Post on 06-Nov-2018
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
VIBRAÇÕES DOS SISTEMAS MECÂNICOS
EXERCÍCIOS DE VIBRAÇÕES
SISTEMAS com 1 GL
N O T A S D E A U L A S
Virgílio Mendonça da Costa e Silva
Janeiro – 2018
Teoria da Vibração com Aplicação
Williams T. Thomson
Capitulo 2 (Thomson)
1. Uma mola leve alonga de 0,31 pol quando ligada ao peso de uma libra. Determinar a
frequência natural do sistema.
2. Em um sistema mola-massa k1, m tem uma frequência natural de f1 Se uma segunda mola é
adicionada em série à primeira, a frequência natural baixa para 1/2 f1. Determinar k2 em
função de k1.
3. Um peso de 10 lb ligado à extremidade inferior de uma mola cuja extremidade superior é
fixa, vibra com um período natural de 0,45 s. Determinar o período natural quando um
peso de 5 lb é ligado ao meio da mola, com ambas as extremidades fixas.
4. Um peso desconhecido de W lb, ligado à extremidade de uma mola desconhecida k, tem uma
frequência natural de 94 cpm. Aumentando-se de uma Ib o peso de W. a frequência natural
baixa para 76,7 cpm. Determinar o peso desconhecido W lb e a constante k Ib/pol da mola.
5. Um peso W1 suspenso por uma mola k está em equilíbrio estático. Um segundo peso W2 cai
da altura h e junta-se a W1 sem ressaltar, como indicado na Fig. P.2-5. Determinar o
movimento subsequente.
Fig. P.2-5
6. Tendo em vista o pêndulo torcional da Fig. 2.2-1, explicar como a frequência natural depende
de: (a) comprimento do arame, (b) diâmetro do arame, (c) material do arame, (d) do peso
suspenso e (e) raio de rotação do peso suspenso.
7. Um volante pesando 70 lb, apoiado numa aresta pela face interna do aro, conforme a Fig.
P.2-7, oscila como um pêndulo. Determinar o momento de inércia do volante em relação ao
seu eixo geométrico, para o caso do período de oscilação medido ter sido 1,22 s.
Fig. P.2-7
8. Uma biela com peso de 4,80 lb oscila 53 vezes em um minuto, quando suspensa na forma
indicada na Fig. P.2-8. Determinar seu momento de inércia em relação ao seu centro de
gravidade, que está situado a 10,0 pol do ponto de suspensão.
Fig. P.2-8
9. Um volante de peso W é suspenso horizontalmente por três arames de seis pés de
comprimento cada, igualmente espaçados em volta de uma circunferência de 10 pol de
raio. Determinar seu raio de rotação, sabendo-se que é de 2,17 s o per iodo de oscilação em
torno de um eixo vertical passando pelo centro da roda.
10. Um conjunto roda e eixo, de momento de inércia J, é inclinado de um ângulo α em relação
à vertical. Como se vê na Fig. P.2-10. Determinar a frequência de oscilação resultante de
um pequeno peso com W libras, situado excentricamente à distância a pol do eixo.
Fig. P.2-10
11. Um cilindro de massa m e com o momento de inércia da massa Jo rola livremente sem
deslizar, mas é refreado pela mola k. como indicado na Fig. P.2-11. Determinar a
frequência natural de oscilação.
Fig. P.2-11
12. Um cronógrafo é para ser acionado por um pêndulo de 2 segundos, de comprimento L,
representado na Fig. P.2-12. Um arame de platina ligado ao disco do pêndulo completa o
circuito elétrico de regulação, através uma gota de mercúrio, quando ele passa pelo ponto
mais baixo. Pergunta-se: (a) Qual deve ser o comprimento do pêndulo? (b) Se o arame de
platina está em contato com o mercúrio numa extensão de um oitavo de polegada da
oscilação, qual deve ser a amplitude θ0 a fim de limitar a 0,01 s a duração do contato?
(Admitir que a velocidade é constante durante o contato, e que a amplitude de oscilação é
pequena.)
Fig. P.2-12
13. Um hidrômetro flutuador, indicado na Fig. P.2-13, é utilizado para medir o peso específico
dos líquidos. O seu peso é de 0,082 lb e o diâmetro da parte cilíndrica, que se estende acima
da superfície, é de 1/4 po1. Determinar o período de vibração quando se deixa o aparelho
balançar para cima e para baixo, em um fluido de peso específico 1,20.
