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Equações Diferenciais Ordinárias

Prof. Guilherme Jahnecke Weymar

AULA 02Equações diferenciais de primeira ordem

Fonte:Boyce, Bronson, Zill, diversos internet,

Material Profª. Dr. Daniela Buske

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ED 1ª ordemAs equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem são equações que podem ser escritas como

Vamos estudar equações de primeira ordem que podem ser escritas na forma

(1.1)

Uma solução (particular) de uma ED (1.1) em um intervalo I é uma função y(t) definida no intervalo I tal que a sua derivada y’(t) está definida no intervalo I e satisfaz a eq. (1.1) neste intervalo.

0)',,( yytF

),( ytfdtdy

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ED 1ª ordem

O problema

(1.2)

é chamado problema de valor inicial (PVI). Uma solução do PVI (1.2) em um intervalo I é uma função y(t) que está definida neste intervalo, tal que a sua derivada também está definida neste intervalo e satisfaz (1.2)

00 )(

),(

yty

ytfdtdy

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ED 1ª ordem

Quando resolvemos uma EDO de 1ª ordem normalmente obtemos uma família de soluções que dependem de uma constante arbitrária.

Se toda solução particular puder ser obtida da família de soluções que encontramos por uma escolha apropriada da constante dizemos que a família de soluções é a solução geral da equação.

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A equação

pode ser resolvida por integração direta obtendo

que é a solução geral da equação diferencial dada.

ED 1ª ordemExemplo: xe

dxdy 3

,3

)(3

3 Ce

dxexyx

x

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ED 1ª ordemEquações lineares de primeira ordem:

1º Caso: Equações em que p(t)=0:

As equações lineares de 1ª ordem são equações que podem ser escritas como

)()( tqytpdtdy

Se a função p(t)=0 a equação anterior torna-se

(1.3)

e é fácil de resolver integrando-se os dois lados. Assim a solução geral desta equação é dada por:

)(tqdtdy

Cdttqty )()(

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A equação

pode ser resolvida por integração direta obtendo

que é a solução geral da equação diferencial dada.

ED 1ª ordemExemplo: )2( tsen

dtdy

,)2cos(21)2()( Ctdttsenty

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ED 1ª ordem

Equações lineares: (caso geral)

A seguir veremos várias técnicas de se encontrar soluções de equações de 1ª ordem que se baseiam em transformar a eq. inicial em uma eq. do tipo (1.3).

)()( tqytpdtdy

Vamos considerar equações da forma

(1.4)

Vamos definir uma função auxiliar de forma que ao multiplicarmos a eq. por esta função a eq. resultante é do tipo (1.3) que já resolvemos anteriormente. Considere a função:

Esta função é chamada fator integrante da equação linear.

OBS.:Mostraremos adiante porque esta função deve ter esta forma.

dttp

et)(

)(

)(t

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ED 1ª ordemObserve que

(1.5)

Multiplicando-se (1.4) por , obtemos

(1.6)

)(t

)()()()()()(

tpttpedttpdtde

dtd dttpdttp

)()()()()( tqtytptdtdyt

)()()( tqtydtd

dtdyt

)()()()( tqttytdtd

que pode ser reescrita usando (1.5) como:

mas o lado esquerdo desta equação é a derivada de um produto, assim:

(1.7)

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ED 1ª ordemA equação (1.7) é uma equação do tipo (1.3), i.e.,

em que e . . Assim a solução geral de (1.7) é:

Como , dividindo-se a eq. anterior por obtemos que a solução geral de (1.4) é dada por

)(tfdtdY

)()()( tyttY )()()( tqttf

Cdttqttyt )()()()(

Cdttqtt

ty )()()(1)(

0)( t )(t

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ED 1ª ordemExemplo: Considere a equação

O fator integrante é:

Multiplicando-se a equação acima por obtemos:

O lado esquerdo é igual a derivada do produto . Logo a equação acima é equivalente a:

Integrando-se obtemos:

Explicitando y(t) temos que a solução geral da ED é:

tytdt

dy

2

2lnln22

2)( teeet ttdt

t

)(t 32 2 ttydtdyt

)(2 tyt

32 )( ttytdtd

Cttyt 4

)(4

2

2

2

4)(

tCtty (1.8

)

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ED 1ª ordemExemplo: Determinar o intervalo de validade da solução do PVI

3)2(

2

y

tytdt

dy

Observe que a equação é a mesma do exemplo anterior.Substituindo-se t = 2 e y = 3 em (1.8) obtemos

E assim a solução do PVI é

844

43 CC

2

2 84

)(t

tty

Observe que a solução deste PVI é válida no intervalo (0,∞). Se no lugar de y(2)=3 fosse y(-2)=3 a solução seria a mesma, mas o intervalo de validade da solução seria (-∞,0).

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ED 1ª ordemEsboço do gráfico dos 2 exemplos anteriores:

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ED 1ª ordemO gráfico dos 2 exemplos anteriores:

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ED 1ª ordemPor que o fator integrante deve ser ?

dttpet

)()(

Vamos mostrar como podemos chegar ao fator integrante .

O fator integrante deve ser uma função que satisfaz a equação diferencial

Supondo-se , vamos multiplicar esta equação por obtendo:

que pode ser escrita como

que, pela regra da cadeia, é equivalente a

dttp

et)(

)(

)(t

)()( ttpdtd

0)( t )(/1 t

)()(1

tpdtd

t

)(|))(|(ln tpdtdt

dd

)(|))(|(ln tptdtd

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ED 1ª ordem

que é uma equação do tipo (1.3) que pode ser resolvida simplesmente integrando-se ambos os membros obtendo:

Aplicando-se a exponencial a ambos os membros obtemos:

Como estamos interessados em apenas um fator integrante podemos tomar C=1 e assim:

1)(|)(|ln Cdttpt

dttpCet )()(

dttpet )()(

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Exercícios:

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Exercícios:04) Mostre que a equação linear é equivalente a uma equação separável se:a) e , para R: A equação é equivalente a

R: A equação é equivalente a c) R: A equação é equivalente a

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Exercícios:01) Resolva as equações.a)b)c) , para d) , para e) , para f) , para