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19 1.4 Exercícios Resolvidos
1.4 Exercícios Resolvidos
1.4.1 Noções Topológicas
1. Considere a expressão deslgnatória definida., no conjunto dos números reais1 por
seja A o seu don1ínio. Considere o seguinte subconjunto ele IR:
B = {x E IR: lx - li< 3}.
(a.) Apresentando todos os cálculos, escreva. A e B como união de intervalos.
,/x2 -4x+3 log(x + 2)
(b) Determine o conjunto dos pontos interiores e o derivado de B e a fronteira de A n B.
2. Considere os conjuntos A e B definidos por
log(x2 ) A= {x E IR: lx
2 _ 4
1 <'.O} e B = {x E IR: lx
2 - li< l}.
(a) Exprima A e B como união de intervalos.
(b) Determine o interior de A U B1
os núnorantcs de A n B e os pontos de acumulação de B.
e
1 3. Considere a expressão designatória definida, no conjunto dos nú1neros reais, por log(x2 _ 9) e seja
A o seu domínio. Considere o seguinte subconjunto de IR:
B = {x E IR: Jx +li< l}.
(a) Apresentai:ido todos os cálculosi escreva A e B como união de intervalos.
(b) Determine a ~ronteira de A U B. Averigúe se A U B é um conjunto aberto. Justifique.
4. Considere os conjuntos A e B definidos por
" A= {x E IR: larctg(x)I <:: 4} e B = {x E IR: (x- l)(x + 3) :=;O}.
(a) Exprima A e B como união de intervalos.
(b) Determine o intcrior1
a fronteira, os majorantcs1 os minorantes e os pontos de acumulação de
AnB.
5. Considere a expressão designatória definida, no corijunt;o dos números reais, por log(~+ 2) 9-x2
e seja A o seu domínio. Considere o seguinte subconjunto de JR.:
B = { x E IR : 0 < lx + l I :=; 4}.
(a) Apresentando todos os cálculos, escreva A n B como união de intervalos.
(b) Determine o conjunto dos pontos interiores e o derivado de B e a fronteira de A n B.
6. Considere a expressão designatória definicla1 no conjunto dos números reais 1 por
seja A o seu domínio. Considere o seguinte subconjunto de JR.:
B = {x E IR: lhxl :=; vG}.
(a) Apresentando todos os cálculosi escreva A n B como união de intervalos.
arcsen(2x - 3) e
log(x2 - 1)
20 1. Noções Topológicas, Indução Matemática e Sucessões
(b) Determine, justificando, o conjunto dos pontos fronteiros de A n B. Averigúe se o conjunto A n B é fechado.
RESOLUÇAO
1. (a) O conjunto A é o conjunto dos valores de x para os quais a expressão faz sentido, isto é)
A= { x E ill: x 2 - 4x + 3 2 0 /\ x + 2 > 0 /\ log(x + 2) # 0}.
Usando a fórmula resolvente para a equação de grau 2 temos
x2 - 4x + 3 2 O<? (x - l)(x - 3) 2 O
Os números 1 e 3 dividem a recta em três intervalos: ] - oo, l[, ]1, 3[ e ]3, +oo[. Em cada um desses intervalos o produto (x - l)(x - 3) toma o sinal que se pode ver na Figura 1.16, portanto>
(x - l)(x - 3) ::>o{'> X:::; 1 V X::> 3.
+ + + + + + + + + 0----------------0 + + + + + + + + +
3
Figura 1.16
Como log(x + 2) #O<? x + 2 # 1, temos (ver Figura 1.17)
A = {xEill:(x:o:;lVx:;>3) f\x>-2 /\ x,i-1}
= (] - oo, l] u [3, +oo[) n] - 2, +oo[ n (] - oo, -1[ u] - 1, +oo[)
] - 2, -1[ U] - 1, 1[ U [3, +co[.
3
-2 -1
Figura 1.17
Sabemos que [x -1[ < 3 <* -3 < x-1 < 3 <? -2 < x < 4, portanto, B =] - 2,4[.
(b) Seja a E B. Seja e= min(a + 2, 4 - a). A vizinhança de a, ]a - e, a+ e[ está contida em B (ver Figura 1.18), portanto, a E int(B). Podemos afirmar que int(B) = B =] -2,4[.
a+2 4-a
-2 ~ 4
Figura 1.18
O derivado de B 1 B', é o conjunto dos pontos de acumulação de B. Neste casoi B' = [-2,4].
•' •'
1.4 Exercícios Resolvidos 21
-2 -1 3
·2 4
Figura 1.19
Determinemos o conjunto A n B (ver Figura 1.19.
A n B = (] - 2, -1[ u] -1, l[ u [3, +oo[) n] - 2,4[=] - 2, -1[ u] - 1, l[ u [3, 4[.
A fronteira é o conjunto fr(A n B) = {-2, -1 1 1, 31 4} porque são estes os únicos pontos tais que todas as vizinha.nças intersectam o conjunto A n B e o seu complementar.
2.- (a) O conjunto A pode escrever-se como
A {x E Ili.: log(:r.2) ::>: O /\ x2 > O /\ lx2
- 41 > O}
= {xElll.:x2 -l::>:O /\xy!oO /\xy!o2 /\xy!o-2}
A expressão x2 - 1 é um caso notável da multiplicação:
x2 - 1 ::>:O<* (x - l)(x + 1) ::>:O
Os números -1 e 1 dividem a recta em três intervalos: ] - oc, -1[,] - 1, 1[ e ]1, +oo[. Em cada um desses intervalos o produto (x - l)(x + 1) toma o sinal que se pode ver na Figura 1.20, portanto,
(x-l)(x+l) ::>: O#x :<:; -lVx::>: 1.
+ + + + + + + + + 0----------- -----0 + + + + + + + + +
-1
Figura 1.20
Finalmente,
A {xElll.:x:<;-lVx;:>:l /\xy!oO Axy!o2 Axy!o-2}
(] - oo,-1] U [1,+oo[) \ {-2,0, 2}
= j-oo,-2[Uj-2,-1] U[l,2[U]2,+oo[
e
B {x E Ili.: -1 < x2 -1<1} = {x E Ili.: x2 >O /\ :r.2 - 2 <O}
{x E Ili.: x #O /\ (x - J2)(x + v'2) < O}
] - J2, J2 [\{O}=] - J2, O [ U] O, J2[
22 1. Noções Topológicas, Indução l\llatemática e Sucessões
+ ++ + + + + + + 0----------------0 + + + + + + + + +
Figura 1.21
(b) Determinemos os conjuntos A n B e A U B (ver Figura 1.22).
AnB
AuB
(]-oo,-2[u]-2,-1] u[l,2[U]2,+oo[) n (]-VZ,ü[U] O,VZ[)
J - vz, -1[ u J1,vz[.
( J - oo, -21 u J - 2, -1] u [1, 2[ u ]2, +oo[) u ( J - vz, o [ u J o, vz[)
] - oc, -2[ U] - 2, O[ U ]O, 2[ U ]2, +oo[.
-2 -1 2
-'12 o .J2
Figura 1.22
O conjunto dos minorantes de A n B é o conjunto ] - oo, -v'2], o interior de A U B é A U B e o derivado de B é [-VZ, VZ].
3. (a) O conjunto A é o conjunto dos valores de x para os quais a expressão faz sentido, isto é,
A expressão x2 - 9 é um caso notável da multiplicação:
x2 - 9 >O# (x + 3)(x- 3) >O.
Os números -3 e 3 clividem a recta em três intervalos: ] - oo, -3[, ] - 3, 3[ e ]3, +oo[. Em cada um desses intervalos o produto (x + 3)(x - 3) toma o sinal que se pode ver na Figura 1.23, portanto,
(x + 3)(x - 3) > o# X < -3 V X> 3.
