Estimação de parâmetrosAula 05

Prof. Christopher Freire SouzaCentro de TecnologiaUniversidade Federal de Alagoaswww.ctec.ufal.br/professor/cfs

Objetivos

•Desenvolver habilidades para estimar valores de parâmetros

•Promover o entendimento do que são intervalos de confiança

•Desenvolver habilidades para estimar tamanhos amostrais

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Christopher Souza: Estimação de

parâmetros

Relevância do conteúdo• Estimação de

parâmetros serve a dois propósitos:▫ Comparar populações▫ Ajustar modelos de

distribuição de probabilidades a dados amostrais no intuito de permitir interpolações e extrapolações sobre freqüências de ocorrência de valores.

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parâmetros

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Conteúdo

•Características dos estimadores•Estimação Pontual•Intervalos de confiança•Margem de Erro•Tamanhos amostrais

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parâmetros

Características dos estimadores• Consistência –

• Ausência de viés –

• Eficiência –

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parâmetros

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Estimadores pontuais

•Método gráfico•Método dos momentos•Método dos mínimos quadrados•Método da máxima verossimilhança

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Método gráfico• Papéis de probabilidade e posição de plotagem definida via

estimativa empírica de probabilidade

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parâmetros

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0,50

Método gráfico• Ajuste de reta aos dados

dispostos segundo fórmula de posição de plotagem (qi é a probabilidade empírica)

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parâmetros

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0,50

Método gráfico• Estimativa de parâmetros

a partir da relação entre equação da reta e variáveis dispostas nos eixos▫ Grigorten:

qi=(i-0,44)/(n+0,12)

▫ Gumbel:▫ Inversa:

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Método gráfico• Grau de linearidade dos

dados dispostos no gráfico serve à avaliação do ajuste ao modelo de distribuição para o qual foi elaborado o papel de probabilidade

• Quantidade de dados pode levar as posições de plotagem de probabilidades a valores que mais aproximem dados à reta▫ Grigorten:

qi=(i-0,44)/(n+0,12)

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Método dos Momentos• Aproxima-se a estimativa de parâmetros

populacionais por meio de estimativas de momentos amostrais.

• Os “m” coeficientes de um modelo de distribuição de probabilidades podem ser aproximados pelas equações dos “m” primeiros momentos amostrais.

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Método dos MomentosAmostra Médi

aMediana

Amp. Var. std Prop. Ímpar

Prob.

1,1 1,0 1,0 0 0,0 0,0 1 1/9

1,2 1,5 1,5 1 0,5 0,707

0,5 1/9

1,5 3,0 3,0 4 8,0 2,828

1 1/9

2,1 1,5 1,5 1 0,5 0,707

0,5 1/9

2,2 2,0 2,0 0 0,0 0,0 0 1/9

2,5 3,5 3,5 3 4,5 2,121

0,5 1/9

5,1 3,0 3,0 4 8,0 2,828

1 1/9

5,2 3,5 3,5 3 4,5 2,121

0,5 1/9

5,5 5,0 5,0 0 0,0 0,0 1 1/9Média amostral 8/3 8/3 16/9 26/9 1,3 2/3Média populacional

8/3 2 4 26/9 1,7 2/3

Sem Viés Sim Não Não Sim Não Sim

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Método dos Mínimos Quadrados• Estimação dos coeficientes de um modelo de

distribuição, e.g., ŷi=a+b.xi, para minimizar os quadrados das diferenças (ei) entre valores de frequências amostrais (yi) e estimadas por meio de funções densidade de probabilidades (ŷi).

• Estimativa de coeficientes a partir de valores de mínimas diferenças a partir de:

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Método da Máxima Verossimilhança• Função de verossimilhança definida como a

probabilidade conjunta de obter coincidentemente/concomitantemente a melhor aproximação da função para a definição do coeficiente

• O valor do coeficiente que resulta nas melhores estimativas é obtido para um valor de máximo da função de verossimilhança, sendo estimado a partir do seu valor para quando a derivada é nula.

