Post on 22-Apr-2015
Espaços Vectoriais
A – Conjunto não vazio* – Operação definida sobre os elementos de A
(A,*) GRUPÓIDE * é lei de composição interna
x*yA, x,yA
(A,*) SEMIGRUPO (A,*) é grupóide * é associativa
(x*y)*z=x*(y*z), x,y,zA
(A,*) MONÓIDE (A,*) é semigrupo * tem elemento neutro
eA : x*e=e*x=x, xA
(A,*) GRUPO (A,*) é monóide e todos os elementos de A * têm oposto relativamente a *
xA x'A : x*x'=x'*x=e
Espaços Vectoriais
A estrutura (A,*) diz-se ABELIANA ou COMUTATIVA se a operação * for comutativa
x*y=y*x, x,yA
Espaços Vectoriais
A – Conjunto com mais do que um elemento – Operação aditiva – Operação multiplicativa
(A,,) ANEL (A, ) grupo comutativo
(A, ) semigrupo
é distributiva relativamente a
é distributiva relativamente a x(yz)=(xy)(xz)
(xy)z=(xz)(yz), x,y,zA
O anel (A,,) diz-se comutativo se for comutativa
Espaços Vectoriais
O elemento neutro de (se existir) diz-se unidade do anel.
O elemento neutro de diz-se zero do anel.
Propriedade: 0 1
(A,,) CORPO (A, , ) anel com unidade
(A\ 0 , ) grupo comutativo
Espaços Vectoriais
Exemplos de CORPOS:
- Conjunto dos números racionais
- Conjunto dos números reais
- Conjunto dos números complexos
...
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E – conjunto não vazio (conjunto dos vectores)
K – corpo (conjunto dos escalares)
Operações (em K):
- Adição de vectores
: E E E
x, y x y
- Multiplicação de um escalarpor um vector
: K E E
,x x
Operações (em E):
- Adição de escalares
: K K K
,
- Multiplicação de escalares
: K K K
,
Espaços Vectoriais
E ESPAÇO VECTORIAL (ou ESPAÇO LINEAR) sobre o corpo K
(E,) grupo comutativo
K x,yE : (xy)=(x)(y)
,K xE : (+)x=(x)(x)
,K xE : ()x=(x)
xE : 1x=x
Espaços Vectoriais
DEFINIÇÃOE ESPAÇO VECTORIAL (ou ESPAÇO LINEAR) sobre o corpo K( e definidas como no slide 6)
EV5 K x,yE : (xy)=(x)(y)
EV6 ,K xE : (+)x=(x)(x)
EV7 ,K xE : ()x=(x)
EV8 xE : 1x=x
EV1 x,y,zE : (xy)z=x(yz)
EV2 eE xE : xe=ex=x
EV3 xE x'E : xx'=x'x=e
EV4 x,yE : xy=yx
Espaços Vectoriais
Os elementos de K dizem-se escalares.
Os elementos de E dizem-se vectores.
Se K = , E diz-se um espaço vectorial real.
Se K = , E diz-se um espaço vectorial complexo.
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Exemplos de ESPAÇOS VECTORIAIS:
é espaço vectorial real
n1 2 n 1 2 na ,a ,...,a : a ,a ,...,a é espaço vectorial real com
1 n 1 n 1 1 n na ,...,a b ,...,b a b ,...,a b 1 n 1 na ,...,a a ,..., a
é espaço vectorial real e espaço vectorial complexo
nP polinómios reais de coeficientes reais de grau menor ou igual a n
P polinómios reais de coeficientes reais
Qualquer corpo é espaço vectorial sobre si próprio.
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E espaço vectorial sobre o corpo K
F E
F é SUBESPAÇO VECTORIAL de E
F é espaço vectorial com as operações induzidas
Definição
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TEOREMAF (FE) é subespaço vectorial de E
F fechado para as operações de adição e multiplicação por um escalar
isto é,x, y F x y F
K x F x F
COROLÁRIOF (FE) é subespaço vectorial de E
x,yF,K:x+yF
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E espaço vectorial sobre K
S parte não vazia de E
xE
x é COMBINAÇÃO LINEAR de elementos de S
1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n
n
i ii 1
, ,..., K x ,x ,..., x S : x x x ... x
x x
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SEL(S) (=span(S))= conjunto de todas as combinações lineares de elementos de S
Observação:Os elementos de S são um sistema de geradores de S
TEOREMAL(S) é subespaço vectorial de EObservação:L(S) é o mais pequeno subespaço vectorial de E que contem S,isto é, qualquer subespaço vectorial de E que contenha S também contem L(S)
n
i i i ii 1
L S x ;n , K,x S
Por convenção, L()={0}
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TEOREMASe F e G são dois subespaços vectoriais de um espaço vectorial E, então FG é também um subespaço vectorial de E.
DEFINIÇÃODados dois subespaços vectoriais F e G de um espaço vectorial E, chama-se soma dos subespaços vectoriais F e G e representa-se por F+G ao subconjunto de E constituído pelos vectores que são soma de um vector de F e de um vector de G, isto é,
F G z E : z x y com x F e y G
TEOREMASe F e G são subespaços vectoriais do espaço vectorial E, então F+G é também um subespaço vectorial de E.
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DEFINIÇÃOSejam F e G subespaços vectoriais de um espaço vectorial E tais que FG={0}. A soma de F e G designa-se por SOMA DIRECTA de F e G e representa-se por FG.
NOTAEm geral, a reunião de subespaços vectoriais de um espaço vectorial E não é um subespaço vectorial de E.
PropriedadeSeja E=FG.Qualquer elemento de E escreve-se de maneira única como soma de um elemento de F com um elemento de G.
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DEFINIÇÃOUma parte S (não vazia) de um espaço vectorial E diz-se LINEARMENTE DEPENDENTE se for possível exprimir o vector nulo (0E) como combinação linear não nula de elementos de S (escalares não todos nulos).
n
n1 2 n 1 2 n i i E
i 1
S linearmente dependente
x ,x ,..., x S , ,..., K \ 0,0,...,0 : x 0
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DEFINIÇÃOUma parte S (não vazia) de um espaço vectorial E que não seja linearmente dependente diz-se LINEARMENTE INDEPENDENTE.
n
1 2 n i i E 1 2 n Ki 1
S linearmente independente
x ,x ,..., x S : x 0 ... 0
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ExemplosNo espaço vectorial dos polinómios reais de coeficientes reais,
2 nS 1,x,x ,..., x
2 2L 1,x,x ,1 x,1 x é linearmente dependente.
é linearmente independente e
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Propriedades
Uma parte S não vazia de um espaço vectorial E é linearmente dependente se e só se existe um vector em S que é combinação linear dos restantes.
Se um subconjunto T de uma parte S de um espaço vectorial E for linearmente dependente, então S também é linearmente dependente.
Se uma parte S de um espaço vectorial E é linearmente independente, o mesmo sucede a qualquer parte T de S.
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Propriedades (continuação)
Se uma parte S de um espaço vectorial E contém um elemento x e o seu múltiplo escalar x, então S é linearmente dependente.
Um espaço vectorial E é sempre linearmente dependente.
Numa combinação linear de vectores linearmente independentes os escalares são univocamente determinados, isto é,se é um conjunto de vectores linearmente independentes,
1 2 nS x ,x ,..., x
1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n
1 1 2 2 n n
x x ... x x x ... x
...
Espaços Vectoriais
TEOREMASeja um conjunto de n vectores de um espaço vectorial E.Seja .Então Y é linearmente dependente.
1 2 nX x ,x ,..., x
1 2 n n 1Y y , y ,..., y , y L X
TEOREMASeja, num espaço vectorial E, linearmente independente e também linearmente independente.Então .
1 nX x ,..., x 1 nY y ,..., y L X
L Y L X
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DEFINIÇÃOUm subconjunto S de E é uma BASE do espaço vectorial E se for linearmente independente e gerar E.
DEFINIÇÃOO espaço vectorial E é finitamente gerado, ou de DIMENSÃO FINITA se existir um conjunto finito de vectores, tal que .
1 2 nX x ,x ,..., x L X E
DEFINIÇÃOO espaço vectorial E é de DIMENSÃO INFINITA se não possuir nenhum conjunto finito de geradores.
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TEOREMASeja E um espaço vectorial de dimensão finita.Se é uma base de E, então toda a base de E tem n vectores.
1 nS x ,..., x
DEFINIÇÃOUm espaço vectorial E≠0} de dimensão finita que tenha uma base com n elementos (nN) diz-se de DIMENSÃO n.Se E=0}, convenciona-se que a sua dimensão é 0.
NOTAPara indicar a dimensão de um espaço vectorial E usa-se dim (E).
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TEOREMASejam F e G subespaços vectoriais do espaço vectorial E de dimensão finita sobre o corpo K.1) Se FG, então dim (F) dim (G). Se FG e dim (F) = dim (G), então F=G.2) dim (F+G) + dim (FG) = dim (F) + dim (G).
TEOREMASeja E um espaço vectorial de dimensão finita tal que dim (E)=n, nN.I
II
Se S é um subconjunto de E linearmente independente, então existe uma base de E que contém S.
Toda a parte linearmente independente de E constituída por n vectores é uma base de E.
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E espaço vectorial base ordenada de ExE
1 2 nB e ,e ,...,e
DEFINIÇÃOO n-uplo univocamente determinado para cada vector xE pela condição (*) diz-se o n-uplo das COORDENADAS de x na base ordenada .
1 2 n, ,...,
1 2 nB e ,e ,...,e
Exprimindo x como combinação linear (única) dos vectores da base ordenada, obtem-se
1 1 2 2 n nx e e ... e (*)