Física Fundamental II

Equilíbrio de Corpos Rígidos

Física Fundamental II

Prof. Antonio Adelmo Freire Beserra

Eng. Mecânico - UFPEMSc. em Geofísica - UFPA

Dr. Eng. Mecânica - UNICAMP

Ponto material e Corpo extenso

Corpo extenso: todo objeto onde suas dimensões não podem ser desprezadas quando comparadas com o movimento estudado.

Ponto material (ou Partícula): Todo objeto onde dimensões (tamanho) são desprezíveis quando comparadas com o movimento estudado.

Ponto material : forças atuam em um único ponto

Corpo extenso: forças atuam em diferentes pontos do objeto

Na cinemática todo objeto tem massa, independentemente de ser um ponto material ou corpo extenso, porém só os corpos extensos podem ter rotação.

Tipos de movimento

Translação = movimentos em linha reta ou aproximadamente reta (curvas suaves). Ex: carro em movimento, tiro (projétil em movimento), Terra em torno do Sol...

Rotação = movimentos em torno de um eixo que está Rotação = movimentos em torno de um eixo que está localizado no objeto. Ex: carrossel, rotação da Terra, disco de vinil e CD, roda da bicicleta...

Tipos de movimento – Representação Matemática

Translação ⇒⇒⇒⇒ momento linear

p=m.v

Rotação ⇒⇒⇒⇒ momento angular

L = r x p

Equilíbrio mecânico

P = constante

L = constante

Condições de equilíbrio mecânico

Equilíbrio mecânico

P = constante

L = constante

Velocidade = zero Velocidade = constante

Condições de equilíbrio mecânico

Equilíbrio mecânico

P = constante Força resultante nula ⇒ FRES=0

L = constanteTorque resultante

nulo ⇒ τRES=0nulo ⇒ τRES=0

Velocidade = zero Velocidade = constante

Relembrando: equilíbrio de ponto material

• Determine as trações nas cordas inextensíveis do sistema abaixo:

Massa do vaso=6kgg=9,8m/s2

Conceito de Torque

O torque é representado pela letra grega τ (táu). Matematicamente é definido por:

É uma grandeza física que pode imprimir uma rotação de um objeto (ou sistema) em torno de determinado eixo.

Fxr=τ

ατ I=sistema) em torno de determinado eixo.

ατ I=

Calculando o Torque

• Calcule o torque nas situações abaixo:

Calculando o Torque Resultante

• Dois atletas estão sentados em lados opostos deuma gangorra, como mostra a figura. Determine otorque (ou momento) resultante em relação aoeixo de rotação. Determine ainda o sentido do giroda gangorra.

Centro de Massa de um Corpo (CM): é o ponto que

se move como se toda a massa do corpo estivesse concentrada nele etodas as forças externas estivessem aplicadas nesse ponto. Num corpohomogêneo e simétrico o centro de massa coincide com o centrogeométrico.

Torre de PisaTorre de PisaA torre foi erguida entre 1173 e o final do

século XIII, sobre um solo instável chamadoCampo dos Milagres.

Foram injetadas quasecem toneladas de argamassano solo e o que se viu foi umainclinação ainda maior.

A solução encontradafoi acrescentar massa extra nabase da torre para deslocar ocentro de massa e o centro degravidade.

ExperimentosExperimentos

Para que um objeto tenha equilíbrio énecessário que a projeção de seu centro demassa intercepte a sua base de apoio.

Um exemplo

Por isso abrimos mais as pernas

quando andamos de

ônibus ou metrô!!!

Projeção do centro de

massa Projeção da base

Centro de Gravidade de um corpo (CG): é o pontoonde pode ser considerada a aplicação da força degravidade de todo o corpo formado por um conjunto departículas.

Obs.: se a aceleração da gravidade é constante para todaextensão do corpo, então o CM coincide com o CG.

CG cotidiano

Retomando o cálculo do torque resultante

• Uma tábua uniforme de 3m de comprimento é usadacomo gangorra por duas crianças com massas 25 kg e54 kg. Elas sentam sobre as extremidades da tábua demodo que o sistema fica em equilíbrio quandoapoiado em uma pedra distante de 1,0 m da criançamais pesada. Qual o peso da tábua?

