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12º Ano Ficha de Trabalho n.º 12
ASSIMPTOTAS MATEMÁTICA A 2010/2011
Nome: N.º: Turma: Data: /02/11
1. A figura representa um esboço do gráfico de uma função f , real de
variável real.
1.1 Indique o domínio e o contradomínio de f .
1.2 Indique:
1.2.1 [ ]3)(lim −+∞→
xfx
1.2.2 )(lim2
xfx
−→
1.2.3 )(2
lim xfx
+→
1.3 Escreva as equações das assimptotas ao gráfico de f .
2. São dadas as funções f e g , definidas em � , por:
1
12)(
2
2
+
+−=
x
xxxf e
≥+
<−=
1 se 1
1 se 1
1
)(
xx
xxxg
O gráfico de f tem alguma assimptota vertical? E o de g ? Justifique a
resposta.
3. Seja m a função real de variável real definida por:
≥−−
<−
−
=
1 se 123
1 se 1
1
)(4
3
xxx
xx
x
xm .
Indique o valor lógico da proposição: “ 1=x é uma assimptota vertical do gráfico de m ”. Justifique.
4. De uma função f , real de variável real, sabe-se que:
� f é ímpar;
� 2+= xy é assimptota de gráfico de f quando +∞→x .
Mostre que o gráfico de f admite outra assimptota não vertical e
escreva a sua equação.
Assimptotas – página 2
Ficha de Trabalho n.º 12 – Matemática A – 12º Ano
5. Determine as equações das assimptotas dos gráficos das seguintes funções:
5.1 1)( −=xexf 5.2 xxxg ln32)( −= 5.3 )1ln()( −= xxh
5.4 xxi ln1)( −= 5.5
>
≤=
0 se ln
0 se )(
xx
xexj
x
5.6 42
3)(
−=
xxf
5.7 xx
xg 33
)( += 5.8 23
1)(
2
3
+−
+=
xx
xxf 5.9 xexh x
ln)( +=
5.10 xxxh ln)( += 5.11
≥+
<−=
−1 se
1 se 1
2
)(
xex
xxxf
x
5.12 2
)(
2
+=
x
xxg
6. Seja f a função real de variável definida por
−=
xxxf
15ln)( .
6.1 Determine o domínio de f .
6.2 Estude a existência de assimptotas oblíquas ao gráfico de f .
Exercícios de Exames
7. A figura representa o gráfico de uma função f, real de variável real.
Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
(A) +∞=+∞→
)(lim xfx
e [ ] +∞=−+∞→
xxfx
)(lim
(B) 0)(lim =−∞→
xfx
e [ ] +∞=−+∞→
xxfx
)(lim
(C) 0)(lim =−∞→
xfx
e [ ] 0)(lim =−+∞→
xxfx
(D) +∞=→
)(lim0
xfx
e [ ] 0)(lim =−+∞→
xxfx
Assimptotas – página 3
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8. Na figura ao lado está a representação gráfica de uma função f , da qual a recta t
é assimptota. O valor de [ ])2()(lim −−+∞→
xxfx
é:
(A) - ∞ (B) 0 (C) + ∞ (D) 1
9. De uma função f , contínua em � , sabe-se que:
� f é estritamente crescente;
� 1)0( =f ;
� O eixo Ox e a bissectriz dos quadrantes ímpares são assimptotas do gráfico de f .
Qual é o contradomínio de f ?
(A) [ [+∞,1 (B) ] ]1,∞− (C) ] [+∞,0 (D) ] [0,∞−
10. Sejam f e g duas funções de domínio � . Sabe-se que:
� O gráfico de g é uma recta, que designamos por s .
� ( ) 0)()(lim =−+∞→
xgxfx
Qual das afirmações é necessariamente verdadeira?
(A) A recta s é uma assimptota do gráfico de f .
(B) A recta s é tangente ao gráfico de f .
(C) A recta s é secante ao gráfico de f .
(D) A recta s não intersecta o gráfico de f .
11. De uma função f , de domínio +IR , sabe-se que a recta de equação
12 +−= xy é assimptota do seu gráfico. Qual é o valor de )(lim xfx +∞→
?
