Post on 11-Mar-2020
Equações de Conservação
Angela O. Nieckele
- Grupo de Dinâmica dos Fluidos ComputacionalDFC
Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro
Departamento de Engenharia Mecânica
2
Objetivo
Apresentação das equações de conservação
para analisar escoamento multifásicos
3
Introdução
Fases: Sólida (partículas)
Líquido (uma ou mais imiscíveis)
Gás
Escoamentos Bifásicos: Gás/Líquido
Gás/Sólido
Líquido/Líquido
Multifásico Gás/Líquido/Líquido
Gás/Sólido/Líquido
Gás/Sólido/Líquido/Líquido
4
Introdução
estratificado
estratificado
ondulado
bolhas alongadas
golfadas
anular
bolhas dispersas bolhas golfadas caótico anular
Classificados de acordo com a estrutura
Separados, misturados ou dispersos
Escoamento multifásicos são mais complexos de serem
modelados do que escoamentos monofásicos, devido a
estrutura complexa e desconhecida das interfaces
5
Introdução
Padrão de Escoamento: A importância em conhecer o padrão de escoamento é clara. É necessário para:
avaliar a transferência de calor, queda de pressão, etc.,
Realizar cálculos, visando determinar a condição de operação de equipamentos.
modelar o escoamento, pois dependendo do padrão, diferentes aproximações e consequentemente modelos podem ser mais apropriados
6
Introdução Escoamento monofásico:
Leis de conservação: massa, quantidade de movimento e
energia
Condição de contorno: entrada, paredes, simetria e saída
Classificado em laminar ou turbulento
Escoamento multifásico
Mesma leis de conservação que o escoamento monofásico
Dificuldades:
Múltiplas interfaces, deformáveis, móveis e desconhecidas
Descontinuidade de propriedades
Campos complexos nas regiões de interface
7
Leis de Conservação para
Escoamento Monofásico Conservação de massa 0
)div( u
t
Conservação de quantidade de movimento
])u)(u[(uu
u Tr
p
tuxg
3
2r pp
q
tD
pDh
t
h
u:τqu
)(u)()(
ttD
D
Conservação de energia
Tk q
8
Leis de Conservação para
Escoamento Multifásico Mesma leis de conservação que o escoamento
monofásico
Balanços
Interfaciais1
2
n2
n1
Ai
ui
21 nn
9
Balanços Interfaciais
Balanço de massa interfacial
02
1
k
ikkk )u(un
S
tSkini
/nuu
tinii uuu
02
1
k
km
)u(un ikkkkm
Fluxo de massa interfacial
uni velocidade de deslocamento da interface
Posição da interface S(x, t)
kini nuu
ou
10
Balanços Interfaciais
Balanço de quantidade de movimento interfacial
kkkikkkk nu)u(unM
kkk p τI
Fluxo momentum interfacial
mk
k MM
2
1
kkkkkk pm τInuM
)u(un ikkkkm
11
Balanços Interfaciais
Parcela normal representa o efeito líquido da curvatura da interface, onde k é a curvatura média da superfície e g é a tensão superficial.
Parcela tangencial devido ao gradiente da tensão superficial.
kg mm κ MnM 2
Fonte de momentum de mistura
normal tangencial
12
Balanços Interfaciais
Balanço de energia
1
2
A1
A2
n2
n1
Ai
Energia interna por unidade de área interfacial:
1
2
1
diia
2
1
2
2kkkkk
kkikkkikia
au
iit
iqun)u(unuMu
taxa de variação da energia da superfície
trabalho
realizado pela
tensão
superficial
transferência de energia do fluido de cada lado da interface
13
Balanços Interfaciais
1
2
A1
A2
n2
n1
Ai
mk
k EE
2
1
Balanço de energia interfacial
kkkkkk
kkk pu
imE quτIn
2
2
Fluxo energia interfacial
Fonte de energia de mistura: mE
14
Escoamentos Multifásicos
Formulação local e instantânea para escoamentos multifásicos é muito difícil
Classes de Modelos
Modelos de “um fluido”: solução detalhada das equações de Navier Stokes
Modelos de equações reduzidas, uso de grandezas médias
15
Modelos de “um fluido”
16
Modelos de “um fluido”
solução detalhada das equações de NavierStokes:
Malha Adaptativa
Fronteira Imersa
Volume of Fluid (VOF)
Level-Set
17
Modelos de “um fluido” Os diferentes fluidos podem ser identificados
com a função degrau H (Heaviside).
Fluido 1: H = 1, Fluido 2: H = 0
A
adyyxxyxH ')'()'(),(
n)('n')'()'(),( nsdnsyxHS
A
H=1
n
H=0
S
)(
'n)'()'(
tS
dsxxxxH
y s n
x
O gradiente de H pode ser avaliado utilizando o teorema de divergência
introduzindo coordenadas locais, tangente (s) e normal (n) à frente
18
Modelos de “um fluido”:
Tratamento das Propriedades Massa específica:
Equações análogas podem ser escritas para as outras propriedades, como viscosidade e propriedades termo-físicas
)],([),(),( yxHyxHyx o 11
n)()(),()(),( nyxHyx oo 11
líquidogás
sl
glg
g sg
sólido
gsl
lg
slsg
g
gg arccos
Ângulo de contato
g= tensão interfacial
19
Malha Adaptativa Equações de conservação são escritas em um sistema de
coordenadas curvilíneas móvel.
Movimento da interface governado pelas condições de salto de massa, quantidade de movimento e energia na interface.
Fase 1 Fase 2
(2D) 21 Oct 2000 STRFCN(2D) 21 Oct 2000 STRFCN(2D) 21 Oct 2000 STRFCN(2D) 21 Oct 2000 STRFCN
(2D) 21 Oct 2000 STRFCN(2D) 21 Oct 2000 STRFCN(2D) 21 Oct 2000 STRFCN(2D) 21 Oct 2000 STRFCN
])u)(u[(uu~
u
uuu~
Tr
pt
mesh
26
Malha Móvel Fusão em uma cavidade
(Rocha e Nieckele, 2000)
31
Método de Fronteira Imersa
As equações de Navier-Stokes são resolvidas em uma malha fixa
Uma frente móvel e deformável é usada para marcar a interface
Conhecendo
informações da frente,
as direções normais e
tangenciais são
facilmente obtidas
32
Interpolando da malha As velocidades da malha fixa são interpoladas
para serem utilizadas na malha móvel
Os pesos wijk podem
ser selecionados de
diferentes formas
ijkijk w
Método de Fronteira Imersa
33
Aproximando os termos singulares Os valores da frente são distribuídos na malha fixa
na frente: por comprimento
na malha: por volume
3h
Swijkijk
Método de Fronteira Imersa
34
Métodos de Captura de Interface:
VOF e Level-Set
00
C
t
C
tD
CDu
Função marcadora: C
VOF: fração volumétrica de uma fase
Level-Set: distância à interface
Evolução da função marcadora
35
VOF
Função marcadora:
fração volumétrica de uma fase
a
a0
Phase 1
Phase 2
a 0,interfacea
a0
Excelente em satisfazer a conservação de massa.
Dificuldades com falsa difusão.
36
Level-Set
Função marcadora:
Função Distância com Sinal
a
O campo distância é suave ao longo de todo o domínio,
inclusive ao redor das interfaces.
Problemas em satisfazer conservação de massa.
37
Modelos de “um fluido”
Conservação de Quantidade de Movimento Linear
0
u
t
n)(])u)(u[(uuu
npt
kg
Tr
uxg 3
2r ppnk
k= raio de curvatura
g= tensão interfacial
Equações de conservação:
Conservação de Massa:
38
Estimativa da Curvatura
Level-Set / VOF acoplamento
Height-Function
Reconstructed Distance Function (RDF)
Kernels suavisado no VOF field
Campo de VOF ajustado com superficies em intervalos quadráticos
Point-cloud VOF
a
ak
CSF (Continuous Surface Force)
a
a
agkg n)(n
39(Melo e Nieckele, 1995)
Movimento ascendente de uma bolha
através de uma restrição
53
Imagem de uma bolha de
Taylor e campo de
velocidade com PIV
(Azevedo, 2005)
(Melo e
Nieckele,
1995)
Formação de Golfada Escoamento água/ar em uma tubulação com 2 in de diâmetro
solução numérica com VOF (Febres, 2009)
experimental (Fagundes Netto, 1999)
Calda da golfada Nariz da golfada
Um= 1,8 m/s
Um= 0,6 m/s
Formação de Golfada Escoamento água/ar em uma tubulação com 1 in de diâmetro
experimental numérico
(Fonseca Jr, 2009) VOF (Febres, 2009)
0.0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
y/R
W(m/s)-0.2D Fonseca(2009) Presente
-0.4D Fonseca(2009) Presente
-0.6D Fonseca(2009) Presente
-0.8D Fonseca(2009) Presente
0.0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
y/R
W(m/s)-0.2D Fonseca(2009) Presente
-0.4D Fonseca(2009) Presente
-0.6D Fonseca(2009) Presente
-0.8D Fonseca(2009) Presente
VOF
VOF
VOF
VOF
Um= 0,6 m/s
Formação de Golfada
Um= 0,77 m/s
- 0,8D -0,6 D -0,4 D -0,2D 0,0 D
Escoamento água/ar em uma tubulação
com 1 in de diâmetro
57
Bolha ascendente
Re=35Eo=9Ca=0,286We=10
Re=35Eo=125Ca=3,571We=125
Kassar et al, Cobem, 2015
Kassar et al, ICMF, 2016
58
Modelos de Equações Reduzidas
59
Modelos de Equações Reduzidas
O escoamento em geral é caótico, com a
exceção de casos muito simples. Uma
descrição estatística é necessária.
É necessário definir propriedades médias da
mistura: médias no volume, na área, médias
temporais, médias de conjunto, ou uma
combinação destas.
60
Definição de Médias
Média temporal:
Média espacial:
volume área linha
t
dttFt
)x,(1
)x()x,( dtF1
A
dAtFA
)x,(1
C
dCtFC
)x,(1
Média temporal: intervalo de tempo [ t ] deve ser grande o suficiente
para suavizar as variações locais das propriedades, mas pequeno o
suficiente quando comparado com o tempo macroscópico do
escoamento.
61
Definição de Médias
Médias no volume da fase
k
dZtZ kk
k1
)(x,
Fração volumétrica da fase k :
k
ka
•Volume: =1+2 → a1 + a2 = 1
•Fronteira do volume : S = S1 + S2
• S1 (pontilhada) e S2 são as partes de
que estão em contato com as fases 1 e 2
• A soma das interfaces separando as
duas fases dentro de é Si.
62
Formulação de Médias
Consequências do processo de média
suavização das flutuações de forma
análoga a que ocorre em um escoamento
monofásico turbulento
existência de duas fases, que ocupam
alternadamente um elemento de volume,
no mesmo ponto, com uma probabilidade
adequada para cada fase
63
Modelos de Equações Reduzidas
Modelos de Dois Fluidos
Fases separadas, um conjunto de equações de conservação para cada fase
Modelo de Deslizamento (Drift)
Modelo intermediário entre os outros dois. Determina o escoamento médio, porém, permite deslizamento entre as fases
Modelo Homogêneo
Pseudo propriedades de um único fluido
O Modelo de Deslizamento e o Modelo Homogêneo podem ser
obtidos a partir do Modelo de Dois Fluidos
64
Modelos de Equações Reduzidas
Processo de obtenção do conjunto de equações que
caracteriza o Modelo de Dois Fluidos
Média Temporal
Navier-Stokes
• Formulação local instantânea para cada fase
• Equações constitutivas/Salto na Interface
Modelo de Dois
Fluidos 3D
• Equações médias para cada fase
• Equações constitutivas e fontes interfaciais
Modelo de Dois
Fluidos 1DMédia Espacial
(seção transversal)
t
dttFt
)x,(1
tAtk
tk dAF
AtF
1)(x,
65
Equações Médias 3D
Conservação média volumétrica de massa
kkkkkk
ta
au
)(
iSikk Sdm
1 kikkkm n)u(u
fluxo de massa da fase k
através da interface Si
kkkkkk
ta
au
)(
k
kkk
uu
Média de Favre:
01
N
kk
kkk uj afluxo volumétrico da fase k ou
velocidade superficial.
66
Equação média volumétrica de conservação de quantidade de movimento linear
kkkkk
kkkkkkk
t
Mg)σ(
uu)u(
aa
a
a
Iu)u(uτ;τIσ kkkkkkkk p
3
2T
Fluido Newtoniano
m
N
kk MM
1
Equações Médias 3D
67
Média de Favre: kkkkkk uuuu
kkkkkkkkk τuuuuuuuu
Introduzindo a definição de
flutuaçãokkk uuu
Equação média volumétrica de conservação de quantidade de movimento linear
kkkkkkkkkk τuuuu aaa
Equações Médias 3D
68
Equação média volumétrica de conservação de quantidade de movimento linear
)τ()()σ( kkkkkk p aaa
kkk p τIσ
)τ()σ( kkkkkkkk pp aaaa
kikikkkikkikk p Mτ)u(uM aa
Força de arraste
generalizada
Equações Médias 3D
69
kikikkkkikkki
kkkkk
kkkkkkkkk
pp
pt
M)()uu(
g)(
uu)u(
aa
aa
aa
a
Equação média volumétrica de conservação de quantidade de movimento linear
Equações de fechamento: ; ; ;k kiM k ki
Equações Médias 3D
70
Equação média volumétrica de conservação de energia
Equações Médias 3D
kkkkkkk
kk
kkkkkkkkk
EtD
pD
qht
h
aa
a
aa
a
u:τ)(
)q(
u)(
m
N
kk EE
1
kikikkik
kikik
kkikikkt
pqu
hE uτMˆ
uu a
a
2
2
71
Equação média volumétrica de conservação de energia
Equações Médias 3D
Introduzindo a média Favre e a definição de flutuação
)uu(τM)(
)]qq([
u)(
kkikikkikk
kikkikik
kkkk
kkkk
kkkkkkkkk
tD
Dppqh
tD
pD
qht
h
aa
aa
aa
a
)τ(uu:τ;u:τ kkkkkkkkkkkaaa
Dissipação viscosa Fonte de energia turbulenta
72
Equação de Energia Simplificada
Desprezando:
geração de calor
termos devido aos efeitos mecânicos
(transferência de calor e mudança de fase dominantes)
kikikkkk
kkkkkkk
qh
ht
h
a
a
a
)]qq([
u)(
02
1
kikik
k qh
73
Modelos de Dois Fluidos Isotérmico Conservação de massa para cada fase
Conservação de quantidade de movimento para cada fase
kkkkkk
ta
au
)(
kikikkkkikkki
kkkkk
kkkkkkkkk
pp
pt
M)()uu(
g)(
uu)u(
aa
aa
aa
a
74
Modelos de Deslizamento (Drift) Conservação de massa
para cada fase
uma fase e a mistura, onde a conservação da mistura é obtida somando as equações de conservação de cada fase
21 ek
0
mm
m
tu 111111
11 uuu)(
mm ραρα
t
ρα
2221112211 uuu aaaa mmm
ou
kkkkkk
ta
au
)(
75
Modelos de Deslizamento (Drift) Conservação de quantidade de movimento para a mistura
iSimmmmmm
mm dSmpt
)u(ugJuu)u(
211
22112211 τττ; aaaa mm ppp
(desprezando termos de
correlação cruzada e para
fluidos incompressíveis) 12122121
uuuuJ aam
J é o fluxo de deslizamento (“drift flux”) generalizado
Modelo para a velocidade de deslizamento
utiluza-se modelos empíricos (Ishii, 1975, Hibiki e Ishii, 2002 e 2003).
12 uu
76
Modelo Homogêneo
As duas fases escoam com a mesma velocidade: J = 0
Conservação de massa da mistura
Conservação de quantidade de movimento da mistura
mmmmmmmm p
t
guu
)u(
0
mm
m
tu
77
Comentários sobre as Equações
Reduzidas
Os modelos baseados na equações reduzidas, são
baseados nas equações médias temporais
Necessitam de equações de fechamento para
avaliar as iterações existentes nas interfaces
78
Modelo de Dois Fluidos 1D
79
Modelo de Dois Fluidos 1D O Modelo de Dois Fluidos 1D é extremamente usado na
simulação de escoamentos bifásicos em dutos Ex. Indústria do petróleo, nuclear, etc
Natureza complexa (3D) do escoamento (ex. regime de
golfadas) Apesar disso, estratégia 1D ainda
é a mais adequada para a
simulação de longos dutos
No entanto, é preciso ter extremo cuidado O processo de média leva a perda de informação
Modelos de fechamento devem ser incorporados
Efeito crítico sobre o caráter matemático das equações
(bem- ou mal-posto)
80
Modelos de Equações Reduzidas 1D
Processo de obtenção do conjunto de equações que
caracteriza o Modelo de Dois Fluidos
Média Temporal
Navier-Stokes
• Formulação Local Instantânea para cada fase
• Equações constitutivas/Salto na Interface
Modelo de Dois
Fluidos 3D
• Equações Médias para cada fase
• Equações constitutivas e fontes interfaciais
Modelo de Dois
Fluidos 1DMédia Espacial
(seção transversal)
t
dttFt
)x,(1
tAtk
tk dAF
AtF
1)(x,
Média Espacial
(seção transversal)
tAtk
tk dAF
AtF
1)(x,
Média Temporal
t
dttFt
)x,(1
1D
81
Modelo de Dois Fluidos 1D
integrar as equações tri-dimensionais através da seção transversal
introduzir valores médios apropriados.
O componente axial da
velocidade média na área
ponderada da fase k
fluxo volumétrico da fase k ou
velocidade superficial.
tAtk
tk dAF
AtF
1)(x,
k
kkk
FtF
a
a)(x,
Fração de vazio
a
kk
k
k
k
kkk
juu
aa
a
kkk uj
a
2
1
2
1 kkk
kk ujj
a
82
Conservação de Massa 1D
a
a
tt Atk
tAtkkk
kk
tdA
AdA
tA
11)u(
)(
Escoamento 1D na direção x:
𝑢𝑘𝑦 ≪ 𝑢𝑘𝑥 𝑢𝑘𝑧 ≪ 𝑢𝑘𝑥
𝜕
𝜕𝑡𝛼𝑘 𝜌𝑘 +
𝜕
𝜕𝑥𝛼𝑘 𝜌𝑘 𝑢𝑘𝑥 = Γ𝑘
𝜕
𝜕𝑧~ 0
Equações de fechamento: Γ𝑘
83
Conservação de Quantidade de
Movimento Linear 1D
tA
kikikkkkikkkit
tA
kkkt
tA
kkkkkt
tA
kkkkkkk
t
dAppA
dAA
dApA
dAtA
t
tt
t
aa
a aa
a
a
M)()uu(
gττ
)uu(u
1
11
1
Escoamento 1D na direção x:
𝑢𝑘𝑦 ≪ 𝑢𝑘𝑥 𝑢𝑘𝑧 ≪ 𝑢𝑘𝑥𝜕
𝜕𝑧~ 0
84
Conservação de Quantidade de
Movimento Linear 1D
Termo
convectivot
Akkkk
tt
Akkkk
tdAuu
xAdAu
Att
a
a )()u(
11
kkkktA
kkkkt
uux
dAuA
t
a
a )u(
1
Parâmetro de distribuição 𝐶𝑢,𝑘 =𝑢𝑘
2
𝑢𝑘2
kkkkkutA
kkkkt
uuCx
dAuA
t
a
a ,)u(
1
𝐶𝑢,𝑘 =𝑢𝑘
2
𝑢𝑘2=
𝛼𝑘𝑢𝑘2
𝛼𝑘 𝑢𝑘2=
𝛼𝑘𝑢𝑘2 𝛼𝑘
2
𝛼𝑘 𝑢𝑘2
= 𝛼𝑘𝑢𝑘
2𝑑𝐴 𝛼𝑘𝑑𝐴
𝛼𝑘𝑢𝑘𝑑𝐴2
85
o tensão cisalhante que atua na parede do duto
Fluxo líquido viscoso na direção x
tkkkkkkA
kkkt
dAτz
ττy
ττxA xzxzxyxy
txxxx
a
a
a
τ
1
xxxx
t
kkkt
kwkt
Akkk
tττ
xA
SτdA
Aa
a ττ
1
Conservação de Quantidade de Movimento
Linear 1D
wkτ
a tA
kkkt
dAA
t
ττ1
86
xpp
dAppA
kkki
dkkkki
tA
kkkikikikkkkit t
a
aa
)(M)uu(
)(M)uu(1
Termo interfacial
xkikxikdk
τMM a
t
iidk A
SM
força cisalhante interfacial total:
o Tensão cisalhante na interface
Conservação de Quantidade de Movimento
Linear 1D
iτ
87
Conservação de Quantidade de Movimento
Linear 1D
kkik
t
iikkkixkk
kkkt
kwkkk
kkkkkukkk
ppxA
Suug
ττxA
Sτp
x
uuCxt
u
xxxx
a
a
a
a
a
a
ˆ
,
Equações de fechamento: 𝐶𝑢,𝑘 ; 𝜏𝑤𝑘 ; 𝜏𝑖
𝑝𝑘𝑖 − 𝑝𝑘 ; 𝑝𝑔𝑖 − 𝑝𝑙𝑖
89
Conservação de energia
Equações de Conservação 1D
kikkikkkt
kwk
kkkkkh
kkk
qhqqxA
Sq
huCxt
h
xxa
a
aˆ
ˆ
,
o Sem transferência de massa e sem difusão axial
o Eliminando as barras para simplificar
𝜕
𝜕𝑡𝜌𝑘𝛼𝑘 ℎ𝑘 +
𝜕
𝜕𝑥𝐶ℎ,𝑘 𝜌𝑘𝛼𝑘𝑢𝑘ℎ𝑘 =
𝑞𝑤𝑘𝑆𝑘
𝐴±
𝑞𝑖𝑆𝑖
𝐴
Equações de fechamento: 𝐶𝑢,ℎ ; 𝑞𝑤𝑘 ; 𝑞𝑖
90
Modelo 2 Fluidos Isotérmico 1D
𝑢𝑘 = 𝑢𝑘𝑥
Hipóteses:
o Sem transferência de massa, isotérmico,
sem difusão axial
Eliminando as barras para simplificar
𝜕
𝜕𝑡𝜌𝑘𝛼𝑘 +
𝜕
𝜕𝑥𝜌𝑘𝛼𝑘 𝑢𝑘 = 0
𝜕
𝜕𝑡𝜌𝑘𝛼𝑘 𝑢𝑘 +
𝜕
𝜕𝑥𝐶𝑢,𝑘 𝜌𝑘𝛼𝑘 𝑢𝑘
2 =
= −𝛼𝑘
𝜕 𝑝𝑘𝑖
𝜕𝑥+
𝜕𝛼𝑘 (𝑝𝑖𝑘 − 𝑝𝑘)
𝜕𝑥− 𝛼𝑘𝜌𝑘𝑔𝑥 −
𝜏𝑤𝑘𝑆𝑘
𝐴±
𝜏𝑖𝑆𝑖
𝐴
91
Modelo Homogêneo Isotérmico 1D
A
Sg
z
p
z
uu
t
u wwm
mmmmmm
sen
)()(
0
z
u
t
mmm )(
Hipóteses:
o Bifásico, sem transferência de massa,
isotérmico, sem difusão axial
Equações de fechamento: 𝜏𝑤
Modelos 1-D de Deslizamento (Drift)
0
z
u
t
aa )( 0
z
u
t
ggggg aa )(
ou
0
z
u
t
mmm )(
z
V
z
u
t
gmggmgggg
aaa )(mggm uuV
Equação de conservação de massa
Hipóteses:
o Bifásico, sem transferência de massa,
isotérmico, sem difusão axial
Modelos 1-D de Deslizamento (Drift)
Equação de conservação de quantidade de movimento
z
J
A
Sg
z
p
z
uu
t
u wwm
mmmmmm
sen
)()(
m
gggg uuuuJ
aa
Fluxo de drift
Equações de fechamento: 𝜏𝑤 ; Vgm =(ug - um) ; ur = (ug - uℓ)
velocidade relativa
entre fases
94
Co : parâmetro de distribuição: considera o
efeito de ag e um nos perfis
Vdrif : velocidade de deslizamento
a
j
ug Vgj
velocidade entre fases:
velocidade relativa entre a fase gasosa e o fluxo volumétrico j = ag ug + aℓ uℓ
velocidade relativa entre a fase gasosa e velocidade média
■ Formulação de Zuber-Findlay (1965):
)( uuu gr
rggj
ggj
uuuV
juV
aa
)(
ou
driftog VjCu
jCVV odriftgj )( 1
2gj
m
ggVJ
a
a
gjm
mg Vuu
gjm
g
g
gm Vuu
a
a
1
mggm uuV
Modelos 1-D de Deslizamento (Drift)
95
Análise das Características do Modelo de
Dois Fluidos 1D
Segundo Courant e Lax (1949) um modelo é
considerado "bem-posto" ("Well-posed") se as
condições de Hadamard são satisfeitas
A solução existe
A solução é única
A solução depende continuamente das condições
iniciais e de contorno
Para tal, a análise das características é realizada
96
Análise das Características do Modelo de
Dois Fluidos 1D
Linearização do sistema de equações
são matrizes Jacobianas de dimensão
é um vetor coluna de dimensão
Características do sistema, são definidas tais que
reais distintas: sistema hiperbólico
nulas: sistema parabólico
complexas: sistema elíptico"Mal-posto"
97
Montini (2011)
o Taxa de crescimento das
perturbações
o Bem-posto vs. Mal posto
Modelo "Bem-posto" vs. "Mal-posto"
Carneiro (2006)
o Transição escoamento
estratificado -> golfadas
o Frequência das
golfadas para
casos bem e mal-
postos
98
Escoamento Estável vs.
Instável
99
Estabilidade vs. Bom-Condicionamento
Escoamento
estratificado e golfadas
Região estável (bem
posto)
Região instável e
bem–posto
(golfadas!)
