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Exercícios de Análise de Sinal
FEUP – DEEC
Setembro 2008
recolha de problemas de diversos autores
edição feita por:
H. Miranda, J. Barbosa (2000)
M.I. Carvalho, A. Matos (2003, 2006, 2008)
Conteudo
1 Complexos 3
2 Sinais 5
3 Sistemas 10
4 Sistemas lineares e invariantes em tempo discreto 12
5 Sistemas lineares e invariantes em tempo contınuo 15
6 Serie de Fourier em tempo contınuo 18
7 Transformada de Fourier em tempo contınuo 20
8 Analise de Fourier de SLITs contınuos 23
9 Serie de Fourier em tempo discreto 25
10 Transformada de Fourier em tempo discreto 27
11 Analise de Fourier de SLITs discretos 30
12 Transformada de Laplace 33
13 Transformada Z 35
14 Amostragem 36
Anexo 1 – Decomposicao em Fraccoes Simples 38
2
Folha 1
Complexos
1 Para o numero complexo z = x + jy = rejθ, exprima:
(a) r e θ em funcao de x e y
(b) x e y em funcao de r e θ
2 Usando a equacao de Euler, prove as seguintes relacoes:
(a) cos θ = 12(ejθ + e−jθ)
(b) sin θ = 12j (e
jθ − e−jθ)
(c) cos2 θ = 12(1 + cos 2θ)
3 Seja z0 um numero complexo de coordenadas polares (r0,θ0) e coordenadas cartesianas(x0,y0). Determine as expressoes das coordenadas cartesianas dos numeros complexosrepresentados a seguir. Represente ainda z0, z1, z2 e z3 no plano complexo quando r0 = 2e θ0 = π
4 .
(a) z1 = r0e−jθ0
(b) z2 = r0
(c) z3 = r0ej(θ0+π)
4 Sendo o numero complexo z = x + jy = rejθ, o numero complexo conjugado, representadopor z∗, e definido por: z∗ = x − jy = re−jθ. Mostre que as seguintes relacoes sao validas:
(a) zz∗ = r2
(b) zz∗ = e2jθ
(c) z + z∗ = 2<ez(d) z − z∗ = 2j =mz
5 Exprima cada um dos seguintes numeros complexos em coordenadas rectangulares e po-lares e represente-o no plano complexo:
(a) 3+4j1−2j
(b) 2j (1+j)2
(3−j)
3
(c) je1+j π2
(d) (1 − j)9
(e)√
2ejπ/4 − 1+2j3−j
(f) (1+√
3j)6
3+4j
6 Represente graficamente o modulo e a fase de cada uma das seguintes funcoes complexasde variavel real:
(a) f(x) = cos(x)
(b) g(x) = cos(x)e−jx
(c) h(t) = sin(2t) ejt
(d) S(ω) = (1 + cos(2ω)) e−j3ω
7 Prove a validade das seguintes expressoes:
(a)
N−1∑
n=0
αn =
N , α = 11−αN
1−α , α 6= 1
(b)∞
∑
n=0
αn =1
1 − α, |α| < 1
(c)∞
∑
n=0
nαn =α
(1 − α)2, |α| < 1
(d)∞
∑
n=k
αn =αk
1 − α, |α| < 1
8 Determine o valor de:
(a)∞
∑
n=0
(
1 − j
2
)n
(b)∞
∑
n=6
(
1 + j
2
)n
(c)∞
∑
n=0
n
(
1 + j
2
)n
(d)20
∑
n=6
(1 − j)n
4
Folha 2
Sinais
1 Considere os sinais x(t) e y(t) da figura
1
1 2 3 4−1
x(t)
t
1
−1
1 2 3−1−2
y(t)
t
Determine e esboce os sinais
(a) 2x(t)
(b) x(t) − 2y(t)
(c) x(t)y(t)
(d) x(t − 2) + 2y(t)
(e) ty(t)
(f) y(t)u(t)
(g) 3x(2t)u(t − 1)
2 Considere o sinal x(t) representado a seguir.
t
x(t)
−1 1 2 3
1
2
−1
(a) Represente x(t − 2).
(b) Represente x(1 − t).
5
3 O sinal h(t) esta representado na seguinte figura.
−1 1
1
2−2
h(t)
t
(a) Represente h(2 − 2t).
(b) Calcule a energia de h(t).
4 Considere o sinal z(t) representado na figura seguinte.
1
2
1 2 3 4−1−2−3−4
z(t)
t
(a) Represente o sinal z(
2 − t2
)
.
(b) Calcule a energia de z(t).
