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CURSO DE ELEMENTOS DE MECÂNICA DAS
ESTRUTURAS
Prof. Maria Cascão Ferreira de Almeida
2008
Departamento de Mecânica Aplicada e Estruturas
1
CURSO DE ELEMENTOS DE MECÂNICA DAS
ESTRUTURAS
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
E GABARITOS
Prof. Maria Cascão Ferreira de Almeida
2
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
3
AE1-LE1A 1
ANÁLISE ESTRUTURAL I
LISTA DE EXERCÍCIOS 1A
1) Classifique as estruturas abaixo quanto à estaticidade e à estabilidade: a) b) c) d) e) f) g)
h) i) j)
2) Determine as reações de apoio:
a) b)
c)
1m 1m 1m 1m
4 kN 4 kN 30º 30º 30º 30º
8m
2,5m
2,5m
2,5m
50kN
2,7m
2,7m
2,7m
9kN
9kN
3) Determine as reações de apoio das vigas biapoiadas abaixo. Comparando
os resultados obtidos em cada série, o que você pode concluir em (a) e em
(b)? (comprimentos em m).
4
a)
b)
c) Determine os diagramas dos esforços internos em (a) e (b).
4) Determine os esforços internos nas seções indicadas:
a) b)
c) d)
5) Para as vigas do exercício 4 trace os diagramas dos esforços internos e
forneça para a viga 4(b), as funções que expressam tais esforços.
100kNm
1,5 5,0
100kNm
1,5 5,0
100kNm
1,5 1,5 3,5
100kNm
1,5 2,5 2,5
4
20kN 20kN
1 3 2 2
20kN
3 1
20kN
4
20kN
2m 2m 1m
9kN 7kNm
A B
40kN
40kN 1 2 1 1 3
A B
C
1,5m 1,5m 3,0m
6 tf
A B C
20kNm 20kNm
4m
B C D A
5
ANÁLISE ESTRUTURAL I LISTA DE EXERCÍCIOS 1B
1) Classificar as estruturas abaixo quanto a estaticidade e a estabilidade:
2) Calcular as reações de apoio das estruturas a seguir:
6
c) d)
3) Determinar os valores dos esforços internos nas seções indicadas:
a) b)
2 tf
3 tf
2 tf 1 tf
1m 2m 2m 1m
2m
2m
5m
2kN/m
8 tf S1 S2
S4 10 tf 60ª
1,5m 1,5m 2m 1m 3m 2m S3
6 tfm 2 tfm
4m 2m 2m S1 S2
7
ANÁLISE ESTRUTURAL I
LISTA DE EXERCÍCIOS 1C 1) Calcular os momentos em torno dos eixos X, Y e Z. 2) Reduzir ao ponto O o sistema de forças representado abaixo. 3) Classificar as estruturas abaixo quanto à sua estaticidade e à sua
estabilidade. Ao verificar a estabilidade, justifique sua resposta. a) b) c) d) e) f) g)
(4,6,0) Y
(0,6,0)
X
(4,0,4)
Z
45º
2 kN 4 kN
8 kN 5 kN
2 m 9 m 2 m 3 m
O
8
4) Calcular as reações de apoio das estruturas abaixo:
a) b) c) d)
40 kNm
8 m 8 m
2,5 m
8 m 4 m
5 kN
5 kN
5 m
5 m 5 m
15 kN
5 kN
5 kN
7 m 6 m 4 m
45º
9
5) a) Determinar as reações de apoio. b) Calcular os valores dos esforços simples na seção S da estrutura
abaixo. c) Para determinar os ESI em S é necessária a determinação das reações
de apoio? Justifique a sua resposta.
6) Calcular os esforços internos nas seções indicadas nas estruturas abaixo. a) b) c)
5 m 5 m
4 m
S 5 m
10 kNm
2 kN
5 kN
6 kNm
S B A
3 kN
3 m 3 m 2 m
5 kN 5 kN
B
2
A
S2 S1
2 2 1 (em m)
10 kNm 2 kN
S2 S1 3 kN
2 1 2 2 (em m)
10
d) e) f) g) h)
3 m 1 m 2 m 4 m
B A
8 kN S 3 kN/m
3 m 2 m 2 m 2 m 2 m
6 kN/mS1
S2
2 m 4 m 3 m
3 kN
3 kN/m 6 kN/m
S
S
2 kN/m
2 m 2 m 2 m
20 kN
S B A
2,5 m 2,5 m2 m 2 m
10 kN 10 kN
11
2 m 2 m 1 m 2 m 1 m
2 kN/m
2 kNm3 kN
S B A
i) j) k)
3 m 2 m
A B
D C
2 m
2 m
23 kN
3 kN/m
S1
S2
4 m
A
15 kN
5 kN/m
B C
D 1,5 m
1 m
1 m
S1
S2
12
3 m 4 m 2 m
2 m
2 m
S2
S1
12 kN/m
l) m) n)
2 m
A
2 m 3 m
B
3 m
2
m
3 kN
/m
D 3 kN
C
S1
2 m5 m2 m 1 m
D
2 kN/m
C S1 2 m
B S2
10 kN
A
13
2 m 4 m
B
3 m
1 m
2 m
2 kN/m
D S
A
C 1 kN/m
o) p) q)
2 m
2 m
4 m 4 m
1,5
kN/m
B
1,5
kN/m
E
S2
A
S1
C
D
15 kN
2 m
3 kN/m
S
C
A
3 m 3 m 3 m
3 m
3 m
D
B
14
r) s) t) Traçar os diagramas dos esforços internos para as vigas bi-apoiadas
dos itens (a), (b), (e) e (f).
S
B
4 m 4 m
A
3 kN/m
4 m
A
3 m 3 m
2 m
2 m
2 m
B
10 kN
D
S C
5 kN
15
ANÁLISE ESTRUTURAL I
LISTA DE EXERCÍCIOS 2A
1) Classifique as estruturas abaixo como externamente isostáticas,
hiperestáticas ou hipostáticas, indicando se são estáveis ou instáveis.
a) b) c)
d) e) f)
2) Determine as reações de apoio da viga simplesmente apoiada dotada de
balanço à direita. Escreva as funções que expressam os esforços internos e
trace os diagramas.
3) Determine as reações de apoio e os esforços internos na seção S. Escreva
as funções que expressam os esforços internos e trace os diagramas.
A 25 tf
10 tf 5 tf/m
3m 3m 1,5m B C
3m 2m
200N/m 500N
60º
S
16
4) Determine os esforços solicitantes internos nas seções S1 e S2.
5) Determine os esforços solicitantes internos na seção S, as funções que
expressam os esforços internos ao longo da viga e trace as linhas de estado.
6) Determine as reações de apoio e os esforços internos nas seções indicadas.
No item b, que observações se pode fazer levando em conta aspectos de simetria e anti- simetria dos carregamentos em estruturas simétricas?
a) b)
4m
12m 4m
3m 6m
S1 S2
20kN/m
150kN 90kNm
30kN 45º
2m
3m 3m 3m
S
2m 1m 3m
2m
2m
1 tf 1 tf
S1
S2 S3
3 tf 1 tf/m
50kN 50kN
S1 S2 S3 1,5 1,5 2,0 2,0 1,5 1,5
1,5 1,5 2,0 2,0 1,5 1,5
50kN
50kN
S3 S1 S2
(m)
17
7) Obtenha as funções que expressam os esforços internos e trace os seus
diagramas. Forneça também os coeficientes angulares das tangentes ao
diagrama dos esforços cortantes nas seções A, B e C.
8) Dado o diagrama de esforços cortantes abaixo, determine os carregamentos
aplicados e os diagramas de momentos fletores, sabendo-se que as vigas
estão submetidas somente a cargas ( concentradas e/ou distribuídas )
transversais.
a) b)
9) Determine as reações de apoio e os esforços internos na seção S do pórtico plano da figura.
3m 3m 3m
+ _
70
10
50
10
D.Q. (kN)
2m 4m 1,5m
3m
3m
8 tf
10 tf/m 4 tf
2,5m
3,5m
5 tf/m
S
2m 1m
20
80 D.Q. (kN)
+
3m 2m
3 tf/m A B
C
18
10) Diga como se denomina a estrutura abaixo e classifique-a quanto à
estaticidade e à estabilidade. Determine as funções que expressam os
esforços internos e trace seus diagramas.
1m 3m 2m
48kN/m
60kNm
50kN 3
4
19
ANÁLISE ESTRUTURAL I
LISTA DE EXERCÍCIOS 3A
1) Trace as linhas de estado das estruturas abaixo, fazendo todas as
observações importantes:
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
j) k) l)
a b
L
q
L
M
L
P
L
a b
P
P
L
q
L
q
L
q
P
q
P
L
a b
P P
a b a
L
P P
b a a
L
L=2a
q
a b a
L
a b
L
q
20
m) n) o)
p) q) r)
s) t) u)
v) w) x)
y) z)
L/2 L/2
q
q
L
4xa
qP=2qa
q
L Lb
q
L Lb
q
L Lb L Lb
q
P
M
L Lb L Lb
M
a b Lb
L
M
q
a b
L
q
4xa
a b
L
M
L a
M
L/2 L/2
q
q
21
2) a) Trace os diagramas dos esforços internos da estrutura abaixo.
b) Diga como se denomina a estrutura.
c) Considerando a estrutura abaixo como uma associação de vigas
isostáticas, identifique-as e especifique quais têm estabilidade própria e
quais não têm estabilidade própria.
3) Dada a viga abaixo, determine:
a) as distâncias a e b para que se obtenha a estrutura mais econômica em
termos de consumo de material.
b) trace os diagramas dos esforços internos.
