UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS

DEPARTAMENTO DE GEOTECNIA

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE

ESTABILIDADE DE TALUDES

GENE STANCATI

SÃO CARLOS, 1979 PUBLICAÇÃO 023/94

REIMPRESSÃO

..

I

I ~~

~ ~ I t

•

-1-

ESTABILIVAVE VE TALUVES - MtTOVO VO TALUVE INFINITO

Exe~eZelo de Aplleac~o:

Para o talude abaixo, de comprimento infinito, determinar

qual as relações entre _a altura H e o ângulo de inclinação, i,

que podem provocar o seu deslizamento quando o solo estiver sa-

turado.

Sabe-se que

T 0 , 5 + C5 tg 20° t/m 2 =

2 t/m 3

Ysat =

1,8 t/m 3

Ynat =

Admitir o fluxo paralelo ao talude .

. , solo

i

rocha

-2-

.Solução: ---

Admitindo-se que o deslizamento ocorra para FS = 1, ou seja,

quando as forças de resistência se igualam as atuantes, teremos ,

para um elemento isolado do talude submerso

T b (Resistência disponível) o

• f

'

\

,- -;; •

L

Para · FS = 1,

c+

Ysat

Ou,

H = cos 2i

Ou ainda,

H =

então

Ysub H 2. cos 1 tg <I>

H sen i cos1

c

(y sat tg i -

c

Ysat (tgi -

Ysub

Ysub

Ysat

Para os dados fornecidos:

H = 0,5

i = 10,3 H = Cl)

i = 12,5 H = 6,61

i = 15 H = 3,12

i = 17,5 H = 2,06

i = 20 H = 1,56

i = 25 H = 1,07

i = 30 H = 0,84

-3-

tg</>)

tg</>)

0,25 =

cos 2 i (tg i - 0,182)

H(m)

8

.7

6

5

4

3

2

1

-4-

10 20 30

-5-

ESTABILIVAVE VE TALUVES - MtTOVO VE CULMANN

Exe~eleio de Apiieação:

Para o talude abaixo indicado, admitindo-se que haja

uma fenda de tração de 2,00 m de profundidade em toda a exte~

são do terrapleno, totalmente preenchida com igua, conformei~

dicado na seção, determinar o coeficiente de segurança global

ao e~corregamento para diversas local izaç~es da fenda.

4,00

8,0

2,00

0,0 y = 1,90 t7m3

T = 2,0 + cr tg 20° (t/m2 )

Escala: 1:100

Solução:

A

a l ~ Etapa -

X

. -6-

EA = 2 t/rn h

Cálculo do empuxo resultante da coluna de agua que

preenche a fenda.

Da distribuição de pressao de água, EA = 2 t/m, c_!e.,

qualquer que seja a posição da fenda.

... 1 • . •

-7-

2~ Etapa - Determ i nar os diversos valores de:

AB = comprimento da cunha de escorregamento

P = peso da cunha de terra

e =ângu l o que a cunha faz com a horizontal' pa­

ra diversos valores de x

A' "6' "{!>l ~

X· AB p e

(m) (m) ( t) (o)

2 8,49 26,6 45,0

4 • 1 o ' o 45,6 36,9

6 1 1 '6 5 64,6 31

A res~stincia do solo devido a coesio e atrito dar-se-â ap~

n a s a o 1 o n g o da c u n h a A B , u ma v e z q u e a f e n d a i s o 1 o u o mate r i a 1 ,

'; e·contribuirá apenas com mais o Empuxo EA, para o escorrega-

menta.

a 3. Etapa - Determinar os coeficientes de segurança globais pa-

ra as dive~sas posiç6es da fen .da, a partir das for-

ças atuantes e resistentes

FScjJ =

FSc =

tgcjJ disponível

tgcjl mobilizado

c disponível c mo b i 1 i z a·d o

-

=

2 = em

tg 20°

tg cjJ m

Ç = em AB = força de coesa o resultante mobilizada

O polígono das forças genericamente seri constitui do pelas

seguintes componentes:

e

c

O Coeficiente de Segurança Global é

FS = FS c

Cd coesao disponivel cd . ~B

N componente normal ao plano AB

T componente tangente na direç~o AB, respons~vel pelo

deslizamento.