5 x[n] e um sinal discreto ilustrado a seguir.
−1 1
1
2−2
x[n]
−3 3 4 5 6 n
(a) Represente x[n − 2].
(b) Represente x[2n].
(c) Represente x[2 − 2n].
(d) Calcule a energia de x[n].
6 Considere o sinal x[n] representado na seguinte figura.
6
−1
2 3 4
2
x[n]
1
1
−2
n5 6
−6 −5 −4 −3 −2 −1
Represente x[n + 1](u[n + 3] − u[−n]) em que u[n] e o degrau unitario discreto.
7 Faca a decomposicao em parte par e parte ımpar dos seguintes sinais:
(a)
−1 1
1
−2 t
x(t)
(b)
−1 1
1
2−2−3 3 4
2
3
x[n]
n5 6−4
(c)
1
2
−1
1 2 3−1
z(t)
t
8 Conhecendo a parte par de x[n], xP [n], e sabendo que x[n] = 0 para n < 0, determine x[n].
7
−1 1 2−2−3 3 4 5−4
xp[n]
1
1
81
16
−5 n
1
4
9 Conhecendo a parte par de x(t), xP (t), e sabendo a forma de x(t + 1)u(−t − 1), deter-mine x(t).
−1 1
1
t
xp(t)
−1
1
x(t + 1)u(−t − 1)
−2 t
10 Conhecendo a parte ımpar de x[n], xi[n], e sabendo a forma de x[−n+1]u[n−1], determinex[n].
1
2
−1
−2
xi[n]
n
1
2
−1
−2
x[−n + 1]u[n − 1]
n
11 Calcule, para o sinal periodico v(t) representado a seguir:
t
A
v(t)
1−1
(a) o valor medio: 〈v(t)〉;(b) a potencia: 〈v2(t)〉;(c) o valor eficaz: vRMS ;
(d) a componente alternada: vAC(t).
8
12 Determine o valor medio, a potencia, o valor eficaz e a componente alternada dos seguintessinais periodicos:
(a) v1(t) = sin(t)
(b)
t
A
v2(t)
T
−A
(c)
1
−1
1 2 3 4
v3(t)
t
9
Folha 3
Sistemas
1 Considere um sistema S com entrada x[n] e saıda y[n], que e constituıdo pela ligacaoem serie de um subsistema S1 seguido por um subsistema S2. Estes dois subsistemascaracterizam-se pelas seguintes relacoes entrada-saıda:
S1 : y1[n] = x1[n] + 2x1[n + 1]
S2 : y2[n] = x2[n − 3] − 4x2[n − 1]
(a) Determine a relacao entrada-saıda para o sistema composto S.
(b) Esta relacao sera alterada se a ordem dos dois subsistemas em serie for modificada?
2 Considere um sistema S composto por tres subsistema como indica a figura.
S1
S2
S3
x(t) y(t)
As relacoes entrada-saıda dos tres subsistemas sao, respectivamente:
S1 : y1(t) = tx1(t)
S2 : y2(t) = x2(t − 1)
S3 : y3(t) = x3(−2t).
(a) Determine a relacao entrada-saıda do sistema composto.
(b) Determine e esboce a saıda y(t) quando x(t) = u(t) − u(t − 1).
3 Considere o sistema S de entrada x(t) e saıda y(t) caracterizado por
y(t) =
∫ t
−∞x(s)ds.
Determine e esboce y(t) quando a entrada do sistema e
(a) x(t) = δ(t + 1) − 2δ(t − 1)
(b) x(t) = u(t + 2) − u(t − 1)
10
(c) x(t) = tu(t)u(1 − t)
4 Classifique os sistemas seguintes relativamente as qualidades de ter ou nao memoria, in-variancia no tempo, linearidade, causalidade e estabilidade.
(a) y(t) = ex(t)
(b) y[n] = x[n]x[n − 1]
(c) y(t) = x(t − 1) − x(1 − t)
(d) y[n] = x[2n]
5 Classifique cada um dos seguintes sistemas com entrada x e saıda y quanto a linearidadee invariancia no tempo
(a) y(t) = t2 x(t − 1)
(b) y[n] = x2[n − 2]
(c) y[n] = x[n + 1] − x[n − 1]
(d) y(t) = xi(t), onde xi(t) e a parte ımpar de x(t).
6 Considere um sistema em tempo contınuo de entrada x(t) e saıda y(t) = xp(t) (parte parde x(t)). Verifique quais as propriedades que este sistema possui.