4) a) Trace os diagramas dos esforços internos da viga bi-apoiada dotada de
balanço nas três situações abaixo.
b) Tire conclusões sobre a influência do balanço.
q
b L a L-2a a L b
1 2 3 4 5 6 7 8
KL L
K<1
I)
KL L
K=1
II)
KL L
K>1
III)
3
4
75 kN
10 kN/m 10 kN/m
6m 2m 4m 2m 2m 8m
22
5) Determine as funções que expressam os esforços internos para o item b e
trace os diagramas para os itens a.
a) b)
6) Trace os diagramas dos esforços internos e comparando-os, tire conclusões
sobre a influência da simetria e ante-simetria dos carregamentos em
estruturas simétricas.
a) b)
c) d)
5m
3m 10 kN/m
30ª
1m 3m
3m
2 tf/m
0,5 tf/m 1 tf
23
ANÁLISE ESTRUTURAL I
LISTA DE EXERCÍCIOS 3B 1) Fazer os esboços dos diagramas de esforços internos das estruturas abaixo,
evidenciando com clareza todas as observações importantes. a) e) b) f) c) g) d) h)
2) Conferir os valores das reações de apoio e traçar as linhas de estado das estruturas
abaixo. a)
VA = 11,2 kN VB = 11,8 kN b) VA = 32 kN VB = 8 kN c) VA = 38 kN VB = 25 kN d) VA = 46,5 kN VB = - 4,5 kN
P2 P1 MP
P
qP
P M P2 P1
2 m 3 m 2 m
BA
3 m
5 kN8 kN 10 kN
q
q
10 kN/m
6 m 4 m
BC A
27 kN
A B
12 2 22
18 kNm12 kN/m
BA 30 kN
3 m3 m6 m
12 kN/m
24
e) VA = 16,5 kN
VB = 10,5 kN f) VA = VB = 40,5 kN Para estrutura e carregamento simétricos o que se pode observar quanto ao DMF e
ao DEQ? g)
VA = 25,25 kN VB = 52,25 kN h) H = 3 kN V = 20 kN M = 30 kNm i) M = 213,33 kNm j) H = 34,6 kN V = 45 kN M = 292,5 kNm k) VA = 105 kN VB = 45 kN
4 m 3 m3 m
B
10 kN/m
A
15 kN/m
2 m 2 m 3 m
10 kN
5 kNm 10 kN/m3 kN
52 12
5 kN/m 30º
40 kN
BA
7 m 2 m3 m
10 kN/m20 kN/m
A B
3 m 3 m6 m
30 kN12 kN/m
4,5 m 4,5 m
BA
18 kN/m
20 kN/m
20 kN/m
4 m4 m
25
l) VA = VB = 10 kN m)
VA = 24 kN HA = 15 kN VB = 16 kN n) o) VA = 7,5 kN VB = 112,5 kN VE = 49 kN VF = 11 kN VC = 4,7 kN p) VA = 12,4 kN
HA = 7,1 kN MA = 40 kNm 3) Traçar os diagramas de esforços internos das estruturas abaixo e indicar seus nomes:
a) b)
2 m 2 m6 m
BA
10 kN/m 40 kN40 kN
3 m3 m 4 m 2 m
BA 15 kN
10 kN8 kNm 9 kN/m
4 m 3 m3 m
BA
20 kNm20 kNm
3 m2 m3 m3 m 2 m 3 m
10 kN10 kNm
20 kNm
3 m 5 m 4 m
10 kN20 kNm
FEDC BA
2 m2 m2 m2 m 4 m4 m
8 kN15 kN/m
4 m 4 m 2 m
45ºCB A
10 kN10 kN
26
4) Fornecer o diagrama do carregamento sabendo que a estrutura está submetida
apenas a cargas transversais. Traçar o DMF.
DEC
(kN)
5) Qual deve ser o valor de d para que o momento fletor máximo, em valor absoluto,
seja o menor possível?
6) Para as estruturas abaixo, dar seus nomes e traçar os diagramas dos ESI. a)
HA = 80 kN VA = 67,5 kN VB = 92,5 kN
4,0
m
8,0 m
20 kN/m
60 kNm
B
A
4 m4 m 2 m
_ +
5,03,0
4,0
d = ?
q
LL
CBA
27
b) HA = 0
VA = 400 kN MA = 2000 kNm
28
ANÁLISE ESTRUTURAL I
LISTA DE EXERCÍCIOS 4A
1) a) Como se denomina a estrutura abaixo?
b) Determine as funções que expressam os esforços internos.
c) Trace os seus diagramas.
2) Uma viga metálica de comprimento L e peso próprio por unidade de
comprimento q deverá ser içada para transporte. Dois olhais de içamento
deverão ser previstos. Escolha suas posições e justifique.
3) Diga como se denominam as estruturas abaixo e trace os diagramas dos
esforços internos.
a)
b)
( comprimentos em m )
5 KN 16 m 4 m 10 m
2 KN/m 5 KNm
BA
10 KN 10 KN 10 KN 5 KN 5 KN
5 5 5 5 3 3 2
2 tf/m
7,5 7,5 5, 0 5,0 10,0 15,0
5 tf 15 tfm
29
4) a) Determine as funções que expressam os esforços internos.
b) Trace os seus diagramas.
c) Forneça os esforços internos nas seções C e D.
Construa as linhas de estado das seguintes estruturas e diga como se
denominam: (comprimentos em m)
5) 6)
7) 8) 9) Esboçar os diagramas dos esforços internos das estruturas abaixo:
20 KN/m
10 m 4 m 4 m
6 m
50 KN 30 KN/m
D
C
A
B
2 tf/m
2 4
3 1,6 tf/m
2,0
3,0
2,5
15 KN
40 KN/m
4 tf/m
1,6 tf/m
8 8
5
3 20 KN
12 KN/m
6
4
30
a) b)
c) d)
e)
M
q
P
M
P P
31
ANÁLISE ESTRUTURAL I
LISTA DE EXERCÍCIOS 4B
1) a) Diga como se denomina a estrutura associada da figura. b) Quais os métodos de resolução que você conhece? c) Resolva-a.
2) Forneça para a estrutura abaixo:
a) As reações de apoio. b) Os momentos fletores no nó 8. c) Sabendo-se que para o sistema de eixos locais x e y, com origem no nó
9 e indicado na figura, a equação do arco é dada por y = 20 x (16 - x), determine os esforços internos em S (x=4).
162
21 kNm 5 kN/m
50 kN
1 52 3 4
10 kN/m
3
4
2,4 2,4 (em m) 4,81,6 1,6 2,4
4 3
2
4 m 4 m 4 m 4 m 4 m 4 m
2 1
3 5
9
4 6
6 10 8 8 7 7
0,5 tf/m
0,5 tf/m 0,5 tf/m 1 tf 1 tf
x
y 10 11 11 S
0,5 tf/m
0,5
tf/m
5m
3m
4m
4 tf
9
1
5
32
8
3) Trace os diagramas dos esforços internos: 4) Para a estrutura abaixo, responda:
a) Como se denomina? b) Como se classifica quanto ao seu reticulado (simples, composta ou
complexa)? c) O que se entende por treliça ideal? Esta estrutura é uma treliça ideal? d) O que se verifica em relação às simetrias: da estrutura, do carregamento
e dos esforços internos? e) Os esforços normais nas barras , , , , e .
4 m
4 m
4,5 m 4,5 m
1 tf/m
2 tf/m
A
B C
E F G
D
6 9 11 7 10 13
5 m 5 m 5 m 5 m
5 m
5 m
200 kN
100 kN 100 kN
3 1 2 4
5 9 8 7 6
10
11
12
13
1 5 4 3 2
7 6
33
5) Determine o valor de P para que o máximo momento fletor seja o menor possível.
6) Sabendo-se que somente atuam cargas transversais ao eixo da viga,
obtenha, a partir do diagrama de esforços cortantes (DEC), os diagramas do carregamento (DC) e dos momentos fletores (DMF).
7) Marcar as barras inativas da ponte em treliça da figura e determinar os
esforços normais nas barras indicadas (a, b, c, d e e).
P
a b a
B
P q
A
3 m
6 m 6 m 6 m 6 m
e
c b d a
2 tf 2 tf 4 tf
C AD
5 tf
4 tf
3 tf
B
1 m 2 m 2 m
+
-
34
8) Resolver as seguintes estruturas. a) Todas as barras têm comprimento L.
b)
q = 20 kN/m
8 m
2 m
100 kN 150 kN 200 kN
4 x 6 m = 24 m
50 kN
35
ANÁLISE ESTRUTURAL I
LISTA DE EXERCÍCIOS 5A
1) Trace as linhas de estado das seguintes estruturas e informe como se
denominam.
a) b)
c) d)
2) Forneça as funções que expressam os esforços internos e trace seus
diagramas:
3m 3m 3m
100kN
3m 25kN/m
4 3
3m 4m
3m
3m 100kN
200kN
6m
45kN
90kN
30kN/m
3m
3m
4m 4m 10m
6m
30kN/m 100kN
1 2
3 4
6m 2,5m 2,5m
2,5m
2,5m
30 tf
1 1
6 tf/m
36
3) Identifique as estruturas associadas abaixo e trace os diagramas dos
esforços internos:
a)
b)
c)
5m 1m 1m 2m 3m
7 tf
23 tf
4,5 tf/m
2,5m
1m
2m
2m
1m
3m
2m 3m 3m 2m 1m 2m
1 tf/m
3 tf 2 tf
3 tf 2 tf
1 tf
1 tf
1 tf/m
1,5m 3,0m 4,5m
4m
4m 20kN/m
20kN/m
40kN/m
37
4) a) Como se denomina a estrutura abaixo?
b) Inicialmente, através de simples observação do seu funcionamento,
tente prever que barras estão tracionadas e que barras estão
comprimidas. Justifique a sua previsão.
c) Resolva estrutura abaixo e verifique se os resultados obtidos confirmam
a previsão feita no item b.
5) Resolva as estruturas abaixo:
a) b)
c) d)
0,8 tf/m
5 tf
6 tf
3m 3m
2m
3m
5m
5 tf
3 x 3
3m 8kN
6kN10 tf
10 tf
10 tf 10 tf
3 x 4 m
30º
4m
2m
1m
2m
2 tf/m
3 tf
0,4 tf0,3 tf
0,2 tf 0,5 tf
3 x 6
6m
38
6) Na treliça de telhado da figura, as cargas inclinadas são geradas pela
pressão do vento. Ache o esforço normal na barra 11. Raciocine e resolva
este problema da forma mais inteligente. Lembre-se: os métodos de
resolução podem ser alternados.
7) a) Como se denomina a estrutura como um todo e cada uma das partes associadas?
b) Determine as reações de apoio.
c) Determine os esforços internos nas barras a, b, c, d, e, f.
9m
24 m
5 x 600 kgf
400kgf
800kgf
800kgf
400kgf
(11)
8 tf 6 tf 2 tf 2 tf 1 tf 2 tf 1 tf 2 tf 2 tf 6 tf 8 tf
1 tf/m 1 tf/m
1 tf 1 tf
d
e f
a
b
c
16 x 3 m
3m
1 tf/m
39
ANÁLISE ESTRUTURAL I
LISTA DE EXERCÍCIOS 5B 1) Diga como se denominam as estruturas abaixo e trace os diagramas dos
esforços internos. a) b)
c) O que se pode observar quanto aos ESI devido às simetrias da estrutura e do carregamento?
d)
4,0 m
1,5
m2,
0m
15 kN
5 kN/m
5 m
2m
2m
23 kN
3 kN/m
4 m 4 m
4m
20 kN/m 2
m2
m
10 kN
3 m 7 m
2 kN/m
40
e)
f)
g)
8 m
3
2
3m
1
8 m
5m
0,8
kN/m
2 kN/m
20 kN/m
8 m 8 m
50 kN
5
4
3
2
1
5m
3m
10kN
/m
4
3 2
1
5 m
20kN
/m
6m
4
41
120 kN
2) Determine os ESI conforme solicitados:
a) Em todas as barras. b) Nas barras , , , e .