• É frequente o emprego do logaritmo

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Método da Máxima Verossimilhança• A solução de funções de máxima verossimilhança

por vezes demanda esforço formidável• Uma alternativa tem sido a aplicação de soluções

iterativas que consistem em adequar a equação para uma expressão do tipo , quando originalmente se apresentava a equação

• A estratégia consiste em adotar valor para x e identificar quando (x) se aproxima de x, alterando o valor de x iterativamente.

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f(x) = (x) – x

(x) = x

Comparação de métodos• Máxima verossimilhança sugere parâmetros

considerados mais eficientes. Para pequenos tamanhos de amostra, a qualidade do estimador é comparável ou inferior ao de outros métodos.

• Métodos dos momentos são mais simples, mas seus parâmetros apresentam qualidade inferior para funções com 3 ou mais parâmetros.

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Caso em estudo: Paraná em Itaipú• Desenvolvido por Gláucia

Nascimento e Christopher Souza

• Séries de vazões naturais para anos hidrológicos de cheias entre 1962 e 2006

• Ajuste do modelo GEV a máximos anuais

• Uso da função “gevfit” para sugestão de valor inicial dos coeficientes

• Modificação dos coeficientes pela soma dos valores apresentados na legenda

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

x 104

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Vazão

TR

Mudanças no Parâmetro 1

-1000

-500

-100

300

700

1000ppWeibull

GEV

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parâmetros

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Caso em estudo: Paraná em Itaipú

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parâmetros

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1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

x 104

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Vazão

TR

Mudança no parâmetro 2

-1000

-500

-100

300

700

1000ppWeibull

GEV

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 104

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Vazão

TR

Mudança nos parâmetros 1 e

2

0

700

1300

1900

2500

3000ppWeibull

GEV

Intervalos de confiança

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“Estamos 95% confiantes de que o intervalo ± E contém o valor de ”̂

Intervalos de confiança (proporção)• Requisitos:

▫ Amostra aleatória simples.▫ Condições para a

distribuição binomial satisfeitas.

▫ Haver pelo menos 5 sucessos e 5 fracassos, o que permite aproximar pela distribuição normal

• Associa-se um grau de confiança, e.g. 95%, de que o valor do parâmetro de proporção esteja inserido no intervalo construído a partir da proporção amostral

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População Infinita Finita

Margem de Erro

Tamanho da Amostra

Intervalos de confiança(, para conhecido)• Requisitos:

▫ Amostra aleatória simples.

▫ Teorema do limite central (Normal se não houver outlier e histograma ~ forma de sino)

• Associa-se um grau de confiança, e.g. 95%, de que o valor do parâmetro de média esteja inserido no intervalo construído a partir da média amostral

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População Infinita Finita

Margem de Erro

Tamanho da Amostra

Intervalos de confiança(, para desconhecido)• Requisitos:

▫ Amostra aleatória simples.

▫ Teorema do limite central (Normal se não houver outlier e histograma ~ forma de sino)

• Associa-se um grau de confiança, e.g. 95%, de que o valor do parâmetro de média esteja inserido no intervalo construído a partir da média amostral

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• Margem de Erro▫ População infinita

▫ População finita

Intervalos de confiança (²)• Requisitos:

▫ Amostra aleatória simples.▫ Distribuição normal

mesmo para grandes amostras

• Associa-se um grau de confiança, e.g. 95%, de que o valor do parâmetro de variância esteja inserido no intervalo construído a partir da variância amostral

• Estima-se desvio populacional a partir da raiz da estimativa do parâmetro de variância

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Bootstrap• Não tem pré-requisitos• Consiste na obtenção de

estatísticas amostrais de reamostragens de n valores da amostra com repetição

• Estima-se intervalos de confiança a partir do valor de percentis

• Exemplo de dados não-normais

• 2,9 564,2 1,4 4,7 67,6 4,8 51,3 3,6 18,0 3,6

• Exemplo de uma replicação

• 2,9 3,6 1,4 18,0 67,6 4,8 51,3 3,6 18,0 3,6

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