Fig. P.2-13
14. Uma placa fina retangular é arqueada, formando um cilindro semicircular como
representado na Fig. P.2-14. Determinar o seu período de oscilação, se se permite que ele
balance sobre uma superfície horizontal.
Fig. P.2-14
15. Uma barra uniforme de comprimento L e peso W é suspensa simetricamente por dois fios,
conforme a Fig. P.2-15. Estabelecer a equação diferencial de movimento, para pequenas
oscilações angulares da barra, em volta do eixo vertical O-O, e determinar o seu período.
Fig. P.2-15
16. Uma barra uniforme de comprimento L é suspensa na posição horizontal por dois fios
verticais do mesmo comprimento, presos às extremidade. Se t1 é o período de oscilação no
plano da barra e dos fios, e se t2 é o período de oscilação em volta de uma reta vertical que
passa pelo centro de gravidade da barra, mostrar que o raio de rotação da barra em volta
do centro de gravidade é dado pela expressão:
17. Uma barra uniforme, com o raio de rotação k em volta do seu centro de gravidade, é
suspensa horizontalmente por dois fios verticais de comprimento h, às distâncias a e b do
centro da massa. Provar que a barra oscilará em volta da reta vertical que passa pelo
centro de massa, e determinar a frequência de oscilação.
18. Um eixo de aço, de 50 pol de comprimento de 1-1/2 pol de diâmetro, é usado como uma
mola de torção para as rodas de um automóvel leve, conforme indicado na Fig. P.2-18.
Determinar a frequência natural do sistema, considerando que o conjunto roda e pneu
pesa 38 lb e que o seu raio de rotação em volta do seu eixo é de 9,0 pol. Discutir a diferença
na frequência natural, estando a roda travada ou destravada do braço.
Fig. P.2-18
19. Tacômetro é um instrumento do tipo frequencímetro de lâminas, formado de pequenas
lâminas de aço em balanço, com pesos fixados nas extremidades. O tacômetro vibrará
quando a frequência de vibração corresponder à frequência natural de uma das lâminas,
indicando desse modo a frequência. De que tamanho deve ser o peso colocado na
extremidade de uma lâmina, constituída de uma mola de aço com 0,04 pol de espessura,
0,25 pol de largura e 3,50 pol de comprimento, para uma frequência natural de 20 cps?
20. Determinar a massa efetiva no ponto O de uma haste uniforme de massa m e comprimento
l, pivotada a uma distância nl de O, como indicado na Fig. P.2-20.
Fig. P.2-20
21. Determinar a massa efetiva do motor de foguete representado na Fig. P.2-21, a ser
adicionada à massa m1 do atuador.
Fig. P.2-21
22. Uma barra cantilever uniforme vai ser substituída pela sua massa efetiva, na sua
extremidade livre. Supor uma curva de def1exão estática para uma carga uniforme.
Calcular a massa efetiva.
23. Determinar o, momento de inércia da massa efetiva para o eixo 1, no sistema representado
na Fig. P.2-23.
Fig. P.2-23.
24. Determinar em função de �� a energia cinética do sistema indicado na Fig. P.2-24.
Fig. P.2-24
25. Determinar a massa efetiva no ponto n para o sistema representado na Fig. P.2-25.
Fig. P.2-25
26. Um peso de 2 lb é fixado na extremidade de uma mola que tem a rigidez de 4 1b/pol.
Determinar o coeficiente de amortecimento crítico.
27. Para calibrar um amortecedor, mediu-se a velocidade do êmbolo quando lhe era aplicada
certa força. Considerando-se que um peso de 1/2 lb produziu uma velocidade constante de
1,20 pol/s, calcular o fator de amortecimento quando usado como sistema do Probl. 2-26.
28. Um sistema vibratório começa sob as seguintes condições iniciais: x = 0, �� = v0. Determinar
a equação de movimento quando: (a) ξ = 2,0, (b) ξ = 0,50, (c) ξ = 1,0. Traçar as curvas não
dimensionais para os três casos, tendo wnt como abscissa e xwn/vo como ordenada.
29. Um sistema vibratório formado de um peso de 5 lb e uma mola com rigidez de 10 lb/pol é
amortecido viscosamente de tal modo que a relação entre duas amplitudes consecutivas
quaisquer é de 1,00 para 0,98. Determinar: (a) a frequência natural do sistema amortecido,
(b) o decremento logarítmico, (c) o fator de amortecimento, e (d) o coeficiente de
amortecimento.