5
5 m 5 m 5 m
7 6
5m
10 kN
4
3
2
1
3 4
6
1
5 2
7
9 8
10 11
2 4 7 12 11
120 kN
5 3 1
6
150 kN
4
10m
8 m 8 m 8 m 8 m
2
7 8
1
11 6 9 8 7 5
4 2 3
13 12
10
42
c) Nas barras , , e .
d) Normais nas barras e .
10 kN
10 kN
10 kN
10 kN
30º
6
5
4 3 2
1
4 m 4 m 4 m
1
9 4
8
7 6 5
3 2
1 5 7 9
2 m 2 m 2 m 2 m
400 kgf
800 kgf
800 kgf
400 kgf
2 m 2 m
600 kgf 600 kgf 600 kgf 600 kgf 600 kgf
11 3 12
10
9
8
7
6
5
4
2
1
3m
3
12 11
15
16
17 19 20
21 18 14 10
13
6 2
1 5 7
8
9 4
11 19
43
3) Trace os diagramas dos esforços internos na estrutura abaixo e diga como se denomina.
4) Para a viga abaixo determine:
a) Linha de influência de cortante em B; b) Linha de influência de momento em B; c) Linha de influência de reação em A; d) Para o seguinte trem-tipo:
forneça: d.1) A máxima reação para cima em A; d.2) Os máximos momentos positivo e negativo em B; d.3) O cortante máximo em B.
Y
1 m
3 m 2 m
2 m
2 tf/m
8 tf
4 tf
2 tf
X
Z
0,5 tf/m
5 tf
3 m 8 m 2 m
4 m
A B
44
ANÁLISE ESTRUTURAL I
LISTA DE EXERCÍCIOS 5C 1) Resolver as treliças abaixo utilizando o Método dos Nós. Nas barras indicadas,
utilizar o Método de Ritter. a) Ritter: CE, DE e DF
b) Ritter: CE, CD e BD
c) Ritter: DG, FG e HI
6 kN
6 kN
3 m3 m 3 m
3 m
A C E
F
G
D B
E
A B
C D
F
5 m
5 m
5 m
10 kN
10 kN
I
B
G H
F
20 kN
2 m 2 m 2 m 2 m
30 kN
15 kN15 kN 2 m
2 m
2 m
2 mA C
D E
45
d) Ritter: GH, GE, CE e AC
e) Ritter: GH, GC e BC
f) Ritter: BD, CD e CE
g) Ritter: AB, BE e EF
E
H
B
20 kN 20 kN
2 m
2 m
6 m 6 m
A C
D
F G
EDCB
G H I J
4 kN 4 kN8 kN8 kN
2 m
3 m3 m 3 m 3 m
A
F
A
C
5 kN
5 m
12 kN
4 m3 m3 m
B
ED
9 kN
F
10 kN
10 kN
E
4 m
10 kN
4 m 10 kN
4 m
D
10 kN
30ºC BA
10 kN
46
h) Ritter: GH, BE e BC
i) Ritter: BD, DE e CE
j) Ritter: BD, DE e CE
4 m 4 m
3 m
3 kN 2 kN 4 kN
ED
C
B A
G HI
C
E
B
D
10 kN10 kN
3 m
3 m
4 m 4 m 4 m4 m
20 kN
A
F
15 kN
2 m2 m 2 m
4 m
B D F G
E C
A
47
ANÁLISE ESTRUTURAL I
LISTA DE EXERCÍCIOS 5D 1) Diga como se denominam as estruturas abaixo e trace os diagramas dos esforços internos: a)
b)
A B
C D E
F
3 0 kN /m
2 5 kN 2 m
3 m
2 m 2 m4 m
A
BC D
1 0 kN /m
3 0 kN
5 m
3 m 4 m
48
c)
d)
A B
CD E
2 0 kN /m
4 m 4 m
4 m
8 m 8 m
3 m
5 m
2 kN /m
A B
ED
C
0,8
kN
/m
49
e)
f)
7 m
1 ,5 m
2 ,5 m
2 8 kN
A B
2 0 kN /m
A
B C
D2 0 kN
1 0 kN /m
3 m
2 m
4 m
50
g)
h)
2 0 kN
A
B
2 m
2 m
2 0 kN /m
3 m 5 m
8 m
5 0 kN
A B
2 ,5 m
2 ,5 m
2 ,5 m
51
i)
j)
4 m 4 m
2 m
2 m
5 0 kN /m2 0 kN /m
4 0 kN m
A
B
8 m 8 m
3 m
5 m
5 0 kN
10
kN
/m
A B
2 0 kN /m
52
k)
l)
5 m 5 m
5 m
2 m
A B 2 1 ,7 kN2
0 k
N/m
A B
C
5 m
6 m
20
kN
/m
53
2) Nas estruturas a seguir, compare os diagramas dos ESI que se obtêm: I- (a) para a estrutura abaixo;
(b) para a estrutura do item anterior quando introduz-se uma articulação em C e um tirante ou escora ligando A e B. (c) quando para a estrutura em (a) introduz-se uma articulação em C e se substitui o vínculo em B por um apoio de 2º gênero.
II- (a) para a estrutura abaixo;
(b) para a estrutura do item anterior quando introduz-se uma articulação em F e uma escora ou tirante ligando C e D.
2 0 kN /m
3 m 3 m
A B
C4 m
4 m
5 0 kN
3 m
3 m
A B
C D
E F
54
3) Calcular as reações e representar os diagramas dos esforços internos:
4) Decompor os quadros abaixo nos quadros isostáticos simples que os constituem: a)
b)
55
c)
d)
e)
56
f)
5) Em cada uma das estruturas a seguir, calcular as reações de apoio e representar os diagramas dos esforços simples: a)
1 0 kN /m
2 m
2 m
3 m 4 m
2 0 kNA
B
57
b)
c)
A
B
3 m
3 m 2 m
2 0 kN /m
2 m
4 0 kN m
40 kNm
2 0 kN /m
10
kN
/m
5 m 3 m
4 m
3 mA B
58
ANÁLISE ESTRUTURAL I
LISTA DE EXERCÍCIOS 6A
1) Classifique as estruturas abaixo quanto à estabilidade e à estaticidade
interna e externa:
a) b) c)
d) e)
f) g)
2) Resolva a estrutura.
4 x 2 m
4 x 2 m
10 tf 15 tf
5 tf
59
3) a) Como se denomina a estrutura?
b) Trace os diagramas dos esforços internos da estrutura abaixo.
c) Localize a seção de momento máximo na barra 1.
d) Qual o coeficiente angular da tangente ao diagrama de esforços cortantes
no nó 5.
4) Trace as linhas de estado e diga como se denomina a estrutura.
5) a) Como se denomina a estrutura?
b) Determine os esforços internos em seus elementos.
c) Sendo a estrutura e o carregamento simétricos, o que se pode afirmar
sobre os esforços?
d) Se dobrarmos os valores das cargas o que ocorre com as reações de
apoio e com os esforços em seus elementos? Justifique.
3m 2m 2m 2m
2m
2m 2 tf/m
1 tf/m
2 tf
Z
Y
X
1 tfm
(1)
1
2 (2) 3
(3) 4 (4)
5 (5)
6
2 tf/m
1 tfm
8 tf
4 tf 2 tf
18 tfm
8 tf
2 tf
3m
1m
2m
2m
Y
X
Z
60
6) a) Como se denomina esta estrutura?
b) Antes de resolver a estrutura, diga que barras não estão submetidas à
torção e justifique sua resposta.
c) Trace os diagramas dos esforços internos.
d) Dê o coeficiente angular da tangente ao DEC na seção C.
e) Que características importantes apresentam: o DMF na seção A e o DMT
na seção C.
2m 5,5m 5,5m 2m
4,62m
4,325m
0,20 tf/m
6 tf
4 tf 4 tf 45º
60º
30º
3m 3m 2m 1m
3m
1m
8 tf 2 tf/m
4 tf/m
4 tfm
A B
C
1 (1) 2 (2)
3
(3)
4
61
7) Identifique as estruturas associadas abaixo, denomine-as, classifique-as
como CEP ou SEP e numere-as conforme a ordem de resolução.
a) b)
c) d)
e) f)
1 tf/m
4 tfm
1 tf/m 1 tf
2 tf
2 tf/m
10 kN/m
2kN
5kNm 10kN
10kN/m
62
ANÁLISE ESTRUTURAL I
LISTA DE EXERCÍCIOS 6B
1) Traçar as linhas de influência pedidas. a) LIVA, LIMA, LIQS1, LIMS1, LIMS2
b) LIVA, LIQS1, LIMS1, LIMS2, LIQS2, LIQS3, LIMS3 c) LIVB, LIMS1, LIQS1, LIMS2, LIQS2
d) LIVA, LIVB, LIMS, LIQS
e) LIVC, LIMS1, LIQB, LIMS2
f) LIMA, LIQB, LIMS, LIVC, LIQS
2 m 3 m 2 m
A
3 m 3 m 2 m
BA
2 m
2 m1 m3 m3 m 1 m
A B
3 m3 m 2 m
A B
B C D
2 m2 m2 m3 m 2 m
A
3 m 2 m 3 m 3 m
CB A
63
2) Seja o trem-tipo indicado abaixo. Calcular os valores máximos dos esforços nas
estruturas representadas nos itens (d) e (f) a partir das LI obtidas. OBS.: O trem-tipo pode trafegar nos dois sentidos. P1 = 2 kN; P2 = 1 kN q = 0,5 kN/m; a = 1 m
3) Calcular os valores máximos de MFA e de QAdir para a viga e o trem-tipo abaixo:
4) Calcular MFmax
+ e MFmax- causados pela passagem do trem-tipo ao lado em uma
viga bi-apoiada de 8 m de vão. 5) Pedem-se as envoltórias finais de MF e de Q de uma viga bi-apoiada de 18 m de
vão, sujeita a uma carga permanente de 40 kN/m e à passagem do trem-tipo abaixo. Considerar seções espaçadas de 3 m entre si.
P1 = 160 kN P2 = 120 kN q = 30 kN/m 6) Uma das vigas longitudinais que suportam um pontilhão é bi-apoiada com 8 m de
vão, sujeita a uma carga permanente de 20 kN/m, e qualquer seção é capaz de resistir a um momento fletor de 1000 kNm. Verificar se é segura a passagem neste pontilhão de um veículo que corresponde, para esta viga, a um trem-tipo de duas cargas concentradas de 400 kN, distantes 4 m entre si.
a
q
C DB A
4 m 16 m 4 m 1,5 m 3,0 m 1,5 m
20 40 80
20
1,5 m 3,0 m
30 30 20
1,5 m 3,0 m 1,5 m
64
ANÁLISE ESTRUTURAL I
LISTA DE EXERCÍCIOS 7A
1) Trace as linhas de influência para os seguintes efeitos, escrevendo suas funções:
a) Cortante à esquerda de 2 (LIQ2e).
b) Cortante à direita de 2 (LIQ2 d).
c) Momento em 2 (LIM2).
d) Momento em 3 (LIM3).
