Post on 07-Feb-2019
Estabilidade de Sistemas Lineares Realimentados
◮ Analise de Estabilidade:
• Criterio de estabilidade de Routh
Fernando de Oliveira Souza pag.1 Engenharia de Controle – Aula 9
James Watt
James Watt (Escocia, 19/01/1736 - Inglaterra, 25/08/1819)
• 1788: Governador por bolas flutuantes
Fernando de Oliveira Souza pag.2 Engenharia de Controle – Aula 9
James Clerk Maxwell
James Clerk Maxwell (Inglaterra, 13/06/1831 - 05/10/1879)
• 1868: Desenvolveu equacoes
diferenciais, linearizadas, do
governador e concluiu que o sis-
tema e estavel se as raızes da
E.C. tiverem parte real nega-
tiva.
• 1877: Participou do comite
do Premio Adams, problema:
analise de estabilidade.
Fernando de Oliveira Souza pag.3 Engenharia de Controle – Aula 9
Edward John Routh
Edward John Routh (Canada, 20/01/1831 - Inglaterra, 07/06/1907)
• 1877: Venceu o premio Adams,
determinou um criterio baseado
nos coeficientes da E.C. que ve-
rifica se suas raızes tem parte
real negativa.
• Foi o primeiro de sua classe na
Cambridge University em 1854,
enquanto J. C. Maxwell foi o se-
gundo.
Fernando de Oliveira Souza pag.4 Engenharia de Controle – Aula 9
Adolf Hurwitz
Adolf Hurwitz (Alemanha, 26/03/1859 - Suıssa, 18/10/1919)
• 1895: propos de forma indepen-
dente um metodo equivalente
ao de Routh;
• Muitas vezes o metodo e
chamado como Routh-Hurwitz.
Fernando de Oliveira Souza pag.5 Engenharia de Controle – Aula 9
Estabilidade de Sistemas Lineares
⊲ O conceito de estabilidade e crucial na sıntese de
sistemas de controle realimentados
⊲ Nao e exatamente uma especificacao, mas sim um
pre-quesito para projeto...
Fernando de Oliveira Souza pag.6 Engenharia de Controle – Aula 9
Estabilidade de Sistemas Lineares
⊲ Estabilidade absoluta: o sistema e estavel ou nao
⊲ Estabilidade relativa: para um sistema estavel pode-se
atribuir graus de estabilidade (Item da proxima aula)
⊲ A localizacao dos polos em malha fechada indica o
tipo da resposta temporal e da estabilidade relativa
⊲ Condicao necessaria e suficiente para que um sistema
seja estavel e que todos os polos da FT tenham parte real
negativa
Fernando de Oliveira Souza pag.7 Engenharia de Controle – Aula 9
Estabilidade de Sistemas Lineares
G(s) =1
(s − p1)(s − p2)
p1,2 = −2 ± j5 p1,2 = ±j5 p1,2 = 2 ± j5
0 2 40
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0 2 40
0.02
0.04
0.06
0.08
0 2 4−800
−600
−400
−200
0
200
400Estavel Marginalmente Estavel Instavel
TempoTempoTempo
Fernando de Oliveira Souza pag.8 Engenharia de Controle – Aula 9
Estabilidade de Sistemas Lineares
G(s) =1
(s − p1)(s − p2)(s − p3)(s − p4)
p1,2 = −2 ± j5 p1,2 = ±j5 p1,2 = 2 ± j5
p3,4 = −2 ± j5 p3,4 = ±j5 p3,4 = 2 ± j5
0 2 40
0.5
1
1.5
2x 10
−3
0 2 4−0.02
−0.01
0
0.01
0.02
0.03
0 2 4−200
−100
0
100
200Estavel Instavel Instavel
TempoTempoTempo
Fernando de Oliveira Souza pag.9 Engenharia de Controle – Aula 9
Estabilidade de Sistemas Lineares
Metodos para verificar estabilidade (ou nao):
1. Routh-Hurwitz (no plano-s)
2. Nyquist (domınio da frequencia)
3. Analise temporal
Por que aplicar algum metodo se basta calcular os polos da
Eq. Caracterıstica (EC) e verificar o sinal da parte real ? Os
metodos acima nao“calculam”as raızes da EC ...