7 Em cada caso identifique um sistema com as propriedades indicadas. Caso nao sejapossıvel, indique a razao.
(a) linear, em tempo discreto, estavel, com memoria e causal;
(b) nao causal e sem memoria;
(c) linear, instavel e sem memoria;
(d) nao linear, nao causal e invariante.
11
Folha 4
Sistemas lineares e invariantes em
tempo discreto
1 Considere um sistema linear e invariante no tempo para o qual a resposta ao sinal x[n] eo sinal y[n].
1
−1
x[n]
n−1 1
2 3
4
1
−1
y[n]
n−1
1 2
3 4
Determine a resposta deste sistema as entradas x1[n] e x2[n].
1
−1
x1[n]
n−3 −2 −1 1
2 3
4
1
2
−1
x2[n]
n−1 1
2 3 4 5
6
2 (a) Exprima o sinal da figura a custa de δ[n] e suas copias deslocadas.
1
2
−1
w[n]
n−2 −1
1 2
3
12
(b) Sabendo que a resposta de um sistema LTI a entrada δ[n] e um sinal h[n], determinea resposta z[n] deste sistema a entrada w[n].
(c) Sendo h[n] o sinal da figura, esboce z[n].
1
−1
h[n]
n−2
−1
1
2
3
3 Sabendo que a resposta de um SLIT a entrada δ[n] e(
12
)nu[n], determine a resposta do
sistema a entrada u[n].
4 Sabendo que a resposta de um SLIT a entrada u[n] e s[n] =(
13
)nu[n], determine a resposta
impulsional do sistema.
5 Calcule a convolucao y[n] entre os sinais x[n] e h[n] representados a seguir:
(a)
1
1 2 3 4−1
x[n]
n
1
−11 2 3−1−2
h[n]
n
(b)
−1 1
1
2−2−3 3
2
−4 n
x[n]
−1 1
1
2−2 3 4 5 6 n
h[n]
(c)
13
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12−1
x[n]
n
1
1 2 3−1
h[n]
n
6 Calcule (αnu[n]) ∗ (βnu[n]).
7 Considere um sistema linear e invariante em tempo discreto com resposta impulsionalh[n] =
(
12
)nu[n].
(a) O sistema e estavel? E tem memoria?
(b) Calcule a saıda do sistema quando a sua entrada e o sinal x[n] = u[n + 2]− u[n− 3].
8 Considere o sinal x[n] = 0.8nu[n] aplicado a entrada de um SLIT com resposta impulsionalh[n] = u[n + 1] − u[n − 2].
(a) Indique se este sistema e ou nao causal e estavel.
(b) Calcule o sinal de saıda do sistema.
14
Folha 5
Sistemas lineares e invariantes em
tempo contınuo
1 Considere um sistema linear e invariante no tempo para o qual a resposta ao sinal x(t) eo sinal y(t).
1
21 t
x(t)
1
21
y(t)
t
2
3 4
Calcule as respostas do sistema aos sinais x1(t) e x2(t).
1
t21
−1
3 4
x1(t)
21 t
2
1
−1
x2(t)
2 Em cada um dos casos, determine a convolucao entre os sinais indicados.
(a)
1
1−1
x(t)
t
1
1
h(t)
t
(b)
15
1−1
−1
v1(t)
t
21
2
t
v2(t)
3
1
3
(c)
1
1−1
x(t)
t
1
1
h(t)
t
(d)
1−1
1
v1(t)
t 1−1
v2(t)
t
1
2 3
3 Em cada caso determine y(t) = x(t) ∗ h(t):
(a) x(t) = e−2tu(t), h(t) = 3u(t).
(b) x(t) = e−2tu(t), h(t) = e−3tu(t).
(c) x(t) = e−2tu(t)u(4 − t), h(t) = u(t)u(3 − t).
(d) x(t) = cos(πt)u(t)u(1 − t), h(t) = u(t + 1)u(1 − t).
(e) x(t) = h(t) = sin(t)u(t).
4 Considere um sistema contınuo LTI, de entrada x(t), saıda y(t) e com resposta impulsionalh(t) = u(t) − u(t − 4).
(a) Este sistema e causal? E tem memoria? Justifique as respostas.
(b) Sabendo que x(t) = e−2tu(t) determine y(t).
5 Dois sistemas contınuos LTI, S1 e S2, com respostas impulsionais, respectivamente, h1(t)e h2(t) representadas na figura, sao ligados em serie para formar um sistema composto.
1
−1
1−1
h1(t)
t
1
1 2
h2(t)
t
(a) Determine e represente graficamente a resposta impulsional h(t) do sistema composto.