2) Trace as linhas de influência dos seguintes efeitos:
a) Reação vertical em 1.
b) Reação vertical em 5.
c) Cortante em 2.
d) Cortante em 3.
e) Momento fletor em 1 (não é momento reativo).
f) Momento fletor em 2.
g) Momento fletor em 4.
h) Momento fletor em 5.
65
3) Uma força pode se deslocar entre os pontos 1 e 3, sempre transversalmente aos eixos dos elementos. Determine as funções que expressam o momento fletor reativo em 1 e trace a variação deste momento para uma força unitária, perpendicular aos eixos dos elementos e deslocando-se entre os nós 1 e 3. Como se denomina o diagrama obtido?
4) Determine, para as LI dos exercícios 1 e 2, os máximos efeitos positivos e
negativos, para os seguintes trens-tipo:
66
5) Determine as envoltórias de esforços cortantes e momentos fletores da
estrutura abaixo:
sabendo-se:
a) Peso Próprio: g = 3tf/m;
b) Trem-tipo:
6 x 3 m
1 2 3 4 5 6 7
67
ANÁLISE ESTRUTURAL I
LISTA DE EXERCÍCIOS 8A
1) Para as estruturas abaixo:
a) Dê o nome.
b) Determine as reações de apoio.
c) Trace os diagramas.
d) Determine as funções que expressam os esforços solicitantes internos nas barras indicadas com (*).
I)
II )
III)
68
IV )
V )
2) Num projeto de um arco de ginásio você pensa nas duas possíveis
soluções estruturais indicadas abaixo. Após resolvê-las, traçando seus
diagramas e verificando os valores máximos dos esforços solicitantes
internos que ocorrem nas duas soluções, você escolherá uma delas e
justificará sua escolha.
69
GABARITOS
DOS
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
70
RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS 1A
1) a) Estrutura hiperestática; estrutura estável.
b) Estrutura hiperestática; estrutura estável.
c) Estrutura hipostática; estrutura instável.
d) Estrutura hipostática; estrutura instável.
e) Estrutura hipostática; estrutura instável.
f) Estrutura isostática; estrutura estável.
g) Estrutura hipostática; estrutura instável.
h) Estrutura hiperestática; estrutura estável.
i) Estrutura isostática; estrutura estável.
j) Estrutura hiperestática; estrutura estável.
2) a) HA = 0; VA = 4 kN; VB = 4kN.
b) HB = 18 kN; VA = 27 kN; VB = -27 kN.
c) HA = -50 kN; VA = -15,625 kN; VB = 15,625kN.
3) a) a.1) HA = 0; VA = 20 kN; VB = -20 kN.
a.2) idem a.1.
a.3) idem a.1.
a.4) idem a.1.
Conclusão: As reações de apoio devidas a um momento aplicado na viga
independem da posição do momento concentrado aplicado. Elas têm que
formar um binário capaz de equilibrar o momento aplicado M e, sendo a
distância entre os apoios L, as forças deste binário equilibrante têm
intensidades iguais a M/L.
b) b.1) HB = 0; VB = 0; VA = 20 kN;
b.2) HB = 0; VA = 15 kN; VB = 5 kN;
b.3) HB = 0; VA = 10 kN; VB = 10 kN;
b.4) HB = 0; VA = 5 kN; VB = 15 kN;
b.5) HB = 0; VA = 0; VB = 20 kN.
71
Conclusão: As reações nos apoios devidas a uma força concentrada
transversal dependem da posição da força na viga. A reação é tão maior
quanto mais próxima do apoio se encontra a força, e tão menor quanto
mais distante. A intensidade da reação de apoio varia de P (quando P
está aplicada sobre o apoio) à zero (quando P está aplicada sobre o
outro apoio da viga).
Resolvendo literalmente uma viga biapoiada com uma carga
concentrada P, temos as seguintes reações de apoio:
HB = 0; VA = Pb/L; VB = Pa/L.
c) DEN - nulos;
a.1) x=0: Q=0; M= -100kNm;
x=1,5: Q=20kN; M= -100kNm;
x=6,5: Q=20kN; M=0.
a.2) x=0: Q=0; M=0;
x=1,5: Q=20kN; M= -100kNm;
x= 6,5: Q=20kN; M=0.
a.3) x=0: Q=0; M=0;
x=1,5: Q=20kN; M=0;
x=3,0: Q=20kN; Me=30kNm; Md= -70kNm;
x= 6,5: Q=20kN; M=0.
a.4) x=0: Q=0; M=0;
x=1,5: Q=20kN; M=0;
x= 4,0: Q=20kN; Me= 50kNm; Md= -50kNm;
x= 6,5: Q=20kN; M=0.
b.1) DEQ - nulo; DMF - nulo;
b.2) x=0: Q=15kN; M=0;
x=1,0: Qe=15kN; Qd= -5kN; M= 15kNm;
x= 4,0: Q= -5kN; M=0.
b.3) x= 0: Q=10kN; M=0;
x=2,0: Qe= 10kN; Qd= -10kN; M=20kNm;
x=4,0: Q= -10kN; M=0.
72
b.4) x=0: Q=5kN; M=0;
x=3: Qe=5kN; Qd= -15kN; M=15kNm;
x=4,0: Q= -15kN; M=0.
b.5) DEQ - nulo; DMF - nulo.
Observar: - As descontinuidades no DEQ são sempre iguais ao valor de P, no nosso
caso 20kN.
- Os momentos fletores máximos ocorrem na seção onde P é aplicada. Nas
seções onde os momentos máximos ocorrem o cortante se anula.
- Para os momentos fletores a posição mais desfavorável, ou seja aquela
que provoca o máximo momento fletor possível, é no meio do vão. No
nosso caso 20kNm.
- Onde a força transversal concentrada é aplicada o DMF faz um bico, ou seja há uma
mudança brusca na tangência, a qual corresponde à descontinuidade de cortantes.
4 e 5) a) Reações de apoio: HC=0; VC=9kN; MC=29kNm;
Seção A : N=0; Q=9kN; Me= -11kNm; Md= -18kNm;
Seção B: N=0; Qe=9kN; Qd=0; M=0;
Seção C: N=0; Q=9kN; M= -29kNm;
Seção D: N=0; Q=0;M=0.
b) Reações de apoio: HF=0; VE=10kN; VF= -10kN;
Seção A: N=0; Q=10kN; M=10kNm;
Seção B: N=0; Qe=10kN; Qd= -30kN; M=30kNm;
Seção C: N=0; Q= -30kN; M=0.
Funções dos esforços internos:
Trecho I: Trecho II: Trecho III:
N(x)= 0; N(x)= 0; N(x)= 0;
Q(x)= 10; Q(x)= -30; Q(x)= 10;
M(x)= 10x; M(x)= -30x+120; M(x)= 10x-10L.
73
c) Reações de apoio: HB=0; VD= -2 tf; VE= 8 tf.
Seção A: N=0; Q= -6 tf; M=0;
Seção B: N=0; QE= -6 tf; QD= 2 tf; M= -9 tfm.
Seção C: N=0; Q= 2 tf; M= -6 tfm.
d) Reações de apoio: HE=0; VE=O; VA=O;
Seção A: N=0; Q=0; M=20kNm;
Seção B: N=0; Q=0; M=20kNm;
Seção C e D: idem seção B.
74
RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS 1B
1) a) Isostática, estável e) Hipostática, instável
b) Hipostática, instável f) Isostática, estável
c) Hiperestática, estável g) Hipostática, instável
d) Isostática, estável h) Isostática, estável
2) a) Reações de apoio: HA=3,46 tf; VA=5,2 tf; VB=2,8 tf
b) Reações de apoio: HB=0; VA=4,75 tf; VB=3,25 tf
c) Reações de apoio: HA=1 tf; VA=0,17 tf; VB=2,83 tf
d) Reações de apoio: HA=0; VA=5KN; VB=5KN
3) a) Reações de apoio: HB=5 tf; VA=9,75 tf; VB=6,91 tf
Esforços em S1 : N=0; Q=9,75 tf; M=14,625 tfm
Esforços em S2 : N=0; Q=1,75 tf; M=32,75 tfm
Esforços em S4 : N=5 tf; Q= -6,91 tf; M=13,82 tfm
b) Reações de apoio: HB=0; VA=0,5 tf; VB= -0,5 tf
Esforços em S1 : N=0; Q=0,5 tf; ME= -4 tfm; MD= -2 tfm
Esforços em S2 : N=0; Q=0,5 tf; M= -1,0 tfm
c) Reações de apoio: HB=-2 tf; VA=1,33 tf; VB=2,67 tf
Esforços em S1 : N= -2 tf; QE=1,33 tf; QD= -2,67 tf; M=0
Esforços em S2 : N= -2,67 tf; Q=2 tf; M= -4 tfm
d) Reações de apoio: HA=5 tf; VA=15,75 tf; VB= -3,75 tf
Esforços em S1E
: N=0; Q= -4 tf; M= -8 tfm
Esforços em S1I: N= -15,75 tf; Q= -5 tf; M= -15 tfm
Esforços em S1S : N= -11,75 tf; Q= -5 tf; M= -23 tfm
Esforços em S4: N= -5 tf; Q=3,75 tf; M= -22,5 tfm
Esforços em S5 : N=3,75 tf; QS=5 tf; QI=0; M=0
75
LISTA DE EXERCÍCIOS 1C/GABARITOS 1)
Para F: MX = 24; MY = 0; MZ = -24 Para F’: MX = -24; MY = 16; MZ = 24 2) ΣMo = -55,34 kNm 3) a) Isostática estável; b) Isostática estável; c) Isostática estável; d) Isostática estável; e) Isostática estável f) Hiperestática estável; g) Isostática estável; 4) a) HA = 3,54 kN ← ; VB = 3,44 kN ↑ ; VA = -4,9 kN ↓ b) HA = 0; VB = 2,5 kN ↓; VA = 2,5 kN ↑ c) HA = 0; HB = 5 kN → ; VA = 3,33 kN ↑ ; VB = 1,67 kN ↑ d) HA = 0; VA = 7,5 kN ↑ ; VB = 7,5 kN ↑ 5) Y X (eixos globais) Z a) RX = 2 kN →; RY = 5 kN ↑; RZ = 0; MX = 20 kNm ; MY = 8 kNm ; MZ = 50 kNm b) N = +2 kN; Qy = -5 kN; Qz = 0; T = +20 kNm; Mz = -15 kNm; My = 8 kNm
Z
(0 ,6 ,0 )(4 ,0 ,4 ) Y
(4 ,6 ,0 )
F
F '
X
76
6) a) QS1 = - 2 kN; NS1 = 0; MS1 = 0 QS2 = - 2 kN; NS2 = 0; MS2 = - 4 kNm
b) QS = - 1,875 kN; NS = 0; MS = 3,75 kNm c) QS1 = - 2 kN; NS1 = - 3 kN; MS1 = - 2 kNm
QS2 = - 2 kN; NS2 = - 3 kN; MS2 = 0
d) QS = 0; NS = 0; MS = - 20 kNm e) QS = - 8,667 kN; NS = 0; MS = 21,334 kNm f) QS = 1,85 kN; NS = 0; MS = 20,9 kNm g) QS1 = 12 kN; NS1 = 0; MS1 = - 56 kNm
QS2 = 9 kN; NS2 = 0; MS2 = - 10 kNm
h) QS = 23,571 kN; NS = 0; MS = - 55,429 kNm i) QS = 0,4 kN; NS = 0; MS = 2,2 kNm j) QS1 = - 23 kN; NS1 = - 16,7 kN; MS1 = - 46 kNm
QS2 = 7,7 kN; NS2 = - 23 kN; MS2 = - 55,4 kNm
k) QS1 = - 15 kN; NS1 = - 20 kN; MS1 = - 40 kNm QS2 = 15 kN; NS2 = 0; MS2 = - 15 kNm
l) QS1 = - 2 kN; NS1 = 0; MS1 = - 1 kNm QS2 = 1,143 kN; NS2 = - 10 kN; MS2 = 1,714 kNm
m) QS1 = 0; NS1 = - 5,625 kN; MS1 = 0 n) QS1 = - 30 kN; NS1 = 0; MS1 = - 48 kNm
QS2 = 0; NS2 = - 54 kN; MS2 = - 216 kNm
o) QS1 = - QS2 = - 3 kN; NS1 = NS2 = - 7,5 kN; MS1 = MS2 = - 3 kNm p) QS = 0; NS = - 4,556 kN; MS = 0 q) QS = - 4,5 kN; NS = 0; MS = - 13,5 kNm r) QS = 0; NS = - 6 kN; MS = 0 s) QS = - 0,999 kN; NS = 0,333 kN; MS = 3,159 kNm
77
RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS 2A
1) a) Estrutura externamente hipostática; estrutura instável;
b) Estrutura externamente hipostática; estrutura instável;
c) Estrutura externamente hiperestática; estrutura instável;
d) Estrutura externamente isostática; estrutura estável;
e) Estrutura externamente hiperestática; estrutura estável;
f) Estrutura externamente hipostática; estrutura instável.