Potencialidades ?
Fernando de Oliveira Souza pag.10 Engenharia de Controle – Aula 9
Analise de Estabilidade
⊲ O criterio e um metodo que fornece uma resposta
direta sobre a questao de estabilidade de sistemas lineares
⊲ Para a EC:
∆(s) = ansn + an−1s
n−1 + · · · + a1s + a0
= an(s − r1)(s − r2) · · · (s − rn)
= 0
ri e a i-esima raiz da EC. Para estabilidade, e necessario
verificar se todas estas raızes estao no semi-plano esquerdo
Fernando de Oliveira Souza pag.11 Engenharia de Controle – Aula 9
Analise de Estabilidade: Condicao Necessaria
Expandindo ∆(s) obtem-se
∆(s) = ansn− an(r1 + r2 + · · · + rn)s
n−1
+an(r1r2 + r2r3 + · · · )sn−2
−an(r1r2r3 + r1r2r4 + · · · )sn−3
+ · · · + (−1)nan(r1r2r3 · · · rn) = 0
Examinando ∆(s), pode-se notar que se todas as raızes
estiverem no semi-plano esquerdo, todos os termos do
polinomio tem o mesmo sinal. Alem disso, nenhum
coeficiente poderia ser nulo.
Fernando de Oliveira Souza pag.12 Engenharia de Controle – Aula 9
Analise de Estabilidade: Condicao Necessaria
Para a estabilidade
• Todos os coeficientes da E.C. devem ter o mesmo sinal
• Nenhum coeficiente pode ser nulo.
⊲ Estas condicoes sao apenas necessarias, ie, se alguma
nao se verificar, o sistema e instavel, caso contrario nao
pode-se afirmar que seja estavel...
Fernando de Oliveira Souza pag.13 Engenharia de Controle – Aula 9
Criterio de Routh
Exemplo O polinomio abaixo tem coeficientes positivos
porem nao e estavel
∆(s) = s3 + s2 + 11s + 51
= (s + 3)(s−1 + 4j)(s−1 − 4j)
O que fazer ? Utilizar condicoes necessarias e suficientes
para verificar estabilidade: ex. criterio de Routh
Fernando de Oliveira Souza pag.14 Engenharia de Controle – Aula 9
Criterio de Routh
Um sistema e estavel se, e somente se,
todos os elementos na primeira coluna
do arranjo de Routh forem positivos
Criterio de Routh assegura que o numero de raızes com
parte real positiva e igual ao numero de mudanca de sinais
dos elementos da primeira coluna do arranjo de Routh
Fernando de Oliveira Souza pag.15 Engenharia de Controle – Aula 9
Criterio de Routh
Analise de Estabilidade: Criterio de Routh
∆(s) = ansn + an−1s
n−1 + · · · + a1s + a0
Como aplica-lo ? Organiza-se os coeficientes da EC
(∆(s)) na forma de um arranjo do tipo
sn an an−2 an−4 · · ·
sn−1 an−1 an−3 an−5 · · ·
Fernando de Oliveira Souza pag.16 Engenharia de Controle – Aula 9
Criterio de Routh
O arranjo completo tem a forma:
sn an an−2 an−4 · · ·
sn−1 an−1 an−3 an−5 · · ·
sn−2 b1 b2 b3
sn−3 c1 c2 c3...
......
...
s0 ?1
⊲ Como obter as linhas subsequentes?
Fernando de Oliveira Souza pag.17 Engenharia de Controle – Aula 9
Criterio de Routh
sn an an−2 an−4 · · ·
sn−1 an−1 an−3 an−5 · · ·
sn−2 b1 b2 b3
sn−3 c1 c2 c3...
......
...
s0 ?1
sendo que
b1 =(an−1)(an−2) − an(an−3)
an−1
=−1
an−1
∣
∣
∣
∣
∣
an an−2
an−1 an−3
∣
∣
∣
∣
∣
Fernando de Oliveira Souza pag.18 Engenharia de Controle – Aula 9
Criterio de Routh
sn an an−2 an−4 · · ·
sn−1 an−1 an−3 an−5 · · ·
sn−2 b1 b2 b3
sn−3 c1 c2 c3...