16
(b) Indique se o sistema composto e:
i. causal;
ii. estavel.
17
Folha 6
Serie de Fourier em tempo contınuo
1 Calcule os coeficientes da serie de Fourier dos seguintes sinais.
(a)
1
2
1 2 3 4 5−1−2−3
x(t)
t
(b)
1
−1
1 2 3 4−1−2
x(t)
t
2 Considere o sinal x(t) de perıodo 3, tal que x(t) = et, t ∈ [0, 3].
(a) Esboce x(t).
(b) Determine a expressao geral dos coeficientes da serie de Fourier de x(t).
3 Determine os coeficientes da serie de Fourier dos sinais
(a) x(t) = sin(2πt/T );
(b) y(t) = cos(2πt/T ).
4 Calcule os coeficientes da serie de Fourier do sinal v(t) =∣
∣sin(
2πT t
)∣
∣.
5 Os coeficientes da serie de Fourier de um sinal periodico x(t) com perıodo 4 sao
ak =
j k, |k| < 3
0, outros casos
18
Determine x(t).
6 Calcule a serie de Fourier do sinal v(t), representado a seguir.
t
1
v(t)
T−T T2
−T2
7 (a) Mostre que o sinal v(t)
v(t)
T1−T1 t
1
−T0
2T0
2T0−T0
tem como serie de Fourier v(t) =2T1
T0+
+∞∑
k=1
2 sin(kω0T1)
kπcos(kω0t), ω0 =
2π
T0.
(b) Atendendo a serie de Fourier de v(t), determine a serie de Fourier de:
i.
tT1−T1
v1(t)12−T0
2T0
2
−T0 T0
− 12
ii.
T1−T1 t−T0
2T0
2T0−T0
v2(t)
T1
2−T1
2
1
2
8 Determine os sinais x(t) que satisfazem simultaneamente as seguintes condicoes:
(a) x(t) e um sinal real;
(b) x(t) tem perıodo 4, e coeficientes da serie de Fourier ak;
(c) ak = 0, |k| > 1;
(d) o sinal y(t) com coeficientes de Fourier bk = e−jkπ/2a−k e real e ımpar;
(e) 14
∫ 40 |x(t)|2dt = 1
2 .
19
Folha 7
Transformada de Fourier em tempo
contınuo
1 Calcule a transformada de Fourier dos seguintes sinais:
(a) x(t) = δ(t − 4).
(b)
1
1 2−1−2
x(t)
t
(c)f(t)
−T t
1
(d) f(t) = A
(e) f(t) = ejω0t
(f) f(t) = u(t)
(g) f(t) = u(t − 1) − u(t − 3)
(h) f(t) = cos(
2πT t
)
[u(t + T ) − u(t − T )]
(i) f(t) e periodico (perıodo T0)f(t)
−T1
1
tT0−T0 T1
(j)f(t)
1
−2 −1 t1
20
2 Sendo X(ω) a transformada de Fourier de x(t), exprima em funcao de X(ω) as transfor-madas dos seguintes sinais:
(a) x0(t) = x(2t)
(b) x1(t) = x(3t − 6)
(c) x2(t) = x(−3t − 6)
(d) x3(t) = d2
dt2x(t − 1)
(e) x4(t) = 2 d2x(t)dt2
+ 3 dx(t)dt − 5x(t)
(f) x5(t) = ej2tx(t)
(g) x6(t) = cos(3t)x(t)
(h) x7(t) = ej3tx(2t + 1)
3 O sinal f(t) tem a transformada de Fourier da figura.
ω1
∠F (ω)
1
2|F (ω)|
ω0−ω0
1
ω
Obtenha f(t) recorrendo as propriedades da transformada de Fourier.
4 Diga, com base na respectiva transformada de Fourier, se os sinais seguintes sao reais epares:
(a) X1(ω) = u(ω) − u(ω − 2)
(b) X2(ω) = A(ω)ejB(ω), em que A(ω) = sin(2ω)ω e B(ω) = 2ω + π
2
5 Sabendo que X(ω) = 21+ω2 e a transformada de Fourier do sinal x(t) = e−|t|, calcule a
transformada de Fourier do sinal te−|t|.
6 Determine a fase da transformada de Fourier do sinal representado na figura.
x(t)
t− 1
2
1
2
− 3
2
1
−1
7 Determine a parte imaginaria da transformada de Fourier do sinal da figura. (Sugestao:utilize as propriedades da transformada de Fourier.)
