono em regime
permanente
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 30
1
2
3
4
5
6
7
Potncia reativa Q (pu)
Pot
ncia
ativ
a P
(pu)
(1.86;0.00)
(1.32;2.12) (-1.32;2.13)
(-1.83;1.70)
(-2.47;0.38)
(-2.32;0.00)
Limite mximo de corrente de campo (Limaon de Pascal) Limite mximo de potncia mecnica (Reta) Limite de corrente de armadura (Circunferncia) Limite de estabilidade de estado estvel - prtico (Parbola) Limite de mnima corrente de excitao - prtico (Circunferncia)
Regio de operao
20
Figura 2.4: Curva de Capabilidade completa do gerador sncrono em regime
permanente
-3 -2 -1 0 1 2 30
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Potncia reativa Q (pu)
Pot
ncia
ativ
a P
(pu)
(1.86;0.00)
(1.32;2.12) (-1.32;2.13)
(-1.83;1.70)
(-2.47;0.38)
(-2.32;0.00)
Limite mximo de corrente de campo (Limaon de Pascal) Limite mximo de potncia mecnica (Reta) Limite de corrente de armadura (Circunferncia) Limite de estabilidade de estado estvel - prtico (Parbola) Limite de mnima corrente de excitao - prtico (Circunferncia)
Regio deoperao
21
3. INCLUSO DA CURVA DE CAPABILIDADE COMPLETA NO
FLUXO DE POTNCIA TIMO 3. Figura Nvel 1 3. TAblea Nivel 1
3.1. Introduo
A soluo das equaes do problema do fluxo de potncia permite conhecer o
estado atual do sistema e modelar situaes futuras de forma relativamente simples.
Entretanto, esta abordagem apresenta as seguintes limitaes: a) necessidade da pr-
especificao do valor de certas variveis de controle, b) dificuldade na modelagem de
restries de desigualdade, c) dificuldade para modelar aes de controles simultneos,
e d) impossibilidade da associao de custo operao dos sistemas eltricos de
potncia (SEP). Para contemplar estas limitaes do problema de fluxo de potncia,
utiliza-se uma ferramenta denominada fluxo de potncia timo (FPO) [CARP62],
[DOMM68], [RAMO05].
No captulo2, foram deduzidas equaes correspondentes a vrios limites de
operao que compem a curva de capabilidade da mquina sncrona. Essa curva de
capabilidade representa com maior detalhamento a regio de operao da mquina
sncrona. A incluso desses limites de operao no modelo do fluxo de potncia timo,
especificamente includas dentro do conjunto das restries de desigualdade, deve
permitir uma avaliao mais precisa dos valores de operao das potncias ativa e
reativa de gerao da mquina sncrona.
Assim mesmo possvel visualizar o comportamento da mquina sncrona
dentro da curva de capabilidade para diferentes valores da corrente de campo e da
corrente de armadura. Esta visualizao da operao da mquina dentro da curva de
capabilidade vai permitir uma interpretao prtica e fcil do funcionamento e do
22
requerimento da mquina para sua operao tima, evitando aquecimento dos
enrolamentos ou perda de sincronismo com a conseguinte deteriorao dos
enrolamentos ou perda de estabilidade dentro de um sistema eltrico de potncia.
Tambm se pode utilizar a curva de capabilidade para fazer uma melhor anlise
computacional do ponto de operao da mquina sncrona conectada na rede de energia
eltrica para diferentes situaes de carregamento, desde carregamento indutivo puro
at carregamento capacitivo, variando o fator de potncia; onde esse ponto de operao
vai tocando cada um dos limites da curva de capabilidade, ou seja, pode-se analisar
visualmente a operao da mquina, confinada dentro da regio factvel de operao.
3.2. Fluxo de potncia timo
O problema do fluxo de potncia timo (FPO) pode ser modelado como um
problema de otimizao no-linear, no convexo, que calcula um conjunto de variveis
timas de estado e controle da rede, a partir dos dados de carga e dos parmetros do
sistema. O problema de FPO consiste em otimizar (minimizar ou maximizar) uma
funo objetivo enquanto deve ser satisfeito um conjunto de restries fsicas e
operacionais impostas pelas limitaes dos equipamentos e exigncias de segurana.
O fluxo de potncia timo uma ferramenta utilizada em estudos dos sistemas
eltricos de potncia. Seus resultados e suas anlises devem-se aplicar no planejamento
da expanso, na operao dos sistemas, na otimizao dos sistemas eltricos, na anlise
de estabilidade, nos resultados de contingncias, no controle e anlise de sistemas em
tempo real. Constantemente so desenvolvidos e discutidos diversos algoritmos,
utilizando as mais diversas metodologias.
3.2.1. Desenvolvimentos de fluxo de potncia timo
A primeira formulao matemtica de um FPO foi apresentada em 1962 por
Carpentier, em que o problema foi resolvido pela aplicao das condies de Karush-
Kuhn-Tucker (KKT) [WRIG97] e a utilizao de um mtodo do tipo relaxao. Esta
formulao inicial era extremamente complexa, pouco eficiente e apresentava srios
problemas de convergncia [BAPT04].