(A) -∞ (B) - 2 (C) 1 (D) +∞
12. De uma função h , de domínio −IR , sabe-se que a recta de equação
2=y é assimptota do seu gráfico. Qual é o valor de xx e
xh )(lim
−∞→ ?
(A) + ∞ (B) - ∞ (C) 0 (D) 2
Assimptotas – página 4
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13. Considere uma função g , de domínio [ [0,+∞ , contínua em todo o seu
domínio. Sabe-se que: • O gráfico de g tem uma única assimptota
• 2
1)(lim =
+∞→ x
xg
x.
Em qual das alternativas seguintes podem estar representadas, em referencial o.n. xOy , parte do gráfico da função g e, a tracejado, a
sua assimptota?
14. Na figura está representada parte do
gráfico de uma função h , de domínio [ [ ] [+∞∪ ,55,0 . As rectas de equações 5=x
e 3=y são as únicas assimptotas do
gráfico de h .
Indique o valor de xx e
xh−
+∞→ +3
)(lim :
(A) 0 (B) 1
(C) 5 (D) + ∞
15. Na figura junta está representada parte do gráfico de uma função f de domínio IR, contínua em todo o seu domínio. A bissectriz dos quadrantes pares e a bissectriz dos quadrantes ímpares são assimptotas do gráfico de f. Indique em qual das figuras seguintes pode estar representada parte do
gráfico da função g definida por: x
xfxg
)()( =
Assimptotas – página 5
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16. Seja f uma função de domínio IR, e seja g a função definida por
)1()( += xfxg . A recta de equação 42 += xy é a única assimptota do
gráfico de f . Qual das seguintes é uma equação da única assimptota
do gráfico de g ?
(A) 62 += xy (B) 42 += xy (C) 42 −= xy (D) 62 −= xy
17. Considere a função real de variável real definida por:
=
>=
0 se 0
0 se ln)(
t
ttttg
17.1 Prove que a função é contínua. 17.2 Mostre que o gráfico de g não tem assimptotas.
18. Seja g a função real de variável real, assim definida:
21)(
x
exxg−
+−=
Prove que o gráfico da função admite uma assimptota oblíqua, quando +∞→x .
Assimptotas – página 6
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19. A massa vegetal, M v , de uma floresta varia com o tempo t e pode
ser dada por 3)( eMt
v t = . Toma-se para unidade de massa vegetal
a que existia no começo de 1900, início da contagem do tempo, e para unidade de tempo o século.
19.1 Calcule a massa vegetal existente no início de 1500 e a que é
previsível para o começo do ano 2050. 19.2 Em que ano a massa vegetal é dupla da que existia no início
de 1900?
19.3 Considere a função Q tal que t
tQM v=)( . Justifique a seguinte
afirmação: “ O gráfico de Qadmite apenas duas assimptotas”.
20. Coloca-se um produto solúvel num recipiente com água. Em cada
instante t (em minutos) a quantidade do produto ainda não dissolvido é (em gramas):
35
60)(
09.0−
= te
tq com 0≥t .
20.1 Qual a quantidade de produto colocada inicialmente na água? 20.2 Ao fim de quanto tempo estão ainda por dissolver 20 gramas
de produto? (Aproximação à milésima do minuto). 20.3 Considere a função Q , de variável real, definida por
35
60)(
09,0−
= xe
xQ . Estude a existência de assimptotas do
gráfico de Q .
21. Numa pastelaria a temperatura ambiente é constante. Admita que a
temperatura, em graus centígrados, de um café servido nessa pastelaria, t minutos após ter sido colocado na chávena, é dada por:
tetf 04,0
5020)(−
+= )0( ≥t .
21.1 Determine a temperatura do café no instante em que é colocado
na chávena. 21.2 Estude a função f quanto à existência de assimptotas.
21.3 Com o decorrer do tempo, a temperatura do café tende a igualar a temperatura ambiente. Indique, justificando, a temperatura ambiente.
21.4 Quanto tempo decorre entre o instante em que o café é colocado na chávena e o instante em que a sua temperatura atinge 65 graus centígrados? Apresente o resultado em minutos e segundos.