+ + + + + + + + + 0----------------0 + + + + + + + + +
-3 3
Figura 1.23
1.4 Exercícios Resolvidos
Como Iog(x2 - 9) j O<* x 2 - 9 j 1 <* x 2 # 10 <* x # v'ill l\ x j -v'ill, temos
A { x E IR: (x < -3 V x > 3) /\X j y'ill /\ X j -v'ill}
( ] - oc, -3[ U ]3, +oo[ ) \ { -v'ill, v'ill}
] - oo, -v'ill[ U ] - v'ill, -3[ U ]3, v'ill[ U Jv'ill, +oo[.
Sabemos q110 lx +li < 1<*-1<x+1<1 <* -2 < x <O, portanto, B =] - 2, O[.
(b) Determinemos o conjunto A U B:
A U B = (] - oo, -v'ill[ U] - v'ill, -3[ U ]3, VÍÕ[ U Jv'ill, +oo[) U] - 2, O [.
--Jfõ -3 3 -Jfõ
-2 o
Figura 1.24
23
Os pontos fronteiros de A U B formam o conjunto {-v'ill, -3, -2, O, 3, v'ill}. Como nenhum dos pontos fronteiros pertence a A U B podemos concluir que int(A U B) =A U B, ou seja) o conjunto é aberto.
4. (a) O conjunto A pode escrever-se como
A = {x E IR: arctg(x) ~ 'f V arctg(x) .:S -;f}
{xEIR:x~l Vx.:S-1}
= J - oo, -1] U (1, +oo[
-------------- .zr.. --------------·
-4 -2 -li 1 1
2
B: 4
2 4
-B:
____________ :~J_: ___________ _ Figura 1.25 O gráfico da função arctg(x).
Os números -3 e 1 dividem a recLa em três inLervalos: ] - oc, -3[, J - 3, l [ e J 1, +oo[. Em cada um desses intervalos o produto (x - l)(x + 3) toma o sinal que se pode ver na Figura 1.26, portanto1
(x - l)(x + 3) .:S O<* -3 .:S x .:S 1.
24
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1. Noções Topológicas, Indução Matemática e Sucessões
+ + + + + + + + +0----------------0 + + + + + + + + +
.3 1
Figura 1.26
Temos B = [-3, l].
(b) O conjunto A n B = [-3, -1] U {1}. O conjunto dos majorantes de A n B é] - oo, -3], o conjunl,o dos minorantes é [l) +00[ 1 a fronl,eira é { -3, -1,_l }1 o interior é ]-31 -1[ e o derivado é [-3, -1].
5. (a) O conjunto A é o conjunto dos valores de x para os quais a. expressão faz sentido, isto é,
A = {o: E lRi.: x2 - 3x + 2 > O /\ 9 - x2 > O}
A expressão 9 - x2 é um caso notável da multiplicação
9 - x 2 > O{} x 2 - 9 < O{} (x + 3)(x - 3) < O.
Os números -3 e 3 dividem a recta em três intervalos: ] - oo, -3[, ] - 3, 3( e ]3, +oo[. Em cada um desses intervalos o produto (x + 3)(x - 3) toma o sinal que se pode ver na Figura 1.27, portanto,
(x + 3)(x - 3) <O{} -3 < x < 3.
+ + + + + + + + + 0----------------0 + + + + + + ++ +
-3 3
Figura 1.27
1\lé1n disso, usando a íórrrtula resolvente, terr1os
x2 - 3x + 2 >O{} (x - l)(x - 2) >O.
Os números 1 e 2 dividem a recta em três intervalos: ] - oo, 1[, ]1, 2[ e ]2, +oo[. Em cada um desses intervalos o produto (x - l)(x - 2) toma o sinal que se pode ver na Figura 1.28, portanto,
(x - l)(x - 2) <o{} X< 1 V X> 2.
Podemos concluir que
A=] - 3, 3[ n (] - oo, 1( u ]2, +oo[) =] - 3, 1[ u ]2, 3(.
+ + + + +++++o - - - - - _. - - - - - - - - - - o+++++++++
2
Figura 1.28
Sabemos que O < lx +li :S 4""' -4 :S x + 1 :S 4 /\ x + 1 i O ""' -5 :S x :S 3 /\ x i -1, portanto, B = [-5, -1[ U] - 1, 3]. Assim,
AnB = ( ]-3,1[ u ]2,3() n ( [-5,-l[U J-1,3]) =]-3,-l[U ]-1,l[U ]2,3[.
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1.4 Exercícios Resolvidos 25
(b) O conjunto dos pontos interiores de B é] - 5, -1[ U ]- 1, 3(, o derivado de B é [-5, 3] e a fronteira de A n B é o conjunto {-3 1 -1,1 1 21 3}.
6. (a) O conjunto A é o conjunto dos valores de x para os quais a expressão faz sentido 1 isto é:
A = { x E lRt : -1 <:; 2x - 3 5 1 /\ x2 - 1 > O ·/\ log(x2
- 1) ,<O}
A expressão x 2 - 1 é u1n caso notável da multiplicação:
x2 -1 > Ü#(x+l)(x-1) >O.
Os números -1e1 dividem a recta e1n três intervalos: ] - oo, -1[,] - 1, l[ e Jl, +oo[. Em cada um desses intervalos o produto (x + l)(x - 1) torna o sinal que se pode ver na Figura 1.29 1
portanto, (x + l)(x -1) >o<* X< -1VX>1.
+ + + + ++ ++ +0--------- -------0 + + + + + + + + +
.J
Figura 1.29
A = {:r.E1Rt:l<:;x<:;2 /\ (x>lVx<-1) /\ x2 ,<2}
= {x E lRt: 1 <:;X<:; 2 /\ (x > 1 V X< -1) /\ X# -V'i /\X# V'i}
(]-oo,-l[U]l,+oo[) n [1,2] n (]-oo,-,/2[u]-,/2,,/2[u],/2,+oo[)
]1, ,/2[ u ]../2, 2[.
Como IV'ixl 5 v'6 <* lxl <:; v'3 <* -v'3 <:; x <:; v'3, portanto, B = [-v'3, v'3J. Determinemos A n B.
A n B = ( ]1, V'i[ u ]V'i, 2[) n [-v'3, v'3J = ]1, ../2[ u ]V'i, v'3[.
(b) A fronteira de AnB é o conjunto {1, ../2, v'3}. Como os elementos da fronteira não pertencem a A n B 1 este conjunto não é fechado.
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26 1. Noções Topológicas, Indução Matemática e Sucessões
1.4.2 Indução Matemática
1. Prove, pelo método de indução matemática: que
(a) 2 + 4 + 6 + · · · + 2n = n2 + n, 'ln E N; 1 1 1 1 1
(b) -+-+-+···+-=1-- VnEN· 2 4 8 2n 2n' 1
1 1 1 1 (e)--+--+--+···+~-~
lx2 2x3 3x4 n(n+l) n
--,VnEN. n+l
2. Prove, pelo méLodo de indução matemál;ica: que
n 1 n (a) L4k2-1 =2n+l'VnEN;
k=l
"(k k-l) (b) t; 3
k -3k-l = n3-n, 'ln E 1.\1;
(e) TI (2k -1) = ~2:2i, 'ln E 1.\1. k=l
3. Prove, pelo rnétodo de indução rnatemática1 que
(a) 5 é factor de 24"-2 + 1, 'ln EN;
(b) 42" - 1 é divisível por 5, 'ln EN;
(e) 3" > 2" + lOn, Vn 2 4; n:i
(d) 12 +22 +-··+(n-1)2 < °3' VnEN;
{'--. (n+1)2 (e)L.,k<
2 ,VnEN.
k=l
4. Seja i tal que i 2 = -1. Nlostre1 por indução, que
(1 + ")" (a) 1 _ ~ = eis C
2") , 'ln E 1.\1.