23
Nesta mesma dcada, em 1968, foi apresentado por Dommel e Tinney um
mtodo de gradiente reduzido, no qual as variveis do problema so divididas em
variveis independentes, que so as variveis de controle (u) (geraes, tenses em
barras de carga e ngulos de tenses) [DOMM68]. As restries funcionais e as
restries de canalizao sobre as variveis de estado so includas na funo objetivo
atravs de sinalizaes quadrticas externas. Este mtodo do gradiente apresentou
problemas de oscilao em torno da soluo tima, alm de uma sensibilidade excessiva
do processo de convergncia em relao ao tamanho do gradiente. Contudo, este
mtodo continua apresentando interesse do ponto de vista didtico por sua formulao
ser simples e o desenvolvimento intuitivo. Na dcada de 70, vrios aperfeioamentos
foram propostos para as formulaes originais, mas nenhum avano significativo foi
alcanado quando se analisa os quesitos de robustez e velocidade computacional.
As maiores contribuies dos anos 70 consistiram em um aperfeioamento do
mtodo de Dommel e Tinney de 1968 atravs da utilizao do mtodo de gradiente
reduzido generalizado (GRG) [GILL81] ao invs do gradiente reduzido. A essncia
desde mtodo est na transformao das desigualdades funcionais em restries de
igualdade, pela introduo de variveis de folga e, quando uma varivel dependente
violada, automaticamente transformada em varivel independente, e, ao mesmo tempo
uma das variveis independentes transformada em varivel dependente. As
desvantagens deste mtodo so: falta de critrio para a troca entre variveis dependentes
e independentes e a necessidade de iniciar o processo iterativo com uma soluo vivel.
Mtodos de otimizao baseados em modelos lineares de SEP tambm foram
publicados nos anos 70, destacando-se os trabalhos de pesquisa de Stott e Hobson
[STOT77] e Stott e Marinho [STOT78], ambos utilizando tcnicas de programao
linear (PL) [WRIG97].
Os mtodos publicados nas dcadas de 60 e 70 utilizavam modelos de primeira
ordem. Uma contribuio desta poca so os mtodos baseados em programao linear
seqencial, utilizados at os dias atuais. Mas estas metodologias apresentavam vrias
deficincias, estabelecendo a necessidade do desenvolvimento de mtodos de segunda
ordem que fossem capazes de resolver o problema de FPO de forma rpida e eficiente.
24
A dcada de 80 trouxe avanos considerveis para a soluo do problema de
FPO. Em [BURC82] foi apresentado um dos primeiros mtodos de segunda ordem que
obteve sucesso. Nesse trabalho foi utilizado o mtodo do Lagrangeano aumentado
projetado (LAP), em que a funo objetivo o Lagrangeano aumentado e as restries
so linearizadas. A principal desvantagem deste mtodo que a matriz Hessiana se
torna extremamente densa.
Um aperfeioamento deste mtodo foi proposto em [BURC84], onde se utilizou
programao quadrtica seqencial (PQS) (com aproximao quadrtica da funo
objetivo e linearizao das restries). Nesta metodologia, o problema original era
transformado em uma seqncia de problemas quadrticos.
Nas referncias [SUN84], [SUN87] e [TINN87] so propostos mtodos de
programao quadrtica resolvidos pelo mtodo de NewtonRaphson com um clculo
exato da matriz Hessiana.
Em [PERE91] foi apresentada uma metodologia de PQS, na qual foram
utilizadas tcnicas de desacoplamento dos subproblemas de potncia ativa e de potncia
reativa, alm de tcnicas eficientes para o tratamento de matrizes esparsas com o
objetivo de reduzir o custo computacional.
Wu, Granville e La Torre nas referncias [WU94], [GRAN94] e [LATO95] o
FPO foi modelado utilizando o mtodo dos pontos interiores (MPI) [KARM84],
alcanando bons resultados na otimizao de sistemas eltricos de potncia (SEP).
Castronuovo em [CAST01] props uma metodologia para a vetorizao de
problemas de FPO. Esta metodologia apresentou bom desempenho em computadores
com arquiteturas que utilizam processamento paralelo.
Um trabalho sobre o tratamento de variveis discretas utilizando MPI foi
publicado por Liu [LIU02] em que o mtodo utilizado garante que o resultado final das
variveis sejam valores discretos mas no garante o timo global.
Em [SANT03] foi proposto um mtodo heurstico para resolver problemas no
conexos, este mtodo utiliza execues sucessivas do MPI. Tambm apresentado um
tratamento para variveis discretas.
25
3.2.2. Formulao do modelo de FPO
A formulao do FPO a ser apresentada corresponde ao modelo de um problema
de otimizao sujeito s restries das equaes de fluxo de potncia e
minimizao/maximizao de um ndice de desempenho, considerando as limitaes de
operao do sistema. Dependendo do ndice de desempenho, podem-se definir
diferentes problemas de otimizao para um mesmo sistema.
As variveis do FPO
As variveis do FPO so: a tenso complexa em cada barra, transformadores em
fase e defasadores, capacitores, reatores; tambm podem ser as potncias ativas e
reativas de gerao, limite mximo de transmisso em uma linha, transaes contratadas
entre barras, etc. Podem-se adicionar outras variveis dependendo do objetivo do estudo
e do mtodo de otimizao utilizado.