21
1
2
1 2 3 4−1−2−3−4
x(t)
t
8 Determine a transformada de Fourier de
(a) x(t) = e−|t|;
(b) y(t) = 21+t2
.
22
Folha 8
Analise de Fourier de SLITs
contınuos
1 Considere os SLITs caracterizados pelas seguintes respostas em frequencia. Determine,em cada caso, a saıda do sistema quando a entrada e o sinal x(t) = cos(t) + cos(
√3t).
(a) H(ω) = 1jω+1 ;
(b) H(ω) = 1jω ;
(c) H(ω) = jω;
(d) sistema passa baixo ideal com frequencia de corte ωc = 1.5;
(e) sistema passa alto ideal com frequencia de corte ωc = 2.
2 Considere o sinal periodico representado na figura.
1
2
1 2 3 4 5 6−1−2−3
x(t)
t
(a) Determine a expressao geral dos coeficientes ak do desenvolvimento em serie deFourier de x(t).
(b) Considere agora que x(t) e a entrada de um filtro passa-baixo ideal com frequenciade corte ωc = 2. Determine o sinal de saıda y(t) deste filtro.
3 Um dado sistema e caracterizado pela equacao diferencial
d2y(t)
dt2+ 4
dy(t)
dt+ 3y(t) =
dx(t)
dt+ x(t)
onde x(t) e a entrada do sistema e y(t) a saıda. Determine
(a) a resposta em frequencia do sistema;
(b) a resposta impulsional do sistema;
(c) a saıda do sistema quando x(t) = e−2t u(t).
23
4 Dois sistemas contınuos LTI, com respostas impulsionais h1(t) = e−2tu(t) e h2(t) =e−3tu(t), sao ligados em serie para constituırem um sistema composto, de resposta im-pulsional h(t).
(a) Determine a resposta impulsional h(t).
(b) O sistema composto pode ser descrito por uma equacao diferencial linear de coefi-cientes constantes. Determine-a.
(c) Determine o sinal de saıda do sistema composto quando o sinal de entrada e x(t) =e−2tu(t).
5 Considere um sistema contınuo LTI com resposta em frequencia
H(ω) =1
(jω)2 + 2√
2(jω) + 1+
1
(2 + jω)2.
(a) Determine a resposta impulsional do sistema.
(b) Determine um equacao diferencial linear de coeficientes constantes que relaciona aentrada x(t) e a saıda y(t) deste sistema.
6 Considere a associacao em serie de dois sistemas lineares e invariantes em tempo contınuo
S1 e S2, com entrada x(t) e saıda z(t). A resposta em frequencia de S1 e H1(ω) = 3+jω2+jω e
a resposta impulsional de S2 e h2(t) = e−3tu(t). Determine:
(a) a resposta em frequencia da serie dos dois sistemas;
(b) a equacao diferencial que relaciona a entrada x(t) e a saıda z(t);
(c) a saıda z(t) quando x(t) = e−3tu(t).
7 Considere o SLIT constituıdo pela seguinte associacao dos sub-sistemas S1, S2 e S3, car-acterizados, respectivamente por h1(t) = e−3tu(t), h2(t) = h1(t), H3(ω) = 2
jω+1 .
S1
S2
S3
x(t) y(t)
(a) Determine a resposta em frequencia, H(ω), do sistema global.
(b) Obtenha uma equacao diferencial que relaciona os sinais de entrada, x(t), e de saıda,y(t), do sistema global.
(c) Determine a resposta impulsional, h(t), do sistema global.
24
Folha 9
Serie de Fourier em tempo discreto
1 Determine os coeficiente da serie de Fourier dos seguintes sinais:
(a) x[n] = sin(
2πn5
)
;
(b) x[n] = δN [n] =∑+∞
m=−∞ δ[n − mN ];
(c) x[n] = 4δ4[n] + 8δ4[n − 1] =∑+∞
m=−∞ (4δ[n − 4m] + 8δ[n − 1 − 4m]).
2 Considere o sinal periodico representado na figura.
1
−1
x[n]
n
−4
−3 −2
−1
1
2
3 4
5
6 7
(a) Calcule os coeficientes da serie de Fourier do sinal.
(b) A partir destes coeficientes, determine a expressao temporal do sinal.
3 Considere um sinal x[n] real e ımpar de perıodo N = 7. Sabendo que os coeficientes deFourier a15, a16, a17 tem os seguintes valores:
a15 = j; a16 = 2j; a17 = 3j
Determine os coeficientes a0, a−1, a−2 e a−3.