30. Um sistema vibratório é formado de um peso de 10 lb e uma mola com rigidez, de 20 lb/pol,
e um amortecedor com um coeficiente de amortecimento de 0,071 lb/pol por segundo.
Calcular: (a) o fator de amortecimento, (b) o decremento logarítmico, e (c) a razão de duas
amplitudes consecutivas quaisquer.
31. Um sistema vibratório tem as seguintes constantes: w = 38,6 lb, k = 40 lb/pol, e c = 0,40
Ib/pol por segundo. Determinar: (a) o fator de amortecimento, (b) a frequência natural da
oscilação amortecida, (c) o decremento logarítmico, e (d) a razão de duas amplitudes
consecutivas quaisquer.
32. Estabelecer a equação diferenci1 de movimento para o sistema representado na Fig. P.2-32.
Determinar a expressão para: (a) o coeficiente de amortecimento crítico, e (b) a frequência
natural da oscilação amortecida.
Fig. P.2-32
33. Escrever a equação diferencial de movimento para o sistema indicado na Fig. P.2-33, e
determinar a frequência natural da oscilação amortecida e o coeficiente de amortecimento
crítico.
Fig. P.2-33
34. Um sistema mola-massa com amortecimento viscoso é deslocado da sua posição de
equilíbrio e solto. Qual a fração de amortecimento crítico do sistema, se a amplitude baixou
de 5% em cada ciclo?
35. Uma barra uniforme rígida de massa m e comprimento l é articulada por um pino em O e
suportada por uma mola e um amortecedor viscoso, como representado na Fig. P.2-35.
Medindo θ a, partir da posição de equilíbrio estático, determinar: (a) a equação para um
valor pequeno de θ (o momento de inércia da barra em relação a θ é ml2/3), (b) a equação
no caso da frequência natural não amortecida, e (c) a expressão para o amortecimento
crítico.
Fig. P.2-35
36. Urna placa fina de área A e peso W é presa à extremidade de uma mola e oscila num fluido
viscoso, conforme a Fig. P.2-36. Se τ1 é o período natural de oscilação não amortecida (isto
é, quando o sistema oscila no ar) e τ2, o período amortecido com a placa imersa no fluido,
mostrar que
onde a força amortecedora sobre a placa é Fd = µ2Av, 2A é a área total da placa, e v é a sua
velocidade.
Fig. P.2-36
37. Um cano de canhão com 1200 lb de peso tem uma mola de recuo com a rigidez de 20.000 lb
por pé. Se o cano recua 4 pés ao atirar, determinar: (a) a velocidade inicial de recuo do
cano, (b) o coeficiente de amortecimento crítico de um amortecedor que é acionado no fim
do curso de recuo, e (c) o tempo necessário para o cano voltar a uma distância de 2 pol da
sua posição inicial.
38. Um pistão pesando 10 lb percorre um tubo com a velocidade de 50 pés/s e aciona uma mola
e um amortecedor, conforme indica a Fig. P.2-38. Determinar o deslocamento máximo do
pistão após acionar o conjunto mola amortecedor. Quantos segundos duram este
deslocamento?
Fig. P.2-38
39. Um absorvedor de choque é para ser projetado de modo que ultrapasse de 10% o
deslocamento inicia, quando solto. Determinar ξ1. Se ξ é igualado a 1/2 ξ1, de quanto será a
ultrapassagem?
40. Discutir as limitações da equação ∆U/U = 2δ considerando o caso de x1/x2 = 1/2.
41. Determinar a rigidez efetiva das molas representadas na Fig. P.2-41.
Fig. P.2-41
42. Determinar a flexibilidade de uma barra uniforme de comprimento L, suportada
simplesmente em um ponto situado a 1/3 L da extremidade.
43. Determinar a rigidez efetiva do sistema representado na Fig. P.2-43, em termos do
deslocamento x.
Fig. P.2-43
44. Determinar a rigidez efetiva do sistema torciona indicado na Fig. P.2-44. Os dois eixos em
série têm os valores k1 e k2, respectivamente, para a rigidez torcional
Fig. P.2-44
45. Um sistema mola-massa m, k é posto em ação com um deslocamento inicial unitário e uma
velocidade inicial de zero. Representar graficamente lnX em função de n, sendo X a
amplitude no ciclos n para. (a) amortecimento viscoso com ξ = 0,05. e (b) amortecimento de
Coulomb com a força de amortecimento Fd = 0.05k. Quando as amplitudes serão iguais?