Funo objetivo
Existe uma grande variedade de funes objetivo que so possveis de utilizar na
operao da rede eltrica, com relao ao objetivo do estudo. No FPO, algumas das
mais utilizados so:
- Mnimo custo de gerao de potncia ativa;
- Mnimo custo de gerao de potncia reativa;
- Minimizao das perdas de potncia ativa;
- Mnimo desvio de uma distribuio de potncia ativa pr-especificada;
- Mnimo desvio de um perfil de tenses pr-especificado;
- Mnimo corte de carga;
- Mnima ao de controle;
- A combinao das anteriores, em um nico problema multi-objetivo.
26
As restries de igualdade
Esta restrio determinada pelas equaes da rede de transmisso iguais s do
problema de fluxo de potncia. Adicionalmente podem ser includas no problema de
otimizao restries que modelam caractersticas particulares da operao do sistema
como uma combinao de variveis do sistema.
As restries de desigualdade
So os limites impostos a uma varivel ou conjunto de variveis do sistema. Em
relao a sua funo, podem ser classificados em trs grandes grupos :
- Restries fsicas: impostos pelos limites de capacidade dos componentes do
sistema. Tm-se limites mximo e mnimo de gerao de potncia ativa e reativa das
unidades geradoras. Limites nos valores dos taps dos transformadores, limites de
transmisso de potncia aparente em linhas de transmisso, limites da capacidade de
gerao de potncia reativa dos componentes shunts, etc
- Restries operacionais: a operao do sistema impe limites que devem ser
considerados na modelagem, limites mximo e mnimo da magnitude da tenso nas
barras, abertura angular mxima entre barras, etc.
- Restries de segurana: as restries de segurana representam outro grupo de
restries relacionadas a um conjunto de contingncias determinadas pela anlise de
segurana em tempo real. O resultado da anlise de segurana uma operao tima do
sistema.
A formulao do FPO pode ser reescrita como um problema de programao
no linear padro, dada pela expresso (3.1):
ul
ul
xxIxhh(x)h
g(x)asMin f(x)
=
0.. (3.1)
Em que:
27
xnx so as variveis de deciso,
f(x) : nx a funo objetivo,
g(x) : nx ndg so as restries de igualdade,
h(x) : nx ndh so as restries de desigualdade,
hu e hl so os limite superior e inferior de h(x), respectivamente e
Ix : nx ndx um sub vetor de x que tem limites xu e xl limite superior e inferior, respectivamente.
3.2.3. Mtodos de soluo do FPO
O fluxo de potncia timo um termo genrico que descreve um conjunto de
problemas nos quais se tenta otimizar a funo objetivo especificada e tambm devem
ser satisfeitas as restries definidas pelos detalhes operacionais e fsicos da rede
eltrica. Ento, as formulaes convencionais do FPO apontam para reduzir ao mnimo
os gastos de operao satisfazendo as restries representadas pelos balanos de
potncia ativa e reativa nas barras em termos de tenses e de ngulos da fase.
Uma variedade de tcnicas de otimizao foi usada para a soluo de problemas
de FPO. As tcnicas podem ser classificadas como: [MOMO99]
1. Programao no linear (PNL),
2. Programao quadrtica (PQ),
3. Mtodo de Newton - soluo baseada em condies de otimizao,
4. Programao linear (PL),
5. Verses hbridas da programao linear e da programao inteira,
6. Mtodos de pontos interiores (MPI).
A seguir vamos detalhar brevemente cada um deles:
28
1. Programao no-linear (PNL)
A programao no-linear (PNL) ocupa-se dos problemas que implica funes
objetivo no-lineares e das funes de restries. As restries podem consistir em
formulaes de igualdade e/ou desigualdade, sendo que as formulaes de desigualdade
podem ser especificadas com base em um valor mximo ou mnimo.
2. Programao quadrtica (PQ)
A programao quadrtica uma forma especial de programao no linear,
onde a funo objetiva quadrtica com restries lineares. Vrios mtodos de PQ nesta
categoria foram utilizados para solucionar problemas como o do fluxo de potncia
timo (perdas, despacho econmico). Os mtodos de Newton so baseados em
sensibilidade e foram usados para solucionar problemas de FPO em tempo real
3. Mtodo de Newton - solues baseadas em condies de otimizao
Neste mtodo de aproximao, as condies necessrias de otimizao so
designadas comumente pelas condies de Karush-Kuhn-Tucker. Em geral, so
equaes no lineares que requerem mtodos iterativos de soluo. O mtodo de
Newton favorvel por suas caractersticas de convergncia quadrtica.
4. Programao linear (PL)
Esse mtodo conveniente para os problemas de programao linear com
restries e funo objetivo formulados em forma linear com variveis no negativas. O
mtodo simplex [WOOD94] conhecido pelo bom desempenho na soluo de
problemas desse tipo.
Aproximadamente 25% dos artigos cientficos publicados resolvem os
problemas de FPO usando tcnicas baseadas em PL [HUNE91]. A tcnica mais
comumente usada a reviso do mtodo simplex. As funes objetivo (tenses, perdas,
despacho econmico e potncia reativa) so linearizadas para permitir uma soluo com
PL.