Retomando o calculo do Torque Resultante

• Um fio, cujo limite de resistência é de 25 N, é utilizadopara manter em equilíbrio, na posição horizontal, umahaste de metal, homogênea, de comprimento AB = 80cm e peso de 15 N. A barra é fixa em A, numa parede,através de uma articulação, conforme indica a figura aseguir. Calcule a menor distância X, para a qual o fioseguir. Calcule a menor distância X, para a qual o fiomanterá a haste em equilíbrio?

Retomando o calculo do Torque Resultante

• A barra a seguir é homogênea e está apoiada nos pontos A e B. Sabendo-se que a reação no apoio A é NA=200N e que F1=100N e F2=500N, calcule o

peso da barra.

Retomando o calculo do Torque Resultante

• Um cachorro de 4 kg está sentado no meio de uma barra com 6m de comprimento. Considere o peso da barra desprezível. Calcule a reação nos apoios A e B.

Repita o exercício, agora com o cachorro sentado a 1,5m do apoio B.

Retomando o calculo do Torque Resultante

• Para se estabelecer o equilíbrio da barra homogênea de 0,5 kg, apoiada em C, deve-se suspender em:

a) A, um corpo de 1,5 kg.b) A, um corpo de 1,0 kg.c) A, um corpo de 0,5 kg.d) B, um corpo de 1,0 kg.d) B, um corpo de 1,0 kg.e) B, um corpo de 1,5 kg.

Elasticidade

Física Fundamental II

Prof. Antonio Adelmo Freire BeserraEng. Mecânico - UFPE

22

Eng. Mecânico - UFPEMSc. em Geofísica - UFPA

Dr. Eng. Mecânica - UNICAMP

Elasticidade

Por que estudar?

ESTRUTURAS INDETERMINADAS:

23

Nº DE INCÓGNITAS > Nº DE EQUAÇÕES

Prof. Antonio Adelmo Freire Beserra

Tensão e deformação de engenharia

σ = F/A0

Unidades: MPa (SI) = 106 N/m2

Kgf/cm2 ou Kgf/mm2 ou N/mm2

Força ou carga aplicadaÁrea inicial da seção reta transversal

24

Como efeito da aplicação de uma tensão tem-se a deformação do material (variação dimensional).• A deformação não possui unidades

• Entretanto, “metros por metro”, “polegadas por polegada” são usadas com frequência

• Também pode ser expressa como uma porcentagem

Deformação:

εεεεεεεε = (lf-lo)/lo= ∆∆∆∆l/lo

lo= comprimento inicial

lf= comprimento finalProf. Antonio Adelmo Freire Beserra

Tipos de Tensão

oAlongament L Young; de Módulo E

. compressãoou Tração 1)

→∆→

∆=→

L

LE

A

F

25

oVolumétric deElasticida de Módulo G

. aVolumétric 3)

toCisalhamen de Módulo G

. toCisalhamen 2)

oAlongament L Young; de Módulo E

→

∆=→

→

∆=→

→∆→

V

VB

A

F

L

xG

A

F

Prof. Antonio Adelmo Freire Beserra

Exemplo

Uma haste de aço cilindrica possui um raio de 9,5mm ecomprimento 81cm. Uma força de 62KN a estica ao longo de seucomprimento. Calcule os valores da tensão de tração, dadeformação e do alongamento. Dado: E =2.1011N/m2 (tabela p.14

Prof. Antonio Adelmo Freire Beserra

26

deformação e do alongamento. Dado: Eaço=2.1011N/m2 (tabela p.14Halliday)

%11,00011,081,0

10.9,8

89,010.2

81,0.10.187,2.

.

10.187,20095,0.

62000

4

11

8

2

8

2

===∆

=

==

=∆=

∆=

===

−

m

m

L

Ldeformação

mmE

LA

F

Loalongament

L

LE

A

F

m

Ntensão

A

F

o

o

o

π

Como determinar as tensões?

� A determinação das tensões aplicadas num materialbem como as suas propriedades mecânicas é feitaatravés de ensaios mecânicos.

27

através de ensaios mecânicos.� Utilizam-se normalmente corpos de prova (amostras

representativas do material) para o ensaio mecânico,já que por razões técnicas e econômicas não é viávelrealizar o ensaio na própria peça, que seria o ideal.