22. Considere uma função f de domínio +� . Admita que f é positiva e
que o eixo Ox é assimptota do gráfico de f . Mostre que o gráfico da
função f
1 não tem assimptota horizontal.
Assimptotas – página 7
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23. Considere a função f , de domínio { }\ 1� , definida por ( )1
xe
f xx
=−
.
Recorrendo exclusivamente a processos analíticos (ou seja, sem utilização da calculadora), resolva as alíneas seguintes:
23.1 Resolva a equação: [ ] xxf =)(ln .
23.2 Estude a função f quanto à existência de assimptotas verticais
e horizontais do seu gráfico.
24. Considere a função f de domínio +� , definida por xxxf ln23)( −= .
24.1 Utilize métodos exclusivamente analíticos para estudar f
quanto à existência de assimptotas do seu gráfico. 24.2 O gráfico de f contém um único ponto cuja ordenada é o
quadrado da abcissa. Recorrendo à calculadora, determine um valor aproximado para a abcissa desse ponto (apresente o resultado arredondado às décimas). Explique como procedeu (na sua explicação, deve incluir o gráfico, ou gráficos, que considerou para resolver esta questão).
25. De uma função g de domínio +� , sabe-se que a bissectriz dos
quadrantes ímpares é uma assimptota do seu gráfico. Seja h a
função, de domínio +� , definida por
x
xgxh
2
)()( = . Prove que o eixo Ox
é uma assimptota do gráfico de h .
26. De uma função h , de domínio +� , sabe-se que a recta de equação
1y = é assimptota do seu gráfico. Qual é o valor de ( )
limx
h x
x→+∞?
(A) 0 (B) 1 (C) +∞ (D) −∞
27. De uma função f , de domínio [ [0,+∞ , sabe-se que as rectas de
equações 1y = e 2x = são assimptotas do seu gráfico. Qual das
afirmações seguintes é verdadeira?
(A) A função f é contínua em todo o seu domínio.
(B) A função f tem máximo absoluto.
(C) O gráfico de f não tem assimptota oblíqua.
(D) O gráfico de f− não tem assimptota vertical.
28. Seja g uma função de domínio +� . Sabe-se que:
( )lim 4x
g x x
x→+∞
+= ; o
gráfico de g tem uma assimptota oblíqua. Qual das condições
seguintes pode ser uma equação dessa assimptota? (A) 3y x= + (B) 3y x= (C) 4y x= + (D) 4y x=
Assimptotas – página 8
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29. Seja f uma função de domínio +� , estritamente decrescente. Os
eixos coordenados são assimptotas do gráfico de f . Seja ( )nx a
sucessão de termo geral 1
nx
n= . Indique o valor de ( )lim nf x :
(A) 0 (B) 1 (C) +∞ (D) −∞
30. Na figura abaixo está parte da representação gráfica de uma função s de domínio � .
Indique qual das figuras seguintes pode ser parte da representação
gráfica da função t definida por ( )( )
1t x
s x= :
31. Na figura estão representadas graficamente duas funções: f e g .
Qual dos seguintes gráficos poderá ser o da função f
g?
Assimptotas – página 9
Ficha de Trabalho n.º 12 – Matemática A – 12º Ano
32. Na figura está representada graficamente uma função f , de domínio
+� . A recta s , que contém os
pontos ( )2,0− e ( )0,1 , é assimptota
do gráfico de f . Indique o valor de
( )limx
f x
x→+∞:
(A) -2 (B) 0
(C) 1
2
(D) 1 33.
Assimptotas – página 10
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34.
35.
36. Na figura está parte da representação gráfica de uma função f , de
domínio � .
Assimptotas – página 11
Ficha de Trabalho n.º 12 – Matemática A – 12º Ano
Tal como a figura sugere, o eixo Ox e a recta de equação 1y = são
as assimptotas do gráfico de f . Seja g a função, de domínio � , definida
por ( ) ( )lng x f x= . Numa das opções seguintes está parte da
representação gráfica da função g . Em qual delas?
37. Na figura está representada parte do gráfico de uma função f de
domínio ] [, 2−∞ .
A recta t , de equação 1y x= − − , é assimptota do gráfico de f
quando x tende para −∞ . Qual é o valor de ( )( )lim 1x
f x x→−∞
+ + ?
(A) 0 (B) 1 (C) +∞ (D) 1−
Assimptotas – página 12
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38.
39. Na figura estão representadas parte do gráfico de uma função
f , de domínio [ [3,− +∞ , e parte
da recta r , que é a única assimptota do gráfico de f .
Qual é o valor de ( )
limx
f x
x→+∞?
(A) 1− (B) 0
(C) 1 (D) 2
40.
Resolva, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, os dois itens seguintes.
40.1 Estude a continuidade de h no domínio � . 40.2 Estude a função h quanto à existência de assimptotas do seu
gráfico paralelas aos eixos coordenados e, caso existam, escreva as suas equações.
Assimptotas – página 13
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41.
42.
43. Considere a função f , de domínio ] [0,+∞ , definida por ( )1 ln x
f xx
−= .
Sem recorrer à calculadora, resolva as duas alíneas seguintes:
43.1 Mostre que ( )21ln 4
2f e
=
.
43.2 Estude a função f quanto à existência de assimptotas do seu
gráfico, paralelas aos eixos coordenados. 44.
Assimptotas – página 14
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45.
46.
Assimptotas – página 15
Ficha de Trabalho n.º 12 – Matemática A – 12º Ano
47.
48.
48.1 Sem recorrer à calculadora, estude a função f quanto à
existência de assimptotas do seu gráfico, paralelas aos eixos coordenados. Indique uma equação para cada assimptota encontrada.
48.2 Na figura está representada, em referencial . .o n xOy , parte
do gráfico da função .f
Assimptotas – página 16
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49.
Resolva, usando exclusivamente métodos analíticos, os itens 49.1 e 49.2:
49.1 Averigúe se a função f é contínua em 2x = .
49.2 O gráfico da função f tem uma assimptota oblíqua. Determine
a equação reduzida dessa assimptota.
49.3 Seja g a função, de domínio +� , definida ( ) ( )3 lng x x= + . A
equação ( ) ( )f x g x= tem exactamente duas soluções.
Determine essas soluções, utilizando as capacidades gráficas da sua calculadora. Apresente as soluções arredondadas às centésimas. Apresente os gráficos que obteve na calculadora e assinale os pontos relevantes.
Bom trabalho!
Assimptotas – página 17
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SOLUÇÕES:
1.1 { }\ 2fD = � ; ] [ { }'0, \ 3fD = +∞ 1.2.1 0 1.2.2 0 1.2.3 +∞
1.3 2; 3x y= = 2. f não tem; : 1g x = 3. F 4. 2y x= − 5.1 1y =
5.2 0x = 5.3 1x = 5.4 0x = 5.5 0; 0x y= = 5.6 3
2; 0;4
x y y= = = −
5.7 Não tem 5.8 1; 2; 3x x y x= = = + 5.9 0x = 5.10 0x =
5.11 1; 0;x y y x= = = 5.12 2; 2y x y x= − = − − 6.1 ] [1
,0 ,5
D
= −∞ ∪ +∞
6.2 ( )1
ln 55
y x= − 7. C 8. B 9. C 10. A 11. A 12. A 13. D
14. B 15. A 16. A 19.1 0,26;1,65 19.2 2107 20.1 30
20.2 2,026t � 20.3 100 3
ln ; 0; 209 5
x y y
= = = −
21.1 70 21.2 20y =
21.3 20 21.4 2 min 38segs 23.1 2x = 23.2 1; 0x y= = 24.1 0x =
24.2 2,3 26. A 27. C 28. B 29. C 30. D 31. A 32. C
33. B 34. A 36. C 37. A 39. C 40.1 contínua em � 40.2 0y =
41. A 42. D 43.2 0; 0x y= = 45. C 46. B 47. D 48.1 1; 3x y= =
48.2 5,08 49.1 não é contínua 49.2 1y x= + 49.3 0,72 e 2,91