4 Seja x[n] um sinal real e par, de perıodo N = 6 e com valor medio 1. Deste sinal saoconhecidos os seguintes coeficientes da sua expansao em serie de Fourier: a7 = −1, a4 = 0e a9 = 2.
(a) Determine a0, a1, a2, a3 e a5.
(b) Determine e represente o sinal x[n].
5 Considere o sinal x[n], que e real e par e tem perıodo 4. Este sinal tem x[0] = A, x[1] = Be x[2] = C.
25
(a) Supondo que A = 4, B = 2 e C = 0, determine
i. os coeficientes ak da sua serie de Fourier;
ii. a expressao do sinal.
(b) Admitindo agora que a11 = 1 e a10 = −1 e que 〈x[n]〉 = 0, determine A, B e C eesboce o sinal.
6 Determine o sinal x[n] que verifica simultaneamente as seguintes condicoes:
(a) x[n] e real e par e tem perıodo 6;
(b)∑5
n=0 x[n] = 2;
(c)∑7
n=2(−1)nx[n] = 1;
(d) x[0] = 5/2;
(e) a1 = 0.
26
Folha 10
Transformada de Fourier em tempo
discreto
1 Considere o sinal discreto da figura.
1
−1
x[n]
n−2 −1 1
2
3
(a) X(Ω).
(b) Represente graficamente |X(Ω)| e ∠X(Ω).
(c) Obtenha x[n] a partir de X(Ω).
2 Calcule a transformada de Fourier dos seguintes sinais:
(a) x1[n] = δ[n − 1] + δ[n + 1]
(b) x2[n] =(
12
)n−1u[n − 1]
(c) x3[n] = a|n|, |a| < 1
(d) x4[n] =
1, |n| ≤ M
0, |n| > M
(e) x5[n] = cos(2πn/5)
(f) x6[n] = δN [n] =∑+∞
l=−∞ δ[n − lN ]
3 Calcule a transformada de Fourier do sinal da seguinte figura:
−1 1
1
2−2
x[n]
−3 3 4 5 6 n
27
4 Calcule a transformada de Fourier do sinal da figura e represente-a em modulo e fase.
−1 1
1
2−2
x[n]
3 4 5 6 n
5 Considere o sinal s[n] da figura.
1
−1
−2
s[n]
n−2 −1
1
2 3 4
(a) Determine S(Ω).
(b) Represente o modulo e a fase de S(Ω).
(c) Considere o sinal z[n] que e constituıdo pela repeticao de s[n] com perıodo N = 12.Determine o valor do coeficiente a15 da sua expansao em serie de Fourier.
6 Considere o sinal da figura.
1
2
x[n]
n−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
(a) Determine X(Ω).
(b) Considere o sinal y[n], com coeficientes de Fourier ak, o qual e obtido por repeticaode x[n] com perıodo N = 8.
i. determine a relacao entre a1 e a7, sem calcular estes valores;
ii. obtenha ak;
iii. determine e esboce Y (Ω).
7 Calcule a transformada inversa de X(Ω):
X(Ω) =
2j , 0 < Ω ≤ π−2j , −π < Ω ≤ 0
28
8 Sabendo que x[n] tem como transformada de Fourier X(Ω), calcule as transformadas dosseguintes sinais em funcao de X(Ω):
(a) x1[n] = x[1 − n] + x[−1 − n]
(b) x2[n] = (n − 1)2x[n]
29
Folha 11
Analise de Fourier de SLITs
discretos
1 Um SLIT de entrada x[n] e saıda y[n] e descrito pela equacao y[n] − 0.25y[n − 1] = x[n].Determine os coeficientes da serie de Fourier do sinal de saıda e a sua expressao quando aentrada e:
(a) x[n] = sin(
3πn4
)
;
(b) x[n] = cos(
πn4
)
+ 2 cos(
πn2
)
;
2 Considere os SLITs caracterizados pelas seguintes respostas em frequencia. Determine emcada caso a saıda do sistema quando a entrada e o sinal x[n] = cos
(
πn5
)
+ cos(
2πn5
)
.
(a) sistema passa baixo ideal com frequencia de corte π/3;
(b) sistema passa alto ideal com frequencia de corte π/2.
3 Repita a alınea (a) do exercıcio anterior, considerando agora o sinal de entrada da figura.Esboce o sinal de saıda.
1
x[n]
n−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7
4 Um sistema discreto LTI e caracterizado pela equacao
8y[n] − 6y[n − 1] + y[n − 2] = 3x[n] − x[n − 1]
onde x[n] e a entrada do sistema e y[n] a saıda. Determine
(a) a resposta em frequencia do sistema;
(b) a resposta impulsional do sistema;
(c) a saıda do sistema quando a entrada e x[n] =(
13
)nu[n].