direç~o AB

3.1 - Para x = 2 m

Direção C

e

2 mm 1 t

T Soluç~o

cd + N tg <P d FS

p T

cd ( 2 X 8. 59) t/m N

N 19,3 t/m

T 20,5 t/m

<Pd 20° FS 1. 17

-i8-

-9-

3.2 - Para x = 4 m

direção de c

1 mm 1 t e

Solução

T cd + N tg<jíd FS

T

cd = ( 2 X 1 o. o) t/m

N 36,5 t/m

T 30,0 t/m FS L 11

<Pd 20°

3.3 - Para x = 6 m

direção de C

1 mm 1 t

Solução

FS

cd ( 2 X 11,6 5) t/m

N 56 t/m

T 36 t/m

FS 1, 21

<Pd 20°

-10-

J.a . ·" Etapa - Estudo da Condição Crftica

FS 1 em = 1

X (1 em = 1 m)

Conclusão: A fenda torna-se crftica a estabilidade do talu

de quando se localizar a 4 m da extremidade.

-1,1-

ESTAB1L1VA'OE VE TALUVES - MtTOVO VE FELLENIUS

Exe4c1cio de Apticação:

Analisar a estabilidade do maciço abaixo, segundo o crrculo

de Centro O. Sabendo-se que:

Y • 1 ,85 t/m 3 e • 0,65

Considerar as condições de re-

sistinci~ idinticas para região saturada e natural.

Observaçio: As equipotenciais' em tracejado e a 1 inha freitica,

8.00

foram obtidas a partir de uma rede de fluxo traç~

da para o maciço em questão.

\

+o

" \ \ \ \ \ \

\ \ \ \ \ \

\

\ \

\

\ \ \ \ \ \ \ \

\ \ \ \ \ \ \ I I

freática

equipotenciais

Escala 1:100

-12-

Solução:

a 1. Etapa- Traçar o diagrama de pressoes neutras que agem per-

pendicu1ares ao cfrculo de centro O.

Cada equipotencial tem uma mesma carga ou energia

. u H • -·+

Yw c ido.

\ \

I

\ \

z ...

\ \

-t­o

\

u4

H =

\

c te. ,

\ \

\ \ \ u3

\ ' \

Yw

em relação a um R.N. estabele

freática

\ \

T \ \

\ \ ul

\ ·j I I I \ U I

\ 2 I

\ I

\ \

ul

I -H=O+z' r- . 2

I

RN

-13-

Numa mesma equipotencial de carga H, a pressao neutra de

um ponto da freática é igual a zero; a pressao neutra de

um ponto do cfrculo de centro O, será:

u = (H - z ) y 2 2 w

Logo, a pressao neutra no ponto de intersecção, equipote~

cial-cfrculo, será a diferença de cota, na vertical, entre

esse ponto e um pertencente à mesma equipotencial que inter-

septe a freática.

u • (z 1 - z ) y 2 2 2 w

Esta pressao neutra se distribui ao cfrculo perpendicula~

mente.

a 2. Etapa-

Dividir o cfrculo em lamelas.

Determinar as alturas médias,h, e as bases médias,

b, de cada uma das lamelas.

Determinar a pressao neutra média, u, que age em ca

da lamela que esteja sob a linha freática.

o

lam 2 lam 1 lam o

-15-

a 3. Etapa -

Determinar as componentes norm~1s e tangentes dos p~

sos de cada lamela, para as condiçÕes saturada e não saturada.