Capítulo 3 (Thomson)
Legenda:
Exercícios podem ser resolvidos com conteúdo do Capítulo IV das
nossas Notas de Aulas.
Exercícios só podem ser resolvidos com conteúdo do Fora do Curso
Exercícios podem ser resolvidos com conteúdo do Capítulo V das
nossas Notas de Aulas.
1. Uma peça de máquina pesando 4,3 lb vibra num meio viscoso. Determinar o coeficiente de
amortecimento quando uma força harmônica excitadora de 5,5 lb resulta numa amplitude
ressonante de 0,50 pol, com um período de 0,20 s.
2. Se o sistema do Probl. 3·1 é excitado por uma força harmônica com frequência de 4 cps,
qual será a percentagem de aumento na amplitude de vibração forçada quando o
amortecedor for removido.
3. Um peso ligado a uma mola com a rigidez de 3,0 lb/pol tem um dispositivo de
amortecimento viscoso. Quando o peso é deslocado e solto, o período de vibração
encontrado é de 1,80 s e a relação de duas amplitudes consecutivas é de 4,2 para 1,0.
Determinar a amplitude e a fase quando uma força F = 2 cos 3t atua sobre o sistema.
4. Mostrar que para o sistema mola-massa amortecido, a amplitude máxima ocorre a uma
razão de frequências dada pela expressão:
5. Um sistema mola-massa é excitado por uma força Fo sen wt. A amplitudc medida na
ressonância é 0,58 pol. Na frequência ressonante 0,80, a amplitude medida é 0,46 pol.
Determinar o fator de amortecimento c do sistema. (Sugestão: Supor que o termo de
amortecimento seja desprezível para ressonância a 0,80.)
6. Um disco circular girando em tomo de seu eixo geométrico tem dois orifícios A e B que o
atravessam. O diâmetro e posição dos orifícios são dA = 1,0 pol, rA = 3,0 pol, e θA = 0°; dB =
1/2 pol, rB = 2 pol, θΒ = 90°. Determinar o diâmetro e posição de um terceiro orifício a 1 pol
de raio, que balanceará o disco.
7. O braço de manivela e pino de um eixo de manivela de dois cilindros, indicado na Fig. P.3-
7, é equivalente a um peso excêntrico de W lb a um raio de r pol. Determinar os
contrapesos necessários nos dois volantes, se eles também são colocados a uma distância
radial de r pol.
Fig. P.3-7
8. Estabelecer a equação de movimento para o sistema indicado na Fig. P.3-8 e empregar
álgebra complexa para resolvê-la, para a amplitude de estado permanente e ângulo de fase.
Fig. P.3-8
9. Um excitador formado de pesos excêntricos de contra-rotação, conforme a Fig. P.3-9, é
usado para determinar as características vibratórias de uma estrutura com o peso de 400
lb. A uma velocidade de 900 rpm, um estroboscópio mostra a posição dos pesos excêntricos
no topo, no instante em que a estrutura completa o deslocamento para cima da sua posição
de equilíbrio estático e a amplitude correspondente é 0,85 pol.
Fig. P.3-9
Se o desembalanço de cada roda do excitador é de 4 lb/pol, determinar (a) a frequência
natural da estrutura, (b) o fator de amortecimento da estrutura, (c) a amplitude a 1200
rpm, e (d) a posição angular dos excêntricos no instante em que a estrutura completa o
deslocamento para cima da sua posição de equilíbrio.
10. Um disco maciço com10 lb de peso é enchavetado no centro de um eixo de aço de 1/2 pol e 2
pés entre mancais. Determinar a velocidade crítica mais baixa. (Supor o eixo simplesmente
apoiado nos mancais.)
11. Um rotor de turbina pesando 30 lb é fixado no meio do comprimento de um eixo com
mancais distanciados 16 pol, conforme a Fig. P.3-11. Sabe-se que o rotor tem um
desembalanço de 4 oz/pol. Determinar as forças que atuam sobre os mancais a uma
velocidade de 6000 rpm, se o diâmetro do eixo de aço é 1,0 pol. Comparar este resultado
com o do mesmo rotor montado sobre um eixo de aço de 3/4 pol de diâmetro. (Supor o eixo
simplesmente apoiado nos mancais.)