30
5 Considere os sinais
1
−1
−2
s[n]
n−2 −1
1
2 3 4
1
2
1 2 3 4 5−1
x[n]
n
(a) Sabendo que s[n] e a resposta indicial de um sistema discreto LTI, determine a suaresposta impulsional.
(b) Admitindo que x[n] e a entrada do referido sistema, determine a sua saıda.
6 A resposta em frequencia de um sistema discreto LTI e
H(Ω) =6
(
5 − 2e−jΩ)
e−j2Ω − 5e−jΩ + 6.
Determine
(a) uma equacao as diferencas que relacione a entrada e a saıda do sistema;
(b) a resposta impulsional do sistema;
(c) a resposta indicial do sistema;
(d) a saıda y[n] quando a entrada e x[n] =(
14
)nu[n].
7 Considere um sistema discreto descrito pela seguinte equacao as diferencas:
y[n] = x[n] − x[n − 8]
Represente graficamente a sua resposta em frequencia.
8 Considere um sistema S obtido como a associacao em paralelo dos sub-sistemas S1 e S2.O sistema S e caracterizado pela resposta em frequencia
H(Ω) =19e−j2Ω − 7
6e−jΩ + 2(
19e−j2Ω − 2
3e−jΩ + 1) (
1 − 12e−jΩ
) ,
e a resposta impulsional de S1 e h1[n] =(
12
)nu[n].
(a) Determine a reposta em frequencia de S2.
(b) Obtenha a resposta impulsional de S2.
(c) Sabendo que a entrada do sistema S e o sinal x[n] =(
12
)nu[n], determine as saıdas
dos subsistemas S1 e S2, bem como a saıda do sistema S.
9 Considere a associacao em serie de dois sistemas lineares e invariantes em tempo discretoS1 e S2, como se mostra na figura.
1S 2S x[n] y[n] z[n]
31
A entrada e a saıda do sistema S1 estao relacionadas por y[n] + 0.5y[n − 1] = x[n], e aresposta em frequencia do sistema S2 e
H2(Ω) =1 + 0.5e−jΩ
1 − 0.25e−jΩ.
(a) Determine as respostas impulsionais dos sistemas S1 e S2.
(b) Obtenha uma equacao as diferencas que relacione x[n] com z[n].
(c) Determine z[n] quando x[n] =(
13
)nu[n].
32
Folha 12
Transformada de Laplace
1 Diga qual e a regiao de convergencia da transformada de Laplace dos seguintes sinais:
(a) x1(t) = e−5tu(t)
(b) x2(t) = e−5tu(−t)
(c) x3(t) = e−5t[u(t + 5) − u(t − 5)]
(d) x4(t) = e−5t
(e) x5(t) = e−5|t|
(f) x6(t) = e−5|t|u(−t)
2 Considere o sinal x(t) = e−5tu(t) + e−βtu(t) que tem a transformada de Laplace X(s).Quais deverao ser as restricoes impostas a parte real e a parte imaginaria de β para que aregiao de convergencia de X(s) seja <es > −3?
3 Quantos sinais tem uma transformada de Laplace que pode ser expressa por:
X(s) =s − 1
(s + 2)(s + 3)(s2 + s + 1)?
4 Considere a seguinte transformada de Laplace do sinal h(t):
H(s) =2s + 5
s2 + 5s + 6<es > −2.
(a) Determine h(t).
(b) Sendo h(t) a resposta impulsional de um SLIT, determine a equacao diferencial queo caracteriza.
(c) A que e igual a transformada de Laplace do sinal s(t) =∫ t−∞ h(τ)dτ?
5 Um SLIT contınuo tem uma funcao de sistema (transformada de Laplace da respostaimpulsional) com expressao funcional dada por
X(s) =s2 + 5s + 4
(s2 + 4s + 5)(s − 1).
(a) Represente o diagrama de polos e zeros da funcao de sistema.
33
(b) Qual deve ser a regiao de convergencia de X(s) para que o sistema tenha resposta emfrequencia definida (isto e, exista a transformada de Fourier da resposta impulsional)?
(c) Determine o valor do modulo da resposta em frequencia, para ω = 1, a partir dodiagrama de polos e zeros de X(s).
6 O sinal f(t) =
t2, |t| ≤ 1
0, |t| > 1tem transformada de Laplace dada por
F (s) =s2 + 2
s3
(
es − e−s)
− 2
s2
(
es + e−s)
.
