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Estructuras de Datos EspacialesTópico Especial
Demián Gutierrez
Departamento de Computación
Septiembre 2013
Demián Gutierrez Universidad de Los Andes
Estructuras de Datos Espaciales 1/119
introducción
Demián Gutierrez Universidad de Los Andes
Estructuras de Datos Espaciales 2/119
¿qué tipos de datos vamos a manejar?
P1
P2
P3
P4
P5
L1
L2
L3
R1
R2
R3
R5
R6
R4
...generalmente en 2D, en 3D,y en algunos casos, también n-dimensionales
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Estructuras de Datos Espaciales 3/119
¿qué operaciones vamos a realizar?¿qué problemas vamos a resolver?
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Estructuras de Datos Espaciales 4/119
“construir” una estrucura de datos en base a un conjunto de datos(puntos, líneas, rectángulos, etc)
insertar/eliminar elementos en una estructura de datos(no aplica a todas)
realizar algún tipo de consulta
realizar algún tipo de combinación, división, etc
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Estructuras de Datos Espaciales 5/119
P1
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L1
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R1
R2
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R4
consultas:¿qué “formas” están contenidas en un área dada?
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consultas:¿qué “formas” están contenidas en un área dada?
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stabbing:¿qué “formas” son atravesadas por una recta dada?
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L1
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stabbing:¿qué “formas” son atravesadas por una recta dada?
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L1
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ordenamiento:¿qué “formas” están atrás (o adelante) de qué “formas”?
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L1
L2
L3
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L5
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1
¿2 , 3?
4
5
6
ordenamiento:¿qué “formas” están atrás (o adelante) de qué “formas”?
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P3
P2
P1
P4
P5
P6
P7
P8
P9
punto/objeto más cercano:¿cuál es el punto u objeto más cercano a un punto dado?
(no tratado en el presente tópico especial)
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¿se ve trivial?¿qué algoritmo se les ocurre?
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k=3
una variante:¿cuáles son los k-puntos más cercanos?(no tratado en el presente tópico especial)
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P3
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par de puntos más cercanos:dado un conjunto de puntos ¿cuál es el par de puntos más
cercanos entre si?(no tratado en el presente tópico especial)
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P2
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P7
P8
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¿se ve trivial?¿qué algoritmo se les ocurre?
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búsqueda de patrones y grupos / clasificación:¿qué patrones o grupos existen en un conjunto de puntos?
¿dado un nuevo punto ¿a qué grupo pertenece?
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Estructuras de Datos Espaciales 17/119
tomado de:https://onramps.instructure.com/courses/723227/wiki/classifying-data
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Estructuras de Datos Espaciales 18/119
clasificación / compresión:¿qué áreas o bloques contienen información
similar o del mismo tipo?
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Estructuras de Datos Espaciales 19/119
tomado de:http://ivrg.epfl.ch/supplementary_material/RK_SIGGRAPH_Asia09
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Estructuras de Datos Espaciales 20/119
pathfinding:¿camino óptimo del punto A al punto B? ¿hay un camino?
¿cómo explotar ciertas características espaciales para optimizaralgoritmos tradicionales de búsqueda?
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muchas otrasen general, las estructuras de datos espaciales
tienen un campo de aplicación extremadamente ámplio
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objetivos
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Estructuras de Datos Espaciales 23/119
implementar un conjunto de estructuras de datosespaciales para aprender lo más posible sobre el tema
sentar las bases de lo que puede ser en el futuro unabiblioteca de estructuras de datos espaciales y geometría
computacional escrita en Java
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plan inicial de trabajo
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basado principalmente en el libro deHanan Samet,
The Design and Analisys of Spatial Data Structures+ BSPs (binary space partition)
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Point Data
Nonhierarchical Data Structures
Point Quadtrees
K-D Trees
Range Trees
Region Based Quadtrees
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Collection of Small Rectangles
Plane-Sweep Methods and the Rectangle Intersection Problem
Multiple Quadtree Block Representations
R-Trees
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Volume Data
Region Octrees
PM Octrees
BSP (Binary Space Partition)
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Algunos Extras/Aplicaciones
Hierarchical A*
Marching Squares
Convex Hull (Polígono/Casco Convexo)
Algoritmo de Douglas-Peucker (Suavizado de Polígonos)
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point quadtrees
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son el equivalente, en 2D de un árbol binario de búsqueda
1 3
2
4
5
6
8
7 9
10
11
12
14
13 15
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cada punto en un Point Quadtreedivide el espacio en cuatro cuadrantes
P1
NW NE
SESW
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la división del espacio se hace recursivamentepor cada punto que se inserta
P1
NE
SESW
P2
NW
NW NE
SESW
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Estructuras de Datos Espaciales 34/119
el resultado es una estructura “arborea”,donde cada nodo tiene cuatro hijos
NW NE SW SENW NE SW SE NW NE SW SE NW NE SW SE
NW NE SW SE
...