5. Programao linear inteira mista (PIM)
29
A programao linear inteira mista (PIM) um tipo particular de programao
linear onde as equaes de restries so constitudas de variveis inteiras. A
programao inteira mista, a programao de nmero inteiro e tambm a programao
no-linear tm extrema exigncia de recurso computacional e o nmero de variveis
discretas um importante indicador da dificuldade do problema da PIM para ser
solucionado.
Este mtodo utiliza uma mistura das tcnicas de programao linear e
programao com nmero inteiro para solucionar problemas tpicos de sistemas de
potncia. A tcnica matemtica de otimizao assume os objetivos lineares e as
restries so umas combinaes lineares e no linear com variveis inteiras ou
discretas [ALSA90].
6. Mtodo de pontos interiores (MPI)
O mtodo de pontos interiores foi descoberto recentemente por Karmarkar
[KARM84], surpreendendo todos os pesquisadores, pois este esquema soluciona a
programao linear mais rapidamente e melhor que o algoritmo simplex convencional.
As aplicaes do mtodo de pontos interiores aos problemas de PNL e PQ apresentam
resultados com melhores qualidades e promissores.
Dos mtodos conhecidos para resolver um problema de FPO, o que se adapta s
restries de desigualdade o mtodo de programao lineal (ademais do mtodo de
pontos interiores) j que o problema a ser resolvido semelhante ao que pode ser
linearizado sem perda de preciso. Os mtodos de Newton e o gradiente oferecem
muitas dificuldades para trabalhar com restries de desigualdade.
3.2.4. Desafios do FPO
A tpica estrutura vertical do sistema de energia eltrica est mudando para uma
estrutura horizontal em que a gerao, transmisso e distribuio da energia eltrica so
consideradas como setores separados. Entre as novas propostas, considera-se que a
gerao competitiva, enquanto a transmisso tende a ser um monoplio regulado. No
caso do sistema brasileiro, novas instituies como a ANEEL (Agncia Nacional de
Energia Eltrica), ONS (Operador Nacional do Sistema Eltrico), CCEE (Cmara de
30
Compensao de Energia Eltrica), anteriormente MAE (Mercado Atacadista de
Energia), entre outras, constituem parte das evidncias do processo de mudanas no seu
setor eltrico iniciado em 1995. Nesse contexto, em que a eletricidade considerada um
bem que pode ser comercializado em um mercado, que surgem os mercados eltricos
competitivos [ILI98].
De acordo com os princpios econmicos do mercado de livre acesso, o objetivo
global dos sistemas de energia eltrica satisfazer a demanda do servio eltrico ao
menor custo possvel, considerando adequados nveis de confiabilidade, qualidade e
segurana do servio.
evidente que neste novo ambiente os mercados eltricos so competitivos.
Considera-se necessrio, ento, analisar as metodologias de clculo dos pagamentos e
encargos pelo servio de eletricidade para assegurar a viabilidade tcnica e econmica
dos SEE. E tambm os custos de gerao da potncia ativa e reativa tm que ser
regulados pelo prprio mercado eltrico.
Os recentes desenvolvimentos incluem no FPO clculo de preos marginais nos
novos mercados eltricos. Nesse contexto, a eletricidade considerada um bem que
pode ser comercializado. Uma formulao apropriada do problema e uma efetiva
metodologia de soluo so necessrias para a real aplicao do FPO em sistemas de
potncia. Atualmente, o FPO implementado na maioria dos novos centros de controle.
Apesar disso, ainda utilizado efetivamente em poucos sistemas [RAMA68]. Alguns
desafios que o FPO tem que superar para ser uma ferramenta confivel para a operao
em tempo real so os seguintes:
- Resposta rpida
- Robustez da soluo
- Nmero de controles afetados na soluo
- Modelagem de variveis discretas
- Incluso das transaes econmicas bilaterais.
- Incluso de variveis ambientais e mecnicas.
31
3.3. Equaes da curva de capabilidade no FPO
As equaes da curva de capabilidade representam os limites de operao da
mquina sncrona em estado estvel e devem ser includos nas restries de
desigualdade no FPO.
Alguns pesquisadores j formularam o problema de FPO incluindo modelo
detalhado dos geradores [FONT04]. Porm, as equaes reais desenvolvidas no captulo
2 deste trabalho ainda no foram utilizadas. Portanto, deve-se fazer a incluso delas no
problema de FPO.
3.3.1. Funo objetivo
No presente trabalho a funo objetivo dada pela equao (3.2) o custo total de
gerao de potncia ativa pelos geradores do sistema em R$/h.
=
ng
iGii PCMin
1)( ngi ,,1K= (3.2)
Em que 2GiGiGi )(P PcPbaCi ++= , onde a, b e c so coeficientes determinados pelas respectivas concessionrias geradoras
3.3.2. Restries da curva de capabilidade completa
As restries de igualdade so as equaes de fluxo de potncia (3.3):
,...,nbiPP)(YVV DiGinb
jijijijji 1 ; 0cos
1==++
= (3.3a)
,...,nbiQQ)(YVV DiGinb
jijijijji 1 ; 0sin
1==++
= ( 3.3b)
As restries convencionais de desigualdade das variveis de controle eram
utilizadas como limites fixos para a potncia ativa (Pmin e Pmx) e para a potncia
reativa (Qmin e Qmx). Nesta nova formulao, os limites das potncias so aquelas
apresentadas no Captulo 2 e, para sua incluso nas restries do FPO, devem-se
escrever da seguinte forma:
32
( ) ( )( ) 0..2 2222
++++++++
nsQP
nsQsmnsQP (3.4a)
( ) 0 gNOMSkP (3.4b) ( ) 0222 + aMAXVIQP (3.4c)
( ) ( ) 0. 2max3 ++ PQnsQns (3.4d) ( ) 0222 ++ snQP (3.4e)
As equaes (3.4), correspondem aos limites da corrente de campo, limite de
potncia mecnica, limite da corrente de armadura, limite de estabilidade permanente e
limite mnimo da corrente de excitao respectivamente e foram reescritas a partir das
equaes (2.15), (2.16), (2.17), (2.25) e (2.28).