(b) (-sen(a) +i cos(a))" = cis(n(~ +a)), 'ln E 1.\1.
4n l (e) L-:;;- =O, 'ln E 1.\1.
' k=l
RESOLUÇÃO
1. (a) Va1nos rr1ostrar 1 usando o Princípio de Indução Nlaternática, que 2 + 4 + 6 + · · · + 2n = n 2 + n: 'ln EN. Seja p(n) a proposição anterior. Vê-se facilmente que p(l) é verdadeira: 2x1 = 12 + 1. A hipótese de indução 6
2 +4+6 + · · · + 2n = n2 +n
e a tese de indução é
2+4+6+·· · +2n+2(n+ 2) = (n+ 1)2 +n+1.
•'
1.4 Exercícios Resolvidos 27
Então
2 +4+ 6 + · · · + 2n+ 2(n+ 2) = n 2 +n+ 2n+ 2 = n 2 + 2n+ 1+n+1=(n+1)2 +n+1,
portanto 1 a proposição p( n + 1) é válida. Pelo Princípio de inclução podemos concluir que
2 + 4 + 6 + · · · + 2n = n2 + n, \ln E J\!.
(b) " t d P"'"dld-M,. 111 1 11 varnosmosrar,usan oo r1nc1p10 e n uçao atemat1caiquc-+-+-+···+-= --, 248 zn 2n 1 1
Vn EN. Seja p(n) a proposição anterior. Vê-se facilrr1ente que p(l) é verdadeira: '2 = 1 - 2. A hipótese de indução é
e a tese de indução é
Então
1 1 1 1 1 -+-+-+···+-=1--248 2n 2n
1 1 1 1 1 1 -+-+-+···+-+-- =1---. 2 4 8 2n 2n+l 2n+l
portanto 1 a proposição p( n + 1) é válida. Pelo Princípio de indução podemos concluir que
1 1 1 1 1 - + - + - + · · · + - = 1 - - \ln E J\!. 2 4 8 2n 2n'
{e) Vamos mostrar, usando o Princípio de Indução l\!Iatemática, que
1 1 1 1 n --+--+--+···+ =--1 X 2 2 X 3 3 X 4 n(n + 1) n + 1
1 1 Vn EN. Seja p(n) a proposição anterior. Vê-se facilmente que p(l) é verdadeira:
1 X 2 2 A hipótese de indução é
1 1 1 1 n --+--+--+···+ =--1 x 2 2 X 3 3 X 4 n(n + 1) n + 1
e a tese de induçã.o é
1 1 1 1 1 n+l --+--+--+···+ + =--. lx2 2x3 3x4 n(n+l) (n+l)(n+2) n+2
Então 1 1 1 1 1
--+--+--+,.·+ +-----1x2 2x3 3x4 n(n+l) (n+l)(n+2)
n 1 n(n+2)+1 (n+1)2
_n_+_l + (n + l){n + 2) = (n + l){n + 2) = (n + l){n + 2)
n+l =
n+2'
portanto1 a. proposição p( n + 1) é válida. Pelo Princípio de indução podernos concluir que
1 1 1 1 n --+--+--+···+ =--, \JnEN. 1 x 2 2 x 3 3 x 4 n(n + 1) n + 1
"'
28 1. Noções Topológicas, Indução l\llatemática e Sucessões
2. (a) Van1os mostrar, usando o Princípio de Indução Matemática, que
n 1 n L 4k2 - 1 = 2n + l' \ln E !\!. k=l
Seja p(n) a proposiçã.o anterior. Verifiquemos que p(l) é verdadeira:
A hipótese de indução é
e a tese de indução é
Então
n+l l
L4k2-1 = k=l
n 1 n "--L...4k2-l - 2n+l k=l
n 1 1 n 1
L4k2-l + 4(n+l)2-l = 2n+l + (2(n+l)-1)(2(n+l)+l) k=l
n 1 n(2n + 3) + 1 2n2 + 3n + 1 -2n_+_l + (2n + 1)(2n + 3) = (2n + 1)(2n + 3) = -(2-11-. +-1)-(2_n_+-3)
(n + 1)(2n + 1) (2n + 1)(2n + 3)
n+l 2n+3
portanto 1 a proposição p( n + 1) é válida. Pelo Princípio de indução poden1os concluir que
n 1 n L 4k2 - 1 = 2n + 1' \ln E !\!. k=l
(b) Va1nos mostrar, usando o Princípio de Indução Matemática 1 que
n (k k-1) L 3k - 3k-l = n3-n, \ln E!\!. k=l
Seja p(n) a proposição anterior. Verifiquemos que p{l) é verdadeira:
A hipótese de indução é
e a tese de indução é
0 (!... - k - l) = (n + 1)3-(n+l). L, 3k 3k-I h:=l
•'
1.4 Exercícios Resolvidos
Então
n+l ( k k-1) 2::: 3k - 3k-l k=1
~(k k-1) (n+l n) 6_ 3k - 3k-l + 3n+1 - 3n
3_n (n+ 1 n) n + 3n+1 - 3n
port.anto, a proposição p( n + 1) é válida. Pelo Princípio de indução podemos concluir que
(e) Vamos mostrar, usando o Princípio de Indução 1VIate1nática1 que
n (2n)! II (2k - 1) = -;;-j"• Vn EN.
2 n. k=l
Scjap(n) a proposição anl;erior. Verifiquemos que p(l) é verdadeira:
A hipótese de indução é
e a tese de indução é
Então
n+l II(2k-1J k=l
l 2 X 1 II(2k-1) =2X 1-1= 1= - 1--
1•
2 X 1. k=l
=
rrn (2k - 1) = (2n)! 2nnl
k=l .
n+l (2(n+l))! TI (2k - 1) = -zn'-+"'1-(r-,-+'""'1~)!.
(g(2k-1)) (2(n+l)-1) = ~n~i' · (2n+l)
(2n+ 1)! = (2n+2)(2n+ 1)! = ____,(~2n_+'---'2)_! _ znnJ znnJ (2n + 2) zn+1n! (n + 1)
(2(n + 1))! zn+l(n + 1)!
portanto, a proposição p(n + 1) é válida. Pelo Princípio de indução podemos concluir que
rrn (2k -1) = (Zn)! Vn EN. 2nn!'
k=l
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30 1. Noções Topológicas, Indução lVIatemática e Sucessões
3. (a) A proposição :i5 é factor ele 24n-2 + 11
't:/n E N11: é equivalente a 11 24n-2 + 1 é múltiplo de 5,
VnEN. O número 24n-2 +1 é rnúltiplo de 5 se existir um número inteiro positivo k tal que 24n-2 +1 =
5k.
Substituindo n por 1 na expressão 24n-2 + 1 obtemos 22 + 1 = 5 x 1, portanto a propriedade é válida para n ::'::: 1. A hipótese de indução é
3k E N : 24n-2 + 1 = 5k.
A tese de indução é 3k' EN: 24(n+l)-2 +1 = 5k'.
Temos
24(n+l)-2 + 1
24(24n-2 + 1) - 24 + 1=24 5k - 15 = 5(24 k - 3).
Seja k' = 24 k - 3. Como k' E N podemos dizer que
24(n+l)-2 + 1 = 5k'
Pelo Princípio de indução podemos concluir que 24n+2 + 1 é múltiplo de 5, 'Vn E N.
(b) Provemos por indução que 4 2n - 1 é múltiplo de 5, Vn E N. O número 42n -1 é múltiplo de 5 se existir um número inteiro positivo k tal que 42n -1 = 5k.
Substituindo n por 1 na expressão 42n - 1 obtemos 42 + 1 = 5 x 31 portanto a propriedade é válida para n = 1. A hipótese de indução é
3k E N: 42n - 1 = 5k.