Para tanto, decompor as alturas h, sa~urada em nor-

mais e tangentes em- rela~ão i base da lamela, como na figura

que se segue:

a 4. Etapa

Ysat

talude

freática

círculo

Cálculos:

2,67 + 1 X 0.65 X 1 3

2,01 t/m

1 + e

Solo nao saturado

( m) ( m)

lam. b n

o 0,45 0,25

1 3,0 o, 8 5

2 2, o 1,25

3 2. o 1, 6 5

4 1, g l, 25

5 2, o 0,30 . 6

7

E

1 + o, 65

y

( m)

t

o,. 6 o l, 1 o 1, o o 1, o o 0,25

o, 1 o

3 L 8 5 t/m

bnY

0,25

4,72

4,65

6, 11

4,39

L 11

bt y

o, 50

6,11

3,70

3,70

o, 8 8

l, 37

21,18 15,26

-16-

( m)

lam. b

1

2

3

4

5

6

7

L:

3' o

2' o

2, o

1. 9

2', o

2,2

2,0

n = n sat

b = R a o

( m)

n

1' 6

4,0

5,3

6, o

5. 5

3,8

1,2

Solo Saturado ysat 3

2,01 t/m

( m)

t

2,2

3. 1

2,55

1' 6 5

o' 5o

-o, 3

-o, 3

bt y

13,27

12,46

10,25

.6' 30

2,01

-1,33

-1' 21 f'

41,75

t t sat

bn y u

9' 6 5 1' 6 5

16,08 4,75

21,31 5' 5

22,91 5, o

2 2, 11 4, 1

16, 8 2, 9

4, 8 2 1, o

113,68

a

25

11

12

9

10

11

9

y

bo

5,28

2,28

2,52

l, 9 2

2,04

2,28

l, 92

y sat

-17-

u

8' 71

10,83

13,86

9,60

8,36

6, 61

l, 9 2

58,89

A força resultante U, é calculada, tomando-se a pressão neutra média

distribuída u, de cada lamela multiplicada por b {= seguimento de arco o

da lamela).

As forças tangentes das lamel~s 6 e 7, estão na realidade colaboran­

do para conter o escorregamento, logo o momento atuante será diminuído.

FS

. FS

c L: b + ( ~ N + L ( N - U J) t g ,!.. o sat ~

"T + "T '-' '-' s at

c R e + (L: n b y + L: n b y - L u b 0

) t g ,!.. sat sat ~

L: t by + Lt t sa b Ysat

3 c = 3,5 t/m e 1,52 rd R

3,5 X 12 X 1,66 +(21,18 + 53,79) 0,53 FS

15,26 + 41,75

OBS:- c e cp idên

ticos para as

condiçÕes satu­

rada ou não.

o 12 m; tg 28

l' 9 3

o, 53

~7.0 r-

-10.4 r-

-18-

ESTABILIVAVE VE TALUVES - MtTOVO VE BISHOP SIMPLIFICAVO

Exe~eZeio de Aplieação:

Analisar a estabilidade do talude abaixo, segundo um cír

culo de·cota O, passando pelo ponto P.

Características da argila siltosa:

+ o

+ p

y = 1,70 t;m3

s = 0,15 + tg 17° (Kg/cm2 )

0.0 v--

Argila siltosa

Argila composta

Escala 1:100

-19-

Solução:

a 1. Etapa - Dividir o semi-círculo em larnelas para determinação

Onde

dos parâmetros da fórmula

F = c b + p tg<jl \

Ma

r P sen a

Ma= (1 + cosa

a = ângulo indicado na figura seguinte.

c = coesao disponível do ~olo, ao longo do círculo de ruptura

<P = ângulo de atrito disponível do solo, ao longo do circulo de

atrito

Fi= coeficiente de segurança adotado para resolver o problema

por processo iterativo

P = peso de cada larnela

b = largura (medida na horizontal) de cada larnela

a 2. Etapa Montar urna tabela onde conste os parâmetros invariá

v eis (c, b, P,'q,, a) e os variáveis (Ma= f (Fi)

de forma a resolver o problema por iteração.

a 3. Etapa - Adotar um coeficiente de segurança inicial, geral -

mente é o determinado pelo Processo de Fellenius, ~

ra o mesmo problema.