2) a)HA=0; VA=1,56 tf; VB=55,94 tf
Funções dos esforços internos:
Trecho I: 0<x<3
M(x)=1,56x - x=0, M=0
x=3, M=4,68
Q(x)=1,56; N(x)=0.
Trecho II: 3<x<6
M(x)= -2,5x2+6,56x+7,5 - x=3, M=4,68
x=6, M= -43,13
Q(x)= -5x+6,56 - x=3, Q= -8,44
x=6, Q= -23,44
N(x)=0.
Trecho III: 6<x<7,5
M(x)= -2,5x2+62,5x-328,13 - x=6, M= -43,13
x=7.5, M=0
Q(x)= -5x+62,5 - x=6, Q=32,5
x=7.5, Q=25
N(x)=0
3) Reações de apoio: HA=250N; VA=1433N; MA=4665Nm
Esforços internos em S: N= -250N; Q=833N; M= -1266Nm
Funções dos esforços internos:
M(x)= -100x2+1433x-4665 - x=0, M= -4665Nm
x=5, M=0
Q(x)= -200x+1433 - x=0, Q=1433N
78
x=5, Q=433N
N(x)= -250N
4) Seção S1: N=80kN; Q= -10kN; M= -60kNm;
Seção S2: N=-; Q= -10kN; M=30kNm.
5) ESI na seção S: N=0; Q= -40kN; M=80kNm
Reações de apoio: HA= 21,21kN; VA=110kN; VD=61,21kN
Funções dos esforços internos:
Trecho I: 0<x<3 Trecho II: 3<x<6
M(x)=110x; x=0, M=0 M(x)= -40x+450; x=3, M=330 kNm
x=3, M=330 kNm x=6, M=210
Q(x)=110 kN; N(x)= -21,21 kN Q(x)= -40 kN; N(x)= -21,21 kN
Trecho III: 6<x<9
M(x)= -40x+360; x=6, M=120 kNm
x=9, M=0
Q(x)= -40 kN; N(x)= -21,21 kN
6) a) Esforços internos:
Seção S1: N= -1tf; Q=1 tf; M= -1 tfm
Seção S2: N=0; Q=3 tf; M= -4,5 tfm
Seção S3e: N=0; Q= -3 tf; M= -6 tfm
Seção S3d: N=0; Q=4 tf; M= -8 tfm
Seção S3inferior: N= -7 tf; Q=0; M= -2 tfm
b) b.1) Reações de apoio: HB=0; VA=50kN; VB=50kN
Esforços internos:
Seção S1: N=0; Q=50kN; M=75kNm;
Seção S2: N=0; Q=0; M=150kNm;
Seção S3: N=0; Q= -50kN; M=75kNm
Observa-se que para estrutura e carregamento simétricos:
DQ é anti-simétrico e DMF é simétrico
b.2) Reações de apoio: HB=0; VA=20kN; VB=20kN ( )
Esforços internos:
Seção S1: N=0; Q=20kN; M=30kNm;
79
Seção S2: N=0; Q= -30kN; M=0;
Seção S3: N=0; Q=20kN; M= -30kNm
Observa-se que para estrutura simétrica e carregamento anti-simétrico:
DQ é simétrico e DMF é anti-simétrico
7) Reações de apoio: HB=0; VA=3,9 tf; VB=6,6 tf
Esforços internos: Para 0≤x<3
M(x)= -x3/6+3,90x; x=0, M=0
x=3, M=7,2 tfm
Q(x)= -x2/2+3,90; x=0, Q=3,9 tf
x=3, Q=-0,6 tf
Mmáx: -x2/2+3,90=0; Mmáx=7,26 tfm
Para 3≤x0≤5
M(x)= -1,5x2+8,4x-4,5; x=3, M=7,2 tfm
x=5, M=0
Q(x)= -3x+8,4; x=3, Q= -0,6 tf
x=5, Q= -6,6 tf
Coeficientes angulares são os valores de -q(x).:
Em x=0: dQ(x)/dx=0
Em x=3: dQ(x)/dx= -3
9) Reações de apoio: HB= 4 tf; VA= 17 tf; VB= 21 tf
Esforços internos: Seção S: N=4 tf; Q= 7 tf; M= 34 tfm
10) Viga biapoiada, isostática/estável
Reações de apoio: HB=40kN; VA=51kN; VB=51kN
Esforços internos:
Para 0≤x≤1: N(x)=0; M(x)=51x; Q(x)=51
x=0:; Q=51kN; M=0
x=1: Q=51kN; M=51kNm
Para 1≤x≤4: N(x)= -40; Q(x)= -8x2+16x+13; M(x)=-8/3x3+8x2+13x+98/3
x=1: N= -40kN; Q=21kN; M=51kNm
x=4: N= -40kN; Q= -51kN; Me=42kNm
80
Mmáx: -8x2+16x+13=0; Mmáx=73,683kNm
Para 4<x<6: N(x)= -40; Q(x)= -51; M(x)= -51x+306
x=4: N= -40kN; Q= -51kN; Md=102kNm
x=6: N= -40kN; Q= -51kN; M=0
81
RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS 3A
2) Viga Gerber
Vigas sem estabilidade própria ( SEP ): 1ª → x=0 até x=6m;
2ª → x=6m até x=14m
Viga com estabilidade própria ( CEP ): x= 14m até x=24m
Valores dos esforços internos:
x=0: M=0; Q=30kN; N=0;
x=8: M= -80kNm; Qe= -50kN; Qd=28,33kN; N=0;
x=12: M=33,34kNm; Qd=-16,67kN; N= -60kN;
x=16: M= -33,34kNm; Qd=44,17kN; N= -60kN;
x=24: M=0; Q= -35,83kN; N= -60kN.
3) Trata-se de uma viga Gerber e devido à simetria basta analisar uma das vigas
biapoiadas dotadas de balanço (CEP). Como procuramos a viga mais econômica, os
momentos negativos em A e em B devem ser iguais, ou seja XA=XB.
Portanto: VA=qb+qL/2; VB=ql/2+qa=q(L-2a)/2=qL
A viga mais econômica exige também que o máximo momento positivo no vão L seja
igual, em módulo, aos momentos negativos em A e B, ou seja: /MMAX/=/XA/=/XB/.
MMAX=qL2/8-qb2/2 e ocorre no meio do vão L. Igualando /XB/ à MMAX temos:
a=0,1464L; b=0,3536L.
5) a) VA=16,61kN; VB=33,29kN; HA=28,9kN.
Valores dos esforços internos ( eixo local da barra ):
x=0: M=0; Q=28,9kN; N=16,70kN;
x=5,77: M=0; Q= -28,9kN; N=16,7kN
b) Reações de apoio: VA=4,25 tf; VB=3,85 tf; HA=4,2 tf
Funções dos esforços internos:
Para 0 ≤ x ≤ 1,25:
N(x): -4,2+0,72x; Q(x):4,25-1,46x; M(x)=4,25x-1,46x2/2
Para 1,25 ≤ x ≤ 5:
N(x)= -4,2+0,72x+0,6; Q(x)=4,25-1,46x-0,8; M(x)= -0,73x2+3,45x+1
Valores dos esforços internos ( eixo local da barra):
x=0: N= -4,2 tf; Q=4,25 tf; M=0;
x=1,25: Ne= -3,3 tf; Nd= -2,7 tf; Qe=2,43 tf; Qd=1,63 tf; M= 4,17 tfm;
x=5: N=0; Q= -3,85 tf; M=0.
6) Estruturas simétricas submetidas a carregamentos:
• Simétricos → DEC - anti-simétrico; DMF - simétrico
82
• Anti-simétricos → DEC - simétricos; DMF - anti-simétricos
83
LISTA DE EXERCÍCIOS 3B/GABARITOS 2)a) VA = 11,2 kN ↑; VB = 11,8 kN ↑ b) VA = 32 kN ↑; VB = 8 kN ↑ c) VA = 38 kN ↑; VB = 25 kN ↑ d) VA = 46,5 kN ↑; VB = -4,5 kN ↓ e) VA = 16,5 kN ↑; VB = 10,5 kN ↓ f) VA = VB = 40,5 kN ↑ g) VA = 25,25 kN ↑; VB = 52,25 kN ↑ h) H = 3 kN ←; V = 20 kN ↑; M = 30 kNm i) M = 213,33 kNm j) H = 34,6 kN →; V = 45 kN ↑; M = 292,5 kN k) VA= 105 kN ↑; VB = 45 kN ↑ l) VA = VB = 10 kN ↓ m) VA = 24 kN ↑; VB = 16 kN ↓; HA = 15 kN → n) VA= VB = 0 o) VA = 7,5 kN ↑; VB = 112,5 kN ↑; VE = 49 kN ↑; VF = 11 kN ↓ p) VC = 4,7 kN ↑; VA = 12,4 kN ↑; HA = 7,1 kN →; MA = 40 kNm 3)Vigas Gerber a) HA = 0; VA = 12 kN ↓; VB = 22 kN ↑; MA = 56 kNm b) HA= 0; VA = 12,22 kN ↓; VB = 30,55 kN ↑; VC = 33,33 kN ↓; VD = 25 kN ↑ 4)
5) d = 0,828L
1 kN /m0 ,5 kN /m
3 kN
4 kN 5 kN
D M F (kN m )
28
16
1
2 m 4 m 4 m
84
6) a) Viga inclinada bi-apoiada
HA = 80 kN ←; VA = 67,5 kN ↑; VB = 92,5 kN ↑ b) Viga inclinada engastada e livre
HA = 0; VA = 400 kN ↑; MA =2000 kN
85
RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS 4A
1) Viga biapoiada com balanço
Reações de apoio: VA= 10,9 kN; VB= 31,1 kN; HA= -5 kN.