Fig. P.3-11
12. Mostrar que, se o amortecimento é pequeno, a amplitude da vibração lateral de um eixo na
velocidade crítica eleva-se de acordo com a equação:
( )nter - e
ω=
ζ1
2
onde e é a excentricidade.
13. No caso de turbinas que operam acima da velocidade crítica, são instalados dispositivos de
parada para limitar a amplitude quando é atingida esta velocidade. Na turbina do Probl. 3-
11, se a folga entre o eixo de 1 pol e os dispositivos é 0,02 pol e a excentricidade do eixo é
1/120 pol, determinar o tempo requerido para o eixo alcançar os dispositivos de parada,
supondo-se que a velocidade crítica é atingida com amplitude zero.
14. A Fig. P.3-l4 representa um diagrama simplificado de um veículo montado sobre molas,
rodando numa estrada acidentada. Determinar a equação para a amplitude de W como
função da velocidade e determinar a velocidade mais desfavorável.
Fig. P.3-14
15. As molas de um reboque de automóvel estão comprimidas 4 pol sob o seu peso. Achar a
velocidade crítica quando o reboque roda numa estrada que apresenta um perfil que se
aproxima de uma onda senoidal de amplitude de 3 pol e 48 pés de comprimento de onda.
Qual será a amplitude de vibração a 40 milhas por hora? (Não considerar o
amortecimento.)
16. A Fig. P.3-l6 mostra um cilindro de massa m ligado a uma mola de rigidez k, excitado
através o atrito viscoso c com um pistão de movimento y = A sen wt. Determinar a
amplitude do movimento do cilindro e sua fase em relação ao pistão.
Fig. P.3-16
17. Dá-se ao ponto de suspensão de um pêndulo simples um movimento harmônico xo = Xo sen
wt, ao longo de urna reta horizontal, conforme se vê na Fig. P.3-l7. Utilizando as
coordenadas indicadas, escrever a equação diferencial de movimento para pequena
amplitude de oscilação. Dar a solução para x/xo e mostrar que, para w = √� wn o nó fica
situado no meio de l. Mostrar que, de um modo geral, a distância h entre a massa e o nó é
dada pela equação h = l(wn/w)2 onde wn = ��/�.
Fig. P.3-17
18. Um tipo comercial de "pick-up" de vibração tem uma frequência natural de 4,75 cps e um
fator de amortecimento ξ = 0,65. Qual é a menor frequência que pode ser medida com (a)
um erro de um por cento; (b) um erro de dois por cento?
19. Um "pickup" de vibração não-amortecida, com uma frequência natural de 1 cps, é usado
para medir urna vibração harmônica de 4 cps. Se a amplitude indicada pelo "pickup"
(amplitude relativa entre a massa do "pickup" e chassi) é 0,052 pol, qual é a amplitude
correta?
20. O eixo de um torciógrafo, conforme a Fig. P.3-20, é submetido a uma oscilação harmônica
torcional θ0 sen wt. Determinar a expressão para a amplitude relativa da roda exterior com
relação a (a) o eixo, (b) uma referência fixa.
Fig. P.3-20
21. Discutir os requisitos de um instrumento sísmico sob o ponto de vista de limitação de
distorção de fase de ondas complexas.
22. Uma unidade de refrigerador com o peso de 65 1b é para ser suportada por três molas,
com rigidez de k lb/pol cada. Se o refrigerador opera com 580 rpm, qual deve ser o valor
da constante de mola k se apenas 10 por cento da força de trepidação da unidade é para ser
transmitida à estrutura de sustentação?
23. Urna máquina industrial com o peso de 1000 lb é suportada por molas com uma def1exão
estática de 0,20 pol. Se a máquina tem um desequilíbrio rotativo de 20 lb/pol, determinar
(a) a força transmitida ao piso a 1200 rpm, (b) a amplitude dinâmica nesta velocidade.
(Supor o amortecimento desprezível.)
24. Se a máquina do Probl. 3-23 está montada sobre um grande bloco de concreto pesando
2500 lb e a rigidez das molas ou apoios sob o bloco é aumentada de modo que a def1exão
estática ainda seja de 0,20 pol, qual será a amplitude dinâmica?