(a) Qual e a regiao de convergencia?
(b) Qual e a transformada de Laplace do sinal y(t) =∫ t−∞ f(2τ)dτ?
34
Folha 13
Transformada Z
1 Calcule a transformada Z do seguinte sinal:
x[n] =
(
1
5
)n
u[n − 3].
2 Considere a seguinte transformada Z:
X(z) =1 − 1
4z−2
(
1 + 14z−2
) (
1 + 54z−1 + 3
8z−2) .
Represente os polos e os zeros no plano z e diga quantas regioes de convergencia se podemdefinir.
3 Considere o sinal x[n] com a seguinte transformada Z
X(z) =z
4z2 − 5z + 1, |z| > 1.
(a) Determine x[n].
(b) Determine a transformada Z do sinal y[n] =∑n
k=−∞ x[k − 1].
4 Um SLIT discreto e caracterizado pela seguinte equacao as diferencas:
y[n] + 2.5y[n − 1] + y[n − 2] = x[n] − x[n − 1].
(a) Determine a funcao de transferencia do sistema, H(z).
(b) Represente o diagrama de polos e zeros de H(z).
(c) Que regiao de convergencia se deve associar a H(z), sabendo que h[n] tem transfor-mada de Fourier?
35
Folha 14
Amostragem
1 Considere o sinal x(t) com espectro X(ω) = u(ω + ω0) − u(ω − ω0), o qual e amostrado afrequencia ωs. Esboce o espectro do sinal amostrado quando
(a) ωs = 3ω0;
(b) ωs = 1.5ω0.
2 Considere um sinal x(t) com frequencia de Nyquist ωN . Indique a frequencia de Nyquistdos seguintes sinais:
(a) 3x(t)
(b) x(t − 3)
(c) x(3t)
(d) x(2t + 1)
(e) x(t) ∗ x(t) ∗ x(t)
(f) x3(t)
(g) x(t) sin(2ωN t)
3 Determine a frequencia de Nyquist para os seguintes sinais
(a) cos(20πt)
(b) 1 + sin(30πt) + 3 cos(50πt)
(c) cos2(100πt)
(d) sinc(50t)
(e) sinc(20t) sin(50πt)
(f) sinc2(20t)
(g) sinc(t/4) ∗ δ20(t)
(h) sinc(t)δ0.1(t)
4 Considere o sinal x(t) = 10 cos(20πt).
(a) Suponha que este sinal e amostrado a frequencia angular ωs = 50π.
i. Determine o espectro do sinal amostrado.
36
ii. Obtenha a expressao temporal e o perıodo do sinal em tempo discreto formadopelas amostras de x(t).
iii. Determine o sinal que se obtem passando o sinal amostrado por um filtro passabaixo ideal com ganho unitario e frequencia de corte igual a metade da frequenciade amostragem.
(b) Repita a alınea anterior considerando agora uma frequencia (angular) de amostragemde 30π.
37
Anexo 1
Decomposicao em Fraccoes Simples
Dada uma funcao G(x), fraccao propria de dois polinomios, e supondo que o denominador temraızes ρ1, ρ2, . . ., ρr, distintas, e de multiplicidade σ1, σ2, . . ., σr, respectivamente, ou seja,
G(x) =P (x)
(x − ρ1)σ1(x − ρ2)σ2 · · · (x − ρr)σr,
e possıvel escreve-la como uma soma de fraccoes, na forma
G(x) =r
∑
i=1
σi∑
k=1
Ai,k
(x − ρi)k,
isto e,
G(x) =A1,1
x − ρ1+
A1,2
(x − ρ1)2+ · · · + A1,σ1
(x − ρ1)σ1+
+A2,1
x − ρ2+
A2,2
(x − ρ2)2+ · · · + A2,σ2
(x − ρ2)σ2+
+ · · ·+Ar,1
x − ρr+
Ar,2
(x − ρr)2+ · · · + Ar,σr
(x − ρr)σr,
sendo os coeficientes Ai,k determinados pela expressao
Ai,k =1
(σi − k)!
[
dσi−k
dxσi−k[(x − ρi)
σi G(x)]
]
∣
∣
x=ρi
.
1 Decomponha as seguintes funcoes em fraccoes simples.
(a) H(x) = x(x−2)(x−3)
(b) F (x) = x+1x2−5x+4
(c) F (x) = 1(x−3)2(x−1)
(d) G(x) = 1(x−1)3(x+2)
(e) H(x) = x(1−3x)(1−2x)
(f) H(x) = 2x−5(1−3x)2(1−2x)
38