Funções: 0 ≤ x ≤ 4
M(x)= 10,9x; Q(x)= 10,9; N(x)= 5.
x=0: M=0; Q=10,9kN; N(x)=5kN.
x=4: M=43,5kNm; Q=10,9kN; N=5kN.
4 ≤ x ≤ 20:
M(x)= -x2+18,9x-16; Q(x)= -2x+18,9; N(x)=5.
x=4: M=43,5kNm; Q=10,9kN; N=5kN.
x=20: M= -38kNm; Qe= -21,1kN; N=5kN.
20 ≤ x ≤ 30:
M(x)= -5-(30-x)3/30; Q(x)=(30-x)2/10; N(x)=5.
x=20: M= -38,3kNm; Qd=10kN; N=5kN.
x=30: M= -5kNm; Q=0; N=5kN.
2) Trabalhando com uma viga biapoiada com balanço e fazendo /X/=/M/, temos:
b=L-2a, a=0,207L; b=0,586L
3) a) Viga Gerber
Reações de apoio: HB= -5kN; VA=5kN; VB=5kN; VC=21,67kN; VD=3,33kN.
Valores dos esforços internos:
x=5: M=25kNm; Qe=5kN; N=0.
x=10: M=0; Q= -5kN; N=5kN.
x=20: M= -50kNm; Qe= -10kN; N=5kN.
x=23: M= -15kNm; Qe=1,67kN; N=5kN.
x=28: M=0; Q=5kN; N=0.
b) Viga Gerber
Reações de apoio: HC=0; VA=2,5 tf; VB=4,33 tf; VC=28,17 tf; MC=197,6 tfm.
Valores dos esforços internos:
x=7,5: M=187,5 tfm; Qe=2,5 tf.
x=20: M= -12,50 tfm; Qe= -2,5 tf;
x=25: ME= -3,35 tfm; Md= -18,35 tfm; Q=1,83 tf;
x=50: M= -197,6 tfm; Q= -28,17 tf.
DEN - nulo.
4) Reações de apoio: VA= 277,8kN; VB= 272,2kN.
Funções dos esforços internos:
0 ≤ x ≤ 5 ( eixo local da barra AD )
86
M(x)= -8x2+222,2x; Q(x)= -16x+222,2; N(x)=12x-166,6
x=0: M=0; Q=222,2kN; N= -166,6kN;
x=5: M=911,2kNm; Qe=142,2kN; Ne= -106,7kN.
5 ≤ x ≤ 10:
M(x)= -8x2+182,2x+200; Q(x)= -16x+182,2; N(x)=12x-136,6.
x=5: M=911,2kNm; Qd=102,2kN; Nd= -76,6kN.
x=10: M=1222,4kNm; Q=22,2kN; N= -16,6kN.
5) Quadro ou pórtico biapoiado
Reações de apoio: HA=2,4kN; VA=6,4kN; VB=5,6kN.
Esforços internos nas seções chaves:
Seção A: N= -6,7 tf; Q=1,55 tf; M=0;
Seção C: Ne= -3,4 tf; Nd= -2,4 tf; Qe= -0,67 tf; Qd=2,4 tf; M=1,6 tfm;
Seção D: Ne= -2,4 tf; Nd= -5,6 tf; Qe= -5,6 tf; Qd=2,4 tf; M=4,8 tfm;
Seção B: N= -5,6 tf; Q=0; M=0.
6) Quadro ou pórtico engastado
Reações de apoio: HA=15kN; VA=100kN; MA=80kN.
Valores dos esforços internos:
Seção A: M= -80kNm; Q= -15kN; N= -100kN;
Seção B: M= -165kNm; para barra AB: Q= -15kN; N=-100kN
para barra BC: Q= 100kN; N= -15kN;
Seção C: M= -30kNm; para barra BC: Q=0; N= -15kN
para barra CD: Q= 15kN; N=0.
7) Quadro ou pórtico biapoiado dotado de rótula e tirante
Reações de apoio: H2=8 tf; V1=30,75 tf; V2=33,25 tf; N=24,67 tf.
Valores dos esforços internos:
Barra 1: Seção 1: M=0; Q=0; N= -30,75kN;
Seção 3: M= -20kNm; Q= -8kN; N= -30,75kN;
Barra 2: Seção 2: M=0; Q=8 tf; N= -33,25 tf;
Seção 4: M= -40 tfm; Q=8 tf; N= -33,25 tf;
No eixo local da barra 4:
M(x)=17,32x-3,51x2/2-20; Q(x)= -3,51x+17,32;
Fazendo Q(x)=0 → x=4,94m → Mmax=22,77 tfm;
Seção 3: Q=17,32 tf; N= -41,38 tf;
Seção 5: Q= -12,64 tf; N= -30,14 tf.
No eixo local da barra 5:
M(x)=10,30x-3,51x2/2; Q(x)= -3,51x+10,30
Fazendo Q(x)=0 → x=2,94m → Mmax=15,13 tfm
87
Seção 5: Q=10,30 tf; N= -31,02 tf
Seção 4: Q=-19,66 tf; N=-42,26 tf
8) Quadro triarticulado
Reações de apoio: V1=22,67kN; V2=49,33kN; H1= -20kN; H2=0
Valores dos esforços internos:
Barra 1: Seção 1: M=0; Q=20kN; N= -22,67kN;
Seção 3: M=80kNm; Q=20kN; N= -22,67kN;
Barra 2: M(x)= -6x2+22,67x+80; Q(x)= -12x+22,67;
Fazendo Q(x)=0 → x=1,89m → Mmax=101,4kNm
Seção 3: M=80kNm; Q=22,67kN; N=0
Seção 4: M=0; Q= -49,33kN; N=0;
Barra 3: Seção 4: M=0; Q=o; N= -49,33kN;
Seção 2: M=0; Q=0; N= -49,33kN.
88
LISTA DE EXERCÍCIOS 4B/GABARITOS 1) a) Viga Gerber
b) 1º) Como simples associação de vigas isostáticas simples, com ou sem estabilidades próprias → resolvem-se inicialmente as V.I.S. sem estabilidade própria.
2º) Resolvendo a viga associada através da resolução de um sistema de equações formado pelas equações do equilíbrio estático (3 equações) mais as equações de condição (nº necessário ≡ nº de nós rotulados da estrutura associada) obtidas impondo-se Mrot = 0.
2) a) V1 = 16,4 tf ; V2 = 13,6 tf ; H2 = 6 tf b) M8
5 = 8 tfm; M87 = - 20 tfm; M8
8 = -12 tfm
c) NS = -6,81 tf; QS = 0; MS = -3,22 tfm
3) VA = 10,5 tf; VB = 7,5 tf; HB = 0
4) a) Treliça isostática b) Simples
c) Treliça ideal é uma treliça submetida somente a forças nodais. Esta treliça é uma treliça ideal.
d) Se a estrutura e o carregamento são simétricos, o DEC é anti-simétrico e o DMF é simétrico.
