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Física IFísica IMecânicaMecânica
Alberto TannúsAlberto Tannús
II 2010II 2010
Tipler&Mosca, 5Tipler&Mosca, 5aa Ed. Ed.Capítulo 14 - OscilaçõesCapítulo 14 - Oscilações
Movimento Harmônico Simples:Movimento Harmônico Simples:
Forças de restauraçãoForças de restauração
Da 2ª Lei de Newton:
Natureza da aceleraçãoNatureza da aceleração
Toda vez que a aceleração for Toda vez que a aceleração for proporcional ao seu deslocamento, e no proporcional ao seu deslocamento, e no sentido contrário a este, tem-se como sentido contrário a este, tem-se como evolução do sistema um movimento evolução do sistema um movimento harmônico simplesharmônico simples
Termos relevantes de Termos relevantes de oscilaçõesoscilações
Frequência, período, amplitude, fase
= 2..f
Velocidade e aceleraçãoVelocidade e aceleração
Diferenciando , obtemos
Diferenciando novamente, obtemos
Comparando com , obtemos
Fazendo t=0 em , obtemos
Fazendo t=0 em , obtemos
é a frequência angular, como definido anteriormente
ExemploExemplo Você está num bote que oscila para Você está num bote que oscila para
cima e para baixo. O deslocamento cima e para baixo. O deslocamento vertical do bote é dado por:vertical do bote é dado por:
Encontre a amplitude, frequência angular, Encontre a amplitude, frequência angular, fase inicial, frequência e o período deste fase inicial, frequência e o período deste movimentomovimento
Onde estará o bote em Onde estará o bote em t=1 st=1 s?? Encontre a velocidade e a aceleração em Encontre a velocidade e a aceleração em
qualquer instante.qualquer instante. Encontre a posição inicial, velocidade e Encontre a posição inicial, velocidade e
aceleração do boteaceleração do bote
S:S:
Exemplo:Exemplo:
Um objeto oscila com frequência Um objeto oscila com frequência angular angular = 8 rad/s= 8 rad/s. em t=0, o objeto . em t=0, o objeto está a xestá a x00 = 4 cm com velocidade = 4 cm com velocidade inicial vinicial v00 = -25 cm/s. = -25 cm/s. Encontre a amplitude e a fase inicial Encontre a amplitude e a fase inicial
deste movimento.deste movimento. Expresse x como função do tempo.Expresse x como função do tempo.
S:S:
Exemplo:Exemplo:
Considere um objeto conectado a Considere um objeto conectado a uma mola cuja posição é dada pela uma mola cuja posição é dada pela equaçãoequação
x=(5 cm).cos(9.90 sx=(5 cm).cos(9.90 s-1-1 t) t) Qual é a velocidade máxima?Qual é a velocidade máxima? Quando esta condição ocorre?Quando esta condição ocorre? Qual é a máxima aceleração? Quando Qual é a máxima aceleração? Quando
ela ocorre pela primeira vez?ela ocorre pela primeira vez?
S:S:
Movimentos harmônico e Movimentos harmônico e circularcircular
Suponha uma partícula em movimento Suponha uma partícula em movimento circular;circular;
Suponha velocidade angular e Suponha velocidade angular e tangencial constante (em módulo);tangencial constante (em módulo);
Deslocamento angular:Deslocamento angular:
Para a projeção em y:Para a projeção em y:
Uma partícula movendo-se com velocidade constante em uma circunferência, tem sua projeção em um diâmetro descrita por um movimento harmônico simples
EnergiaEnergiaConstante:Considere uma massa sujeita a uma força F = -
kx :(potencial elástica)
(cinética)
A energia total é proporcional ao quadrado da amplitude de oscilação de um movimento harmônico simples!
Exemplo:Exemplo: Um objeto de 3 kg acoplado a uma mola Um objeto de 3 kg acoplado a uma mola
oscila com amplitude de 4 cm e um oscila com amplitude de 4 cm e um período de 2s.período de 2s. Qual é sua energia total?Qual é sua energia total? Qual é a máxima velocidade do objeto?Qual é a máxima velocidade do objeto? Em que posição sua velocidade é a metade Em que posição sua velocidade é a metade
do valor máximo?do valor máximo?
Sistema massa-mola Sistema massa-mola vertical.vertical.
escolho esta condição para energia potencial nula:
Exemplo:Exemplo: Um objeto de 3 kg estica uma mola Um objeto de 3 kg estica uma mola
de 16 cm quando pendurado nela de 16 cm quando pendurado nela verticalmente. A mola é então verticalmente. A mola é então novamente esticada dessa condição novamente esticada dessa condição de equilíbrio e o objeto é liberado a de equilíbrio e o objeto é liberado a oscilar.oscilar. Encontre a frequência do movimento;Encontre a frequência do movimento; Encontre esta frequência se o objeto de Encontre esta frequência se o objeto de
3 kg é substituído por um de 6 kg.3 kg é substituído por um de 6 kg.
S:S:
Exemplo:Exemplo:
Um bloco repousa em uma mola e oscila Um bloco repousa em uma mola e oscila verticalmente com uma frequência de 4 verticalmente com uma frequência de 4 hz e amplitude de 7 cm. Uma pequena hz e amplitude de 7 cm. Uma pequena esfera de massa desprezível é colocada esfera de massa desprezível é colocada no topo do bloco, justo quando ele no topo do bloco, justo quando ele atinge o ponto mínimo. atinge o ponto mínimo. A que distância do ponto de equilíbrio a A que distância do ponto de equilíbrio a
esfera perde contato com o bloco?esfera perde contato com o bloco? Qual é a velocidade dela quando se libera Qual é a velocidade dela quando se libera
do bloco?do bloco?
S:S:
Pêndulo simplesPêndulo simples
Pequenas oscilações:
Pêndulo físicoPêndulo físico
Oscilações amortecidasOscilações amortecidas
Força de amortecimento, proporcional à velocidade
B = bc Criticamente amortecido (não oscila)B > bc Criticamente amortecido (não oscila)
Energia amortecidaEnergia amortecida
Fator de qualidade
RessonânciaRessonância Frequência “natural”
DeduçãoDedução Força impulsiva externa
Solução transienteSolução transiente
Solução estacionáriaSolução estacionária
Em ressonância, /2