As variveis de controle do FPO nesta formulao so: a magnitude da tenso
em cada barra com limites mnimo e mximo vista nas equaes (3.5) e as potncias
ativas e reativas de gerao cujos limites so definidos pela curva de capabilidade.
,...,nbiVVV 1 ; maxmin = (3.5a)
,...,ngiPPP GGG 1 ; maxmin = (3.5b)
,...,ngiQQQ GGG 1 ; maxmin = (3.5c)
33
4. APLICAO A SISTEMAS TESTE E RESULTADOS
4.1. Introduo
Nesta metodologia usada para validar as equaes da curva de capabilidade foi
implementado um modelo de fluxo de potncia timo (FPO), onde se incluiu as
equaes da curva de capabilidade nas restries de desigualdade e o programa
computacional foi codificado em MATLAB, verso 7.0.
Os sistemas de potncia utilizados nos testes foram: sistema WSCC3 (Western
System Coordinating Council) de 9 barras e 3 geradores; e o sistema New England de
39 barras e 10 geradores. No primeiro sistema teste, considerou-se caso base de
carregamento e caso de sobrecarregamento e no segundo sistema teste se considerou
somente os dados do caso base.
Foram consideradas trs verses da curva de operao do gerador sncrono,
escolhidas da literatura de acordo com as seguintes caractersticas:
Curva de operao 1
Usando limites de valor constante das potncias ativa e reativa (FPO clssico)
como se mostra na Figura 4.1. Neste caso, foi usado o pacote de arquivos do programa
computacional MATPOWER [ZIMM05] desenvolvido para solucionar problemas de
fluxo de potncia e fluxo de potncia timo, de propriedade de Power Systems
Engineering Research Center (PSERC).
Curva de operao 2
Esta curva corresponde a uma curva de operao aproximada, de trs limites,
mostrada na Figura 4.2. Neste caso, usam-se as equaes propostas na referncia
[LOF95] e os algoritmos correspondentes foram desenvolvidos em [RIDE02].
34
Curva de operao 3
Esta curva obtida usando a curva de capabilidade completa da mquina
sncrona (de cinco limites) mostrada na Figura 4.3. A obteno dessa curva foi
desenvolvida no presente trabalho de pesquisa e o programa computacional
correspondente foi codificado na plataforma MATLAB 7.0 da companhia The Math
Works, Inc. O formato de dados dos arquivos de entrada uma variao do formato de
dados da referncia [ZIMM05].
Figura 4.1: Limites de gerao do gerador sncrono para condio de operao 1
Potncia ativa
Potncia reativa
Pmax
Pmin
Qmin Qmax
Regio de operao
35
Figura 4.2: Curva de capabilidade aproximada do gerador sncrono para
condio de operao 2
Figura 4.3: Curva de capabilidade completa do gerador sncrono para condio
de operao 3
d
at
XEV max.
max. at IV
d
tX
V
GP
GQ
Limite de armadura
Limite de campo
Limite de sub excitao
Regio de operao
GQ
Limite de campo
Limite de potncia mecnica
Limite de armadura
Limite de estabilidade
Limite mnimo de excitao
Regio de operao
GP
36
4.2. Sistema WSCC3 de 3 geradores
O sistema WSCC3 usado por Anderson e Fouad [ANDE77] composto de 3
geradores, 9 barras, 11 ramos e 3 cargas que totalizam 315MW de potncia ativa e
115MVAr de potncia reativa, como mostrado na Figura 4.4. Os dados do sistema,
que serviram como base para as simulaes, podem ser encontrados no Apndice A.
Figura 4.4: Diagrama unifilar e dados para fluxo de carga do sistema de teste WSCC3 de 3 geradores 9 barras. [ANDE77], [BEDR03]
~ 2
78 3
9
1 swing
5
6
4
Carga A 125.0MW 50.0MVAr
Carga B 90.0MW 30.0MVAr
Carga C 100.0MW 35.0MVAr
Gerador 3 108.8 MW
Gerador 1 212.5 MW
Gerador 2 163.2 MW .
r = 0.0320 p.u. x = 0.1610 p.u. B= 0.3060
r = 0.0085 p.u. x = 0.0720 p.u. B= 0.1490
r = 0.0119 p.u. x = 0.1008 p.u. B= 0.2090
r = 0.0390 p.u. x = 0.1700 p.u. B= 0.3580
r = 0.0100 p.u. x = 0.0850 p.u. B= 0.1760
r = 0.0170 p.u. x = 0.0920 p.u. B= 0.1580
x = 0.0576 p.u. a = 1.0000 p.u.
x = 0.0586 p.u. a = 1.0000 p.u.
x = 0.0625 p.u. a = 1.0000 p.u.