� Os corpos de prova são confeccionados de acordocom normas técnicas para garantir que os resultadossejam comparáveis.

Prof. Antonio Adelmo Freire Beserra

Normas Técnicas

As normas técnicas mais comuns:

28

� ASTM (American Society for Testing andMaterials)

� ABNT (Associação Brasileira de NormasTécnicas)

Prof. Antonio Adelmo Freire Beserra

Ensaio de tração

Prof. Antonio Adelmo Freire Beserra

29

� É realizado submetendo-se o material a uma cargaou força de tração crescente.

� NBR-6152 para materiais metálicos à temperatura ambiente.

Esquema de uma máquina de tração

Partes básicas:

� sistema de aplicação de carga

30

� dispositivo para prender o corpo de prova

� sensores que permitam medir a tensão aplicada e a deformação promovida (extensômetro).

Prof. Antonio Adelmo Freire Beserra

Comportamento dos metais quandosubmetidos à tensão de tração

Limite de resistência à tração

Prof. Antonio Adelmo Freire Beserra

31

Dentro de certos limites,

a deformação é proporcional

à tensão (a lei de Hooke é

obedecida)

Lei de Hooke: σσσσσσσσ = E εεεεεεεε

Deformação elástica

32

Linear Não-linear

Prof. Antonio Adelmo Freire Beserra

Deformação plástica

33Prof. Antonio Adelmo Freire Beserra

MóduloMódulo de de YoungYoung

E= σσσσσσσσ/ / εεεεεεεε [MPa][MPa]• É o quociente entre a tensão

Prof. Antonio Adelmo Freire Beserra

34

• É o quociente entre a tensãoaplicada e a deformaçãoelástica resultante.

• Expressa a rigidez do materialou a sua resistência àdeformação elástica.

• Está diretamente relacionado com as forças de ligação interatômicas

Lei de Hooke: σσσσσσσσ = E εεεεεεεε

P A lei de Hooke só é válida até este ponto

tg αααα= E

αααα

Módulo de Young para alguns metais

Quanto maior o módulo de elasticidade mais rígido é o Quanto maior o módulo de elasticidade mais rígido é o material ou menor é a sua deformação elástica quando material ou menor é a sua deformação elástica quando aplicada uma dada tensãoaplicada uma dada tensão

MÓDULO DE YOUNG [E]

GPa 106 psi

35

GPa 106 psi

Magnésio 45 6.5

AlumÍnio 69 10

Latão 97 14

Titânio 107 15.5

Cobre 110 16

Níquel 207 30

Aço 207 30

Tungstênio 407 59

Prof. Antonio Adelmo Freire Beserra

Módulo de Young Considerações Gerais

� Está relacionado com as forças interatômicas

Materiais cerâmicos: módulo de elasticidade

Prof. Antonio Adelmo Freire Beserra

36

� Materiais cerâmicos: módulo de elasticidadealto

� Materiais poliméricos: módulo de elasticidadebaixo

� Diminui com o aumento de temperatura

Escoamento

OO fenômenofenômeno dodo escoamentoescoamento ocorreocorre quandoquandoaa tensãotensão aplicadaaplicada éé suficientesuficiente parapara iniciariniciarumauma deformaçãodeformação plásticaplástica..

37

Tensão de escoamento:corresponde à tensão máximarelacionada com o fenômeno deescoamento.

Prof. Antonio Adelmo Freire Beserra

Limite de resistência à tração

ResistênciaResistência à à TraçãoTração[[MPaMPa ouou psi]psi]

� Corresponde à tensãomáxima aplicada ao

Prof. Antonio Adelmo Freire Beserra

38

máxima aplicada aomaterial antes da ruptura.

� É calculada dividindo-se acarga máxima suportadapelo material pela área deseção reta inicial

Tensão de ruptura

Unidades: [[MPaMPa ouou psi]psi]

� Corresponde à tensão quepromove a ruptura do

Prof. Antonio Adelmo Freire Beserra

39

promove a ruptura do material.

� O limite de ruptura égeralmente inferior ao limitede resistência em virtude deque a área da seção reta paraum material dúctil reduz-seantes da ruptura.