A tese de indução é 3k' EN: 42n+2 - 1 = 5k'.
Temos
42n+2 - 1 = 42n42 -1 = 42n42 - 42 + 42 - 1 = 42(42n - 1) + 24 - 1
= 42 5k + 24 - 1=5(42 k+3).
Seja k' = 42 k + 3. Como k' E N podemos dizer que
24(n+l)-2- + 1 = 5k'
Pelo Princípio de indução podemos concluir que 42n - 1 é múltiplo de 51 'efn E N.
(e) Vamos rnostrar, usando o Princípio de Indução Matemática, que
Seja p( 11,) a proposição anterior. Comece1nos por verificar que p( 4) é verdadeira. Substituindo n por 4 obtemos 34 = 81 2: 56 = 24 + 40 que é uma proposição verdadeira. A hipótese de inclução é
•'
1.4 Exercícios Resolvidos
e a tese de indução é 3n+l 2 2n+l + lO(n+ 1).
Então
3n+l 3 X 3n 2 3 (2n + lOn) = 3 X 2n + 3 X lOn
2 2n+l + lOn + 20n 2 2n+l + lOn + 10 = 2n+l + lO(n + 1)
Pelo Princípio de indução podemos concluir que
3n 2 2n + lOn, Vn 2 4.
(d) Vamos mostrar, usando o Princípio de Induçã.o Nfatemática) que
3 2 2 2 n 1 + 2 + · · · + (n - 1) < -, Vn EN.
3
31
Seja p(n) a proposição anterior. Comecemos por verificar que p(l) é verdadeira. Substituindo 1
n por 1 obtemos 02 = O ~ '3 que é uma proposição verdadeira. A hipótese de indução é
e a tese de indução é
Então
., 2 2 2 n·
1 +2 +···+(n-1) <-3
n 3 n3 + 3n2 n" + 3n2 +3n+1 12 +22 +···+(n-1)2 +n2 <-+n2 = < =
3 3 3
Pelo Principio de induçã.o podemos concluir que
2 2 2 n 3
1 + 2 + · · · + (n -1) < 3 , Vn EN.
(e) Vamos mostrar, usando o Princípio de Indução Nlatemática1 que
~k (n+l)2 w ~' ~ <
2 , vnE 1"1.
k=l
(n + l)" 3
Seja p(n) a proposição anterior. Comecemos por verificar que p(l) é verdadeira. Substituindo
~ (1+1) 2
n por 1 obtemos 6 k = 1 < 2 = ~-2~- que é uma proposição verdadeira. A hipótese de k=l
indução é
e a tese de indução é
~k (n+2)2 ~ < 2 k=l
32
•' •'
1. Noções Topológicas, Indução l\IIatemática e Sucessões
Então
n+I n ( )2 2 2 4 4 ( 2)2 "°'k="°'k+(n+l)< n+l +(n+l)=n +4n+3<n + n+ = n+ L.,L., 2 2 2 2 k=l k=l
Pelo Princípio de indução podemos concluir que
n ( + l)2 "°'k< n \fnEN L.t 2 , . k=l
4. (a) Vamos mostrar, usando o Princípio de Indução i\!Iate1nática, que
(l+i)n (n1f) 1
_ i = eis 2 , \fn E N.
Seja p(n) a proposição anterior. Verifiquemos que p(l) é verdadeira:
l+i _ V2cis(;f) _ . (7f ( 7f))- . (7f) -- - - ClS - - -- - CIS - . 1-i V2cis(-;f) 4 4 2
A hipótese de indução é
(l+i)n . (n7') -- =CIS -1-i 2
e a tese de indução é
Então
(1 +i)n (1 +i)- , (n7f) , (7f) -- -- -ClS - ·CIS -1-i 1-i 2 2
= eis-+- =eis . (n7f 7f) . ((n+l)7r) 2 2 2
portanto, a proposição p(n + 1) é válida. Pelo Princípio de indução podemos concluir que
(l+i)n+l = . ((n+l)") \f "" l _ i CIS 2 1 n E J.'l.
(b) Vamos mostrar, usando o Princípio de Indução Ma1;emática, que
1l' (-sen(<>) + i cos(<>))" = cis(n( 2 + <>)), \fn EN.
Seja p(n) a proposição anterior. Verifiquemos que p(l) é verdadeira:
1l' 1l' -sen(<>) + i cos(a) = i (eos(e>) + isen(<>)) = i eis( a)= eis( 2) ·eis( a)= eis( 2 + <>).
A hipótese de induçã.o é
7f (-scn(n) +i cos(o:))" = cis(n(2 +a))
•'
1.4 Exercícios Resolvidos
e a tese de indução é
(-sen(a) + i cos(aJr+1 = cis((n + 1)(% +a)).
Então
(-sen(a) + i eos(aJr+• (-sen(a) +i eos(a)r(-sen(a) +·i cos(a))
cis(n(% +<>))(eis(% +a))
portanto, a proposição p( n + 1) é válida. Pelo Princípio de indução podemos concluir que
(-scn(a) +i cos(aJr = eis(n(% +a)), 'ifn EN.
(e) Vamos 1nostrar, usando o Princípio de Indução Iviatentática, que
4n l L ·k = O, 'ifn EN. k=l i
Seja p(n) a proposição anLerior. Verifiquemos que p(l) é verdadeira:
4 111111 1 "' - = - + - + - + - = - - 1 - - + 1 = o. ~ ik i i 2 i 3 i 4 i i k=l
A hipótese de indução é 4n l "'--o Liik-k=l
e a tese de indução é
Então
4n+4 l
L:;;-=º· ' k=l
4n+4 1 4
n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 L ik = L ik + i4n+l + i4n+2 + i4n+3 + i4n+4 = i + i2 + f~ + i4 = Q k=I k=l
portanto 1 a proposição p( n + 1) é válida. Pelo I'rincípio de indução podemos concluir que
4n l L-:;; =O, 'ifn E N.
' k=l
33
34 1. Noções Topológicas, Indução Niatemática e Sucessões
1.4.3 Sucessões
l. Calcule, justificando, os limites das seguintes sucessões
\Yn2 + n + n ,.r::: (a) + yn· ;}12n•+1+fo ' v'n" + 2n4 +1- n (b) ..:.__:.__ _ _.:__:.~
-2n2 + \Yn2 + 3 '
(c) Vn+l(l+2fo). n+{Yn i
\Yl - 27n3 (d)
1+4n '
2. Calcule os limites das seguintes sucessões
(a) (n2 -1) n. n2 '
(b) (4n-sr" 4n -1-3 ;
(c) ("+ 2) n+l. n+4 1
(d) ( 2+n )n 5+5n ;
(e) n((-1r + fo). 2+v'n"+1 '
2n el/n
(g) (-l)n+v'n2 +5·
(c) (3n+l)n 3n+2 ;
(f) ( 2n+i)'n-2. 3--- ' n
(g) cn+ 5) nH. 2n+ 1 '
(h) ( '+3)n 2:2 +1
ear-ctg(n).
3. Calcule, justificando, os limites das seguintes sucessões:
3n sen(23n + 1) (a)
2"n+ 1 ' (e)
(b) 1 - cos(n + 1) log(n);
(f) n n2 +3
cos( Vn" + 2); (c) nv'n3 + 2 (g)
(d) .!:. Y'ni· (h) n., n
4. Calcule, justificando, os limites das seguintes sucessões:
~ sen2 (n) . (a) ~n2+3k2'
k=l
n 5n (b l 2: v'Ti4+k;
k=l
n {Y2n ( c) "°"' --'-~~ + k ·
k=l
ffn2e-n-(~)n n4 +1
nsen(n) 2n-J5n3+1'
Vn2 +2n-n; 3n ~ 5 5n+3·
'
5. (a) Calcule, justificando, o limite da sucessão an = (v'2n+ 1- v'2,i).cos2(n).