~
~
37
Caso 1 (carregamento base)
Os resultados do fluxo de potncia timo, considerando a curva de capabilidade
completa do gerador sncrono, so apresentados na Figura 4.5, onde so mostradas as
geraes de potncia ativa (MW), as potncias reativas geradas (MVAr), os fluxos de
potncia ativa nos ramos (MW), os fluxos de potncia reativa nos ramos (MVAr) e as
magnitudes de tenses nas barras (p.u).
A funo objetivo o custo total da potncia ativa gerada e tem um valor de
5296.68 R$/h , conforme Tabela 4.1.
Figura 4.5: Resultados do fluxo de potncia timo do sistema WSCC3 de 3 geradores 9 barras.
G2 2
7
8
G3 3
9
G1
1
5
6
4
100.0 MW 35.0 MVAr
125.0 MW 50 MVAr
90.0 MW 30.0 MVAr
94.19 MW _22.63 MVAr
94.19 MW _22.63 MVAr
38.22 MW _5.10 MVAr
38.07 MW 18.68 MVAr
55.97 MW _22.19 MVAr
54.96 MW 16.12 MVAr
35.04 MW 13.88 MVAr
35.22 MW _3.89 MVAr
54.28 MW 31.08 MVAr
54.58 MW 12.94 MVAr
72.11 MW _10.15 MVAr
70.72 MW 16.18 MVAr
89.80 MW 12.97 MVAr
89.69 MW 9.05 MVAr
61.93 MW 16.32 MVAr
62.21 MW 0.82 MVAr
134.32 MW 0.03 MVAr
134.32 MW 0.03 MVAr
1.094 pu
1.100 pu
1.097 pu 1.086 pu 1.100 pu
1.071 pu 1.084 pu
1.100 pu 1.089 pu
Fluxo de potncia ativa (MW) e reativa (MVAr)
FUNO OBJETIVO:
5296.68 R$/h
89.69 MW 12.97 MVAr
134.32 MW _9.33 MVAr
94.19MW _27.29 MVAr
38
Tabela 4.1: Resultados do fluxo de potncia timo com a curva de capabilidade completa para o sistema teste WSCC3 de 3 geradores 9 barras.
Barra Nome Tipo Modulo V(p.u.) ngulo V
(graus) Gerao (MW)
Gerao (MVAr)
1 Barra 1 VTh 1.1000 0.000 89.80 12.97 2 Barra 2 PV 1.0974 4.893 134.32 0.03 3 Barra 3 PV 1.0866 3.248 94.19 -22.63 4 Barra 4 PQ 1.0942 -2.463 - - 5 Barra 5 PQ 1.0718 -4.618 - - 6 Barra 6 PQ 1.0844 -3.982 - - 7 Barra 7 PQ 1.1000 0.905 - - 8 Barra 8 PQ 1.0895 -1.197 - - 9 Barra 9 PQ 1.1000 0.601 - -
Mostram-se tambm os pontos de operao dos 3 geradores com a curva de
capabilidade completa proposta neste trabalho para o caso base, nas figuras 4.6, 4.7 e
4.8. Tem-se a curva de capabilidade do gerador 1, 2 e 3, respectivamente, com o ponto
inicial de iterao de cor azul e o ponto de convergncia final de cor vermelha. Obteve-
se 18 iteraes para um carregamento do caso base; tambm se tem os valores da
potncia reativa e ativa em p.u. (Coordenadas do ponto final). Observa-se que todo o
cenrio de convergncia prximo do centro da regio de operao factvel. O gerador
1 de tipo hidrulico e os outros dois so trmicos.
39
Figura 4.6: Ponto de operao do gerador 1. Caso base
-3 -2 -1 0 1 2 30
1
2
3
4
5
6
Qgerado
(pu)
P ger
ado
(pu)
0 [18] ( 0.1297 ; 0.8980 )
40
Figura 4.7: Ponto de operao do gerador 2. Caso base
Na Figura 4.7, o limite de estabilidade terica quase uma reta e o limite de
corrente mnima de excitao muito pequena devido aos geradores 2 e 3, que so do
tipo trmico, onde as reatncias nos eixos direto e quadratura tm valores aproximados.
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Qgerado
(pu)
P ger
ado
(pu)
0 [18] ( 0.0003 ; 1.3432 )
41
Figura 4.8: Ponto de operao do gerador 3. Caso base.
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Qgerado
(pu)
P ger
ado
(pu)
0 [18] ( -0.2263 ; 0.9419 )
42
Agora, considera-se cada uma das trs curvas de operao definidas
anteriormente para a soluo do FPO, ou seja, primeiro considerando limites fixos
(curva 1), segundo com trs limites na curva de capabilidade (curva 2) e terceiro com a
curva de capabilidade completa (curva 3). Os resultados so mostrados na Tabela 4.2.
apresentada uma comparao dos resultados obtidos para as variveis de controle:
tenses nas barras (p.u.), potncias ativas (MW) e reativas geradas (MVAr) para cada
uma das trs curvas de operao com respectivos valores da funes objetivo (R$/h).