25. Um rádio de aeronave pesando 24 lb tem que ser isolado das vibrações de motor cuja
frequência varia de 1600 a 2200 cpm. Qual a def1exão estática que devem ter os isoladores
a fim de se obter 85 por cento de isolamento?
26. Mostrar que no amortecimento viscoso, o fator de perda η é independente da amplitude e
proporcional à frequência.
27. Expressar a equação para a vibração livre de um sistema de um grau de liberdade, em
função do fator de perda η na ressonância.
28. Mostrar que τn/τd traçado graficamente em função de ξ é um quarto de círculo onde τd é
igual ao período natural de amortecimento e τn é igual ao período natural de não-
amortecimento.
29. Mostrar que a energia dissipada por ciclo no caso, de atrito viscoso pode ser expressa
como:
( ) ( )d
n n
F W
k - / + /
π ζ= ω ω ζ ω ω
20
2 22
2
1 2
30. Determinar o amortecimento necessário a fim de que a energia dissipada por ciclo seja
independente da relação de frequência w/wn..
31. Em amortecimento pequeno, a energia dissipada por ciclo dividida pela energia potencial
máxima é igual a 2δ e também a 1/Q. (Vide Eq. 3.7-6). Mostrar que no amortecimento
viscoso
n c =
kπ ω
δ
32. Em geral, a perda de energia por ciclo é uma função, tanto da amplitude como da
frequência. Estabelecer sob qual condição o decremento logaritmo o é independente da
amplitude.
33. O amortecimento de Coulomb entre superfícies secas é uma constante D sempre oposta ao
movimento. Determinar o amortecimento viscoso equivalente.
34. Utilizando o resultado do Probl. 3-33, determinar a amplitude de movimento de um
sistema mola-massa com amortecimento de Coulomb, quando excitado por uma força
harmônica Fo sen wt. Sob que condições se mantem este movimento.
35. Supor que, no caso de amortecimento estrutural, a rigidez seja uma quantidade complexa
da forma k = kei2β. Determinar a equação para a resposta sob excitação harmônica.
36. Mostrar que δ = π(f2 – f1)/fr onde f1 e f2 são frequências que correspondem aos pontos de
meia potência da curva de ressonância.
Questões de Verificações de Aprendizagem de Períodos Anteriores
PERÍODO: 2017.2 – I Verificação
1. Para o Sistema representado na Figura 1. Calcule a Frequência natural do sistema
considerando as polias de massas desprezíveis.
wk1
k2
1
2
Figura 1
2. Um motor pesando F = 490 Kgf será montado na extremidade da estrutura horizontal de
aço formando um triangulo equilatero de comprimento L, rigidez à flexão EI, apoiada por
uma haste delgada de mesmo material, também de comprimento L, com módulo de Young
E e área da seção transversal Ah. A haste é unida por pinos em ambas as extremidades,
localizados no plano de simetria vertical da estrutura, como mostrado na Figura 2. Nestas
condições admite-se que o comportamento da haste é o mesmo quer em tração quer à
compressão. A estrutura horizontal pode ser assumida como duas vigas em balanço, tendo
cada uma rigidez, massa e flexão. Segundo os engenheiros responsáveis pela montagem o
sistema será montado com um amortecedor vertical fixo base, com coeficiente de
amortecimento C = 3350 N s/m na posição do motor. Após alguns testes, já com o
amortecedor, observou-se que, devido a um desequilíbrio existente no motor, a
extremidade da estrutura vibra verticalmente com amplitude de 2 cm, correspondente a
uma posição da massa excêntrica de 30 graus. Pede-se:
a) Calcule a Rigidez equivalente do sistema.
b) Calcule a Massa equivalente do sistema, considerando a haste.
c) O desequilíbrio rotativo do motor.
d) A amplitude dos esforços dinâmicos transmitidos à base, quando o sistema se
encontra em funcionamento a uma velocidade nominal do motor, que
corresponde ao dobro da velocidade de ressonância.
Dados: L = 1 m; b = 12 cm; h = 1 cm; E = 210GPa; Ah = 1 cm3; � = 7850 kg/m3.
Figura 2
PERÍODO: 2017.2 – Exame Final
1. Uma viga engastada-livre de 1 m de comprimento, construída com Módulo de Elasticidade
E = 210 GPa, possui uma base de 12 Kg onde vai ser fixado um motor pesando 15 Kg.