(b) Determinei justificando1 o conjunto dos sublimites da sucessão bn = sen (n27r) · arctg(n)
1.4 Exercícios R.esolvidos
6. Considere a sucessão Un = \/1+2(-l)"n
(a) Escreva a subsucessão dos termos de índice par e calcule o seu limite.
(b) Escreva a subsucessão dos termos de índice Ílnpar e calcule o seu limite.
{c) Calcule limun e limun.
35
(d) Tendo em conta as alíneas anteriores, que pode concluir quanto à convergência da sucessão?
7. Considere a sucessão, definida por recorrência
{ U1 =V2 Un+l = ..,/2ii;.1 Vn E N.
(a) Prove, por indução) que O < Un < 21 Vn E N.
(b) Prove que a sucessão é crescente.
{c) Prove que a sucessão é convergente.
( d) Calcule o limite da sucessão.
8. Considere a sucessão
{ ª' = V2 an+l = { v'2)ª", \ln EN.
(a) Mostre, por indução, que v'2 :<; an < 2, \ln EN.
(b) Mostre 1 por indução, que a sucessão é crescente.
(c) Mostre que existe a :S. 2 tal que an --i- a.
9. Seja a E 1R um número positivo. Considere a sucessão de números reais definida, por recorrência1
{
Xl =a Xn
Xn+l = 2+xn'
(a) Mostre1 por indução, que Xn > O, Vn E N.
{b) Mostre que a sucessão é decrescente.
\ln EN.
(e) Mostre que a sucessão é convergente e calcule o seu li1nite.
10. Seja a E 1R um número positivo. Considere a sucessão de números reais, definida por recorrência,
{
xo =O, x1 =a
Xn+l = Xn + x;_l, Vn E N.
(a) Mostre que a sucessão é crescente.
(b) Mostre que Xn > O, \ln E N.
(c) Mostre que se existe b E IR tal que limxn = b, então b =O.
(d) Tendo em conta as alíneas anteriores, calcule, se existir1 limxn.
11. Considere a sucessão de números reais definida, por recorrência1
{
X1=2 Xn 1
Xn+l = -2
+-, Xn
\ln EN.
A sucessão verifica a relação Xn > ./21 Vn EN (admita este facto sem o mostrar).
•'
36 1. Noções Topológicas, Indução l\IIatemática e Sucessões
(a) 1'Iostre que a sucessão é monótona.
(b) iVIostre que a sucessão é convergente.
(e) Calcule o limite da sucessão.
12. Considere a sucessão de números reais definida, por recorrência,
1.
{
X1 = 3 x2 +3
Xn+l = ;Xn ,
(a) Mostre, por indução, que Xn - J3 2 O, Vn E N.
(b) Niostre que a sucessão é decrescente.
(e) l\!Iostre que a sucessão é convergente.
(d) Calcule o limite da sucessão.
VnEN.
RESOLUÇAO
ffn'+n+n (a) Seja º·n = Vamos dividir o nurncrador e o denorninador da fracção que define
ij2n4 + 1 + .,;n· a sucessão pela maior potência de n:
{Yn2 +n+n {Yn2 +n+n
' +1 \jn2n~n + 1 R n an =
ijzn4 + 1 + .,foi =
ij2n4 + 1 + .,foi fi!Jl+~ R Jr; . + -n n' n
Logo: . 1
liman = {12"
Como lim \/Ti, = 1 podemos concluir que
( f/n2 +n+n ) 1
lim ij 4 .,foi + efii, = '"' + 1. 2n+l+n v2
(b) S .,jn3 + 2n4 + 1 - n " d. .d. d d . d d f -cja an = 3~ . vamos iv1 ir o numera ar e o enom1na or a racçao que -2n2 +vn--ro
define a sucessão pela maior potência de n:
Logo:
v'n" + 2n4 + 1 - n -2n2 + ~n2 +3
.,/n3 + 2n4 + 1- n n'
-2n2 + {Yn2+3 n'
Jn3 + 2n• + 1 __ 1 V 1 1 1 -+2+-'--n4 n n n 4 n
-'--~--'"'-~~=-'~=
-2+~n'n:3 -2+~
. v'2 liman = -2·
1.4 Exercícios Resolvidos 37
( ) S VnTI (l + 2fol v· 1· ·ct· ac1 d · 1 d · t e cja an = 3
r;;: • amos e iv1 ir o numer ar e o enom1nac or o quoc1en e que n+ {}n
(d)
define a sucessão an por n elevado à maior potência:
VnTI (1 + 2fo) v'n + 1 (1 + 2fo) n
an= = n+{Yi'i n+i}'Ti,
n
Logo:
VnTI (1 + 2fo)
fofo ----'-----'-=~- =
1 + {!!;
liman = 2.
. {Yl - 27n" . . . . . Se1a an = . Vamos chv1d1r o numerador e o denominador do quociente que define
' 1 +4n a sucessão an por n elevado à maior potência:
{Y1 - 27n" 11- 27n3
~ {Yl - 27nª n 3 7
n 3 an = = 1+4n 1 = 1 1+4n -+4 -+4
n n n
Logo: r 3 ima'n=-4
(e) Seja an = n((-~). Vamos dividir o numerador e o denominador da fracção que define 2+ n3 +1
a sucessão pela maior potência de n:
2 R -+ 1+-H n3
Logo: liman=l.
{Yn2+2 (f) Seja G.n = n Vamos dividir o numerador e o denominador da fracção que define a
nZ + (-l)nn sucessão pela maior potência de n:
n;.Yn2+2 {Yn2+2 vn2+2 (01· 1 2 'r<>en -- - + -nvn2 +2 n2 n n3 n n3
an=nZ+(-l)nn =-n-z-+~(-~1-)-nn-= 1+-(-_l)_n = 1+-(-_l)_n = 1+-(-_l)_n· n2 n n n
Logo: liman =O.
211 e1fn 2n (g) Seja an = ' Rf:5 Rf:5 · e1/n = bn · el/n. Vamos dividir o numerador
(-l)n+ n2+5 (-lJn+ n2 +5 e o denominador da fracção que define a sucessão bn pela maior potência de n:
b _ 2n = ____ 2~== n- (-l)n+,/n2 +5 {-l)n+Rf:5
n
38 1. Noções Topológicas, Indução Matemática e Sucessões
Logo:
limbn = 2.
Como lim e1/n = 1 podemos concluir que
2n e1fn lim = 2.
(-l)n+v'n2 +5
2. Nota: O objectivo no cálculo destes limites é fazer aparecer um limite da forma:
(a) Temos
logo é evidente que:
(b) Temos
portanto1
(e) Temos
portanto1
( X)" lim 1+;: =ex.
lirnan = (C1)º = 1.
( -5)º lim an = ee:l = 1.
(
2 )n+I 1 +-- n --4
1 +n
. e2 -2 lirnan=4=e .
e
(d) Vamos pôr nem evidência na expressão que define a sucessão:
Portanto)
Iiman = lim - :..._=O.e= O. (l)n 2
5 e
VnEN,
'VnE N1
VnEN,
• "'
1.4 Exercícios Resolvidos 39
(e) Temos
-(3n+l)n a..- ---3n+2 (
3n(l + f,;)) n
3n(l + 3~) VnEN,
portanto,
( e ) 1/:l ,
lima.,i = e2
= e~i/.l.
(f) Temos
( 2n+l)4n-2 a,,= 3---
n VnEN,
logo é evidente que:
(g) Temos
an = (~:: ~) n+4 = (2n( 1 + *)) n+4 1 ( l + 2~) 2nl 1/2. (1 + 2~) 4'
2n(1+-) 1+- l+-2n 2n 2n
VnEN,
portanto)
. ' (e5)1/2 hman = -; = e2
.