esta “forma” es bastante común y se verátambién en otras estructuras
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la estrategia de búsqueda consiste en encontrar característicasgeométricas que permitan descartar caminos completos para así
“podar” ramas completas
NW NE SW SENW NE SW SE NW NE SW SE NW NE SW SE
NW NE SW SE
...
esta estrategia es usada también en otras estructuras “arboreas”
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la eliminación, es una operación más compleja que en un árbolbinario de búsqueda (1/3)
1 3
2
4
5
6
8
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10
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14
13 15
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la eliminación, es una operación más compleja que en un árbolbinario de búsqueda (2/3)
1 3
2
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7 9
10
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la eliminación, es una operación más compleja que en un árbolbinario de búsqueda (3/3)
1 3
2
5
6
8
7 9
10
11
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Estructuras de Datos Espaciales 39/119
si se analiza el siguiente point quadtree
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
P9
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Estructuras de Datos Espaciales 40/119
se obtiene el siguiente árbol
... ... P7 ...... ... ... P6 ... P8 ... ... P9 ... ... ...
P2 P3 P4 P5
P1
si queremos eliminar P1, ¿quién es el sucesor o el predecesor?¿con quién se intercambia el nodo que queremos eliminar?
¿hay un orden natural en los datos?
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en este caso, ¿con quién intercambiamos P1?
P1
P6
P7
P8
P9
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¿y en este caso? ¿con quién intercambiamos P1?
P1
P6 P
7
P8
P9
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¿y en este otro caso? ¿con quién intercambiamos P1?
P1
P6 P
7
P8
P9
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buscar un nodo e insertar un hijo tiene un costo promedio deO(log4N)
el peor caso en la búsqueda de un rango es de O(2N1/2)
eliminación (algoritmo simple): se busca el nodo a eliminar(O(log4N)) y se reinsertan los nodos que están por debajo delnodo eliminado (¿O((M +1)log4N), donde M es el número de
hijos del nodo eliminado?)
eliminación (algoritmo complejo): hay algoritmos más complejos ydifíciles de implementar que reducen la cantidad de nodos que es
necesario reinsertar
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10.000 nodos (ver la barra de estado de la captura de pantalla)
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Estructuras de Datos Espaciales 47/119
k-d-trees
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cada punto divide el espacio en dos “semiespacios”
P1
x<=Px1
x> Px1
la división se hace usando sólo una de las coordenadas del puntoy una línea paralela a uno de los ejes
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la coordenada y el eje seleccionados para hacer la divisióndependen del nivel del punto dentro del árbol que conforma la
estructura de datos
P1
x<=Px1
x> Px1
y<=Py2
y> Py2
P2
P3
y<=Py3
y> Py3
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Estructuras de Datos Espaciales 50/119
para niveles impares se utiliza la coordenada X del punto y ladivisión se hace paralela al eje Y, de lo contrario, se utiliza la
coordenada Y y la división se hace paralela al eje X
P1
P2 P3
... ...
P4
... ...
P5
... ...
P6
... ...
P7
x<=Px1
x> Px1
y<=Py2
y> Py2
y<=Py3
y> Py3
x <= > <= > <= > <= >
L1: XL2: YL3: XL4: Y
...
esta idea puede fácilmente extenderse a datosmultidimensionales
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buscar un nodo e insertar un hijo tiene un costo promedio deO(log2N)
el peor caso en la búsqueda de un rango es de O(kN1−1/k),donde k es el número de claves o dimensión del árbol
eliminación: la eliminación es un algoritmo complejo, tienesimilitud con la eliminación en un árbol binario.
la cota máxima de eliminar un nodo seleccionado aleatoriamentees O(log2N), siendo el peor caso eliminar la raiz, que es
linealmente acotado
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Estructuras de Datos Espaciales 52/119
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10.000 nodos (ver la barra de estado de la captura de pantalla)
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Estructuras de Datos Espaciales 54/119
point region quadtree
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dada una región bien definida
usualmente un rectángulo cuyos lados miden 2n
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el espacio se divide recursivamente en cuatro partes según seanecesario, de tal forma que cada parte tenga 1/4 del área del
rectángulo inicialmente definido
P1
el rectángulo inicial corresponde al nodo raiz del árbol,cada división corresponde a un nodo hijo
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en algunos casos no es necesario hacer ninguna división, porqueel punto insertado corresponde a un nodo vacío
P1
P2
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las divisiones se hacen recursivamente a medida que se insertanpuntos. . .