-10.4

'

-20-

.Argila siltosa

Argila compacta

Escala 1:100

T A B E L A

1 2 3 4 5 6

Lame1a b h p a sen a P sen a

1 3,2 3,6 19,58 56° 0,83 16,23

2 2,0 6,4 21,76 37° 0,60 13,10

3 2,0 7,6 25,84 25° 0,42 10,92

4 2,0 6,6 22,44 15° 0,26 5,81

5 2,0 . 3 '4 11,56 50 0,09 1,01

6 2,0 1,7 5,78 -50 -0,09 -0,50

7 2,0 1,3 4,42 -15° -0,26 -1,14

8 2,0 0,5 1,7 -26° -0,44 0,75

E 44,68

7 8 9

Ma

cb cb+tg<P p F= 1,35 F = 1, 48

4,8 10,79 0,75 0,73

3,0 9,75 0,94 0,92

3,0 11,01 1,0 0,99

3,0 9,96 1,03 1,02

3,0 6,58 1,02 1,02

3,0 4,79 0,98 0,98

3,0 4,37 0,91 0,91

3,0 3,53 0,80 0,81

10

8 .!. . F= F1

14,39

10,37

11,01

9,67

6,45

4,89

4,80

4,41

65,99

9

F == F2

14,78

10,6

11,12

9,76

6,45

4,79

4,37

4,36

66,23

I N I-' I

4~ Etapa - Cálculos Finais

Dados: y = 1,70 t/m3

1,5 t/m2 c =

tg<l> = 0,31

Coeficientes de Segurança Adotados:

Fl = 1,35 (Fellenius)

F2 = 1,48

tg<!> /Fl

tg<l> /F2

Determinação dos Coeficientes de Segurança:

Fl = 65,99 = 1,48

44,68

F2 = 66,23 = 1,48

44,68

Coeficiente Final: F = 1,48

-22-

= 0,23

= 0,21

-23-

ESTABILIVAVE VE TALUVES - MÉTOVO VAS CUNHAS '

Calcular o coeficiente de segurança do talude de montante

da barragem de terra - enrocamento representada na seção aba!

xo, segundo uma superficie de ruptura passando pelos pontos A

e B. Considerar o tipo de superficie de ruptura que apresen-

te a condição mais critica do talude e os seguintes parâmetros

dos materiais:

- Enroca.'llento: - Aterro

A

s = tg

y = 1,9

Ysat= 2,1

N.A. (857) v--

---------------

40° s =

t/m 3 y =

t/m 3

y sat-

ROCHA SÃ, IMPERMEÂVEL

0,5 kg/cm

1,8 t/m 3

2,0 t/m 3

2

800

' ESC. 1:1000

-24-

O problema apresenta superf~cies preferenciais de escorreg~

mento, logo a solução será melhor se feita pelo Processo das Cu­

nhas; a análise será feita considerando-se que a parte do maci-

ço potencialmente deslizante se divide em duas cunhas,

ABCi e passiva BCiD.

A

NA (857)

' --------------------------

AT.EROO

ROCHA SÃ, IMPEru:'iEÁVEL

ativa

800

' ESC. 1:1000

Como a superfície, BCi, entre as duas cunhas nao está defi-

nida é necessário determinar a condição mais crítica, isto e, a

superfície BCi, que ocasionar o menor coeficiente de segurança

FS, ao. sistema.

a 1. Etapa - Análise dos coeficientes de segurança a serem adota-

dos.