(h) Vamos pôr n 2 em evidência na expressão que define a sucessão:
(
3 )" 3 n an = ( n2 + 3 )n eacctg(n) = n2(t + :;:;?) eª"tg(n) = (~)n ( 1 + :;:;?)
2n2+1 2n2(1 + _1_) 2 (1 + _l_)n 2n2 2n2
earctg(n)
logo:
(l)n (e3)0
Iiman = lim 2 ~ e'ir/2 = 0.e'il"f2 =O.
3. (a) 3n sen(23n + 1) 3n
Seja Un = 3 = 3 · sen(2"n + 1). Sabemos que: 2n+l 2n+l
OS lsen(n)I S 1, 'ifn EN,
, 3n portanto) a sucessão sen(2·~n + J) é uma sucessão limitada. Provemos que a sucessão
2an +
1 é u1n infinitésimo.
(3)"' 3n 3n -Jim -.-- = lim --- = lim 8 = O.
23n + 1 ' sn + 1 (l)n 1+ -8
40
•'
l. Noções Topológicas, Indução l\IIatemática e Sucessões
Poden1os concluir que a sucessão dada é um infinitésimo por ser o produto de um infinitésimo por uma sucessão limitada.
(b) Vamos utilizar o facto de a função coscno ser limitada. Temos:
lcos(n + 1)1 '.". 1, 'ln E l\l
logo:
1
1 1 log(n) O'.". l<>nl = ;;: cos (n + 1) log (n) '.". -n- = log( {:>'71),
Como sabemos que: lim log( {:>'71) = O, n~=
podemos concluir pelo Teorema das Sucessões Enquadradas que:
. n2 +3 (e) Seja an = v'TiJf+2 cos( Jn=< + 2). Para todo n, temos:
n n:i + 2
logo, para todo o n: n 2 +3
O'.". lanl '.". v'TiJ'+2" n n 3 +2
'ln E l\l.
Dividindo o nurncrador e o denominador da fracção que define a sucessão majorante pela maior potência de n temos:
n 2 +3 --.-lirn n 2
nv'TiJ'+2 n~
O Teorema das Sucessões Enquadradas permite-nos concluir que:
liman =O .
(d) S . 1 ,.,.,, • /n!.
V;;; n! ,
Seja bn = -. E evidente que bn > O, \ln E N. nn CJa Un = - VW= n
(n + 1)!
lim bn+l = lim (n + ~Jn+l bn n.
nn
Podemos concluir que lim O.n = ~e
r (n+l)!nn r ( n )n =
1m(n+1Jn+1 n! = im n+l
=o.
1 e
(e) Seja an = !!/ n2 e-n - ( n4n:
1) n' Seja bn = n 2 e-n. É evidente que bn > O, 'ln E l\l.
(n + 1)2
lim b~:1 = lim = lim (n+ 1)2 en = _lc lim (n+ 1)2
en+l n2 e ri
1 e
1.4 Exercícios Resolvidos 41
1 Podemos concluir que lim V' n2 e-n = - .
e
~ ]' 1 1 J..Cmos que 1man = - - - =O. e e
1
e
nscn(n) (l)" n (f) Sejaª" = = - · · scn(n). . . 2"v5n3 + 1 2 v5n" + 1
Sabemos que
(g)
4. (a)
OS lscn(n)I S l, 'ln E 1\1,
n portanto, a sucessão sen(n) é u1na. sucessão lirr1ita.da. Proventos que a sucessão é
v5n3 + 1 um infinitési1no.
n 1 1
lim n = lim ;;,I v5n3 + 1 v5n3 + 1
= lim 7n = lim ..fii = O.
·Rl " n' tJ + ·~ n·
Como lim G) n =o, temos
(1)" n lim - · =O. 2 v5n3 +1
Podc1nos concluir que a sucessão dada é um infinitésimo por ser o produto de um infinitésimo por uma sucessão limitada.
Iim(\/n2 + 2n-n) =lim (vn2 +2n-n)(vn2 +2n+n) =lim n2+2n-n
2
vn2 +2n+n vn2 +2n+n 2n
2n = lim =lim n
vn2 +2n+n vn2 +2n+n
. 2 2 = lim ~===~- = lim = 1
~+1 J1+~+1 n
3" - 5 (3)" (l)n-1 lim 3n - 5 = lim 5n = lim 5 - 5 = O.
5"+3 5"+3 (3)" 1+ -5n 5
. ~~ O termo geral an da sucessão esta definido como a soma de k = 1 a k = n - 1 de n 2 +
3k 2 .
Vamos calcular um enquadramento deste termo de forma a fazer desaparecer a variável k. De maneira evidente temos para todos n e k cm N: n 2 + 3k2 > n 2
. Para todo n e k tal que k S n - 1, temos da mesma forma: n 2 + 3k2 ::; n2 + 3(n - 1)2 •
42
(b)
1. Noções Topológicas, Indução Matemática e Sucessões
Logo para todo n e 1 _:::; k :S n - 1, temos:
22 22 21 1 1 n < n + 3k S n + 3(n - 1) * 2 > 2 3k2 2 2 3( l)2 n n + n + n-scn2(n) sen2(n) sen2(n)
n 2 > n 2 + 3k2 2 n2 + 3(n - 1)2
Como a expressão de an está definida como uma soma de n - 1 termos obtemos
( ) sen2 (n) nL-l sen2 (n) ( l) sen2 (n)
n-1 · < < n- ·--ce-~ n 2 + 3(n - 1)2 - n2 + 3k2 n2 '
l;/n E J\! k=l
n-1 2( ) n-l 2 '""'scn n n-1 2 <? n2 + 3(n- l)2 · sen (n) S L., n 2 + 3k2 < ~ · sen (n), l;/n E J\!
k=l
n-1 2( ) ( ) n-1 2 scnn. 1 1 2 <? 2 3
( )2 • sen (n) S L 2 3k2 < - - 2 · sen (n), l;/n E J\!.
n+ n-1 n+ n 11, k=l
S . b n - 1 n - 1 n· "d" d 2 d d . d CJa n = 2 3( )2 4 2 6 3
. lVl in o por n o numera or e o enormna or n+n-1 n-n+
da fracção que define a sucessão temos:
1 1 lim n-l =lim ;--;;?
4n2 -6n+3 4n2 -6n+3 n2
1 1 , Seja Cn = - - 2. E evidente que lim Cn = O.
n n
1 1
= lim ;;: ~ ;;?" 3
= O. 4--+-
n n 2
Como a sucessão sen2 (n) é uma sucessão limitada1 OS ]scn2 (n)I :S 11 Vn E N1 e o produto de um infinitésin10 por uma sucessão lin1itada é um infinitésin101 podemos afirmar que as sucessões
·n-1 2 n2 + 3(n- 1)2 . scn (n)
e
(~ - ~) · sen2(n) n n 2
são infinitésimos. Finalrnente, corno os dois lin1ites são iguais1 o Teorema das Sucessões Enquadradas permite-nos concluir que:
Iiman =O.