Tabela 4.2: Resultados do fluxo de potncia timo para os trs casos de curva de
capabilidade para o sistema teste WSCC3 de 3 geradores 9 barras (caso base)
CURVA 1 f.o.=5296.69 R$/h
CURVA 2 f.o.=5296.68 R$/h
CURVA 3 f.o.=5296.68 R$/h
B A R R A
V (p.u.) PG(MW) QG(MVAr) V (p.u.) PG(MW) QG(MVAr) V (p.u.) PG(MW) QG(MVAr)
1 1.100 89.800 12.970 1.100 89.80 12.97 1.100 89.80 12.97 2 1.097 134.32 0.030 1.097 134.32 0.03 1.097 134.32 0.03 3 1.087 94.190 -22.630 1.086 94.19 -22.63 1.086 94.19 -22.63 4 1.094 - - 1.094 - - 1.094 - - 5 1.072 - - 1.071 - - 1.071 - - 6 1.084 - - 1.084 - - 1.084 - - 7 1.100 - - 1.100 - - 1.100 - - 8 1.089 - - 1.089 - - 1.089 - - 9 1.100 - - 1.100 - - 1.100 - -
Observa-se que na utilizao das trs curvas de capabilidade para a comparao
os resultados so quase iguais, isso porque o ponto de operao fica prximo do centro
da regio factvel e no chega a tocar nenhum limite da curva de operao.
Caso 2 (sobrecarregamento da potncia ativa)
Ento, para conseguir tocar alguns dos limites da curva de operao, vai-se
aumentar o carregamento da potncia ativa em 50% em cada barra de carga, mantendo a
potncia reativa em mesmo valor. Os resultados so apresentados na tabela 4.3
43
Tabela 4.3: Resultados do fluxo de potncia timo para os trs casos de curva de
capabilidade para o sistema teste WSCC3 de 3 geradores 9 barras (caso
sobrecarregamento em 50% da potncia ativa)
CURVA 1 f.o.=10164.94 R$/h
CURVA 2 f.o.=10168.68 R$/h
CURVA 3 f.o.=10802.02 R$/h
B A R R A
V (p.u.) PG(MW) QG(MVAr) V (p.u.) PG(MW) QG(MVAr) V (p.u.) PG(MW) QG(MVAr)
1 1.100 159.13 29.10 1.100 159.43 31.92 1.100 206.01 30.91 2 1.100 192.00 15.23 1.087 191.82 8.26 1.100 163.20 11.27 3 1.092 128.00 -10.20 1.095 127.92 -4.40 1.092 108.80 -11.14 4 1.088 - - 1.086 - - 1.089 - - 5 1.058 - - 1.054 - - 1.061 - - 6 1.073 - - 1.072 - - 1.075 - - 7 1.097 - - 1.088 - - 1.097 - - 8 1.084 - - 1.079 - - 1.084 - - 9 1.100 - - 1.100 - - 1.100 - -
0.9
0.95
1
1.05
1.1
Barra 1 Barra 2 Barra 3 Barra 4 Barra 5 Barra 6 Barra 7 Barra 8 Barra 9
Caso 1Caso 2Caso 3
Figura 4.9: Perfil de tenses para os trs casos propostos e para o sistema teste WSCC3 de 3 geradores 9 barras (caso sobrecarregamento em 50% da potncia ativa)
44
Para este caso de sobrecarregamento, mostra-se um grfico de perfil de tenses
obtidas com cada uma das curvas de capabilidade na Figura 4.9. Tm-se tambm os
pontos de operao para cada um dos geradores nas figuras 4.10, 4.11 e 4.12 para os
geradores 1, 2 e 3, respectivamente, com a curva de capabilidade proposta neste
trabalho, com um carregamento da potncia ativa aumentada em 50% e potncia reativa
igual ao caso base. Convergncia final com 13 iteraes; mostram-se os valores das
potncias reativa e ativa em p.u. (Coordenadas do ponto final de cor vermelha). Na
Figura 4.10 observa-se que no gerador 1 no chega a tocar o limite mecnico, mas fica
prximo dele. Esta uma curva de capabilidade tpico de um gerador hidrulico.
Figura 4.10: Ponto de operao do gerador 1. Caso sobrecarregamento da potncia ativa
-3 -2 -1 0 1 2 30
1
2
3
4
5
6
Qgerado
(pu)
P ger
ado
(pu)
0
[13] ( 0.3091 ; 2.0601 )
45
Figura 4.11: Ponto de operao do gerador 2. Caso sobrecarregamento da potncia ativa
Nas figuras 4.11 e 4.12, tem-se a curva de capabilidade dos geradores 2 e 3,
respectivamente, com carregamento da potncia ativa aumentada em 50% e potncia
reativa igual ao caso base. Observa-se que os dois geradores so de tipo trmico e no
ponto de convergncia chega-se a tocar o limite mecnico.
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Qgerado
(pu)
P ger
ado
(pu)
0
[13] ( 0.1127 ; 1.6320 )
46
Figura 4.12: Ponto de operao do gerador 3. Caso sobrecarregamento da potncia ativa
Caso3 (carregamento com potncia reativa negativa)
Agora, vai-se tentar tocar alguns dos outros limites. Para isso, em cada barra de
carga, a potncia ativa da carga se iguala ao caso base e o sinal das potncias reativas
muda de positivo para negativo. Encontram-se os resultados para as trs curvas de
capabilidade, mostrados na Tabela 4.4.