P1
P2
P3
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garantizando que siempre haya sólo un punto por nodo
P1
P2
P3
P4
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esto puede traer algunos problemas
¿cómo se resuelven?
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Plane-Sweep Methods and the RectangleIntersection Problem
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PROBLEMA:¿Qué rectángulos se intersectan con qué rectángulos?
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
Solución ingenua, todos contra todos (muy poco eficiente)
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Estructuras de Datos Espaciales 63/119
Dada una línea, alineada con el eje X se puede “barrer” el planode izquierda a derecha
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
Las coordenadas de inicio y de fin en X de cada rectángulo sepueden almacenar en un árbol binario de búsqueda (o alguna
otra estructura similar) para mantener un orden
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Estructuras de Datos Espaciales 64/119
Cuando se encuentra un rectángulo, se añade a una estructurade datos adicional, pero esta vez, ordenada por el inicio y el fin
en Y de cada rectángulo
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R1
Por la naturaleza del barrido en X se sabe que cada rectánguloen la estructura de datos adicional se intersectan al menos en X
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Estructuras de Datos Espaciales 65/119
Cada vez que se añade un elemento a la estructura de datosadicional se verifica si el rectángulo nuevo se intersecta con
alguno de los rectángulos previamente insertados
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R1, R
2
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Estructuras de Datos Espaciales 66/119
Si se encuentra una intersección en Y, entonces se sabe queambos rectángulos se intersectan en el espacio
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R1, R
2, R
3
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Estructuras de Datos Espaciales 67/119
Cuando el barrido en X llega al final de un rectángulo, lo remuevede la estructura de datos adicional
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R2, R
3
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Estructuras de Datos Espaciales 68/119
etc. . .
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R3
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Estructuras de Datos Espaciales 69/119
etc. . .
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R3, R
4
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Estructuras de Datos Espaciales 70/119
etc. . .
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R4
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Estructuras de Datos Espaciales 71/119
Multiple Quadtree Block Representations
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Estructuras de Datos Espaciales 72/119
. . .
dada una región bien definida,usualmente rectangular
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Estructuras de Datos Espaciales 73/119
. . .
R1
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Estructuras de Datos Espaciales 74/119
. . .
R1
R2
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Estructuras de Datos Espaciales 75/119
. . .
R3
R1
R2
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Estructuras de Datos Espaciales 76/119
. . .
R3
R4
R1
R2
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. . .
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Estructuras de Datos Espaciales 78/119
R-Trees
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Estructuras de Datos Espaciales 79/119
para entender un R-Tree, es necesario entender un B+ Tree
5 5 7 5 7 97 9
11 5 7 9 11 Oops... 5 7 9 11
5 7 9 11
9...
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Estructuras de Datos Espaciales 80/119
5 7 9 11
9
5 7 8 9 11
98
5 7 86 9 11
96
5 6 7 8
7 9...
9 11
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Estructuras de Datos Espaciales 81/119
5 6 7 8
7 9
9 11
4 653 7 8
7 9
9 11
3, 4
43 7 8
5 7 9
9 11
...
5 6
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Estructuras de Datos Espaciales 82/119
eventualmente, no sólo se desborda un nodo hoja sino quetambién se desborda un nódo interno
43 7 8
5 7 9
9 115 6
43 7 8
5 7 9
9 11 12 13
12, 13
5 6
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Estructuras de Datos Espaciales 83/119
en ese momento, el árbol crece un nively al mismo tiempo se mantiene balanceado
43 7 8
5 7 9 12
9 11
...
5 6 12 13
43 7 8
9 12
9 11
...
5 6 12 13
5
7
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Estructuras de Datos Espaciales 84/119
un R-Tree funciona de forma similar, salvo por el hecho de que noexiste un orden absoluto en los datos a almacenar
a b c
a
b
c
a
b
c
d
w x
a c b d
a
b
c
d
e
f
w x
a c e b d f
es perfectamente válido que los rectángulos se solapen entre sí
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Estructuras de Datos Espaciales 85/119
a medida que se insertan nodos, estos se van agrupando enzonas rectangulares, que a su vez se agrupan en zonas
rectangulares y así de forma recursiva.