5) P = q(b2/8 – a2)/2
6) VA = 4 tf ; VB = 5 tf
7) OBS.: Barras inativas
Na = -13,00 tf; Nb = 1,41 tf; Nc = 12,00 tf; Nd = - 4 tf; Ne = - 5 tf
89
8) a)
V1 = 50L ↑; V6 = 50L ↑; H6 = 0 N1-2 = 23/L N2-3 = 57,5/L N3-4 = 69/L N4-5 = 57,5/L N5-6 = 23/L N1-7 = -46/L N2-7 = 46/L N2-8 = -23/L N3-8 = 23/L N3-9 = 0 N4-9 = 0 N4-10 = 23L N5-10 = -23/L N5-11 = 46/L N6-11 = -46/L N7-8 = -23/L N8-9 = -46/L N9-10 = -46/L N10-11 = -23/L
1 2 3 4 5 6
7 8 9 1 0 1 1
q = 2 0 kN /m
90
b)
V1 = 287,5 kN ↑; H1 = 0, V5 = 212,5 kN ↑ N1-2 = 215,6 kN N2-3 = 215,6 kN N3-4 = 159,4 kN N4-5 = 159,4 kN N1-6 = -359,4 kN N2-6 = 200 kN N3-6 = -35,80 kN N3-7 = 130,86 kN N3-8 = 58,30 kN N4-8 = 100 kN N5-8 = -265,6 kN N6-7 = -204,33 kN N7-8 = -204,6 kN
5 0 kN
2 0 0 kN 1 5 0 kN 1 0 0 kN
2 m
8 m
6 m 6 m 6 m 6 m
1 2 3 4 5
6
7
8
91
RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS 5A
1) a) Pórtico ou quadro bi-apoiado
Reações de apoio: HA=20kN; VA=101,7kN; RC=91,7kN
Valores dos esforços internos:
Barra 1: Seção A: M=0; Q=98kN; N= -57,8kN
Seção B: M=140kNm; Q= -20kN; N= -57,8kN
Barra 2: Seção B: M=140kNm; Q=26,7kN; N= -55kN
Seção C: M=0; Q= -73,3kN; N= -55kN
b) Pórtico ou quadro bi-apoiado
Reações de apoio: VA=43,72 tf; VB=24,35 tf; HB=21,21 tf
Valores dos esforços internos:
Barra 1: Seção A: M=0; Q=33,6 tf; N= -28 tf
Seção C: M=121,8 tfm; Q= -2,4 tf; N=2 tf
Barra 2: Seção C: M=121,8 tfm; Q= -2,2 tf; N= -2,2 tf
Seção B: M=0; Q= -32,2 tf; N= -2,2 tf
c) Pórtico ou quadro triarticulado
Reações de apoio: HA=50kN; VA=157,14kN; HB=50kN; VB=42,86kN
Valores dos esforços internos :
Barra 1: Seção A: M=0; Q=25,6kN; N= -162,9kN
Seção C: M=171,4kNm; Q=25,6kN; N= -162,9kN
Barra 2: Seção C: M=171,4kNm; Q= -42,9kN; N= -50kN
Seção D: M=0; Q= -42,9kN; N= -50kN
Barra 3: Seção D: M=0; Q=50kN; N= -42,9kN
Ponto de carga concentrada de 100kN: M=150kNm; Qe=50kN;
Seção B: M=0; Q= -50kN; N= -42,9kN
d) Pórtico plano composto
Reações de apoio: VA=135kN; VB=45kN; HB=45kN; MB=270kNm
Valores dos esforços internos:
Barra 1: Seção A: M=0; Q=0; N= -135kN
Ponto de carga concentrada de 90kN: M= -270kNm; Q= -90kN;
Seção C: M= -270kNm; Q= -90kN; N= -135kN
Barra 2: Seção C: M= -270kNm; Q=135kN; N= -90kN
Seção D: M=0; Q= -45kN; N= -90kN →Para a barra 2: Mmax=33,8kNm
Barra 3: Seção D: M=0; Q=45kN; N= -45kN
Seção B: M=270kNm; Q=45kN; N= -45kN
2) Reações de apoio: H1=0; V1=161,1kN; V4=238,9kN
92
Funções: Trecho 1-2:M(x)=128,9x; Q(x)=128,9; N(x)= -96,7
Seção 1: Q=128,9kN; M=0; N= -96,7kN
Seção 2: Qe=128,9kN; Ne= -96,7kN; M=644,4kNm
Trecho 2-3: M(x)=48,9x+400; Q(x)=48,9; N(x)= -36,7
Seção 2: Qd=48,9kN; Nd= -36,7kN;
Seção 3: Qe=48,9kN; Ne= -36,7kN; M=888,9kNm
Trecho 3-4: M(x)= -15x2+61,1x+888,9; Q(x)= -30x+61,1; N(x)=0
Seção 3: Qd=61,1kN; Nd=0
Seção 4: Q= -238,9kN; N=0; M=0
→Q=0 → x=2,037m - Mmax=951,1kNm
3) a) Reações de apoio: V1=43,3 tf; H1=13,84 tf; M1=160,3 tfm; V6=9,2 tf; H6=13,84 tf
Valores dos esforços internos:
Seção 1: M= -160,3 tfm; Q=43,3 tf; N=13,84 tf
Seção 2: M=0; Qe=20,8 tf; Qd=2,19 tf; NE=13,84 tf; Nd=24,88kN
Seção 4: M=0; Qe= -2,19 tf; Ne=19,42 tf
Seção 5: M=27,6 tfm; Qe=13,8 tf; N=13,84 tf
Seção 6: M=0; Q= -9,2 tf; N=13,84 tf
b) Reações de apoio: V1=4,3 tf; H1=5,03 tf; V6=4,7 tf; H6=3,97 tf; M6= -5,9 tfm
Valores dos esforços internos:
Seção 1: M=0; Q=4,3 tf; N= -5,03 tf
Barra 1-2 - ponto da carga concentrada de 3 tf:
M=6,6 tfm; Qe=2,3 tf; Qd= -0,7 tf; N=- 5,03 tf
Seção 2: M=0; Qe= -3,7 tf; Qd=0,94 tf; Nd= -6,17 tf
Seção 3: M=0; Qe= -0,47 tf; Ne= -4,76 tf
Seção 4( para barra 3-4): M=6,1 tfm; Q=0,03 tf; N= -3,7 tf
( para barra 4-5): M= -7,5 tfm; Q=4 tf; N=0
( para barra 4-6): M= -13,6 tfm; Q= -3,7 tf; N=3,97 tf
Seção 5: M=0; Q=1 tf; N=0
Seção 6: M= -5,9 tfm; Q= -4,7 tf; N=3,97 tf
c) Pórtico triarticulado
Trecho 1-2: M(x)=0,7407x3-20x2+120x-202,4; Q(x)=2,22x2-40x+120
→Q=0 - x=3,80m - Mmax=5,4kNm
Valores dos esforços internos:
Barra 3: Seção 4: M=0; Q= -50,6kN; N= -120kN
Seção 1: M= -202,4kNm; Q= -120kN; N=56,6kN
Barra 1: Seção 1: M= -202,4kNm; Q=120kN; N= -50,6kN
Seção 2: M=0; N= -50,6kN
93
Barra 2: Seção 3: M= -202,4kNm; Q=60kN; N= -50,6kN
Barra 4: Seção 3: M= -202,4kNm; Q=50,6kN; N= -60kN
Seção 6: M=0; Q=50,6kN; N= -60kN
Barra 5: Seção 4: M=0; Q= -120kN; N=56,6kN
Seção 5: M= -540kNm; Q= -120kN; N=56,6kN
Barra 6: Seção 5: M=221kNm; Q= -64,3kN; N=56,6kN
Seção 6: M=0; Q= -154,3kN; N=56,6kN
Barra 7: Seção 5: M=721kNm; Q=86,5kN; N= -76,9kN
Seção 7: M=0; Q=146,5kN; N= -130,2kN
5) a) Valores dos esforços normais ( em kN ):
N1= -30; N2= -16; N3= -8; N4=19,8; N5= -14; N6=11,32; N7= -8; N8=11,32;
N9=16; N10=8.
b) Valores dos esforços normais ( em tf ):
N1=8,5; N2=17; N3=17; N4= -13; N5=5; N6= -10; N7=0; N8= -20; N9= -10.
c) Reações de apoio: H1=3 tf; V1=1,75 tf; V2=6,25 tf; N=2 tf ( tração - tirante )
Valores dos esforços:
Barra 1: Seção 1: M=0; Q=3 tf; N= -1,75 tf
Seção 3: M=6 tfm; Q=3 tf
Barra 2: Seção 2: M=0; Q=0; N= -6,25 tf
Seção 4: M=0; Q=0; N= -6,25 tf
Barra 4: Seção 3: Q=1 tf
Seção 5: M=7 tfm; Q=1 tf
Barra 5: Seção 4: M=0; Q=2 tf; N= -6,25 tf
Seção 6: M=
d) Reações de apoio: H4=0,3 tf; V4=0,4 tf; V2=0,7 tf
Valores dos esforços normais ( em tf ):
N1= -0,10; N2=0,05; N3= -0,10; N4=0,22; N5= -0,22; N6= -0,56; N7=0,11; N8=0,45;
N9= -0,45; N10= -0,10; N11= -0,40
6) N11=2800Kgf
7) Trata-se de uma treliça composta com funcionamento de Viga Gerber.
Tratando com um todo → Viga Gerber
Tratando em partes → Treliças Simples
Reações de apoio: V1=12 tf; V2=24 tf; V5=24 tf; V6=12 tf
Utilizando Método das Seções para Na ,Nb e Nc :
Na=6 tf; Nb=11,31 tf; Nc= -14 tf
94
LISTA DE EXERCÍCIOS 5B/GABARITOS 2) a) Pórtico bi-apoiado
VA = 16,7 kN ; HA = 23,0 kN ; VB = 1,7 kN b) Pórtico engastado e livre
V = 20,0 kN ; H = 15,0 kN ; M = 17,5 kNm c) Pórtico tri-articulado
VA = VB = 80 kN ; HA = HB = 40 kN Podemos observar que quando a estrutura é simétrica e o carregamento é simétrico, o DMF e o DEN são simétricos e o DEC é anti-simétrico.
d) Pórtico bi-apoiado VA = 17,14 kN ; VB = 2,86 kN ; HB = 10,00 kN
e) Pórtico bi-apoiado com articulação e tirante (tração) V1 = 15,38 kN ; V5 = 16,63 kN ; H5 = 0
f) Pórtico bi-apoiado V1 = 103,4 kN ; V5 = 56,6 kN ; H5 = 0
g) Pórtico tri-articulado V1 = 72 kN ; H1 = 120 kN ; V4 = 72 kN ; H4 = 0
3) a) N1 = N2 = N3 = 31,62 kN
N4 = N5 = N6 = N7 = N8 = 0 N9 = N10 = N11 = -30 kN
b) N2 = 204,00 kN; N4 = 108,00 kN; N7 = 19,21 kN; N11 = -172,90 kN; N12 = -216,00 kN
c) N1 = 8,5 kN; N5 = 5,0 kN; N7 = 0; N9 = -10,0 kN d) N11 = 2694,4 kgf; N19 = 600,0 kgf
4) Pórtico espacial 4) d.1) RA máx. = 9,375 tf
d.2) M máx.B = 7,0 tfm
M mín.B = -4,56 tfm
d.3) Q máx.B = -3,28 tf
95
LISTA DE EXERCÍCIOS 5C/GABARITOS 5) a) NAC = - 30 kN; NBC = 19,8 kN; NCE = - NBD = - 16 kN; NDE = NFG = 11,3 kN;
NEG = NEF = - NDF = - 8 kN; b) NAC = NBD = NCD = NEF = 10 kN; NBC = NDE = - 14,14 kN; NCE = NDF = 0 c) NAD = NCE = - 25 kN; NBD = NBE = - 10,60 kN; NDF = NEF = -14,14 kN;
NDG = NEH = - 15 kN; NFG = NFH = 0; NGI = NHI = - 21,21 kN d) NAC = NAD = NBC = NCD = NCE = NDF = NDG = NEG = NFG = NGH = 0;
NAF = NBE = NEH = - 20 kN e) NAB = NCD = NGH = NIJ = 0; NAF = - 8 kN; NBC = - NDE = - NFG = NHI = 6 kN;
NBF = - NCG = - NDH = NEI = 7,21 kN; NBG = - NCH = - NDI = - NEJ = 4 kN f) N DE = -23,74 kN
N CE = 26,67 kN N CD = 11,84 kN N BD = -31,44 kN N BC = -9,15 kN N AC = 42 kN
g) N AE = -26,32 kN N AB = 17,11 kN N EF = -19,75 kN N BE = 19,88 kN N BF = -19,76 kN N BC = 34,22 kN N CF = 10 kN N CD = 34,22 kN N DF = -39,51 kN
h) N BC = 6,66 kN
N BE = 16,67 kN N GH = -20 kN N AD = -8,33 kN N AF = -15 kN N DG = -10 kN N FG = -20 kN N HI = -20 kN N EH = -10 kN N AB = 6,66 kN N BD = 16,67 kN N CE = -8,33 kN N CI = -15 kN N DF = 25 kN N EI = 25 kN
i) N DE = 5,34 kN N BE = -6,67 kN N AB = -8,34 kN N BD = -8,25 kN N CD = -3 kN
96
N AC = 0 N AD = 10,43 kN
j) N FG = 22,64 kN
N EG = -27,3 kN N EF = 0 N DF = 22,64 kN N CE = -27,3 kN N DE = -54,6 kN N BD = 22,66 kN N CD = 0 N AC = -27,3 kN N BC = 0
97
LISTA DE EXERCÍCIOS 5D / GABARITOS
1) a) Pórtico bi-apoiado VA = 17,5 kN ↑ ; VB = 162,5 kN ↑; HB = 25,0 kN ← b) Pórtico engastado e livre VA = 70 kN ↑; HA = 30 kN →; MA = 115 kNm c) Pórtico tri-articulado
VA = VB = 80 kN ↑; HA = 40 kN →; HB = 40 kN ← d) Pórtico bi-apoiado com articulação e tirante (tração) HB = 4,0 kN ←; VA = 15,375 kN ↑; VB = 16,625 kN ↑; Tirante: N = 12,333 kN e) Pórtico bi-apoiado VA = 80 kN ↑; VB = 60 kN ↑; HA = 28 kN → f) Pórtico engastado e livre VA = 40 kN ↑; HA = 20 kN →; MA = 40 kNm g) Pórtico bi-apoiado VA = 120 kN ↑; VB = 40 kN ↑; HB = 20 kN → h) Pórtico bi-apoiado
HA = 50 kN ←; VA = 15,625 kN ↓; VB = 15,625 kN ↑ i) Pórtico bi-apoiado HA = 0; VA = 125 kN ↑; VB = 85 kN ↑ j) Pórtico bi-apoiado VA = 103,4 kN ↑; VB = 56,6 kN ↑; HB = 60 kN ← k) Pórtico bi-apoiado HA = 78,3 kN ←; VA = 25 kN ↓; VB = 25 kN ↑ l) Pórtico tri-articulado VA = 72 kN ↓; VB = 72 kN ↑; HA = 120 kN ←; HB = 0 m) Pórtico tri-articulado VA = VB = 100 kN ↑; HA = 12,5 kN →; HB =12,5 kN ← n) Pórtico tri-articulado VA=72,2 kN↑; VB = 87,8 kN ↑; HA = 122,2 kN ←; HB = 87,8 kN ← 3) VA = 25 kN ↑; VB = 83 kN ↑; VC = 42 kN ↑; HB = 20 kN →; HC = 10 kN →; MB = 80 kNm 5) a) VA = 50 kN ↑; HA = 10 kN →; MA = 105 kNm
b) VB = 100 kN ↑; MB = 10 kNm c)VA = VB = 50 kN ↑; HA = 17,5 kN →; HB = 57,5 kN ←; MB = 80 kNm d) VA = 360 kN ↑; VB = 120 kN ↑; HA = 960 kN →; HB = 960 kN ←; MA = 2880 kNm
98
RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS 6A
1) a) isostática, estável
b) hipostática, instável
c) hipostática, instável
d) isostática, estável
e)
f) isostática, estável
g) hipostática, instável
2) Valores dos esforços normais (em tf ):
N1=2,5√2; N2= -10√2; N3= -7,5√2; N4=10√2; N5= -20; N6=12,5√2; N7=17,5√2;
N8= -15; N9=17,5√2; N10=12,5√2; N11= -2,5√2; N12= -2,5√2.