CP FSp =

c

AB =

p

tg<Pp;

tg<Pp = =

-25-

cp AB = c - força p de coes ao disponivel na cunha passiva ABCi;

c força p de coes ao mobilizada na cunha passiva ABCi

<Pp ângulo de atrito disponivel na cunha Passiva ABCi

(/) ângulo de atrito mobilizado na cunha passiva ABCi p

<PA ângulo de atrito disponivel na cunha ativa BCiD

cpA ângulo de atrito mobilizado na cunha ativa BCiD

No problema, a cunha passiva terá o desenvolvimento de resis

tência ao longo da face AB, portanto com parâmetros do enrocame~

to, ou seja, c = O; a cunha ativa contribuirá com a resistência p

do aterro, ou seja, <PA = O, e resistirá apenas com a coesão cA,

ao longo da face BD.

Para c = O, então c = O e c = O. Ou, na cunha passiva, p p p

nao haverá imobilização de resistência devido a coesao.

Para <PA = O, então (/)A = O. Ou, na cunha ativa não haverá

mobilização de resistência devido ao atrito.

Assim,

=

A obliquidade da força entre a~ duas cunhas sera:

FS p =

tg<Pp

tga = <Pp

2~ Etapa - Análise dos coeficientes de segurança da cunha ativa

BCiD, a serem determinados.

=

= força de coesao disponivel na cunha ativa BCiD

CA força de coesão mobilizada na cunha ativa BCiD

-26-

a 3. Etapa - Esquema das Forças atuantes e resistentes nas duas cu

nhas.

A

~p

c. 1

B

D

As superficies BCi serao três, como ilustradas na fi-

gura abaixo.

NA (857)

---------------------------------------

800

A ROCHA SÃ, IMPERMEÁVEL ESCALA 1:1000

-27-

4~ Etapa - Análise do Equilibrio das cunhas ABC1 e BC1D, onde

Bc1 é a primeira superfície de deslizamento adota-

da entre as duas cunhas

4.1- Cálculo dos pesos das cunhas

D

A

Considerando-se o enrocamento de montante e o ater

ro do núcleo central totalmente submersos, o peso específico do

solo será o submerso (y' = Ysub - Yw).

Outra solução do problema poderia levar ao mesmore

sultado se considerássemos a distribuição das pressões de água

nas cunhas, e o peso das mesmas como sendo o saturado.

Então para a hipótese adotada

=

=

1 2

1

2

. 22,5 . 67 . 1,1

. 22,5 . 67 . 1,1

= 829,1 t/m

= 829,1 t/m

p p

4.2 -Para FS = 1,98 p

tg 40°

Tg ~p

dir. BD

F

= 1,98

AB

-28-

=

dir. l BCl

Para essas condições, nos poli

gonos de forças, construídos

para as duas cunhas, obtemos:

CA = 130 t/rn

5 X 71 =

130

FS = A

CA BD ---=

c A

FSA '= 2,7

-29-

4.3 - Para FS = p

2,30

tg 40° = 2,30 = =

tg <Pp

direção BD

c

a =

dir. 1 BC1

Escala 1 em = 100 t/m

Para essas condições, nos poli -

gomos de forças, construído p~ p

p r a as duas cunhas, obtemos:

CA BD -CA = 230 t/m FS = A

CA

dir. AB

8,5 5 X 71 = FSA = 1,53

23.0

R

4.4 - Para FS p

tg 40°

tg (jip

dir. BD

F

'"' = 15,6° 't'p

=

-30-= 3,0

3,0 cpp = 15,6° = a

a = 15,6°

dir. 1 a BD

AB

= 430 t/m

cA BD 5 X 71 = = 0,82

430

4.5 - Para FS = 5,6 p

Nesse caso F =

dir. BD

dir. 1 BC 1

F

::;:: = 8,5° '~'p

AB

-31-

E = O e o <Pp = 8,5 =

Escala 1 em = 100 t/m

Para o polígono de forças

das duas cunhas, obtemos:

c A = 575 t/m

CA BD 5 X 71 FSA = =

CA 575 = 0,62

-32-

4.6 - Determinação do Coeficiente de Segurança do Sis­

tema cosntituido pelas duas cunhas ABC 1 e BC1D,

tal que

5

1

1

=

5

=

FS . p

5~ Etapa - Análise do equilibrio das cunhas ABC2 e BC 2D, onde

BC2

e a segunda super:Eicie de deslizamento adotada

entre as duas cunhas.