" o termo geral ªn ela sucessão está definido COIIlO a soma de k = 1 a k = n de vn· Vamos n 4 +k
calcular um enquadramento deste termo de forma a fazer desaparecer a variável k. De maneira
evidente temos para todos n e k em N: Jn4 + k > n2 . Para todo n e k tal que k,:::; n 1 temos da mesma forma: v'n4 + k s v'n4 + n. Logo para todo n e 1 ::::;. k :::; n 1 temos:
n2<#+k<Jn•+n=;.~> 1 > 1 - . . n 2 v'n• + k - v'n4 + n
5n 5n 5n -> >~== n2 v'n4 + k - v'n4 + n
1.4 Exercícios R.esolvidos
Como a expressão de an é uma soina de n termos obtemos
5n n5n 5n n · < '\"' < n · - Vn E N, v'n4 + n - L.., v'n4 + k n2 '
k=l
5n2 n 5n 5n2
# fn4+n :<:; '\"' ,;;;;r+k < - 2 = 5, Vn EN. n 4 + n L.J n 4 + k n
k=l
43
5-n,2 lk Seja bn = = 5 · . v'n4 +n
Dividindo o numerador e o denominador do radicando
desta sucessão por n 4 temos:
limbn = lim5 · ~ l 1 = 5. 1 + -,-,
n·
Finalmente, como os dois limites são iguais1 o Teorema das Sucessões Enquadradas permite-nos concluir que:
liman=5.
ffn (e) O termo geral da sucessão está definido co1no a so1na de k = 1 a k = n de Vamos N+k·
calcular um enquadramento deste termo de forma a fazer desaparecer a variável k. De maneira evidente temos para todos n e k cm N: ~ + k > ~- Para todo n, e k tal que k ::::; n, temos da mesma forma: N + k :S N + n. . Logo para todo n e 1 ::::; k ::::; n 1 temos:
N < N + k < N + n =? -1- > - {Y;0
1 > ~=1 __
N+k - N+n ffn ffn ffn ,r;c > ,r;c 2: vn4 vn4 +k N+n
Como lln está definido como uma soma de n termos obtemos
ffn n ffn ffn n· <'\"' <n·-- VnEN
N+n-L..,N+k if,0' k=l
?'20 n {Y2n ?'20 ' # {Y;0 :<:; L N < ,r;c = -Ç/2, \ln E N.
n 4 + n k=l n 4 + k v n 4
Dividindo por n~ o numerador e o deno1ninador da fracção que define a sucessão do lado esquerdo da desigualdade temos:
,r.c-;;
lim ;;w =lim 3 n4 + -n,
-Çl2 = lim n
1 + 'r;c vn4
'12 = lim _v~ ~- = -Ç/2. 1
1 + -ffeí,-n
Finalmente como os dois limites são iguais1 o Teorema das Sucessões Enquadradas permite-nos concluir que:
lim Un = .ij2_
44 1. Noções Topológicas, Indução Matemática e Sucessões
5. (a) Vainos utilizar o facto de a função coseno ser limitada. Temos
{b)
Jcos(n)J :O: 1, \ln EN,
o que implica que icos2 (n)I :O: 1, Vn EN.
Além disso,
lim( v'2n + 1 - ffn) = lim ( v'27'+1- ffn) ( v'2r'+1 + ffn) v'2n + 1 + ffn
. 1 hm =Ü
J2n+ 1 + ffn
l. 2n+ l-2n
= im-==~-~= ../2n+ 1 + ffn
Podemos concluir que a sucessão an é um infinitésimo por ser o produto de uma sucessão limitada por um infinitésimo.
1-1,
an = sen (n;) = O,
1,
n=4k- l,k EN
n= 2k,k EN
n=4k-3,k EN
A sucessão G.rt tem os sublimites -1 1 01 1: visto que tem subsucessõcs convergentes para esses
números reais. ;\.sucessão Cn = arctg(n) tem limite i· A sucessão bn = sen (n;) · arctg(n)
tem os sublimites -~ O ~-21 1 2
6. (a) Seja Un = \/'l + 2(-l)"n.
A subsucessão dos terrnos de índice par de Un é a sucessão
U2k = 2\/1+2(-l) 2k '2k = 2\/1+221cl k EN.
Consideremos a sucessão an = V'l + 2n. Como 1+2n >O, \ln EN, podemos calcular o limite de an recorrendo ao cálculo de
l+-1-1 + zn+l 2 +1 2 +1 lim = lim ~-",-n~~ = lim
1 nl
l+zn l+zn 2n+l 2 + zn+l
=2.
A sucessão a,n tem limite 21 portanto, todas as suas subsuccssões têm esse limite. Em particular, a subsucessão dos termos de índice par tem limite 2. Mas essa subsucessão é igual à sucessão u2k· Podernos afirmar que u2k tem limite 2.
(b) A subsucessão dos termos de índice ímpar de Un é a sucessão
U2k+l = 2k+{/1+2(-1)21.:+1 (2k+l) = 2k+{/1+2-(2k+l) = 2k+1 1 1 + z2k+1, k E N,
e lim ~L2k+1 = 1.
(c) Pelos resultados obtidos nas alíneas anteriores1
limun = 1 e limUn = 2.
1.4 Exercícios Resolvidos
(d) Dado que lim Un = 1 f. lim Un = 2 a sucessão Un não é convergente.
7. (a) Varr1Ós rnostrar, usando o Princípio de Indução IVIate1nática1 que
O < Un < 2, 'ln E N.
Para n = 1, a tür1nula é trivial:
Ü = v'o < V2 = U1 < J4 = 2.
Se adn1itirrnos (hipótese de indução) que a propriedade é válida para. n EN, então:
[O< Un < 2] =?[o= v'2.õ < vl2U;;: = un+l < v'2.2 = 2],
45
utilizando o facto da função f(x) = ../2X ser crescente. Logo a propriedade é válida para n+ 1. O Princípio de Indução Niate1nática permite-nos concluir que ela é válida para todo o n EN.
(b) Vamos mostrar que Un+l - Un > ol Vn E N.
De facto, para qualquer número natural n,
~ vl2U;;: - Un ~ 2un - u~ u,,.(2 - Un) Un+i-Un=v~·un-Un= ~ .(y2un+un)= ~ = ~ >0
y 2Un + Un y2Un + Un y4Un + Un
porque na alínea (a) vimos que Un >O e 2 - un >O. Logo a sucessão é crescente.
(c) Na alínea (a) vilnos que a sucessão é limitada e na alínea (b) demonstramos que ela é crescente, como toda sucessão monótona limitada é convergente podemos concluir que a sucessão de termo geral ·un é convergente.
(d) Seja l E IR, o limite da sucessão. Como toda subsucessão de uma sucessão convergenl;e é convergente para o mesmo li1nite1 é fácil ver que:
lim Un+l = l. n-=
Como a função f é contínua temos:
lirn Un+i = lim J(un) = J(l) = J2z. n->oo n->oo
Logo l satisfaz a equação l = v"il, da qual podemos deduzir que !2 - 2l = l.(l - 2) = O, ou soja, l E {O, 2}. Podemos excluir a solução l =O porque pela alínea (b) temos:
'ln E N, Un 2: U1 = V2 > O,
logo l 2: V2, o podemos concluir que o limito de u é l = 2.
8. (a) Como ..fi > 1, a função f definida por f(x) = ( ..fir é contínua em lfl. e é crescenl:e (lembramos que f(x) =ex. log(V2J).
Para n = 1, a fórmula é ~rivial: .,/2.::::; a1 = V2 < 2. Se ad1nitirmos que a propriedade é válida para n 1 utilizando o facto de f ser nina função crescente te1nos:
[V2 :"'. an < 2] =? [(h)V' = J(..fi) :"'. J(un) = an+l < J(2) = 2]. Utilizando novamente a monotonia de J temos:
e podemos concluir que a propriedade é válida para a ordem n + l. O Princípio de Indução Matemática está verificado logo:
..fi :"'. an < 2, 'ln E l.\l.
46 1. Noções Topológicas, Indução Niatcmática e Sucessões
(b) Va1nos mos tear, usando o Princípio de Indução i\1Iate1nática, que
Para n = 1, a fórn1ula é unia consequência dos cálculos da alínea (a):
Se ad1nit.irmos que a propriedade é válida para n E N1 então a validade da propriedade para n + 1 é uma consequência dirccta da monotonia de f:
Podemos concluir que a sucessão é crescente.
