Estabilidade de pontos de equilíbrio - microsistemascol.com · 3.7.2. Métodos baseados em...

Estabilidade de pontos de equilíbrio

Exemplos

3.4.2. Método de Lyapunov da linearização

Exemplo

• Serie de Taylor f(x) ≈ f(a) + f '(a) (x-a) + (1/2!) f ' '(a) (x-a)2 + ...... + (1/n!) f (n)(a) (x-a) n

• Ponto (a) x´= - x3-x+(x3/6) , então x´=-x

3.5. Método Directo de Lyapunov

Exemplo

3.5.5. Teorema de Lyapunov (estabilidade local)

3.5.5. Teorema de Lyapunov (estabilidade global)

Exemplo

3.5.6. Teorema de Lyapunov (instabilidade)

3.6. Função de Lyapunov de sistemas lineares

3.6.2. Função de Lyapunov para SLIT

3.7. Função de Lyapunov de sistemas não lineares

• 3.7.1. Métodos analíticos Uma maneira simples de obter uma função candidata a função de Lyapunov é a que decorre do seguinte teorema:

Exemplo: Obter uma função de Lyapunov para o sistema autónomo

3.7.1.2. Teorema de Krasovskii generalizado

3.7.1.3. Método do gradiente variável

Exemplo:

3.7.2. Métodos baseados em conceitos físicos

• Por vezes utiliza-se o conhecimento que se tem sobre a física do processo para a

obten-ção da função de Lyapunov associada a um determinado sistema. • Esta anda de um modo geral associada ao conceito de energia (potencial,

cinética, eléctrica, magnética) e ao facto de que normalmente a sua soma (potencial+cinética, para sistemas mecânicos ou eléctrica+magnética para sistemas eléctricos) se dissipa com o decorrer do tempo.

• A energia tem um valor essencialmente positivo ou nulo, o que significa ser V(x) definida positiva.

• A dissipação significa que V(x) diminui e tende para zero quando x→0, ou seja, V´( x) é definida negativa.

• Este método é vantajoso em relação aos métodos matemáticos sempre que se lida com sistemas de ordem elevada.

3.8. Conjuntos invariantes A introdução do conceito de conjunto invariante e dos teoremas a ele associados, permi-te analisar a estabilidade de sistemas no caso em que a função de Lyapunov não permite efectuar o estudo da estabilidade em torno de um ponto de equilíbrio.

Os dois teoremas que se seguem são relativos à estabilidade de um sistema numa região contendo um conjunto invariante (estabilidade local) e em todo o espaço de estados (estabilidade global 3.8.2. Teorema local do conjunto invariante

3.8.3. Teorema global do conjunto invariante

• Exemplo

3.9. Estabilidade de sistemas não autónomos

Os conceitos de estabilidade de sistemas não autónomos são muito semelhantes aos que foram definidos para os sistemas autónomos. No entanto, uma vez que o tempo aparece explicitamente nas equações do sistema, é de esperar que este também apareça nas defi-nições de estabilidade, e em particular surja o instante t0 em que o sistema inicia a sua trajectória, em vez do instante 0.

Exemplo:

3.9.5. Método directo de Lyapunov para sistemas lineares não autónomos.

3.9.6. O método da linearização para sistemas não autónomos

O método da linearização apresentado para sistemas autónomos pode ser estendido a sistemas não autónomos. Seja o sistema não autónomo (3.72). O desenvolvimento do 2º membro do sistema em série de Taylor, em torno de xe=0, conduz a

3.9.7. Teoremas sobre instabilidade

Os teoremas que se seguem utilizam o método directo de Lyapunov e aplicam-se tanto a sistemas autónomos com não autónomos. Indicam condições suficientes para que um sistema seja instável. Considere-se o sistema (3.72) e 3.9.7.1. Primeiro teorema sobre instabilidade

3.10. Existência de funções de Lyapunov

3.11. Estabilidade absoluta

3.11.1. Sistema linear com realimentação não linear

Exemplo

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