5.1 - Cálculo dos pesos das cunhas:

D

A

Para essa hipótese teremos:

PA 1 7,9 22,5 1,1 977,6 t/m = . . = 2

1 680,6 t/m PB = . 55 22,5 . 1,1 =

2

' I

I

I

5.2- Para FS = 1,80 p

tg 40°

Tg cjlp

direção BD

= 1,80

dir. l BC 2

~p =

Escala 1 em = 100 t/m

-33-

= a

Para essas condições no polígono

de forças em equilíbrio das cu-

nhas , te remos :

-CA = 130 t/m

5 X 71 FSA = = 2,70

130

-c A

5.3 - Para FSP = 3,0

tg 40° = 3,0

tg ~p

dir. BD

p p

th = 15,6° 't'p

-34-

cpD = 15,6° = a

Escala 1 em = 100 t/m

Para essas condições, no

polígono de forças, tere

mos:

=

FS = A

380 t/m

5 X 11 = 1,00

350

5.4

\p A

F

8,5°

- Para

tg: 40°

tg (j)p

Nesse

FS = 5,6 p

= 5,6 e

caso E = o

dir. AB

-35-

<Pp = 8,5 = a

e F = pp

Escala 1 em = 100 t/m

Para essas condições, do

polígono de forças, tere

mos:

CA = 465 t/m

5 X 71 FSA = = 0,76

465

a 6. Etapa

-36-

5.5 - Determinação do Coeficiente de Segurança do

sistema constituido pelas duas cunhas ABC 2

e BC 2D, tal que

5

1

1

=

FS 2 = 2,0

5

=

FS p

Análise do equilibrio das cunhas ABC 3 e BC 3D, on­

de BC 3 é a terceira superficie de deslizamento ado

tada entre as duas cunhas.

6.1 -Cálculo dos pesos das cunhas

D

A

1 p = . 102 . 22,5 . 1,1 = 1262,3 t/m

p 2

1 PA = 32 . 22,5 . 1,1 = 396 t/m

2

p p

6.2 - Para FS p

tg 40° =

tg <Pp

Dir. BD

dir AB

8,5°

=

-37-

2,31

2~31 - 20° <Pp = a

Escala 1 em = 100 t/m

Nessas condições, para o polig~

no de forças das duas cunhas em

equi1ibrio, teremos CA = 120 t/m

5 X 71 = = 2,93

120

R

6.3 - Para FS = 3,0 p

tg 40°

tg cpp = 3,0

dir. BD

A: = 15,6° '+'p

a = 15,6°

dir 1 BC 3

di r AB

-38-

= =

Escala 1 em = 100 t/m

Para essas condições do p~

lígono de forças temos:

-CA = 170 t/m

5 X 71 FSA = = 2,06

170

-39-

6 . 4 - Par a• F S p = 5,6

tg 40° = 5,6 = 8,5 = a

-tg cpp

Para esse caso E = O e F =

-dir. BD

R

E

Escala l em = 100 t/rn

Para essas condições

5 X 71

F CA = 280 t/rn =

280

= 1,3

dir AB

5

l

-40-

6.5 - Determinação do Coeficiente de Segurança do

l

sistema constituído pelas duas cunhas ABC 4

tal que:

FS 4 = 2,5

5

FS = FS A p

FS p

=

7C:: Etapa - Determinação da superfície critica BC i em · função

dos coeficientes de segurança FSi.

FS

3,0

2,0

1,0

Ângulo da s~ .,. :

perf1cie BCi

com a horizontal

-41-

BCl - forma um ângulo de 117° com a horizontal

BC 2 - forma um ângulo de 90° com a horizontal

BC 3 - forma um ângulo de 61° com a horizontal

A condição crítica será com o coeficiente de segurança

1,55 para uma superficie BC inclinada de 99° em relação à ho­

rizontal.