Foram colocados uma mola e um amortecedor, ambos de massas desprezíveis, em
respectivamente 1/2 e 3/4 do engaste de cada viga. Considerando: � = 7800 kg/m3, b = 0.12
m; h = 0.01 m. pede-se:
a) Encontre a equação diferencial do movimento.
b) Admitindo que a mola tenha rigidez de 5 N/m de amortecimento do sistema seja igual a
0.5 determine as frequências naturais �n e �a de vibração livre do sistema.
c) Para os dados acima qual é a taxa de decréscimo de duas amplitudes consecutivas.
d) Admitindo que o motor seja acionado a 1800 rpm, e que o mesmo possua um
desbalanceamento residual de 0.32 Kg.m, determine a amplitude do movimento e a
amplitude ressonante.
e) Esboce o gráfico de amplitude de resposta do sistema em função da razão das
frequências natural e de excitação.
f) Qual a força transmitida para a base.
g) Caso o sistema não esteja com boa isolação, o que você, como futuro engenheiro,
poderia sugerir para melhorá-lo.
Motor
BASE
L
3L/4
L/2
MovimentoVertical
K
K
C
C
Figura 1
PERÍODO: 2017.1 – I Verificação
1. Considere o Sistema representado na Figura 1. Calcule:
a) A Frequencia natural e a frequencia natural amortecida do sistema
b) A amplitude da força transmitida nos pontos P e D.
Figura 1
2. Um motor elétrico pesando 80 Kg está montado numa viga apoiada como mostra a Figura 2
abaixo (engastada em A e ligada a uma haste em B). Verifica-se que, devido a um
desequilíbrio existente no motor, a extremidade B da viga vibra verticalmente com
amplitude de 3.5 x 10-3 m para frequências muito além da ressonância. Nestas condições
(admita que o comportamento da haste é o mesmo quer em tração quer à compressão):
a) Calcule o valor do desequilíbrio do motor.
b) Sabendo que na ressonância a amplitude da resposta vertical registrada no ponto B é
de 3.5 x 10-2 m, determine a amplitude dos esforços dinâmicos transmitidos ao engaste,
quando o sistema se encontra em funcionamento à velocidade nominal do motor que
corresponde ao dobro da velocidade de ressonância.
Figura 2
c) Com a retirada da haste, optou-se pelo sistema da Figura 3. Procedeu-se à medição das
vibrações livres verticais, através de um sensor colocado no topo do motor, cujo
registro se encontra representado na Figura 4. Verifique se houve alguma mudança no
fator de amortecimento.
Figura 3 Figura 4
d) Calcular a frequência natural amortecida.
e) Calcule os esforços transmitidos à base, quando o motor funciona à velocidade nominal
que corresponde ao dobro da velocidade em ressonância.
f) Que efeitos serão produzidos sobre aqueles esforços quando o sistema adquire as
configurações das Figuras 5 e 6 com a introdução de um componente adicional com
rigidez k=10 kN/m.
Figura 5 Figura 4
PERÍODO: 2017.1 – Exame Final
1. Para o Mecanismo da Figura 1. Determine:
a) Equação Diferencial do Movimento;
b) O Amortecimento Crítico;
c) A Frequência Natural Amortecida.
Figura 1
2. O do sistema da Figura 2 mostra dois eixos de aço fixados em cada extremidade para
transportar movimento entre duas polias que estão conectados por uma correia não
elástica e que não desliza. Para as dimensões dadas, determine a frequência natural
torcional não amortizada do sistema para pequenas amplitudes de vibração. As dimensões
de J estão em [in.lb.s2]. Considere G = 12 x 106 Psi
5'
10
'
20
'1
0'½’ 1’
9’dia
12’dia
J=1J=2
Figura 2
3. A Figura 3 mostra um mecanismo de came seguidor consiste em um disco circular
excêntrico girando em torno de P com uma velocidade angular 300 rad / sω = .
Assumindo que o raio do disco é r 50 mm= e a massa do seguidor é M 1.3 Kg= ,
determine a constante de mola K requerida para manter o contato entre a came e o
seguidor. Em todos os momentos o amortecimento e a gravidade podem ser desprezados.
Suponha que este dispositivo é usado como um vibrador. Calcule a força transmitida para
a base sob a condição anterior de contato contínuo. A força do vibrador será harmônica?
K
30
M
P
Figura 3