3) Grelha triapoiada
Reações de apoio: V1=1,92 tf; V3=5,76 tf; V6=1,55 tf
Valores dos esforços:
Barra 1: Seção 1: M=0; Q=1,92 tf; T=0
Seção 2: M=1,28 tfm; Q= -3,08 tf; T=0
Barra 2: Seção 2: M=0,77 tfm; Q= -3,08 tf; T= -0,03 tfm
Seção 3: M= -5,38 tfm; Q= -3,08 tf; T= -0,03 tfm
Barra 3: Seção 3: M= -5,38 tfm; Q= 2,68 tf; T= -0,03 tfm
Seção 4: M= -0,01 tfm; Q= 2,68 tf; T= -0,03 tfm
Barra 4: Seção 4: M= -0,03 tfm;T=0
Seção 5: Q=0,45 tf; T=0
Barra 5: Seção 5: Q= -1,55 tf; T=0
Seção 6: M=0; Q= -1,55 tf; T=0
Na barra 1: M(x)= -x3/15+1,92x; Q(x)= -x2/5+1,92
Fazendo Q(x)=0 → x=3,10 → MMAX=3,98 tfm
Coeficiente angular da tangente ao diagrama de cortante no nó 5:
-dQ/dx=q=1
5) Treliça composta com cargas fora dos nós
Reações de apoio: V1=8,5 tf; H4=4,04 tf; N( barra 1 ): 4,04 tf
Valores dos esforços normais ( em tf ):
N2= -1,51 tf; N3= -8,08 tf; N4=0,76 tf; N5= -0,76 tf; N6= -4,79 tf
Esforços internos na barra 5:
Seção 2: M=0; Q=0,65 tf; N= -1,13 tf
Seção 4: M=0; Q= -0,65tf; N= -0,38 tf
99
Sendo a estrutura e o carregamento simétricos, os esforços normais também
serão simétricos (iguais).
Se dobrarmos os valores das cargas, os esforços ficam multiplicados por 2,
uma vez que a estrutura é elástica linear (Princípio da Superposição dos Efeitos).
6) Grelha triapoiada
Reações de apoio: V1=8,23 tf; V3=8,12 tf; V4=3,15 tf
Valores dos esforços:
Barra 1: Seção 1: M=0; Q=8,23 tf; T=0;
Seção A: M=24,7 tfm; QE=8,23 tf; QD=0,23 tf; T=0
Seção 2: M=25,4 tfm; Q=0,23 tf; T=0
Barra 2: Seção 2: M=20,4 tfm; Q= -4,12 tf; T=0
Seção 3: M=0; Q= -8,12 tf; T=0
Barra 3: Seção 2: M= -3 tfm; Q= -4,35 tf; T=4 tfm
Seção 4: M=0; Q=3,15 tf; T=0
Coeficiente angular da tangente ao DEC na seção C: -dQ/dx=q=4
A característica importante que o DMF apresenta na seção A é uma mudança
brusca na tangente ao DMF devido à força concentrada.
100
RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS 7A
1) a) LIQ2E - η=1 - 0 ≤ x ≤ 3
η=0 - 3 ≤ x ≤ 15
b) LIQ2D
- 0 ≤ x ≤ 3 - η=3/9-x/9
3 ≤ x ≤ 12 - η=12/9-x/9
12 ≤ x ≤ 15 - η=12/9-x/9
c) LIM2 - 0 ≤ x ≤ 3 - η=x-3
3< x ≤ 15 - η=0
d) LIM3 - 0 ≤ x ≤ 3 - η=2/3(x-3)
3< x ≤ 6 - η=2/3(x-3)
6< x ≤ 12 - η=12/3-x/3
12< x ≤15 - η= -x/3+12/3
2) a) LIR1 - x=0; η=1 b) LIR5 - x=0; η=0 c) LIQ2 - x=0; η=0
x=1,2; η=1 x=1,2; η=0 x=1,2; η=1
x=3,0; η=1 x=3; η=0 x=3; η=1
x=6,0 η=0 x=6,0; η=1 x=6,0 η=0
x=8,0 η= -2/3 x=8,0; η=5/3 x=8,0 η= -2/3
d) LIQ3 - x=0; η=0 e) LIM1 - x=0; η=0 f) LIM2 - x=0; η=0
x=1,2; η=0 x=3,0; η= -3 x=1,2; η=0
x=3,0; η=1 x=6,0; η=0 x=3,0; η= -1,8
x=6,0; η=0 x=8,0; η=2 x=6,0; η=0
x=8,0; η= -2/3 x=8,0; η=1,2
g) LIM4 -x=0; η=0 h) LIM5 -x=0; η=0
x=1,2; η=0 x=1,2; η=0
x=3,0; η=0 x=3; η=0
x=4,5; η=0,75 x=4,5; η=0
x=6,0; η=0 x=6,0; η=0
x=8,0; η= -1 x=8,0; η= -2
3) LIM1 reativo - Barra 1-2: Seção 1: η=0
Seção 2: η=5
Barra 2-3: Seção 2: η=0
Seção 3: η=3
O diagrama denomina-se Linha de Influência do momento reativo em 1.
101
4) I) Para o primeiro trem-tipo:
1) a) LIQ2E → Q2 E- MAX − = -11,5KN; Q2
E MAX + =0
b) LIQ2D → Q2
D - MAX − = -3,58KN; Q2D MAX + =12,5KN
c) LIM2 → M2MAX −= -32,25KNm; M2
MAX +=0
d) LIM3 → M3MAX − = -22,25KNm; M3
MAX + =24,5KNm
2) a) LIR1 → R1MAX − = -7KN; R1
MAX + =12,25KN
b) LIR5 → R5MAX − =0; R5
MAX + =18,75KN
c) LIQ2 → Q2MAX − = -7KN; Q2
MAX + =11,65KN
d) LIQ3 → Q3MAX − = -7KN; Q3
MAX + =10,75KN
e) LIM1 → M1MAX − = -34,5KNm; M1
MAX + =21KNm
f) LIM2 → M2MAX − = -20,16KNm; M2
MAX + =12,6KNm
g) LIM4 → M4MAX − = -10,5KNm; M4
MAX + =8,0625KNm
h) LIM5 → M5MAX − = -21KNm; M5
MAX + =0.
II) Para o segundo trem-tipo:
1) a) LIQ2E → Q2
E MAX − = -17 tf; Q2E MAX + =0;
b) LIQ2D → Q2
D M AX − = -3,83 tf; Q2D MAX + =20,89 tf
c) LIM2 → M2MAX − = -38,5 tfm; M2
MAX + =0
d) LIM3 →M3MAX − = -24,5 tfm; M3
MAX + =37,7 tfm
2) a) LIR1 → R1MAX − = -7,33 tf; R1
MAX + =21,83 tf
b) LIR5 → R5MAX − =0; R5
MAX + =26,5 tf
c) LIQ2 → Q2MAX − = -7,33 tf; Q2
MAX + =18,37 tf
d) LIQ3 → Q3MAX − = -7,33 tf; Q3MAX + =11,5 tf
e) LIM1 → M1MAX − = -43 tfm; M1
MAX + =22 tfm
f) LIM2 → M2MAX − = -22,32 tfm; M2
MAX + =13,2 tfm
g) LIM4 → M4MAX − = -11 tfm; M4
MAX + =8,625 tfm
h) LIM5 → M5MAX − = -22 tfm; M5
MAX + =0.
5)
102
RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS 8A
1) (I)
H3= 8kN
V1= 20kN
V2= 20kN
(II)
H1= 6kN
V5 = 8kN
V3 = 23kN
V1= 5kN
(III)
H1= 90kN
V1= 178,57kN
V4= 81,43kN
(IV)
H1= 4,5kN
V1= 52,82kN
H5= -67,5kN
V5= 67,18kN
(V)
H2= 1tf
V2= 14,8tf
V1= 12,2tf
N (barra 3) = -o,67tf
2) (a)
H1=0
V1= 1800kN
V2= 1800kN
103
(b)
H1= 900kN
V1= 1800kN
H2= 900kN
V2= 1800kN