w y x
c e b d fa g w y
c e b fa g d h
x z
u v
a
b
c
d
e
f
g
w
y x
a
b
c
d
e
f
g h
y x vu
wz
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Estructuras de Datos Espaciales 86/119
dos de las heurísticas principales usadas para agruparrectángulos
a
c e
g
a
c e
g
a
c e
g
a
c e
g
(1)
(2)
(1) minimizar el área de los rectángulos y (2) minimizar el área ola cantidad de intersecciones de los rectángulos
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Estructuras de Datos Espaciales 87/119
también es posible tener r-trees en 3D(tomado de wikipedia)
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Estructuras de Datos Espaciales 88/119
Octrees
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Estructuras de Datos Espaciales 89/119
son estructuras muy similares a los quadtrees, pero en 3D
en lugar de dividir el plano en 4 partes como en los quadtrees,el espacio se divide en 8 partes
(http://en.wikipedia.org/wiki/File:Octree2.svg)
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Estructuras de Datos Espaciales 90/119
los órdenes de ejecución son similares a los de los respectivosquadtrees, sólo que en lugar de usar log4 se usa log8
(por razones evidentes)
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Estructuras de Datos Espaciales 91/119
Binary Space PartitioningBSP
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Estructuras de Datos Espaciales 92/119
en un mundo plano, desde el punto de vista de la cámara,tenemos que “dibujar” los siguientes segmentos
L1
L2
L2 , L
1
L1 , L
2
dependiendo del orden en que se dibujen se obtienendistintos resultados, sólo hay un orden correcto
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Estructuras de Datos Espaciales 93/119
sin embargo, aquí tenemos un problema:
L1
L2
L2 , L
1
L1 , L
2
correcto
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Estructuras de Datos Espaciales 94/119
para resolverlo, es necesario “cortar” uno de los segmentos,transformándolo en dos segmentos distintos
L1
L2
L3
Correcto: L3 , L
2 , L
1
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Estructuras de Datos Espaciales 95/119
BSP 2D: Prestar atención al punto amarillo (1/2)
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Estructuras de Datos Espaciales 96/119
BSP 2D: Prestar atención al punto amarillo (2/2)
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Estructuras de Datos Espaciales 97/119
BSP 3D
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Estructuras de Datos Espaciales 98/119
Algunos “Extras"
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Estructuras de Datos Espaciales 99/119
desde hace algún tiempo, me interesa mucho el problema de labúsqueda de caminos
después de todo, si se desea implementar un “ambiente virtual” oun buen juego masivo multijugador de rol es importante tener una
buena IA, y para esto es muchas veces es crítico tener unabuena búsqueda de caminos
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Estructuras de Datos Espaciales 100/119
con mapas pequeños, es fácil y eficiente buscar caminos entredos puntos usando Dijkstra, una búsqueda por amplitud o A*
Tomado de:http://theory.stanford.edu/ amitp/GameProgramming/
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Estructuras de Datos Espaciales 101/119
con un mapa grande tenemos problemas de rendimientocada pixel es un nodo: 1024 nodos por 1024 nodos = 1048576
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Estructuras de Datos Espaciales 102/119
Dijkstra: 6.9 segundos
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Estructuras de Datos Espaciales 103/119
A*: 3.6 segundos
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Estructuras de Datos Espaciales 104/119
una posible solución. . .
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Estructuras de Datos Espaciales 105/119
A* jerárquico: 0.15 segundos
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Estructuras de Datos Espaciales 106/119
el problema también se puede atacar desde otro punto de vista
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Estructuras de Datos Espaciales 107/119
el mapa originalTomado de: http://www.ai-blog.net/archives/000152.html
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Estructuras de Datos Espaciales 108/119
una posibilidad es usando waypoints,pero esta estrategia trae muchos problemas
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Estructuras de Datos Espaciales 109/119
la mejor solución es usando mallas de navegación,pero el problema es construir las mallas para cada mapa
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Estructuras de Datos Espaciales 110/119
recast: genera automáticamente mallas de navegacióndetour: calcula caminos en función de las mallas de navegación
http://www.mooncollider.com/recast-and-detour/
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Estructuras de Datos Espaciales 111/119
mi intento:En 2D y es un trabajo en progreso. . .
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Estructuras de Datos Espaciales 112/119
calcular los contornos de las paredes y obstáculos(usando marching squares)
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Estructuras de Datos Espaciales 113/119
marching squares: casos posibles
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Estructuras de Datos Espaciales 114/119
marching squares: detalle de la imagen
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Estructuras de Datos Espaciales 115/119
bien, pero: ¿cual es el problema con el “marching squares”?ver la imagen a detalle:
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para resolver el problema, se implementó el algoritmo de DouglasPeucker, que básicamente sirve para simplificar polígonos
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aún quedan algunos problemas que resolver
pero la idea es, una vez que se resuelva el problema de loscontornos, aplicar una Triangulación Delaunay y usar el resultado
como malla de navegación
to be continued. . .
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¿Futuro?
Continuar desarrollando la colección de estructuras de datos yalgoritmos para transformarla en una biblioteca de estructuras de
datos espaciales y algoritmos de geometría computacional
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