Região mal-posta
(golfadas,
comportamento não
físico)
100
o Altera o fluxo de quantidade de
movimento
o Escoamento monofásico:
• Laminar: 𝐶𝑢,𝑘=4/3=1,33
• Turbulento (lei de 1/7): Cu,k=1,02
(Febres, 2010)o Escoamento multifásico:
• 𝐶𝑢,𝑘 geralmente empírico, pode depender de
velocidades, geometria e frações volumétricas
Parâmetro de Forma/Distribuição
o Geralmente considera-se 𝐶𝑢,𝑘 = 1
o 𝐶𝑢,𝑘 corrige o fato de que o perfil de velocidades não é
uniforme (ex. Escoamento estratificado)
Modelos de Fechamento
101
Tensão Cisalhante das fases com a parede e na interface
Modelos de Fechamento
kkkkwk uuf ˆˆ2
1
fk: fator de atrito, determinado empiricamente em função do número
de Reynolds da fase k
12122
1uuuufτ iii ˆˆˆˆ
Difusão axial frequentemente desprezada
Salto de pressão na interface:
Tensão superficial: g
Curvatura:k
kg )( iig ppg
102
Diferença entre a pressão média em cada fase e
pressão interfacial
Modelos de Fechamento
o É possível demonstrar que, se a pressão média em cada fase for
constante e igual a pressão interfacial, o modelo é mal-posto sob
qualquer condição ( exceto )
o Escoamento horizontal ou levemente inclinado: Banerjee e Chan
(1980) propuseram a consideração de uma distribuição hidrostática de
pressão
𝜕𝛼𝑘(𝑝𝑘− 𝑝𝑘𝑙
𝜕𝑥= 𝛼𝑘𝜌𝑘𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝛽
𝜕ℎ𝑙
𝜕𝑥
103
Diferença entre a pressão média em cada fase e
pressão interfacial
Modelos de Fechamento
o Escoamento vertical: 𝜕𝛼𝑘(𝑝𝑘−𝑝𝑘𝑙
𝜕𝑥
Reference Formulation
Model 1
(Fowler and Lisseter, 1992)
∆ 𝑃𝐿𝑖 = 𝑊𝑓 𝜌𝐿 𝑈𝐿 − 𝑈𝑤𝑎𝑣𝑒2
𝑈𝑤𝑎𝑣𝑒 = 𝑋 𝑈𝐿, 𝑋=const.
Model 2
(Gonzalez, Nieckele and Carneiro,
2016)
(Berna et al., 2014)
∆ 𝑃𝐿𝑖 = 𝑊𝑓 𝜌𝐿 𝑈𝐿 − 𝑈𝑤𝑎𝑣𝑒2
𝑈𝑤𝑎𝑣𝑒 = 𝑈𝑤𝑎𝑣𝑒(𝑈𝑠𝐿, 𝑈𝑠𝐺 , 𝜌𝐿, 𝜌𝐺,𝜇𝐿, 𝜇𝐺,𝜎)
Model 3
(Bestion, 1990)∆ 𝑃𝐺𝑖 = ∆ 𝑃𝐿𝑖 = 1.2 𝜌𝑚 𝑈𝐿 − 𝑈𝐺
2
104
Outros métodos de regularização
Massa virtual
Difusão Artificial
Equação de Quantidade de Movimento
Equação da Conservação de Massa
Silva et al, 2013
Escoamento em Horizontal
Anular
Estratificado e Golfada
com troca térmica
Simões et al, 2014
Golfada
Ondulado
Óleo viscoso + gás denso
Água + ar
Espessura
do filme
Escoamento Vertical
Modelo 1
Gonzalez, 2016
Modelo 2
Experimental (Zhao et al, 2013)
Anular Golfada
Inácio, 2012
Água + ar
107
Comentários Finais
Diferentes tipos de modelos podem ser utilizados
dependendo do tipo de aplicação
Modelos de “um fluido”:
Apresentam uma demanda computacional maior
Envolvem um grau menor de hipóteses simplificadoras
É necessário determinar com precisão da posição da
interface, raio de curvatura para obtenção de solução de
qualidade
108
Comentários Finais
Modelos baseados na equações médias:
são mais simples e de solução mais rápida.
Possuem diferentes graus de aproximação e necessitam
de equações de fechamento para avaliar as iterações
existentes nas interfaces
Fechamento 1D possui profundo efeito no caráter
matemático das equações do Modelo de Dois Fluidos 1D
Se manifesta, por exemplo, na impossibilidade de se
obter uma solução independente da malha
É preciso ter extremo cuidado: softwares comerciais
frequentemente "mascaram" os efeitos de um modelo
mal-posto pois malhas grosseiras são utilizadas
109
Obrigado !
Agradecimentos:
João N.E. Carneiro (Sintef do Brasil)