......
...
s0 ?1
sendo que
b2 =−1
an−1
∣
∣
∣
∣
∣
an an−4
an−1 an−5
∣
∣
∣
∣
∣
Fernando de Oliveira Souza pag.19 Engenharia de Controle – Aula 9
Criterio de Routh
sn an an−2 an−4 · · ·
sn−1 an−1 an−3 an−5 · · ·
sn−2 b1 b2 b3
sn−3 c1 c2 c3...
......
...
s0 ?1
sendo que
c1 =−1
b1
∣
∣
∣
∣
∣
an−1 an−3
b1 b2
∣
∣
∣
∣
∣
Fernando de Oliveira Souza pag.20 Engenharia de Controle – Aula 9
Criterio de Routh
Exemplo de sistema de 2a ordem
∆(s) = a2s2 + a1s + a0
o arranjo de Routh e
s2 a2 a0
s1 a1 0
s0 b1 0
⇒ b1 =(a1)(a0) − a2(0)
a1
= a0
⊲ Portanto um sistema de 2a. ordem e estavel se os coeficientes da
EC forem todos positivos ou todos negativos
Fernando de Oliveira Souza pag.21 Engenharia de Controle – Aula 9
Exercıcio 1
• Determine quantas raızes do polinomio abaixo estao no
SPD.
∆(s) = s6 + 4s5 + 3s4 + 2s3 + s2 + 4s + 4
Fernando de Oliveira Souza pag.22 Engenharia de Controle – Aula 9
Exercıcio 1
∆(s) = 1s6 + 4s5 + 3s4 + 2s3 + 1s2 + 4s + 4
o arranjo de Routh e
s6 1 3 1 4
s5 4 2 4 0
s4 5/2 0 4
s3 2 −12/5 0
s2 3 4
s1 −76/15 0
s0 4
⊲ Portanto, o polinomio tem duas raızes no SPD.
Fernando de Oliveira Souza pag.23 Engenharia de Controle – Aula 9
Exercıcio 2
• Determine para qual faixa de valores de K o sistema
abaixo e estavel.
Ks+1
s(s−1)(s+6)
R(s) Y (s)+
−
Fernando de Oliveira Souza pag.24 Engenharia de Controle – Aula 9
Exercıcio 2
∆(s) = s3 + 5s2 + (K − 6)s + K
o arranjo de Routh e
s3 1 K − 6
s2 5 K
s1 (4K − 30)/5
s0 K
para a estabilidade temos
4K − 30
5> 0 e K > 0
⊲ Portanto, o sistema e estavel se (K > 7,5).
Fernando de Oliveira Souza pag.25 Engenharia de Controle – Aula 9
Exercıcio 3
• Determine para qual faixa de valores dos parametros
K e KI o sistema abaixo e estavel.
K + KI
s
1(s+1)(s+2)
R(s) Y (s)+
−
Fernando de Oliveira Souza pag.26 Engenharia de Controle – Aula 9
Exercıcio 3
∆(s) = s3 + 3s2 + (2 + K)s + KI
o arranjo de Routh e
s3 1 2 + K
s2 3 KI
s1 (6 + 3K − KI)/3
s0 KI
⊲ Portanto, o sistema e estavel se
KI > 0 e K >1
3KI − 2
Fernando de Oliveira Souza pag.27 Engenharia de Controle – Aula 9
Exercıcio 4
• Determine quantas raızes do polinomio abaixo estao no
SPD.
∆(s) = s5 + 2s4 + 2s3 + 4s2 + 11s + 10
Fernando de Oliveira Souza pag.28 Engenharia de Controle – Aula 9
Exercıcio 4
obtem-se o arranjo
s5 1 2 11
s4 2 4 10
s3 0 6 0
s2 ? ? ?
s1 ? ? ?
s0 ? ? ?
⊲ Casos especiais: Casos em que ha zeros na primeira
colunaFernando de Oliveira Souza pag.29 Engenharia de Controle – Aula 9