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Qgerado
(pu)
P ger
ado
(pu)
0
[13] ( -0.1114 ; 1.0880 )
47
Tabela 4.4: Resultados do fluxo de potncia timo para os trs casos de curva de
capabilidade para o sistema teste WSCC3 de 3 geradores 9 barras (caso com potncia
reativa negativa)
CURVA 1 f.o.= 5315.28 R$/h
CURVA 2 f.o.=5315.28 R$/h
CURVA 3 f.o.=5350.95 R$/h
B A R R A
V (p.u.) PG(MW) QG(MVAr) V (p.u.) PG(MW) QG(MVAr) V (p.u.) PG(MW) QG(MVAr)
1 1.009 89.99 -94.66 1.008 89.99 -94.66 0.900 98.63 -135.73 2 1.045 134.67 -61.94 1.045 134.67 -61.94 1.054 132.03 -39.66 3 1.043 94.42 -65.93 1.043 94.42 -65.93 1.071 89.14 -28.21 4 1.064 - - 1.063 - - 0.988 - - 5 1.098 - - 1.098 - - 1.047 - - 6 1.091 - - 1.091 - - 1.044 - - 7 1.085 - - 1.085 - - 1.080 - - 8 1.100 - - 1.100 - - 1.100 - - 9 1.082 - - 1.081 - - 1.088 - -
Observa-se que para as curvas de capabilidade 1 e 2 tm-se geraes de
potncias ativas e reativas e funes objetivo iguais, devido aos dois casos do ponto
final de operao que fica longe dos limites da curva de capabilidade. No caso da curva
de capabilidade 3 nos geradores trmicos 2 e 3, o ponto de operao final chega a tocar
o limite de estabilidade prtico, conforme as figuras 4.14 e 4.15.
Assim como nos casos anteriores, nas figuras 4.13, 4.14 e 4.15 tm-se a curva de
capabilidade completa dos geradores 1, 2 e 3, respectivamente. Para este caso de
carregamento com a potncia reativa negativa, mostra-se o ponto de operao inicial de
cor azul e o ponto de operao final de cor vermelha; tambm mostrado o nmero de
iteraes para a convergncia igual a 11, e as coordenadas do ponto final que so os
valores das potncias reativa e ativa respectivamente.
48
Figura 4.13: Ponto de operao do gerador 1 . Caso com potncia reativa negativa
-3 -2 -1 0 1 2 30
1
2
3
4
5
6
Qgerado
(pu)
P ger
ado
(pu)
0 [11] ( -1.3573 ; 0.9863 )
49
Figura 4.14: Ponto de operao do gerador 2 . Caso com potncia reativa negativa
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Qgerado
(pu)
P ger
ado
(pu)
0 [11] ( -0.3966 ; 1.3203 )
50
Figura 4.15: Ponto de operao do gerador 3 . Caso com potncia reativa negativa
Caso 4 (sobrecarregamento da potncia reativa)
Neste caso, vai-se tentar que os geradores cheguem ao limite da corrente de
campo, ou seja, tocar o Limaon de Pascal, para o qual aumentamos o carregamento da
potncia reativa em cada barra de carga at 2.5 vezes do caso base e a potncia ativa
deixou-se igual ao caso base. Os resultados so mostrados na tabela 4.5
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Qgerado
(pu)
P ger
ado
(pu)
0 [11] ( -0.2821 ; 0.8914 )
51
Tabela 4.5: Resultados do fluxo de potncia timo para os trs casos de curva de
capabilidade para o sistema teste WSCC3 de 3 geradores 9 barras (caso
sobrecarregamento em 150% da potncia reativa)
CURVA 1 f.o.= 5412.54 R$/h
CURVA 2 f.o.=5412.89 R$/h
CURVA 3 f.o.=5412.89 R$/h
B A R R A
V (p.u.) PG(MW) QG(MVAr) V (p.u.) PG(MW) QG(MVAr) V (p.u.) PG(MW) QG(MVAr)
1 1.100 91.79 161.59 1.100 91.910 164.160 1.100 91.910 164.150 2 1.100 135.82 113.23 1.100 135.930 116.120 1.100 135.920 116.110 3 1.100 95.42 80.76 1.093 95.200 76.770 1.093 95.200 76.780 4 1.017 - - 1.015 - - 1.015 - - 5 0.915 - - 0.914 - - 0.914 - - 6 0.968 - - 0.965 - - 0.965 - - 7 1.039 - - 1.037 - - 1.037 - - 8 0.997 - - 0.994 - - 0.994 - - 9 1.058 - - 1.053 - - 1.053 - -
Para este sobrecarregamento da potncia reativa em 150%, nas trs curvas de
capabilidade as funes objetivo so aproximadas e as potncias de gerao ativa e
reativa tambm quase iguais, devido ao ponto final de convergncia que fica prximo
do limite da corrente de campo. E somente no gerador 3 chega a tocar esse limite como
se pode observar nas figuras 4.16, 4.17 e 4.18 correspondente curva com 5 limites
proposta neste trabalho
52
Figura 4.16: