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Prof.Msc.MarcusV.S.Rodrigues
1FenmenosdeTransporteSemestre2011.2
AULA01CONCEITOSFUNDAMENTAISDEMECNICADOSFLUIDOS
1.IntroduoA mecnica dos fluidos a parte da mecnica aplicada que estuda o
comportamentodosfluidosemrepousoeemmovimento.Amecnicadosfluidosse
divide em duas partes: a Esttica dos fluidos, em que se estudam os fluidos em
repousoeaDinmicadosfluidos,emqueseestudamosfluidosemmovimento.
O escopo desta cincia abrange um vasto conjunto de problemas. Por
exemplo,estespodemvariardoestudodoescoamentodesanguenoscapilaresato
escoamentodeguaemgrandesadutoras,comotambmoprojetodeconstruode
reservatriosdeparaabastecimentodegua.
Oconhecimentoeacompreensodosprincpiosbsicosedosconceitosda
mecnicados fluidos so essenciaispara a anlisedequalquer sistemanoqualum
fluidoomeiooperante.Podesecitarcomoexemplo:
Projetodeaeronavessubsnicasesupersnicas; Desenvolvimentodecarrosdecorridas; Construodeponteseviadutos; Sistemadeaduodeguaporgravidadeourequalque; Projetodetodotipodemquinadefluxo; Alubrificaodesistemasmecnicos; Ossistemasdeaquecimentoeventilaoderesidncia.
Estes so alguns exemplos de aplicaes da mecnica dos fluidos. No
mundorealesta listapoderiaseraplicadaquaseque indefinidamente.Logo,podese
destacarqueo seuestudodeextrema importncia, tantonasexperinciasdirias
quantonamodernatecnologia.
Opropsitodestecursoapresentaras leisbsicaseosconceitosfsicos
associadosque
fornecem
os
fundamentos
ou
pontos
de
partida
para
aanlise
de
qualquerproblemademecnicadosfluidos.
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Utilizamse no estudo da mecnica dos fluidos as mesmas leis
fundamentaisqueseestudamnoscursosdeFsicaeMecnica.Podesecitarasleisdo
movimentodeNewton,a leideconservaodamassa,aprimeiraeasegunda leida
termodinmica.
Logo,
h
uma
grande
similaridade
entre
as
abordagens
geral
da
mecnicadosfluidosedamecnicadoscorposrgidosedeformveis.
Um fluido pode ser definido como uma substncia que se deforma
continuamentesobaaodeumatensodecisalhamento,pormenorquesejaessa
tenso.Osestadosdamatriaqueapresentamestacaractersticacompreendemos
estados gasoso e lquido. Neste caso, os fluidos so compreendido por lquidos e
gaese.
Atensodecisalhamentocriadaquandoumaforaatuatangencialmente
numasuperfcie.Considereumslidocomumsubmetidoaumadeterminada tenso
decisalhamento,oslidodeforma,pormnoescoa(deformaocontnua).Nocaso
dos fluidos comunsocorreoescoamentoquando submetidos aqualquer tensode
cisalhamento.
2.Ofluidocomoumcontnuo
Apesardaestruturamoleculardos fluidos ser importanteparadistinguir
umfluidodooutro,nopossveldescreverocomportamentodosfluidosapartirda
dinmica individualdesuasmolculas.Ouseja,caracterizaseocomportamentodos
fluidos considerando os valores mdios, ou macroscpicos, da quantidade de
interesse.Notequeestamdiadeveseravaliadaemumvolumepequeno,masque
aindacontmumnmeromuitograndedepartculas.
Assim,aidiadeutilizarovalormdioavaliadonestevolumeadequada.
Tambm, admitese que todas as caractersticas de interesse dos fluidos (presso,
velocidade,etc.)variamcontinuamenteatravsdo fluido.Logo, tratamseos fluidos,
sendomaiscomunsaguaeoar,comosendolisosesuaves,ousejacomosendo
ummeiocontnuo.
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O conceito de contnuo base da mecnica dos fluidos clssica. A
hiptese do contnuo vlida no tratamento do comportamento dos fluidos sob
condiesnormais.Elafalhaquandoatrajetriamdialivredasmolculastornaseda
mesma
grandeza
da
menor
dimenso
caracterstica
significativa
do
problema.
Isto
ocorreemcasosespecficoscomonoescoamentodeumgs rarefeito. Isto,neste
caso, devese abandonar a idia de contnuo em favor dos pontos de vista
microscpicoeestatstico.
Deacordocomahiptesedocontnuo, temsequecadapropriedadedo
fluidoconsideradacomotendoumvalordefinidoemcadapontodoespao.Logo,a
massaespecfica, temperatura,velocidade,etc., so consideradas funes contnuas
daposioedotempo.
3.Dimenseseunidades
Oestudodamecnicadosfluidosenvolveumavariedadedecaracterstica.
Logo, tornase necessrio o desenvolvimento de um sistema para descrever estas
propriedades de modo qualitativo e quantitativo. O aspecto qualitativo indica a
natureza,ou
tipo,
da
caracterstica
(como
comprimento,
tempo,
tenso
evelocidade),
enquanto,oaspectoquantitativoforneceumvalornumricoparaacaracterstica.
Adescrioquantitativarequertantoumnmeroquantoumpadropara
que as vrias quantidades possam ser comparadas. Por exemplo, o padro para o
comprimento pode ser o metro ou a polegada. Tais padres so chamados de
unidades.
Adescrio
qualitativa
convenientemente
realizada
quando
utilizam
se
certas quantidades primrias, como o comprimento, L , tempo, T, massa, M , e
temperatura, .Estas quantidadesprimriaspodemsercombinadaseutilizadaspara
descrever,qualitativamente,outrasquantidadesditassecundrias,porexemplo:rea
2L ,velocidade 1LT emassaespecfica 3ML .Osmbolo indicaadimenso
daquantidadesecundriaemfunodasquantidadesprimrias.
Na
Tabela
1
so
apresentadas
as
dimenses
das
quantidades
fsicas
comumenteutilizadasnamecnicadosfluidos.
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Tabela1DimensesassociadasaalgumasquantidadesfsicasusuaisSistemaFLT SistemaMLT
Acelerao 2L T 2L T
rea
2L
2L
Calor F L 2 2 M L T
Calorespecfico 2 2 1L T 2 2 1L T
Comprimento L L
Energia F L 2 2 M L T
Fora F 2M LT
Freqncia 1T
1
T
Massa 1 2F L T M
Massaespecfica 4 2F L T 3M L
Momentodeinrcia(rea) 4L 4L
Momentodeinrcia(massa) 2F LT 2M L
Momentodeumafora F L 2 2 M L T
Pesoespecfico 3F L 2 2M L T
Potncia
1F LT 2 3 M L T
Presso 2F L 1 2M L T
Quantidadedemovimento F T 1M LT
Temperatura
Tempo T T
Tenso 2F L 1 2M L T
Tensosuperficial 1F L
2
M T
Torque F L 2 2 M L T
Trabalho F L 2 2 M L T
Velocidade 1L T 1L T
Velocidadeangular 1T 1T
Viscosidadecinemtica 2 1L T 2 1L T
Viscosidadedinmica 2F L T 1 1M L T
Volume
3L 3L
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interessantenotarque sonecessriasapenas trsdimensesbsicas,
L , T eM ,paradescreverumgrandenmerodeproblemasdamecnicadosfluidos.
Alternativamente,podeseutilizarum conjuntodedimensesbsicas compostapor
L ,
T
e
F ,
onde
F
a
dimenso
da
fora.
A segunda lei de Newton estabelece que a fora igual a massa
multiplicada pela acelerao, ou seja, em termos qualitativos, esta lei pode ser
expressa por 2F M LT ou 1 2M F L T . Assim, as quantidades secundrias
expressasemfunodeM tambmpodemserexpressasemfunode F atravsda
relaoanterior.
Todasas
equaes
tericas
so
dimensionalmente
homogneas,
isto
,
as
dimenses dos lados esquerdo e direito da equao so iguais e todos os termos
aditivosseparveisquecompeaequaoprecisamapresentaramesmadimenso.
Logo, namecnica dos fluidos aceitase como premissa fundamental que todas as
equaesquedescrevemosfenmenosfsicossodimensionalmentehomogneas.
Normalmente, alm de descrever qualitativamente uma quantidade,
necessrio quantificla. Por exemplo, a afirmao a largura de um terreno foi
medidaechegouseao resultadoqueeleapresenta 100 unidadesde largurano
temumsignificadoatqueaunidadedecomprimentosejadefinida.Logo,estabelece
seumsistemadeunidadeparaocomprimentoquando indicadoqueaunidadede
comprimentoometroedefineseometrocomocomprimentopadro.
Almdocomprimento,tornasenecessrioestabelecerumaunidadepara
cada uma das quantidades fsicas bsicas que so importantes em mecnica dos
fluidos,como
fora.
massa,
tempo
etemperatura.
Existemvriossistemasdeunidadeemuso,masgeralmenteconsideram
seapenastrsdosmaisutilizadosnaengenharia;oSistemaBritnicoGravitacional,o
SistemaInglsdeEngenhariaeoSistemaInternacional(SI).
O sistema aceito legalmente na maioria dos pases o sistema SI de
unidadesSIabreviaodeSystmeInternationaldUnits(SistemaInternacionalde
Unidades).AsunidadesbsicasdoSIestolistadasnaTabela2.
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Tabela2UnidadesdoSIGrandeza Unidade Smbolomassa quilograma kg
comprimento metro m
tempo
segundo
s
temperatura Kelvin K
fora newton N
AescaladetemperaturaKelvinabsolutaeestarelacionadacomaescala
Celsius( C )atravsdarelao
273,15K C= +
(1)
ApesardaescalaCelsiusnopertencer ao SI,usualespecificar a temperaturaem
grausCelsiusquantosetrabalhanestesistema.
AunidadedeforanoSIonewton(N )edefinidacomasegundaleide
Newton,isto
( )( )21 1 1 N kg m s= (2)
Assim,umaforade1 N atuandonumamassade1 kg provocarumaaceleraode
21 m s . O mdulo da acelerao da gravidade padro no SI 29,807 m s
(normalmenteaproximaseestevalorpara 29,81 m s ).
AunidadedetrabalhonoSIojoule(J ).Umjouleotrabalhoquandoo
pontode
aplicao
de
uma
fora
de
1 N
deslocado
1 m
na
direo
de
aplicao
da
fora,isto,
1 1 J N m= (3)
AunidadedepotncianoSIowatt (W ).Eladefinidacomoumjoule
porsegundo.Isto,
1 1 1W J s N m s= =
(4)
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4.Massaepesodosfluidos
Amassa especfica de uma substncia, , definida como amassa de
substnciacontidaemumaunidadedevolume.AunidadedamassaespecficanoSI
3kg m .Estapropriedadenormalmenteutilizadaparacaracterizaramassadeum
sistemafluido.
Destemodo,amassaespecficamdiadeumasubstnciacomvolume V
definidapor
m
V
= (5)
onde m amassadasubstncia.Adimensodemassaespecficadadapor 3ML e
suaunidadenosistemaSIo 3kg m .
Os diversos fluidos podem apresentar massas especficas bastante
distintas.Emgeral,amassaespecficados lquidospouco sensvelasvariaesde
presso ede temperatura. Entretanto,paraos gases amassa especfica sofre forte
influnciatanto
da
presso
quanto
da
temperatura.
Ovolumeespecfico, v ,ovolumeocupadoporumaunidadedemassada
substnciaconsiderada.Podesenotarqueovolumeespecficoorecprocodamassa
especfica,isto,
1v =
(6)
Adimensodevolumeespecficodadapor 1 3M L esuaunidadenosistemaSIo
3m kg . Normalmente no se utiliza o volume especfico namecnica dos fluidos,
pormestapropriedademuitoutilizadanatermodinmica.
Opesoespecficodeumasubstncia,designadopor ,definidocomo
sendo o peso da substncia contida numaunidadede volume.Opeso especfico
utilizado
para
caracterizar
o
peso
do
sistema
fluido
e
sua
unidade
no
SI
3
N m .
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Logo,podeseconcluirqueopesoespecficoestrelacionadocomamassa
especficaatravsdaseguinterelao
g= (7)
onde g aaceleraodagravidadelocal.
Adensidadedeumfluido,designadapor SG (specificgravity),definida
comosendoarazoentreamassaespecficadofluidoeamassaespecficadagua
numacerta temperatura.Emgeral,a temperaturaespecificadaparaagua 4 C ,
ondeamassaespecficaiguala 31000 kg m .Nestacondio,temse
subsub
gua
SG =
(8)
Adensidadeumarelaoentremassasespecficas,entoovalorde SG
nodependerdo sistemadeunidadesutilizado.bvioqueamassaespecfica,o
pesoespecficoeadensidade so independentes.Porm,conhecendoumadas trs
propriedades,asoutrasduaspodemserencontradas.
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AULA02CONCEITOSFUNDAMENTAISDEMECNICADOSFLUIDOS
1.LeidosgasesperfeitosA partir de observaes experimentais estabeleceuse que o
comportamento p v T dos gases a baixa massa especfica dado, com boa
preciso,pelaequaodeestado
pv RT = (1)
ondep
apressoabsolutadogs,v ovolumeespecficomolardogs,
T a
temperatura absoluta do gs e R a constante universal dos gases, cujo valor
8,3145kJ
Rkmol K
= .Dividindo ambos os lados da Equao (1) pelo pesomolecular,
M ,obtmseaequaodeestadonabasemssica,
pv RT = (2)
ondeR
RM
= aconstanteparaumgsparticular.AEquao(2)podeserescritaem
termosdevolumetotal,daseguinteforma
pV mRT= (3)
AsEquaesde (1)a (3)sochamadasequaodeestadoparaosgases
perfeitos.Osgasessomuitomaiscompressveisdoqueos lquidos.Logo,sobcertas
condies, a massa especfica de um gs est relacionada com a presso e a
temperaturaatravsdaequao
p RT = (4)
onde amassaespecficadogs.
Apressonumfluidodefinidacomoaforanormalporunidadederea
exercidanuma
superfcie
plana,
real
ou
imaginria,
imersa
no
fluido
ecriada
pelo
bombardeamentodemolculasdefluidonestasuperfcie.
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Apressoquedeveserutilizadanaequaodeestadodosgasesperfeitos
apressoabsoluta,ouseja,apressomedidaemrelaoapressoabsolutazero(a
presso que ocorreria no vcuo perfeito). Por conveno internacional, a presso
padro
no
nvel
do
mar
101,3 kPa
ou
14,7 psi .
Emengenharia,comummedirpressesemrelaoapressoatmosfrica
locale,nestascondies,aspressesmedidassochamadasmanomtricas(relativas).
Assim, a presso absoluta, absp , pode ser obtida a partir da soma da presso
manomtrica, manp ,comapressoatmosfricalocal, atmp ,ouseja,
abs man atm p p p= + (5)
2.Viscosidade
Amassa especfica e o peso especfico so propriedades que indicam o
peso de um fluido. Porm, estas propriedades no so suficientes para a
caracterizaodos fluidos,poisdois fluidospodemapresentaremmassasespecficas
aproximadamente
iguais
e
apresentarem
comportamentos
bem
distintos
quando
escoarem.Logo,tornasenecessrioalgumapropriedadeparadescreverafluidezdas
substncias.
Figura1Comportamentodeumfluidoentreplacasparalelas
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Neste caso, considere o experimento hipottico, onde um fluido
colocadoentreduasplacas largasparalelas e infinitas, comomostradona Figura 1.
Quandoumafora P aplicadanapartesuperior,estasemovimentacontinuamente
com
velocidade
U .
Nota
se,
neste
caso,
que
h
a
ocorrncia
de
uma
tenso
de
cisalhamento, ,dadapor
P
A= (6)
onde A a rea efetiva da placa superior. Este comportamento condiz com a
definiodefluido,ouseja,seumatensodecisalhamentoforaplicadanofluido,este
sedeforma
continuamente.
Uma anlise detalhada mostra que o fluido em contato com a placa
superiorsemovecomavelocidadedaplaca,U ,queofluidoemcontatocomaplaca
inferiorapresentaumavelocidadenulaequeo fluidoentreasduasplacassemove
comvelocidade u ,dadapor
yu U
b= (7)
onde b adistnciaentreasplacas.
Podese concluir, atravs da Equao (7), que h um gradiente de
velocidade,du
dy,noescoamentoentreasplacas.Nestecaso,ogradientedevelocidade
constanteedadopor
du U
dy b= (8)
A aderncia dos fluidos s fronteiras slidas tem sido observada
experimentalmente e um fato muito importante na mecnica dos fluidos.
Usualmente,estaadernciareferidacomoacondiodenoescorregamento.
Numpequeno intervalodetempo, t ,uma linhaverticalAB(Figura1)no
fluidorotaciona
um
ngulo
.
Assim,
geometricamente,
tem
se
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atg
b=
(9)
Para pequenos ngulos, temse que tg , conseqentemente a
Equao(9),podeserescritadaseguinteforma
a
b=
(10)
AvelocidadeU podesercalculadaatravsdaexpresso
aU
t
=
(11)
deondepodeseescreveraexpresso
a U t= (12)
SubstituindoaEquao(12)naEquao(10)resultanaseguinteexpresso
U t
b=
(13)
ou
U
t b=
(14)
Observe que funo da fora P , que determina U , e do tempo.
Considere
a
taxa
de
variao
de
com
o
tempo
e
pode
se
definir
a
taxa
de
deformaoporcisalhamento, ,atravsdaequao
0limt t
=
(15)
Logo, a taxa de deformao por cisalhamento no caso do escoamento
entreasplacasparalelas,dadapor
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U
b= (16)
Atravs da Equao (8) podese concluir que a taxa de deformao por
cisalhamentotambmpodeserdadaemfunodogradientedevelocidade,ouseja
du
dy= (17)
Desta forma, podese concluir que um fluido quando submetido a uma
tensodecisalhamento, ,experimentaumataxadedeformaodadapordu
dy.
Variando as condies deste experimento verificase que a tenso de
cisalhamento, ,aumentaseforaumentadoovalorde P equeataxadedeformao
porcisalhamento, ,aumentaproporcionalmente,ouseja
(18)
ou
du
dy (19)
Esteresultadoindicaque,parafluidoscomuns,atensodecisalhamentoe
ataxadedeformaoporcisalhamentopodemserrelacionadascomumaequaoda
forma
dudy
= (20)
onde a constantedeproporcionalidade, , denominada viscosidadedinmicado
fluido.
Analisando a Equao (20), podese concluir que os grficos de em
funodedu
dydevemserretascominclinaoiguala .Ovalor de variadefluido
parafluidoe,paraumfluidoemparticular,estevalordependemuitodatemperatura.
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Arazoentreaviscosidadedinmica, ,eamassaespecfica, ,deuma
substnciaconhecidacomoviscosidadecinemtica,.Isto,
=
(21)
Osfluidosqueapresentamrelaolinearentreatensodecisalhamentoe
a taxa de deformao por cisalhamento so denominados fluidos newtonianos. A
maioriadosfluidoscomuns,tantolquidoscomogases,sonewtonianos.
Os fluidos que no apresentam relao linear entre a tenso de
cisalhamentoeataxadedeformaoporcisalhamentosochamadosdefluidosno
newtonianos.Porm,existem fluidosnonewtonianosqueapresentamoutros tipos
decomportamento.
Para muitas aplicaes em engenharia, um fluido nonewtoniano
apresentaaseguinterelao
ndu
kdy
=
(22)
onde n ondicedecomportamentoe k ondicedeconsistncia.AEquao(22)
podeserescritadaseguinteforma
ap
du
dy= (23)
onde ap a inclinao da curva tenso de cisalhamento em funo da taxa de
deformao por cisalhamento, e denominada viscosidade dinmica aparente. A
viscosidadedinmicaaparentedadapor
1n
ap
duk
dy
= (24)
Paraosfluidosnewtonianosaviscosidadedinmicaaparente, ap ,igual
aviscosidade
dinmica,
,
eindependente
da
taxa
de
cisalhamento.
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Para os fluidos no dilatantes (curva acima da referente ao fluido
newtoniano),aviscosidadeaparentediminuicomoaumentodataxadecisalhamento,
isto , a viscosidade aparente se tornar menor quanto maior for a tenso de
cisalhamento
imposta
no
fluido.
Um
exemplo
desse
tipo
de
fluido
a
tinta
ltex.
Paraosfluidosdilatantes(curvaabaixodareferenteaofluidonewtoniano),
aviscosidadedinmicaaparenteaumentacomoaumentoda taxadecisalhamento,
isto , ela se torna cada vez mais alta quanto maior for a tenso de cisalhamento
impostaao fluido.Comoexemplos,podemsecitarasmisturasguameldemilhoe
guaareia(areiamovedia).
Algunsmateriaispodemresistirauma tensodecisalhamento finitasem
semover(assim,elenoumfluido)mas,umavezexcedidaatensodeescoamento,
o material se comporta como um fluido e escoa (assim, ele no slido). Esses
materiaissoconhecidoscomoplsticosdeBingham.
fcil deduzir que as dimenses para a viscosidade dinmica, , e
viscosidadecinemtica, , so 2FL T e 2 1L T , respectivamente.NoSIasunidades
paraaviscosidadedinmica, ,eviscosidadecinemtica,,so 2 N s m e 2m s .
Aviscosidadedinmicavariapoucocomapressoeoefeitodavariaoda
pressosobreovalordaviscosidadenormalmentedesprezado.Porm,aviscosidade
muitosensvelasvariaesdetemperatura.
Estavariaodaviscosidadedinmicacomrelaoatemperaturavariade
fluidoparafluido.Aviscosidadedoslquidosdecrescecomoaumentodatemperatura,
enquanto paraos gases a viscosidade cresce como aumentoda temperatura. Esta
diversidadeentrelquidosegasesdevediferenaqueexisteentreassuasestruturas
moleculares.
A influncia das variaes de temperatura na viscosidade pode ser
estimada com duas equaes empricas. A equao de Sutherland, adequada para
gases,
3 2C T
T S= + (25)
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onde C e S soconstantesempricase T atemperaturaabsoluta.Conhecendoo
valor de para duas temperaturas diferentes, podese estimar os valores para as
constantes C e S .
Paralquidos,
aequao
emprica
utilizada
aequao
de
Andrade,
dada
por
B TD e= (26)
ondeD eB soconstantesempricaseT atemperaturaabsoluta.Anlogoaocaso
daEquao(25),conhecendoovalorde paraduastemperaturasdiferentes,pode
se
estimar
os
valores
para
as
constantes
D
e
B .
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AULA03CONCEITOSFUNDAMENTAISDEMECNICADOSFLUIDOS
1.CompressibilidadedosfluidosApropriedadenormalmenteutilizadaparacaracterizaracompressibilidade
deumfluidoomdulodeelasticidadevolumtrico, vE ,quedefinidopor
v
dpE
dV V= (1)
onde dp avariaodiferencialdepressonecessriaparaprovocarumavariao
diferencialdevolume dV numvolume V .OsinalnegativonaEquao(1)indicaque
umaumentodepressoresultarnumadiminuiodovolumeconsiderado.
Sabese que um decrscimo no volume de uma dada massa, m V= ,
resultaemumaumentodemassaespecfica.Logo,aEquao (1)podeserreescrita
como
v dpEd
=
(2)
A dimenso do mdulo de elasticidade volumtrico 2FL . Assim, no
sistema SI, sua unidade amesma de presso, ou seja, ( )2 N m Pa .Um fluido
incompressvelquandoovalordoseumdulodeelasticidadevolumtricogrande,
isto , necessitase de uma grande variao de presso para criar uma pequena
variaono
volume
ocupado
pelo
fluido.
Os valores do mdulo de elasticidade volumtrico para os lquidos so
grandes. Logo, os lquidos podem ser considerados incompressveis na maioria dos
problemasdeengenharia.Ovalorde vE paraos lquidosaumentacomapresso,
masoqueimportaoseuvaloraumapressoprximadaatmosfera.Quando os gases so comprimidos, ou expandidos, a relao entre a
pressoeamassa
especfica
depende
da
natureza
do
processo.
Se
acompresso,
ou
expanso,ocorreatemperaturaconstante(processoisotrmico),temse
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pC=
(3)
onde C umaconstante.
Se a compresso, ou a expanso, ocorre sem atrito e calor no
transferidodogsparaomeioeviceversa(processoisoentrpico),temse
k
pC=
(4)
onde k arazoentreocalorespecficoapressoconstante, pc ,eocalorespecfico
avolume
constante,
vc ,isto
p
v
ck
c= (5)
Osdoiscaloresespecficosestorelacionadoscomaconstantedogs, R ,
atravsdarelao
p v R c c= (6)
Omdulodeelasticidadevolumtricopodeserfacilmenteobtidotendose
uma equao de estado explcita, que relaciona a presso em funo da massa
especfica. Este mdulo pode ser determinado a partir do clculo de dp d e
substituindooresultadonaEquao(2).
Assim,
para
um
processo
isotrmico,
obtm
se
vE p= (7)
eparaumprocessoisoentrpico,obtmse
v E kp= (8)
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3FenmenosdeTransporteSemestre2011.2
2.Tensosuperficial
detectadonainterfaceentreumlquidoeumgs,ouentredoislquidos
imiscveis,aexistnciadeforassuperficiais.Estasforasfazemcomqueasuperfcie
do lquidosecomportecomoumamembranaesticada sobreamassa fluida.Apesar
destamembrananoexistir,aanalogiaconceitualpermiteexplicarmuitosfenmenos
observadosexperimentalmente.
Por exemplo, uma agulha de ao flutua na gua se esta for colocada
delicadamentenasuperfcielivredofluido,devidoaofatodeque tensodesenvolvida
namembranahipotticasuportaaagulha.Pequenasgotasdemercriosoformadas
quandoofluido
vertido
numa
superfcie
lisa,
pois
as
foras
coesivas
na
superfcie
tendemasegurarasmolculasjuntasenumaformacompacta.
Estes fenmenos superficiais soprovocadospelodesbalanodas foras
coesivas que atuam nas molculas de lquido que esto prximos superfcie do
fluido.Asmolculasque esto no interiordamassa de fluido esto envolvidas por
outrasmolculasqueseatraemmutuamentee igualmente.Entretanto,asmolculas
posicionadas na regio prxima a superfcie esto sujeitas a foras lquidas que
apontam para o interior. A conseqncia fsica o surgimento da membrana
hipottica.
Podeseconsiderarqueaforadeatraoatuanoplanodasuperfcieeao
longodequalquerlinhanasuperfcie.Aintensidadedaatraomolecularporunidade
de comprimento ao longo de qualquer linha na superfcie chamada de tenso
superficial, .
A tenso superficial uma propriedade do lquido e depende da
temperatura bem como do outro fluido que est em contato com o lquido. A
dimensodatensosuperficial 1FL eaunidadenoSIN m .
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4 FenmenosdeTransporteSemestre2011.2
Figura1Forasqueatuamnametadedeumagotadelquido
Apressodentrodeuma gotade fluidopode ser calculadautilizandoo
diagramade
corpo
livre
mostrado
na
Figura
1.
Se
agota
esfrica
cortada
pela
metade,aforadesenvolvidaaolongodaborda,devidaatensosuperficial, 2 R .
Estaforaprecisaserbalanceadapelaforaprovocadapeladiferenadepresso, p ,
entreapressointerna, intp ,eaexterna, extp ,queatuasobrearea2
R .
Assim,podeseescrever
2
2 0 R p R =
(9)
ou
2p
R =
(10)
ondeint ext p p p = . O resultado obtido na Equao (10) mostra que a presso
internada
gota
maior
do
que
apresso
no
meio
que
envolve
agota.
Um dos fenmenos associados com a tenso superficial a subida, ou
queda,deumlquidonumtubocapilar,comomostradonaFigura2.Seumtubocom
dimetropequenoeaberto inseridonagua,onveldaguanotubosubiracima
nonveldoreservatrio(verFigura2.a).Nestecasoidentificaseumainterfaseslido
lquidogs.Aatraoentree asmolculasdaparededotuboeasdolquidoforteo
suficienteparasobrepujaraatraomtua(coeso)dasmolculasdofluido.Ento,o
fluidosobenocapilareditoqueolquidomolhaasuperfcieslida.
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5FenmenosdeTransporteSemestre2011.2
Figura2Ascensoedepressocapilardentroeforadeumtubocircular
Aalturadacolunadelquido, h ,funodosvaloresdatensosuperficial,
,doraiodotubo,R ,dopesoespecfico, ,edonguloentreofluidoeomaterial
do tubo, .Analisandoodiagramado corpo livre, Figura3,podese concluirquea
foraverticalprovocadapelatensosuperficial 2 cosR equeopesodacoluna
2R h .
Figura3Diagramadecorpolivrenaascensocapilar
A fora vertical provocada pela tenso superficial e o peso da coluna
devemestaremequilbrio.Nestecaso,temse
22 cos 0 R h R = (11)
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6 FenmenosdeTransporteSemestre2011.2
Assim,aalturadacolunadadapelaequao
2 cosh
R=
(12)
eongulodecontatofunodacombinaolquidomaterialdasuperfcie.
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1FenmenosdeTransporteSemestre2011.2
AULA04CONCEITOSFUNDAMENTAISDEMECNICADOSFLUIDOS
EXERCCIOSPROPOSTOS01) O volume especfico do nitrognio contido num tanque 30,54 m kg quando atemperatura do gs igual a 15 C . Sabendo que a presso atmosfrica local igual a
97 kPa , determine a presso relativa no gs.
02) Ar a 20 C e 120 kPa (absoluta) comprimido isoentropicamente at a presso
absoluta de 400 kPa . Determine a massa especfica e a temperatura do ar no estado
final. Sabe-se que para o ar tem-se 0,287 R kJ kg K = e 1,4k= .
03) A distribuio de velocidade para o escoamento laminar desenvolvido entre placas
paralelas dada por
22
1mx
u y
u h
=
onde h a distncia entre as placas e a origem est situada na linha mediana entre as
placas. Considere um escoamento de gua a 15 C , onde 3 21, 2 10 N s m= , com
1mxu m s= e 20h mm= . Determine a fora sobre uma seo de21 m da placa
inferior e d o seu sentido.
04) A presso pode ser determinada medindo-se a altura da coluna de lquido num tubo
vertical. Qual o dimetro de um tubo limpo de vidro necessrio para que o movimento
de gua promovido pela ao capilar seja menor do que 1,0 mm ? Admita que a
temperatura uniforme e igual a 20 C . Sabe-se que a gua na temperatura de 20 C
tem uma tenso superficial dada por 0,0728 Pa= .
05) Um tubo de vidro, aberto e com 5 mm de dimetro interno inserido num banho de
mercrio a 20 C . Qual ser a depresso do mercrio no tubo? Sabe-se que a densidade
do mercrio 13,6SG = e a tenso superficial 484 mPa .
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1FenmenosdeTransporteSemestre2011.2
AULA05AESTTICADOSFLUIDOS
Um fluido definido como sendo uma substncia que escoar ou
deformarcontinuamentesemprequeumatensodecisalhamentoagirsobreela,por
menorquesejaestatenso.Logo,podeseafirmarqueatensodecisalhamentoem
um fluidoem repousodeveserzero.Apenasa tensonormalestpresenteemum
fluidoestticoouemummovimentodecorporgido.
Em um fluido homogneo e esttico,ou em um fluido submetido a um
movimento de corpo rgido, uma partcula fluida retm sua identidade por todo o
tempoeos
elementos
fluidos
no
deformam.
Logo,
pode
se
aplicar
asegunda
lei
do
movimentodeNewtonparaavaliarasforasagindosobreumapartculafluida.
Oprincipalobjetivodestecaptulooestudodapresso,decomoelavaria
no meio fluido e do efeito da presso sobre superfcies imersas. A ausncia das
tensesdecisalhamentosimplificamuitoamodelagemdosproblemasepermiteque
seobtenhasoluesrelativamentesimplesparamuitassituaesemengenharia.
1.PressoemumpontoO termopresso utilizadopara indicar a foranormalporunidadede
rea que atua sobre um ponto do fluido em um dado plano. Devese, no entanto
analisarcomoapressovariacomaorientaodoplanoquepassapeloponto.
Para isso,considereodiagramadecorpo livremostradonaFigura1.Esta
figurafoiconstrudaremovendose,arbritariamente,umpequenoelementodefluido,
com a forma de uma cunha triangular, de um meio fluido. Como a tenses de
cisalhamentosonulas,asnicasforasexternasqueatuamnacunhasoasdevidas
aopesoeapresso.Emtermosdesimplificaonosemostraasforasnadireo x
eoeixo z tomado como sendoovertical,ondeopesoatuano sentidonegativo
desteeixo.Fazseumaanlisegeraleadmitesequeoelementofluidoapresentaum
movimentoacelerado.
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2 FenmenosdeTransporteSemestre2011.2
A hiptese de que as tenses de cisalhamento so nulas ser ideal
enquantoomovimentodoelementofluidoforigualaqueledeumcorporgido,isto,
ondeoselementosadjacentesnoapresentammovimentorelativo.
Figura1Forasnumelementodefluidoarbitrrio
Osomatriodas forasnasdirees y e z sodados, respectivamente,
pelasequaes
y y sF p x z p x s sen = (1)
cos2
z z s
x y zF p x y p x s
= (2)
onde
sp ,
yp
e
zp
so
as
presses
mdias
nas
superfcies
da
cunha
e
o
peso
especficodofluido.
Como y yF ma= e z zF ma= ,podesereescreverasEquaes(1)e(2)
dasseguintesformas,respectivamente,
2 y s y
x y z p x z p x s sen a
= (3)
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3FenmenosdeTransporteSemestre2011.2
cos2 2
z s z
x y z x y z p x y p x s a
= (4)
onde amassaespecficadofluidoe ya , za soasaceleraesnasdirees y e
z ,respectivamente.AnalisandoageometriadaFigura1,podeseconcluirque
cosy s = (5)
z s sen = (6)
Logo, substituindo as Equaes (5) e (6) nas Equaes (3) e (4),
respectivamente,esimplificandooresultadoobtmseasequaes
2 y s y
y p p a
= (7)
( )2
z s z
z p p a
= + (8)
Interessase no que acontece num ponto, neste caso, analisase o caso
limiteonde
x ,
ye
ztendem
azero,
mantendo
se
ongulo
constante.
Assim,
asEquaes(7)e(8)podemserescritas,respectivamente,como
0y sp p = (9)
0z sp p = (10)
DasEquaes(9)e(11)podesechegaraoseguinteresultado
s y z p p p= = (11)
Comoaescolhadongulo arbitrria,podeseconcluirqueapresso
num ponto de um fluido em repouso, ou num movimento onde as tenses de
cisalhamentonoexistem,soindependentesdadireo.
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4 FenmenosdeTransporteSemestre2011.2
2.Aequaobsicadaestticadosfluidos
Agora pretendese encontrar a equao bsica da esttica dos fluidos.
Logo,aplicaseasegundaleideNewtonaumelementodefluidodiferencialdemassa
dm dV = ,comlados dx , dy e dz conformemostradonaFigura2.
Figura2Elementodiferencialdefluidoeforasdepresso
As foras que atuam em umapartcula fluida so deduas naturezas: as
foras de campo (tambm chamadas de foras de corpo) e as foras de superfcie
(tambmchamadasdeforasdecontato).Asforasdesuperfcieconsideradassoas
devidoapressoouaocisalhamento,enquanto,anicaforadecampoquedeveser
consideradadecorrentedagravidade.
Uma
vez
que
para
fluidos
estticos
no
h
tenso
de
cisalhamento,
ento,
a nica fora de superfcie fora de presso. A presso um campo escalar,
( ), ,p p x y z= ,variandocomaposiodentrodo fluido.Emcada facedocuboatua
umaforadevidopresso,queumprodutoentredoisfatores.Ouseja,amagnitude
dapressomultiplicadapelareapara resultarnamagnitudeda foradepresso.
Nocentodocuboatuaaforapeso(devidoagravidade)nadireonegativadoeixo
z .
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5FenmenosdeTransporteSemestre2011.2
Aforaresultantenadireox dadapor
2 2x
p dx p dxdF p dy dz p dy dz
x x
= +
(12)
ou
x
pdF dx dy dz
x
=
(13)
Aforaresultantenadireox dadapor
2 2y p dy p dydF p dx dz p dx dz
y y = +
(14)
ou
y
pdF dx dy dz
y
=
(15)
AforapesoparaoelementofluidodiferencialW g dx dy dz= . Logo,a
foraresultantenadireoz dadapor
2 2z
p dz p dzdF p dx dy p dx dy g dx dy dz
z z
= +
(16)
ou
z
pdF g dx dy dz
y
= +
(17)
Aformavetorialdaforaresultantequeatuanoelemento
x y zd F dF i dF j dF k = + +
(18)
onde i
, j
e k
soos vetoresunitriosnasdirees x , y e z , respectivamente.
Substituindoas
Equaes
(13),
(14)
e(15)
na
Equao
(18)
resulta
na
equao
vetorial
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6 FenmenosdeTransporteSemestre2011.2
p p pd F i j g k dx dy dz
x y z
= + +
(19)
Como
dV dx dy dz= ,
onde
dV
o
volume
do
elemento
diferencial,
ento
aEquao(19)podeserreescritacomo
p p pd F i j g k dV
x y z
= + +
(20)
ou
p p pd F i j k g k dV x y z
= + +
(21)
PodeseescreveraEquao(21)daseguinte
( )d F p g dV = +
(22)
onde p p p
p i j k
x y z
= + +
ovetorgradientedepressoe g g k=
ovetor
gravidade.Fisicamente,ogradientedepressoonegativodaforadesuperfciepor
unidadedevolumedevidopresso.Onveldepressonoimportantenaavaliao
da foraresultantedapresso.Emvezdisto,oque importaa taxadevariaoda
pressocomadistncia,ouseja,ogradientedepresso.
Aforaresultanteporunidadedevolumeescritadaseguinteforma,
d Fp g
dV= +
(23)
Paraumapartculafluida,asegundaleideNewtonfornece
d F a dm=
(24)
ou,como dm dV = ,
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7FenmenosdeTransporteSemestre2011.2
d F a dV =
(25)
DaEquao(25),podeseescreveraequao
d Fa
dV=
(26)
ecomoparaumfluidoesttico 0a =
,ento,temse
0d F
dV=
(27)
Combinandoas
Equaes
(23)
e(27)
pode
se
escrever
0p g + =
(28)
ondeotermo ( )p significaaforadepressoresultanteporunidadedevolumeem
umpontoe ( )g
significaaforadecampoporunidadedevolumeemumponto.A
Equao(28)umaequaovetorialepodeserescritanaseguinteformaalternativa
0 p p p
i j g k x y z
+ + =
(29)
Da Equao (29) podese escrever trs equaes unidimensionais nas
direesx , y ez ,
0p
x
=
(30)
0p
y
=
(31)
0p
gz
+ =
(32)
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8 FenmenosdeTransporteSemestre2011.2
Logo, podese concluir, de acordo com as consideraes feitas, que a
pressodependeapenasdavarivel z ,oqueimplicaqueaderivadatotal,d p
d z,pode
serusada
no
lugar
da
derivada
parcial,
p
z
.Assim,
d pg
d z= (33)
AEquao (33) a relaobsicapressoalturadaestticados fluidos.
Estaequaoestsujeitasasseguintesrestries
1. Fluidoemrepouso2. Agravidadeanicaforadecampo3. Oeixoz verticaleapontaparacima
Paradeterminaradistribuiodepressonum fluidoesttico,aEquao
(33)podeser integrada,aplicandoseascondiesdecontornoapropriadas.Devese
lembrardo fatodequeosvaloresdepressodevemserestabelecidosemrelaoa
umnvel
de
referncia.
Se
este
nvel
de
referncia
for
ovcuo,
as
presses
so
denominadasabsolutas.
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1FenmenosdeTransporteSemestre2011.2
AULA06AESTTICADOSFLUIDOS
1.Variaodepressoemumfluidoesttico
Foi visto anteriormente que a presso p de um fluido em repouso
funo apenas da varivel z e que a relao bsica pressoaltura dada pela
equaodiferencialordinria
dpg
dz= (1)
AEquao(1)fundamentalparaoclculodadistribuiodepressonos
casos onde o fluido est em repouso e pode ser utilizada para determinar como a
presso varia com a elevao. Esta equao indica que o gradiente de presso
decrescequandohummovimentoparacimaemumfluidoesttico.
AEquao(2)podeserescritanaseguinteformadiferencial
dp g dz= (2)
Na integrao da Equao (2) para encontrar a distribuio de presso,
devem ser feitas consideraes sobre as variaes da massa especfica, , e da
acelerao da gravidade, g . Porm, para a maioria das situaes prticas da
engenharia,consideramsedesprezveisasvariaesdaaceleraodagravidade,neste
casoconsiderase g constantecomaaltitudeemqualquerlocaldado.
Inicialmente
considera
se
o
caso
de
um
fluido
incompressvel,
isto
,
um
lquido. No caso dos lquidos a variao de massa especfica pode ser desprezada,
mesmoquandoasdistnciasverticaisenvolvidassosignificativas.
Logoparaahiptesedamassaespecficaconstanteecomoaacelerao
da gravidade tambm considerada constante, devese aplicar condies de
contornosapropriadasparaaobtenodavariaodepresso.Sabendoovalorda
presso 1p nonvel 1z ,podesedeterminarovalordapresso 2p nonvel 2z ,como
mostraaFigura1.
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2 FenmenosdeTransporteSemestre2011.2
Figura1Clculodapressonumponto
Ento,aplicandoacondio ( )1 1 p z p= ,podeseresolveraEquao(2)da
seguinteforma
2 2
11
p z
p z
dp g dz= (3)
oqueresultaem
( )2 1 2 1 p p g z z = (4)
ou
( )2 1 1 2 p p g z z =
(5)
Para lquidos, em geral, conveniente colocar a origem do sistema de
coordenadasnasuperfcie livreemedirasdistnciasparabaixoapartirdasuperfcie
comosendopositivas.Fazendo,ento, 1 2h z z= ,podeseescrever
2 1 p p g h = (6)
ouainda
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3FenmenosdeTransporteSemestre2011.2
2 1 p p g h= + (7)
AEquao (7) indicaque adiferenadepressoentredoispontosnum
fluidoem
repouso
pode
ser
calculada
atravs
da
medida
da
diferena
de
elevao
entre dois pontos. Os dispositivos utilizados para esta finalidade so chamados de
manmetros.
PodeseobservardaEquao (6)queadiferenaentrepressesdedois
pontospodeserespecificadospeladistncia h ,isto,
2 1p ph
g
=
(8)
Neste caso, adistncia h denominada carga e interpretada como a
altura da coluna e fluido com massa especfica necessria para provocar uma
diferenadepresso 2 1p p .
Figura2Pressoemqualquerprofundidade
Sempreexisteuma superfcie livrequando se trabalha com lquidos (ver
Figura2)econvenienteutilizarovalordapressonestasuperfciecomoreferncia.
Assim,apressodereferncia 0p correspondeapressoqueatuanasuperfcielivre
(usualmente igual a presso atmosfrica). Ento, fazendo 1 0p p= e 2p p= na
Equao(7)obtmseaseguinteequao
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4 FenmenosdeTransporteSemestre2011.2
0 p p g h= + (9)
DeacordocomaEquaes(7)e(9)podeseconcluirqueadistribuiode
pressopara
um
fluido
homogneo,
incompressvel
eem
repouso
no
tem
influncia
algumacomotamanhoouformadotanqueourecipientequecontmofluido,sendo
funoapenasdaprofundidade.
Figura3Equilbriodeumfluidonumrecipientedeformaarbitrria
DeacordocomaFigura3,todosospontoscontidosnalinhaABpossuema
mesmapressomesmoorecipientetendoumaforma irregular.Logo,ovalorrealda
presso ao longo da linha AB depende apenas da profundidade, h , da presso na
superfcielivre, 0p ,edamassaespecficadofluidocontidonorecipiente.
O fato da presso ser constante num plano com fundamental para a
operaodedispositivoshidrulicoscomomacacos,elevadores,prensas,controlesde
aviesedemquinaspesadas.Oaspectobsicodofuncionamentodestesdispositivos
esistemasestmostradonaFigura4.
Um pisto localizado num sistema fechado e repleto de lquido (por
exemplo,leo)utilizadoparavariarapressonosistemaeassimtransmitirafora
1 1 1F p A= noponto1paraum segundopistoqueapresentauma fora resultante
2 2 2F p A= noponto2.Aspressesnospontos1e2sodadas,respectivamente,por
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5FenmenosdeTransporteSemestre2011.2
11
1
Fp
A= (10)
222
Fp
A= (11)
Figura4Transmissodapressonumfluido(Fonte:FrankM.White FluidMechanics Sixth
Edition)
Comoaspressesnospontos1e2soiguais, 1 2p p= ,devidoestaremem
uma mesma altura, ento, combinado as Equaes (10) e (11) temse o seguinte
resultado
22 1
1
AF F
A
=
(12)
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6 FenmenosdeTransporteSemestre2011.2
Observequearea 2A muitomaiorquearea 1A .Nestecaso,podese
amplificaromdulodeuma fora,ouseja,uma forapequenaaplicadanopisto1
podeseramplificadanopisto2.Aforaaplicadanopisto1,comrea 1A ,podeser
geradamanualmenteetransmitidaatravsdealgumdispositivomecnicoouatravs
dearcomprimidoatuandodiretamentenasuperfciedolquido.
Agora, pretendese modelar a distribuio de presses para fluidos
compressveis,tais comoooxignioenitrognio.Nestecaso,amassaespecficano
constante e sofrem variaes significativas com as alteraes de presso e
temperatura.
Logo,antes
de
se
resolver
aEquao
(2)
deve
se
levar
em
conta
que
a
massaespecfica, ,paraessefluidosvariam.Entretantoamassaespecficadosgases
comunssopequenasemrelaoaosfluidos.AnalisandoaEquao (1)notaseque,
nestes casos, o gradiente de presso na direo vertical pequeno pois a massa
especficadosgasesnormalmentebaixa.Assim,avariaodepressonumacoluna
de ar com centenas de metros pequena. Logo, podese desprezar o efeito da
variaode elevao sobre apressono gs contido em tanquese tubulaesque
apresentamdimensesverticaismoderadas.
Paraoscasosondeavariaodealturagrande,daordemdemilharesde
metros,deveseconsideraravariaodamassaespecficado fluidonosclculosdas
variaesdepresso.Paraumgsperfeitotemse
p
R T= (13)
onde p apressoabsolutadogs, R aconstantedogse T a temperatura
absolutadogs.SubstituindoaEquao(13)naEquao(1)resultaem
pdp g dz
RT= (14)
ou,separandoasvariveis,
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7FenmenosdeTransporteSemestre2011.2
dp gdz
p RT = (15)
Logo,sabendoovalordapresso 0p nonvel 0z ,podesedeterminaro
valordapresso 2p nonvel 2z ,daseguinteforma
0 0
p z
p z
dp g dz
p R T = (16)
Antes de resolver a Equao (16) necessrio especificar como a
temperaturavaria
com
aelevao.
Por
exemplo,
se
for
admitido
que
atemperatura
constanteeiguala 0T ,temse
00 0
p z
p z
dp gdz
p R T = (17)
queresultaem
( )00 0
lnp g
z z p RT
= (18)
ResolvendoologaritmodaEquao(18)obtmseoseguinteresultado
( )00 0
expp g
z z p RT
=
(19)
ou
( )0 00
expg
p p z zRT
=
(20)
AEquao(20)fornecearelaoentreapressoeaalturanumacamada
isotrmica
de
um
gs
perfeito.
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8 FenmenosdeTransporteSemestre2011.2
2.Atmosferapadro
Uma aplicao importante da Equao (16) o clculo da variao da
pressonaatmosferaterrestre.Medidasdepressonumagrandefaixadealtitudese
para condies ambientais especficas (temperatura e presso de referncia) so
informaesquenormalmentenoestodisponveis.Logo,umaatmosferapadrofoi
desenvolvidaparaserutilizadanoprojetodeavies,msseiseespaonaves,etambm
paracompararocomportamentodestesequipamentosnumacondiopadro.
O conceito de atmosfera padro foi desenvolvido na dcada de 1920 e
desde ento muitas organizaes nacionais e internacionais tem desenvolvido este
padro.A
atmosfera
americana
padro
atual
baseada
no
documento
publicado
em
1962equefoirevisadoem1976.Estaatmosferatambmutilizadacomopadroem
vrios outros pases. A atmosfera padro uma representao ideal da atmosfera
terrestreefoiavaliadanumalatitudemdiaenumacondioambientalmdiaanual
daatmosferaterrestre.
Tabela1
Propriedades
da
Atmosfera
Padro
Americana
no
nvel
do
mar
Temperatura,T ( )288,15 15K C Presso, p ( )101,3 kPa abs
Massaespecfica, 31, 225 kg m
Pesoespecfico, 312,014 N m
Viscosidade, 5 21,789 10 N s m
ATabela1mostraalgumaspropriedadesimportantesnaatmosferapadro
relativasaonveldomar.Naatmosferapadroatemperaturadiminuicomaaltitude
naregioprximaasuperfciedaTerra(troposfera),ficaaproximadamenteconstante
naestratosferaediminuinaprximacamada.
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9FenmenosdeTransporteSemestre2011.2
Avariaode temperaturanaatmosferapadrorepresentadaporuma
sriede segmentos lineares.Assim, a integraoda Equao (16) possvelpara a
obtenodavariaodepressocorrespondente.
Porexemplo,
na
troposfera
(regio
que
se
estende
at
uma
altura
aproximadamenteiguala11km),adistribuiodetemperaturadadapor
0T T z= (21)
onde 0T a temperaturanonveldomar ( 0z = ) e a taxadedecaimentoda
temperatura.
Acondio
neste
caso
seria
para
0z = temse 0T T= e 0p p= .Logopode
seescreveraEquao(16)daseguinteforma
000
p z
p
dp g dz
p R T z=
(22)
ResolvendoaEquao(22)obtmse
0
0 0
ln lnT zp g
p R T
=
(23)
DaEquao(23)obtmseoseguinteresultado
00
0
g RT z
p p
T
=
(24)
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1FenmenosdeTransporteSemestre2011.2
AULA07AESTTICADOSFLUIDOS
1.MedidasdepressesemanometriaA presso uma caracterstica muito importante do campo de
escoamento.Poressemotivo,vriosdispositivosetcnicasforamdesenvolvidoseso
utilizados para suamedio. A presso num ponto de um sistema fluido pode ser
designadaemtermosabsolutosourelativos(manomtricas).
Aspressesabsolutassomedidasemrelaoaovcuoperfeito(presso
absoluta nula), enquanto a presso relativa (manomtrica) medida em relao a
presso atmosfrica local.Destemodo, a presso relativa nula corresponde a uma
presso igualapressoatmosfrica.Aspressesabsolutassosemprepositivas,mas
aspressesrelativaspodemserpositivas(pressomaiordoqueapressoatmosfrica
local)ounegativas(pressomenordoqueapressoatmosfricalocal).
Uma das tcnicas utilizadas na medio da presso envolve o uso de
colunasde lquidosverticaisou inclinadas.Osdispositivosparaamedidadapresso
baseadosnesta
tcnica
so
denominados
manmetros.
Os
trs
tipos
usuais
de
manmetrossootubopiezomtrico,omanmetroemUeocomtuboinclinado.
O tipomaissimplesdemanmetroconsistenum tuboverticalabertono
topoeconectadoaorecipientenoqualsedesejamedirapresso(verFigura5).
Figura5Tubopiezomtrico
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2 FenmenosdeTransporteSemestre2011.2
Comoacolunadelquidoestemequilbrio,podeseescrever
0 p p g H = + (1)
Estaequao
fornece
ovalor
da
presso
gerada
por
qualquer
coluna
de
fluidohomogneoemfunodapressodereferncia 0p edadistnciaverticalentre
osplanosqueapresentam p e 0p .
Lembresequeapressoaumentarquandoocorreummovimentopara
baixonumacolunadefluidoemequilbrioedecrescerseomovimentoforparacima.
AaplicaodaEquao(1)aotubopiezomtricodaFigura5indicaqueapresso Ap
podeserdeterminadaapartirdeH atravsdarelao
A p g H = (2)
onde amassaespecficadolquidodorecipiente.
Notequeapresso0
p foiigualadaazero(otuboabertonotopo)eisso
implica que se lida com presses relativas (manomtricas). A altura H deve ser
medidaapartirdomeniscodasuperfciesuperioratopontoB.ComoopontoBeo
pontoAdorecipienteapresentamamesmaelevao,temseque A Bp p= .Logo,
B p g H = (3)
Autilizaodotubopiezomtricomuitorestritaesadequadoousonos
casosondeapressonorecipientemaiordoqueapressoatmosfrica.Almdisso,
noreservatrionopodesermuitogrande(paraqueaalturadacolunasejarazovel).
Estedispositivospodeserutilizadoseofluidocontidonorecipienteforumlquido.
OmanmetrocomtuboemUfoidesenvolvidoparasuperaralgumasdas
dificuldadesencontradasnousodotubopiezomtrico.AFigura6mostraumesboo
deste tipo de manmetro e o fluido que se encontra no tubo do manmetro
denominado fluidomanomtrico.Para aobtenodapressonopontoA, Ap ,em
funodas
alturas
das
vrias
colunas,
aplica
se
aEquao
(9)
nos
vrios
trechos
preenchidoscomomesmofluido.
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3FenmenosdeTransporteSemestre2011.2
Figura6ManmetrocomtuboemUsimples
ApressonopontoAigualapressonopontoB,isto A Bp p= .Logoa
pressonopontoC, Cp ,igualasomade Ap com A Agh ,ouseja,
C A A A p p g h= + (4)
ApressonopontoC, Cp , igualapressonopontoD, Dp ,poisaelevaoa
mesma.
DemodoanlogopodesedeterminarapressonopontoD, Dp ,usandoa
Equao(9)daseguinteforma
0 D B B p p g h= + (5)
onde0
p apressorelativaparaasuperfcie.Como0
0p = ,resultaem
D B B p g h= (6)
IgualandoasEquaes(4)e(6)resultanaexpresso
A A A B B p g h g h+ = (7)
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4 FenmenosdeTransporteSemestre2011.2
ou
A B B A A p g h g h= (8)
Agrande
vantagem
do
manmetro
com
tubo
em
U
que
ofluido
manomtricopodeserdiferentedofluidocontidonorecipienteondeapressodeve
serexaminada.
OmanmetrocomtuboemUtambmpodeserutilizadoparadeterminar
diferenasdepressoemsistemas fluidos.Considereomanmetroconectadoentre
osrecipientesAeBdaFigura7.Adiferena A Bp p podeserdeterminadademodo
anlogoasoluo
obtida
em
para
aEquao
(8).
Figura7ManmetrodiferencialemU
Paramanmetrosqueusammltiplos lquidos,comomostradonaFigura
7,asseguintesregrassoteisnaanlise:
Quaisquerdoispontosnamesmaelevaoemumvolumecontnuodomesmolquidoestomesmapresso.
A presso cresce medida que se desce na coluna de lquido e decresce medidaquesobenacolunadelquido.
Paradeterminaradiferenadepresso, A Bp p ,entredoispontos,AeB,
separadosporumasriedefluidos,aseguinteequaopodeserusada
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5FenmenosdeTransporteSemestre2011.2
A i i B p g h P+ = (9)
onde i e ih representam as massa especficas e as alturas (profundidades) dos
vriosfluidos,
respectivamente.
Deve
se
lembrar
do
fato
de
que
as
alturas
ih , so
positivasparabaixoenegativasparacima.
Logo,usandoaEquao(9),podeseescrever
A A A B B C C B p gh gh gh p+ = (10)
oqueresultanaexpressoparaadiferenadepresso, A Bp p ,dadapor
A B A A B B C C p p gh gh gh = + + (11)
Normalmente, os efeitos da tenso superficial nas vrias interfaces do
fluido manomtrico no so considerados. Os dois fluidos manomtricos mais
utilizados so a gua e o mercrio. Estes dois fluidos formam um menisco bem
definido e apresentam propriedades bem conhecidas. claro que o fluido
manomtricodeve
ser
imiscvel
nos
fluidos
que
esto
em
contato
com
ele.
Figura8Manmetrocomtuboinclinado
O manmetro esboado na Figura 8 freqentemente usado para
mediesdepequenasvariaesdepresso.Umapernadomanmetro inclinada,
formandoumngulo comoplanohorizontal,ea leitura L medidaao longodo
tuboinclinado.
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6 FenmenosdeTransporteSemestre2011.2
Nestascondies,temse
A A A B C C B p gh g Lsen gh p+ = (12)
ou
A B A A B C C p p gh g Lsen gh = + + (13)
NotequeadistnciaverticalentreospontosBeC Lsen .Assim,para
ngulosrelativamentepequenos,aleituradiferencialaolongodotuboinclinadopode
serfeitamesmoqueodiferencialdepressosejapequeno.
Omanmetro
de
tubo
inclinado
sempre
utilizado
para
medir
pequenas
diferenasdepressoemsistemasquecontmgases.Nestescasos,
A B B p p g Lsen = (14)
ou
A B
B
p pL
g sen
=
(15)
porqueascontribuiesdascolunasdegspodemserdesprezadas.
AEquao(15)mostraque,paraumadadadiferenadepresso,aleitura
diferencial,L ,domanmetrodetuboinclinado1
senvezesmaiordoquequelado
manmetrocomtuboemU.
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1FenmenosdeTransporteSemestre2011.2
AULA08AESTTICADOSFLUIDOS
1.Forahidrostticanumasuperfcieplana
Sempresedetectaapresenadeforasnasuperfciedoscorposqueesto
submersosnosfluidos.Estadeterminaomuito importantenoprojetodetanques
de armazenamentode fluidos,navios,barragens edeoutras estruturashidrulicas.
Sabesequeos fluidosemrepousoexercemuma foraperpendicularnassuperfcies
submersas e que a presso varia linearmente com a profundidade se o fluido se
comportarcomincompressvel.
Figura1Foraresultantedesenvolvidanofluidodeumtanqueaberto
Assim,paraumasuperfciehorizontal,comoainferiordotanquemostrado
naFigura1,omdulodaforaresultantesobreasuperfciedadopor
RF pA=
(1)
onde p a presso na superfcie inferior e A a rea desta superfcie. Se
0 p p g h= + ,entoaEquao(1)podeserescritacomo
( )0RF p g h A= + (2)
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2 FenmenosdeTransporteSemestre2011.2
Seapresso 0p atuanasuperfcielivredo lquidoenasuperfcieinferior
do tanque, a fora resultantedevida somente ao fluido contidono tanque.Neste
caso,aEquao(2)seresumea
RF g h A= (3)
Logo,paradeterminarcompletamentearesultantedaforaatuandosobre
umasuperfcieplanasubmersa,devemseespecificar
1. Amagnitude(mdulo)dafora;2. Osentidodafora;3. Alinhadeaodafora.
Considereinicialmenteumaforanormal 0p atuandosobreumasuperfcie
plana,comomostraaFigura2.
Figura2Superfcieplanasubmersa(Fonte:FrankM.White FluidMechanics SixthEdition)
Comonohtensodecisalhamentoemum lquidoemrepouso,afora
hidrostticasobrequalquerelementodasuperfcieagenormalsuperfcie.Aforade
pressoatuandosobreumelemento dA dx d y= dafacesuperiordadapor
dF p dA=
(4)
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3FenmenosdeTransporteSemestre2011.2
Aforaresultanteagindosobreasuperfcieencontradaatravsdasoma
dascontribuiesdaforasinfinitesimaissobreareainteira.Asuamagnitudedada
por
R
A
F p dA= (5)
Temseque 0 p p gh= + edageometriadosistemapodeseconcluirque
h y sen= ,ento 0 p p g y sen = + .DaaEquao(5)resultaem
( )0RA
F p g y sen dA = +
(6)
ou
0R
A A
F p dA g sen y dA = + (7)
Doclculodiferencialtemse,pordefinio,
A
dA A= (8)
e defineseoprimeiromomentodereadasuperfcieemtornodoeixox ,como
C
A
y dA y A= (9)
onde Cy acoordenada y docentridederea.
Substituindo as Equaes (8) e (9) na Equao (7), ento resulta na
expresso
0R CF p A g sen y A= + (10)
ecomo
C Ch y sen= ,ento,
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4 FenmenosdeTransporteSemestre2011.2
( )0R CF p g h A= + (11)
O termo ( )0 C p g h+ a presso absoluta no lquido na posio do
centridedarea A ,sendo indicadapor Cp ,ento,aEquao(11)podeserescrita
daforma
R CF p A= (12)
AEquao (12)exprimeaforaresultantedevidoao lquido, incluindoos
efeitosdapresso ambiente 0p , sobreum ladodeuma superfcie submersaplana.
Estaequao
no
leva
em
considerao
qualquer
presso
ou
distribuio
de
foras
que
eventualmenteexistanooutroladodasuperfciesubmersa.
Se a mesma presso 0p da superfcie livre do lquido existir no lado
externo da superfcie, seu efeito sobre RF cancelado e a fora lquida sobre a
superfciedadapor
( )R C manF p A=
(13)
onde ( )c manp apressomanomtrica.
Figura3
Linha
de
ao
da
fora
resultante
(Fonte:
Frank
M.
White
Fluid
Mechanics
Sixth
Edition)
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5FenmenosdeTransporteSemestre2011.2
Em seguidadevesedeterminaroponto ( ),R Rx y de aplicaoda fora
resultante.Primeiramente,determinaseacoordenada Ry (verFigura3).A intuio
sugerequealinhadeaodaforaresultantedeveriapassaratravsdocentrideda
rea, porm este no o caso. A coordenada Ry da fora resultante pode ser
determinadapelasomadosmomentosem tornodoeixo x ,ouseja,omomentoda
foraresultanteprecisaserigualaosmomentosdasforasdevidasapresso.
Tomandoasoma(integral)dosmomentosdasforasinfinitesimais dF em
tornodoeixox resulta
R R
A
y F y p dA= (14)
Da Equao (14) podese escrever a expresso para a determinao da
coordenada Ry ,quedadapor
ARR
y pdA
yF=
(15)
Prximopasso adeterminaoda integral
A
y pdA .Usandoo fatode
que 0 p p g y sen = + ,ento,podeseescrever
2
0
A A A
y p dA p y dA g sen y dA = +
(16)
Definese, ento, o segundo momento de rea em torno do eixo x ,
indicadopor x xI ,daseguinteforma
2x x
A
y dA I = (17)
edoteoremadeeixoparalelospodeseescrever
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6 FenmenosdeTransporteSemestre2011.2
2 x x x x C I I A y= + (18)
onde xxI osegundomomentodereapadro,emtornodoeixo x comorigemno
centride.Logo,
aEquao
(17)
reduz
se
a
22 x x C
A
y dA I A y= + (19)
Substituindo as Equaes (9) e (19) na Equao (16), e simplificando o
resultadotemse
( ) 0C C x xA
y p dA y p g y sen A g sen I = + + (20)
Como C C y sen h= ,ento,podeseescrever
( ) 0C C x xA
y p dA y p g h A g sen I = + + (21)
ou,daEquao(11),
C R x x
A
y p dA y F g sen I = + (22)
Logo, substituindo a Equao (22) na Equao (15) e simplificando o
resultado,temsequeacoordenada 'y dopontodeaplicaodaforaresultante RF ,
dadapelaexpresso
x xR C
R
g sen Iy y
F= +
(23)
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7FenmenosdeTransporteSemestre2011.2
AEquao(23)convenienteparaoclculodacoordenada Ry doponto
deaplicaodaforasobreoladosubmersodasuperfcie,quandosedeseja incluira
pressoambiente 0p .Seestamesmapressoatuasobreooutroladodasuperfciee
como ( ) C CC man p g h g y sen= = ,entoaEquao(11)podeserescritadaforma
R CF g y sen A= (24)
Daacoordenada Ry dopontodeaplicaodaforaresultantedadapor
x xR C
C
Iy y
A y= + (25)
AEquao (25)convenienteparacalcular Ry quandoo interessena
fora lquida em que a mesma presso 0p atua sobre os dois lados da superfcie
submersa.Paraproblemasemqueapressosobreooutro ladodasuperfcieno
0p ,podeseouanalisarcadaumdosladosdasuperfcieseparadamenteoureduziras
duasdistribuiesdepressoaumadistribuiolquidadepresso.
IstocorrespondeacriarumsistemaparaserresolvidousandoaEquao
(11),comapresso Cp expressacomoumapressomanomtrica.
Umaanlise similarpode ser feitapara calcular Rx ,acoordenada x do
pontode aplicao da fora resultante sobre a superfcie. Logo, podese chegar ao
seguinteresultado
x yR C
R
g sen Ix xF
= + (26)
onde x yI oprodutodeinrciaemrelaoaoseixosx
e y
.
AEquao(26)convenienteparacalcular Rx quandosedesejaincluira
presso ambiente 0p . Quando a presso ambiente age sobre o outro lado da
superfcie,desprezase 0p noclculodaforalquidaenestecaso
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8 FenmenosdeTransporteSemestre2011.2
xyp C
C
Ix x
Ay= + (27)
Em resumo,asEquaes (5)a (27)constituemumconjuntocompletode
equaes para o clculo da magnitude e localizao da fora resultante devido a
presso hidrosttica sobre uma superfcie plana submersa. A direo da fora ser
sempreperpendicularaoplanodasuperfcie.
2.Forashidrostticassobresuperfciescurvassubmersas
Na seo anterior foi desenvolvidas equaes para a determinao do
mdulo, e a localizao do ponto de aplicao, da fora resultante que atua numa
superfciesubmersaplana.Porm,necessitasederesultadosequivalentesrelativosa
superfciesquenosoplanas, taiscomoassuperfciesdasbarragens, tubulaese
tanques.
possvel determinar a fora resultante em qualquer superfcie por
integrao, como foi feito anteriormente, porm esteprocedimento trabalhoso e
nopossvel
formular
equaes
simples
egerais.
Logo,
alternativamente,
pode
se
considerar o equilbrio de um volume de fluido delimitado pela superfcie curva
consideradaepelassuasprojeesverticalehorizontal.
Emgeral,amagnitudedacomponenteresultantenadireo l qualquer
dadapor
R ll
A l
F p dA=
(28)
onde ldA a projeodo elementode rea dA sobreumplanoperpendicular
direo l .
A linhade aode cada componenteda fora resultantedeterminada
reconhecendoqueomomentoda componenteda fora resultante aumdadoeixo
deve ser igualaomomentodacomponenteda foradistribudacorrespondenteem
relaoaomesmoeixo.
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9FenmenosdeTransporteSemestre2011.2
Figura4Forassobreumasuperfciecurvasubmersa
AtravsdaEquao (28)podese chegarao seguinte resultado:as foras
horizontaisesuas localizaessoasmesmasqueparaumasuperfcieplanavertical
imaginriadamesmareaprojetada. Isto ilustradona Figura4,onde chamase a
forahorizontalde HF .Logo,
H CF p A= (29)
onde
Cp apressonolquidonaposiodocentridederea A .
Quandoapressoatmosfricaatuasobreasuperfcielivreesobreooutro
ladodasuperfciecurva,aforalquidaverticaligualaopesodiretamenteacimada
superfcie. Isto pode ser confirmado aplicando a Equao (28) para determinar a
magnitudedacomponenteverticaldaforaresultante
V z
Az
F p dA=
(30)
Como
p g h= ,ento
V z
Az
F g h dA= (31)
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10 FenmenosdeTransporteSemestre2011.2
onde zg hdA opesodeumcilindrodiferencialde lquidoacimadoelementode
readasuperfcie zdA ,estendendoadistncia h dasuperfciecurvaatasuperfcie
livre.Temseque zh dA dV = ,entoaEquao(31)podeserescritacomo
V
Az
F g dV = (32)
Acomponenteverticaldaforaresultanteobtidapelaintegraosobrea
superfcieinteirasubmersa.Ento,resolvendoaintegraldaEquao(32),obtmse
VF g V=
(33)
Mostrouse que a linha de ao da componente vertical da fora passa
atravsdocentrodegravidadedovolumedolquidodiretamenteacimadasuperfcie
curva.
A fora hidrosttica resultante sobre uma superfcie submersa
especificadaem termosdesuascomponentes.Sabesequearesultantedequalquer
sistemade
foras
pode
ser
representada
por
um
sistema
fora
conjugada,
isto
,
a
foraresultanteaplicadaemumpontoeumconjugadooumomentoemrelaoao
ponto.Logo,omdulodaforaresultantedadopor
( ) ( )2 2
R H V F F F= + (34)
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1FenmenosdeTransporteSemestre2011.2
AULA09AESTTICADOSFLUIDOS
1.Empuxoeestabilidade
Sempre se identificouuma fora,exercidapelos fluidos, sobreos corpos
que esto parcialmente ou totalmente submersos. Esta fora lquida vertical, com
sentidoparacima,um resultadodogradientedepresso.Logo,a fora resultante
geradapelofluidoequeatuanoscorposdenominadaempuxo.
Considereumobjetototalmenteimersoemumlquidoesttico,conforme
mostrado na Figura 1.A fora vertical sobre o corpo devido presso hidrosttica
pode serencontradamais facilmente considerandoelementosdevolume cilndricos
similaresquelesmostradonaFigura1.
Figura1Corpoimersoemumlquidoesttico
Sabendo que0
p p g h= +
, ento, a fora vertical sobre o elemento
dadapelaequao
( ) ( )0 2 0 1zdF p g h dA p g h dA = + + (1)
resultandoem
( )2 1zdF g h h dA= (2)
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2 FenmenosdeTransporteSemestre2011.2
Como ( )2 1h h dA dV = ,ento,resultaem
zdF gdV = (3)
A fora vertical zF obtida atravs da integrao sobre o volume da
Equao(3),isto
z
V
F gdV = (4)
Logo, resolvendo a Equao (4), obtmse a seguinte expresso para a
foravertical,
zF g V= (5)
onde V ovolumedoobjeto.
Assim,podeseconcluirqueparaumcorposubmerso,aforadeempuxo
dofluidoigualaopesodofluidodeslocado,
empuxo subF g V= (6)
onde subV ovolumesubmersodocorpo.
A relaodadapelaEquao (6)muitasvezeschamadadePrincpiodeArquimedes. Nas aplicaes tcnicas mais correntes, esta relao empregada no
projeto de embarcaes, flutuadores, bales meteorolgicos, batiscafos e outros
equipamentosflutuantes
ou
submersveis.
Objetos submersos no necessitam ser slido. Bolhas de hidrognio,
usadasnavisualizaode linhasdetempoedeemissoestosujeitasaumempuxo
positivo;elassobemlentamenteenquantosoarrastadaspeloescoamento.Poroutro
lado,gotasdeguaemleogeramumempuxonegativoetendemaafundar.
AEquao(6)predizqueafora lquidaverticalsobreumcorpoqueest
totalmentesubmerso
em
um
nico
fluido.
Nos
casos
de
imerso
parcial,
um
corpo
flutuantedeslocaumvolumedelquidocomopesoigualaopesodocorpo.
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3FenmenosdeTransporteSemestre2011.2
A linhadeaoda foradeempuxoageatravsdocentridedovolume
deslocado. Como os corpos flutuantes esto em equilbrio sob a ao de forasde
campoedeempuxo,a localizaoda linhadeaodaforadeempuxodeterminaa
estabilidade.
2.Variaodapressonumfluidocommovimentodecorporgido
Considerandoaforatotalatuandosobreumelementofluido,emrepouso
ouemmovimentoquenoapresentatensesdecisalhmento,deduziuseaseguinte
expressovetorial
dFp g
dV= +
(7)
onde p
ovetorgradientedapresso,dadopor p p p
p i j k x y z
= + +
,e g
o
vetorgravidade,dadopor x y zg g i g j g k = + +
.
DasegundaleideNewton,obtmse,paraumapartculafluida,aseguinte
expressovetorial
dFa
dV=
(8)
onde x y za a i a j a k = + +
.
CombinandoasEquaes(7)e(8)temse
p g a + =
(9)
ou
( ) p a g =
(10)
A Equao (10) apresenta as seguintes equaes componentes, nas
direesx ,
y
ez ,
respectivamente,
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( )x xp
a gx
=
(11)
( )y yp
a gy
=
(12)
( )z zp
a gz
=
(13)
Foiescolhidoumsistemadecoordenadasnoqualovetorgravidadeest
alinhadocomoeixoz apontandoparacimanadireovertical.Assim,temse 0xg = ,
0yg = e zg g= .Sobestascondies,asequaescomponentestornamse
x
pa
x
=
(14)
y
pa
y
=
(15)
( )z
pa g
z
= +
(16)
O movimento do fluido que no apresenta tenso de cisalhamento
aquele onde amassade fluido submetida a ummovimento de corpo rgido. Por
exemplo, seum recipientede fluido acelera ao longodeuma trajetria retilnea,o
fluidosemovercomoumamassargida(depoisqueomovimentotransitrio inicial
tiver desaparecido) e cada apresentar a mesma acelerao. Como as tenses de
cisalhamento
so
nulas
ento
a
Equao
(10)
ideal
para
descrever
o
movimento
do
fluido.Demodoanlogo,seofluidocontidonumtanquerotacionaemtornodeum
eixofixo,ofluidosimplesmenterotacionarcomotanquecomoumcorporgidoea
Equao(10)podeserutilizadaparadeterminaradistribuiodepressodofluido.
Inicialmente, considerase o movimento retilneo uniformemente
aceleradodeumrecipienteabertocontendoumlquidoemque 0ya = ,oqueimplica
0
p
y
= . Logo, os gradientes de presso nas direes x e z so, respectivamente,
dadospelasEquaes(14)e(16).
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Figura2Aceleraolineardeumamassafluidacomsuperfcielivre(Fonte:FrankM.White Fluid
Mechanics SixthEdition)
Avariaodepressoentredoispontosprximos,localizadosem
p pdp dx dz
x z
= + (17)
AplicandoasEquaes(14)e(16)naEquao(17)obtmse
( )x zdp a dx a g dz= + (18)
Note que 0dp = ao longo de uma linha de presso constante.Assim, a
inclinao
destas
linhas
dada
por
x
z
adz
dx a g=
+ (19)
Apressoaolongodasuperfcielivreconstante.Destemodo,asuperfcie
livre damassa de fluido ser inclinada se 0xa (ver Figura 2).Note que todas as
linhasdepressoconstanteseroparalelasasuperfcielivre.
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6 FenmenosdeTransporteSemestre2011.2
No caso especial onde 0xa = e 0za , que corresponde a uma massa
fluidaacelerandonadireovertical,asuperfciedofluidoserhorizontal,isto
0
dz
dx = (20)
AEquao(16)indicaqueadistribuiodepressonoserahidrosttica,
masafornecidapelaequao
( )zdp
a gdz
= + (21)
AEquao
(21)
mostra
que
apresso
variar
linearmente
com
a
profundidade se a massa especfica do fluido for constante. A variao devida a
combinaodosefeitosdagravidadecomosinduzidospelaacelerao, ( )za g+ .
Seumamassafluidaestemqueda livre, temse za g= ,oque implica
queaEquao(21)seresume
0
dp
dz = (22)
implicando que o gradiente de presso nas trs coordenadas zero. Assim, se a
pressonoambienteondeestlocalizadaestamassafluidazero,apressonofluido
tambm sernula.Apresso internanuma gotade sucode laranja localizadanum
veculo espacial zero e a nica fora que mantm o lquido coeso a tenso
superficial.
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1FenmenosdeTransporte Semestre2011.2
AULA11DINMICADOSFLUIDOS
Anteriormente foi discutido situaes onde o fluido estava em repouso
(imvel)ouapresentandoummovimentoigualaqueledeumcorporgido.Porm,os
fluidosapresentamoutrostiposdemovimentos.Agorapretendese investigaralguns
movimentostpicosdosfluidos(dinmicadosfluidoselementar).
Para entender os fenmenos associados aos movimentos dos fluidos
necessrioconsideraras leisfundamentaisquemodelamomovimentodaspartculas
fluidas. Tais consideraes incluem os conceitos de fora e acelerao. Logo, se
discutir,com
algum
detalhe,
aaplicao
da
segunda
lei
de
Newton
ao
movimento
da
partcula fluida, obtendo a Equao de Bernoulli e suas aplicaes em vrios
escoamentos.
1.SegundaleideNewton
usual identificar uma acelerao, ou desacelerao, quando uma
partculafluidaescoadeumlocalparaoutro.DeacordocomasegundaleideNewton,
afora lquidaqueatuanapartculafluidaconsideradadeveser igualaoprodutode
suamassapelaacelerao,isto
F m a=
(1)
onde a
aaceleraodapartculafluida.
Ser
considerado
somente
os
escoamentos
invscidos,
isto
,
escoamentos
em que se possam admitir que a viscosidade do fluido nula. Neste caso, a
condutibilidadetrmicatambmnulae,assim,onicomecanismodetransferncia
decalorpresentenosescoamentosinvscidosaradiaotrmica.
Osfluidos invscidossexistemnateoria,poistodofluidoapresentauma
tenso de cisalhamento quando submetido a uma taxa de deformao. Porm,
existem escoamentos ondeos efeitos viscosos so relativamentepequenosquando
comparadosao
outros
efeitos
presentes.
Assim,
pode
se
obter
uma
boa
aproximao
paraestescasosseforignoradoosefeitosviscosos.
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2 FenmenosdeTransporte Semestre2011.2
Por enquanto, admiteseque omovimento do fluido provocado pelas
forasdegravidade(foradecampo)edepresso(forasuperficial).Logo,aplicandoa
segundaleideNewtonpartculafluida,obtmse
B SF F ma+ =
(2)
onde BF
a fora na partcula devida a gravidade e SF
a fora lquida na
partculadevidaapresso.
Aanlisedainteraoentreocampodepresso,ocampogravitacionalea
aceleraoda partcula fluida somuito importantenamecnica dos fluidos. Logo,
paraaplicar
asegunda
lei
de
Newton
partcula
fluida
deve
se
definir
um
sistema
de
coordenadas para descrever o movimento. Geralmente, o movimento da partcula
fluida ser tridimensional e transitrio, isto , so necessrias trs coordenadas
espaciaisetempoparaadescrioadequadadomovimento.
Agora,pretendeseanalisarosescoamentosbidimensionais,comomostra
a Figura 1. Podese, ento, descrever o escoamento em funo das aceleraes e
velocidadesdaspartculas fluidasnasdirees x e z .As equaes resultantes so
normalmente conhecidas como a forma bidimensional da equaes de Euler no
sistemadecoordenadascartesiano.
O movimento de cada partcula fluida descrito em funo do vetor
velocidade, V
, que definido como a taxa de variao temporal da posio da
partcula.Quandoapartculamudadeposio,elasegueumatrajetriaparticularcujo
formatodefinidopelavelocidadedapartcula.Alocalizaodapartculaaolongoda
trajetriafuno
do
local
ocupado
pela
partcula
no
instante
inicial
ede
sua
velocidadeaolongodatrajetria.
Seoescoamentotemumregimepermanente(aspropriedadesnovariam
comotempo),todasaspartculasquepassamnumdadoponto,comooponto(1)na
Figura1,seguiroamesmatrajetria.Atrajetriaumalinhafixanoplano x z .As
partculasvizinhas,quepassamnasvizinhanasimediatasdoponto(1),seguemoutras
trajetriasquepodemapresentar formatosdiferentesdaquele relativoaspartculas
quepassampeloponto(1).
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3FenmenosdeTransporte Semestre2011.2
Figura1Linhasdecorrentenoescoamentonoplanoxz
Se o regime de escoamento permanente, ento, toda partcula fluida
escoaaolongodesuatrajetriaeseuvetorvelocidadesempretangentetrajetria.
As linhasque so tangentes aos vetores velocidadesno campode escoamento so
chamadas de linhas de correntes. Em muitas situaes mais fcil descrever o
escoamentoemfunodascoordenadasdalinhadecorrente.
O movimento da partcula descrito em funo da distncia, ( )s s t= ,
medidaaolongodalinhadecorrenteeapartirdeumaorigemconveniente,edoraio
de curvatura localda linhade corrente, ( )R R s= .Adistncia ao longoda linhade
correnteestrelacionadacomavelocidadedapartculaatravsdeds
Vdt
= eoraiode
curvatura est relacionado com o formato da linha de corrente. Por definio, a
aceleraoataxadevariaotemporaldavelocidadedapartcula,ousejadV
adt
=
.
Paraumescoamentobidimensionalnoplanox z ,aaceleraoapresenta
duascomponentesumaaolongodalinhadecorrente sa ,eoutranormalalinhade
corrente,n
a .
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A acelerao ao longo da linha de corrente resulta da variao da
velocidadedapartcula ao longoda linhade corrente, ( )V V s= .A componenteda
aceleraonacoordenada s dadapor
s
dV Va V
dt s
= =
(3)
Acomponentenormaldaacelerao,aaceleraocentrfuga,dadaem
funodavelocidadedapartculaedoraiodacurvaturadatrajetria.Assim,temse
2
n
Va
R= (4)
ondeR oraiodecurvaturadatrajetria.
Geralmenteexisteuma acelerao ao longoda linhade corrente,pois a
velocidademudaaolongodatrajetria, 0V
s
,etambmumaaceleraonormala
linhadecorrente,poisapartculanoescoanumalinhareta, 0R .
Logo, para determinar as foras necessrias para produzir um dado
escoamentoconsideraseodiagramadecorpolivredapartculafluida.Admiteseque
asnicasforasimportantessoprovocadaspelagravidadeepelocampodepresso,
isto , admitese que as outras foras (como as viscosas e as devidas a tenso
superficial)sodesprezveis.
2.AplicaodasegundaleideNewtonaolongodeumalinhadecorrente
AFigura2mostraodiagramade corpo livredeumapartcula fluida.Os
versoresnadireoaolongodalinhadecorrenteenanormallinhadecorrenteso
representadospor s
e n
.Seoescoamentopermanente,aaplicaodasegundalei
deNewtonnadireodalinhadecorrentefornece
s sF m a= (5)
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onde sF representaasomadoscomponentesdasforasqueatuamnapartculanadireo s
.SubstituindoaEquao(3)naEquao(5)ecomo m V= ,podese
escrever
s
VF V V
s
=
(6)
Figura2Diagramadecorpolivreparaumapartculafluida
A fora provocada pela acelerao da gravidade na partcula pode ser
escritacomo
sW g V= (7)
onde amassaespecficadofluido.OsinalnegativonaEquao(7)deveseaofato
dequeesta foraatuano sentidonegativo.Assim,a componenteda forapesona
direodalinhadecorrentedadapor
sW g V sen= (8)
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6 FenmenosdeTransporte Semestre2011.2
A presso num fluido que est escoando usualmente no constante.
Geralmente, para escoamentos permanentes temse ( ),p p s n= . Se a presso no
centrodapartculamostradanaFigura2representadapor p ,osvaloresmdiosnas
duasfacesperpendicularessoiguaisa2
p sp
s+
e
2
p sp
s
.
Assim, se p sF a fora lquida de presso na direo da linha de
corrente,segueque
2 2p s
p s p s pF p n y p n y s n y
s s s
= + =
(9)
ou,como V s n y= ,
p s
pF V
s
=
(10)
AEquao(10)mostraqueaforalquidaqueaceleraapartculafluidano
o fato da presso no ser constante no campo de escoamento. O gradiente de
presso,
no
nulo,
p p p s n
s n
= +
(11)
o responsvel pela fora lquida que atua na partcula. As foras viscosas,
representadaspor s y , sonulasporqueutilizaseahiptesedequeo fluido
invscido.
Assim,afora
lquida
que
atua
sobre
apartcula
fluida
mostrada
na
Figura
2,dadapor
s s p sF W F= + (12)
SubstituindoasEquaes(8)e(10)naEquao(12)temse
s
p
F gsen V s
=
(13)
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7FenmenosdeTransporte Semestre2011.2
Combinando as Equaes (6) e (13), obtmse a seguinte equao do
movimentoaolongodalinhadecorrente
p Vgsen V
s s
=
(14)
ou,como sV
a Vs
=
,
s
pgsen a
s
=
(15)
A interpretao fsicadaEquao (15)queavariaodavelocidadeda
partculaprovocadaporumacombinaoadequadadogradientedepressocoma
componentepesodapartculanadireoda linhadecorrente.Estebalanoentreas
forasdepressoegravidade,