(e) Na alínea (a) virr1os que a sucessão é lirnitada e na alínea (b) demons trarno::; que ela é crescente; co1no toda a sucessão monótona limi1;ada é convergente podemos concluir que a sucessão de termo geral an é convergente. Seja l E lR o seu limite e consideremos A = { an : n E N} o contradomínio da sucessão. Pela alínea (a) temos:
A e [h, 2].
Como l é um ponto de acumulação de A e como [v'2, 2] é fechado temos que l E [v'2, 2], ou seja1 o resultado pedido: l ~ 2.
Nota: É possível calcular o valor de l. Vejamos algurnas indicações para o fazer. Primeiro, mostra-se que l satisfaz a equação ~ = log ( J2) e adivinha-se um valor possível de l. Depois estuda-se a monotonia e o contradomínio ela função g(x) = to;:i: definida no intervalo [.J2, 2] e conclui-se que a precedente equação tem uma 1ínica solução para l E [.J21 2].
9. (a) Para n = 1: x1 =a> O por hipótese, logo x1 > O.
I-Iipótese de indução: Xn > O
,.fese de indução: Xn+l > Ü
- Xn Demonstraçao: Tem-se que Xn+l = ---. Ora, por hipót;ese de indução, Xn > O, pelo que 2+xn
tambén1 2 + Xn > O. Temos então que Xn+l é o quociente de duas quantidades positivas, pelo que Xn+1 >O.
Então: pelo Princípio de Indução, provámos que Xn > O, \fn E N.
(b) Queremos mostrar que Xn+l - Xn <O para qualquer n EN. Ora
2+xn
Xn Xn-2Xn-X~ Xn+l - Xn = --- - Xn =
2+xn 2+xn
-Xn - X~ ---~=
já que, pela alínea (a), Xn >O para qualquer n EN.
Xn+x~ 2+xn
<O
(c) Uma vez que para qualquer n EN se tem Xn >O (alínea (a) e (xn) é uma sucessão monótona decrescente (alínea b) tem-se que O< Xn::;: x1, isto é, O< Xn :S a, para qualquer n EN. Por outras palavras, a sucessão de termo geral Xn é uma sucessão limitada. N[as toda a sucessão inonótona. e limitada é convergente: pelo que a sucessão é convergente.
Considere-se então que lim Xn = l. Note-se que necessariamente l 2: o pois Xn > o para todo nEN.
1.4 Exercícios Resolvidos 47
Xn Se a sucessão é convergente para l 1 tem-se t.ainbém limxn+l = l. Por outro lado1 é
2+xn convergente pois é o quociente de duas sucessões convergentes onde o denominador nunca se anula e tem limite diferente de zero.
Então
. • Xn • limxn l lim Xn+ 1 = hm --- <=> lim Xn+ 1 = j'
2 <=> l = --
2 + xn 1m +xn 2+l
l 21 + 12 - l l
2 + l 2 ( -t l ~l--=0~ =0~--=0~l +l=O l,.--2
2+1 2+1 2+l
~ l(l + 1) =O~ l =O V l = -1.
Mas a sucessão é de termos maiores ou iguais a zero, pelo que, o seu limite também é maior ou igual a zero. Portanto, lim Xn = O.
10. (a) Queremos mostrar que Xn+1-Xn 2 O para qualquer n E No. Ora, sen =Ovem X1 -xo =a> O.
11.
Se n 2 1 então Xn+l - Xn = Xn + X~-1 - Xn = X~-1 2 Ü.
(b) Vamos mostrar por indução que Xn > O, 'rfn E No.
Se n = O vem xo = a > O e está verificada a proposição.
I-Iipótese de indução: Xn > O
Tese de indução: Xn+l > O
Demonstração: Tem-se que Xn+l = Xn + x~-1 · Ora, por hipótese de indução, Xn > o) e sabemos que x;_ 1 2 O, portanto, Xn+l >O.
Então, pelo Princípio de Indução, provámos que Xn > O, 'Vn E No.
(c) Suponhamos que existe b E R tal que b = limx.n. Então1 todas as suas subsuccssões têm limite bc
b = limXn+i = lim(xn + x~_1 ) = b + b2
donde se conclui que b = O.
(d) Na alínea anterior provámos que se a sucessão fosse convergente, o seu limite seria zero. Mas sendo uma sucessão crescente de números positivos, podemos afirmar que o seu limite não é um número real. Como não é uma sucessão major ada pode1nos concluir que lim Xn = +co.
(a) Con1ecemos por analisar a diferença x2 - x1 para sabermos se a sucessão é n1onótona crescente Xl 1 1 1
ou decrescente. Como X2 - x1 = - + - - x1 = 1 + - - 2 = - - < O, pretendemos mostrar 2 X1 2 2
que a sucessão é decrescente1 isto é, Xn+l - Xn < 01 'Vn E N.
Xn 1 Xn 1 -x; + 2 Xn+l-Xn = -+- -Xn = --+- = -~--
2 Xn 2xn 2xn
Por hipótese, Xn > J2, 'rfn E N, portanto, -x; + 2 < O, 'rfn EN. Então Xn+l - Xn < O, 'Vn E N, provando-se assirn que a sucessão é n1onótona decrescente.
(b) Se uma sucessão é decrescente, o seu primeiro termo é o máximo do conjunto dos termos da sucessão, portanto, x1 = 2 2: Xn: 'rfn EN. Temos que Xn é limitada: ./2 < Xn ~ 2, Vn E N. Podemos concluir que Xn é convergente por ser monótona e linlitada.
48 1. Noções Topológicas, Indução Niatemática e Sucessões
(e) Seja a= Iimxn· Sendo convergente todas as suas subsucessões têm limite a e
. . Xn 1 a 1 a 2 + 1 a=hmxn+l =hm(-+-) = -+- = --.
2xn 2a 2a
Resolvendo a equação a =
que a= .,/2.
ª2+1 -- obtemos a = -.,/2 e a = .,/2.
2a Como Xn > v'2 concluímos
12. (a) Vamos mostrar por indução que Xn - v'3 2: O, Vn EN.
Se n = 1 vem X1 = 3 > v'3 e está verificada a proposição.
Hipótese de indução: Xn - v'3 2: O
Tese de indução: Xn+l - v'3 2: O
x 2 + 3 (xn - v'3)2
De1nonstração: Tem-se que Xn+l - J3 = _n __ - J3 = ~--~- Sabemos que Xn ~ v'3i 2xn 2xn
portanto, Xn > O, o que implica que Xn+1 - J3 2, O.
Entãol pelo Princípio de Indução: prová1nos que Xn - v'3 > ol 'r/n E N.
(b) Pretendcn1os mostrar que a sucessão é decrescente, isto é, Xn+I - Xn ::=; 01 \:ln E N. Comecemos x2 +3
por analisar a diferença x2 - x1: x2 - x1 = _n __ - x1 = -1 <O. Se n > 1 então 2xn
Por hipótese! Xn ~ J3, Vn EN, portanto, -x; +3 ::; 01 Vn EN. Então Xn+l - Xn :::; o) \ln E N, provando-se assim que a sucessão é inonótona decrescente.
(c) Se urna sucessão é decrescente, o seu primeiro termo é o máximo do conjunto elos termos da sucessão, portanto 1 x1 = 3 ;:::: Xn 1 'if'n E N. Temos que Xn é limitada: v'3 :::; Xn :::; 3, \ln E N. Podemos concluir que Xn é convergente por ser monótona e limitada.
(d) Seja a= limxn· Sendo convergente todas as suas subsuccssões têm limite a e
. . x; + 3 a2 + 3 a= lrmxn+l = hm--- = ---.
2xn 2a
a2 +3 Resolvendo a equação a = --- obtemos a = --Jã e a = J3. Como Xn ;:::: v'3 concluímos
2a que a= V3.